04/13/23 1

ANALISIS NON PARAMETRIK I

• PENGUJIAN SATU SAMPEL Uji Tanda Binomial Uji Chi-Square Uji Run Uji Kolmogorov-Smirnov

• PENGUJIAN DUA SAMPEL BERPASANGAN

Uji Tanda Uji Ranking Bertanda Wilcoxon

• PENGUJIAN K SAMPEL BERPASANGAN Uji Q-Qochran Analisis Ragam Friedman

04/13/23 2

Pengertian Statistika Non Parametrik

• Bila kita tidak menspesifikasikan sifat sebaran populasinya, maka umumnya kita tidak berhubungan dengan parameter. Oleh karena itu, sebagai pengganti statistika parametrik kita menggunakan statistika non parametrik.

• Kelebihan-kelebihan yangn dimiliki statistika non parametrik yaitu– Perhitungan yang diperlukan sederhana dan dapat dikerjakan

dengan cepat karena analisisnya menggunakan cacahan, peringkat (rank) bahkan tanda dari selisih pengamatan yang berpasangan.

– Datanya tidak harus merupakan data kuantitatif, tetapi dapat berupa respon yang kualitatif ( skala nominal dan ordinal).

– Uji-ujinya disertai dengan asumsi-asumsi yang jauh tidak mengikat dibandingkan dengan uji parametrik.

04/13/23 3

• Kelemahan-kelemahan yang dimiliki statistika non parametrik adalah :– Kurang efisien, karena tidak memanfaatkan semua

informasi yang terkandung dalam sampel. – Uji non parametrik memerlukan ukuran sampel yang

lebih besar dibandingkan dengan uji parametrik untuk mencapai peluang galat jenis II yang sama.

– Uji-uji non parametrik tidak dapat digunakan untuk:o Menguji ada tidaknya pengaruh interaksi dari faktor-

faktor yang diuji seperti dalam analisis ragam, dan o Peramalan, seperti dalam analisis regresi.

04/13/23 4

PENGUJIAN

KASUS SATU SAMPEL

1. Uji Tanda (Uji binominal) 2. Uji Chi-Square3. Uji Run4. Uji Kolmogorov-Smirnov

04/13/23 5

UJI TANDA (BINOMIAL)

• Dalam uji tanda digunakan pengganti tanda positif atau negatif bagi nilai-nilai pengamatan. Nilai pengamatan positif jika nilai pengamatan tersebut > rata-rata hitung (populasinya setangkup) atau > median( populasinya menjulur). Nilai pengamatan negatif jika < nilai rata-ratanya atau mediannya.

• Hipotesis : H0: µ=µo. vs H1: µµo.

• Statistik uji bagi Uji tanda adalah variabel acak X yang menyatakan banyaknya tanda positif atau negatif yang paling sedikit. Bila hipotesis nol µ=µo benar, maka peluang bahwa suatu nilai sampel menghasilkan tanda positif atau negatif sama dengan ½. Akibatnya, statistik uji X memiliki sebaran peluang Binom dengan parameter p=½ Jadi uji signifikasi dilakukan dengan menggunakan rumus binom :

P(X≤x) = Σb (x;n,p) = Σb (x;n,½)

04/13/23 6

Contoh

Misal kita ingin menguji pada taraf nyata 0,05 bahwa isi kaleng suatu jenis minyak

pelumas adalah 10 liter. Suatu sampel acak 10 kaleng telah diukur isinya, hasilnya

adalah:

10,2; 9,7; 10,1; 10,3; 9,8; 9,9; 10,4; 10,3 dan 9,8 liter Manajer bagian pemasaran sebuah perusahaan ban mobil bermerek A menyatakan

bahwa daya tempuh ban yang diproduksinya yaitu 40.000 km. Suatu sampel acak

sebanyak 8 ban dicoba dan dicatat jarak tempuhnya (dalam km) sampai ban tersebut

diganti, datanya adalah :

34.400 ; 45.500; 32.000; 32.800; 38.100 dan 30.100.Sebuah perusahaan elektronik sedang mempertimbangkan untuk memberikan liburan

berikut biayanya bagi para eksekutif senior dan keluarganya. Untuk menentukan

preferensi antara seminggu di Hawaii atau seminggu di Spanyol. Suatu uji sampel acak

18 staf eksekutif ditanya pilihannya. ujilah pada taraf 5% bahwa kedua lokasi itu sama-

sama disukai lawan alternatifnya bahwa preferensi mereka berbeda bila ternyata 4 di

antara 18 yang ditanyai lebih menyukai spanyol.

04/13/23 7

Penyelesaian (1)1. Hipotesis : H0 : µ = 10 lawan H1 : µ ≠ 10 2. Uji statistik : Uji binom 3. Taraf nyata : 0,054. Wilayah kritik : Σb (x;n,p) < 0,05 5. Perhitungan: (+) >10 ; (-) < 10

Banyaknya tanda (+) = 6 dan banyaknya tanda (-)= 4.

Jadi X=4 ; n=10; p=½.

Dari tabel jumlah binom diperoleh :P(X≤4)= Σb (x;10, ½) = 0,3770

Untuk pengujian dua arah maka P(X≤4)=2(0,3770)=0,7540

6.Kesimpulan : Terima H0 artinya bahwa rata-rata kaleng minyak pelumas sebanyak 10 liter dapat diterima.

04/13/23 8

Penyelesaian (2)1. Hipotesis : H0 : p1= p2 = ½ lawan H0 : p1≠ p2 ≠ ½2. Uji statistik : Uji Binom 3. Taraf nyata : 0,054. Wilayah kritik : Σb (x;n,p) < 0,05 5. Perhitungan : (+) > 40.000 ; (-) < 40.000 0 = 40.000 (tdk ikut) tanda (+)=2 , (-)=6 X=2 ; n=8; p=½ ;

dari tabel diperoleh :P(X≤2)= Σb (x;8, ½) = 0,1445 dan untuk pengujian dua arah maka P(X≤2)=2(0,1445)=0,28906. Kesimpulan : Terima H0 artinya pernyataan manajer pemasaran bahwa rata-rata jarak tempuh ban yang diproduksinya sejauh 40.000km dapat diterima

04/13/23 9

Penyelesaian (3)1. Hipotesis : H0 : p1=p2 = ½ lawan H1 : p1= p2 = ½

2. Uji statistik : Uji Binom

3. Taraf nyata : 0,05

4. Wilayah kritik : Σb (x;n,p) < 0,05

5. Perhitungan : X=4 ; n=18; p=½

Dari tabel jumlah peluang binom diperoleh :

P(X≤4)= Σb (x;18, ½) = 0,0154

Untuk pengujian dua arah maka P(X≤4) = 2(0,0154) = 0,0308

6. Kesimpulan : Terima H0

artinya Hawai lebih disukai daripada spanyol.

04/13/23 10

UJI CHI-SQUARE (2)• Uji Chi-Square merupakan Uji Kesesuaian (Godness of Fit) artinya uji

tersebut dapat digunakan untuk menguji apakah terdapat kesesuaian yang nyata antara banyaknya atau frekuensi objek yang diamati (observed) dengan frekuensi objek yang diharapkan (expected) dalam tiap-tiap kategori. banyaknya kategori bisa dua atau lebih.

• Hipotesis : H0 : f1 = f2 =....fk

H1 : Frekuensi kemenangan tidak semuanya sama

• Uji Statistk:

dimana:

Oi = Frekwensi Observasi

Ei = Frekwensi Ekspektasi, dk=k-1

22

i

ii

E

EOX

04/13/23 11

Contoh

04/13/23 12

Penyelesaian (1)

04/13/23 13

Penyelesaian (2)

04/13/23 14

Penyelesaian (3)

04/13/23 15

UJI RUN• Pengujian terhadap keacakan sampel yang dimaksud

digunakan Uji Runtun (Run).• Runtun (run) adalah barisan huruf ( lambang atau tanda-tanda)

yang identik yang didahului atau diikuti sebuah huruf (lambang atau tanda) yang berbeda.

• Uji Runtun (run) membagi data menjadi dua penggolongan yang tidak berpotongan (laki-laki atau perempuan, cacat atau utuh, diatas atau dibawah median, dan sebagainya ).

• Barisan hasil pengamatan terdiri dari dua lambang. Misalkan n1 adalah banyaknya lambang pertama atau yang lebih sedikit dan n2 adalah banyaknya lambang kedua atau yang lebih banyak, maka ukuran sampelnya adalah n= n1+ n2

04/13/23 16

Contoh

04/13/23 17

Penyelesaian (1)

04/13/23 18

Penyelesaian (2)

04/13/23 19

Penyelesaian (3)

04/13/23 20

Uji Kolmogorov-Smirnov

• Uji Kolmogorof-Smirnov termasuk uji kebaikan/ kesesuaian ( Godness of Fit).

• Tingkat kesesuaian antara distribusi nilai sampel (skor yang diobservasi) dengan distribusi teoritis tertentu (Normal, uniform atau poisson).

• Hipotesis statistiknya adalah bahwa distribusi frekuensi hasil pengamatan bersesuaian dengan distribusi frekuensi harapan (teoritis)

04/13/23 21

Contoh

04/13/23 22

Contoh

04/13/23 23

PENGUJIAN DUA SAMPEL BERPASANGAN

Dalam uji parametrik, pengujian rata-rata bagi dua sampel yang berpasangan menggunakan statistik t. Asumsi yang mendasarinya yaitu kedua sampel mempunnyai ragam yang sama dan berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Seringkali asumsi tersebut sulit dipenuhi, apalagi data yang diperoleh merupakan data peringkat (ordinal). Untuk mengatasi masalah tersebut, digunakan metode non parametrik misalnya dengan

1. Uji Tanda

2. UjiRangking Bertanda Wilcoxon.

04/13/23 24

UJI TANDA

• Prosedur uji tanda didasarkan pada tanda positif atau negatif bagi selisih nilai pengamatan pada setiap pasangan sampel.

• Uji tanda digunakan sebagai uji signifikasi perubahan (sebelum dan sesudah perlakuan). Jika nilai pengamatan untuk pasangan tersebut adalah YA dan YB maka selisihnya d= YA - YB.

• Hipotesis statistik (H0) yang ingin diuji adalah d=0. Jika H0 benar artinya banyaknya tanda positif akan sama dengan banyaknya tanda negatif atau p=½

• Rumus perhitungan :• a. Jika Sampel kecil ( n < 25)

digunakan rumus binom P(X≤x) = Σb (x;n,p) • X = Banyaknya tanda (+) atau (-) yang paling sedikit• n = banyaknya tanda positif atau negatif.

• b. Untuk sampel besar digunakan pendekatan normal z = (X-µ)/µ= n.p =½n dan = = ½

04/13/23 25

Contoh (1)

04/13/23 26

Penyelesaian (1)

04/13/23 27

Contoh (2)

04/13/23 28

Penyelesaian (2)

04/13/23 29

Contoh (3)

04/13/23 30

Penyelesaian (3)

04/13/23 31

UJI WILCOXON• Dalam uji tanda hanya memperlihatkan arah perbedaan saja

sedangkan dalam uji rangking bertanda Wilcoxon selain memperlihatkan arah perbedaan juga memperlihatkan besar relatif dari perbedaan tersebut.

• Cara analisis uji Peringkat Bertanda wilcoxon adalah:– Tentukan selisih nilai pasangan yaitu d.– Untuk nilai yang sama (d=0) data dieliminir– selisih d dirangking tanpa memperhatikan tanda positif atau negatifnya.

Untuk nilai d yang sama, rangkingnya adalah rata-rata.– Pengujian dilakukan menggunakan statistik T. Statistik T dihitung dengan

menjumlahkan rangking bertanda positif atau negatif yang menghasilkan jumlah paling sedikit.

– Bandingkan dengan statistik T dengan tabel nilai kritis T uji rangking bertanda Wilcoxon.

– Kaidahnya : Tolak H0 jika Untuk n > 25, maka statistik T mendekati normal dengan nilai :

)12)(1(241

)1(41

nnn

nnTZ

04/13/23 32

Contoh(1)

04/13/23 33

Contoh(2)

04/13/23 34

Contoh (3)

04/13/23 35

PENGUJIAN K SAMPEL BERPASANGAN

• Dalam metode parametrik, uji rata-rata K sampel berpasangan (berhubungan) dilakukan melalui Analisis Ragam dengan statistik F. Berbagai asumsi menyebabkan keterbatasan penggunaan analisis tersebut.

• Dalam metode nonparametrik, pengujian K sampel berhubungan dimaksudkan untuk membandingkan skor (nilai pengamatan) dari K sampel atau kondisi yang berpasangan (banyaknya pengamatan setiap kondisi sama).1.Uji Q-Cochran 2.Analisis Ragam Dua Arah dari Friedman.

04/13/23 36

UJI Q-COCHRAN• Uji Q Cochran digunakan untuk menguji apakah tiga

(atau lebih) himpunan skor (proporsi atau frekuensi) berpasangan saling signifikan.

• Skala data yang digunakan dapat berupa skala nominal maupun ordinal yang dipisahkan (dikotomi), seperti sukses dan gagal, ya dan tidak, dan sebagainya.

04/13/23 37

Contoh

04/13/23 38

Penyelesaian

04/13/23 39

ANALISIS RAGAM FRIEDMAN• Uji friedman digunakan untuk menguji signifikasi k sampekl

berpasangan dengan skala data minimal ordinal. data disusun dalam n (baris ulangan) dan k kolom (perlakuan) kemudian dilakukan rangking terhadap seluruh perlakuan atau kondisi pada setiap ulangan.

04/13/23 40

Contoh(1)

04/13/23 41

Contoh(2)