planificacion funciones en una secuencia
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PLAN DE UNIDAD DE APRENDIZAJE
1. DATOS GENERALES
Unidad Educativa : Santo Domingo Savio
Tipo de establecimiento : Particular
Turno : Mañana
Nivel : Secundario
Ciclo : 1º Ciclo de Secundaria Año: 1º de Secundaria
Practicante : Camacho Quispe Patricia Gabriela
Gestión : 2009
Tema de unidad didáctica : Funciones
Tiempo aproximado : 270 min.
2. COMPETENCIAS –INDICADORES
COMPETENCIAS INDICADORES
Identifica la existencia de
relaciones funcionales sencillas
en los procesos económicos,
científicos y sociales de la vida
diaria, interpretándolos gráfica
y algebraicamente.
1. Utiliza las formas propias del lenguaje
funcional para establecer relaciones de
dependencia entre variables.
2. Identifica la existencia de relaciones
funcionales en la vida diaria,
interpretándolas en forma de tabla.
3. Representa gráficamente las diferentes
funciones mediante la interpretación de
tablas de valores.
4. Identifica e interpreta las características de
una gráfica para obtener información de
situaciones problema.
5. Identifica el tipo de función y determina
Dominio y Rango para su aplicación en
situaciones problema.
3. PROPOSITO
Que el estudiante comprenda el concepto de función a través del estudio de las
mismas utilizando diagramas de Venn, diagramas de flechas y graficación en el
sistema cartesiano, para la resolución de ejercicios y actividades planteadas.
4. CONTENIDOS
CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
*Concepto de función.
*Elementos de una
función:
- Dominio (variable
independiente)
- Rango (variable
dependiente)
- Propiedad
*Gráficas en el sistema
cartesiano.
*Clasificación de
funciones:
- Inyectiva
- Suryectiva
- Biyectiva
*Construcción de
diagramas con los que se
explicarán las condiciones:
existencia y unicidad.
*Ejemplificación y
resolución de ejercicios.
*Graficación en el eje
cartesiano.
*Ejemplificación y
resolución de ejercicios
aplicando la clasificación de
las funciones.
*Interés en el tema.
*Valoración del trabajo
grupal.
*Respeto por la opinión
de los demás.
*Participación.
*Hábitos de orden en la
resolución de ejercicios.
5. TRANSVERSAL A ENFATIZAR
Educación para la democracia
COMPETENCIA INDICADORESCONTEXTO DE
RELEVANCIA SOCIAL
Reconoce las formas de
organización y
participación grupal,
mediante la reflexión e
interacción con sus
compañeros y las asume
para fortalecer la vida
democrática social.
6. Colabora en diferentes
actividades aportando
ideas y opiniones.
7. Respeta las opiniones de
sus compañeros.
8. Reconoce las
características de la
organización en su
grupo y las compara con
las de otros grupos.
Convivencia entre las
personas en la familia, el
colegio y la comunidad
basada en los valores de la
democracia.
6. SECUENCIA DIDÁCTICA:
SECUENCIA DIDÁCTICA
MOMENTO
SSITUACIÓN DIDÁCTICA RECURSOS TIEMPO EVALUACIÓN
Inicio
Se realizará una
recuperación de ideas
previas acerca del tema a
través de una lluvia de
ideas por parte de los
estudiantes. (Anexo 1)
Diagramas en
hojas de
colores. 15 min.
*Evaluación
diagnóstica
*Heteroevaluación
*Lista de cotejo(Anexo 2)
Desarrollo
Presentación del tema a
los estudiantes con la
ayuda de diagramas. Se
define función y las dos
Diagramas
elaborados
en papel de
15 min.
condiciones que debe
cumplir: existencia y
unicidad. Para aclarar
dichas definiciones se
ejemplificarán. (Anexo 3)
A partir de lo visto hasta
el momento se mostrará a
los estudiantes una
manera de gráficamente
por diagramas de flechas
determinar si es función y
se darán algunos
ejercicios para practicar.
(Anexo 4)
Aclaración de dudas
Una vez clara la primera
parte se definirán los
elementos y la notación
de una función. (Anexo 5)
Se plantearán en la pizarra
seis ejercicios para que
practiquen lo avanzado
hasta el momento.
(Anexo 6)
Se pedirá a cuatro
estudiantes salir a la
pizarra a escribir el
ejemplo que debían
proponer.
colores.
Diagramas
elaborados
en papel de
colores.
Ejercicios
propuestos
*Ejercicios
propuestos
20 min.
10 min.
15 min.
15 min.
15 min.
*Evaluación
formativa.
*Heteroevaluación
*Lista de cotejo
Continuando con el
avance se les enseñará a
los estudiantes a graficar
en un eje cartesiano (para
lo que se utilizará una
cartulina cuadriculada
plastificada) los pares
ordenados del producto
cartesiano de dos
conjuntos. (Anexo 7)
Para practicar lo
aprendido se propondrán
seis ejercicios para
resolverlos en aula.
(Anexo 8)
A continuación se pasará
a clasificar las funciones
para lo que se utilizará
diagrama de Venn,
diagrama de flechas y
diagramas cartesianos
como al inicio del tema.
(Anexo 9)
Se aclarará las dudas que
tengan los estudiantes
acera de lo visto hasta el
momento y en los
ejercicios que resolvieron
por su cuenta. Los
estudiantes que quieran
participar lo harán en la
*Cartulina
cuadriculada y
plastificada.
*Ejercicios
propuestos
*Diagramas
elaborados en
papel de
colores
*Cartulina
cuadriculada y
plastificada.
20 min.
15 min.
35 min.
15 min.
*Evaluación
formativa.
*Heteroevaluación
*Lista de cotejo
pizarra.
Se realizará una actividad
en el patio para que los
estudiantes puedan
reforzar el conocimiento
adquirido, dicha actividad
será en grupos y se pedirá
que cada grupo elija a un
representante que será el
encargado de que todos
los miembros del grupo
trabajen y de que el
consenso con el otro
grupo con el que
trabajarán sea beneficioso
para ambos grupos.
(Anexo 10)
Para practicar los
estudiantes resolverán 12
ejercicios en su casa y los
presentarán la siguiente
clase (Anexo 11)
*Ejercicios
propuestos.
45 min.
10 min.
*Evaluación
formativa.
*Heteroevaluación
*Tarea: ejercicios
Finalización
Para resumir todo lo
avanzado hasta el momento
se presentará un crucigrama
que será evaluado y lo
resolverán en parejas (Anexo
12)
Después de resolver el
crucigrama se pedirá a los
*Crucigrama
previamente
elaborado
55 min. *Evaluación
sumativa
*Heteroevaluación
*Autoevaluación
*Crucigrama
estudiantes realizar una
autoevaluación para reforzar
los contenidos que no estén
claros. (Anexo 13)
15 min.
RECUPERACIÓN E INTRODUCCIÓN DE
CONCEPTOS IMPORTANTES EN EL TEMA
ANEXO 1
En álgebra se utilizan las letras para simbolizar toda clase de cantidades, por lo general las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto y las desconocidas por las últimas. Una misma letra puede representar distintos valores representándolos por medio de comillas como ser: a` , a``, a```
Variable.- Es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores.
Constante.- Es un símbolo al que solo se le asigna un valor.
Ecuación.- Es una igualdad entre dos expresiones que se denominan miembros de la misma.
Asíntota.- Son rectas que delimitan a las curvas, éstas se acercan pero sin llegar a tocarlas. Para su determinación se analizan tanto el numerador como el denominador de una función. Existen asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
Producto cartesiano.- Dado un conjunto “A” llamado conjunto de partida, y un conjunto “B” llamado conjunto de llegada, se define el producto cartesiano “A x B” entre ambos conjuntos como el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar: donde el primer componente pertenece a “A” y el segundo componente del par pertenece a “B”.
Relación.- Se dice que es una relación que aplica “A” en “B”, si es un subconjunto del Producto Cartesiano “A x B”, o sea que es un determinado conjunto de pares ordenados cuya primer componente pertenece a “A”, (llamado Conjunto de Partida) y cuya segunda componente pertenece a “B”, (Conjunto de Llegada).
LISTA DE COTEJO
ANEXO 2
Nº Nombres
Utiliza las formas
propias del lenguaje
funcional para
establecer
relaciones de
dependencia entre
variables.
Identifica la existencia de relaciones funcionales en la vida diaria, interpretándolas en forma de tabla.
Representa gráficamente las diferentes funciones mediante la interpretación de
tablas de valores.
Identifica e interpreta las características de una gráfica para obtener información de situaciones problema.
Identifica el tipo de función y determina Dominio y Rango para su aplicación en situaciones problema.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONDICIONES Y EJEMPLIFICACIÓN
ANEXO 3
Sean A y B dos conjuntos distintos del vacío. f es una función o aplicación de A en B si y solo si f es una relación entre A y B tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B.f es una función o aplicación de A en B si y solo si f es un subconjunto del producto cartesiano de A y B (en ese orden) que satisface las condiciones de existencia y unicidad.
1) Existencia: Todo elemento correspondiente al conjunto de Partida “A” debe tener una imagen en el conjunto de llegada “B”. Es decir que el dominio de la relación debe ser igual al conjunto de partida “A”. En lenguaje simbólico:
Un ejemplo de una relación que cumple la condición de existencia sería:
Pero esta condición de existencia no basta para asegurar que la relación sea función; debe cumplir también una segunda condición: la unicidad.
2) Unicidad: Cada elemento correspondiente al conjunto de Partida “A” debe tener una sola imagen en el conjunto de llegada “B”. Es decir que no puede haber un elemento del dominio asociado con dos valores distintos de imagen en el conjunto de llegada.En lenguaje simbólico:
RELACIÓN GRÁFICA
Si la relación se expresa gráficamente por diagramas de flechas, para determinar si es función habrá que revisar que desde cada elemento del conjunto de partida “A” salga una y sólo una flecha hacia algún elemento en “B”.Por ejemplo: en las siguientes relaciones expresadas por diagramas de flechas determinar si son o no funciones:
Las dos primeras son funciones puesto que cumplen las condiciones de existencia y unicidad; pero las dos restantes no son funciones al no satisfacer dichas condiciones simultáneamente.
Usamos estos diagramas de flechas sólo para una ilustración sencilla de los conceptos básicos de función, pero en la práctica los conjuntos de partida “A” y de llegada “B” son conjuntos de infinitos elementos puesto que son intervalos de la recta real.Por ello, no es posible hacer una representación mediante flechas de los también infinitos pares ordenados que pertenecen a la relación o función.
ANEXO 4
ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN
Dominio.- Son todos los elementos que pertenecen al conjunto de partida, en los ejemplos
manejados hasta ahora el conjunto A.
Codominio o rango.- Son todos los elementos que pertenecen al conjunto de llegada, en
los ejemplos manejados hasta ahora el conjunto B.
Regla o propiedad.- Es la encargada de vincular los elementos entre los conjuntos. Se da
con frecuencia como una ecuación de dos variables, generalmente denotadas por x, y.
NOTACIÓN
Las funciones suelen denotarse con las letras: f, F, g, G, h, H. Si f es una función entonces
para cada x en su dominio, la imagen correspondiente al rango se designa con el símbolo
se lee: “f de x” o “f en x”. Llamando a valor de f en el número x.
EJERCICIOS PROPUESTOS PARA EL AULA
ANEXO 5
ANEXO 6
Dadas las siguientes relaciones mediante diagrama de flechas, determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple:
Respuestas:
a) No es función (no hay existencia para "4")b) Sí es función.c) No es función (no hay unicidad para "2")d) Sí es función.e) No es función (no existe para "2" y "4" y no hay unicidad para "3")f) Sí es función.
GRAFICACIÓN EN EL PLANO CARTESIANOANEXO 7
Para representar estas relaciones o funciones se recurre entonces a la gráfica cartesiana. Los elementos del conjunto de partida “A” se ubican en el eje horizontal de abscisas y los elementos del conjunto de llegada “B” se ordenan en el eje vertical de ordenadas.Luego cada par ordenado (x;y) que pertenezca a la función se indica con un punto sobre el plano XY. La representación gráfica de la función es por tanto una curva plana compuesta por infinitos puntos.
Dada una relación en coordenadas cartesianas, para determinar si es función o no, se procede así:1) Se toma una recta vertical (de ecuación x = constante) y se “barre” con ella todos los elementos del conjunto de partida “A” especificados.2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una y sólo una vez a la gráfica dada, la misma corresponde a una función.Si no la corta en algún punto o la corta más de una vez, no corresponderá a una función.
EJERCICIOS PROPUESTOS PARA EL AULAANEXO 8
Dadas las siguientes relaciones mediante diagramas cartesianos "XY", determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple.
RESPUESTAS
a) Sí es función.b) No es función (no hay unicidad en todo el intervalo (1,5]).c) Sí es función.d) No es función (no hay existencia para el intervalo (4;5])e) No es función (no hay existencia para "1" y "5")f) Sí es función.
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONESANEXO 9
Las funciones pueden clasificarse en:
Se sobreentiende que antes de clasificar funciones debe constatarse que realmente se trata de relaciones funcionales o funciones, mediante la comprobación de las condiciones de existencia y unicidad.Como vemos, una función puede no caer dentro de alguna de estas tres categorías; no ser inyectiva, ni suryectiva ni biyectiva, como queda reflejado en el diagrama de Venn precedente.Esta clasificación de funciones se hace con el objeto de estudiar si las funciones admiten una función inversa o no.Una relación cualquiera siempre admite una relación inversa, como hemos visto. Pero una función tiene que cumplir ciertos requisitos para que la relación inversa también sea función (o sea también cumpla las condiciones de existencia y unicidad). Con miras a establecer si una función podrá invertirse o no, existen los siguientes tipos de funciones:
Función inyectiva
Una función "f" que aplica "A" en "B" es inyectiva si cada elemento del conjunto de llegada "B" es imagen de un solo elemento del conjunto de partida "A" o de ninguno.En otras palabras, "f" es inyectiva si cada elemento de "B" es imagen de un elemento de "A" como máximo.Dado una función mediante un diagrama de flechas, es inyectiva si a cada elemento de "B" llega una sola flecha o ninguna. O sea, si a cada elemento de "B" llega una sola flecha como máximo.Dada una función en coordenadas cartesianas, para determinar si es inyectiva, se procede así:1) Se toma una recta horizontal (de ecuación y = constante) y se “barre” con ella todos los elementos del conjunto de llegada “B” especificados.2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una sola vez o ninguna vez a la gráfica dada, la función es "inyectiva".
Por lo tanto una función inyectiva "pura" no admite una función inversa.
Función suryectiva
Una función "f" que aplica "A" en "B" es suryectiva si cada elemento del conjunto de llegada "B" es imagen de uno o más de un elemento del conjunto de partida "A".En otras palabras, "f" es suryectiva si cada elemento de "B" es imagen de un elemento de "A" como mínimo. De manera que la imagen de una función suryectiva coincide exactamente con el conjunto de llegada.Dado una función mediante un diagrama de flechas, es suryectiva si a cada elemento de "B" llega una flecha o más de una. O sea, si a cada elemento de "B" llega una flecha como mínimo.Dada una función en coordenadas cartesianas, para determinar si es suryectiva, se procede así:1) Se toma una recta horizontal (de ecuación y = constante) y se “barre” con ella todos los elementos del conjunto de llegada “B” especificados.2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una vez o más de una vez a la gráfica dada, la función es "suryectiva".
Función suryectiva
Una función "f" que aplica "A" en "B" es biyectiva si cada elemento del conjunto de llegada "B" es imagen de uno y sólo un elemento del conjunto de partida "A".La función "f" es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez. La imagen de una función biyectiva también coincide exactamente con el conjunto de llegada.Dado una función mediante un diagrama de flechas, es biyectiva si a cada elemento de "B" llega una y sólo una flecha.Dada una función en coordenadas cartesianas, para determinar si es biyectiva, se procede así:1) Se toma una recta horizontal (de ecuación y = constante) y se “barre” con ella todos los elementos del conjunto de llegada “B” especificados.2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una y sólo una vez a la gráfica dada, la función es "biyectiva".
Como vemos, la función biyectiva es la única función que admite una función inversa.
Actividad en el patio
Se dividirá al curso en grupos de cinco estudiantes, el trabajo lo realizarán entre dos grupos, una vez definidos los grupos y las parejas de grupos, se pedirá que se acomoden frente a frente:
Ejemplo:
Parejas de grupos que trabajan:
Grupo 1 – Grupo 5 Grupo 2 – Grupo 6 Grupo 3 – Grupo 7 Grupo 4 – Grupo 8
Los estudiantes de los grupos 1, 2, 3 y 4 serán los conjuntos de partida y los estudiantes de los grupos 5, 6, 7 y 8 serán los conjuntos de llagada. A cada pareja de grupos se le proporcionará cuatro pares de sobres, a cada par se le asignará una propiedad que es la encargada de vincular los elementos entre los conjuntos, además cada sobre tendrá una hoja en blanco para la respuesta del grupo.
Ejemplo:
Para el primer par de sobres la propiedad será que sea el mismo color, cada estudiante del conjunto de llegada deberá sacar al azar un color de uno de los sobres, la regla o propiedad que deberá cumplir es que sean colores iguales:
Ejemplo:
ANEXO 10
Cada grupo, después de analizar y quedar en un acuerdo deberá escribir en la hoja en blanco si la relación que se forma es función o no y deberá justificar su repuesta, a continuación deberán elegir un representante que entregará el sobre con su respuesta.
Ejemplo:
En los siguientes tres sobres todas las parejas de grupos serán funciones pero deberán decidir si son funciones inyectivas, suryectivas, biyectivas o ninguna, justificando sus respuestas.
Segundo par de sobres:
Nº de grupos Conjunto de partida Propiedad Conjunto de llegada
1 – 5 2+1, 2+2, 7+0, 6+1, 3+5Resultado de la
suma3, 7, 8, 4, 10
2 – 6 3+3, 8+1, 3+7, 0+5, 2+6Resultado de la
suma6, 10, 9, 8, 5
3 – 7 5+1, 6+3, 2+5, 2+0Resultado de la
suma6, 9, 2, 7, 3, 8
4 – 8 1+4, 3+8, 6+2, 5+0, 1+1Resultado de la
suma5, 8, 11, 2
Grupos 1 y 5
Es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
Grupos 3 y 7
No es función porque no hay existencia para negro y para verde, no hay unicidad para amarillo.
Tercer par de sobres:
Nº de grupos Conjunto de partida Propiedad Conjunto de llegada
1 – 5 3*4, 2*1, 6*3, 2*8, 4*5 Producto 20, 12, 18, 16, 2
2 – 6 5*1, 2*4, 4*3, 3*3 Producto 8, 9, 12, 5, 3, 2
3 – 7 5*4, 3*4, 10*2, 6*2, 4*1 Producto 20, 4, 12
4 – 8 16*1, 4*4, 2*8, 8*2, 1*16 Producto 16, 2, 4, 8, 3
Cuarto par de sobres:
En ésta parte del trabajo se les pedirá que cada pareja de grupo pueda plantear una función del tipo que le toque en el sobre, los sobres tendrán hojas en blanco y el tipo de función.
Nº de grupos
Conjunto de partida
Propiedad Conjunto de llegada Tipo de función
1 – 5 Inyectiva
2 – 6 Suryectiva
3 – 7 Suryectiva
4 – 8 Biyectiva
TAREA PARA LA CASA
1) Dadas las siguientes funciones mediante diagramas de flechas, clasificarlas como inyectivas, suryectivas, biyectivas o indicar si la función no se ajusta a ninguna clase mencionada:
2) Dadas las siguientes funciones mediante diagramas cartesianos, clasificarlas como inyectivas, suryectivas, biyectivas o indicar si la función no se ajusta a ninguna clase mencionada:
ANEXO 11
Respuestas:
1)
2)
CRUCIGRAMA: FUNCIONES
Horizontales
1. Una de las condiciones que debe cumplir una función es……………y dice que todo elemento del conjunto de partida debe tener una imagen en el conjunto de llegada.
2. La recta que delimita a la curva y se acerca a ésta pero sin tocarla de llama……………………….3. Si en una función cada elemento del conjunto de llegada es imagen de un solo elemento del conjunto de
partida, la función es……………….4. La variable cuyo valor depende de la otra se llama variable…………………….5. A todos los elementos que pertenecen al conjunto de partida se les llama……………… .6. Una de las condiciones que debe cumplir una función es……………y dice que todo elemento del
conjunto de partida debe tener una y solo una imagen en el conjunto de llegada.7. Doctrina política favorable a la intervención del pueblo en el gobierno.8. ¿Que nombre recibe una función que es inyectiva y suryectiva a la vez?9. Es la encargada de vincular los elementos entre los conjuntos10. Acción y efecto de organizar u organizarse.11. Es una igualdad entre dos expresiones que se denominan miembros de la misma
Verticales
1. Es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores.2. Es un símbolo al que solo se le asigna un valor.3. Son todos los elementos que pertenecen al conjunto de llegada.4. La variable cuyo valor no depende de ningún otro se llama variable…………………….5. Se dice que es una………… que aplica “A” en “B”, si es un subconjunto del Producto Cartesiano
“A x B”.6. Cuando al graficar los elementos del conjunto de partida se ubican en un eje horizontal y los elementos
del conjunto de llegada en un eje vertical se llama plano………….7. Si cada elemento del conjunto de llegada es imagen de uno o más de un elemento del conjunto de
partida, la función es………………….8. Conjunto de las personas de un pueblo, región o nación vinculadas por características o intereses
comunes.9. Establecimiento de enseñanza para niños y jóvenes, de uno u otro sexo.
.
Con todo lo visto hasta el momento tienes lo necesario para llenar el siguiente crucigrama. Ten mucho ánimo y ponle ganas.
Con todo lo visto hasta el momento tienes lo necesario para llenar el siguiente crucigrama. Ten mucho ánimo y ponle ganas.
ANEXO 11ANEXO 12
4
1
6 6
5
2 7
1
2
8
11
3 9
7
3 10
4
5 8
9
SOLUCIÓN DEL CRUCIGRAMA
4
1 I
V 6 U N I C I D A D 6
A D 5 C
R 2 7 D E M O C R A C I A
1 E X I S T E N C I A P E R
2 A S I N T O T A E L T
B N N A E 8
L S D C S 11 E C U A C I O N
E T I I I O
A 3 E O A M 9
N R N N 7 N U C
3 I N Y E C T I V A T S 10 O R G A N I Z A C I O N
4 D E P E N D I E N T E U I L
G R D E
5 D O M I N I O 8 B I Y E C T I V A G
E D I
C O
T
9 P R O P I E D A D
V
A
AUTOEVALUACIÓN
4: Muy bien
3: Bien
2: Más o menos
1: Para nada
Comprendo la diferencia que hay entre relación y función.
Comprendo el concepto de función.
Puedo representar una función mediante diagramas de flechas y gráficas en el eje de coordenadas cartesianas.
Reconozco el dominio y el rango de una función.
Identifico el tipo de función (inyectiva, suryectiva, biyectiva o ninguna)
Observaciones y sugerencias
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
ANEXO 13