pauta control mañana ecuadif
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7/26/2019 Pauta Control Maana ecuadif
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U. DE SANTIAGO DE CHILE DEP. DE MATEMATICA Y C.C.
Pauta
Control 2 (Maana)ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERIAPrimer Semestre 2016
pregunta 1. Encuentre la solucin en potencias de x de la Ecuacindiferencial:
(x2 4)y00
+ 3xy0
+y = 0
sujeta a las condiciones :
y(0) = 2 , y0(0) = 0
SolucinDada la ecuacin diferencial, tenemos;
y00
+ 3x
x2 4y0
+ 1
x2 4y= 0
Notemos que:p(x) = 3x
x24 ) sus puntos singulares son 2
q(x) = 1x24
) sus puntos singulares son 2
....................................................................................................................0.3
yx0 = 0es un punto ordinario de la ecuacin, entonces por teorema
existe solucin
y(x) =
1Xn=0
anxn:
Ahora derivando tenemos:y0
(x) =P1
n=1nanxn1 y y
00
(x) =P1
n=2n(n 1)anxn2. Reemplazando
en la ED.
1
Xn=2n(n 1)anx
n
1
Xn=24n(n 1)anx
n2 +1
Xn=13nanx
n +1
Xn=0anx
n = 0
Ahora arreglando las sumatorias y factorizando obtenemos :
1Xn=0
[n(n 1)an 4(n+ 2)(n+ 1)an+2+ 3nan+an]xn= 0
.....................................................................................................................0.5
As obtenemos la formula de recurrencia:
an+2=n(n 1) + 3n+ 1
4(n+ 2)(n+ 1) an
1
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o equivalentemente
an+2= n+ 14(n+ 2)
an
..................................................................................................................0.7
ahora dandonos casos para n obtenemos lo siguiente:
a2n = 1 3 5 (2n 1)
4n 1 2 4 (2n)a0
a2n+1=
1 2 4 (2n)
4n 1 3 5 (2n+ 1)a1
.................................................................................................................0.7
As obtenemos las soluciones:
y(x) = a0
1 +
1Xn=0
1 3 5 (2n 1)
4n 1 2 4 (2n)x2n
!+a1
x+
1Xn=0
1 2 4 (2n)
4n 1 3 5 (2n+ 1)x2n+1
!
Por lo tanto
y(x) = a0y1(x) + a1y2(x):
.........................................................................................................................0.3
usando las condiciones iniciales tenemos que
a0 = 2
a1 = 0
.......................................................................................................................0.3
por tanto:
y(x) = 2
1 +
1Xn=0
1 3 5 (2n 1)
4n 1 2 4 (2n)x2n
!
..................................................................................................................................................0.2
pregunta 2. Un objeto que pesa 500 kg se hunde en el agua partiendodel reposo. Sobre el actua el agua con dos fuerzas; Una su empujehacia arriba de 100 kg y la otra su resistencia que es proporcional ala velocidad instantanea, con constante de proporcionalidad igual a163. Hallar la distancia recorrida al cabo de 5 segundos.
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Solucin
Con g= 10m=s
2
, por la segunda ley de Newton tenemos
m a=X
Fi
...............................................................................................................................0.4
Seax(t)la distancia del objeto en el instante de tiempo t. Sabemosque a= x
00
y v= x0
entonces a= v0
, asi
m v0
= 500 100 163v
..............................................................................................................................0.6
sabemos que la masa es m= Pg
entonces m= 50.As tenemos
50 v0
= 400 163v
Resolviendo la ecuacin diferencial obtenemos
v(t) =400
163(1 e
163
50 t)
......................................................................................................................................0.7
La ecuacion de la posicion:
x0
(t) =400
163(1 e
163
50 t
)
..........................................................................................................................................0.3
entonces resolviendo esta ecuacin diferencial obtenemos:
x(t) =400
163(t+
50
163e163
50 t
50
163)
.......................................................................................................................................0.5
As obtenemos
x(5) =400
163(5+
50
163e163
10 50
163)
.........................................................................................................................................0.5
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