planificación de la producción

Planificación de la Producción

1. Introducción

2. Modelos lineales de planificación

3. Modelos con costes fijos y variables

4. Planificación jerarquizada

1. Introducción

La planificación de la Producción consiste en la descripción de las cantidades a producir en cada uno de los períodos de tiempo, de forma que no se vulneren las limitaciones de capacidad de las instalaciones y se disponga de suficientes productos para satisfacer la demanda de los mismos

Elementos de los planes de producción: Horizonte de planificación Capacidad de producción instalada Tasa de producción Stocks

1. Introducción

Características de la Planificación de la Producción:

Objetivo → responder a la demanda

Criterio de economía → minimizar costes totales

Nivel de decisión → agregado

Consideraciones generales:1. En el horizonte de planificación, la capacidad instalada se supone

básicamente constante y los planes de producción han de respetarla

2. Los pedidos deben satisfacerse sin retraso, por lo que no deben planificarse situaciones en las que existan pedidos pendientes por no haber suficientes unidades disponibles de producto

1. Introducción

EJEMPLO

Mes (t) Demanda (Dt) Días

1 183 21

2 161 19

3 104 20

4 74 12

5 164 21

6 231 19

7 249 14

8 139 12

9 50 20

10 91 21

11 149 21

12 255 16

1850 216

Inventario Inicial (I0) = 30

Inventario Final (I12) = 0

Mes (t)

Demanda efectiva (dt)

Días

Dem. Acum.

Días Acum

.1 153 21 153 21

2 161 19 314 40

3 104 20 418 60

4 74 12 492 72

5 164 21 656 93

6 231 19 887 112

7 249 14 1136 126

8 139 12 1275 138

9 50 20 1325 158

10 91 21 1416 179

11 149 21 1565 200

12 255 16 1820 216

1820 216

1. Introducción

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

21 40 60 72 93 112 126 138 158 179 200 216

Dias

Dem

an

da

Efe

ctiv

a

1. Introducción

Tasa Prod. Diaria=1820/216=8.43

Tasas Prod. Diaria=(1) 1275/138=9.24

(2) (1820-1275)/(216-138)=6.99 T.P. 1 T.P. 2

Mes (t) Tasa Prod. (Xt) Prod. Acum. Stocks Tasa Prod. (Xt) Prod. Acum. Stocks

1 177 177 24 194 194 41

2 160 337 23 176 370 56

3 169 506 88 185 554 136

4 101 607 115 111 665 173

5 177 784 128 194 859 203

6 160 944 57 176 1035 148

7 118 1062 -74 129 1164 28

8 101 1163 -112 111 1275 0

9 169 1331 6 140 1415 90

10 177 1508 92 147 1561 145

11 177 1685 120 147 1708 143

12 135 1820 0 112 1820 0

652 1164

1. Introducción

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

21 40 60 72 93 112 126 138 158 179 200 216

Dias

Pro

du

cc

ion

1. IntroducciónDATOS:

• Coste unitario de producción: c=90 €/unid

• Coste unitario de mantenimiento: h=24 €/unid·año

• Coste unitario de cambio de tasa: s=700 €/cambio

• Coste unitario de retraso: B=12 €/unid retrasada

ALTERNATIVAS ESTUDIADAS:

T.P.1 (tasa constante):

CT = 90 · 1820 + 24 · (652 / 12) + 700 · 0 + 12 · 186 = 163800 + 3543 €/año

T.P.2 (tasa variable):CT = 90 · 1820 + 24 · (1073 / 12) + 700 · 2 + 12 · 0 = 163800 + 3727 €/año

Se elige el primer plan de producción

1. IntroducciónCostes de Planificación

Costes de ProducciónCostes de Mantenimiento de StocksCostes de Ruptura de StocksCostes de la Variación de la CapacidadCostes de la Variación de la Tasa de ProducciónCostes de Mano de Obra

Consideraciones sobre los CostesDifícil acceso a datos de costes en las empresas: sólo costes fijos y variables a nivel contable; diferente a costes incrementales del planCostes marginales (por unidad de producto fabricado y almacenado) se representan como costes lineales respecto a producción y stockCostes de preparación al iniciar series son no lineales; se han de considerar si superan el 10% de los costes totalesSi se trabaja al límite de la capacidad, los costes son no lineales

1. Introducción

Modelos de PlanificaciónSe usan para analizar los diversos planes alternativos de producciónConsideran todos los planes que satisfacen la demanda prevista sin sobrepasar la capacidad disponibleEl modelo selecciona entre los planes de producción con el criterio de valoración de los costes relevantes

Elementos de los Modelos de PlanificaciónHorizonte de planificaciónParámetros: demanda y consumo marginal de capacidadVariables: tasa de producciónRelaciones: entre producción y demanda; inventariosCapacidadEspecificaciones: signos de variables


Características: Todas las relaciones son lineales

Los costes que intervienen son marginales

El uso de la capacidad es lineal


Modelo 1: Un concepto de producto y una fuente de producción•Variables

Xt : cantidad a producir en el período t

It : inventario al final del período t

•Parámetros

Dt : demanda a satisfacer en el período t

I0 : inventario inicial en el primer período

IL : inventario al final del horizonte de planificación

•Limitaciones de capacidad

Kt : número máximo de unidades que se pueden producir en el período t

IM : capacidad máxima de almacenamiento entre períodos

•Costes marginales

pt : coste de producir una unidad en el período t

ht : coste de mantener en almacén una unidad durante el período t


Min Σ (ptXt + htIt)

s.a. It-1 + Xt – It = Dt

0 ≤ Xt ≤ Kt para t = 1, 2, ... ,L

0 ≤ It ≤ IM para t = 1, 2, ... ,L

I0,IL fijados

L

t=1


Representación mediante grafo del modelo

Se muestra un nodo por cada período del horizonte que es un sumidero de las cantidades correspondientes a su demanda.

Cada uno de ellos está relacionado con un nodo que es la fuente de producción.

Existen arcos, que ligan los nodos de los períodos, por los que circula el inventario resultante en cada período

El problema es encontrar un flujo que satisfaga las limitaciones de circulación por los arcos al mínimo coste


F

1

2

t

L

X 1 (k 1, p 1)

X2 (k2, p2)

Xt (kt, pt)

XL (k

L , pL)

I1

I2

It

IL

D1

D2

Dt

DL

(IM, h1)

(IM, h2)

(IM, ht)

(IM, hL)


Modelo 2: Un concepto de producto y varias fuentes de producción

Intervienen los mismos conceptos de antes más la diversidad que introduce la consideración de las N fuentes (j = 1,2,...,N) donde se puede obtener el producto

Sea así:Xjt : cantidad obtenida en el período t de la fuente j

Kjt : número máximo de unidades que se pueden obtener de la fuente j en el período t

pjt : coste de obtener una unidad de la fuente j en el período t

SSt : stock de seguridad en t por debajo del cual no queremos situarnos


Min Σ (Σ pjtXjt + htIt)

s.a. It-1 + Σ Xjt – It = Dt t = 1, 2, ... ,L

0 ≤ Xjt ≤ Kjt t = 1, 2, ... ,L

SSt ≤ It ≤ IM t = 1, 2, ... ,L

I0,IL fijados

L

t=1

N

j=1

j


Representación mediante grafo del modelo

Los nodos de la izquierda son fuentes

Los nodos de la derecha son de transbordo, en los cuales han de quedarse las cantidades Dt

Sobre los arcos que unen los nodos de producción con los de consumo circula la producción Xjt, y en ellos se indica la capacidad del arco Kjt, y el coste unitario pjt por cada unidad que discurre por él

En los arcos que unen nodos sucesivos de consumo circulan los inventarios It. En ellos se indican tres cantidades: IM (capacidad de almacenaje), SSt (stock de seguridad mínimo) y ht (coste unitario de inventario)

2. Modelos lineales de planificación1

j

N

1

X11 (k11, p11)

XN1 (kN1, pN1)

Xj1 (kj1, pj1)D1

I1

1

j

N

t

X1t (k1t, p1t)

XNt (kNt, pNt)

Xjt (kjt, pjt)Dt

It

1

j

N

L-1

X1L-1 (k1L-1, p1L-1)

XNL-1 (kNL-1, pNL-1)

XjL-1 (kjL-1, pjL-1)DL-1

IL-1

1

j

N

L

X1L (k1L, p1L)

XNL (kNL, pNL)

XjL (kjL, pjL)Dl

It-1

(IM, SS1, h1)

(IM, SSt, ht)


Modelo con demanda efectiva dt recoge las necesidades efectivas de producto en cada período

Si en algún período t, el valor de la demanda efectiva saliera negativo, se hace dt igual a cero; debiendo tenerse en cuenta el stock resultante (tras satisfacer la demanda) para calcular el valor de la demanda efectiva del siguiente período

La demanda efectiva del primer período es:

d1 = D1 – I0 + SS1

La demanda efectiva de los períodos intermedios es:

dt = Dt + SSt - SSt-1

La demanda efectiva del último período es:

dL = DL + IL + SSL - SSL-1


Min Σ (Σ pjtXjt + htIt)

s.a. It-1 + Σ Xjt – It = dt t = 1,...,L

0 ≤ Xjt ≤ Kjt j=1,...,N ; t = 1,...,L

0 ≤ It ≤ IMt t = 1,...,L

I0 = IL = 0

L

t=1

N

j=1

J=1

N

EJEMPLODatos por período Datos de las fuentes de producción

• Capacidad de almacenamiento: 75 unidades

• Coste de mantenimiento en stock: 8.5 u.m./unidad período


Período Demanda Stock seguridad

1 174 8

2 118 12

3 257 16

4 310 14

5 212 15

Fuentes Coste Unitario

Capacidad

1 14 156

2 21.5 53

3 23 50


Para resolverlo, se opera iterativamente sobre los centros de consumo, del primero al L, sucesivamente

En cada uno actúan como fuentes las que corresponden a ese período, y las de los anteriores que puedan emplearse

Los costes unitarios de las producciones están incrementados en los de mantenimiento cuando proceden de stocks correspondientes a producciones realizadas en períodos anteriores al considerado

2. Modelos lineales de planificaciónPeríodo Demanda

efectivaPer. Fte. Coste Orden Capacida

d en tUsados

en tCapacida

d disp. t+1

Cap. alm. t+1

1D1=174

SS1=8

182111213

1421.523

123

1565350

15626---

---2740

67

2D2=118

SS2=12

122

2122231213

1421.52330

31.5

12345

15653502740

122------------

3429---------

63

3D3=257

SS3=16

261

3132332122

1421.523

22.530

12435

15653503429

156531834---

------32---27

59

4D4=310

SS4=14

308

4142433322

1421.523

31.538.5

12345

15653503227

15653503217

------------10

61

5D5=212

SS5=15

21351525322

1421.52347

1234

156535010

156534---

------4610

60


En la tercera columna se indican las fuentes de producción disponibles

La cuarta columna indica el coste unitario por unidad producida, incluyendo si es preciso el coste de mantenimiento, asociado a la correspondiente fuente de la columna anterior

La siguiente columna indica el número que la corresponde en la ordenación de las fuentes de menor a mayor coste

Las tres siguientes columnas indican la capacidad de producción disponible, la asignación de la producción y la capacidad no consumida y que puede ser usada en períodos posteriores

La asignación de la producción a cada fuente se realiza según indique su número de orden, es decir, desde la más barata hasta que se satisfaga la demanda del período o se agote la capacidad de producción en cuyo caso se sigue asignando a la siguiente fuente más barata


•Las 182 unidades demandadas en el primer período se producen a partir de la fuente 1 (156 unidades) y de la fuente 2 (las 26 restantes), quedando agotada la capacidad de la fuente 1

•La capacidad disponible de las fuentes 2 y 3 para períodos futuros son de 27 y 50 unidades

•La capacidad de almacenamiento en el período 1 será la máxima menos el stock de seguridad del período, es decir, 67 unidades. Por ello la capacidad de producción disponible para el siguiente período de la fuente 3 será 40 en lugar de 50 ya que si no fuese así podría ocurrir que la producción al final del período no cabe físicamente en el almacén

•En el segundo período están abiertas las tres fuentes más las del período anterior que quedaron con capacidad disponible

•A los costes de estas últimas habrá que añadirle el coste de mantenimiento en stock

Plan de producción Inventarios

X11=156 X21=26 X31=0 I1=8

X12=156 X22=17 X32=0 I2=63

X13=156 X23=53 X33=50 I3=65

X14=156 X24=53 X34=50 I4=14

X15=156 X25=53 X35=4 I5=15


Modelo 3: Varias líneas de productos y limitaciones de capacidad Xit : cantidad obtenida de la línea i en el período t ; siendo i=1,2,...N líneas

de productos y t=1,2,...,L períodos en la planificación

Kt : capacidad disponible en el período t

mi : consumo de capacidad por cada unidad obtenida de la línea i

IMt : inventario máximo permisible en el período t

pjt : coste marginal de producción de una unidad de la línea i en t

Ijt : stock resultante de la línea i a satisfacer en el período t

Djt : demanda de la línea i a satisfacer en el período t

SSit : stock de seguridad de la línea i en el período t

hjt : coste unitario de mantener en stock una unidad de la línea i en t


Min Σ Σ (pitXit + hitIit)

s.a. Xit + Ii,t-1 – Iit = Dit i=1,...,N ; t=1,...,L

Σ miXit ≤ Kt t=1,...,L

Σ Iit ≤ IMt t=1,...,L

Xit ≥ 0 i=1,...,N ; t=1,...,L

Iit ≥ SSit i=1,...,N ; t=1,...,L

L

t=1

N

i=1

N

i=1N

i=1


Comentarios Es un modelo completo de programación lineal

Se resuelve mediante algoritmos como el simplex

El término “línea de productos” corresponde al resultado de agregar un conjunto de productos en un solo concepto que representa a todos ellos en la planificación

Para una planificación sobre L períodos, la selección de N líneas para la planificación da lugar a un modelo con (N+2)L restricciones, más las acotaciones inferiores. Intervienen 2NL variables de planificación


Modelo 1: Modelo sin limitaciones de capacidad•Variables

Xt : cantidad a producir en el período t

It : inventario al final del período t

•Parámetros

Dt : demanda a satisfacer en el período t

•Costes de producción

p : coste variable por unidad producida

St : coste fijo por iniciar una serie de producción en el período t

ht : coste de mantener en stock una unidad durante el período t

Representando mediante:

1 si X>0

δ(X) =

0 si X=0


Min Σ (St δ(Xt) + htXt)

s.a. It-1 + Xt – It = Dt t = 1, 2, ... ,L

Xt, It ≥ 0 t = 1, 2, ... ,L

I0, IL fijos

L

t=1


Comentarios Es superfluo incluir los costes marginales de producción ya que

cualquier plan ha de cubrir toda la demanda durante el horizonte L

La cantidad a producir es

Σ Dt + IL – I0

con un coste p por cada unidad

En el plan de producción óptimo sólo se produce en los períodos que se inician con inventario nulo

Sólo tiene sentido producir en cantidades que cubren la demanda de un número completo de períodos

L

t=1


Método eficiente de resolución Se resuelve iterativamente para t=1, 2, ..., L

F(t) = min F(j-1) + Sj + Σ hi Σ Dk

Siendo F(0)=0 y los sumatorios en los que el extremo superior es menor que el inferior son nulos

Sólo tiene sentido producir en cantidades que cubren la demanda de un número completo de períodos

t-1 t

i=j k=i+1


EJEMPLO

Períodos 1 2 3 4 5 6Demandas 29 14 47 10 60 32Costes de lanzamiento 40 75 100 50 40 35Costes de mantenimiento 1 1 1 2 1 1

t=1 F(1) = 40

t=2 F(1) + S2 = 40 + 75 = 115

S1 + h1D2 = 40 + 14 = 54 ← F(2)=54

t=3 F(2) + S3 = 54 + 100 = 154

F(1) + S2 + h2D3 = 40 + 75 + 47 = 162

S1 + h1(D2+ D3) + h2D3 = 40 + (14 + 47) + 47 = 148 ← F(3)=148

3. Modelos con costes fijos y variablest=4 j=4: F(3) + S4 = 148 + 50 = 198

j=3: F(2) + S3 + h3D4 = 54 + 100 + 10 = 164 ← F(4)=164

j=2: F(1) + S2 + h2(D3 + D4) + h3D4 = 40 + 75 + 57 + 10 = 182

j=1: S1 + h1(D2+D3 +D4) + h2 (D3+D4) + h3D4 = 40 + 71 + 57 + 10 = 178

t=5 j=5: F(4) + S5 = 164 + 40 = 204 ← F(5)=204

j=4: F(3) + S4 + h4D5 = 148 + 50 + 120 = 318

j=3: F(2) + S3 + h3(D4 + D5) + h4D5 = 54 + 100 + 70 + 120 = 344

j=2: F(1) + S2 + h2(D3 + D4 + D5) + h3(D4 + D5) + h4D5 = 40 + 75 + 117 + 70 + 120 = 422

j=1: S1+ h1(D2+D3 +D4 +D5)+ h2 (D3+D4 +D5)+ h3(D4 +D5)+ h4D5 = 40+131+117+70+120=478

t=6 j=6: F(5) + S6 = 204 + 35 = 239

j=5: F(4) + S5 + h5D6 = 164 + 40 + 32= 236 ← F(6)=236

j=4: F(3) + S4 + h4(D5+ D6) + h5D6 = 148 + 50 + 184 + 32 = 414

j=3: F(2) + S3 + h3(D4 + D5 + D6) + h4(D5 + D6) + h5D6 = 54 + 100 + 102 + 184 + 32 = 472

j=2: F(1)+S2+h2(D3+D4+D5+D6)+h3(D4+D5+D6)+h4(D5+D6)+h5D6= 40+75+149+102+184+32 = 582

j=1: S1+h1(D2+D3+D4+D5+D6)+h2(D3+D4+D5+D6)+h3(D4+D5+D6)+h4(D5+D6)+h5D6 = =40+163+149+102+184+32=670


El plan de producción con menor coste es de 236

Para determinar el plan óptimo de producción se recorre hacia atrás el procedimiento de solución:

Para el último período t=6 la producción que ha dado lugar al coste mínimo de 236 se realiza en el período cinco, luego X5=92; X6=0

Nos vamos al período t=4 donde el coste mínimo se ha dado en el período tres, luego X3=57; X4=0

Reiterando el razonamiento vamos al período t=2 donde el coste mínimo se ha dado en el período uno, luego X1=43; X2=0

El mejor plan corresponde a la secuencia (1, 0, 1, 0, 1, 0)


Modelo 2: Consideración de las limitaciones de capacidad•Variables

Xit : cantidad a producir del producto i en el período t

Iit : inventario resultante del producto i al final del período t

•Parámetros

Dit : demanda del producto i a satisfacer en el período t

•Limitaciones de capacidad

Kt : capacidad total disponible en el período t

ait : capacidad empleada en el período t al iniciar una serie de producción de i

bit : capacidad marginal empleada por unidad de i producida en t

•Costes de producción

pit : coste variable por unidad producida de i en el período t

hit : coste de mantener en almacén una unidad i durante el período t

Sit : coste fijo de iniciar la serie del producto i en el período t


Min Σ Σ (Si δ(Xit) + piXit + hiIit)

s.a. Ii,t-1 + Xit – Iit = Dit t = 1, 2, ... ,L

Σ (ai δ(Xit) + biXit ) ≤ Kt t = 1, 2, ... ,L

Xit ≥ 0 ; Iit ≥ 0

N

i=1 t=1

L

i = 1, 2, ... , NN

i=1


Comentarios La limitación de capacidad puede obligar a adelantar la producción

a otros períodos previos, al no haber en algunos de ellos suficiente capacidad como para acomodar la producción a la demanda sólo con criterios de costes

La obtención de la solución óptima de este modelo es muy difícil puesto que es no lineal tanto en las restricciones como en la función objetivo


Debido a que las previsiones de datos (demandas) para realizar el plan de producción son tanto menos fiables cuanto más alejadas están, lo deseable es extraer las características esenciales sobre los efectos a medio plazo de las decisiones de producción a corto plazo. Por ello debe emplearse un número reducido de conceptos de producto. Así se realiza el plan agregado o jerarquizado

Tras la planificación jerarquizada de la producción y la decisión de cuánto producir de cada concepto de producto se desagregan estos conceptos en las cantidades a producir de cada uno de los productos finales reales. Este plan detallado se denomina plan maestro de producción


La desagregación del plan de producción se hará en dos etapas: Desagregación según costes fijos

A partir de la cantidad a fabricar de un concepto en el primer periodo (X*) se tienen en cuenta los costes fijos de cada producto o familia para calcular las cantidades a fabricar de cada uno en el primer periodo (Y*)

Se han de considerar dos criterios al desagregar: Criterios de Admisibilidad Criterios de Costes

Desagregación en productos finales A partir de la cantidad a fabricar de una familia ya considerados

los costes fijos y variables (Y*), se calcula las cantidades exactas a fabricar de cada producto de esa familia para el primer periodo (Zk)


Plan de producción sin costes fijos: X*it

Se considera solo el primer periodo de un concepto: X*= X*i1

Este concepto está compuestos por M familias cada una con un coste fijo: S j

Hay que calcular la cantidad a producir de cada familia: Y j

X* = Y1 + Y2 + ... + YM

Criterios de Admisibilidad: Satisfacer la demanda y las Limitaciones de inventario:

Criterios de Costes: costes fijos o de preparación de la familia

siendo el numerador la demanda total de la familia j en todos los periodos que dividido por la cantidad a fabricar representa el nº de preparaciones a realizar

−=

−+=≤≤

jjj

jjj

j IIMCS

ISSDY

},0max{CICSCI

j

jj

j

jj Y

DTSjfamiliafijoCoste ⋅≡

Desagregación según costes fijos (1/3)


Modelo a resolver:

0

,...1CSCI

s.a

SMin

jj

M

1j

*

M

1jj

≥

=≤≤

=

⋅

∑

∑

=

=

j

j

j

j

j

Y

MjY

XY

Y

DT


Datos: Sj, DTj, CIj, CSj, X*

Variables: Yj

Resolución mediante Lagrangiana:

Tiene que cumplir las CIj y CSj

*

1

XDTS

DTSY M

jjj

jj

j ⋅⋅

⋅=

∑=


Método de resolución:1: Calcular todos los Yj según fórmula: j=1,...,M2: Calcular:

3:

)(};:{

)(};:{

∑

∑

−

+

∈

−

∈

+

−=<=

−=>=

Jjjjjj

Jjjjjj

YCICIYjJ

CSYCSYjJ

γ

β


1;;:

1;;:

**

**

airYXXJjCIYsi

airYXXJjCSYsi

Jjjjj

Jjjjj

∑

∑

−

+

∈

−

∈

+

−=∈∀=<

−=∈∀=>

γβ

γβ


Plan de producción de una familia: Y*

Para el cálculo de Y* se consideraron los costes fijos y variables Esta familia está compuesta por P productos finales Hay que calcular la cantidad a producir de cada producto: Zk

Y* = Z1 + Z2 + ... + ZP

Criterios de Admisibilidad: Satisfacer la demanda y las Limitaciones de inventario:

No hay criterios de costes pues ya se consideraron

−=−+=

≤≤kkj

kkk

k IIMCS

ISSDZ

},0max{CICSCI

k

kk

Desagregación en productos finales (1/4)


El criterio de eficiencia se basará en que los productos se acaben simultáneamente; los t iempos de agotamiento de los productos de una familia al final sean similares:


∑

∑

=

=

−+=≡

+=−+≡

−=≡

P

kk

P

kkk

kk

k

k

kkk

k

kk

D

SSIYTAF

TAD

Z

D

SSIZ

D

SSI

1

1

*

k

)(familiaoagotamientdemedio Tiempo

despuesoagotamientde Tiempo

TAantesoagotamientde Tiempo


El modelo a resolver tiende a minimizar los tiempos de agotamiento de los productos respecto al tiempo medio de agotamiento de toda la familia:


0

s.a

)(Min

*

1

2

1

≥≤≤

=

−+

∑

∑

=

=

k

kkk

P

kk

k

kP

kk

Z

CSZCI

YZ

TAFD

ZTA


Método de resolución:1: Calcular todos los Zk=Dk·(TAF – TAk)2: Calcular:

3:

)(};:{

)(};:{

∑∑

−

+

∈

−∈

+

−=<=

−=>=

Kkkkkk

Kkkkkk

ZCICIZkK

CSZCSZkK

γ

β


1;;;:

1;;;:

***0*

***0*

airZYYKkZCSKkCIZsi

airZYYKkZCIKkCSZsi

Kkkkkkk

Kkkkkkk

∑

∑

−

+

∈

−

∈

+

−=∈∀=∈∀=<

−=∈∀=∈∀=>

γβ

γβ

planificación de la producción

Business