APLICACIÓN DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS

DE LA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL 3P MEDIANTE EL MÉTODO DE MÁXIMA

VEROSIMILITUD.

Christian Pérez Toro (1)

christ.kzc@gmail.com

Huancavelica - Perú

RESUMEN:

Las distribuciones estadísticas en el campo de la Hidrología, tienen una gran importancia

para la estimación de caudales de diseño a un periodo de retorno según el tipo de

estructura a la que se proyecta; la distribución LogNormal 3P es uno de los métodos que se

usa actualmente. Los parámetros de esta distribución pueden ser estimados mediante

varios métodos, siendo el más confiable el método de máxima verosimilitud; sin embargo

este método es el más complejo de todos pues la manera de resolverlos es mediante un

sistema de ecuaciones no lineales. En este artículo se presenta un análisis detallado de como

resolver el sistema de ecuaciones utilizando métodos numéricos; además de un algoritmo

que indique el procedimiento a seguir.

1. INTRODUCCIÓN

Los métodos más usados en la estimación de los parámetros de distribución LogNormal

3P son: método de momentos, método simplificado y método de máxima verosimilitud.

El método de momentos tiene una limitación, pues para su aplicación el Coeficiente de

Sesgo tiene que ser mayor a 0.52, caso contrario este método no podrá ser aplicado. El

método simplificado solo aproxima el valor del parámetro de posición y por tanto los

valores de los demás parámetros también son solo aproximaciones. El método de

máxima verosimilitud muestra un sistema de ecuaciones no lineales para encontrar el

valor de los parámetros.

El propósito de este trabajo es mostrar una manera de estimar los parámetros de la

distribución LogNormal 3P mediante el método de máxima verosimilitud, con una

aproximación elevada; para lo cual se aplica conocimientos previos de métodos

numéricos, como una herramienta de resolución del sistema de ecuaciones.

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El problema consiste en encontrar los valores de los parámetros de la distribución

LogNormal 3P mediante el método de máxima verosimilitud; es decir, formular un

método de resolución al sistema de ecuaciones no lineales.

1.2. OBJETIVOS

Crear un conjunto de técnicas propias para la estimación de los valores de los

parámetros de la distribución LogNormal 3P.

Proporcionar un algoritmo utilizando modelos numéricos para la solución del

problema.

1 Estudiante de Ingeniería Civil - Universidad Nacional de Huancavelica

2. MARCO TEÓRICO

DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL 3 PARÁMETROS

FUNCIÓN DENSIDAD:

( )

( ) √

[ ( )

]

FUNCIÓN DENSIDAD ACUMULADA:

Si:

( )

( )

√ ∫

Donde:

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS (MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD)

∑ ( )

[

∑[ ( ) ]

]

∑

(

)

∑ ( )

3. DESARROLLO DEL MODELO NUMÉRICO

3.1. PARÁMETROS

a. El parámetro de posición debe ser menor a todos valores de los datos.

b. De la ecuación 01 el parámetro de escala es una función del parámetro de posición.

( )

c. De la ecuación 02 el parámetro de forma es una función del parámetro de posición y

escala.

( )

Por lo tanto, a partir de un valor del parámetro de posición podemos encontrar el valor

de los demás parámetros utilizando las ecuaciones 1 y 2; al reemplazar los valores de

los parámetros en la ecuación 3 observaremos si estos son correctos o no, cuanto

menor sea el valor obtenido en la ecuación 3 menor será el error del valor de los

parámetros.

Para encontrar los valores de los parámetros aplicaremos el método de la secante, este

método es una variación del método de Newton – Raphson, se usa para encontrar

raíces de ecuaciones a partir de dos puntos iniciales que en nuestro caso será el

parámetro de posición.

3.2. APLICACIÓN DE MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODO DE LA SECANTE

Sea:

( )

Como f(p) está en función de los tres parámetro, buscaremos un tal que f(p) se

acerque a cero.

Para iniciar partiremos de dos valores

iniciales ( ) a partir de los

cuales, podremos encontrar un tercer

valor más cercano al verdadero valor.

Aplicando la formula de la Secante,

tenemos:

( ) ( )

( ) ( )

3.3. ELABORACIÓN DEL ALGORITMO

Teniendo como datos:

, -

Algoritmo de resolución:

1º. Asumir un primer valor inicial para el parámetro de posición, este debe ser menor

al primer dato de la lista X

2º. A partir de este primer valor y usando las ecuaciones 1 y 2 se encuentra los valores

de los demás parámetros.

3º. Reemplazar estos valores en la ecuación 3, el resultado será el valor de ( )

4º. Asumir un segundo valor inicial para el parámetro de posición, este debe ser

menor al primer dato de la lista X y al primer valor asumido.

5º. A partir de este segundo valor y usando las ecuaciones 1 y 2 se encuentra los

valores de los demás parámetros

6º. Reemplazar los valores en la ecuación 3, este será el valor de ( )

7º. Utilizando la ecuación 04 encontramos un nuevo valor del parámetro de posición.

( ) ( )

( ) ( )

8º. Hacemos:

( ) ( )

9º. Volver al paso 5º. hasta que el valor de ( ) tienda a cero.

10º. Asumir los últimos valores encontrados como los verdaderos parámetros.

11º. El error será igual al último ( ) encontrado.

NOTA: Con este método de solución, al reemplazar cada valor de los parámetros

encontrados en las ecuaciones 1 y 2 darán como resultado cero; y en la ecuación 3 será

el ultimo valor de ( ).

3.4. IMPLEMENTACIÓN EN UNLENGUALE DE PROGRAMACIÓN:

Para la solución del algoritmo presentado presento la programación en el lenguaje User

RPL para calculadoras hp 50G.

( )

* +

Donde:

( )

Estos valores pueden ser cambiados según la precisión que se desee.

4. CONCLUSIONES

a. Mediante la aplicación de métodos numéricos ha sido posible desarrollar una

técnica propia de resolución al sistema de ecuaciones no lineales, con una

aproximación elevada.

b. La utilización de un computador o una calculadora programable, permite desarrollar

el algoritmo de manera rápida.

c. El error de los parámetros es casi nulo, puesto que al reemplazar en las ecuaciones 1

y 2 resulta 0 y en la ecuación 3, el valor que se muestra en la pila 1 de la calculadora.

5. EJEMPLO:

Mediante un ejemplo se muestra los resultados del algoritmo.

Sea los datos:

{ 2252. 2112. 2327. 2498. 2305. 2633. 2609. 2983. 2625. 2229. 1780. 2083. 2426.

2135. 2199. 2410. 2922. 2838. 2897. 2696. 3119. 2884. 2664. 2146. 2053. 2401.

2606.7 1821.1 2392.8 2572.7 1957.4 2415. 2553.7 2006.5 2176. 2361.1 1580.6

2271.6 2596.2 2001.61 2051.37 2378.99 2082.08 2605.46 2665.91 3299.78 2675.11

2197.19 2422.9 2191. 2583.92 2355.26 2111.16 2354.2 }

Aquí se presenta la estimación de los parámetros a diferentes aproximaciones:

Error

-379.274922 -1998.55871 -2184.21460 -2197.978103 -2197.984027

7.820843180 8.33802664 8.41489019 8.430092617 8.430317839

0.135765720 0.08069466 0.07472165 0.073594215 0.073577642

Ec. 01 0 0 0 0 0

Ec. 02 0 0 0 0 0

Ec. 03

NOTA: Los datos del ejemplo son los brindados en la cuenta del Blog.

El tiempo de ejecución del ejemplo en un calculador HP 50 G es aprox. 1 min.

Se debe mostrar en la pantalla.