Pertenencia

Subconjuntos

CONJUNTOReunión o agrupación de elementos, objetos que tienen una característica en común, están representados dentro de cualquier figura geométrica cerrada.

Determinación de ConjuntosUn conjunto se determina por extensión y comprensión.

Por Extensión :

Por Comprensión:Se nombran

los elementos uno a uno.

Se define por una característica común de sus elementos.

•A={a, e, i, o, u} •A={x/x es una vocal}

•B={12;13;14;15} •B={x/x E N Ʌ 11< x < 16}

2 E A 6 E B

4 Ɇ A 7 E C

3 E A 2 Ɇ C

6 E C 5 E B

4 E B 3 E B

7 Ɇ A 7 Ɇ B

x / x E N, 15 < x < 16

Vacio: No tiene elementos:{} o ØUnitario: Un elemento

Finito: Se puede contar sus elementos.

Infinito: No se puede contar sus

elementos.

Universal: Contiene a todos los demás conjuntos.

N C M O Ȼ NM Ȼ ON Ȼ OO C MM Ȼ N

Un conjunto es subconjunto cuando todos sus elementos están dentro de otro mayor.

La intersección son los elementos que se

repiten en ambos conjuntos. Se denota

A∩B.

La unión e es la reunión de los elementos de ambos conjuntos. Se denota AUB.

P1 .P1 . Determina por extensión el siguiente conjunto:Determina por extensión el siguiente conjunto:P={x / x E N, es impar y 2 < x ≤ 11}P={x / x E N, es impar y 2 < x ≤ 11}

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Observamos que el conjunto p esta formado por números impares mayores que 2 y menores o iguales que 11.Entonces el conjunto P es.P={3;5;7;9;11}

P2.P2. Determina por extensión el siguiente conjunto: Determina por extensión el siguiente conjunto: L= {a + b / a e N Y 3 ≤ a < 5} L= {a + b / a e N Y 3 ≤ a < 5}

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Observamos que los valores que puede tomar “a” son 3 y 4.Re emplazamos estos valores en la expresión a+1 y hallamos los elementos de L: 3+1= 4 y 4+1=5Entonces: L={4; 5}

P3.P3. Determina por comprensión utilizando la notación Determina por comprensión utilizando la notación conjuntista y grafica el siguiente conjunto: conjuntista y grafica el siguiente conjunto: M= {28; 29; 30;…;35 M= {28; 29; 30;…;35

Observamos que el conjunto M esta formado por los números naturales mayores que 27 y menores que 36.Entonces el conjunto M lo podemos definir mediante la notación conjuntista así:M={x/x E N, 27 < x < 36}

SOLUCIÓN

.28 .29 .30 .31

.32.33 .34 .

35

M

P4.P4. Representa gráficamente utilizando diagramas de VeenRepresenta gráficamente utilizando diagramas de Veen y determina por extensión y comprensión. y determina por extensión y comprensión. a) el conjunto T de los múltiplos de 10 mayores que 31 y menoresa) el conjunto T de los múltiplos de 10 mayores que 31 y menores que 64. que 64. b) El conjunto R de los múltiplos de 3 mayores que 15 y menores b) El conjunto R de los múltiplos de 3 mayores que 15 y menores que 34. que 34.

T= {x/x E N, 39 < X < 64 Ʌ x es múltiplo de 10}T={40; 50; 60}

R= {x/x E N, 16 < X < 34 Ʌ x es múltiplo de 3}T={40; 50; 24; 27; 30; 33}

SOLUCIÓN

.40.50

.60

.18 .21 .27

.30 .24 .33

TR

P5. La profesora pregunta a Jorge¿ A qué clase de conjunto pertenecen los ovnis o platillos voladores, si nunca los ha visto, ni se sabe a ciencia cierta que existen .

SOLUCIÓN

como no se sabe a ciencia cierta que existen entonces será un conjunto vacio y se denota de la siguiente manera: {} o Ø.

P6.P6. Si C={x/x E N, 20<x<25}, D= { /x E N, 22<x<27}. Si C={x/x E N, 20<x<25}, D= { /x E N, 22<x<27}. Graficar y Hallar C – D , D – C. Graficar y Hallar C – D , D – C.

SOLUCIÓN

C – D: D - C:

C - D= {21; 22} D - C= {25; 26}

C={21; 22; 23; 24}

D={23; 24; 25; 26}

C={21; 22; 23; 24}

D={23; 24; 25; 26}

P7. P7. Si C= {21; 22; 23; 24} y D= {23; 24; 25; 26}Si C= {21; 22; 23; 24} y D= {23; 24; 25; 26} Hallar C D: Hallar C D:

SOLUCIÓN

C={21; 22; 23; 24}

C={23; 24; 25; 26}

C D= (C - D) U (D- C)

D C= {21, 22; 25; 26}

C - D= {21; 22}

D - C= {25; 26}

Entonces:

P8.P8. De 48 estudiantes de una aula a 40 le gusta De 48 estudiantes de una aula a 40 le gusta Razonamiento Matemático, a 15 les gusta Razonamiento Matemático, a 15 les gusta Razonamiento Matemático y Razonamiento Verbal. ¿A Razonamiento Matemático y Razonamiento Verbal. ¿A cuantos alumnos les gusta solo Razonamiento cuantos alumnos les gusta solo Razonamiento Matemático y a cuantos les gusta solamente Matemático y a cuantos les gusta solamente Razonamiento Verbal? ¿A cuantos les gusta Razonamiento Verbal? ¿A cuantos les gusta razonamiento Verbal? razonamiento Verbal?

SOLUCIÓN

U=48RM:40RM y RV=15

a)¿ A cuantos les gusta solo RM?40 - 15 = 25 les gusta sólo RM.

b)¿ A cuantos les gusta solo RV?25 + 15 + x = 48 40 + x = 48 x = 48 - 40 x = 8 les gusta sólo RV.

c)¿ A cuantos les gusta RV?15 + 8 = 23 les gusta RV.

P9.P9. De los 31 días del mes de julio José salió con María De los 31 días del mes de julio José salió con María 18 días y con Rosa salió 20 días ¿Cuántos días salió 18 días y con Rosa salió 20 días ¿Cuántos días salió José con las dos? José con las dos?

SOLUCIÓN

U= 31M= 18R= 20

18 - x + x + 20 – x = 31 38-x= 31 38-31= x x= 7

José salió con las dos 7 días.

18 - x 20 - xx

M RU=31

P11.P11.En una encuesta aplicada a 100 jóvenes se En una encuesta aplicada a 100 jóvenes se obtuvieron los siguientes resultados, 62 practican obtuvieron los siguientes resultados, 62 practican fútbol , 52 practican vóley, 48 juegan básquet, y 12 fútbol , 52 practican vóley, 48 juegan básquet, y 12 practican los 3 deportes. Si además se sabe que 27 practican los 3 deportes. Si además se sabe que 27 practican vóley y fútbol, 22 practican vóley y básquet y practican vóley y fútbol, 22 practican vóley y básquet y 25 practican fútbol y básquet ¿Cuántos practican sólo 25 practican fútbol y básquet ¿Cuántos practican sólo un deporte?un deporte?

SOLUCIÓN

U=100 V F

B

•Si 12 practican los 3 deportes, entonces practican sólo 2 deportes:Vóley y fútbol: 27 – 12 = 15Vóley y básquet: 22 – 12 = 10Fútbol y básquet: 25 – 12 = 13•Observamos y deducimos que juegan :Sólo fútbol: 62-(15+12+13)=22Sólo básquet: 48-(13+10+12)=13•Practican solo un deporte:22+15+13= 50 jóvenes. • Todas las secciones suman 100.

U=100 F,V y B=12F=62 V y F=27V=52 V y B=22B=48 F y B=25

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE CONJUNTOS(1)CONJUNTOS(1)

1. Determina por extensión los siguientes conjuntos:1. Determina por extensión los siguientes conjuntos: A = {x / x E N y 0 < x < 10} A = {x / x E N y 0 < x < 10} B = {x / x E N, es impar y x < 11}B = {x / x E N, es impar y x < 11} D = {x / x E N 1 ≤ x ≤ 25}D = {x / x E N 1 ≤ x ≤ 25} E = {x / x E N, x = 5° Ʌ x < 30}E = {x / x E N, x = 5° Ʌ x < 30} F = {2 + 1 / x E N Ʌ 5 < X < 9}F = {2 + 1 / x E N Ʌ 5 < X < 9}

2. Determina por comprensión los siguientes conjuntos:2. Determina por comprensión los siguientes conjuntos: M = {1; 3; 5; 7; 9; 11}M = {1; 3; 5; 7; 9; 11} N = {2, 4; 6; 8…}N = {2, 4; 6; 8…} O = {1; 2; 4; 8; 16}O = {1; 2; 4; 8; 16} P = {10; 20; 30; 40; 50}P = {10; 20; 30; 40; 50} R = {primavera, verano, otoño, invierno}R = {primavera, verano, otoño, invierno}

PROBLEMAS PROPUESTOS (2)PROBLEMAS PROPUESTOS (2)

3. Representa mediante un diagrama de Venn los 3. Representa mediante un diagrama de Venn los siguientes conjuntossiguientes conjuntos: :

a) H = {x / x E N y 10 < x < 20}a) H = {x / x E N y 10 < x < 20} b) I = {x / x E N y 12 ≤ x ≤ 16}b) I = {x / x E N y 12 ≤ x ≤ 16} c) J = {x / x E N, múltiplos de 3 y x < 14}c) J = {x / x E N, múltiplos de 3 y x < 14} d) L = {x / x es número impar entre 13 y 21} d) L = {x / x es número impar entre 13 y 21} e) K = {x / x E N, divisores de 48}e) K = {x / x E N, divisores de 48}

4. Observa el diagrama y responde y representa 4. Observa el diagrama y responde y representa simbólicamente :simbólicamente :

.36 .49

.64

.16 .25

D

PROBLEMAS PROPUESTOS (3)PROBLEMAS PROPUESTOS (3)

55. . Observa el diagrama y responde:Observa el diagrama y responde:

a) ¿Cuáles son los elementos del conjunto R?a) ¿Cuáles son los elementos del conjunto R? b) ¿Cuáles son los elementos del conjunto S?b) ¿Cuáles son los elementos del conjunto S? c) ¿Cuáles son los elementos del conjunto T?c) ¿Cuáles son los elementos del conjunto T? d) ¿Cuáles son los elementos que pertenecen a R y T?d) ¿Cuáles son los elementos que pertenecen a R y T?

PROBLEMAS PROPUESTOS (4PROBLEMAS PROPUESTOS (4))

6. Observa el diagrama anterior y completa con 6. Observa el diagrama anterior y completa con E o Ɇ.E o Ɇ. a) 3 ___T f) 11 ___ Ta) 3 ___T f) 11 ___ T b)b) 2 ___ R g) 3 ___ R 2 ___ R g) 3 ___ R c) 1 ___ S h) 5 ___ Tc) 1 ___ S h) 5 ___ T d) 3 ___ S i) 1 ___ Td) 3 ___ S i) 1 ___ T e) e) 12 ___ T j) 4 ___ S12 ___ T j) 4 ___ S

7. Clasifica cada uno de los conjuntos en: finito, 7. Clasifica cada uno de los conjuntos en: finito, infinito, vacio, unitario.infinito, vacio, unitario.

a) A={a, b, c, d…z}a) A={a, b, c, d…z} b) B={x/x E N y 8 < x < 9}b) B={x/x E N y 8 < x < 9} c) G={x/x E N, es par y 150 < x < 154}c) G={x/x E N, es par y 150 < x < 154} d) H={3,6;9,12… }d) H={3,6;9,12… } e) R={x/x E N y x es múltiplo de 5}e) R={x/x E N y x es múltiplo de 5}

PROBLEMAS PROPUESTOS (5)PROBLEMAS PROPUESTOS (5)

8. Si X={1;2 ;3; 4; 5; 6}, Y={2;4,6} y Z={x/x E N, 1 ≤ x ≤ 6}8. Si X={1;2 ;3; 4; 5; 6}, Y={2;4,6} y Z={x/x E N, 1 ≤ x ≤ 6} Indica cuales de los siguientes enunciados son Indica cuales de los siguientes enunciados son

verdaderos (V) y cuales son falsos (F).verdaderos (V) y cuales son falsos (F). a) 5 E X ( ) d) Y Ȼ Z ( )a) 5 E X ( ) d) Y Ȼ Z ( )

b) Y C X ( ) e) b) Y C X ( ) e) Ø Ø C X ( )C X ( ) c) 3 E Y ( ) f) X = Z ( )c) 3 E Y ( ) f) X = Z ( )

9. Halla el número de elementos de los conjuntos 9. Halla el número de elementos de los conjuntos A, B, C, D, E y F, si:A, B, C, D, E y F, si:

card P(A) = 64 card P(D) = 32card P(A) = 64 card P(D) = 32 card P(B) = 512 card P(E) = 16card P(B) = 512 card P(E) = 16 card P(C) = 4 card P(F) = 8card P(C) = 4 card P(F) = 8

PROBLEMAS PROPUESTOS (6)PROBLEMAS PROPUESTOS (6)

10. ¿ Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de 10. ¿ Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de B, si B = {x/x E N, 7 ≤ x < 12?B, si B = {x/x E N, 7 ≤ x < 12?

11. ¿Qué pares de conjuntos son iguales?11. ¿Qué pares de conjuntos son iguales? A = {x / x E N Ʌ 1 ≤ X ≤ 4}A = {x / x E N Ʌ 1 ≤ X ≤ 4} E = {2; 3; 4} E = {2; 3; 4} B = {x / x E N Ʌ 3 < X < 4}B = {x / x E N Ʌ 3 < X < 4} F = {1; 2; 3; 4} F = {1; 2; 3; 4} C = {x / x E N Ʌ 1 < X < 4}C = {x / x E N Ʌ 1 < X < 4} G= { } G= { } D = {x / x E N Ʌ 1 < X ≤ 4}D = {x / x E N Ʌ 1 < X ≤ 4} H= {2; 3} H= {2; 3}

12.Halla el valor de x para que estos conjuntos sean 12.Halla el valor de x para que estos conjuntos sean unitarios.unitarios.

M = {7; x}M = {7; x} O = {3x - 1; 14}O = {3x - 1; 14} N = {2x; 10}N = {2x; 10} Z = {x/2 – 1; 9}Z = {x/2 – 1; 9} L = {x+4; 12}L = {x+4; 12} P = {2x/3; 6}P = {2x/3; 6}

PROBLEMAS PROPUESTOS (7)PROBLEMAS PROPUESTOS (7)

13. Considera los conjuntos:13. Considera los conjuntos: A = {x / x E N Ʌ 17 ≤ x < 25}A = {x / x E N Ʌ 17 ≤ x < 25}

B = {x / x E N Ʌ x < 10}B = {x / x E N Ʌ x < 10}a) Completa el diagramaa) Completa el diagrama

b) Si el conjunto referencial es N escribe por b) Si el conjunto referencial es N escribe por extensión:extensión: c

B

c (AUB)

c (A∩B)

PROBLEMAS PROPUESTOS (8)PROBLEMAS PROPUESTOS (8)

14. Las regiones sombreadas representan:14. Las regiones sombreadas representan:

a) (L B ∩ N) U (M U L) / (O ∩ S) U (R ∩ S)a) (L B ∩ N) U (M U L) / (O ∩ S) U (R ∩ S)b) (M ∩ N) U (M ∩ L) / (S U (O ∩ R)b) (M ∩ N) U (M ∩ L) / (S U (O ∩ R)c) (M - N) U (N - M) / (R - O) U (O ∩ S)c) (M - N) U (N - M) / (R - O) U (O ∩ S)d) (M U N) - L / (O U R) ∩ Sd) (M U N) - L / (O U R) ∩ S

15. Dados los conjuntos A={2;4;6;8;10},B={6; 8; 9}. Hallar A B.15. Dados los conjuntos A={2;4;6;8;10},B={6; 8; 9}. Hallar A B.

PROBLEMAS PROPUESTOS (9)PROBLEMAS PROPUESTOS (9)

16. Si A ∩ B = {3; 5} A = {1; 3; 5; 7}16. Si A ∩ B = {3; 5} A = {1; 3; 5; 7} Escribe tres posibles conjuntos B que satisfagan la Escribe tres posibles conjuntos B que satisfagan la

intersección.intersección.

17. Si M={1; 2; 3; 4; 5} N={2; 4; 6; 8} y Q={1; 2; 3; 7; 8; 9}. 17. Si M={1; 2; 3; 4; 5} N={2; 4; 6; 8} y Q={1; 2; 3; 7; 8; 9}. Resuelve gráficamente, comprueba y responde.Resuelve gráficamente, comprueba y responde.a)¿M U N = N U M?a)¿M U N = N U M?b)¿Es (M U N) ∩ Q = (M ∩ Q) U (N ∩ Q)?b)¿Es (M U N) ∩ Q = (M ∩ Q) U (N ∩ Q)?

18.18. En un salón de 40 alumnos se observó que 25 En un salón de 40 alumnos se observó que 25 aprobaron matemáticas, 15 aprobaron lenguaje y aprobaron matemáticas, 15 aprobaron lenguaje y 10 no aprobaron ninguno de los dos cursos. 10 no aprobaron ninguno de los dos cursos. ¿Cuántos aprobaron los dos cursos ?¿Cuántos aprobaron los dos cursos ?

19. En una encuesta a 25 niños, 15 prefieren ver dibujos 19. En una encuesta a 25 niños, 15 prefieren ver dibujos animados , 6 prefieren ver dibujos y salir a jugar. animados , 6 prefieren ver dibujos y salir a jugar. ¿Cuántos niños sólo prefieren jugar?¿Cuántos niños sólo prefieren jugar?

PROBLEMAS PROPUESTOS (10)PROBLEMAS PROPUESTOS (10)

20. De 100 personas que leen por lo menos dos de tres 20. De 100 personas que leen por lo menos dos de tres revistas: A,B,C; se observa que 40 leen las revistas y A y revistas: A,B,C; se observa que 40 leen las revistas y A y B, 50 leen B y C y 60 leen A y C ¿Cuántas personas leen B, 50 leen B y C y 60 leen A y C ¿Cuántas personas leen las tres revistas?las tres revistas?

21. En una sección de 45 alumnos , 24 juegan fútbol, de los 21. En una sección de 45 alumnos , 24 juegan fútbol, de los cuales 12 sólo juegan fútbol, 23 juegan básquet y 8 sólo cuales 12 sólo juegan fútbol, 23 juegan básquet y 8 sólo básquet; 19 juegan vóley y 5 sólo vóley . Además 5 juegan básquet; 19 juegan vóley y 5 sólo vóley . Además 5 juegan fútbol , básquet y vóley, y 9 juegan fútbol y básquet.fútbol , básquet y vóley, y 9 juegan fútbol y básquet.

a) ¿Cuántos juegan fútbol y vóley?a) ¿Cuántos juegan fútbol y vóley?b)b) ¿Cuántos juegan básquet y vóley? ¿Cuántos juegan básquet y vóley?c)c) ¿Cuántos juegan fútbol y no básquet ? ¿Cuántos juegan fútbol y no básquet ?d)d) ¿Cuántos juegan vóley y no básquet? ¿Cuántos juegan vóley y no básquet?

Nunca digas no puedo, con practica y esfuerzo todo se puede lograr . Nunca digas no puedo, con practica y esfuerzo todo se puede lograr .