parcelador 11 2p.docx

MODULO MATEMTICAS

PARCELADOR GRADO

11

Colegio Gimnasio Campestre San Sebastin

3

CONTENIDOS:

LMITE DE UNA FUNCIN

Lmite de una funcin Funciones continuaFunciones discontinua

Derivadas

Derivada de una funcin

COMPETENCIAS:

Interpretativa Argumentativa Propositiva

CONCEPTO INTUITIVO DEL MILITE.

Supngase que se tiene una funcin cualquiera, por ejemplo, y = x2 + x , a la cual se le da un valor arbitrario a la variable independiente x , tal como x = 3.9. Entonces a la variable dependiente y le corresponde el valor de

y = 3.92 + 3.9 = 19.11

En seguida se le da un nuevo valor a la variable x , por ejemplo de x = 3. 99, con lo que le corresponde a la variable y un valor de

y = 3.992 + 3.99 = 19.9101

El proceso se contina, registrando los valores en una tabla como la siguiente:

Hasta aqu una calculadora muestra en la pantalla el valor de y en forma exacta, pero si se pretende obtenerlo para el siguiente valor de x , es decir, para x = 3.99999, como el correspondiente valor de la variable y consta de 12 dgitos y la pantalla de la calculadora no tiene capacidad para mostrar tantos dgitos, redondea al final y eso no sirve para los efectos que se persiguen en este estudio introductorio del concepto de lmites, sino que se requieren valores exactos con todos los decimales que les corresponden. Sin embargo, al observar los sucesivos valores de la variable y en la tabla, se puede deducir fcilmente una regla de formacin de cada uno de ellos:

a) todos comienzan con 19;b)entre el punto decimal y el primer 1 van tantos nueves, menos uno, como los tiene la variable x en su parte decimal;c)entre cada uno de los dos unos van tantos ceros, menos uno, como nueves tiene la variable x en su parte decimal.

De manera que se puede ampliar la tabla anterior de esta forma:

Etc..

Se ha colocado un etctera al final de la tabla para dar a entender que el proceso no est acabado, sino que puede continuar indefinidamente, esto es que en un momento dado se puede tener que x = 3.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 con lo que corresponde ya a la imaginacin, valga la redundancia, imaginar el valor que le corresponder a la variable y , y ms y ms nueves sin que acabe nunca el proceso.

Se observa entonces que ambas variables se acercan cada vez ms a un valor en concreto: la x se aproxima a 4 mientras que la y tiende a 20. Esa es la idea de un lmite, referida siempre a la variable dependiente, es decir, se dice que el lmite de y es 20 cuando x se aproxima a 4.

Lo anterior se escribe:

lim x = 20x4Colegio Gimnasio Campestre San Sebastin

Es importante tener en cuenta que la anterior igualdad no significa que la y valga 20, sino el lmite y que el valor de cualquier lmite es el valor al que tiende o se acerca dicha variable. Adems, que todo lmite tiene una condicionante. En el caso anterior, la condicionante es que la variable x tienda a 4. Dicho con otras palabras, el lmite de y es 20 (se acerca a 20) bajo la condicin de quela x se est aproximando ms y ms a 4. Finalmente, en el ejemplo anterior, para escribir todo con

la misma variable, como

y = x2

+ x , el lmite se escribir de la siguiente manera:

lim ( x2 + x ) = 20x 4

y significa que la funcin x2 + x se est acercando al valor de 20 conforme la variable x tiende o se aproxima a 4.

En este momento a ms de un estudiante ya se le habr ocurrido que si la variable x se hizo tender al valor de 4 por la izquierda, tambin se pudo hacer por la derecha. Esto significa que se puede aproximar al valor de 4 viniendo de valores ms pequeos hacindolos crecer lentamente, como lo era el 3.999 , como tambin viniendo de valores un poco mayores hacindolos disminuir, como por ejemplo 4.0001.

3.9

3.99

4 4.01

4.1

figura 1.1

Efectivamente, no importa por qu lado se haga la aproximacin de x al valor de 4, la funcin x2 + x de todos modos se acercar a 20, como lo muestra la siguiente tabla, construida bajo el mismo modelo de la anterior y en la que en la ltima celda el valor de la funcin x2 + x se obtuvo deduciendo la regla de formacin:

etc...

Ejemplo 1: Calcular el lmite

lim (3x2 5x + 7 ) , por medio de una tabla.x 2

Solucin: Dando a la variable x el valor de 1.9 se obtiene que

3x2 - 5x + 7 = 3(1.9)2 - 5(1.9) + 7 = 8.33

Luego con x = 1.99 se obtiene

3x2 - 5x + 7 = 3(1.99)2 - 5(1.99) + 7 = 8.9303

Y as sucesivamente, cuyos valores se concentran en la siguiente tabla. El ltimo valor se dedujo de la regla de formacin:

etc...

Analizndola, se ve que mientras la variable x (condicionante) tiende a 2, por su parte la

funcin

3x2 5x + 7

se acerca a 9. Entonces el lmite es

lim (3x2 5x + 7 ) = 9x 2


lim (5x2 + 9)x 5

por medio de una tabla.

Solucin: Dando a la variable x el valor de x = - 4.9 se obtiene

5(- 4.9)2 + 9 = 129.05

Luego, con x = - 4.99 para irse aproximando a - 5:

5(- 4.99)2 + 9 = 133.5005

Continuando con x = - 4.999

5(- 4.999)2 + 9 = 133.950005

Ahora con x = - 4.9999:

5(- 4.9999)2 + 9 = 133.9950001

Y as sucesivamente, cuyos valores se concentran en la siguiente tabla. El ltimo valor se dedujo de la regla de formacin:

etc...

Se ve que mientras x se aproxima a menos cinco, la funcin 5x2 + 9 por su parte se acerca a1134. Entonces el lmite buscado es

lim (5x2 + 9) = 134x 5

LA DIVISIN ENTRE CERO Y ENTRE INFINITO

Al estudiante, en algn curso anterior, se le ha dicho que no debe dividir entre cero, o bien, que la divisin entre cero da infinito, pero seguramente no le habrn dicho por qu es as. Con la idea de lmite que ya se tiene hasta este momento se puede explicar.

Si se divide cualquier cantidad, por ejemplo 12, entre 1, el cociente es 12. Si a continuacin el mismo 12 se divide entre 2, el cociente es 6. El proceso de dividir 12 entre un nmero positivo cada vez ms pequeo se puede registrar en una tabla con tres filas: en la primera fila se anotar el numerador que ser siempre 12; el denominador ser el nmero positivo entre el que se est divi- diendo el 12 y, finalmente, en la tercera fila se registrar el cociente de la divisin:

etc...

Se ve que mientras el denominador se hace cada vez ms chico, el cociente de la divisin es cada vez ms grande. El etctera al final de la tabla significa que el proceso no est terminado all, sino que contina indefinidamente, lo cual pertenece ya a la imaginacin, es decir, el estudiante debe imaginar que cada segundo se puede aadir un cero ms al denominador entre el punto decimal y el 1, y otro y otro, durante un ao, durante un siglo y as todo el tiempo, entonces el cociente de la divisin respectiva igualmente ir agregando ceros, hacindose ms y ms grande dicho cociente.

En conclusin: cuando el denominador se haya hecho tan pequeo que ya cueste trabajo imaginarlo, o simplemente porque por ser tan pequeo ya no sea aplicable absolutamente en nada, se tomar como cero; igualmente, el cociente se habr hecho tan enorme que se dir que es infinito. Por eso la divisin entre cero da infinito.

Debe tomar en cuenta el estudiante que infinito no es nmero, sino un concepto, una idea de algo que creci tanto que se escapa de toda aplicacin, de toda escritura, de toda lectura posible. Algo as como pretender definir un nmero que consta, por ejemplo, de cincos desde aqu hasta la luna y an mucho ms all. Es un nmero tan grande que no tiene lectura posible y tampoco aplicacin en nada. Es algo que pertenece ya nada ms a la imaginacin. Y por no ser un nmero, al infinito no se le pueden aplicar las reglas que a los nmeros.

Con un anlisis similar, se puede ver que cualquier divisin entre infinito da cero, tomando cualquier nmero para dividirlo entre un nmero cada vez mayor, como se hizo con el 12 en el caso anterior de la divisin entre cero.

Escogiendo el 1:

etc...

Se ve que mientras el denominador se hace cada vez ms grande, el cociente se hace cada vez ms pequeo, de manera que cuando el denominador de tanto crecer llegue a infinito, el cociente de tanto disminuir llegar a cero. Por eso, la divisin entre infinito da cero.

CLCULO DE LMITES DE FUNCIONES

Retomando lo visto anteriormente, se vio a travs de tablas que

lim ( x2 + x ) = 20x 4

lim (3x2 5x + 7 ) = 9x 2

lim (5x2 + 9) = 134x 5

El valor de esos lmites puede obtenerse ms directamente sustituyendo el valor al que tiende la x (el condicionante) en la funcin. As, en el primer caso, si se sustituye la x por 4 en la funcinx2 + x se obtiene el valor del lmite 20. En el segundo caso, si se sustituye x por 2 en la funcin

3x2 5x + 7

se obtiene el valor del lmite 9. Y finalmente, en el tercer caso, si se sustituye la x

por - 5 en la funcin 5x2 + 9 se obtiene el valor del lmite 134. De hecho esa es la regla general para calcular cualquier lmite.

La regla general para calcular cualquier lmite consiste en sustituir el valor alque tiende x en las equis que aparecen en la funcin.


lim (6x2 3x + 1)x 5

Solucin: Aplicando la regla general para calcular lmites, se sustituye en la funcin la x por 5:

lim (6 x2 3x + 1) = 6 (5)2 3(5) + 1x 5

De manera que

= = 136

lim (6x2 3x + 1) = 136x 5

No olvidar el significado: Conforme la variable x se acerque ms y ms al valor de 5, la funcin 6x2 3x + 1 se aproximar ms y ms a 136.


limx 10

2 x + 5


limx 10

2 x + 5 =

2 (10) + 5

= 25 = 5

De manera que

lim 2x + 5 = 5x 10


limx 7

x2 13x 1


limx 7

x2 13 72 13=

x 1 7 1

De manera que

= 36 = 16

x2 13lim = 1x 7 x 1

Significa que mientras la variable x se aproxima ms y ms al valor 7, la funcin

x2 13x 1

se acerca ms y ms al valor LMITES INDETERMINADOS O INDEFINIDOS

Todo lo que se ha analizado hasta aqu no tiene sentido prctico matemtico ms que para comprender la idea o el concepto de un lmite. Quede claro que el objetivo de analizar todo lo anterior ha sido para que el estudiante capte dicho concepto. No ms.

Porque de nada sirve, por ejemplo, en la funcin y = x2 acercarse con la variable x al valor de cinco para ver qu le pasa a x2 (hacia dnde se aproxima). Aplicando las ideas anteriores se vera que se acerca a 25. Pero, para qu acercarse con x a cinco en vez de que de una vez tome ese valor? Efectivamente, eso sera lo prctico y as se llegara directamente a que si la x vale cinco, la funcin x2 vale 25.

Lo que sucede es que a veces no se puede hacer eso porque se produce una operacin no v- lida en matemticas y es all cuando toma sentido la aplicacin de lmites. All es donde comienza el Clculo diferencial a entrar en accin.

Para explicar detalladamente lo anterior es necesario saber que existen operaciones no vlidas, llamadas formas indeterminadas o bien formas indefinidas, de las cuales solamente dos de ellas se van a mencionar en este curso. Son las divisiones

0 e 0

Son operaciones no vlidas porque daran tres resultados diferentes que las haran contradic-

torias, si se les aplican las reglas generales siguientes:

0a) Cero entre lo que sea da cero. Por lo tanto, , por ser cero entre lo que sea debe ser0

igual a cero.

0b) Cualquier cosa entre cero da infinito (explicado en el apartado 1.3). Por lo tanto,0

por ser cualquier cosa entre cero debe ser infinito.0c) Cualquier cosa entre s misma da 1. Por lo tanto, , por ser cualquier cosa entre s0

misma debe ser 1.

Sintetizando lo anterior se llegara a que

0 = 0 = = 1 , lo que obviamente no es posible.0

Por eso es una operacin no vlida llamada forma indefinida. De la misma manera se puede deducir

la invalidez de aplicndole las misma reglas.

Forma 00

para funciones racionales

Estaba dicho que a veces en matemticas se produce una operacin no vlida, como por

Ejemplo cuando se quiere evaluar la funcin y =

x2 1

para x = 1. Sustituyendo se obtiene que

x 1

12 1 0y = =1 1 0

que es una de las formas indeterminadas. En casos como ste es cuando toma sentido el concepto de lmite, porque en virtud de que no se puede investigar la funcin exactamente cuando la x vale1, entonces lo que se hace es aproximarse con x a uno para observar hacia dnde se acerca la funcin.

Analizando con una tabla, como se hizo en el apartado 1.1:

etc...

x2 1Se ve que mientras la variable x tiende al valor 1, la funcin se acerca a 2, lo cualx 1

se escribe, en terminologa de lmites, como

limx 1

x2 1= 2

x 1

valor que no fue posible obtener con la regla general del clculo de lmites (por sustitucin) en virtud de que por medio de dicha regla se lleg a una forma indeterminada. Y es en este tipo de formas indeterminadas donde realmente cobra sentido la teora de los lmites, antes no.

Pero calcular lmites de funciones que dan formas indefinidas para ciertos valores de x , por medio de tablas resulta muy engorroso. Entonces existen mtodos analticos para llegar a sus resultados sin necesidad de elaborar tablas.

La siguiente es la regla con la cual se pueden obtener los valores de ciertos lmites que dan

la forma indefinida 00

. Es importante tomar en cuenta la nota que aparece al final de dicha regla,

pues a partir de ella se puede facilitar mucho la factorizacin, la cual tiene validez si se cumple,

como dice al principio, que se tenga la forma indeterminada 00

, si no, no. Analcense con cuidado

los ejemplos.

REGLA 1

Si

limx c

p ( x ) 0 =q ( x ) 0

, donde p(x) y q(x) son polinomios, en

tonces deben factorizarse p(x) y q(x) , simplificarse y volver a calcular el lmite en la fraccin simplificada.

NOTA: (x - c) es factor de p(x) y de q(x).


lim

x2 + 7 x 602

x 5 3x

7 x 40

Solucin: Aplicando primero la regla general (sustitucin):

lim

x2 + 7 x 60 0=

x 5 3x2 7 x 40 0

Como se cumple la condicin que exige la regla 1, entonces deben factorizarse el numerador y el denominador. Para ello se tienen dos opciones: una, recordar las reglas de factorizacin del curso de lgebra del primer semestre; dos, a partir de la nota de la regla 1, considerar que en este caso (x - 5) es factor del numerador y del denominador.

Aplicando las reglas de factorizacin: Para el numerador se buscan dos nmeros que multiplicados den - 60 y sumandos den +7. Son + 12 y - 5. La factorizacin es

x2 + 7x - 60 = (x + 7)(x - 5)

Ntese cmo efectivamente un factor fue (x - 5), como ya estaba predicho.

Para el denominador, se buscan dos nmeros que sumados den - 7 y multiplicados den - 120. Son - 15 y + 8. Entonces la factorizacin es:

3x2 - 7x - 40 = 3x2 - 15x + 8x - 40= 3x(x - 5) + 8(x - 5)= (3x + 8)(x - 5) Un factor fue (x - 5) como sentenciaba la nota.Entonces

lim

x2 + 7 x 60

= lim

( x + 12) ( x 5)

x 5 3x2 7 x 40

x 5 (3x + 8) ( x 5)

= lim x + 12 x 5 3x + 8

= 5 + 123(5) + 8

= 1723


lim

x3 + 8x2 492

x 7

x + 4x 21


limx 7

x3 + 8x2 49x2 + 4 x 21

( 7 )3 + 8 ( 7 )2 49 0= =

( 7 )2 + 4 ( 7 ) 21 0

Como se cumple la condicin que exige la regla 1, entonces deben factorizarse el numerador y el denominador. Para ello, a partir de la nota de la regla 1, (x + 7) es factor del numerador y del denominador.

El otro factor se puede obtener por una simple divisin.

As que

limx 7

x3 + 8x2 49x2 + 4x 21

= limx 7

= limx 7

( x + 7 ) ( x2 + x 7 )( x + 7 ) ( x 3)

x2 + x 7

x 3

( 7 )2 + ( 7 ) 7

=( 7 ) 3

= 35 10


lim

5x3 6x2 + 2x 12

x 1

4x 3x 9


lim

5x3 6x2 + 2x 1=

5 (1)3 6 (1)2 + 2 (1) 1

x 1

4x2 3x 9 4 (1)2 3(1) 9

= 0 8

= 0

0Obsrvese que como no dio la forma indefinida , no tiene por qu aplicarse la 0

regla 1 que se vena aplicando en los ejemplos anteriores. De hecho, el resultado obtenido es cero y eso est perfectamente definido, de manera que el lmite pedido es cero. Recurdese que la regla 1 se aplica cuando da una forma indeterminada, pero si en el primer paso ya se obtiene un valor concreto, se ya es el resultado.

CONTINUIDAD.Se dice que una funcin es continua cuando es posible hacer su grfica sin separar el lpiz del papel. Esta definicin coloquial de continuidad permite establecer una idea intuitiva de su significado.

Al obtener el , se busca aproximarse al valor de x=a ms no llegar a ese punto, esto es, acercarse mucho pero manteniendo . Puede ser que el lmite de una funcin exista an cuando la funcin no est definida en ese punto.

Una funcin es continua en un nmero a si se cumplen los siguientes requisitos: f est definida en un intervalo abierto que contiene al nmero a el existe, y

Ejemplo 1.

Sea la funcin . Determinar si es continua.

La funcin no est definida en cero, por lo tanto, existe un intervalo abierto que contiene a 0 en el cual la funcin NO est definida y, entonces, no es continua, es discontnua.

Ejemplo 2.

Sea la funcin . Determinar si es continua.

Este polinomio est definido para todos los nmeros reales, por lo tanto, lo est para un intervalo abierto cualquiera, sin restringir a un valor particular de a. Se cumple el primer requisito, entonces, hay que analizar el lmite a un valor arbitrario a.

El lmite cuando existe y su valor es el mismo que la funcin evaluada en el punto x=a. El polinomio es contnuo.

Ejemplo 3.

Sea la funcin . Determinar si es contina.

Esta es una funcin por partes que est definida para todo nmero real. Hay un cambio de comportamiento en el punto x=0, por lo tanto, habr que analizar lo que pasa en dicho punto. Dado que el comportamiento a la izquierda y a la derecha de x=0 es diferente, se utilizarn los lmites unilaterales.

Dado que los lmites unilaterales tienen el mismo resultado, se dice que . Por lo tanto, el lmite cuando existe y vale 3. Ahora, falta hallar el valor de la funcin en el punto x=0, se evala y . Se cumplen los tres requisitos para la continuidad: la funcin es contnua.

Ejemplo 4.

Sea la funcin . Determinar si es contnua.

Al igual que en el caso anterior, la funcin por partes que est definida para todo nmero real. Hay un cambio de comportamiento en el punto x=0, por lo tanto, habr que analizar lo que pasa en dicho punto. Dado que el comportamiento a la izquierda y a la derecha de x=0 es diferente, se utilizarn los lmites unilaterales.

Dado que los lmites unilaterales tienen el mismo resultado, se dice que . Por lo tanto, el lmite cuando existe y vale 3. Ahora, falta hallar el valor de la funcin en el punto x=0, se evala y . No se cumple el tercer requisito de la continuidad: la funcin es discontinua.

Ejemplo 5.

Sea la funcin . Determinar si es contina.

La funcin est definida para todos los reales: se cumple el primer requisito de la continuidad. El cambio de comportamiento de la funcin es alrededor del punto x=1. Los lmites unilaterales dan como resultado

Los lmites dan diferentes resultados. El lmite no existe, por lo tanto, la funcin es discontinua.

Existen diferentes tipos de discontinuidad. En la discontinuidad de salto los lmites unidireccionales existes pero son diferentes. Esto quiere decir que al acercarse al valor de x=a por la derecha se llega a un valor de la funcin f diferente al que se llega al acercarse por la izquierda. Esto se puede observar en la siguiente figura.

aa

En la discontinuidad evitable el lmite cuando existe pero no coincide con el valor de la funcin en el punto x=a. Puede ser que la funcin est o no est definida en ese punto.

aa

En la discontinuidad infinita se tiene que la funcin no est definida para un intervalo abierto que contiene a a, el lmite es infinito (como no llega a un nmero real, se dice que no existe) y, por lo tanto, no se puede cumplir que .

a

Ejemplo 6.

Describir el tipo de discontinuidad de los ejemplos 1, 4 y 5.

Ejemplo nmeroFuncinObservaciones y conclusiones

1

La funcin no est definida para ningn intervalo abierto que contenga al punto x=0. El lmite cuando no existe y la funcin no est definida en ese punto. No se cumple ningn requisito de la continuidad. La discontinuidad es infinita.

4

La funcin est definida para todos los reales; el lmite cuando existe, pero no es igual al valor de la funcin evaluada en x=0. Esta es una discontinuidad evitable.

5

La funcin est definida para todos los reales. Los lmites unilaterales son diferentes, por lo tanto, el lmite no existe. Dado que los lmites por derecha e izquierda dan diferentes resultados, la discontinuidad es de salto.

CONCEPTOS BSICOSPENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTEDefinicin:

La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P es:

OTRA DEFINICIN

La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P es:

EJEMPLO

Halle la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin en el punto (4,2)

En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando lmites:

Ahora hallemos la ecuacin de la recta con la expresin:

Solucin: VELOCIDAD

La funcin f(x) que describe el movimiento se conoce con el nombre de funcin posicin del objeto. En el intervalo desde t = a hasta t = b el cambio de posicin es La velocidad promedio en dicho intervalo es:

(donde h es la longitud del intervalo de tiempo (a,b)

La velocidad en el instante t = a (Velocidad instantnea) es:

RAZONES DE CAMBIO

Dada si x cambia de a entonces el cambio en x se llama incremento de x:

El correspondiente incremento de y es

El cociente de estos incrementos se llama Razn de cambio promedio de y con respecto a x

Razn de cambio promedio=

La razn de cambio instantnea de con respecto a x en el punto es:

Razn de cambio instantneo=

LA DERIVADA

Sea f(x) una funcin, la pendiente de la recta tangente (m) en un punto dado se llama derivada se llama derivada de f en dicho punto y se escribe:

= Derivada de f en el punto (x,f(x))

Notacin

Sea una funcin, notamos la derivada as:

En un punto particular (a,f(a)) escribimos:

EJEMPLO

Halle la derivada de en x = 2

En x = 2 la derivada es: 2(2)=4

La derivada de es

Generalizacin

Si usamos lmites para hallar la derivada de obtenemos:

PROPIEDADES DE DERIVACIN

Sean f , g dos funciones entonces:

1. 2. 3.

4.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea y = f(x) una funcin entonces:

es la primera derivada o derivada de primer orden

es la segunda derivada o derivada de segundo orden

es la tercera derivada o derivada tercer orden....

es la ensima derivada o derivada de orden n

EJEMPLO

1. Halle todas las derivadas de orden superior para

2. Halle la tercera derivada de

REGLA DE LA CADENA

Si f(u) es derivable en y g(x) derivable en x, entonces la compuesta es derivable en x. Adems:

Usando la notacin de Leibniz, si entonces:

REGLA DE LA CADENA PARA POTENCIAS

Si es una funcin derivable entonces:

EJEMPLOS

Sea halle su derivada

Sea calcule

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Derivada de seno de x

Derivada de coseno de x

Para obtener las dems derivadas no es necesario usar lmites ya que empleamos las identidades que involucran a seno y a coseno.

Derivada de tangente de x

El lector puede usar este mismo procedimiento para probar las siguientes derivadas:

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS COMPUESTAS

EJEMPLOS

1. Derive

2. Derive

DERIVACIN IMPLCITA

Una funcin f(x) esta definida implcitamente por una ecuacin si y solo si al sustituir y por f(x) se llega a una identidad.

EJEMPLOS

1. La ecuacin define dos funciones implcitamente, ellas son:

Para hallar debemos derivar implcitamente la ecuacin , en primer lugar vamos a sustituir y por f(x) en la ecuacin, as:

ahora derivamos en ambos miembros con respecto a x y usamos la regla de la cadena en el miembro izquierdo

2. Suponga que define a y como una funcin implcita de x, halle Derivando en ambos miembros:

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