secuencia funciones 2 año secundaria

I.S.F.D. Nº813 Lago Puelo, CHUBUT Año: 2012 Practica IV Carina Doñas SilvaLuppi P., Zuliani C., Lera C.

Tema: Relaciones y Funciones en Q

Fundamentación

Conceptos como los de relación y función han adquirido un alto grado de desarrollo tanto para la enseñanza como para la aplicación de la matemática , debido a que su asimilación y percepción se facilita a través de algunos de los sentidos y el ejercicio de la razón: las relaciones y funciones las pueden ver sobre el plano cartesiano o escuchar a partir de los enunciados que se usan para describir situaciones prácticas como, por ejemplo, la trayectoria de una pelota de golf; las pueden deducir de las ecuaciones que las representen, o construir a partir de tablas de valores. Son éstas cuatro formas diferentes de abordar los mismos conceptos, que penetran el cerebro humano por dos vías físicas separadas: la visión y el oído; y dos procesos de abstracción complementarios: decodificación de símbolos y razonamiento.

Estas cualidades: visualización, experiencia, simbolización y sistematización, presentes a la vez en los conceptos relación y función, mas no frecuentes simultáneamente en la generación de otros conceptos matemáticos, nos permiten clasificarlos como muy interesantes para ser abordados a la luz de las modernas teorías de enseñanza y aprendizaje.

La forma histórica como fueron apareciendo los conceptos que hoy constituyen el cálculo se asemeja al modo como se van escogiendo las piezas cuando se está armado un rompecabezas. En ese sentido, si no se poseen todas las piezas no es posible armarlo, y peor aún, si se carece de ciertas piezas clave, no quedamos con la menor idea de lo que el rompecabezas representa o esconde. Ahora, cuando poseemos una visión más global, podemos afirmar que el cálculo en su estructura tiene un fundamento evidentemente geométrico, a partir del cual se engendraron y desarrollaron varios de sus elementos, y tres grandes componentes conceptuales que son:

Los fundamentos en la teoría de los conjuntos numéricos y las operaciones básicas del álgebra.

Los conceptos relación y función en una o más variables reales.

Un cuerpo compuesto con los conceptos propios del cálculo, a saber: límites, continuidad, derivadas e integrales y sus correspondientes aplicaciones.


Cada uno de estos componentes por sí solos no constituyen el cálculo, y la ausencia de alguno dejaría sin sentido, o al menos truncada, la integración entre los otros; así, la geometría facilita la materialización de los conceptos; la teoría de conjuntos y el álgebra se sitúan como requisitos sin cuyo conocimiento se hace imposible comprender y manipular los elementos propios del cálculo, como la determinación de límites, derivadas e integrales; las relaciones y funciones se convierten en el enlace natural entre los fundamentos y los elementos propios del cálculo, por lo que se pueden considerar como los conceptos clave sin los cuales los demás conceptos específicos del cálculo no habrían adquirido su pleno desarrollo; de hecho, el concepto de continuidad sería indefinible, no pasaría de ser una idea, excepto por la continuidad parcial que se puede encontrar en una figura geométrica; y el cálculo de límites, derivadas e integrales sin considerarlos aplicados a funciones de variable real, no serían más que ejercicios con alguna trascendencia teórica, o a lo sumo, aplicables en situaciones geométricas muy específicas como la valoración de áreas o volúmenes de superficies y sólidos regulares.

La depuración teórica histórica que consolidó los conceptos relación y función, conjuntamente con la apropiación de un espacio para su representación a través del plano cartesiano, se constituyeron en las piezas clave que, por un lado, posibilitó el "salto" de lo abstracto a lo concreto, mediante la doble opción que se ofrece de representación visual y tabulación numérica, para la comprensión de los conceptos relación, función y límite, continuidad, derivada e integral; y, por otro, se construyó un "puente", fundamentado en la interpretación y solución de ecuaciones, que permitió fortalecer el conocimiento de las operaciones algebraicas con sus propiedades y aplicaciones en el cálculo de límites, derivadas e integrales, así como en la demostración de varios de los teoremas y proposiciones básicas del cálculo en general.

Finalmente y a modo de conclusión, podemos afirmar que la ciencia, como la conocemos hoy en día, no sería concebible sin el concepto de función, una formidable herramienta matemática que nos permite expresar muchas leyes de la naturaleza y solucionar multitud de problemas prácticos en las más diversas disciplinas.

Objetivos

Que el alumno sea capaz de:


Reconocer una relación en un conjunto numérico.

Identificar diferencias entre variables dependientes e independientes.

Reconocer qué condiciones deben cumplirse entre dos variables para que la relación entre ellas pueda ser considerada función.

Determinar Dominio e Imagen de una relación, una función y su Inversa.

Tabular los datos y representar en un plano cartesiano puntos de una función y de una relación.

Clasificar una función (Inyectiva, Sobreyectica y Biyectiva).

Determinar las condiciones de existencia para que una función admita inversa.

Metodología

Las consignas con las actividades se darán en forma impresa por parte del docente con el objetivo de maximizar el recurso tiempo. Los gráficos que se les piden a los estudiantes en determinadas consignas podrán ser realizados en el programa Geogebra siempre y cuando ellos lo estimen conveniente.

La dinámica de la clase será de forma constructiva- expositiva, en ese orden, con el objetivo de poner a los estudiantes en una situación a- didáctica donde el docente intervenga como mediador solo en el caso de ser necesario.

Los alumnos trabajaran en forma grupal (2 -3 estudiantes por grupo), de manera de no interrumpir la dinámica con la que ellos vienen trabajando como fue visto durante la observación diagnostica previa a la puesta en acción de la unidad didáctica.

Las puestas en común tienen como función principal poder conjeturar en forma colectiva para poder alcanzar el conocimiento que la actividad y el objetivo de la clase plantea.

Primera clase 3 hs cátedra.

Objetivo: Reconocer y diferenciar relación y función.


Actividad nº1

1. El diagrama de la figura es un árbol genealógico de los descendientes de su familia (desde sus abuelos).

Suponga que 1 y 2 son sus abuelos (abuela y abuelo), y que en la segunda línea están los hijos (su papá y sus tíos), y en la tercera líneas ustedes (los hijos, sus primos). Establezca relaciones y grafíquelas en un Diagrama de Venn

R1 = ___es padre de ___ R2 = ___es madre de ___ R3 = ___es hermano de ___ R4 = ___es cónyuge de ___

2. Si arrojamos simultáneamente dos dados, ¿Cuáles y cuantos resultados posibles podemos obtener?

Graficar en un plano cartesiano todos los pares ordenados sabiendo que A (x) es el conjunto de los resultados del primer dado y B (y) es el conjunto de los resultados del segundo dado.

Determinar por extensión y graficar en un diagrama de Venn pares ordenados que cumplen con las siguientes condiciones. R1: x es mayor que y.R2: y es mayor que x.R3: La suma de las dos componentes es 9. R4: el cociente entre x e y es -1

3. Para seguir la evolución de un enfermo de gripe tratado con un determinado medicamento, se le tomo la temperatura cada hora, desde las 10 h de la mañana hasta las 20 h de la noche. Los datos se volcaron en una tabla que se muestra a continuación:

Temperatura ºC 36.5 37 37 37.5 37.5 38 38 38.2

38 39 40

Tiempo (en 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


horas)

Graficar los puntos en un plano cartesiano y en un diagrama de Venn.

Para esta actividad se les mencionara a los estudiantes que al estar trabajando en un contexto determinado tomamos a la variable tiempo como no continua.

Luego del trabajo individual/grupo por parte de los alumnos, se hará la puesta en común para iniciar a los alumnos en el concepto de relación y la diferencia con el concepto de función como un caso particular de relación. La intención del docente es que puedan en primer lugar visualizar las diferencias entre función y relación en los diagramas de Venn y luego en el plano cartesiano.

Posterior a la puesta en común y una vez que el concepto haya sido visualizado y aceptado por todos los estudiantes se definirá relación y función.

Relación

Def: Una relación es una correspondencia que asocia elementos del conjunto A, llamado conjunto de partida de la relación, con elementos del conjunto B, llamado conjunto de llegada.

En símbolos matemáticos:

x R y ˂=> x ϵ A, y ϵ B y x está relacionado con y según R

El dominio de una relación es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que están relacionados con, al menos, un elemento del conjunto de llegada.

La imagen de una relación es el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del dominio de la relación.


Dom R = {x ϵ A / existe y ϵ B con x R y}Img R = {y ϵ B / existe x ϵ A con x R y}

Función


Def: Una función de A en B es una relación que asocia a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B, llamado su imagen.


La relación f: A→B es una función si y sólo si para todo x ϵ A existe un único

y ϵ B que es su imagen, esto es y = f (x)

La variable x ϵ A (Dominio) se denomina variable independiente y la variable y ϵ B (Imagen) se denomina variable dependiente.

Luego de definir los conceptos básicos se les pedirá a los alumnos que traigan para la siguiente clase, los conjuntos Dominio e Imagen de las funciones y relaciones que trabajaron en clase.

Segunda clase 2 hs cátedra.

Objetivo: Que el alumno diferencie entre función y relación; que el alumno se apropie de la notación.

Actividad nº2

1) Dados los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {x, y, z, w}

Indicar cuáles de las siguientes relaciones son funciones de A en B R1= {(a, x), (b, y), (c, w)} R2= {(a, w), (b, z), (c, y), (a, x)} R3= {(a, z), (b, y), (c, y)}

2) Dado el conjunto: A = {0, 2, 3, 4}Indicar cuáles de las siguientes relaciones son funciones de A en A

R1= {(x, y) / (x, y) e A x A, x + 2 = y} R2= {(x, y) / (x, y) e A x A, x = y}

3) Sabiendo que f = {(2, 5), (– 1, – 1), (0, 1), (3, 7), (– 2, – 3)} encuentren: Dominio de f. Imagen de f. Completar: f (3) =… f (…) = 5 f(0) = …


4) ¿Las siguientes relaciones son o no funciones? Fundamenta tu respuesta. En caso de que lo sean determinar dominio e imagen.

Dom: Q (Conjunto nºs Racionales) Dom: Q (Conjunto nºs Racionales)

Dom: Q (conjunto nºs Racionales) Dom: Q (Conjunto nºs Racionales)

5) Sea el dibujo, la representación gráfica de una función f.Observando el dibujo contestar:

f (3) =.... f (– 1) =... f (0) =... Encontrar {x / f(x) = 0} Encontrar {x / f(x) = 1} Encontrar las preimágenes de 5 y la imagen de 6.


Después del desarrollo de los ejercicios planteados en la actividad nº2 que tienen por objetivo la apropiación de los estudiantes de las diferencias entre relación y función, el docente hará la puesta en común para socializar dudas y dificultades que surjan a partir del trabajo individual o grupal, para en una segunda instancia poder trabajar con los distintos registros de las funciones.

Tercera clase 3 hs cátedra.

Objetivo: Que el alumno trabaje con los distintos registros de las funciones.

Actividad nº 3

1) Una taza de café se calienta hasta que alcanza una temperatura de 95°. La taza se expone al medio ambiente el cual se encuentra a una temperatura de 25° C.

A continuación te mostramos la tabla de la temperatura con respecto al tiempo.

Determina: ¿cuál es la variable dependiente y cual la independiente? Haz un gráfico con los datos de la tabla. Determinar dominio e imagen de la función. ¿Cuál es la menor temperatura que va alcanzar la infusión? ¿Entre que intervalo de tiempo desciende con mayor intensidad

la temperatura? ¿Qué conjeturas podemos deducir de este comportamiento?


2) Dado un triangulo equilátero. Escribe la función que determina todos los perímetros posibles. Realiza una tabla con los valores x=1, x=3, x=5, x=7 x= 3/2, x= 9/4 siendo x el lado del triangulo. Representa los puntos en un plano cartesiano. ¿Cuál es el dominio de la función? ¿La variable independiente puede tomar valores negativos o cero? fundamenta tu respuesta.

3) A partir del grafico de la función f, completar una tabla con los valores que están registrados y determinar su expresión algebraica.

minutos Temperatura

½ 85º

1 75º

2 70º

3 65º

3.5 62.5º

4 60º

5 53º

5.5 51º

6 49º

7 48º

9 47º

10 47.5º


Al finalizar la actividad nº 3 se hará una puesta en común para socializar dudas y así poder seguir avanzando en la secuencia. Se retomara en el pizarrón los distintos registros que están presentes en una función y se institucionalizara algo de notación con respecto a la expresión algebraica de una función, el dominio y su imagen.

f : A→B / f ( x )= y

¿Qué posibles dominios tienen las funciones?

f :N→N

g :N→Z

h :Z→Q

El objetivo del interrogante es poder instar a los alumnos a que puedan conjeturar a partir de dominios no finitos que es como veníamos trabajando hasta el momento.En esta parte de la secuencia el docente los invitara a relacionar la correspondencia entre el conjunto de los números naturales y la recta numérica o el conjunto de los números enteros y la recta real, conocidas por ellos, pero no especificadas desde la perspectiva de funciones y sus dominios.


Cuarta clase 2 hs cátedra.Objetivo: Que el alumno determine restricciones en el dominio.

Actividad nº 4

Graficar las siguientes funciones, hallar dominio e imagen.

¿Existe algún numero que lo sustituyo en x y no tenga resultado?

1. y=x+22. h( x)=4

3. z (x )=1x

4. g ( x )=√ x+15. f ( x )=2/(x+3)6. y= 3√x+1

Posibles dominios N Z Q

El objetivo de esta actividad es analizar y conjeturar cómo podemos restringir un dominio dado, con el fin de poder hacer que esa función no presente inconvenientes desde lo algebraico, no se hablara de discontinuidad ya que los estudiantes aun no han llegado a determinar la recta real como un conjunto continuo e infinito de puntos.

Quinta clase 3 hs cátedra.

Objetivo: Que el alumno sea capaz de clasificar funciones

Actividad nº 5

De las siguientes funciones, graficar en un diagrama de Venn y determinar las diferencias.

Dado:

A={0,1,2,3,4,5 } B={0,1,4,5,9,16,25 }

a¿ f : A→B/ y=x2

C={−2 ,−1,0,1,2,3 } D={4,1,0,1,4,9 }

b¿ g :C→D / y=x2

E={0 , 12 ,3 ,3.5 ,4,5} F={0 , 14 ,9 ,12.25 ,16,25}


c ¿h :E→F/ y=x2

Después de hacer la puesta en común, se guiara a los estudiantes a las nociones de Inyectividad, Sobreyectividad y Biyectividad.

Una función es Inyectiva si y solo si para todo elemento del dominio se

cumple que: x1 ≠ x2 ¿> f (x1 )≠ f (x2)

Una función es Sobreyectiva si y solo si todo el conjunto imagen de la función tiene una pre imagen.

Una función es Biyectiva si y solo si es inyectiva y biyectiva.

Si pensamos en Dominios y Codominios infinitos, podemos reescribir las funciones a, b, c.

a) f :N→N/ y=x2

b) g :Z→Z / y=x2

c) h :Q+→Q+¿/ y=x2

¿Cómo podemos hacer para que la función a) sea Biyectiva?

¿Podemos hacer algo para que la función b) sea inyectiva?

Luego de que los alumnos hayan aprehendido la nocion de Inyectividad , Sobreyectividad y Biyectividad, se definirá función inversa.

Def: una función admite inversa, y esta es función si y solo si la función es biyectiva, en símbolos matemáticos:

f ( x ) es Biyectiva≤¿∃ f−1/ f−1 es funcioninversa

Actividad de aplicación:

Determinar si las funciones de la actividad nº4 admiten inversa de lo contrario determinar si son Sobreyectivas o Inyectivas.


Sexta clase 2 hs cátedra.

Objetivo: movimientos como función Biyectiva, función inversa.

Actividad nº5

Consigna: Dado un triangulo ∆ abc aplicar:

a) una traslación de vector E.b) construir la tabla de homología.

Como hemos visto anteriormente una transformación rígida en el plano me transforma una figura A en otra A’, que al ser rígida me transforma cada punto p en otro p’.

A partir de esto

¿Qué podemos afirmar de los movimientos rígidos en el plano?

¿En símbolos matemáticos como podemos representarlo?

f : π→π

Si son funciones, ¿admiten inversa?

Las conjeturas a partir de la actividad nº5 se harán de forma conjunta en el pizarrón con el docente como mediador, el objetivo es que los estudiantes a partir de la tabla puedan ver a los movimientos como una función biyectiva que admite inversa.

-1 -2 30 1 2

2 1 -2 3 -4 4


Instrumento de evaluación

1) De las siguientes relaciones determinar cuál es función de A→B, de las que son determinar dominio e imagen.Sea A= {1,2,3 , }B={a ,b , c }

a) R1={(1 , a ) ; (2 , b ) ; (2, c ) ; (3 , a ) ; (3 , c ) ;(1 , c )}b) R2= {(1 , a ) ; (2 , b ) ;(3 , c) }

2) Graficar en un plano cartesiano las siguientes funciones. Determinar imagen.

f :Z− {0 }/ f ( x )=3/ x f :Z+¿/ y=3√ x¿

3)

a) De la siguiente función determinar las restricciones posibles del dominio e imagen para que sea función inyectiva. Dado A={−2 ;−1;3 ;0 ;1 ;2 } y B={1 ;−2 ;2 ;3 ;−4 ;4 }

b) De la siguiente función determinar las restricciones posibles del dominio e imagen para que sea función sobreyectiva.

Dado A={−2 ;−1;3 ;0 ;1 ;2 } y B={1 ;−2 ;2 ;−3 ; 4 ;0 ;3 }


4) Varios amigos deciden ir al camping y llevan una cuerda para delimitar su territorio. Se colocan junto a un rio por lo que el recinto rectangular que forman con los 50 m de cuerda sólo tiene tres lados (2 anchos y 1 largo).

a) Si deciden formar un recinto de 15 m de ancho ¿cuál será su longitud? b) ¿Cómo cambia la longitud cuando varía el ancho? c) ¿Cuál será el área del recinto según su ancho? d) Dibuja una gráfica aproximada que describa b) y c).

5) Crea una situación problemática que:

a) Represente una relación que sea función inyectiva. b) Grafícala en un diagrama de Venn y en el plano cartesiano. c) Determina dominio e imagen de dicha función.d) Realiza los cambios necesarios para que sea biyectiva.

Criterios de acreditación:

- Si responden correctamente las preguntas 1;2 y 3 la nota es 7- Si responden correctamente las preguntas 1;2;3 y 4 la nota es 10- Si responden correctamente la pregunta 5 la nota es 10 - Cualquier otra combinación la nota estará dada por suma de puntos. Ej:

1; 2 ;4 la nota es 7,5.


Bibliografía:

- M Guzmán- J Colera, Matemáticas. Bachillerato 1. Editorial Anaya.

- Mónica Bocco; dirigido por juan Manuel Kirschenbaum, Funciones elementales para construir modelos matemáticos /.1a ed. - Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación. Instituto Nacional de Educación Tecnológica, 2010.

- Matías Graña y otros.Los números: de los naturales a los complejos / 1a ed. - Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación. Instituto Nacional de Educación Tecnológica, 2009.

- Armando Rojo, Algebra. ed. El Ateneo.


Unidad didáctica

“Relaciones y Funciones”

secuencia funciones 2 año secundaria

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