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INTRODUCCION
El espectro de una señal muestreada no solo es continuo si no también periódico, esta periodicidad es consecuencia de la dualidad y reciprocidad que existe entre el tiempo y la frecuencia, la cual nos conduce a la formulación de la transformada de Fourier en tiempo discreto. Desarrollaremos la DTFT como una herramienta para la descripción en dominio de la frecuencia de señales y sistemas de tiempo discreto.
DESARROLLO
La transformada discreta de Fourier describe el espectro de las señales de tiempo discreto y formaliza el concepto de que dichas señales tiene espectros periódicos , el muestreo de una señal analógica conduce a la señal idealmente muestreada X1(t) cuyo espectro Xp(f) es periódico. Asi tenemos:
Usando par transformadas de Fourier, el espectro Xp(f) también puede describirse como
Xp(f) es periódica con periodo S y su periodo central es SX(f) . parar recuperar la señal analógica X(t) la señal muestreada se pasa a través de un filtro pasa bajos ideal con una ganancia igual a 1/s sobre -0.5≤f≤0.5S, obteniendo la transforma inversa de Fourier
Este par de transformadas nos permiten obtener el espectro periódico Xp(f) de una señal idealmente muestreada a partir de sus muestras x(nts), y recuperar las muestras a partir del espectro .
Es posible reconsiderar estas relaciones para señales de tiempo discreto empleando la frecuencia digital F=f/s y remplazamos por la secuencia discreta xn, obteniendo
TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
William Pauzhi, Fernando DuchiUniversidad Politécnica Salesiana
Cuenca, [email protected]
Las relaciones DTFT también puede escribirse en términos de la frecuencia en radianes Ω como
Pero será más conveniente trabajar en la forma F ya que elimina en muchas situaciones el factor 2pi
Obteniendo de forma general la DTFT
Y la inversa
CONEXIONES ENTRE LA DTFT Y LA TRANSFORMADA DE FOURIER
La DTFT de una señal de tiempo discreto X(n) está relacionada tanto con la transformada de Fourier X1(f) de la señal analógica con muestreo impulsivo x1(t) implícita y con la transformada de Fourier X(f) de x(t)
La transformada de Fourier de tren de impulsos analógicos
Si X(t) se muestra con una tasa mayor entonces
Si x(t) se muestra con una tasa menor SXp(F) coincide con la extensión periódica de X(f)
SIMETRIA DE LA DTFT
En general la DTFT es una cantidad compleja que puede expresarse como:
Lo anterior quiere decir que su espectro de magnitud tiene una simetría par y que la de espectro de fase es impar con respecto al origen.
La DTFT Xp (f) también presenta una simetría conjugada con respecto a F= 0.5
Mostraremos en la siguiente grafica una ilustración de la simetría del espectro de la DTFT de señales reales
En conclusión
La DTFT siempre es periódica y presenta una simetría conjugada para señales reales.
Forma F: X(F) es periódica con un periodo
unitario y simétrica conjugada con respecto a F=0 y F=0.5.
Forma Ω:X(Ω) es periódica con un periodo de 2 pi y simétrica conjugada con respecto a Ω=0 y Ω=pi
GRAFICA: es suficiente dibujar la DTFT en un periodo (-0.5≤F≤0.5 o -pi≤ Ω≤pi)
La DTFT de las señales reales simétricas es puramente real o puramente imaginaria
X(n) con simetría par A(F) o X(Ω )(real)
X(n) con simetría impar jA(F) o jA(Ω) (imaginaria)
La grafica es conveniente dibujar solo el espectro de amplitud A(F) o A(Ω)
DIFERENCIAS ENTRE LAS FORMAS F Y Ω DE LA DTFT
Si la DTFT no contiene impulsos : H(F) y H(Ω) se relacionan por Ω=2piF
Si la DTFT contiene inpulsos: se remplaza
A continucion presentamos algunos pares utiles de DTFT
TABLA DE PROPIEDADES DE LA DTFT
La mayor parte de estas propiedades se desprenden se desprenden de las relaciones de definición si se comienza con el par básico x(n) –Xp(F) de las transformadas.
PROPIEDADES DE DESPLAZAMIENTO DE LA DTFT
Un retraso de tiempo igual a m añade una componente de fase lineal (-2pimf-mpi) a la fase
Modulación por cos(2pinF0): la DTFT se reduce a la mitad , queda centrada en F+-Fo y se suma ,así
La multiplicación en un dominio equivale a la convolución en el otro
Propiedad de multiplicación por n: la multiplicación de x(n) por n
A de la señal a partir de
TEOREMA DE PARVISAL: es posible encontrar la energía de la señal a partir de x(n) o de su espectro de magnitud
TEOREMAS DE ORDENADA CENTRAL
La DTFT cumple con las relaciones de la ordenada central como lo veremos a continuación
LA DTFT DE SEÑALES PERIODICAS DE TIEMPO DISCRETO
La DTFT de xp(n) periodo N es un tren de impulsos periódicos (N impulsos por periodo)
Si xp(n) es periódica con periodo N y su DTFT de uno de sus periodos es x1(n) X1(F) entonces:
N inpulsos por periodo 0≤F<1
DTFT INVERSA
Si la DTFT es un cociente de polinomios en
ej 2 piF
¿¿ entonces puede utilizarse el
desarrollo en fracciones parciales y la búsqueda en tablas , tal y como se hace con las transformadas de la Laplace
Ejemplo
TRANSFORMADOR DE HILBERT
Desplaza -90 grados la fase de una señal
Se muestra su magnitud y fase
Si DTFT está dada por Hp(f) y es imaginaria e impar para encontrar su inversa h(n) , se observa que h(0) =0 y h(n) se observa que h(0)=0 y
EJEMPLOS:
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
La respuesta al impulso y[n] de un sistema LTI relajado de tiempo discreto con una respuesta al impulso h[n] para la entrada x[n], está dada por la convolución:
Dado q la convolución se transforma en multiplicación:
o
Por lo que la función de transferencia es igual a:
o
Se define solo para un sistema LTI relajado,
ya sea como el cociente Y p(F )/ X p(F) o
Y p(Ω)/ X p(Ω) de la DTFT de la salida
y[n] y la entrada x[n], o como la DTFT de la respuesta al impulso h[n].
Equivalencias entre el dominio del tiempo y la frecuencia
La DTFT tiene como resultado la función de transferencia o respuesta de frecuencia dada por:
En la forma Ω
Por lo tanto la función de transferencia es
un cociente de polinomios en
DISTINTAS FORMAS DE REPRESENTAR UN SISTEMA
Un sistema LTI se puede describir por medio de su ecuación diferencial, su respuesta al impulso o mediante su función de transferencia.
Función de transferencia:
Ecuación diferencial: para
Respuesta al impulso:
Por ejemplo dada la respuesta al impulso h[n], es posible obtener su función de transferencia Hp (F) a partir de su DTFT.
Ejemplo:
Sea . Su DTFT es:
En la formaΩ,
De esta función de transferencia se tiene:
En la formaΩ,
La transformación inversa produce
RESPUESTA DE FRECUENCIA
Las gráficas de la magnitud y fase de la función de transferencia contra la frecuencia se conocen como respuesta de frecuencia. Es una manera muy útil de describir e identificar filtros digitales. Por ejemplo, para un filtro pasa – bajas H (F), la ganancia de dc (en una F = 0) debe ser mayor que la ganancia lH (F)l cuando F=0,5.
FILTROS DE FASE LINEAL
Un filtro cuya respuesta al impulso es simétrica con respecto a su punto medio se denomina filtro de fase lineal. La fase lineal tiene como resultado un retraso de tiempo sin distorsión en la amplitud. La función de transferencia puede escribirse como
(para simetría par) o
como (para simetría impar), donde la cantidad real A(F) es el espectro de amplitud y α es el índice que corresponde al punto medio de su respuesta al impulso h(n).
Ejemplo:
Sea . Identifique el tipo de filtro y determine si la respuesta al impulso es de fase lineal.
La secuencia h(n) no es de fase lineal porque no presenta ninguna simetría.
Se tiene
Con esta expresión se calcula
y
Dado que la magnitud a frecuencias altas aumenta, parece q este es un filtro pasa altas.
ANÁLISIS DE SISTEMAS USANDO LA DTFT
La DTFT puede utilizarse para encontrar la respuesta en estado cero de los sistemas relajados LTI ante entradas arbitrarias. Solo se requiere la función de transferencia del sistema Hp(F) y la DTFT Xp(F) de la entrada x[n]. Lo primero es encontrar la respuesta como Yp(F) = Hp(F) Xp(F) en el dominio de la frecuencia y después usando la DTFT inversa, la respuesta y[n] en el dominio del tiempo.
Ejemplo:
Considérese el sistema descrito por
Su respuesta al
escalón se obtiene usando
Después de separar los términos y utilizar la propiedad de impulsos se obtiene:
Expresando el primer término en fracciones parciales se tiene
Por lo tanto la respuesta y(n) es igual a
RESPUESTA DE ESTADO ESTACIONARIO A ARMÓNICAS DE TIEMPO DISCRETO
Dado que las armónicas son señales propias de los sistemas lineales de tiempo discreto, la respuesta es una armónica con la misma frecuencia que la entrada y cuya magnitud y fase se modifica mediante la función del sistema Hp (F). La respuesta de estado estacionario es útil principalmente cuando los sistemas son estables.
Si la entrada es , y la respuesta de estado estacionario es
, donde H0 y φ0 son la magnitud y la fase de la función de transferencia Hp (F) evaluada en la frecuencia de la entrada F = F0
Ejemplo:
Considere un sistema descrito por
. Encuentre su respuesta de estado estacionario ante la entrada
La función de transferencia está dada por:
A continuación se evalúa Hp (F) en la frecuencia de entrada F=0 (la cual corresponde a dc):
La respuesta de estado estacionario es entonces:
CONEXIONES
La DTFT y las series de Fourier son duales, entonces las propiedades operacionales de la serie de Fourier se trasladan prácticamente sin cambios. La diferencia es
que el espectro discreto X[k] es, en general complejo
La DTFT también puede relacionarse con la transformada de Fourier al observar que el muestreo en un dominio tiene como resultado la extensión periódica en el otro, con periodo unitario.
Ejemplo:
Para encontrar la DTFT de se comienza con el par:
Al muestrear x(t), (t → n), se obtiene la extensión periódica de X(f) con periodo 1 (f → F), por lo que:
CONCLUSIONES
Las funciones en tiempo discreto pueden muestrearse casi de la misma que las de tiempo continuo y las respuestas son parecidas
La DTFT de una señal aperiódica siempre es periódica con periodo 2π.
Muchas de las propiedades de la transformada en tiempo continuo tienen su contraparte exacta en tiempo discreto.
Con la propiedad de la convolución podemos analizar el dominio de la frecuencia de los sistemas LTI.
La transformada de Fourier en tiempo continuo y la DTFT se pueden relacionar por las operaciones de muestreo en el tiempo y frecuencia
REFERENCIAS[1] Alan V. Oppenheim; “Señales y Sistemas” [2] Ambardar Ashok; “procesamiento de señales analogicas”
A continuación están las conexiones entre las distintas transformadas y un resumen de ellas: