ELEMENTOS DE MATEMATICA Publicación didáctico científica

de la Universidad CAECE - Trimestral Redacción y Administración:

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ELEMENTOS DE MATEMATICA

PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFICA de la UTCIVERSIDAD CAECE

Director: Prof. Roberto P.J. Hernández

Secretaria de Edición: Prof. Mariana A. Ortega

Colaboradores permanentes: Dr. Luis Santaló

Prof. Jorge Bosch Lic. Nicolás Patetta

Lic. Lucrecia Iglesias Prof. María E.S. de Hernández

Prof. Elena García

Con el auspicio del Comité Argentino de Educación Matemática

Adherido al Comité Interamericano de Educación Matemática

Suscripción anual: Argentina: 100.000.-A

Exterior: 12 dólares o el equivalente en moneda de cada país

Ejemplar suelto: 30.000.- A Ejemplar atrasado: 35.000.- A

Exterior: 5 dólares

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Diagramación e impresión: Dharma Gráfica

San José 133 - Tel. 38-5807 (1076) Capital

VOLUMEHV ríUMERO XX Junio 1991

SUMARIO

Editorial 3

L a teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas VII y Ultima Parte

Gregorio Klimovsky 5

Propuesta didáctica Lucrecia Delia Iglesias 13

L a computación como recurso Prof. Elena García 17

Los problemas matemáticos en el aula

Prof. María Esther S. de Hernández 2 7

Noticias 35

Bibliografía 37

Grageas 38

ISSN 0326-8888

Editorial

Estimado Lector: Con el ejemplar que Ud. tiene en sus manos se completan los primeros cinco años de vida de "Elementos de Matemática". Es el número XX del volúmen V. Sólo la complacencia de los sufridos colegas nos ha permitido continuar la promesaformulada en el editorial del número inicial. Hemos vivido distintos avatares que fuimos sorteando gracias a tres clases de estímulos: los de la Universidad y Fundación CAECE; los de nuestros distinguidos colaboradores y los de los estimados suscriptores. Al avistar el sexto año de vida solamente queremos asegurar la continuidad de nuestro esfuerzo en el camino emprendido y reiterar, una vez más, que continuaremos totalmente dispuestos a seguir recibiendo todas las sugerencias y contribuciones que se deseen formular.

En este número XX se concluye el importante trabajo "La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas" del Prof. Gregorio Klimovsky que ocupó una parte destacada de siete números. Se incluyen como siempre las corresponidentes secciones fijas.

En la sección bibliografía se comenta el libro "Contrapedagogía y Conocimiento" del que es autor el actual Rector de la Universidad CAECE, Profesor Jorge E. Bosch. Este libro representa la primera ampliación de Ediciones Universidad CAECE y el título inicial de la Serie 2 de tales Ediciones. La Serie 1 de las mismas es la de Publicaciones periódicas, integrada naturalmente, por ahora, por nuestra Revista. Las Ediciones Universidad CAECE se irán desarrollando en tantas series como las especialidades temáticas que impliquen serios aportes a la cultura lo determinen, y con los títulos de destacados científicos que aportarán trabajos de gran envergadura a los que sólo exigiremos calidad.

Será un placer utilizar nuestra revista para ir anunciando las sucesivas apariciones de Ediciones Universidad CAECE.

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y los fundamentos de la matemática

Séptima y última parte

por Gregorio Klimovsky

Hay años que son especialmente significativos para la historia de la ciencia, pues en ellos ocurren simultáneamente varios acontecimientos importantes para el desarrollo del conocimiento. Por ejemplo, el año 1905 tuvo especial relieve para la física, ya que en esa fecha Einstein produjo tres memorias revolucionarias; la primera, relativa al movimiento browniano, sirvió para dar una prueba cuantitativa de la existencia de las moléculas y -por implicación- de la teoría atómica; la segunda, que discutía el efecto fotoeléctrico, permitió inferir una generalización de la concepción discontinua de la energía, ya introducida por Planck, que involucró el descubrimiento de los fotones y también que en 1921 se le confiriera el premio Nobel; la tercera introducía nada menos que la teoría especial de la relatividad.

Para la matemática, un año trascendental fue el de 1908. En esta ocasión, se publicaron tres tesis independientes acerca de cómo solucionar la crisis que en ese momento acaecía en el campo de los fundamentos de la matemática. El problema, como se recordará, era que la teoría de conjuntos, tal como la desarrollaba su creador, Cantor, y tal como la axiomatizaba Frege con ayuda de la lógica de la cuantificación, producía contradicciones. Lo grave de esta crisis residía en que la fundamentación de la matemática parecía descansar en una reducción a la teoría de conjuntos. Además, intrínsecamente, la disciplina conjuntística era fascinante pues, entre otras cosas, permitía investigar el muy atrayente tópico de los números cardinales u ordinales infinitos o, como se dice en la jerga técnica, trasfinitos.

Las tres tesis fueron las siguientes. En primer lugar, la del holandés Brouwer -conocida como "neointuicionismo", implicaba modificar los principios lógicos, en especial el de tercero excluido. Ya hemos discutido sus méritos y dificultades. El hecho es que de todos modos no parece que

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tan drástica solución impida la aparición de contradicciones. Además, de acuerdo con los resultados de Glivenko y de Godel, parece que si hay contradicción usando lógica clásica debe producirse otra empleando lógica intuicionista. No puede dejar de reconocerse que esta orientación tuvo el mérito de llamar la atención hacia el concepto de "construcción" y de proponer un abandono drástico de toda forma de platonismo metafísico en matemática. Pero, como estrategia para solucionar la crisis conjuntística, parecía un fracaso;

Otra de las tesis que se proponen en 1908 es la conocida como "teoría de los tipos" y se debe al más grande filósofo inglés de nuestro siglo, Bertrand Russell. Ella es expuesta en el primer volumen del "Principia Mathematica", escrito en colaboración con otro grán filósofo británico, Alfred N. Whitehead. Los "Principia", sea dicho de paso, constan de tres volúmenes que en conjunto hacen unas.tres mil páginas, gran parte de las cuales están escritas en simbología lógica matemática. La teoría de los tipos tiene dos formas, la "ramificada." y la "simple". La primera es la original de Russell, en tanto que la segunda fue posteriormente propuesta por varios autores, entre ellos los célebres lógicos Alfred Tarski y Rudolf Carnap.

La concepción de Bertrand Russell es muy importante, y ha tenido mucha influencia entre los filósofos contemporáneos. Pero, por razones que de inmediato diremos, ha tenido escaso eco entre los matemáticos, y ésa es la razón por la que nó vamos a ocuparnos de élla, dando sólo unas pocas indicaciones. La idea fundamental es que la culpa de las contradicciones lógicas y conjúntísticas reside en abusos lingüísticos, que consisten en tomar como significativas proposiciones que en realidad no tienen sentido alguno. La confusión consiste en que parece haber una forma gramatical correcta, pero las reglas semánticas están ausentes. Un ejemplo drástico es el de "compatibilidad bebe dilación", que sintácticamente parece correcto, pues consta de sujeto, verbo y predicado, pero que no es falso sino absurdo,, sin significado alguno.

Ocurre que otros ejemplos no están tan claros, y de ahí las confusiones. Por ejemplo, "el número ocho es valiente", que tampoco tiene sentido, puesto que "valentía" es algo qué sólo puede predicarse de individuos concretos, pero es un absurdo categorial afirmarlo de entidades formales y abstractas como los números. Vale la pena hacer notar que esto ha sido utilizado por Russell para sostener que la mayoría de las proposiciones de la metafísica y de otras partes de la filosofía están exactamente en la misma situación: parecen gramaticalmente correctas pero no tienen sentido, de modo que es una positiva labor intelectual de carácter

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higiénico expulsarlas del campo de la cultura y evitar que la gente siga discutiendo y aún matándose por culpa de ellas.

Russell combina este punto de vista con una concepción en cierto modo también "constructivista" de la matemática. El piensa que una propiedad o un conjunto se define o construye como una clasificación de objetos. Pero, y esto es lo esencial de las dos teorías de los tipos, la ramificada tanto como la simple, lo que se clasifica debe ya estar definido o constituido. No es posible introducir un concepto clasificatorio que, entre las cosas que clasifique, aluda al propio concepto. Esto sería un "círculo vicioso". De acuerdo con esto, las entidades se clasifican según el orden en que han sido constituidas. Cada lugar en el proceso de construcción o definición es una "categoría" o "tipo". Así, los individuos u objetos concretos integran el primer tipo; luego vienen las propiedades o conjuntos de esos objetos, y esto es lo que forma el tipo segundo. Pero el proceso continúa, pues las propiedades de propiedades constituyen el tercer tipo, las propiedades o conjuntos de cosas del tercer tipo integran el cuarto tipo, y así sucesivamente. Las entidades de tipo n + 1 sólo pueden predicarse con sentido (aunque la predicación sea verdadera o falsa) de las entidades de tipo n. De otro modo, aunque gramaticalmente parecería que procedemos bien, el resultado sería un sinsentido... En particular, predicar una propiedad de sí misma es un absurdo sin significación. Pero esto da la solución a la antinomia de Russell. Puesto que es un absurdo hablar de un conjunto que se contiene (o no) a sí mismo, no hay una cosa como el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos -ni la propiedad de ser una propiedad que no se aplica a sí misma- La antinomia de Russell, ya discutida por nosotros en ocasiones anteriores en estos trabajos, queda así evitada.

La idea de Russell es que de modo análogo pueden evitarse todas las otras antinomias. En la forma original, la ramificada, esto puede ser cierto. En la forma simple, sólo se evitan algunas-las llamadas "antinomias lógicas"-, para impedir las que se refieren al lenguaje -las "paradojas semánticas"-, hay que usarla importante idea de "jerarquía de lenguajes", que no expondremos aquí.

Ventajas de la posición de Russell: se conserva el postulado de existencia de conjuntos, que afirma que para toda propiedad de objetos expresada por una fórmula con una variable libre x existe el conjunto de todos los valores de x que satisfacen la fórmula. Pero aquí los valores de x deben ser todos del mismo tipo, por ejemplo n, y el conjunto obtenido será de tipo n + 1. Desventajas: los matemáticos usan conjuntos mixtos,

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mezclando de manera heterogénea entidades más simples con las más complejas desde un punto de vista categorial. Esto no puede hacerse con la teoría de los tipos, según ya dijimos. Además, la noción de número se disgrega en infinitas nociones. Por ejemplo, habría que distinguir cuando se habla de tres individuos de cuando se habla de tres conjuntos; "tres" no significaría igual en ambas ocasiones, no tendría idéntico tipo. Russell quiere evitar esto, inventando loquedenomina "ambigüedad sistemática", pero todo se hace complicado. Además, hay diferentes clases universales y clases vacías, según el tipo. La fundamentación de los números reales y también la de los ordinales trasfinitos se hace muy intrincada. De cualquier modo, para saber que hay infinitos números naturales es necesario admitir un "axioma del infinito", con lo cual el problemade la consistencia del sistema se hace muy problemático. Como ya dijimos, los matemáticos no han desarrollado afecto alguno por esta solución, que casi no tiene aplicación alguna en la matemática actual.

La tercera tesis que hizo eclosión el mentado año de 1908 es la que se debe al matemático Ernst Zermelo. Este renuncia a la pretensión de Frege de extraer toda la teoría de conjuntos a partir de dos principios, el de extensionalidad y el de existencia, que interpretaba como principios lógicos especiales para conjuntos. Zermelo no propone una revolución drástica como la de los intuicionistas -que pretendían que abandonásemos el principio de tercero excluido- o la de Russell -que declaraba "sin sentido" a la mayoría de las proposiciones de la teoría intuitiva de conjuntos y aún a gran parte de las afirmaciones de la lógica informal-En cierto modo, la posición de Zermelo es conservadora y nos induce a conservar la lógica de siempre y el lenguaje conjuntístico de Cantor, sin ninguna cortapisa. Le parece que en la concepción de Frege hay dos aspectos, uno bueno y otro malo. Lo bueno es tratar de extraer la teoría de conjuntos, y por ende toda la matemática, de unos pocos principios simples característicos de esa disciplina. De igual modo al que Euclides fundamenta la geometría y Peano la aritmética, es necesario encontrar postulados que convengan al tipo peculiar de objetos que ahora se quiere estudiar, los conjuntos. Por ello es que esta metodología se conoce actualmente como "teoría axiomática de conjuntos". Lo malo es pretender que el punto de partida, los axiomas iniciales, debe estar constituido por un tipo especial de "principios lógicos", para permitir la reducción de la matemática a la lógica, como deseaban Frege y Russell. Lo correcto es limitarse a encontrar las suposiciones apropiadas para caracterizar las propiedades de los conjuntos, dejando a la lógica únicamente la misión de utilizar apropiadamente el lenguaje ordinario cuando hay que definir

o deducir. El error de Frege estaría en querer utilizar como punto de partida para

la teoría de conjuntos el viejo principio lógico según el cual a cada "intensión" le corresponde una "extensión", es decir, a cada propiedad o concepto le corresponde un conjunto, el de todos los objetos que poseen esa propiedad (advertencia idiomática: ¡actualmente "intensión" se usa para las propiedades, "intención" únicamente para objetivos o ideales!). El principio de existencia-de Frege, que a cada proposición "abierta" con una variable libre x le garantiza la existencia de un conjunto cuyos miembros son exactamente los valores de x que satisfacen tal proposición, constituye un axioma demasiado ambicioso -motivado por prejuicios o designios de orden lógico- y no hay que extrañarse que conduzca a contradicción.

Pero, como debe haber en la teoría axiomas que garanticen la existencia de ciertos conjuntos, aquéllos que son indispensables para el discurso matemático, Zermelo propone una versión debilitada del principio de existencia sostenido por Frege. Enlugardepedirqueparacada proposición "abierta" (o "función proposicional") con una variable libre x se garantice la existencia del conjunto de todos los valores de x que cumplan la proposición, ahora sólo se exige que, para cualquier conjunto y, exista el subconjunto z de y constituido por todos los valores de x que son elementos de z y satisfacen la proposición abierta dada.

Para entenderlo mejor, supongamos que "— x —" sea la proposición abierta que posee la variable libre x. La exigencia de Frege era la de que exista un conjunto z tal que, cualquiera sea x, x pertenecerá a z si y sólo si — x — se cumple. En símbolos de la lógica de la cuantificación:

( 3 z) (x ) (x G z = —X-) En cambio, el axioma de existencia de Zermelo sólo pide lo siguiente:

(y) ( 3 z) (x) (x e z = (x e y, —x— )) Recuérdese que "." es la conectiva "y", "=" corresponde a "si y sólo

si", un cuantificador como (y) debe leerse "para todo valor de y" y uno como ( 3 z) corresponde a "existe un valor de z". Tanto el principio de Frege como el de Zermelo deben interpretarse no como un axioma sino como un "esquema de axiomas", entendiendo por esto que para cada función proposicional que deseemos tener en cuenta, obtendremos un axioma especial reemplazando "—x—" por tal función.

Es interesante observar de inmediato que esta debilitación del principio de existencia de Frege parece evitar la antinomia de Russell. Recordemos que ésta se producía cuando en el axioma de Frege poníamos en lugar de

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mezclando de manera heterogénea entidades más simples con las más complejas desde un punto de vista categorial. Esto no puede hacerse con la teoría de los tipos, según ya dijimos. Además, la noción de número se disgrega en infinitas nociones. Por ejemplo, habría que distinguir cuando se habla de tres individuos de cuando se habla de tres conjuntos; "tres" no significaría igual en ambas ocasiones, no tendría idéntico tipo. Russell quiere evitar esto, inventando lo que denomina "ambigüedad sistemática", pero todo se hace complicado. Además, hay diferentes clases universales y clases vacías, según el tipo. La fundamentación de los números reales y también la de los ordinales trasfinitos se hace muy intrincada. De cualquier modo, para saber que hay infinitos números naturales es necesario admitir un" axioma del infinito", con lo cual el problema de la consistencia del sistema se hace muy problemático. Como ya dijimos, los matemáticos no han desarrollado afecto alguno por esta solución, que casi no tiene aplicación alguna en la matemática actual.

La tercera tesis que hizo eclosión el mentado año de 1908 es la que se debe al matemático Ernst Zermelo. Este renuncia a la pretensión de Frege de extraer toda la teoría de conjuntos a partir de dos principios, el de extensionalidad y el de existencia, que interpretaba como principios lógicos especiales para conjuntos. Zermelo no propone una revolución drástica como la de los intuicionistas -que pretendían que abandonásemos el principio de tercero excluido- o la de Russell -que declaraba "sin sentido" a la mayoría de las proposiciones de la teoría intuitiva de conjuntos y aún a gran parte de las afirmaciones de la lógica informal-En cierto modo, la posición de Zermelo es conservadora y nos induce a conservar la lógica de siempre y el lenguaje conjuntístico de Cantor, sin ninguna cortapisa. Le parece que en la concepción de Frege hay dos aspectos, uno bueno y otro malo. Lo bueno es tratar de extraer la teoría de conjuntos, y por ende toda la matemática, de unos pocos principios simples característicos de esa disciplina. De igual modo al que Euclides fundamenta la geometría y Peano la aritmética, es necesario encontrar postulados que convengan al tipo peculiar de objetos que ahora se quiere estudiar, los conjuntos. Por ello es que esta metodología se conoce actualmente como "teoría axiomática de conjuntos". Lo malo es pretender que el punto de partida, los axiomas iniciales, debe estar constituido por un tipo especial de "principios lógicos", para permitir la reducción de la matemática a la lógica, como deseaban Frege y Russell. Lo correcto es limitarse a encontrar las suposiciones apropiadas para caracterizar las propiedades de los conjuntos, dejando a la lógica únicamente la misión de utilizar apropiadamente el lenguaje ordinario cuando hay que definir

o deducir. El error de Frege estaña en querer utilizar como punto de partida para

la teoría de conjuntos el viejo principio lógico según el cual a cada "intensión" le corresponde una "extensión", es decir, a cada propiedad o concepto le corresponde un conjunto, el de todos los objetos que poseen esa propiedad (advertencia idiomática: ¡actualmente "intensión" se usa para las propiedades, "intención" únicamente para objetivos o ideales!). El principio de existencia de Frege, que a cada proposición "abierta" con una variable libre x le garantiza la existencia de un conjunto cuyos miembros son exactamente los valores de x que satisfacen tal proposición, constituye un axioma demasiado ambicioso -motivado por prejuicios o designios de orden lógico- y no hay que extrañarse que conduzca a contradicción.

Pero, como debe haber en la teoría axiomas que garanticen la existencia de ciertos conjuntos, aquéllos que son indispensables para el discurso matemático, Zermelo propone una versión debilitada del principio de existencia sostenido por Frege. En lugar de pedir que para cada proposición "abierta" (o "función proposicional") con una variable libre x se garantice la existencia del conjunto de todos los valores de x que cumplan la proposición, ahora sólo se exige que, para cualquier conjunto y, exista el subconjunto z de y constituido por todos los valores de x que son elementos de z y satisfacen la proposición abierta dada.

Para entenderlo mejor, supongamos que "--- x —" sea la proposición abierta que posee la variable libre x. La exigencia de Frege era la de que exista un conjunto z tal que, cualquiera sea x, x pertenecerá a z si y sólo si — x — se cumple. En símbolos de la lógica de la cuantificación:

( 3 z) (x) (x e z = —x--) En cambio, el axioma de existencia de Zermelo sólo pide lo siguiente:

(y ) ( 3 z) (x) (x e z = (x e y, —x— )) Recuérdese que "." es la conectiva "y", "=" corresponde a "si y sólo

si", un cuantificador como (y) debe leerse "para todo valor de y" y uno como ( 3 z) corresponde a "existe un valor de z". Tanto el principio de Frege como el de Zermelo deben interpretarse no como un axioma sino como un "esquema de axiomas", entendiendo por esto que para cada función proposicional que deseemos tener en cuenta, obtendremos un axioma especial reemplazando "—x—" por tal función.

Es interesante observar de inmediato que esta debilitación del principio de existencia de Frege parece evitar la antinomia de Russell. Recordemos que ésta se producía cuando en el axioma de Frege poníamos en lugar de

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"—x—" concretamente la furgón proposicional "x £ x." Obteníamos así:

( 3 z ) ( x ) ( x e z = x £ x ) Como el z cuya existencia se afirma debe ser único, por el principio de

extensionalidad -que, sea dicho de paso, Zermelo también conserva y adopta-, podemos llamarlo "R" (¡el conjunto de Russell!), por lo cual tendríamos:

( X ) ( X E R E X Í X ) Puesto que esta fórmula nos dice que cualquier valor de x debe cumplir

la condición entre paréntesis, reemplazando en ésta x por R tendríamos R e R = R ¿ R

que, en efecto, es una contradicción. ¿Qué pasa si usamos la formulación debilitada de Zermelo? Efectuando

el mismo reemplazo de "---x—" por x í x , tendríamos (y ) ( 3 z) (x) (x e z = (x e y.x é x))

De acuerdo con esto, si consideramos un conjunto y cualquiera, ocurriría que

( 3 z) (x) (x e z = (x e y. x £ x)) Llamemos "R" al z cuya existencia se afirma, y entonces

(x) (x e R = (x e y. x g x)) Pero, lo que vale para todo x vale en particular para R. Luego tendríamos:

R € R = (R € y . R g R ) . En esto no hay contradicción. Se ve que " R e R" debe ser falso, pues

si fuese verdadero el segundo miembro de "=" será falso por contener como componente de la conjunción a "R £ R", que es falsa por ser la negación de "RE R". Pero si " R e R" es falsa, como "R «É R" sería verdadera, en tanto que todo el segundo miembro de " =" debe ser falso, resultaríaque "R e y" también es falso. Esto nos dice que el subconjunto R de y, constituido por todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos, no se contiene a sí mismo como elemento ni tampoco es miembro de y. Hemos obtenido información, no contradicción.

Como el principio de existencia de Zermelo es más débil que el de Frege, algunos de los conjuntos que los matemáticos necesitan no se obtienen por esta vía. Se requiere entonces aceptar algunos axiomas más, de modo que el sistema alcance la fuerza mínima deseada. Zermelo acepta cinco postulados adicionales. Uno garantiza la existencia del par 110 ordenado definido por dos entidades cualesquiera dadas. Otro asegura que existe la unión de una familia cualquiera de conjuntos, con tal de que la familia sea también un conjunto. Un tercero afirma que, cualquiera sea

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el conjunto considerado, existe el conjunto de todas sus partes, es decir, de todos sus subconj untos. El cuarto es el axioma del infinito, que asevera que hay un conjunto no finito. El quinto axioma es el célebre y muy controvertido axioma de elección, del que hoy se sabe que es independiente del conjunto de los otros, según los ya clásicos resultados de Godel y Cohén.

Posteriormente se propusieron algunos axiomas más, con el objeto de garantizar la existencia de no sólo los conjuntos requeridos por la aritmética elemental sino también la de los solicitados por los investigadores de la matemática superior. En realidad, las variaciones y ampliaciones del sistema original de Zermelo son incontables. Vale la pena mencionar los nombres de Skolem, Fraenkel, Bernays y Godel. En la célebre "General Topology" de John L. Kelley se utiliza un poderoso sistema debido al matemático A. P. Morse.

Hay que reconocer que, cualquiera sea la manera en que se quiera corregir a la teoría de conjuntos primitiva de Cantor y de Frege, algún sacrificio a la intuición hay que hacer. Quizá la metodología de Zermelo es la que obliga a menos sacrificios, y ello explica que finalmente se haya impuesto en el campo de la matemática actual, tratados como el de Bourbaki incluidos. De todos modos, alguna intuición debe ser abandonada. Por ejemplo, en la teoría de Zermelo no existe clase universal, la clase de todas las entidades. (Cuando decimos "clase", lo hacemos como sinónimo de "conjunto".) Si hubiera tal conjunto, existiría -de acuerdo con lo arriba discutido- su subconjunto R constituido por todos sus elementos - ¡ observar que son todos los elementos del universo!-que no se contienen a sí mismos como miembros. Pero entonces deduciríamos la contradicción de Russell. Este argumento se usa como prueba por el absurdo de que la clase universal no existe. Pero entonces, dado un conjunto no existe su complementario; si lo hubiere, uniendo el dado con su complementario, tendríamos la clase universal, y esto ya quedó descartado.

Puede resultar extraño que no haya clase universal, pero si se piensa un poco esto no representa ningún obstáculo. Cuando un matemático emplea una clase, en general ella está constituida por entidades de alguna categoría especial: números, puntos, vectores, espacios, etc. Aún cuando se aluda a menudo a conjuntos heterogéneos, raro es que todo tenga que ser mencionado: zapallos, estrellas, recuerdos, montañas, políticos, etc., etc. Lo que el matemático necesita no es el universo total, sino universos de discursos, complementarios relativos, categorías especiales. De todas las restricciones que hemos discutido, las que Zermelo propone parecen

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las más razonables. Hay sin embargo una pregunta embarazosa. ¿Cómo se sabe que el

sistema axiomático de Zermelo no lleva a contradicción? ¿Acaso no podría repetirse aquí lo que sucedió con el sistema de Frege? Es de vital importancia lograr alguna contestación, pues toda la matemática actual descansa en esta versión axiomática de la teoría de conjuntos - o en otras similares- Por desgracia, no tenemos noción de lo que ocurre, ni la vamos a poder tener. De acuerdo con el célebre teorema de Gódel de 1931, sólo es posible probar la no-contradicción de un sistema axiomático desde otro que tenga más fuerza, más axiomas. Pero, si el primero es sospechoso de llevar a contradicción, el sistema más fuerte será con toda razón más sospechoso aún (al tener más "fuerza" puede demostrar más cosas, y por ello llevar con más probabilidad a la contradicción).

Y, entonces, ¿qué hacer? La única posibilidad es resignarse a admitir que la matemática, por analogía a las teorías de la física o a las de la ciencia natural, posee un cierto carácter hipotético. Al igual que el físico, que sabe que de pronto puede surgir una refutación empírica que obligue a descartar principios y a modificar teorías, el matemático trabaja bajo la hipótesis de que su punto de partida no lleva a contradicción, pero ello puede ser meramente provisorio. Ya ha pasado -en lógica matemática-que hubiera que abandonar principios porque engendraban contradicciones.

Aún cuando no surjan inconvenientes, el matemático no sabe que haya verdaderamente entidades que correspondan a los términos que figuran en el discurso conjuntístico. De acuerdo con los cánones del método axiomático, debemos entender que lo que el matemático hace es meramente una actividad lógica, formal: suponiendo que haya entidades que satisfagan los axiomas, entonces esas entidades deberán cumplir también los teoremas de la matemática. Pero a la pregunta de si hay verdaderamente tales entidades, la respuesta es que no lo sabemos y que las investigamos de una manera puramente conjetural. Entre las suposiciones hipotéticas están las que los físicos hacen acerca del comportamiento de las cosas concretas, y entre ellas a su vez está la de que la matemática es aplicable a esas cosas. En el fondo, la ciencia tiene carácter hipotético debido a tres vertientes. En primer lugar, las teorías fácticas son sistemas de hipótesis acerca de la realidad. En matemática, lo hipotético es que existan conjuntos y que los axiomas pertinentes no lleven a contradicción. Y, en cuanto a la matemática aplicada, la hipótesis es la de que las propiedades matemáticas son aplicables (en particular, son total o parcialmente isomórficas) a los objetos reales.

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Lucrecia D. iglesias

En la propuesta anterior habíamos comenzado a desarrollar un ejemplo de abordaje del proceso de la deducción en la escuela media, siguiendo los pasos que formula Zoltan P. Dienes en "Seis etapas del aprendizaje en Matemática" (Barcelona, Teide, 1971)*.

El desarrollo expuesto en el número XVIII de Elementos de Matemática se puede resumir así:

• una etapa de juego estructurado, en que se planteaban dos problemas consistentes en analizar:

- uno, el conjunto de los divisores de 30, donde están definidas: la relación "es divisor de" y las operaciones, "hallar el máximo común divisor" y "hallar el mínimo común múltiplo";

- y el otro, el conjunto de partes (o subconjuntos) de {a, b, c}, donde está definida la relación "está incluido en" y las operaciones de unión e intersección.

En la obra de Dienes el juego estructurado está precedido por una etapa de juego libre que es posible cumplir proponiendo la exploración de cada conjunto sin aludir específicamente a las operaciones y relaciones, hasta observar los caminos de indagación que muestren los alumnos. Nuestro propósito, sin embargo, nos lleva a incursionar directamente en la segunda etapa;

• una etapa de descubrimiento del isomorfísmo a partir de la comparación de las tablas confeccionadas en la etapa anterior;

• una etapa de representación donde se introducen diagramas de Hasse que ponen en evidencia la estructura común.

Nuestra propuesta continúa internándonos en una nueva etapa (quinta, en la secuencia de Dienes).

En cuanto se dispone del diagrama del orden definido en cada modelo,

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)uede plantearse qué propiedades lo caracterizan de modo de verificar que: • si un elemento está relacionado con otro, y éste está relacionado con

el primero, se trata del mismo elemento; • si un elemento está relacionado con otro, y éste está relacionado con

un tercero, el primero está relacionado con el tercero. Lo característico de este momento del proceso es la necesidad

de un lenguaje generalizado; en efecto, si en una situación se 'lablaba de "números" y "ser divisor de" y en la otra, de "elemento" y "estar incluido en", para hablar de ambas simultáneamente hay que adoptar uno que no las diferencie: "elemento" y "estar relacionado con".

Claro que los vocablos mismos de este lenguaje general, deben ser producto espontáneo de la comunicación entre los alumnos aunque ellos no resulten aceptables desde un punto de vista académico. Una vez creado el lenguaje propio, los alumnos están dispuestos a modificarlo para estar de acuerdo con las convenciones de la comunicación científica.

En lo que sigue, supondremos que también las operaciones han sido objeto de este proceso de generalización y que en definitiva se ha llegado a convenir un lenguaje simbólico. Por ejemplo:

• * representa tanto "hallar el mínimo común múltiplo" como "hacer la unión",

• o representa tanto "hallar el máximo común divisor" como "hacer la intersección",

• O representa 1 y 0, • I representa 30 y {a, b, c}, • x, y, z, son los nombres de los elementos, • la relación analizada en los párrafos anteriores puede representarse

con R de modo que xRy se lea: "x está relacionado con y" ¿Qué propiedades resultan al examinar la situación general, con

todos los signos del lenguaje simbólico? Aquí aparece la necesidad de que los alumnos usen como propio este lenguaje y no, como imposición ajena. Sólo una cabal comprensión de su significado les puede dar la autonomía necesaria para manipularlos. Ellos mismos deben haber construido el sentido de cada signo, para poder explorar las propiedades de las operaciones y enunciarlas simbólicamente.

La etapa culmina precisamente cuando los alumnos puedan exhibir un listado análogo al que ofrecemos a continuación en el que los nombres anotados sugieren los que puede proponer el profesor en el momento de la institucionalización de los resulta-dos:

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mede plantearse qué propiedades lo caracterizan de modo de verificar que: • si un elemento está relacionado con otro, y éste está relacionado con

el primero, se trata del mismo elemento; • si un elemento está relacionado con otro, y éste está relacionado con

un tercero, el primero está relacionado con el tercero. Lo característico de este momento del proceso es la necesidad

de un lenguaje generalizado; en efecto, si en una situación se hablaba de "números" y "ser divisor de" y en la otra, de "elemento" y "estar incluido en", para hablar de ambas simultáneamente hay que adoptar uno que no las diferencie: "elemento" y "estar relacionado con".

Claro que los vocablos mismos de este lenguaje general, deben ser producto espontáneo de la comunicación entre los alumnos aunque ellos no resulten aceptables desde un punto de vista académico. Una vez creado el lenguaje propio, los alumnos están dispuestos a modificarlo para estar de acuerdo con las convenciones de la comunicación científica.

En lo que sigue, supondremos que también las operaciones han sido objeto de este proceso de generalización y que en definitiva se ha llegado a convenir un lenguaje simbólico. Por ejemplo:

• * representa tanto "hallar el mínimo común múltiplo" como "hacer la unión",

• o representa tanto "hallar el máximo común divisor" como "hacer la intersección",

• O representa 1 y 0, • I representa 30 y {a, b, c}, • x, y, z, son los nombres de los elementos, • la relación analizada en los párrafos anteriores puede representarse

con R de modo que xRy se lea: "x está relacionado con y" ¿Qué propiedades resultan al examinar la situación general, con

todos los signos del lenguaje simbólico? Aquí aparece la necesidad de que los alumnos usen como propio este lenguaje y no, como imposición ajena. Sólo una cabal comprensión de su significado les puede dar la autonomía necesaria para manipularlos. Ellos mismos deben haber construido el sentido de cada signo, para poder explorar las propiedades de las operaciones y enunciarlas simbólicamente.

La etapa culmina precisamente cuando los alumnos puedan exhibir un listado análogo al que ofrecemos a continuación en el que los nombres anotados sugieren los que puede proponer el profesor en el momento de la institucionalización de los resulta-dos:

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propiedad escrita en símbolos nombre X * X = X leyes de X o X = X idempotencia x * y = y * x leyes de x o y = y o x conmutatividad (x * y) * Z = x * (y * z) leyes de (x o y) o z = x o (y o z) asociatividad (x * y) o z = (x o z) * (y o z) leyes de (x o y) * z = (x * z) o (y * z) distributividad x R y <=> x * y = y o x o y = x leyes de

consistencia O R x, para todo x leyes de x RI, para todo x cotas universales 0 * x = x leyes de I o X = X elementos neutros I * x = I leyes de O o x = 0 elem. absorbentes Este sistema puede ser ampliado, introduciendo una operación

unitaria que generaliza las siguientes situaciones particulares: 1 30 0 {a, b, c} 2 15 {a} {b,c} 3 10 {b} {a, c} 5 6 {c} {a,b} 6 5 {a,b} {c}

10 3 {a, c} {b} 15 2 {b,c} {a} 30 1 (a, b, c} 0

Para cada elemento x, estas operaciones le asignan unívocamente otro que se puede simbolizar con x':

• a cada divisor de 30, le corresponde el que resulta de dividir 30 por

15

él mismo; • a cada parte de {a, b, c}, su complemento. Resultan fáciles de comprobar, las siguientes propiedades

x *x' = I leyes de X o x' = O complementariedad ( X ' ) ' = x ley de

involución (x * y)' = x' o y' leyes de (x o y)' = x' * y' De Morgan

Otra forma de ampliar el elenco de propiedades es la de realizar derivaciones por procesos deductivos; por ejemplo:

¿qué se obtiene, si partimos de la secuencia de operaciones x * (x o y), donde se repite el elemento x, y le aplicamos algunas de las leyes establecidas?

x * (x o y) = (x o I) * (x o y) por ser I neutro en o x * (x o y) = x o (I * y) por distributividad x * ( x o y ) = x * I por ser I absorbente en * x * (x o y) = x por ser I neutro en o 'Esto es: la repetición de x en la cadena x * (x o y) provoca la

desaparición de Análogamente, se puede llegar a que x o (x * y) = x. Y ambos hallazgos pueden incorporarse como leyes de absorción, ampliando el sistema.

Conviene desafiar a los alumnos a realizar sus propias deducciones, lo que les permitiría internarse en la sexta y última etapa, prevista en este proceso.

Claro que el máximo rigor sólo se alcanza en la medida en que uno pueda preguntarse cómo se puede organizar todo el sistema de propiedades de modo que sólo algunas de ellas se tomen como base de deducción y las demás resulten demostrables a partir de las de la base. Ello culminaría con la definición de un álgebra de Boole como sistema axiomático. Sin embargo, creemos que un logro semejante está fuera de contexto en la escuela media.

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La computación como recurso

Prof. Elena I. García

RELACIONES Y MATRICES (continuación) En el artículo anterior quedó por analizar como reconocer la

transitividad de una relación definida sobre un conjunto finito a partir de su matriz booleana asociada.

Recordemos que si R es una relación definida sobre el conjunto A

R es transitivas (x,y)eR A (y, z)eR => (x,Z)eR por lo tanto para que R no sea transitiva deberíamos encontrar x, y, z 8A tal que

(x,y)eR A (y, z)eR A (x,y)¿R

Veamos qué pasa si componemos R con sí misma

{RoR c AxA (x, z)eRoR <=> 3 y: y eA A (x, y)eR A (y, z)eR

Ejemplo: A = {3, 7,1} R={(3,1) , (1, 7), (7, 1),(1,1)} R 2 = RoR = {(3, 7), (1, 1), (7, 7), (3, 1), (1, 7), (7, 1)}

(A la relación compuesta RoR se la suele denotar R 2)

R 3 7 1 3 X

7 X

1 X X

í 0 0

R 0 0 1 lo 1 l j

R 2 3 7 1 3 X X

7 X X

1 X X

fO 1 2 0 1 I R lo 1 V

Como vimos en el número anterior podemos calcular M R 2 a partir de M r a través del producto booleano

í0 0 1) / O 0 1) ÍO 1 1) M/=MrQMx = (O o 110/O 0 1=0 1 II

l o 1 l j l o 1 1) l o 1 v

Teorema 1 Probemos ahora que si R es transitiva entonces

V x, g eA / (x, z)eR2 => (x, z)eR Demostración:

Si (x, z)eR 2 => 3 y: yeA / (x,y)eR A (y,z)eR (x, z)eR (1) (2)

(1) por definición de R 2

(2) por transitividad de R

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Usando este resultado podemos a través de las matrices M R y M R 2 saber si R es transitiva; para ello definimos la operación © entre matrices booleanas de la misma dimensión de la siguiente manera:

Sean A, B, C matrices booleanas de nxm elementos C = A © B

Demostración Supongamos que M 2©M„ no es la matriz nula, existe entonces un R R elemento (ftt .) R 2 =1 tal que (*M>. )R= y por el teorema 1 R no es transitiva.

DIVISIBILIDAD Y NUMEROS PRIMOS En números anteriores nos hemos ocupado de divisibilidad, números

primos y congruencias. En esta oportunidad publicamos una guía de trabajos prácticos para tercer año de un bachillerato propuesta por la Señorita Marcela González Rozada como parte de su trabajo para la asignatura Seminario de Matemática y Computación perteneciente al plan de estudios del profesorado de Matemática y Computación que se dicta en la Universidad CAECE.

En esta guía se supone que los alumnos conocen los llamados "números perfectos" (aquellos en que la suma de sus divisores propios coincide con el número dado). TEMA: TEORIA DE NUMEROS CURSO: TERCER AÑO OBJETIVOS DE LA GUIA: • Profundizar el conocimiento de los números primos. • Utilizar el Teorema Fundamental de Aritmética. • Ampliar las experiencias con divisores positivos de un número. • Construir algoritmos para facilitar los cálculos necesarios.

i < i < n 1 < j < m

Teorema 2 R es transitiva si M 2 © M R = (J) ((J) matriz nula)

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• Programar en lenguaje Pascal. • Justificar afirmaciones y decisiones. » Respetar las ideas de los demás. • Defender sus opiniones frente a pares y adultos. • Analizar situaciones desde el punto de vista de los otros. Temas tratados en la guía:

Distribución de números primos. Teorema fundamental de la Aritmética. Obtención de los divisores de un número. Revisión de criterios de divisibilidad. Presentación de la función 0 de Euler. Introducción de Congruencias.

I. DISTRIBUCION DE LOS NUMEROS PRIMOS. Los números primos poseen la propiedad de que a partir de ellos se pueden

construir todos los números enteros. Como consecuencia de esto se han realizado múltiples esfuerzos para determinar su distribución dentro de los números enteros.

Los matemáticos han invertido enormes cantidades de tiempo buscan-do primos grandes y determinando si ciertos números grandes son primos.

Un procedimiento, que ya conoces para localizar los números primos es el debido a Eratóstenes, matemático griego que vivió en el año 200 aC, aproximadamente. Su método, la Criba de Eratóstenes, fue uno de los primeros métodos inventados para distinguir los números primos de los compuestos hasta un cierto número predeterminado.

Muchos matemáticos intentaron buscar fórmulas que dieran infinitos primos.

Por ejemplo, Euler, otro gran matemático, en 1772 encontró la fórmula x 2 - x + 41

que origina primos si x = 0,1 ... 40. a) Escribe un programa que utilice esta fórmula para listar una tabla de

números primos. Verifica para algunos valores de x que efectivamente obtienes un número primo.

En 1798, el matemático Legendre, encontró esta otra fórmula: x 2 - 79.x + 1601

que da números primos para x = 0,1,. . . , 79. b) Escribe un programa que utilice esta fórmula.

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n. DESCOMPOSICION EN FACTORES PRIMOS. 1. Escribe un programa FACTOR para buscar los factores primos de

números naturales. 1.1. Utiliza el programa para buscar los factores primos de a) 15643 b)5678 2. Escribe un programa CRIBA que dado un número natural N

imprima todos los primos entre 1 y N. III. OBTENCION DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO

1. Escribe un programa que calcule los divisores positivos de un número menor que 100 y que efectúe su suma.

2. Ya conoces cuáles son los números perfectos. Ahora vamos a buscar números "casi perfectos". Se llaman números "casi perfectos" a los números enteros que difieren en una unidad de la suma de sus divisores propios.

Por ejemplo, el 8 es casi perfecto pues 8 = (1 + 2 + 4) + 1

a) Intenta buscar otros números "casi perfectos". b) Escribe un programa para imprimir los números "casi perfectos"

menores que 100. 3. El problema de obtener los divisores de un número se complica, si

los números son muy grandes; pero podemos ayudarnos un poco más teniendo la descomposición del número en sus factores primos.

Basta formar todos los productos de algunos o todos los factores primos del número, con exponentes positivos.

Por ejemplo: Son divisores de 60 = 2 2 . 3 . 5

2 2 . 3 = 12 y 2 . 5 = 10

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a) Busca otros divisores de 60 de esta forma. Lee el texto encerrado en el recuadro:

Los divisores de un número a son los productos de todos los factores primos de a, con exponentes nulos o positivos no mayores que en a.

b) Escribe todos los divisores positivos de 28. c) Escribe todos los divisores positivos de 96. Compara tus respuestas con tus compañeros.. 4. a) Determina el número de enteros positivos menores que 10 que

son: i) no divisibles por 2

ii) no divisibles por 3 iii) no divisibles por 2, 3, 5 o 7.

b) Escribe un programa para: i) El criterio de divisibilidad por 3.

ii) El criterio de divisibilidad por 5. 5. Lee el siguiente texto:

Dados dos enteros a y b, decimos que a es coprimo con b si el máximo común divisor entre a y b es 1.

a) Utilizando cualquiera de los métodos que conoces, verifica si a y b son coprimos:

i) a =7 b = 3 ii) a = 17 b = 68

iii) a = 220 b = 45 iv) a = 685 b = 117

b) ¿Cuántos números coprimos con 2, menores que él hay? Escríbelos.

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c) Busca los números coparnos con b y menores que b si:

i) b = 3 ii) b = 4

iii) b = 5

iv) b = 6 v) b = 7

vi) b = 8

IV. CONGRUENCIAS 1. La Aritmética modular es un sistema de cálculo con importantes

aplicaciones a las pruebas de primalidad. En Aritmética modular lo único que nos va a interesar de un

número n es su resto al dividirlo por cierto módulo m. La magnitud absoluta del número n no se tiene en cuenta.

a) Resuelve el siguiente problema: En este momento, un reloj marca las 12. ¿Cuál será la posición de las agujas dentro de 100 horas? ¿Puedes explicar con tus palabras cómo lo resolviste? SI NO Discútelo con tus compañeros.

b) Revisa la definición de división entera. ¿Por qué en esta definición se pide como condición que el resto sea menor que el divisor?

- ¿Qué ocurre si el resto es igual al divisor? - ¿Y si es mayor? c) ¿Qué restos podemos obtener si dividimos un número por 2?

Escribe algunos ejemplos. d) ¿Y si dividimos por 3, o por 4? Compara las respuestas con tus compañeros.

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Lee el siguiente texto encerrado en el recuadro: La clase de los números que dan resto cero en la división por 2, se llama clase residual 0, módulo 2. La clase de los números que dan resto uno en la división por 2, se llama clase residual 1, módulo 2. En símbolos

0 2 : clase residual 0, módulo 2 1 2 : clase residual 1, módulo 2

Expresa por enumeración ambas clases: 0 2 = ( 1 2 = í

Completa cómo se leen los siguientes símbolos: 0 3 : 1, :

2 3 :

Los elementos de 0 3 son los números que dan resto.

Los elementos de 1 3 son los números que dan resto.

Los elementos de 2 son los números que dan resto.

2. Coloca verdadero o falso. Justifica tu respuesta

i) 5 e 0 3 ii) 8 JÉ 2 3 iii) 7 e 1 3

iv) 4 e 0 2 v ) 2 9 e 4 5 v i ) 1 3 ¿ 2 5

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Lee la siguiente definición: Si dos números tienen el mismo resto en la división por un número

natural m se dice que son congruentes módulo m. En símbolos:

a = b (m) que se lee "a es congruente a b módulo significa que a y b tienen el mismo resto en la división por

3. Decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas Justifica tu respuesta.

a) 3 = 0 (3) b) 270 = 15 (54) c) 3 = 3 (2) d) 4 = 1(3) e) 25 = 10 (5)

4. Escribe 3 números pertenecientes a las siguientes clases residuales: a) clase residual 4 módulo 8 b) clase residual 0 módulo 7 5. ¿A qué clase residual módulo 7 pertenece cada uno de los siguientes

números? Escríbelo en forma simbólica. a) 23 b) 53 c) 90 6. Representa en la recta numérica las siguientes clases residuales: a) clase residual 3 módulo 5 b) clase residual 4 módulo 6.

EJERCICIOS DE RECREACION: 1. Dos buenos matemáticos después de muchos años sin verse. Se abrazan y se preguntan por las familias. El mayor le dice al otro: "Me casé y tengo tres hijas". "¿Y qué edades tienen?", pregunta el otro. "Las edades de mis hijas suman el número de la casa de enfrente que estamos viendo. Y el producto de ls edades es 36". Después de pensar un poco el otro replica: "Falta un dato". " ¡ Ah, sí! tienes razón", dice el padre. Y añade: "La mayor de mis hij as toca el piano". ¿Qué edades tenían?

m" y m.

o falsas.

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2. Un hindú tenía tres hijos; poseía por toda fortuna 11 elefantes. Sintién-dose muy enfermo, llamó a tres buenos hombres como testigos al dictar su testamento. Dijo: a mi hijo mayor se le dará la mitad de los elefantes; a mi segundo hijo la cuarta parte de ellos; y al menor, la sexta parte de dichos 11 elefantes. Y dicho esto, se murió. Los tres hombres no pudieron hacer el reparto propuesto en el testamento. ¿Puedes intentarlo tú? 3. Traduce la suma a números sustituyendo cada letra por una cifra distinta (el cero no interviene). Por supuesto, la repetición de una letra obliga a repetir la cifra correspondiente. Hay una única traducción que da una suma correcta, y que hace que TRES sea divisible por 3.

TRES TRES

+ TRES TRES DOCE

4. NUMEROS CRUZADOS Este esquema se resuelve como las palabras cruzadas, sólo que aquí los que se cruzan son números. HORIZONTALES: 1. Número impar. La suma de sus dígitos es la mitad que la suma de los dígitos de 5 horizontal. 4. La suma de sus dígitos es 8. 5. Si se intercambian su primer dígito con el último, da un número múltiplo de 6. VERTICALES 2. Entero impar cuyos dígitos son múltiplos consecutivos (enteros) de otro entero impar de un dígito, distinto de 1. 3. Entero cuyo siguiente es potencia de 2 y la suma de sus dítigos supera en 1 a la suma de los dígitos de 1. horizontal

1 2 3

4

5

26

Los problemas matemáticos en el aula

Prof. María E. Spivak de Hernández

LOS PROBLEMAS DE DIOFANTO No se tienen datos biográficos fehacientes de Diofanto, destacado

matemático de la época helénica. Se estima que vivió en el siglo n i después de Cristo y que desarrolló sus trabajos en el Museo de Alejandría. Entre las obras de su autoría que se conservan, figuran seis libros de los trece que, se supone, componían su "Aritmética".

Diofanto se destaca en su época como un precursor del Algebra, más próximo en ese aspecto a la matemática de los pueblos orientales, que a la de sus contemporáneos y antecesores en Grecia, consagrados estos últimos al tratamiento de cuestiones aritméticas y, sobre todo, geométricas. No cabe duda acerca de la enorme influencia que los trabajos de Diofanto ejercieron en el desarrollo de la matemática en el mundo árabe.

Según la opinión de los estudiosos de la historia de la Matemática, la "Aritmética" de Diofanto es el primer tratado metódico del Algebra griega y ofrece características peculiares que la distinguen entre las demás obras y trabajos de su época, con perfiles originales y novedosos en el enfoque y tratamiento de las cuestiones de las que se ocupa.

Uno de los aspectos más interesantes es el uso de abreviaturas a modo de símbolos, una suerte de formalización que tendía a aligerar la pesadez y extensión de ciertos desarrollos del planteo y que puede considerarse como un camino inicial del simbolismo algebraico posterior.

Otra de sus características es que no contiene demostraciones ni enunciados de propiedades sino que plantea y expone la resolución de problemas entre números abstractos salvo algunos, muy pocos, que se refieren a situaciones concretas. En general son problemas que admiten más de una solución, pero de los cuales Diofanto busca y encuentra las

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soluciones en el conjunto de los números racionales positivos, es decir, en un marco menos restringido que el que hoy se considera para el tratamiento de las ecuaciones diofánticas.

Tales problemas son de tipo o naturaleza distintos y no se advierte un ordenamiento al respecto, como así tampoco lo hay en cuanto a ios métodos de resolución, salvo el agrupamiento natural que surge de situaciones análogas.

Los métodos de resolución se adecúan a cada caso particular; pero tanto esos métodos como los recursos auxiliares utilizados, se encuadran en el enfoque algebraico que es la característica esencial del trabajo de Diofanto y que, como un sello propio, lo distingue de otros trabajos matemáticos de su época.

Los problemas propuestos y resueltos por este ilustre matemático no han perdido vigencia con los siglos transcurridos. Más aún, hoy pueden considerarse como una miscelánea de problemas, cada uno susceptible de un planteo y resolución particular y como tal propicio para poner en juego ingenio y habilidades. Algunos son muy simples, como el primero que Diofanto propone en su Aritmética y que consiste en hallar dos números conociendo su suma y su diferencia; otros requieren un mayor despliegue de imaginación en cuanto a métodos y recursos utilizables.

Se proponen a continuación algunos de esos problemas, que encuadran perfectamente en el marco de conocimientos matemáticos elementales.

El primero de ellos no es, precisamente, uno de los considerados por Diofanto, pero tiene relación con la probable edad de este matemático. Figura como epigrama en una publicación del siglo V o VI conocida como Antología Griega y que es una colección de problemas del tipo de los que hoy llamaríamos de "matemática recreativa".

1- "Diofanto pasó la sexta parte de su vida en la niñez, una doceava parte en la adolescencia y después de permanecer soltero otro séptimo de su existencia, contrajo matrimonio. Después de cinco años de casado, nació un hijo; éste vivió la mitad de la vida de su padre. Diofanto murió 4 años después de la muerte de su hijo".

Se pregunta: a que edad murió Diofanto? (Cabe destacar que hay dos interpretaciones posibles acerca de la edad

a la cual murió el hijo: que fuese la mitad de la edad a la cual murió el padre o que fuese la mitad de la edad que tenía el padre al morir el hijo. Naturalmente, según una u otra interpretación, la respuesta será distinta por lo que habrá que considerar cuál es la más lógica y por qué).

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2- Dados dos números a y b, hallar un tercero x tal que los tres productos de cada uno de ellos por la suma de los otros dos, estén en progresión aritmética.

(Considerar sólo un caso: aquel en el que el producto del 1 e r número dado, por la suma de los otros dos, sea el 2 d o término de la progresión, esto es, que sea la media aritmética).

3-Calcular cuatro números x, y, z, u conociendo las cuatro diferencias entre la suma de tres de ellos y el cuarto.

4- Hallar todos los números racionales posibles tales que su producto más (o menos) su suma sea igual a un número dado. Otras ecuaciones diofánticas

En el número anterior de la Revista consideramos la resolución de ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas en N. El criterio de hallar solamente soluciones naturales puede extenderse a otros casos como los siguientes:

A) Ecuación x 2 - y 2 = a con aeN Descomponiendo la diferencia de cuadrados en el primer miembro

resulta (x+y) (x-y) = a

con lo cual el problema deviene en considerar los posibles pares de números naturales cuyo producto es a, con lo cual x e y se calculan por el conocimiento de su suma y de su diferencia. Con esto se obtendrían todas las soluciones de la ecuación dada, incluidas las no enteras. Como sólo interesan las formadas por números naturales, cabe considerar que: la suma y la diferencia de dos números naturales cualesquiera, son siempre de la misma pandad; ambas son pares o bien ambas son impares. Esto es inmediato pues: si x e y son ambos pares o ambos impares, su suma y su diferencia son pares. Si x e y son de distinta paridad, su suma y su diferencia son impares. Por lo tanto, sólo bastará descomponer el número a de todas las maneras posibles como a = be con b y c pares o bien b y c impares.

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Si b>c, se toma x+y- b , x-y = c

con lo cual resulta

La ecuación dada admite, entonces, solución en N sí y sólo si a se puede descomponer en la forma antedicha como producto de dos factores delamismaparidad. Si a esdelaforma 2m con m impar, no hay solución en N. Ejemplos 1) x 2 -y 2 = 24

Se obtienen las posibles descomposiciones de 24 tomando b y c según la tabla

b 1 2 3 4 c 24 12 8 6

de las cuales sólo satisfacen los requerimientos anteriores b=2 , c=12 y b=4 , c=6

que dan las soluciones (7,5) y (5,1) Además, es inmediata la verificación de que los otros dos pares de

valores de b y c no dan valores de x y de y en N. 2) x 2 - y 2 = 11

Como la única descomposición posible es 11=11.1 y ésta cumple la condición exigida, se tiene la solución única (6,5). Aplicaciones. Hallar x, y e N tales que:

30

1) x 2 -y 2 = 15 2) x 2 -y 2 = 9

3) x 2 -y 2 =100 4) x 2 - y 2 = 14

B) Ecuación Pitagórica x 2+y 2 = z 2 (1) Se trata también de hallar x, y, z e N que verifiquen la ecuación

dada. Si se considera O £ N es inmediato que (1) admite la solución

trivial (O,O,O) y las soluciones (0,t,t) (t,0,t) con t e N. Atenderemos, entonces, a las posibles soluciones con

x*0 ó y*0 ó z * 0 La situación planteada da lugar a un análisis previo a la determinación

de las restantes soluciones que conduce a observaciones interesantes: l e ) Si (xQ, y , z Q) es una solución de la ecuación, entonces, V t: t eN se verifica que (txQ, ty 0 , tz ) también es solución de la ecuación, pues: la primera solución da la igualdad verdadera

x Q 2 +y 0 2 = z Q 2 y multiplicando a ambos miembros por t 2

con t e N, resulta t v + t V ^ V (tx 0) 2 + (ty 0) 2 = (tz 0) 2

(txQ, tyQ, tz 0) y txQ, tyQ, tz Q eN

De esto surge que se tendrá el problema resuelto sin más que hallar todos los valores posibles de x,y,z £ N que satisfagan la ecuación, cor x, y, z primos entre sí. 2-) El problema planteado tiene connotaciones geométricas pue¡ equivale a hallar todos los triángulos rectángulos cuyos lados tengar longitudes dadas por números naturales. Entonces, hallado un triángulo T cuyos lados se miden por x Q , y 0 , z Q £ N que satisfacen la ecuación (1). todos los triángulos cuyos lados tienen medidas txQ, ty 0 , tzQ con t £ Nque. como vimos antes, también satisfacen la ecuación, resultan sei

o sea, la igualdad de la cual surge que es solución de (1)

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semejantes al triángulo T. O sea: cada posible solución con x, y, z, naturales y primos entre

sí, determina a una clase particular de triángulos semejantes. 3 2) Reducido el problema a hallar x, y, z, e N que satisfagan a la ecuación dada y que sean primos entre sí, se puede discutir sus respectivas paridades.

i) x e y no pueden ser ambos pares, pues si lo fuesen, también lo serían sus cuadrados y la suma de sus cuadrados, o sea z 2 y esto, en N, significa que z también sería par y por lo tanto x, y, z no serían primos entre sí.

ii)x e y no pueden ser ambos impares, pues si lo fuesen, también serían impares sus cuadrados y por lo tanto su suma z 2 sería par, o sea, z es par. Se tendría entonces que x, y, z serían, respectivamente, de la forma

x=2m+l y=2n+l z=2p y entonces (2m+1 ) 2 + (2n+1 ) 2 = 4p 2 es decir 4(m2+m+n2+n)+2 = 4p 2 o sea: 2(m2+m+n2+n) + 1 = 2p 2 que expresa la igualdad

imposible entre un número par y otro impar. iii) de lo anterior surge que: x e y son de distinta paridad, por lo cual

también lo son sus cuadrados y por lo tanto z 2 es impar, de donde z es impar. 4 2) La conclusión iii) indica que en ninguna solución con x, y, z e N puede ser x=y (lo cual es también inmediato sin más que considerar que se obtendrá la igualdad 2x 2 = z 2 imposible ei N), o sea, no existe ningún triángulo rectángulo isósceles cuyos lados se midan por números naturales. 5Q) Ninguno de los valores impares, x ó y, pueden ser iguales a 1 pues i) x 2+y 2 = 1 en N, significa que z=y=l ii) 1+y2 = z 2 equivale a 1 = z 2-y 2 1.1 = (z+y)(z-y) o sea z+y = 1 z-y = 1 es decir z=l y=0 y la solución (1,0,1) no entra en el presente análisis de acuerdo con lo establecido anteriormente.

Como puede apreciarse, el solo planteo de la ecuación pitagórica, esto es, sin entraren la determinación explícita de todas sus soluciones, brinda

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un buen material de discusión y análisis, factible de ser realizado por los alumnos, siempre, claro está, con las oportunas sugerencias y guía del profesor.

Consideraremos a continuación la búsqueda de las soluciones con x, y, z e N y primos entre sí.

Se ha visto que, nesariamente, x e y son de distinta paridad. Supongamos que x es impar (en caso contrario, con y impar, los resultados correspondientes para x e y serán los obtenidos para y, x, respectivamente). La ecuación dada puede esciribirse en la forma

x 2=2 = z 2-y 2 (1) que es una ecuación del tipo de las vistas en A) y que tiene solución pues los únicos factores en que puede descomponerse el impar x 2 son todos impares. Entonces x 2 = (z+y)(z-y) y las soluciones se obtienen dando a x valores arbitrarios impares y descomponiendo a su cuadrado en dos factores, o sea, haciendo

x 2 = m.n , con m y n necesariamente impares. La analogía de (1) con las del tipo analizado en el ítem A), se restringe

por la condición de que x, y, z deben ser coprimos y esto se traduce en la elección de los dos posibles factores m y n.

En efecto: si m y n tienen un divisor común d, entonces existen m Q , n 0

e N tales que: d es impar, m=dmQ y n=dnQ. Resulta así que: x 2 = d f o ^ , lo cual indica que d 2lx 2 (2)

Además, haciendo m=z+y ; n=z-y (non) resulta 2z=m+n ; 2y=m-n o s e a 2z=d(m 0+n 0) ; 2y=d(m 0+n 0) es decir dl2z y dl2y

Como d es impar, es coprimo con 2, por lo cual, necesariamente diz y dly (3)

Pero, de (2) d2lx2, o sea 3 k e N: x 2=kd 2

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De aquí surge que necesariamente k es el cuadrado de un natural;

3 q e N tal que k=q2. Entonces x 2=q 2d 2

y x=q.d , o sea dlx , dly , diz por lo cual debe ser d=l.

De aquí que la desomposición x2=m.n requiere que m y n sean coprimos.

A su vez, la descomposición de un cuadrado en factores coprimos, equivale a descomponer la base en factores primos. En este caso, basta hacer, entonces

x=uv con (u,v)=l De acuerdo con lo visto: para cada valor impar asignado a x, todos los

pares de factores u y v, coprimos, en que se lo descomponga, dan todas las soluciones con x=uv;

u 2 - v 2 u 2 + v 2 y = — — ,

Algunas de tales soluciones, las menores, surgen de la siguiente tabla

X 3=3.1 5=5.1 7=7.1 9=9.1 11=11.1 13=13.1 y 4 12 24 40 60 84 z 5 13 25 41 61 85 . . .

Para otros valores de x, impares y no primos como 15, 21, 33, etc. puede obtenerse más de una descomposición en producto de dos números primos y por lo tanto soluciones distintas para el mismo x. Por ejemplo:

j "x= 15.1 y = 112 z = 113 Lx = 5.3 y = 8 z = 17

Puede verificarse, a través de los ejemplos, que se cumplen las condiciones previamente deducidas acerca de las paridades de x, de y, y de z. Otras presunciones que podrían surgir de ejemplos particulares, deben considerarse con cuidado; así, en los casos que figuran en la tabla anterior, resulta y>x, pero es suficiente la consideración de otra solución como (15, 8, 17) para ver que no se trata de una propiedad de validez general. 34

SEVENTH INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION August 17-23,1992

The Seventh International Congress on Mathematical Education (ICME-7) will be held at Université Laval in Québec City, Cañada from August 17 to 23, 1992. The Second announcement is now available from:

Congrés ICME-7 Congress Université Laval Québec, QC Phone: (418) 656-7592 Fax: (418)656-2000 E-mail: ICME-7@VM1.ULAV AL. CA

It contains information on all aspects of ICME-7 includingregistration, accommodation, and an application from to make a s/iorí presentatíon.

ICME-7 will provide participants with the opportunity to learn about recent developments in mathematics education around the world and to be introduced to innovations and recent research on the learning and teaching of mathematics at all levels. The central feature of the scientific program is a set of 23 Working Groups each designed to ínvoíve participants in the active study of a selected aspect of mathematics education and to provide an international up-to-date context for study of that aspect. Each Working Group will meet for four 90-minute sessions.

Other activities will include several plenary talks, lectures, topic groups, study groups, national presentations, shortpresentations in the form of posters or videotapes or computer software, projects, workshops, films, as well as exhibitions of textbooks, software and other types of materials. A special halfday Miniconference on Calculators and Computers will be held at the beginning of the congress.Finally, various social and cultural events are planned for the duration of the congress.

Early registration is encouraged. The schedule of registration fees provides for significant savings for those who preregister by December 15,1991. The deadline for those applying to make a short presentatíon is January 31, 1992. Accommodation requests will be received up to July 1,1992 although it is advisable to make reservations much earlier.

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Bibliografía CONTRAPEO AGOGIA Y CONOCIMIENTO

Jorge E. Bosch Ediciones Universidad CAECE

El autor introdujo el término "contrapedagogía" en su ensayo "Cultura y contracultura", que fue premiado por LA NACION en 1987 y publicado parcialmente por ese diario en 1988. En este libro se define la contrapedagogía como "la ideología según la cual hay que abolir todas las diferencias, y muy en particular las diferencias maestro-alumno y estudio-acción; la abolición de la primera conduce a la indisciplina y al desorden; y la de la segunda conduce al culto de un espontaneísmo carente de soporte conceptual y al consiguiente debilitamiento del proceso de transmisión del saber". Se usa la palabra "contrapedagogía" porque esta tendencia se opone a dos de las caracte-rísticas fundamentales que ha tenido la pedagogía a lo largo de los siglos: la presencia indiscutible del maestro en un rol bien diferenciado, y la educación del alumno a través de un aprendizaje efectivo de conocimientos.

Según el autor, esta tendencia contrapedagógica ha tenido un inusitado poder de penetración y ha sido una de las causas de la actual decadencia educativa, sobre todo en los niveles primario y secundario. Jorge Bosch propone como remedio una suerte de regreso a las fuentes, es decir al conocimiento, que fue preocupación constante de todos los grandes pedagogos, desde Sócrates hasta John Dewey. Señala que en las últimas décadas ha habido una pauperización de los conocimientos efectivos que se imparten en el sistema escolar, lo que contrasta rudamente con la importancia cultural, política, estratégica y económica que posee el conocimiento en la civilización actual. Pone también en relieve la importancia decisiva que tiene la información para el ejercicio de la libertad en una sociedad democrática.

En oposición a los discursos ideológicos, vacuos y generalistas de la contrapedagogía, Jorge Bosch intenta dar contenido concreto a sus ideas, haciendo una rápida incursión en el campo de los conocimientos específicos que, a su juicio, habría que impartir en las diversas disciplinas. Hace hincapié en los que él llama "conocimientos ordenadores de conocimientos", que son aquellos temas estructurales y básicos que permiten y facilitan el ordenamiento y la sistematización del resto de los conocimientos.

Finalmente, expresa sus opiniones acerca de la disciplina escolar y de la relación de ésta con el tema central del conocimiento.

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Grageas (Extraído de: Cerdeyra, Luz Elvira. Fioriti, Gema Inés. Enseñanza de la Matemática. A.Z, Editora, Buenos Aires, 1987. Introducción)

Cuando a un niño de cuatro o cinco años le regalamos un juguete lo goza como instrumento de entretenimiento en un determinado lapso. Va perdiendo el interés a medida que el juguete se transforma en elemento conocido y no le brinda nuevas posibilidades de realizar actividades diferentes. A menudo nos reclama a los adultos nuevas posibilidades del juguete ¿qué puedo hacer con estas barajas? Si le enseñamos a hacer carpas, se pierde el interés cuando el dominio psicomotriz le permite armar carpas sin dificultad. Si le agregamos la posibilidad de buscar figuras parecidas, la actividad interesada se prolonga ¿hasta cuándo? Hasta que, una vez dominado ese juego le propongamos otro.

Si la primera vez que el niño pequeño está en contacto con las barajas, le enseñamos las reglas del "pinche", tal vez llegue a aprender el juego, tal vez se desaliente por no conocer previamente las posibili-dades de comparación (semejanzas y diferencias) que hay entre las barajas. Si le vamos suministrando reglas organizadas de acuerdo con su edad y a su experiencia previa, podemos usar las barajas como recurso didáctico amplio y provechoso.

Mientras "investiga" el niño es feliz. ¿Tenemos derecho los docentes de primaria a decir que a los niños no les gustan ios problemas, que no les gusta investigar? Es muy probable que, en gran medida, nosotros seamos culpables de su cambio negativo de actitud de los cuatro años a los doce años.

En este primer tomo tratamos de presentarle al alumno-maestro los temas que detalla el programa del Ministerio de Educación de la Nación para la formación matemática en los Institutos de Formación Docente. Se ha dejado de lado lo relativo a Estadística y Probabilidades, porque son temas de enorme riqueza por su vinculación con importantes ramas de la matemática. Un tratamiento de ellos, con responsabilidad de docentes, exige una extensión que, entendemos, obliga a su publicación en forma separada.

No hemos escrito un libro de matemática, sino una guía de trabajo para llegar a conocer los contenidos curriculares. La fundamentación matemática de los mismos puede encontrarse en la exposición de los profesores del curso y en los libros que citamos a menudo como referencia.

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