planificacion de transporte

Ingeniera de Transportes I

Facultad de Ingeniera Civil

Anlisis de la Demanda de viajes. Procesos para la Estimacin de Viajes

1.Generacion de Viajes.

2. Distribucin de viajes

3. Seleccin del modo

4. Asignacin del trnsito.

Edicin: Ivet Anguizola.

Angelino Harris

Ing. de Transportes I. Anlisis de la Demanda de Viajes.

1

Contenido.

1. Introduccin. ................................................................................................................................................................. 3 1.1. Enfoques para la estimacin de la demanda. ............................................................................................................... 3

1.2. Factores que influyen en la demanda de viajes. ........................................................................................................... 3

1.3. Secuencia de etapas para la estimacin de viajes. ........................................................................................................ 4

2. Generacin de viajes. .................................................................................................................................................... 5 2.1. Clasificacin cruzada. .................................................................................................................................................. 5

Ejemplo .1 ....................................................................................................................................................................... 5

2.2. Modelo lineal de Generacin de Viajes: ...................................................................................................................... 9

Ejemplo 2 : ...................................................................................................................................................................... 9

3. Distribucin de viajes. ............................................................................................................................................... 13 3.1. Modelo de gravedad. ................................................................................................................................................. 14

Ejemplo 3 : ................................................................................................................................................................... 15

Ejemplo 4. .................................................................................................................................................................... 17

3.2. Modelos de factor de crecimiento ............................................................................................................................. 21

Ejemplo 5. .................................................................................................................................................................... 21

4. Seleccin del modo o Distribucin modal. ................................................................................................................ 23 4.1. Mtodos de generacin directa. ................................................................................................................................ 23

Ejemplo 6. .................................................................................................................................................................... 24

4.2. Los modelos de viaje ................................................................................................................................................ 24

4.3. Los modelos de intercambio de viajes. ...................................................................................................................... 25

4.3.1. El mtodo QRS se basa en la siguiente relacin: ............................................................................................... 25

Ejemplo 7. .................................................................................................................................................................... 26

4.3.2. Modelos lgicos. ................................................................................................................................................ 27

Ejemplo 8. .................................................................................................................................................................... 28

5. Asignacin del trnsito. ............................................................................................................................................. 34 5.1. La curva de desviacin .............................................................................................................................................. 34

Ejemplo 10. .................................................................................................................................................................. 35

Ejemplo 11. .................................................................................................................................................................. 37

5.3. La restriccin de la capacidad ................................................................................................................................... 38

Ejemplo 12. .................................................................................................................................................................. 39

6.Otros mtodos para la prediccin de la demanda. ...................................................................................................... 39 6.1. Anlisis de tendencias .............................................................................................................................................. 39

6.1.1. Elasticidad de la demanda .................................................................................................................................. 40

Ejemplo 13. .................................................................................................................................................................. 40


2

7. Anexos. ...................................................................................................................................................................... 40 7.1. Regresin Lineal simple............................................................................................................................................ 40

7.2. Regresin Nolineal directa. ....................................................................................................................................... 43

Ejemplo 14 : ................................................................................................................................................................. 43

7.4. Prueba de CONSISTENCIA de los PARAMETROS y y del MODELO. ....................................................... 45

7.5. Prueba de hiptesis para los parmetros y . ........................................................................................................ 46

7.5.1. Parmetro : ...................................................................................................................................................... 46

7.5.2.Parmetro : ....................................................................................................................................................... 47

7.6.Prueba de ajuste global del modelo. ........................................................................................................................... 48

Ejemplo 15. .................................................................................................................................................................. 49

8. Conclusiones ............................................................................................................................................................. 52 9. Bibliografa ................................................................................................................................................................ 52


3

1. Introduccin.

La demanda de viajes es el nmero de personas o de vehculos por unidad de tiempo que puede esperarse

viajen en un determinado segmento de un sistema de transporte, bajo un conjunto de condiciones dadas de uso

del suelo, socioeconmicas y ambientales. Las estimaciones de la demanda de viajes, se usan para establecer el

futuro volumen vehicular o para modificar las alternativas del sistema de transporte. Los mtodos pueden ser,

desde una simple extrapolacin de las tendencias observadas, hasta un proceso computarizado sofisticado que

incluya una amplia recopilacin de datos y modelacin matemtica. El proceso es tanto un arte como una

ciencia, ya que requiere tener criterio con relacin a los diferentes parmetros, entre ellos: poblacin, tenencia de

automviles, etc., que constituyen la base de una prediccin de viajes. Los mtodos utilizados dependen de la

disponibilidad de datos, y de las restricciones especficas del proyecto, tales como la disponibilidad de

presupuesto y los programas del proyecto.

1.1. Enfoques para la estimacin de la demanda.

Existen dos situaciones bsicas en la estimacin para la planificacin del transporte. Los estudios de la

demanda de viajes para las reas urbanas, y la demanda de viajes interurbanos.

Para los viajes urbanos, cuando se desarrollaron por primera vez en las dcadas de los cincuenta y sesentas,

requeran de grandes bases de datos usando encuestas domiciliarias, encuestas a un lado del camino o ambas. La

informacin recopilada proporcionaba una idea con relacin a las caractersticas de quien realizaba el viaje,

como: edad, sexo, ingreso, tenencia de automvil, as como uso de suelo en cada uno de los extremos del viaje y

el modo de viaje. Luego se agregaban los datos de viaje por zonas, y/o ser utilizados a un nivel ms desagregado

o ambas cosas es decir, en el mbito familiar o individual para formular relaciones entre las variables y calibrar los modelos. En el caso interurbano, los datos se agregan en mayor grado a la prediccin de viajes, tal

como para la poblacin de la ciudad, por ingreso promedio de la ciudad, tiempo de viaje y / o el costo de viaje

entre los pares de ciudades.

Para la calibracin y prueba de modelos de generacin de viajes, distribucin, seleccin modal y

asignacin de trnsito, se usaron las bases de datos que se establecieron en los estudios del transporte urbano

durante el periodo 1955-1970. Estos esfuerzos de recoleccin y calibracin de datos implicaron una inversin

importante de dinero y recursos de personal, y los estudios necesarios se basaron en la actualizacin de la base

de datos existente y en el empleo de modelos que haban sido desarrollados anteriormente.

1.2. Factores que influyen en la demanda de viajes.

Tres factores afectan la demanda de los viajes urbanos: ubicacin y la intensidad del uso del suelo;

caractersticas socioeconmicas de las personas que viven en el rea; y alcance, costo y calidad de los servicios

disponibles de transporte. Estos factores se incorporan en la mayor parte de los procedimientos de prediccin de

viajes.

Las caractersticas del uso del suelo son un determinante primordial de la demanda de viajes. La cantidad de

trnsito generada por un rea urbana depende de cmo se utilice este terreno. Por ejemplo, centros comerciales,

complejos residenciales y edificios de oficinas, producen diferentes patrones de generacin de viajes.

Las caractersticas socioeconmicas de las personas que viven dentro de la ciudad tambin influyen en la

demanda del transporte. Los estilos de vida y los valores, afectan la forma en que las personas deciden cmo

usar sus recursos para el transporte. Por ejemplo, un rea residencial constituida por trabajadores de altos

ingresos, va a generar ms viajes por automvil por persona, que un rea residencial poblada principalmente por

pensionados.

La disponibilidad de las instalaciones y de los servicios de transporte, denominada como la capacidad,

tambin afecta la demanda de los viajes. Los viajeros son sensibles al nivel de servicio suministrado por los

modos alternativos de transporte. Cuando se decide viajar o qu modo emplear, se consideran atributos tales


4

como tiempo de viaje, costo, comodidad y seguridad.

1.3. Etapas para la estimacin de la demanda de viajes.

Antes de desarrollar la tarea tcnica de la estimacin de viajes, debe delimitarse el rea de estudio conforme a

un conjunto de zonas de trnsito, que formarn la base para el anlisis de los movimientos de viaje internos,

hacia el rea urbana y hacia afuera del rea urbana. El conjunto de zonas puede agregarse en unidades ms

grandes, llamadas distritos, para ciertos anlisis o tcnicas analticas que trabajan a estos niveles. Tambin se

desarrollan estimaciones de uso del suelo.

Figura 1. Proceso para la estimacin de viajes. (Fuente REF.1)

La estimacin de viajes est nicamente dentro del dominio del planificador de transporte y es una parte

integral de los estudios de desarrollo del sitio e ingeniera de trnsito, as como de la planificacin del

transporte al nivel de rea.

El enfoque ms empleado para predecir la demanda de viajes es el "proceso de cuatro pasos": generacin de

viajes, distribucin espacial de viajes, seleccin del modo o distribucin modal de los viajes y asignacin del

trnsito.

Distribucin Espacial

de los Viajes

Distribucin Modal

de los Viajes


5

2. Generacin de viajes.

Proceso para determinar el nmero de viajes que van a comenzar o a terminar en cada zona, dentro de un rea

de estudio. Cuando los viajes se determinan sin tomar en cuenta el destino, se les denomina viajes. Cada viaje

tiene dos finalidades, y stas se describen en trminos del propsito del viaje, esto es, si los viajes son

producidos o atrados por una zona. Por ejemplo, se considera un viaje de la casa al trabajo, ste tiene un punto

final producido en, zona residencial y es atrado hacia una zona de actividad productiva. El anlisis tiene dos

funciones: 1) desarrollar una relacin entre la produccin de viajes o la atraccin y el uso del suelo, y 2)

emplear relaciones para estimar el nmero de viajes generados, bajo un nuevo conjunto de condiciones de uso

del suelo, se pueden mencionar dos mtodos:

1) la clasificacin cruzada y razones basadas en unidades de actividad, y

2) el anlisis de regresin, que ha sido aplicado para estimar tanto la produccin como la atraccin.

Este mtodo se usa muy poco debido a que depende de datos agregados por zona. Se prefieren los mtodos

que empleen un anlisis desagregado, con base en unidades individuales de muestra tales como personas,

familias, ingresos y unidades vehiculares.

2.1. Clasificacin cruzada.

La clasificacin cruzada es una tcnica desarrollada por la Administracin Federal de Carreteras (FHWA),

para determinar el nmero de viajes que inician o terminan en el hogar. Los viajes que inician en el

hogar es un nmero muy til porque puede representar una proporcin importante de todos los viajes. El

primer paso es desarrollar una relacin entre las medidas socioeconmicas y la produccin de viajes. Las

dos variables ms empleadas son el ingreso promedio y la tenencia de automviles. Otras variables que

tambin pueden ser consideradas son: el tamao de familia y la etapa del ciclo de vida de la familia.

Las relaciones se desarrollan con base en los datos de ingresos y en resultados de encuestas origen-

destino.

Ejemplo .1

El desarrollo de las curvas de generacin de viajes a partir de datos de la familia

Una encuesta de viajes produjo los datos mostrados en la tabla 1. Se entrevist a 20 familias. La tabla muestra

el nmero de viajes realizados por da para cada una de las familias (numeradas del 1 al 20), as como el

correspondiente ingreso familiar, anual y el nmero de automviles que tienen. Con base en los datos

proporcionados, desarrolle un conjunto de curvas que muestren el nmero de viajes por familia contra el

ingreso y la tenencia de automviles.


6

Figura 2. Ingreso promedio por zonas contra familias por categora de ingresos.

FUENTE: Modificado de Computer Programs for Urban Transportation Planning

(Programas de computadora para la planificacin del transporte urbano), Departamento de

Transporte de Estados Unidos, Washington, D.C., abril de 1977. ( REF.1)

Tabla.1.Datos censales que muestran los viajes por familia, el ingreso y la tenencia

de automviles.

Nmero

de familias

Viajes

producidos

por familia

Ingreso por

familia

(miles de

dlares)

Automviles

por familia 1 2 16 0 2 4 24 0 3 10 68 2 4 5 44 0 5 5 18 1 6 15 68 3 7 7 38 1 8 4 36 0 9 6 28 1

10 13 76 3 11 8 72 1 12 6 32 1 13 9 28 2 14 11 44 2 15 10 44 2 16 11 52 2 17 12 60 2 18 8 44 1 19 8 52 1

20 6 28 1

Solucin:

Paso 1. A partir de la informacin de la tabla 1, produzca una matriz que muestre el nmero y el

porcentaje de familias como una funcin de la tenencia de automviles y de las categoras de ingreso

(vase la tabla 2). Los valores numricos en cada celda representan el nmero de familias observadas en


7

cada combinacin de categora de ingreso-tenencia de automviles. El valor en parntesis es el porcentaje

observado para cada nivel de ingreso. En la prctica real, el tamao de la muestra - sera cuando menos de 25

puntos de datos por celda, para asegurar la exactitud estadstica. Los datos mostrados en la tabla 2 se usan para

desarrollar las relaciones entre el porcentaje de familias de cada categora de tenencia de automvil y el ingreso

familiar, como se ilustra en la figura 3.

Paso 2. Una segunda tabla elaborada a partir de los datos de la tabla 1. muestra el nmero promedio de

viajes por familia, contra el ingreso y los automviles que se tienen. Los resultados que se proporcionan en la

tabla 3, se ilustran en la figura 4, e indican la relacin entre viajes por familia por da por ingreso y tenencia

de automviles. La tabla muestra que para un ingreso dado, la generacin de viajes aumenta con el nmero de

automviles que se tienen. En forma similar, para un nmero dado de automviles particulares, aumenta la

generacin de viajes con el aumento del ingreso.

Tabla .2 Nmero y porcentaje de familias en cada categora de ingreso contra tenencia de

automviles

Ingreso (miles de dlares)

Automviles en propiedad

Total 0 1 2 +

24 2(67) 1(33) 0(0) 3(100)

24-36 1(25) 3(50) 1(25) 5(100)

36-48 1(20) 2(40) 2(40) 5(100)

48-60 1(33) 2(67) 3(100)

> 60 1(25) 3(75) 4(100)

Total 4 8 8 20

Nota: Los valores en los parntesis son el porcentaje de automviles (que se tienen) para cada nivel de ingresos.

Figura 3.Familias por tenencia de automviles y categora de ingresos.

FUENTE: Modificado de Computer Programs for Urban Transportation Planning (Programas de

computadora para la planificacin del transpone urbano), Departamento de Transporte de

Estados Unidos, Washington, D.C., abril de 1977. (REF.1)


8

Paso 3. Como un refinamiento adicional, pueden usarse datos adicionales de origen-destino (que no se

muestran en la tabla 1), para determinar el porcentaje de viajes por cada propsito de viaje, para cada

categora de ingreso. Estos resultados se muestran en la figura 5, en la cual se emplean tres propsitos de

viajes: al trabajo con base en el hogar (TBH), otros viajes con base en el hogar (OVBH) y viajes que no

tiene base en el hogar (VNBH). La terminologa se refiere al origen de un viaje ya sea en el hogar o fuera del

hogar.

Tabla .3 Promedio de viajes por familia contra ingreso y tenencia de automviles

Ingreso (miles de dlares)

Automviles en propiedad

0 1 2+

24 3 5 ---

24-36 4 6 9 36-48 5 7.5 10.5 48-60 8.5 11.5 > 60 --- 8.5 12.7

Figura 4. Viajes por familia por da como funcin de la tenencia de automviles y

de la categora de ingresos.

FUENTE: Modificado de Computer Urban Transportation Planning (Programas de

computadora la planificacin del transporte urbano), Departamento de Transporte de Estados

Unidos, Washington, D.C., abril de 1977. (REF.1)


9

Figura 5. Viajes por objetivo y categora de ingresos.

FUENTE: Modificado de Computer Programs for Urban Transportation Planning

(Programas de computadora para la planificacin del transporte urbano),

Departamento de Transporte de Estados Unidos, Washington; D.C., abril de 1977.

(REF.1)

2.2. Modelo lineal de Generacin de Viajes:

Si se denomina Xi al vector que contiene las caractersticas socio-econmicas de la zona i , expresamos los

viajes generados ( Gi ) como:

Gi = f(Xi) generalmente la f(Xi) se estima como un modelo lineal

Gi = + 1*X1i + 2*X2i + + i*Xmi (1)

El proceso de calibracin del modelo consiste en determinar los valores de los parmetros , i de modo que el

modelo replique de la manera ms parecida posible la data observada en el campo. Para esta calibracin se

requiere:

-Medir los viajes generados en cada zona, mediante encuestas y aforos de trnsito.

-Obtener la informacin sobre las variables significativas para cada zona de los censos y bases de datos de y/o

encuestas directas en campo.

Ejemplo 2 : Aplicacin de Regresin lineal mltiple para la estimacin de parmetros

Las variables que han sido consideradas como significativas para estimar los viajes de automviles que salen de

una zona son:

a. Poblacin total de la zona o nmero de familias.

b. Nmero de autos en la zona o autos por familia.

c. Ingreso anual medio. por familia.

d. Nmero de empleos en la zona.

Estas variables han sido medidas en las 20 zonas de una regin en estudio y sern utilizadas en el modelo de

generacin de viajes. Adems se han realizado aforos de trnsito para medir los viajes interzonales. Los


10

aforos permiten comparar si los datos de viajes obtenidos de las encuestas corresponden a los observados en

la red.

Zona Poblacin

(P)

Nmero de

Autos (A)

Ingresos

B/ por ao

Nmero

de empleos

Nmero de

viajes

1 7,950 1,588 4,197 4,839 6,956 2 10,300 1,824 3,663 3,127 9,403 3 8,475 2,446 6,244 2,519 9,409 4 9,220 2,607 5,888 4,498 10,359 5 11,050 2,331 4,553 3,080 11,159 6 9,780 2,181 4,600 4,050 10,308 7 8,002 1,698 4,476 4,656 8,216 8 11,430 2,798 4,948 3,434 9,089 9 13,065 2,717 4,343 3,902 12,947 10 11,055 1,947 3,650 4,573 7,212 11 14,528 3,244 4,569 4,757 15,399 12 12,535 3,651 6,117 3,310 12,690 13 8,800 2,441 6,089 4,188 7,048 14 9,825 2,631 5,797 3,007 11,753 15 12,500 3,089 5,263 3,397 13,243 16 12,930 3,218 4,998 4,763 12,344 17 10,395 1,855 3,880 3,730 9,889 18 13,135 3,757 6,182 2,799 14,121 19 11,265 2,252 4,111 2,781 10,705 20 8,685 1,533 3,571 4,017 6,564

Formule y calibre un Modelo Estadstico para estimar la generacin de viajes por zona.

Solucin :

Poblacin Nmero de Ingresos Nmero Nmero de

(P) = X1 Autos (A) = X2

B/ por ao ( I )

= X3

de empleos ( E )

= X4 viajes ( G ) = Y

Modelo General : Y = a + b1*X1 + b2*X2 + b3*X3 + b4*X4

Calibracin por regresin lineal mltiple.

= 214925 49808 97139 75427 208814

X1 X2 X3 X4 Y

= 10440.70

X1*X2 X1*X3 X1*X4 X2*X3 X2*X4 X3*X4 X1^2 X2^2

12624600 33366150 38470050 6664836 7684332 20309283 63,202,500 2,521,744


11

18787200 37728900 32208100 6681312 5703648 11454201 106,090,000 3,326,976

20729850 52917900 21348525 15272824 6161474 15728636 71,825,625 5,982,916

24036540 54287360 41471560 15350016 11726286 26484224 85,008,400 6,796,449

25757550 50310650 34034000 10613043 7179480 14023240 122,102,500 5,433,561

21330180 44988000 39609000 10032600 8833050 18630000 95,648,400 4,756,761

13587396 35816952 37257312 7600248 7905888 20840256 64,032,004 2,883,204

31981140 56555640 39250620 13844504 9608332 16991432 130,644,900 7,828,804

35497605 56741295 50979630 11799931 10601734 16946386 170,694,225 7,382,089

21524085 40350750 50554515 7106550 8903631 16691450 122,213,025 3,790,809

47128832 66378432 69109696 14821836 15431708 21734733 211,062,784 10,523,536

45765285 76676595 41490850 22333167 12084810 20247270 157,126,225 13,329,801

21480800 53583200 36854400 14863249 10222908 25500732 77,440,000 5,958,481

25849575 56955525 29543775 15251907 7911417 17431579 96,530,625 6,922,161

38612500 65787500 42462500 16257407 10493333 17878411 156,250,000 9,541,921

41608740 64624140 61585590 16083564 15327334 23805474 167,184,900 10,355,524

19282725 40332600 38773350 7197400 6919150 14472400 108,056,025 3,441,025

49348195 81200570 36764865 23225774 10515843 17303418 172,528,225 14,115,049

25368780 46310415 31327965 9257972 6262812 11432691 126,900,225 5,071,504

13314105 31014135 34887645 5474343 6158061 14344707 75,429,225 2,350,089

5.54E+08 1045926709 807983948 249732483 185635231 362250523 2379969813 132312404

X1*X2 X1*X3 X1*X4 X2*X3 X2*X4 X3*X4 X1^2 X2^2

X3^2 X4^2 X1*Y X2*Y X3*Y X4*Y

17,614,809 23,415,921 55300200 11046128 29194332 33660084

13,417,569 9,778,129 96850900 17151072 34443189 29403181

38,987,536 6,345,361 79741275 23014414 58749796 23701271

34,668,544 20,232,004 95509980 27005913 60993792 46594782

20,729,809 9,486,400 123306950 26011629 50806927 34369720

21,160,000 16,402,500 100812240 22481748 47416800 41747400

20,034,576 21,678,336 65744432 13950768 36774816 38253696

24,482,704 11,792,356 103887270 25431022 44972372 31211626

18,861,649 15,225,604 169152555 35176999 56228821 50519194

13,322,500 20,912,329 79728660 14041764 26323800 32980476

20,875,761 22,629,049 223716672 49954356 70358031 73253043

37,417,689 10,956,100 159069150 46331190 77624730 42003900

37,075,921 17,539,344 62022400 17204168 42915272 29517024

33,605,209 9,042,049 115473225 30922143 68132141 35341271

27,699,169 11,539,609 165537500 40907627 69697909 44986471

24,980,004 22,686,169 159607920 39722992 61695312 58794472


12

15,054,400 13,912,900 102796155 18344095 38369320 36885970

38,217,124 7,834,401 185479335 53052597 87296022 39524679

16,900,321 7,733,961 120591825 24107660 44008255 29770605

12,752,041 16,136,289 57008340 10062612 23440044 26367588

487857335 295278811 2321336984 545920897 1029441681 778886453

X3^2 X4^2 X1*Y X2*Y X3*Y X4*Y

Resolviendo el sistema lineal:

20 214925 49808 97139 75427 a

208814

214925 2379969813 553615683 1045926709 807983948 b1

2321336984

49808 553615683 132312404 249732483 185635231 b2 = 545920897

97139 1045926709 249732483 487857335 362250523 b3

1029441681

75427 807983948 185635231 362250523 295278811 b4

778886453

a= -6253.58 Sa = 9067.41 R^2= 0.79

b1= 1.32 Sb1= 0.85 F = 14.39

b2= -1.01 Sb2= 3.34 Gl = 15.00

b3= 1.21 Sb3= 1.58 Ssreg = 96470950.58

b4= -0.23 Sb4= 0.43 SSresid = 25135783.62

SY= 1294.50

Donde a , b1 , b2 , b3 , b4 son los parmetros del modelo ; Sa , Sb1 , Sb2 , Sb3 , Sb4 , SY son las desviaciones

estndares que se usaran para evaluar la significancia de las variables y la consistencia del modelo ;

R^2 coeficiente de determinacion del modelo , F de FISHER , Gl grados de libertad , Ssreg suma de regresin

de los cuadrados., SSresid suma residual de los cuadrados.

MODELO :

Y = -6253.58 + 1.32*X1 -1.01*X2 + 1.21*X3 -0.23*X4

G = -6253.58 + 1.32*P -1.01*A + 1.21*I -0.23*E

Zona Yi i Yi-i (Yi-i)^2 (Yi-)^2 (i-)^2

1 6,956 6614.43 342 116,671.74 12,143,134.09 14,640,360.93

2 9,403 9223.31 180 32,289.50 1,076,821.29 1,482,045.23


13

3 9,409 9458.92 -50 2,492.12 1,064,404.89 963,889.71

4 10,359 9392.90 966 933,355.28 6,674.89 1,097,891.42

5 11,159 10792.38 367 134,407.12 515,954.89 123,681.80

6 10,308 9101.78 1,206 1,454,973.71 17,609.29 1,792,714.56

7 8,216 6952.69 1,263 1,595,954.22 4,949,290.09 12,166,219.45

8 9,089 11220.95 -2,132 4,545,202.57 1,827,092.89 608,787.05

9 12,947 12618.49 329 107,919.93 6,281,539.69 4,742,761.93

10 7,212 9747.36 -2,535 6,428,031.80 10,424,503.69 480,725.42

11 15,399 14095.42 1,304 1,699,319.15 24,584,738.89 13,356,982.96

12 12,690 13265.92 -576 331,679.41 5,059,350.49 7,981,846.31

13 7,048 9321.06 -2,273 5,166,798.17 11,510,413.29 1,253,595.50

14 11,753 10399.42 1,354 1,832,169.37 1,722,131.29 1,703.75

15 13,243 12730.16 513 263,002.76 7,852,885.29 5,241,636.48

16 12,344 12532.06 -188 35,366.59 3,622,550.89 4,373,786.89

17 9,889 9442.00 447 199,812.83 304,372.89 997,410.25

18 14,121 14147.13 -26 682.53 13,544,608.09 13,737,587.97

19 10,705 10688.29 17 279.08 69,854.49 61,302.95

20 6,564 7069.35 -505 255,375.74 15,028,802.89 11,366,020.02

Ssres SSt Ssreg

= 25,135,783.62 121,606,734.20 96,470,950.58

( SSt = Ssres +

Ssreg ) 0.000

R^2 = 1 - Ssres/SSt 0.7933027

3. Distribucin de viajes.

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

0 5 10 15 20 25

VIAJES

ZONAS

Grfico de errores (residuos )

Yi Datosoriginales

yi DatosCalculados


14

Es un proceso mediante el cual los viajes generados en una zona, se asignan a otras zonas en el rea de estudio.

Por ejemplo, si el anlisis conduce a una estimacin de 200 viajes TBH en la zona 1, entonces el anlisis

determinar cuntos de esos viajes se hacen entre la zona 1 y todas las dems zonas.

Se usan varios mtodos se encuentran el modelo de gravedad, los modelos de factor de crecimiento y el de

oportunidades de intervencin. Se prefiere el modelo de gravedad porque emplea los atributos del sistema de

transporte y las caractersticas de uso del suelo. El modelo ha sido calibrado para muchas reas urbanas.

Tambin ha alcanzado un uso casi universal debido a su simplicidad, exactitud y el apoyo proveniente del De-

partamento de Transporte de Estados Unidos. Los modelos de factor de crecimiento, que se usaron ampliamente

en las dcadas de los cincuenta y sesenta, requieren que se conozca la matriz de origen-destino para el ao

base (o actual), as como una estimacin del nmero de viaje internos para cada zona. Tambin estn

disponibles el modelo de oportunidades de intervencin y otros modelos, pero no se usan ampliamente en la

prctica.

3.1. Modelo de gravedad.

Es el ms documentado y ampliamente usado. Establece que el nmero de viajes entre dos zonas es

directamente proporcional al nmero de viajes atrados por la zona de destino e inversamente proporcional a

una funcin del tiempo de viaje entre estas dos zonas.

Matemticamente, el modelo de gravedad se expresa como

(2)

Donde

Tij nmero de viajes que se producen en la zona i y son atrados por la zona j

Pi nmero total de viajes producidos en la zona i

Aj nmero de viajes atrados por la zona j

Fij valor de la funcin inversa del tiempo de viaje

Kij factor de ajuste socioeconmico para el intercambio ij

Los valores de Pi y Aj han sido determinados en el proceso de generacin de viajes. La suma de Pi para todas

las zonas debe ser igual a la suma de Aj para todas las zonas. Los valores de Kjj se usan cuando el intercambio

estimado de viajes, debe ajustarse para asegurar que concuerda con el intercambio observado de viajes.

Los valores de Fij se determinan mediante un proceso de calibracin, en el cual los valores de generacin de

viajes tal como se midieron en la encuesta de origen-destino, se distribuyen usando el modelo de gravedad.

Despus de que cada proceso de distribucin es completado, el porcentaje de viajes en cada categora de viaje,

producido por el modelo de gravedad, se compara con el porcentaje de viajes registrado en la encuesta de

origen-destino. Si los porcentajes no concuerdan, entonces se ajustan los factores Fij que se usaron en el proceso

de distribucin y se realiza otra distribucin de viajes con el modelo de gravedad. El proceso de calibracin

contina hasta que concuerden los porcentajes de duracin del viaje.

El modelo de gravedad recibe su nombre del hecho que es conceptualmente basado en la ley de Newton de

gravitacin de los estados de la fuerza de atraccin entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto

de las masas de los dos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos, o

(3)

Se han aplicado variaciones de esta frmula a muchas situaciones que involucran la interaccin humana. Por

ejemplo, el volumen de llamadas telefnicas largas distancias entre las ciudades puede planearse de esta

manera, con los tamaos de la poblacin de las ciudades que reemplazan las masas de partculas y la distancia

Proceso de calibracin continuo para cuando el valor Fij no concuerda.


15

entre ciudades o el costo de llamadas telefnicas que tienen lugar. El exponente del trmino de impedancia en el

denominador, sin embargo, no necesita ser precisamente igual a 2 pero puede reemplazarse por un parmetro

ejemplar c.

Para los viajes con motivo de trabajo originados en una zona, la mayor atraccin la ejercen las zonas que

albergan una mayor cantidad de empleos. Para los viajes con motivo turstico o recreacional, la mayor atraccin

la ejercen zonas con facilidades recreacionales ( playas, campos, hoteles campestres, etc.).

Otro factor que afecta la distribucin de los viajes es la distancia o el tiempo de viaje o el costo de viaje ( puede

ser una combinacin de estos valores ). Ante grados de atraccin similar, los destinos que implican menores

costos (menos tiempo, distancia, costo) sern preferidos.

Ests relaciones dan origen a los modelos llamados de gravedad, de la siguiente forma:

(4)

donde :

Gi : total de viajes generados en la zona i Aj : grado de atraccin de la zona j ( nmero de empleos,

facilidades tursticas, mercado de consumo, etc..)

Rij : costo ( tiempo, distancia, costo) de viajar desde la zona i hasta j. K, : parmetros del modelo.

El modelo se puede calibrar mediante anlisis de regresin si se transforman las variables de la siguiente forma:

(

)

Ejemplo 3 :

Numero de viajes de la zona A con respecto a otras zonas.

Los viajes con motivo de trabajo en una zona se distribuyen hacia las zonas adyacentes en funcin del nmero de

empleos (NE) de cada zona. Determine el nmero de viajes esperados entre la Zona A y el resto de las zonas de la

regin en estudio.

El modelo de distribucin espacial calibrado tiene la forma: ( )

Donde:

T ij : viajes por da entre las zonas i y j con motivo de trabajo.

Gi : viajes generados en la zona i.

Aj : atraccin de viajes en la zona j, medida por el nmero de empleos.

factores a tomar en cuenta: distancia, tiempo, costo


16

dij : distancia entre las zonas i y j, en kilmetros.

Solucin:

GA = 63000 viajes/da

( )

( ) ,

( )

( ) ,

( )

( )

( )

( ) ,

( )

( ) ,

( )

( )

G A = T A B + T A C + T A D + T A E + T A F + T A G

(

)

1 . 0 = K * ( 9 2 3 . 8 7 5 8 2 2 3 7 1 ) K = 1 . 0 8 2 3 9 6 5 4 7 0 1 x 1 0- 3

T A B = 2 6 2 4 6 . 7 2 = 2 6 2 4 7 v i a j e s / d a

T A C = 1 3 9 3 1 . 0 1 = 1 3 9 3 1 v i a j e s / d a

T A D = 1 6 2 3 9 . 3 3 = 1 6 2 3 9 v i a j e s / d a

T A E = 3 9 2 8 . 6 9 = 3 9 2 9 v i a j e s / d a

T A F = 2 2 1 3 . 3 1 = 2 2 1 3 v i a j e s / d a

T A G = 4 4 0 . 9 2 = 4 4 1 v i a j e s / d a

Zona B

NE =6000

NE

Zona C

NE =12000

NE

Zona E

NE =14000

NE

Zona D

NE =21000

NE Zona G

NE =5000

NE

Zona F

NE =5000

NE

Zona A 63000

viajes

producidos por

dia

2.1 Km

3.0 Km

6.0 Km

1.5 Km

3.0 Km

5.3 Km


17

V e r i f i c a c i n G A = T i j 6 3 0 0 0 = 2 6 2 4 7 + 1 3 9 3 1 + 1 6 2 3 9 + 3 9 2 9 + 2 2 1 3 + 4 4 1

En la figura 6 se ilustran los valores de F para las calibraciones de un modelo de gravedad. (Normalmente esta

curva es una grfica semilogartmica.) Los valores de F tambin pueden determinarse con el uso de valores de

tiempo de viaje y una relacin inversa entre F y t. Por ejemplo, la relacin para F puede adoptar la forma de t-1

,

t-2

, e t, etc., ya que los valores de F disminuyen a medida que aumenta el tiempo de viaje.

El factor socioeconmico Kij, se usa para hacer ajustes en los valores de distribucin de viajes entre zonas, en

las cuales son importantes las diferencias entre el valor estimado y el valor real. El valor de K se conoce como el

"factor socioeconmico" ya que contempla a otras variables adems del tiempo de viaje. Los valores de K se

determinan en el proceso de calibracin, pero debe aplicarse con cuidado cuando se considera que una zona

posee caractersticas nicas.

Figura 6. Calibracin de los factores F.

FUENTE: Computer Programs for Urban Transportation

Planning (Programas de computadora para la planificacin

del transporte urbano), Departamento de Transporte de

Estados Unidos, Washington, D.C., abril de 1977. (REF.1)

Ejemplo 4.

Uso de los factores F calibrados y de la iteracin

Para ilustrar la aplicacin del modelo de gravedad, considere un rea de estudio que consta de tres zonas. Los

datos se han determinado como sigue. Se ha calculado el nmero de viajes producidos y atrados para cada

zona, mediante los mtodos descritos en la seccin de generacin de viajes, y se ha determinado el tiempo

promedio de viaje entre cada zona. Ambos se muestran en las tablas 4 y 5. Suponga que Kij es igual a uno

para todas las zonas. Finalmente, se han calibrado los valores de F como se describi anteriormente y se

muestran en la tabla 6 para cada incremento del tiempo de viaje. Observe que el tiempo de viaje intrazonal para

la zona 3 es mayor que la mayora de los tiempos intrazonales restantes, debido a las caractersticas geogrficas

de la zona y a la falta de acceso dentro del rea. Esta zona podra representar las condiciones de un rea

congestionada.


18

Solucin:

Paso 1.Determinar el nmero de viajes entre cada zona con el uso del modelo de gravedad y los datos dados.

(Nota: Fij se obtiene al usar los tiempos de viaje de la tabla 5 y seleccionando el valor correcto de F de la tabla

6. Por ejemplo, si el tiempo de viaje es de 2 minutos entre las zonas 1 y 2. El valor correspondiente de F es 52.)

Tabla 4. Produccin y atraccin de viajes para un rea de estudio de tres

zonas

Zona

1 2 3 Total

Producciones de viajes

Atracciones de viajes

140

300

330

270

280

180

750

750

Tabla 5. Tiempo de viaje entre zonas (minutos)

Zona 1 2 3

1 5 2 3

2 2 6 6

3 6 6 5

Use la ecuacin 2.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Paso 2. Haga clculos similares para las zonas 2 y 3.

T2-1 = 188 ; T2-3 = 85 ; T2-3 = 57 ; P2 = 330


19

T3-1 = 144 ; T3-2 = 68 ; T3-3 = 68 ; P3 = 280

Paso 3. Resuma los resultados como, se muestra en la tabla 7. Observe que la suma de la produccin de viajes en

cada zona es igual al nmero de viajes producidos, dados en el enunciado del problema. Sin embargo, el nmero

estimado de viajes atrados en la fase de distribucin difiere del nmero de viajes atrados dados. Para la zona 1,

el nmero correcto es 300, mientras que el valor calculado es 379. Los valores para la zona 2 son 270 contra

210, y para la zona 3 son 180 contra 161.

Tabla 6. Tiempo de viaje contra factor de friccin.

Tiempo (minutos) F

1 82

2 52

3 50

4 41

5 39

6 26

7 20

8 13

Nota: Los valores de F se obtuvieron del proceso de calibracin.

Tabla 7. Viajes de zona a zona: primera iteracin

Zona 1 2 3 P

1 47 57 36 140

2 188 85 57 330

3 144 68 68 280

A calculada 379 210 161 750

A dato 300 270 180 750

Paso 4. Calcule los factores de atraccin ajustados de acuerdo con la frmula

( ) ( ) (5)

Ajk = factor ajustado de atraccin para la zona de atraccin (columna) j, iteracin k

Ajk = Aj cuando k = 1

Cjk = atraccin total actual (columna) para la zona j, iteracin k

Aj = atraccin total deseada para la zona de atraccin (columna) j

j = nmero de zona de atraccin, j = 1, 2,...., n

n = nmero de zonas

k = nmero de iteracin, k = 1, 2,...., m

m = nmero de iteraciones

Paso 5. Para producir un resultado matemticamente correcto, repita los clculos de la distribucin de viajes con

el uso de valores de atraccin modificados, de modo que el nmero de viajes atrados sern aumentados o

disminuidos como se requiera. Para la zona 1, por ejemplo, los viajes atrados estimados fueron demasiado

grandes. Por tanto, los nuevos factores de atraccin se ajustan hacia abajo multiplicando el valor de atraccin

original, por la relacin del valor de atraccin original entre el estimado.


20

Paso 6. Aplique la frmula del modelo de gravedad (ecuacin 2) en cada iteracin para calcular los

intercambios zonales de viaje, con el uso de los factores de atraccin ajustados obtenidos de la iteracin

anterior. En la prctica, la frmula del modelo de gravedad se transforma en

(

) (6)

donde Tijk es el intercambio de viajes entre i y j para la iteracin k, y Ajk = Aj para k = 1. El subndice j recorre

un ciclo completo cada vez que k cambia, e i recorre un ciclo completo cada vez que j cambia. La frmula

anterior se encierra entre parntesis y el subndice indica que el proceso completo se realiza para cada

propsito de viaje.

Paso7. Realice una segunda iteracin con el uso de los valores de atraccin ajustados.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Paso 8. Haga clculos similares para las zonas 2 y 3.

T2-1 = 153 ; T2-2 = 112 ; T2-3 = 65 ; P2 = 330

T3-1 = 116 ; T3-2 = 88 ; T3-3 = 76 ; P3 = 280

Paso 9. Liste los resultados como se muestra en la tabla 8. Observe que en cada caso, la suma de los viajes

atrados est ahora mucho ms cerca al valor dado. El proceso continua hasta que haya una concordancia

razonable (menor al 5 por ciento) entre el valor de A que se estima con el uso del modelo de gravedad, y los

valores que se suministran en la fase de generacin de viajes.

Tabla 8. Viajes de zona a zona: segunda iteracin

Zona 1 2 3 P


21

1 34 68 38 140

2 153 112 65 330

3 116 88 76 280

A calculada 303 268 179 750

A dato 300 270 180 750

3.2. Modelos de factor de crecimiento

La distribucin de viajes tambin puede calcularse cuando los nicos datos disponibles son el origen y el destino

entre cada zona para el ao base o actual, y los valores de generacin de viajes para cada zona para el ao

siguiente. Este mtodo se us ampliamente cuando se dispona de los datos de origen-destino, pero el modelo de

gravedad y la calibracin de los factores F no eran operacionales todava. Los modelos de factor de crecimiento

se usan principalmente para distribuir los viajes entre las zonas en el rea de estudio y las zonas exteriores al

rea de estudio. Ya que dependen de una matriz origen-destino existente, no puede usarse para predecir el

trnsito entre zonas en las cuales no hay datos de trnsito actualmente. Adems, la nica medida de la friccin

de viaje es la cantidad de viajes actuales. Entonces, el mtodo del factor de crecimiento no puede reflejar los

cambios del tiempo de viaje entre las zonas, como es el caso del modelo de gravedad.

El modelo de factor de crecimiento ms conocido es el mtodo Fratar, que es una frmula matemtica que

proporciona estimaciones de generacin de viajes para cada zona, como una funcin del producto del nmero

Tij de viajes actuales entre las dos zonas y el factor de crecimiento Gj de la zona de atraccin. Entonces,

( )

(7)

Donde

Tij = nmero de viajes estimados de la zona i a la zona j

ti = generacin actual de viajes en la zona i

Gx = factor de crecimiento de la zona x

Ti= tiGi = generacin futura de viajes en la zona i

tix = nmero de viajes entre la zona i y otras zonas x

tij = viajes actuales entre la zona i y la zona j

Gj = factor de crecimiento de la zona j

Ejemplo 5.

Prediccin de viajes con el uso del modelo Fratar

Un rea de estudio consta de cuatro zonas (A, B, C y D). La encuesta de origen-destino indica que el nmero

de viajes entre cada zona es como se muestra en la tabla 9. Las estimaciones para la planificacin del rea,

indican que en cinco aos el nmero de viajes en cada zona, se va a incrementar de acuerdo con el factor de

crecimiento mostrado en la tabla 10, y que la generacin de viajes se va a incrementar hasta las cantidades

registradas en la columna D de la tabla. Determine el nmero de viajes entre cada zona para las condiciones

futuras.

Solucin: Usando la frmula Fratar (ecuacin 7.), se puede calcular el nmero de viajes entre las zonas A y


22

B, A y C, A y D, etc. Observe que se obtienen dos valores para cada par de zonas (es decir, TAB y TBA ).

Estos valores se promedian, obtenindose un valor TAB = (TAB + TBA) / 2.

Los clculos son como sigue:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Clculos similares arrojan

Tabla 9. Generacin de viajes actuales y

factores de crecimiento

Zona Generacin de

viajes actuales (viajes/da)

Factor de

crecimiento Generacin de viajes en

cinco aos

A

B

C

D

600

700

700

400

1.2

1.1

1.4

1.3

720

770

980

520

Tabla 10. Presentacin de viajes entre zonas

Zona A B C D

A

B

C

D

Total

400

100

100

600

400

300

700

100

300

300

700

100

300

400

Tabla 11. Primera estimacin de viajes entre zonas

Zona A B C D A B

C

D

Generacin total de viajes

estimada Generacin de viajes actuales

A

B

C

D

428

141

124

428

372

141

372

430

124

430

693

800

943

554

720

770

980

520

Totales 693 800 943 554

Tabla 12. Factores de crecimiento para la segunda iteracin

Zona Generacin

estimada de viajes Generacin de viajes actuales

Factor de crecimiento


23

A

B

C

D

693

800

943

554

720

770

980

520

1.04

0.96

1.04

0.94

Los resultados de los clculos anteriores, han producido la primera estimacin (o iteracin) de la distribucin

de viajes y se muestran en la tabla 11. Sin embargo, observe que el total de cada zona no es igual al valor de

generacin de viajes futuros como se afirm anteriormente. Por ejemplo, la generacin de viajes en la zona A

se estima en 693 viajes, mientras que el valor correcto es de 720 viajes. En forma similar, la estimacin para la

zona B es de 800 viajes, mientras que el valor deseado es de 770 viajes.

Ahora se prosigue con una segunda iteracin, en la cual los datos de entrada son el nmero de viajes entre

las zonas como se calcul anteriormente. Tambin se calculan nuevos factores de crecimiento como la

relacin de la generacin de viajes esperada en cinco aos entre la generacin de viajes estimada en el clculo

anterior. Los valores se dan en la tabla 12.

Los clculos de la segunda iteracin los cuales pueden repetirse tantas veces como sea necesario hasta que

concuerden los valores de generacin de viajes estimados y los reales se realizan de igual manera.

4. Seleccin del modo o Distribucin modal.

Es el aspecto que determina el nmero (o el porcentaje) de viajes entre las zonas, que se, realizan en automvil

y en transporte pblico. La seleccin de un modo o de otro, es un proceso complejo que depende de factores

tales como ingreso del viajero, disponibilidad del servicio del transporte colectivo o de la tenencia de

automviles, y las ventajas relativas de cada modo en trminos de tiempo de viaje, costo, comodidad,

conveniencia y seguridad. Los modelos de seleccin del modo intentan reproducir las caractersticas relevantes

del viajero, del sistema de transporte y del mismo viaje, de modo que se obtiene una estimacin realista del

nmero de viajes para cada modo y para cada par de zonas.

Modelos para seleccin modal

Ya que el transporte pblico es un factor importante, sobre todo en las ciudades ms grandes, los clculos de

seleccin de modo pueden solamente incluir los intercambios de viaje entre automvil y transporte pblico.

Dependiendo del nivel de detalle requerido, se usan tres tipos de procedimientos de estimacin: 1) viajes de

transporte por generacin directa, 2) modelos de viaje y 3) los modelos de intercambio modal.

4.1. Mtodos de generacin directa.

Los viajes de transporte se generan en forma directa, estimando los viajes por el total de personas o los viajes

por el nmero de conductores de automvil. La figura 7 es una grfica que ilustra la relacin entre los viajes

de transporte por da por 1000 habitantes y el nmero de personas por acre contra la tenencia de automviles. A

medida que aumenta la densidad de la poblacin, puede esperarse que tambin aumente el nmero de usuarios

de los medios de transporte, para un nivel dado de tenencia de automviles.


24

Figura 7. Nmero de viajes de transporte por

densidad de poblacin y tenencia de

automviles por familia. ((REF.1)

Ejemplo 6.

Estimacin de la seleccin del modo mediante la generacin directa de viajes.

Determine el nmero de viajes de transporte por da en una zona que tiene 5000 personas viviendo en 50 acres.

La tenencia de cero automviles por familia, es del 40 por ciento y del 60 por ciento para la tenencia de un

automvil por familia.

Solucin:

Calcular el nmero de personas por acre: 5000/50 = 100. Entonces determinar el nmero de viajes por

transporte por da por 1000 personas (de la figura 12), para calcular el total de viajes por transporte por da para

la zona.

cero automviles/familia: 510 viajes/da/1000 habitantes

un automvil/familia: 250 viajes/da/1000 habitantes

Total de viajes de transporte: (0.40)(510)(5) + (0.60)(250)(5) =

1020 + 750 = 1770 viajes de transporte por da

Este mtodo supone que los atributos del sistema no son importantes. No se consideran factores como tiempo de

viaje, costo y la comodidad. Estos modelos llamados de predistribucin son aplicables cuando el servicio de

transporte pblico es malo y los viajeros son "cautivos", o cuando el servicio de transporte pblico es excelente

y la "seleccin" favorece claramente al transporte pblico. Cuando las vas rpidas y los modos de transporte

pblico "compiten" por los conductores de automvil, entonces se deben considerar los factores del sistema.

4.2. Los modelos de viaje

Determinan el porcentaje de personas o de viajes de automvil que usarn el transporte pblico. Las

estimaciones se hacen antes de la fase de

distribucin de viajes y se basan en el uso del suelo o las

caractersticas socioeconmicas de la zona. No incorporan la calidad del servicio. El procedimiento es el

siguiente:

1. Generar el total de viajes personales producidos y atrados por propsito de viaje.

2. Calcular el factor de viaje urbano.

3. Determinar el porcentaje de estos viajes para transporte pblico con el uso de una curva de seleccin de modo


25

(vase la figura 8).

4. Aplicar los factores de ocupacin de automvil.

5. Distribuir los viajes en transporte pblico y en automvil por separado.

El modelo de seleccin de modo mostrado en la figura 8, se basa en dos factores: familias por auto y personas

por milla cuadrada. El producto de estas variables se llama el factor de viaje urbano (FVU). El porcentaje de

viajes por transporte pblico va a aumentar hasta adoptar la forma de curva S a medida que aumenta el FVU.

Figura 8. Particin por modo de transporte contra el

factor de viajes urbanos. ((REF.1)

4.3. Los modelos de intercambio de viajes.

Incorporan variables del nivel de servicio del sistema como: el tiempo de viaje, costo de viaje, situacin

econmica del viajero y el relacionado con el servicio de viaje. Enseguida se describe un modelo de este tipo, el

mtodo QRS. Este modelo ilustra los elementos bsicos que se consideran en la estimacin de la seleccin del

modo.

4.3.1. El mtodo QRS se basa en la siguiente relacin:

(8)

( ) (9)

Donde

MSt = proporcin de viajes entre la zona y la j que usan el transporte pblico

MSa = proporcin de viajes entre la zona i y la j que usan el automvil

Iijm = valor conocido como la impedancia del modo de viaje m, entre i y j, que es una medida del costo total

del viaje. [Impedancia = (tiempo en minutos dentro del vehculo) + (2.5 X exceso de tiempo en minutos) + (3

X costo del viaje, $/ingreso /minuto)]

b = exponente, que depende del propsito del viaje

m = t para el modo de transporte; a para el modo automvil


26

el tiempo dentro del vehculo es el tiempo que se pasa viajando en el vehculo y el exceso de tiempo, es el

tiempo que se pasa viajando pero no en el vehculo (esperando, caminando, etctera).

El valor de la impedancia se determina para cada par de zonas y representa una medida del gasto requerido

para hacer el viaje ya sea en automvil o en transporte pblico. Los datos requeridos para la estimacin de la

seleccin del modo incluyen: 1) distancia entre zonas mediante automvil y transporte pblico, 2) tarifa del

transporte pblico, 3) costo del automvil al contado, 4) costo de estacionamiento, 5) velocidad en carretera y

de crucero, 6) valores del exponente b, 7) ingreso medio y 8) el exceso de tiempo, que incluye el tiempo

requerido para caminar hacia un vehculo de transporte pblico y el tiempo de espera o de trasbordo.

Suponga que el tiempo trabajado por ao es de 120 000 minutos.

Ejemplo 7.

Clculo de la seleccin del modo con el uso del modelo QRS

Para ilustrar la aplicacin del mtodo QRS, suponga que los datos mostrados en la tabla 13. han sido

desarrollados para un viaje entre una zona suburbana S y una zona D en el centro. Determinar el porcentaje de

viajes por trabajo en automvil y en transpone pblico. Usar un valor de 2.0 para el exponente de los viajes al

trabajo. El ingreso medio es de 12 000 dlares por ao.

Tabla 13. Datos de viaje entre dos zonas, S y D

Automvil Transporte pblico

Distancia

Costo por milla

Exceso de tiempo

Costo del estacionamiento

Velocidad

10 mi

$0.15

5 min

$1.50 (o 0.75/viaje)

30 mi/h

8 mi

$0.10

8 min

-------

20 mi/h

Solucin: Use la ecuacin 8.

(

) ( ) {

[ ( ) ]

}

(

) ( ) {

( )

}

( )


27

Entonces la seleccin del modo de viaje por transporte pblico entre las zonas S y D es de 68.4 por ciento, y por

vialidad rpida el valor es de 31.6 por ciento. Estos porcentajes se aplican a los valores estimados de

distribucin de viaje, para determinar el nmero de viajes para cada modo. Si, por ejemplo, el nmero de viajes

al trabajo entre las zonas S y D se calcula como 500, entonces el nmero por automvil sera 500 X 0.316 =

158, y por transport pblico el nmero de viajes sera 500 X 0.684 = 342.

4.3.2. Modelos lgicos.

Un enfoque alternativo que se usa para el anlisis de la demanda del transporte, es considerar la utilidad relativa

de cada modo como una suma de cada atributo modal. Entonces la seleccin de un modo se expresa como una

distribucin de probabilidad. Por ejemplo, suponga que la utilidad de cada modo es

(10)

donde

Ux = utilidad del modo x

n = nmero de atributos

Xi = valor del atributo (tiempo, costo, etc.)

ai = valor del coeficiente del atributo i (negativo, ya que los valores son desutilidad)

Entonces si se consideran 2 modos, automvil (A) y transporte pblico (T), la probabilidad de seleccionar el

modo A, automvil puede escribirse como

( )

(11)

Esta forma es llamada el modelo lgico y proporciona una forma conveniente de calcular la seleccin del

modo. Los modelos de seleccin se utilizan dentro del proceso de planificacin del transporte urbano, pero

tambin se emplean en los estudios de mercado para transporte pblico y en la estimacin directa de la

demanda de viajes. En la figura 9 se muestra la grfica de una curva lgica.

Figura 9. Seleccin modal de transporte pblico contra automvil.(Fuente REF.1)


28

Ejemplo 8.

Uso del modelo lgico para calcular la seleccin del modo

Las funciones de utilidad para automvil y para transporte pblico son las siguientes:

donde

T1 = tiempo total de viaje (minutos)

T2 = tiempo de espera (minutos)

C = costo (centavos)

Las caractersticas de viaje entre dos zonas son las siguientes:

Automvil Transporte pblico

T1 20 30

T2 8 6

C 320 100

Solucin: Use el modelo lgico para determinar el porcentaje de viajes en la zona, para automvil y para

transporte pblico.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

El uso de la ecuacin 8 .

El propsito de un modelo de seleccin de modo es predecir la opcin de produccin-viaje del modo de viaje.

Los factores que explican esta conducta incluyen:

1. Las caractersticas de produccin-viaje

2. Las caractersticas del viaje

3. Los atributos de modos disponibles de viaje


29

La distribucin modal se estima en base a la funciones de utilidad de cada modo, las cuales reflejan los atributos

( tiempo, costo, seguridad, confiabilidad, confort, etc. ).

Estas funciones, extradas de la teora microeconmica, son de la forma :

UK = a0 + a1*Ck + a2*Tk + .

Donde : Uk : funcin de utilidad del modo k.

Ck : costo del modo k.

Tk : tiempo del modo k.

a0 + a1 + a2 : parmetros del modelo.

Y la funcin de estimacin modal es :

Donde : Pk : Probabilidad de que el usuario utilice el modo k

Uk : funcin de utilidad del modo k

M: Total de modos disponibles.

En caso de dos modos una carretera y un ferrocarril para enviar carga el modelo seria:

y PC = 1 PF

Si se reescribe el modelo:

(

) y (

)

Definiendo las funciones de utilidad:

UC = a0 + a1*CC + a2*TC

UF = a1*CF + a2*TF

NOTA : El termino independiente a0 no se incluye en las dos funciones porque desaparecera de la estimacin.

Este trmino representa la preferencia de un modo sobre otro debido a todas las variables no incluidas en el

modelo.


30

De modo que la funcin de seleccin modal para el ferrocarril puede expresarse como :

(

) ( ) ( )

Y en este caso de dos o ms modos, el modelo puede calibrarse mediante anlisis de regresin lineal mltiple

por mnimos cuadrados.

( ) ( )

Ejemplo 9. Porcentaje de usar un modo y su utilidad.

Las encuestas realizadas a las empresas que envan carga hacia el puerto en una regin de alta produccin

indican los costos y tiempos de entrega de la mercanca por los modos disponibles (Ferrocarril y Camiones) que

se muestran en la siguiente tabla.

Para cada zona de embarque se determin la fraccin del mercado que es absorbida por el Ferrocarril y por los

Camiones.

Asignacin:

a. Formule y calibre un modelo matemtico para estimar el porcentaje de de la carga que toma el

Ferrocarril y los Camiones en funcin del costo y tiempo de entrega.

b. Represente mediante una grfica la fraccin del mercado que toma cada modo como funcin de sus

atributos (Utilidades).

c. Cmo cambiar la proporcin de la demanda de carga que obtendr cada modo en la zona 7 si el

servicio de transporte cambia como sigue:

Cc = $135.00/Contenedor

CFc = $115.00/Contenedor

Tc = 8 horas

TFc = 1 3 h o r a s

Zona de Porcentajes Costos ($/Contenedor) Tiempo (Hr)

carga PFc PC camiones ferrocarril camiones ferrocarril

1 0.4 0.6 110 90 8 11.5

2 0.23 0.77 85 80 10 12.5

3 0.28 0.72 80 70 9 13

4 0.35 0.65 70 55 6 7.5

5 0.3 0.7 75 65 7.5 10

6 0.44 0.56 90 70 7 8

7 0.52 0.48 135 110 12 15

8 0.48 0.52 150 125 16 20

9 0.36 0.64 125 110 13 16

10 0.32 0.68 135 120 14 16

11 0.6 0.4 95 70 10 11

12 0.25 0.75 80 75 11 13


31

Solucin:

a. Formulacin y Calibracin del modelo:

y PF = 1 PC

(

) y (

)

UF = a0 + a1*CF + a2*TF

UC = a1*CC + a2*TC

(

) ( ) ( )

( ) ( )

YC X1 X2

1/PFc-1 1/Pc-1 ln(1/Pc-1) (CFc - CC) (TFc -TC)

1.50 0.67 -0.41 -20 3.5

3.35 0.30 -1.21 -5 2.5

2.57 0.39 -0.94 -10 4

1.86 0.54 -0.62 -15 1.5

2.33 0.43 -0.85 -10 2.5

1.27 0.79 -0.24 -20 1

0.92 1.08 0.08 -25 3


32

1.08 0.92 -0.08 -25 4

1.78 0.56 -0.58 -15 3

2.13 0.47 -0.75 -15 2

0.67 1.50 0.41 -25 1

3.00 0.33 -1.10 -5 2

= -6.29 -190.00 30.00

X1*YC X2*YC X1*X2 X1^2

8.11 -1.42 -70 400

6.04 -3.02 -12.5 25

9.44 -3.78 -40 100

9.29 -0.93 -22.5 225

8.47 -2.12 -25 100

4.82 -0.24 -20 400

-2.00 0.24 -75 625

2.00 -0.32 -100 625

8.63 -1.73 -45 225

11.31 -1.51 -30 225

-10.14 0.41 -25 625

5.49 -2.20 -10 25

= 61.47 = -16.61 = -475.00 = 3600.00

12.00 -190.00 30.00 ao

-6.29

ao = -1.36

-190.00 3600.00 -475.00 a1 = 61.47

a1 = -0.06

30.00 -475.00 87.00 a2

-16.61

a2 = -0.07

MODELO Y = -1.36 -0.06*X1-0.07*X2

b. Graficas.

Zona de Porcentajes iniciales X1 X2 INICIAL CALCULADA Porcentajes calculados

carga PFc PC (CFc - CC) (TFc -TC) YC YC PC PFc

11 0.6 0.4 -25 1 0.41 0.18 0.46 0.54

7 0.52 0.48 -25 3 0.08 0.03 0.49 0.51

8 0.48 0.52 -25 4 -0.08 -0.05 0.51 0.49

6 0.44 0.56 -20 1 -0.24 -0.14 0.54 0.46

1 0.4 0.6 -20 3.5 -0.41 -0.33 0.58 0.42

9 0.36 0.64 -15 3 -0.58 -0.61 0.65 0.35

4 0.35 0.65 -15 1.5 -0.62 -0.50 0.62 0.38

10 0.32 0.68 -15 2 -0.75 -0.54 0.63 0.37


33

5 0.3 0.7 -10 2.5 -0.85 -0.90 0.71 0.29

3 0.28 0.72 -10 4 -0.94 -1.01 0.73 0.27

12 0.25 0.75 -5 2 -1.10 -1.18 0.77 0.23

2 0.23 0.77 -5 2.5 -1.21 -1.22 0.77 0.23

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

-1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50

PC , PFc

(UFc - UC )

Porcentajes vs Utilidades ( datos iniciales )

PC (INICIAL)

PFc (INICIAL)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

-1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50

PC , PFc

(Ufc -UC )

Porcentajes vs Utilidades (datos calculados )

PFc (CALCULADA)

PC (CALCULADA)


34

c.Estimaciones en la zona 7

CC = $ 135.00 / CONTENEDOR CFc = $ 115.00 / CONTENEDOR

TC = 8 horas TFc = 13 horas

UFc = -1.358 - 0.064*(115) 0.074*(13) = - 9.68 Uc = -0.064*(135) 0.074*(8) = - 9.232 PC = 1/ ( 1 + e

( -9.68 (-9.232) ) = 0.61

PFc = 1 PC = 0.39

5. Asignacin del trnsito.

La etapa final para el proceso de estimacin en el transporte, es determinar las rutas reales en calles y carreteras

que se usarn y el nmero de automviles y de autobuses que se espera en cada tramo de la red, es el

procedimiento que se usa para determinar los volmenes esperados de trnsito. Ya se conoce el nmero de

viajes por transporte pblico y por automvil que se realizan entre las zonas, ahora se asignan estos viajes a una

ruta lgica de la red vial y se suman los resultados por cada segmento de la red, el resultado es una estimacin

de los volmenes de trnsito promedio diario o en horarios pico, que van a ocurrir en el sistema de transporte

urbano que sirve al rea de estudio.

Se requieren los siguientes datos: primero, se necesita saber cuntos viajes se realizarn de una zona a otra

(determinada en la fase de distribucin de viajes). Segundo, se necesita conocer la disponibilidad de vialidades

o de rutas de transporte pblico, entre las zonas y el tiempo que tomar viajar en cada ruta. Tercero, se necesita

una regla de decisin (o algoritmo) que establezca los criterios mediante los cuales, los conductores o los

usuarios del transporte pblico seleccionarn una ruta.

Enfoques bsicos

Pueden usarse tres enfoques bsicos: 1) curvas de desviacin, 2) asignacin a la trayectoria de tiempo mnimo

(todo o nada) y 3) las trayectorias de tiempo mnimo con restricciones de capacidad.

5.1. La curva de desviacin

Es similar al de una curva de seleccin de modo. El trnsito entre dos rutas se determina como una funcin del

tiempo relativo de viaje o del costo. En la figura 10 se ilustra una curva de desviacin que se basa en la relacin

del tiempo de viaje.

Figura 10. Relacin de tiempos de viaje contra porcentaje de viajes

en la ruta B. (Fuente REF.1)


35

5.2. La trayectoria de tiempo mnimo

Asigna todos los viajes a aquellos arcos que comprenden la trayectoria de tiempo mnimo entre las dos zonas.

Algoritmo de la trayectoria mnima: Este mtodo se selecciona debido a su uso generalizado, produce resultados

exactos, y demuestra de una manera adecuada los principios bsicos contemplados. Se basa en la teora de que

un conductor o un usuario del transporte pblico, seleccionar la ruta ms rpida entre cualquier par de origen-

destino. El viajero siempre seleccionar la ruta que represente el tiempo mnimo de viaje, para determinar cul

va a ser esa ruta, es necesario encontrar la ruta ms corta desde la zona de origen hasta todas las otras zonas de

destino. Los resultados pueden representarse como un rbol, que se denomina capa de rbol. Todos los viajes de

esa zona se asignan a los arcos en el rbol de depuracin. Cada zona se representa como un nodo en la red, la

cual representa al rea completa que se est examinando. Para determinar la trayectoria mnima, se usa un

procedimiento que encuentra la trayectoria ms corta sin tener que probar todas las combinaciones posibles.

El algoritmo que se va a usar consiste en conectar todos los nodos provenientes del nodo origen y conservar

todas las trayectorias como participantes hasta que una trayectoria tenga la ruta ms rpida hacia el mismo

nodo, en cuya unin se eliminan los arcos con la trayectoria ms lenta. El algoritmo matemtico que describe el

proceso, consiste en seleccionar trayectorias que minimicen la expresin.

( 12 )

Donde

Vij = volumen en el arco i,j

Tij = tiempo de viaje en el arco i,j

i,j = nodos adyacentes

Ejemplo 10.

Encontrar las trayectorias mnimas en una red

Para ilustrar el proceso de formacin de trayectorias, considere la siguiente red de 16 nodos con los tiempos de

viaje mostrados en cada arco para cada par de nodos (zona):

Figura 11. Red de 16 nodos. (Fuente REF. 1)

La red de arcos y de nodos representa el sistema de calles y caminos. Determinar la trayectoria de viaje ms

corta desde el nodo 1 (nodo inicial) hasta todas las dems zonas.


36

Solucin: Para determinar las trayectorias de tiempo mnima, desde el nodo 1 hasta todos los dems nodos, es:

Paso 1. Determinar el tiempo para los nodos que estn conectados con el nodo 1. El tiempo para el nodo 2 es de

1 minuto. El tiempo para el nodo 5 es de 2 minutos. Los tiempos estn anotados cerca de los nodos en el

diagrama.

Paso 2. Desde el nodo ms cercano al nodo inicial (el nodo 2 es el ms cercano al nodo inicial 1), haga

conexiones con los nodos ms cercanos. stos son los nodos 3 y 6. Escriba el tiempo acumulado de viaje para

cada nodo.

Figura 12. (Fuente REF.1)

Paso 3. Desde el nodo que ahora est ms cercano al nodo inicial (nodo 5), haga conexiones con los nodos

ms cercanos (nodos 6 y 9). Escriba el tiempo acumulado de viaje para cada nodo.

Paso 4. El tiempo hacia el nodo 6 pasando por el nodo 5 es ms corto que el tiempo pasando por la zona 2. Por

tanto, se borra el arco 2-6.

Paso 5. Tres nodos estn a igual distancia del nodo inicial (nodos 3, 6 y 9). Seleccione el nodo con el nmero

ms bajo (nodo 3) y agregue los arcos correspondientes a los nodos 4 y 7.

Paso 6. De los tres nodos a igual distancia, el nodo 6 es el siguiente ms cercano al nodo inicial. Haga conexin

con las zonas 7 y 10. Elimine el arco 6-7.

Paso 7. La construccin prosigue desde el nodo 9 a los nodos 10 y 13. Elimine el arco 9-10.

Paso 8. Construya desde el nodo 7.


Paso 10. Construya desde el nodo 10, y elimine el arco 10-11,



37

Paso 12. Construya desde el nodo 8, y elimine el arco 11-12.

Paso 13. Construya desde el nodo 15, y elimine el arco 14-15.

Paso 14. Construye desde el nodo 12, y elimine el arco 15-16.

Para encontrar la trayectoria mnima desde cualquier nodo hasta el nodo 1, siga la trayectoria en sentido

inverso. Por ejemplo, los arcos para la trayectoria mnima desde la zona 1 hasta la zona 11 son 7-11, 3-7, 2-3 y

1-2. Entonces se repite este proceso para las otras 15 zonas, para producir los rboles para cada una de las

zonas en el rea de estudio. En la figura 13 se ilustra el rbol producido para la zona 1.

Figura 13. rbol de trayectoria mnima para la zona 1. (Fuente REF.1)

Ejemplo 11.

Cargando la red para usar el mtodo de la trayectoria mnima

En la tabla 14 se muestran los arcos que estn sobre la trayectoria mnima, para cada uno de los nodos que se

conectan al nodo 1. Tambin se muestra el nmero de viajes de automvil entre la zona 1 y todas las dems

zonas. A partir de estos resultados, se determina el nmero de viajes para cada arco. Para ilustrar, el arco 1-2 lo

usan los viajes desde el nodo 1 hasta los nodos, 2, 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15 y 16. Entonces, los viajes entre estos

pares de nodos se asignan al arco 1-2 como se ilustra en la tabla 14. Los volmenes son 50, 75, 80, 60, 30,

80, 25, 20 y 85 para un total de 505 viajes para el arco 1-2 desde el nodo 1.

Tabla 14. Arcos sobre la trayectoria mnima para los viajes

desde el nodo 1 Desde

Hacia

Viajes Arcos en la trayectoria mnima

1 2 50 1-2 3 75 1-2,2-3 4 80 1-2, 2-3, 3-7, 7-8, 4-8 5 100 1-5 6 125 1-5, 5-6 7 60 1-2, 2-3, 3-7 8 30 1-2, 2-3, 3-7,7-8 9 90 1-5, 5-9


38

10 40 1-5, 5-6, 6-10 11 80 1-2, 2-3, 3-7, 7-11 12 25 1-2,2-3, 3-7, 7-8, 8-12 13 70 1-5, 5-9, 9-13 14 60 1-5, 5-9, 9-13, 13-14 15 20 1-2,2-3, 3-7, 7-11, 11-15

16 85 1-2,2-3,3-7,7-8,8-12,12-16

Solucin: Para calcular el nmero de viajes que deben asignarse a cada arco, de los que han sido generados en

el nodo 1, y distribuidos a los nodos 2 hasta el 16 (tabla 15). Se completara un proceso similar para cargar la

red para todos los dems pares de zonas. Los clculos para la asignacin del trnsito, as como para otras

paradas en el sistema del modelo de prediccin, pueden realizarse con el uso de programas para computadoras.

Tabla 15. Asignacin de viajes del nodo 1 hacia los arcos de la red

de vialidades

Arco. Viajes sobre el enlace Total

1-2

2-3

1-5

5-6

7-8

4-8

5-9

6-10

7-11

8-12

9-13

11-15

12-16

13-14

50, 75, 80, 60, 30, 80, 25,20,85

75, 80, 60, 30, 8O, 25, 20,

100, 125, 90, 40, 70, 60

125, 40

80,30,25,85

80

90,70,60

40

80, 20

25 85

70, 60

20

85

60

=505

=455

=485

=165

=220

=80

=220

=40

=100

=110

=130

=20

=85

=60

5.3. La restriccin de la capacidad

es un refinamiento del mtodo de la trayectoria mnima en el cual, despus de que todo el trnsito ha sido

asignado a un arco, se ajustan los tiempos de viaje para cada arco, con base en la capacidad del arco y en el

nmero de viajes para cada arco, requiere de asignaciones repetidas y de ajustes del tiempo de viaje hasta que se

alcanza un equilibrio.

El nmero de viajes que se asigna a cada arco se compara con la capacidad del mismo, para determinar cunto se

ha reducido el tiempo de viaje en el arco. Con el uso de relaciones entre el volumen y el tiempo de viaje (o la

velocidad), es posible recalcular el nuevo tiempo de viaje para el arco. Entonces se hace una reasignacin con

base en estos nuevos valores. El proceso iterativo contina hasta que se alcance un equilibrio.

La relacin volumen-velocidad que se usa comnmente en los programas de computadora, que fue desarrollada

por el Departamento de Transporte de Estados Unidos, se ilustra en la figura 14 y se expresa con la siguiente

frmula:

[ (

)

] (13)


39

donde

t = tiempo de viaje sobre el arco

to = tiempo de viaje de flujo libre

V = volumen del arco

C = capacidad del arco

Figura 14. Tiempo de viaje contra volumen del vehculo. (Fuente

REF.1)

Ejemplo 12.

Clculo del tiempo de viaje para capacidad restringida

En el ejemplo 11, el volumen para el arco 1-5 fue de 485 y el tiempo de viaje fue de 2 minutos. Si la capacidad

del arco es de 500, determine el tiempo de viaje en el arco que debe usarse, para la siguiente iteracin en la

asignacin del trnsito.

Solucin:

[ (

)

] (

)

=2.27 minutos

6.Otros mtodos para la prediccin de la demanda.

6.1. Anlisis de tendencias

Este enfoque para estimar la demanda se basa en la extrapolacin de tendencias pasadas. Por ejemplo, para

predecir la cantidad de trnsito en un camino rural, se grafican los datos de aforos vehiculares de aos

anteriores contra el tiempo. Entonces, para calcular el volumen de trnsito para una fecha futura, se extrapola

hacia adelante a la lnea de tendencia, o si no, se usa la tasa de crecimiento promedio. Con frecuencia se

desarrolla una expresin matemtica con el uso de tcnicas estadsticas, o tambin una relacin

semilogartmica. Aunque es de aplicacin simple, el anlisis de lnea de tendencia, tiene la desventaja de que


40

las estimaciones de la demanda, se basan en extrapolaciones del pasado y entonces no se toman en cuenta los

cambios que pueden ser dependientes del tiempo.

6.1.1. Elasticidad de la demanda

La demanda de viaje tambin puede determinarse si se conoce la relacin entre la demanda y una variable de

servicio que sea clave (tal como el costo de viaje). Si V es el volumen (demanda) para un nivel de servicio X

dado, entonces la elasticidad de la demanda, E(V), es el cambio porcentual del volumen dividido entre el

cambio porcentual del nivel de servicio, o sea

( )

(14)

( )

(15)

Ejemplo 13.

Prediccin de la reduccin de la fluidez del trnsito debido a un incremento de tarifa

Para ilustrar el uso de la elasticidad de la demanda, una regla aproximada en la industria del trnsito establece

que para cada 1 por ciento de aumento en las tarifas, habr un tercio del 1 por ciento de reduccin en la fluidez

del trnsito. Si la fluidez actual es de 2000/da para una tarifa de 30 centavos, cul ser la fluidez si la tarifa

aumenta a 40 centavos?

Solucin: En este caso E(V) = 1/3 y

( )( )

Esto significa que la nueva fluidez del trnsito es 2000 222 = 1778 pasajeros/da.

7. Anexos.

7.1. Regresin Lineal simple

Los valores observados son Y , X.

(16)


41

Figura 15. Diagrama de datos esparcidos.(Fuente REF.2)

representa el error correspondiente a la ia observacin; es decir la diferencia entre el

valor observado y el valor estimado por la curva de regresin.

El error total de la estimacin se expresa como la suma del error en cada punto observado:

( )

En las condiciones matemticas, encontrar los valores de a y b que minimizan la suma:

( )

Figura 16. Regresin lineal.(Fuente REF.2)

Sustituyendo el valor de por a + bXi


42

( )

Tomando las derivadas parciales de S con respecto a a y b e igualando a cero

( )( )

( )( )

Dividiendo por 2 y reestructurando las condiciones dan

(

)

( )

( )

( )

La aplicacin de la regla de Cramer lleva a.

|

|

|

|

( ) ( )( )

( ) ( )

Sustituyendo los valores promedios de las observaciones y definidos como

y

donde N es el nmero total de datos experimentales, pueden volverse a escribir como

( )( )

( )

Dividiendo por el nmero de observaciones N y sustituyendo obtenemos

Sustituyendo el valor de b obtenido


43

Figura 17. La correlacin. (Fuente REF.2)

7.2. Regresin Nolineal directa.

Figura 18. No linealidad. (Fuente REF.2)

Ejemplo 14 :

Parbola de los mnimos Cuadrados.

Encaje una ecuacin de la forma a los datos siguientes:

Y 30 40 65 85

X 2 3 4 5

Solucin: los parmetros desconocidos a , b, y c son computados minimizando la suma de desviaciones

cuadradas, o

( ) (

)

Las ecuaciones caractersticas siguientes son el resultado de tomar las derivadas parciales de S con respecto a a

, b, y c e igualarlas a cero :

( ) ( )


44

( ) ( ) ( ) (

)

( ) (

) ( ) (

)

Sustituyendo los datos dados en las ecuaciones caractersticas:

qu, resolviendo simultneamente, da los valores siguientes:

a = 16, b = 1.5, y c = 2.5

As la parbola que ms se ajusta a los datos es:

7.3. Regresin lineal mltiple.

ECUACION GENERAL

( ) ( ) ( )

Y = viajes G n = numero de datos; = ( constantes );

X1...... Xn = ( Variables independientes : poblacin (P), empleos (E), ingresos (I), autos (A))

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

En forma matricial.


45

[

]

[

]

=

[

]

7.4. Prueba de CONSISTENCIA de los PARAMETROS y y del MODELO.

= + x

El estimador derivado para es:

Expandiendo el numerador se tiene

(

)

Si denominamos

( )

Entonces

Lo cual demuestra que es una combinacin lineal de los valores de Y.

El valor esperado de es :

( ) ( )

( )

Y la varianza de es :

( ) [ ]


46

( )

( )

Y el valor de la desviacin estndar de es :

Donde 2 es la varianza de los valores de Y dado X ( la cual se asume constante ). El valor estimado de 2 es S2 :

( )

7.5. Prueba de hiptesis para los parmetros y .

7.5.1. Parmetro :

La hiptesis nula es Ho : = 0 La hiptesis alterna es Ho : 0

Para que se pueda rechazar la hiptesis nula el valor de debe estar fuera del rango definido por:

Donde es el valor estimado del parmetro verdadero de la poblacin.

El valor de C se obtiene de la distribucin de probabilidades t-student para un grado de confianza w y N 2 grados de libertad.

El valor de w usualmente es 5 10 %. Se utiliza N 2 grados de libertad ya que la estimacin de y reduce los valores de informacin independientes en 2. Para el caso

planificacion de transporte

Documents