Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS IV

RESOLUCIÓN DE SECCIONES DE PARED GRUESA SOMETIDAS A TORSIÓN UTILIZANDO MICROSOFT EXCEL

Autores: Ing. Juan Julian Rimoli Ing. Juan Pablo Marquez Ing. Marcos D. Actis Ing. Alejandro J. Patanella

La Plata, 2001

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Resolución de secciones sin agujeros sometidas a torsión utilizando Microsoft Excel

En la teoría de torsión se dedujo la Ecuación General de Torsión:

θ⋅⋅−=∂∂

+∂∂

⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂∂

−=τ

∂∂

=τ

θ⋅⋅−=∂

τ∂−

∂τ∂

GyF

xF

xF

yF

Gxy

yz

xz

yzxz

2

2

2

2

2

2 (1)

Siendo F la Función de torsión. Se vio también que el valor de F en el borde de la sección debe ser constante. Por ser F una función potencial, en caso de secciones simplemente conexas, su valor en el borde puede ser arbitrariamente elegido, pero para que F corresponda a la solución de la ecuación de torsión, esta debe ser nula en el borde. Se define ahora una nueva función Ψ tal que:

22

2

2

2−=

∂ψ∂

+∂

ψ∂θ⋅

=ψ

yx

GF

Ecuación de Poisson (2)

Se puede observar que Ψ tiene las mismas propiedades que F en el borde. Ahora se planteará la resolución aproximada de dicha ecuación por diferencias finitas considerando derivadas primeras por izquierda y por derecha para la obtención de las derivadas segundas, siendo Ψ0 el punto en torno al cual planteamos dichas derivadas: y s s s x s

Ψ2

Ψ0 Ψ3 Ψ1

Ψ4

2

24

2

2

204321

2042

2

2

40

02

2031

2

2

30

01

−=⋅−+++

⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅−+=

∂∂

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

∂∂

−=

∂∂

⋅−+=

∂∂

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

∂∂

−=

∂∂

s

sysy

sy

sxsx

sx

doreemplazan ψψψψψ

ψψψψψψψ

ψψψ

ψψψψψψψ

ψψψ

Ahora, se despejará Ψ0, sabiendo que esta relación se debe cumplir para cada punto del mallado:

42 2

43210

s⋅++++=

ψψψψψ (3)

Se verá como se puede utilizar la expresión anterior para resolver un problema de torsión. Suponiendo que se tiene una sección cualquiera, simplemente conexa, a la cual se le aplicará un mallado. Para todos los puntos exteriores del mallado se sabe que a partir de las condiciones de borde de la ecuación de Poisson el valor de Ψ es constante, y que se debe asignarle el valor nulo; y para los puntos interiores, se sabe que es válida la expresión (3). Entonces nos encontramos con la siguiente situación: para un mallado de n puntos interiores, se tiene un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, cuya resolución da una solución aproximada del problema de torsión. Dicha solución será más próxima a la real cuanto menor sea el ancho de malla s asignado. A continuación se explicará un método muy sencillo para resolver el sistema de ecuaciones antes mencionado mediante la utilización de Microsoft Excel:

Ejemplo de aplicación: Hallar los valores de la función Ψ para la siguiente sección, según el mallado dado: Lo primero que se debe hacer es escribir los valores que se conozcan de la función Ψ. Por ello se comienza por los puntos del contorno, en los cuales se verifica Ψ=0:

2,5cm S=0,5cm

5cm

3

Hay que ubicar el ratón en la celda B2 e introducir en ella la ecuación (2). Para ello, se debe indicar al Excel que se va a introducir una fórmula agregando al comienzo de ésta el signo igual. Como se está situado en B2, Ψ1=C2, Ψ2=B1,Ψ3=A2 y Ψ4=B3.

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Esta fórmula debe escribirse en todos las celdas interiores. Para facilitar esta tarea se procederá a rellenar el resto de las celdas con las fórmulas correspondientes de acuerdo al siguiente procedimiento:

1) Apretar el botón izquierdo del ratón en B2 sin soltarlo. 2) Arrastrar el puntero hasta J6 con el botón apretado, y recién allí soltarlo. 3) Seleccionar del menú Edición la opción Rellenar hacia la derecha. 4) Seleccionar del menú Edición la opción Rellenar hacia abajo.

Hasta ahora se ha obtenido lo siguiente:

Hasta el momento la máquina no ha hecho ninguna iteración, así que se debe indicarle esto de la siguiente manera:

1) Seleccionar del menú "Herramientas" la opción "Opciones/Calcular". 2) Marcar el casillero "Iteración". 3) Acotar el número de iteraciones y el error. 4) Pulsar aceptar.

Ya se tiene el sistema resuelto. A partir de este momento se puede graficar los valores

obtenidos en un gráfico del tipo de curvas de nivel, como sigue: 1) Apretar el botón izquierdo del ratón en A1 sin soltarlo. 2) Arrastrar el puntero hasta K7 con el botón apretado, y recién allí soltarlo. 3) Pulsar la tecla del Asistente para Gráficos. 4) En Tipo de gráfico seleccionar Superficie. 5) Pulsar Siguiente tantas veces como sea necesario y luego pulsar Terminar.

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Para obtener la integral de la superficie anterior se puede utilizar el método de Simpson en 2 dimensiones, o se puede recurrir a un método más simple, el cual consiste en sumar todos los valores de Φ y multiplicarlos por h2.

∫∫ ⋅⋅⋅=A

T dydxFM 2 θ⋅

=ψG

F 2hGAj

j ⋅Ψ⋅θ⋅= ∑∀

Si se quieren encontrar las tensiones en la sección se deben realizar las derivadas correspondientes.

xF

yF

yz

xz

∂∂

−=τ

∂∂

=τ

hdxd iii

⋅Ψ−Ψ

=Ψ −+

211

hdyd jjj

⋅

Ψ−Ψ=

Ψ −+

211

Para obtener una mayor precisión en los bordes, ya que estas ecuaciones tienen mucho error en los bordes de el perfil, se debería utilizar la derivada con error de segundo orden hacia adentro del perfil.

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Perfil con agujeros sometido a torsión calculado por el método directo mediante Microsoft Excel

Las ecuaciones que representan el fenómeno de torsión en perfiles con agujeros son las siguientes:

N-1

1

2 dn i

N

y

x

ds i

022 =+Ψ∇ (4) ∫ ⋅−=⋅Ψ

iiAds

dnd 2 (5) Ni ....2,1=

Donde:

θ⋅=Ψ

GF

dydF

xz =τ dxdF

yz −=τ

i: identificador del agujero. N: número de agujeros. Ai: área del agujero “i”. θ: giro de la sección por unidad de longitud. G: módulo de corte del material del perfil. La ecuación (4) se aplica en la región material que ocupa la sección, o sea, el área donde no hay agujeros. La integral (5) se realiza sobre el perímetro de cada agujero. Dentro del agujero Ψ tiene un valor constante ΨB(i). En los bordes exteriores del perfil el valor de Ψ es cero. El momento torsor que soporta el perfil se puede calcular mediante: ∫∫ ⋅⋅⋅=

AT dydxFM 2

Las ecuaciones anteriores se pueden transformar a ecuaciones en diferencias finitas. De esta forma se pueden encarar el problema de la distribución de tensiones en una sección con agujeros para un perfil de forma arbitraria. La ventaja de este método reside en que la ecuación (1) no presenta dificultades de resolución aún cuando las condiciones de borde no sean simples. Además, evitamos resolver complejas integrales que pueden surgir del planteo de la ecuación (2) para el caso de secciones gruesas de formas elaboradas. La principal

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desventaja de este método es que los resultados no son exactos. Debido en parte a que las ecuaciones utilizadas no son exactas y a la dificultad de representar el contorno de un perfil con muchas curvas Pero se puede disminuir el error disminuyendo el ancho del mallado, con el consecuente aumento de la cantidad de ecuaciones y por ende el tiempo de cálculo. La forma que adoptaremos para discretizar la sección será una grilla de puntos separados entre sí a una misma distancia “h”, tanto en el eje x como en el eje y. Esta discretización simplifica mucho las ecuaciones. La siguiente figura es una sección que posee un agujero discretizada de acuerdo a lo antedicho: La ecuación en diferencias finitas que utilizaremos para la resolución de la ecuación (4) es la misma que la utilizada para la resolución de secciones sin agujeros(3). La integral (5) en diferencias finitas se puede plantear de la siguiente manera: Detalle del agujero

Agujero “i”

Ψ= ΨB(i)

j-1 j J+1 J+2

B B B B B B B B

La derivada de Ψ en dirección normal al contorno del agujero entre los puntos “j” y “j+1” surge de la derivada numérica media entre dos puntos consecutivos. Esta se puede calcular por medio de la siguiente ecuación:

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hdn

d iBjj

jj)(

1

1* 2Ψ−

Ψ+Ψ

=Ψ

+

+

El diferencial de arco en dirección tangencial al contorno del agujero entre los puntos “j” y “j+1” se convierte en: ds = h Entonces la integral (2) toma la siguiente forma:

∫ ∑ ⋅−=⋅⋅

Ψ⋅−Ψ+Ψ=⋅

Ψ

∀

+

ii

j

iBjj Ahh

dsdnd 2

22 )(1

Lo que es igual a:

2*)(1 42 hAi

jiBjj ⋅⋅−=Ψ⋅−Ψ+Ψ∑

∀+ donde 2

*

hAA i

i ⋅=

Cuando el agujero es rectangular esta última ecuación se puede reescribir de forma que resulte útil para el cálculo de la siguiente manera:

8242

__

2*

)( +⋅

⋅⋅+Ψ⋅+Ψ=Ψ ∑∑

ladosenpuntos

iladosverticesiB N

hA(7)

Para clarificar el significado de esta ecuación podemos interpretarla mediante la siguiente sección discretizada:

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ΨB(i): Es el valor de la función Ψ en el agujero “i”, en la figura los puntos que rodean el agujero. Ψvértices: Es el valor de la función Ψ en los puntos que se encuentran rodeando los vértices del agujero, en la figura encerrados por un círculo. Ψlados: Es el valor de la función Ψ en los puntos que se encuentran rodeando los lados del agujero, en la figura encerrados por un rectángulo. A*

i.h2: Es el área del agujero. Npuntos_en_lados: Es la cantidad de puntos que se encuentran rodeando los lados del agujero, en la figura encerrados por un rectángulo. Para implementar este método en una planilla de cálculo de Excel sugerimos seguir los siguientes pasos: 1) A partir de la sección que se desea calcular, plantear una posible discretización teniendo en cuenta que, como la distancia entre los puntos es la misma en ambas direcciones, el valor de “h” se debe elegir de forma que sea compatible con las medidas de la sección. Luego de esto, sobre el papel, dibuje un diagrama similar a la figura anterior de la sección discretizada. 2) A partir del diagrama anterior establezca una equivalencia entre los puntos del mismo y las celdas de la planilla de cálculo. 3) Es conveniente encerrar con un cuadro las celdas pertenecientes al borde de el/los agujeros, esto nos será útil para plantear la integral numérica. 4) Se procede a aplicar las condiciones de borde en el contorno del perfil Ψ=0 del mismo modo que en las secciones sin agujeros.

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5) En el Menú “Herramientas/Opciones/Calcular” seleccione las opciones de cálculo: Iteración, Cálculo Manual, el Cambio máximo (error) y el Nº máximo de iteraciones. 6) Entre los ceros impuestos en el paso anterior y los cuadros que rodean los agujeros se rellena con la ecuación: “= (Ψarriba + Ψderecha + Ψabajo + Ψizquierda + 2 . h2)/4” *Ubicando el puntero del Mouse en la parte inferior derecha de la celda hasta que aparezca una cruz negra y arrastrando el puntero manteniendo el botón izquierdo apretado se facilita el relleno de las celdas.

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7) En la esquina superior izquierda dentro del cuadro de cada agujero se plantea la ecuación (7). Para agilizar esta tarea, se puede utilizar la función “SUMA(Celda inicial : Celda final)”, la cual suma todo los valores entre Celda inicial y Celda final. 8) Ahora cada uno de los agujeros se debe rellenar con su ecuación correspondiente, planteadas en el paso anterior. Primeramente, se debe igualar el valor una celda cualquiera (en el ejemplo D4) que no sea la celda que contiene la ecuación del agujero(C4), al valor de esta última. Para esto, se debe presionar la tecla "=" y se debe tipear el identificador de la celda o seleccionarla con el ratón ( = Celda superior izquierda). Luego, hay que presionar la tecla F4. Al hacer esto aparecerán dos signos "$" ubicados a la derecha de la letra y el número identificador de la celda. De esta forma se impide que la fórmula cambie al rellenar todas las celdas del agujero. Por último, se debe rellenar todas las celdas del agujero con la última fórmula. Esta operación se debe repetir para cada agujero. Si omitimos multiplicar por h2 tanto en la ecuación (1) y la integral (2) en diferencias finitas los valores que obtendremos en la planilla de cálculo deben ser multiplicados por h2.

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9) En este punto estamos en condiciones de iniciar el cálculo. Para iniciarlo debemos pulsar la tecla F9. 10) Una vez realizado el cálculo, a partir de los valores obtenidos, se pueden obtener las tensiones en la sección y la rigidez torsional, procediendo de la misma forma que en la sección sin agujeros.

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Ejemplo de aplicación El perfil que se resolvió por medio de la planilla de cálculo de Excel se detalla en la siguiente figura:

0.5 cm 2.5 cm

1 cm0.5 cm 1 cm

1 cm

5 cm Los agujeros tienen las mismas dimensiones. Se eligió una discretización h = 0.25 cm porque es múltiplo de todas las medidas de la sección. El modelo discretizado con esta distancia entre puntos es el siguiente: Se utilizaron las siguientes ecuaciones:

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Después de rellenar las celdas según lo especificado anteriormente; los resultados finales fueron:

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