Para qu tantas hiptesis en el Criterio de la Integral.Luis Alejandro Acua P.Escuela de MatemticaInstituto Tecnolgico de Costa RicaResumen:Se repasa el planteo tradicional del Criterio de la Integral para la convergencia de series (con las hiptesis de que la funcin en cuestin sea continua, positiva y decreciente, y la conclusin de que la serie y la integral impropia convergen ambas o divergen ambas). Se muestran ejemplos en los que fallan una o ms de las hiptesis y la conclusin del criterio falla. Se demuestra que son innecesarias las hiptesis de continuidad y positividad, y finalmente que basta con una condicin an ms dbil que la de que la funcin sea decreciente. Los resultados se aplican tanto a la equivalencia entre la convergencia de la serie y la convergencia de la integral impropia como a la frmula para la cota del error en las sumas parciales cuando la serie converge.Palabras Clave:Series infinitas, criterios de convergencia, continuidad, criterio integral.IntroduccinAl estudiar las series infinitas, uno de los primeros criterios de convergencia que se presentan es el Criterio de la Integral. Su planteo tradicional dice, a grandes rasgos, que sies una funcin continua, positiva y decreciente en, entonces la integral impropiaconverge si y slo si la serieconverge.En este artculo veremos que las hiptesis de continuidad y positividad son innecesarias. Con slo suponer quesea decreciente ya se puede demostrar la equivalencia entre las convergencias de la integral y de la serie. Y hay ms: resulta que ni siquiera es necesario quesea decreciente. Veremos que hay una condicin an ms dbil que sigue siendo suficiente en el Criterio de la Integral, pero reservamos los detalles para la ltima seccin.Planteo usual del Criterio Integral (CI) en la literaturaComo dijimos, tradicionalmente el enunciado del Criterio de la Integral (CI) pide que la funcin sea continua, positiva y decreciente. Por ejemplo, Larson, Hostetler y Edwards enuncian en suClculo[5]:

Teorema:Sies positiva, continua y decreciente paray, entonces

convergen o divergen ambas simultneamente.Stewart, en su "Clculo, trascendentes tempranas'', lo enuncia de manera casi equivalente:

Teorema:Suponga quees una funcin continua, positiva y decreciente eny sea. Entonces la seriees convergente si y slo si la integral impropiaes convergente.Al menos esa es la manera en que la mayora de los libros de clculo lo plantean, incluyendo los textos de Stewart, Larson, Purcell y otros. Curiosamente, los libros de anlisis, como los de Apostol, Bartle, Lang o Rudin, omiten la suposicin de quesea continua. Por ejemplo, Rudin, en su libro "Principios de anlisis matemtico''[6], enuncia:

Teorema:Siy sies montona decreciente para, entonces

converge, si y slo si

converge.

Apostol, en su "Anlisis matemtico''[2], omite las hiptesis de continuidad y positividad pero aade una nueva, quetienda a cero:

Teorema:Seauna funcin decreciente definida ental que. Para, definimos

Se tiene entonces:i), paraii)existe.iii)converge si, y slo si, la sucesinconverge.iv), para

En realidad sies decreciente y tiende a cero entoncesdebe ser positiva, de modo que la hiptesis de positividad, si bien no es explcita, est presente pero escondida en el nuevo planteo. Tambin escondida est la conclusin de que la serie converge si y slo si la integral converge: el tercer punto del teorema no dice queconverja sino que lasucesinconverge, lo cual es equivalente en presencia de la suposicin de quesea positiva.De cualquier manera, en la prctica las aplicaciones de este teorema no requieren que las condiciones se cumplan particularmente en: basta con que se cumplan en el intervalo, para algn. De manera semejante, la palabra "positiva'' se usa aqu en un sentido no estricto, significando quepara todo. Adems, tampoco es necesario que la integral y la serie empiecen en1; pueden empezar ambas en cualquier.Definiciones y resultados preliminaresAsegurmonos de que tenemos una base comn para lo que sigue. Dos definiciones bsicas son:

Definicin 1:Siyes integrable en cada intervalo, entonces la integral impropia desobre el intervaloes

La integral converge si el lmite existe, o diverge si no.

Definicin 2:Sies una sucesin real, su serie es

La serie converge si el lmite existe, o diverge si no. La cantidadse llama la-sima suma parcial de la serie.

Un resultado bien conocido es que cualquier sucesin real montona y acotada es convergente (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Una propiedad semejante se cumple para funciones, y luego necesitaremos los siguientes dos resultados relacionados con esto (sus demostraciones estn en elApndice):

Proposicin 1:Sies una sucesin creciente o decreciente, entoncesrespectivamente, donde el supremo podra ser, y el nfimo, si la sucesin no es acotada.

Proposicin 2:Sies creciente o decreciente en, entoncesrespectivamente, donde el supremo o el nfimo podra sero.

Los siguientes dos resultados son fundamentales. Tambin estn demostrados en elApndice.

Proposicin 3:Si la seriees convergente, entonces.

Es tentador pensar que si la integralconverge entoncesdebe tender a cero, como sucede con las series. Pero no es as, como veremos en los ejemplos de la siguiente seccin. Lo que s es cierto es:

Proposicin 4:Si la integralconverge yes montona en, entonces.

Por ltimo, una propiedad algo ms avanzada de las funciones montonas es que son integrables segn Riemann (la definicin de integrabilidad se enuncia en elApndice):

Proposicin 5:Sies montona en, entonceses integrable segn Riemann en.Algunos contraejemplos si fallan las hiptesisVolvamos al Criterio de la Integral y su planteo tradicional (suponiendo que la funcin es continua, positiva y decreciente). No es difcil encontrar ejemplos en los que fallan esas hiptesis y la integral converge pero la serie diverge, o viceversa. Veamos algunos.Si falla la continuidadConsidere la funcin

cuyo grfico es como el siguiente:

Figura1.La funcines positiva, pero no continua ni decreciente. La integralconverge porquepara cualquier, as que. Pero la seriediverge porque sus sumas parciales sonpara cualquier, as que.Usando la mismaanterior, ahora la funcintiene una integral divergente porquepara cualquier, pero su serie converge porquepara cualquier.La razn por la que la convergencia de la serie no es equivalente a la convergencia de la integral para las dos funciones anteriores no es que ellas sean discontinuas, sino que no son montonas. Vea el siguiente ejemplo.Si falla la monotonaEn el grfico de la funcinanterior es posible conectar los segmentos horizontales con los puntos aislados para construir una funcin continua con la misma propiedad de: su integral converge pero su serie diverge. Considere el grfico siguiente:

Figura 2.Llamemosa esta funcin. Ella es continua, y es constante en cero excepto por un intervalo de ancho 1 centrado en, un intervalo de anchocentrado en, uno de anchocentrado en, y as sucesivamente. En cada uno de esos intervalos de anchocon centro en, para, la integral dees el rea de un tringulo con altura 1 y base: el rea es.Entonces, para cualquier,

(la primera desigualdad se debe a que el ltimo tringulo est incompleto). En resumen,para todo. Por ltimo, comoes una funcin creciente de, y acotada superiormente por1 como acabamos de ver, resulta (Proposicin2) queconverge.Por otra parte, es obvio quediverge, ya quepara todo, como la funcindel ejemplo anterior.As es que tenemos una funcin, continua y positiva (pero no decreciente), para la cual la integral converge pero la serie diverge. Tomando, como antes,, tendremos un ejemplo de una funcin continua y positiva tal que su integral diverge, porque

pero su serie converge porquepara todo.Si falla la positividadUn ejemplo con una funcin que no es toda positiva puede ser, para(vea el grfico abajo). Esta funcin cambia de signo y tiende a cero de una manera tal que su integral impropia converge, peropara cada, de modo que la seriediverge (es bien sabido que, conocida como la serie armnica, diverge).

Figura 3.Vamos eliminando las hiptesisEn los cinco ejemplos anteriores las funciones tienen algo en comn: ninguna es decreciente. Unas son positivas, una de ellas no; unas son continuas y otras no. Pero ninguna de ellas es decreciente. De las tres hiptesis,cumple solamente la de positividad yslo la de continuidad;es continua y positiva pero no decreciente. Falt ver entre los ejemplos una funcin que fuera slo decreciente pero no continua o positiva, para la cual convergiera la serie y no la integral, o viceversa.Por qu falt? Muy sencillo: porque no existe tal funcin. Pronto demostraremos que cualquier funcin decreciente, continua o no, positiva o no, satisface la conclusin del Criterio de la Integral.De hecho, las tres hiptesis tradicionales del CI son innecesarias. Podemos prescindir por completo de las dos primeras y todava debilitar un poco la tercera, como veremos en esta seccin.Es necesaria la continuidad?La primera hiptesis de la que podemos deshacernos en el CI es la continuidad, a pesar de que los textos usuales de clculo la incluyen. Tenemos el siguiente lema:

Lema 1:Sies decreciente y positiva enpara algn, entoncesconverge si y slo siconverge.La siguiente demostracin es tpica de lo que puede encontrarse en los libros de anlisis matemtico.Demostracin:Primero, comoes positiva, tantocomoson funciones crecientes dey, respectivamente.Adems, comoes decreciente enentonces, por una parte,es integrable en cualquier subintervalo de(Proposicin5), y por otra, para cualquier enterose tienepara todo. Integrando los tres trminos de la desigualdad sobre el intervaloobtenemos

Sumando ahora paradesdehasta cualquier enteroobtenemos

o bien

o ms simplemente

Supongamos ahora que la integralconverge. Entonces

de modo que

La sucesines entonces no slo creciente sino tambin acotada superiormente, por lo que debe converger (Proposicin1). De ah que siconverge, tambinconverge.Recprocamente, supongamos que la serieconverge. Entonces

y de ah que para cualquier real:

(dondedenota la parte entera de). Entonces la funcinno slo es creciente sino tambin acotada superiormente, y por lo tanto converge (Proposicin2). En conclusin, siconverge,tambin converge.Terminamos con eso la demostracin del Lema1, sin haber necesitado en ningn momento quefuera continua. Para qu plantearn esa hiptesis los libros de clculo? Podra pensarse en una respuesta de tipo didctico, ya que en los cursos de clculo el CI se usa casi exclusivamente con funciones continuas. Pero eso no justifica el imponerle al estudiante, cuando resuelve los ejercicios, la carga adicional de verificar una hiptesis completamente innecesaria.Es necesario que la funcin sea positiva?Resulta que tampoco es necesario suponer que la funcin sea positiva, aunque muchos textos de anlisis s lo hacen. Partamos solamente de quees decreciente en, y consideremos dos posibilidades: Puede ser quepara todo. En tal caso, por el Lema1, la integral deconverge si y slo si la serie deconverge. O puede ser que exista algncon. Entonces, comoes decreciente,, posiblemente(Proposicin1). En consecuencia, tantocomodivergen (Proposiciones 3 y4).No hay ninguna otra posibilidad:es toda positiva o bientoma algn valor negativo, y en cualquier caso la integral converge si y slo si la serie converge. As de fcil hemos demostrado el siguiente lema, en el que no es necesario que la funcin sea positiva:

Lema 2:Sies decreciente enpara algn, entoncesconverge si y slo siconverge.

Y si la funcin no fuera decreciente?Inclusoesahiptesis, de que la funcin sea decreciente, est sobrada hasta cierto punto. Volteando verticalmente el argumento anterior, resulta que sies creciente entonces el Lema2 puede aplicarse a, que es decreciente:converge si y slo siconverge. De ah sigue que, sies creciente,

Entonces el criterio puede aplicarse ya sea la funcin creciente o decreciente. Esto implica que hasta la ltima hiptesis en la formulacin tradicional, de que la funcin sea decreciente, es tambin prescindible: basta con quesea montona.Y la cota del error?En el planteo tradicional del CI hay un anexo que dice que, bajo las hiptesis del criterio, si la serie y la integral convergen entonces el error en la suma parcial-sima satisface la desigualdad

Con la nica hiptesis que conservamos aqu, quesea montona, tambin se cumple un resultado casi idntico. Esto significa que las hiptesis tradicionales del CI no son necesarias ni siquiera para acotar el error, como vemos en este Lema:

Lema 3:Sies montona enpara algn, y la serieconverge, entonces

para cualquier entero, dondey.

Demostracin:Notemos primero que si la serie converge entoncespara cualquier.Sifuera decreciente y tomara algn valor negativo, o si fuera creciente y tomara algn valor positivo, entonces la serie sera divergente como ya notamos, y no habra nada que demostrar.Supongamos entonces quees decreciente y positiva en. En la demostracin del Lema1 tenamos que, para cualquier,

Si la serie converge (y por ende tambin la integral), podemos tomar lmite cuandoy as obtener

Si, la desigualdad anterior se aplica tambin a, ya que lo nico que se supuso sobrefue queera decreciente y positiva en, lo cual tambin es cierto en. Entonces

y como supusimos queera positiva, esa desigualdad es equivalente a.Por ltimo, sies ms bien creciente y negativa en, todo lo anterior se aplica aen el lugar de:

para cualquier, o bien

Comoes negativa, la desigualdad anterior equivale tambin a, con lo que la demostracin est completa.ConclusinPara repasar, hicimos lo siguiente: Primero demostramos que sies decreciente y positiva entoncesconverge si y slo siconverge. Luego vimos que sies decreciente y toma al menos un valor negativo, entonces tanto la integral como la serie divergen, as que la conclusin se mantiene con la sola hiptesis de quesea decreciente y no necesariamente positiva. Lo siguiente fue notar que, sies creciente, el criterio anterior se aplica ay por lo tanto tambin a, por lo que basta con suponer quesea montona. Por ltimo vimos que la cota usual del error se mantiene con esa hiptesis nica.En conclusin, luego de haber descartado una por una las hiptesis tradicionales del CI, hemos arribado finalmente a esta versin sumamente austera en sus requisitos:

Teorema (Criterio de la Integral para convergencia de series):Sies montona enpara algn, entonces

En tal caso,

ApndiceAqu demostramos las cinco proposiciones que se enunciaron en la Seccin2, e incluimos las definiciones necesarias para la Proposicin5 acerca de integrabilidad.

Proposicin 1:Sies una sucesin creciente o decreciente, entoncesrespectivamente, donde el supremo podra sero el nfimosi la sucesin no es acotada.

Demostracin:Es muy semejante a la demostracin de la Proposicin2, que es ms general, por lo que omitimos la presente.

Proposicin 2:Sies creciente o decreciente en, entoncesrespectivamente, donde el supremo o el nfimo podra sero.

Demostracin:Veremos el caso de quesea decreciente; el otro es anlogo. Sea. Sino es acotado inferiormente, para cualquierexiste algncon. Entoncespara todo. Esto demuestra que.Por otra parte, sies acotado inferiormente, seasu nfimo. Para cualquier,no es cota inferior de, por lo que existe algncon. Entonces, para cualquier,, as quepara todo. Esto demuestra que.

Proposicin 3:Si la seriees convergente, entonces.

Demostracin:Sea. Comoyson convergentes (al mismo lmite), tambin lo es su diferencia, con.

Proposicin 4:Si la integralconverge yes montona en, entonces.

Demostracin:Supondremos quees decreciente (sies creciente, el argumento siguiente se aplica a).Veamos primero quepara todo: Si existieracon, serapara todo, y entonces, para todo,

Cuando, la expresin a la derecha tendera a, implicando quediverge. Esto contradice la hiptesis.Entoncesno es slo decreciente sino tambin acotada inferiormente por0. Por la Proposicin2, existe, y debe serporque 0 es una cota inferior de.Comopara todo, entonces para todo

Si fuera, la expresin a la derecha tendera acuando, como antes implicando quediverge y contradiciendo la hiptesis.En conclusin,como queramos probar.

Definicin 3:Si, una particindees una sucesin finitacon.

Definicin 4:Sies acotada enyes una particin de, la suma superior deparaes, donde. La suma inferior es, donde

Definicin 5:Sies acotada en, entonces la integral superior deenes

y su integral inferior es

Se dice quees integrable segn Riemann ensi.

Proposicin 5:Sies montona en, entonceses integrable segn Riemann en.Demostracin:Supongamos quees creciente (el caso dedecreciente es anlogo). Para cadasea, y seala particin.Comoes creciente,,ypara todo. Entonces

y

De ah que; es decir,

Finalmente, comoy, y como obviamente, tenemos

Como esta desigualdad se cumple para todo, concluimos que, como queramos.Bibliografa[1] Apostol, Tom; "Calculus''; 1986.[2] Apostol, Tom; "Anlisis matemtico''; 1977.[3] Bartle, Robert; "Introduccin al anlisis matemtico de una variable''; 2003.[4] Lang, Serge; "Analysis I''; 1973.[5] Larson, Roland, Robert Hostetler y Bruce Edwards; "Clculo''; 1998.[6] Rudin, Walter; "Principios de anlisis matemtico''; 1966.[7] Stewart, James; "Clculo. Trascendentes tempranas''; 2001.

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