SUBCONJUNTOS DE LOS NÚMEROS CARDINALES

• • NÚMEROS PARES E IMPARES • Números Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,...},

los cuales se pueden representar algebraicamente como 2n, por ser todos ellos múltiplos de 2.

• Ejemplo de número par expresado de la forma 2n

• Número 2n . 28 2 14 56 2 28 114 2 57

• Números Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,...} ¿Cómo se representan algebraicamente? Tenemos dos opciones (2n + 1) ó (2n - 1).

Estas representaciones algebraicas las utilizaremos permanentemente, así que no la olvide.

• Ejemplo de número impar expresado de la forma 2n + 1

• Número 2n + 1• 29 2 14 +1• 57 2 28 + 1• 115 2 57 + 1

• NÚMEROS PRIMOS • Números Primos: Un número, mayor o igual

a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí mismo. Por ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3.

• El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12. Los números naturales mayores que 1 que no son primos se llaman números compuestos, o sea el 12 es un número compuesto.

NÚMEROS COMPUESTOS• Números compuestos: son números enteros

positivos distintos de 1 que se puede descomponer por 1, por sí mismo y por otro factor.

• Ejemplo: El 4 es compuesto porque se puede descomponer por 1, por 4 y por 2.

• El número “ 1 ” no es primo ni compuesto.

• ¿CÓMO DISPONER LOS NÚMEROS PRIMOS Y

COMPUESTOS EN ARREGLOS BIDIMENSIONALES? • Números Primos • ● ● 2 2*1• ● ● ● 3 3*1 • ● ● ● ● ● 5 5*1• ● ● ● ● ● ● ● 7 7*1 • Los números primos sólo se pueden disponer en 1 arreglo

bidimensional.

• Números Compuestos• • ● ● ● ● 4 4*1 • ● ● 4 2*2• ● ●• • ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 12 12*1

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 12 6*2

● ● ● ● • ● ● ● ● 12 3*4 • ● ● ● ●• Los números compuestos se pueden disponer en más de un

arreglo bidimensional.

• DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

• Los números compuestos, pueden ser expresados como la multiplicación indicada de sus factores primos, elevados a exponentes enteros y positivos.

• 36 • 6 x 6 • 2 x 3 x 2 x 3 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32

• Descomponga el número 480 en factores primos.

MÚLTIPLOS Y DIVISORES • Múltiplo: Se llama múltiplo de un número a

aquel que obtenemos al multiplicar ese número por otro cualquiera. Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene un número entero de veces.

• - El número cero tiene un solo múltiplo, que es el 0. Los demás números naturales tienen infinitos múltiplos. ( 0 x 1 = 0; 0 x 2 = 0; …… )

• - El número cero es múltiplo de todos los números. M 2= 0, 2, 4, ….

• Todos los números son múltiplos de 1. • ( M(1) = 1, 2, 3, 4, ….)• - Los múltiplos de dos terminan en 0, 2, 4, 6, 8• - Los múltiplos de 2 se pueden representar como

“2n”, siendo “n” un número cardinal cualquiera.• - Los múltiplos de 3 se pueden representar como

“3n”, siendo “n” un número cardinal cualquiera.• M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, ….)

• M (7) = 0, 7, 14, 21, 28, …

• El conjunto de múltiplos de un número es infinito

• Divisor: es el número que divide exactamente a otro. El divisor de un número es equivalente con un factor del mismo número, ya que como hemos visto la división es la operación inversa de la multiplicación.

• Ejemplo: 12 : 4 = 3 cuociente• • Dividendo Divisor • 4 x 3 = 12 Producto •

Factor Factor

• D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12

• D (18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18

• El conjunto de divisores de un número es

finito.• Hay números que son divisibles por varios

números a la vez. • El 12 es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12

Hay números que sólo son divisibles por 1 y por sí mismos.

• Ejemplo: El 13 es divisible por 1 y por 13 • ¿Cuáles son los divisores de 24? y ¿Cuáles son los

factores de 24?

La división es la operación inversa de la multiplicación. Son divisores de 24 los mismos que sus factores.

• Divisibilidad de los Números • Un número es divisible por otro cuando éste

lo contiene un número entero de veces, dejando resto cero.

• 15 : 5 = 3 15 es divisible por 5 ( 5 es divisor de 15)

0// • 15 : 6 = 2 15 no es divisible por 6 3//

NÚMERO CRITERIO EJEMPLO

2 Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.

238: porque "8" es par.630 porque termina en cero

3 Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus

cifras es un múltiplo de 3.480: porque 4+8+0 = 12 es

múltiplo de 3.

4 Un número es divisible por 4 cuando las dos últimas cifras

son 00 ó múltiplo de 4.

7324: porque 24 es múltiplo de 4.

5600: las dos últimas cifras son ceros.

5 Un número es divisible por 5 cuando la última cifra es 0

ó 5.480, 565

6 Un número es divisible por 6 cuando el número es divisible

por 2 y por 3 la vez.

24: es divisible por 2 porque termina en número par y es

divisible por 3 porque 2+4= 6 y 6 es múltiplo de 3

NÚMEROS CRITERIOS EJEMPLO

9 Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras

es múltiplo de 9.

3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.

10 Un número es divisible por 10 cuando la última cifra es 0.

470: La última cifra es 0.

• ¿Para qué sirven los múltiplos y los divisores?• Los múltiplos de dos o más número sirven

para calcular el m.c.m., para poder sumar o restar fracciones de distinto denominador, para resolver problemas,….

• (Los divisores de un número se trabajan en

relación a las diferentes maneras en que se puede repartir, dividir una colección o medida en partes iguales, (m.c.d.).

• MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO• Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR• Existe un número que es múltiplo de todos los

números cardinales: el cero (0). También encontramos múltiplos de varios numerales a la vez, se llaman múltiplos comunes.

• 18 es múltiplo de 1, 2, 3, 6, 9 y 18. • MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m), El Mínimo

Común Múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de esos números. El m.c.m. es importante en la resolución de problemas y en el estudio de las fracciones.

• Observa el siguiente ejemplo:• buscaremos el m.c.m. de 6, 8 y 12.• a) 6 – 8 – 12 • • • • • •

• b) Factorización de cada número en factores primos:

• 6 = 2 x 3 8 = 2 x 4 12 = 2 x 6 2 x 2 x 2 2 x 2 x 3• 2 x 3 23 22 x 3• De cada base igual se considera la que

tiene mayor exponente: • 23 x 3 = 2 x 2 x 2 x 3 = 24 m.c.m. = 24

c) Múltiplos, múltiplos comunes y mínimo común múltiplo.

• M(6) = 0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78…}

• M(8 )= 0, 8, 16, 24 , 32, 40, 48 , 56,64, 72 , 80,….

• M(12) = 0, 12, 24 , 36, 48 , 60, 72 , 84,96, ….

• m.c.m. (6,8,12) = 24

● Divisor es el número que divide exactamente a otro. Equivale a ser factor de un numeral, pues, como hemos visto, la división es la operación inversa de la multiplicación. Son divisores de 12 los mismos que sus factores.

• D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }• D (16) = { 1, 2 , 4, 8, 16 }• D ( 20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20}

• Al observar los ejemplos, comprobamos que el 1 es divisor en los tres ejemplos. Esta relación la cumple con todos los números cardinales. También hay divisores comunes para dos o más numerales, dentro de estos se destacan el mínimo y el máximo común divisor.

• El Máximo común divisor (m.c.d.) o máximo factor común( m.f.c) es el mayor de ellos, distinto de 1.

• m.c.d. (12, 16 y 20) = 4