La ecuacin de la Recta y sus partes

La ecuacin de una lnea recta es una funcin lineal y se representa con = + , donde y

son coeficientes de la funcin lineal, pero que fsicamente tienen significado en la ecuacin de la

recta.

es la pendiente de la recta y su significado hace referencia a que tan inclinada se halla con

respecto al eje horizontal, mientras que

es el pivote de la funcin, es decir, el punto donde corta la recta el eje vertical.

Si se mantiene constante a mientras se cambian los valores de el resultado es que tendramos

una gran cantidad de rectas paralelas, cada cambio de valor creara una nueva posicin de una recta

paralela. Y si por el contrario mantenemos constante a y cambiamos los valores de , el resultado

sera un montn de lneas rectas que se cortan o pivotan en el punto .

Actividad consecutiva, probar en el aplicativo virtual el anterior argumento.

Pendiente de una recta []

Existen muchos ejemplos de pendiente en la vida cotidiana. Por ejemplo, una pendiente se

encuentra en la inclinacin de un techo, de una carretera, o bien de una escalera apoyada en una

pared. En matemtica se usa la palabra pendiente para definir, de forma particular, el grado de

inclinacin de algo.

Pendiente =

Esto es a menudo formulado de otra manera para que

sea ms fcil de recordar:

m =

Esencialmente, la pendiente es el cambio en si se incrementa en 1.

En la figura siguiente, la pendiente sera la razn de la altura de la colina (su elevacin) a la longitud

horizontal de la colina (el avance).

m =3

4

m = 0,75

Si el automvil fuese conducido hacia la derecha, entonces subira por la colina. Se dice que esta es

una pendiente positiva. Cada vez que se observe la grfica de una lnea recta que se eleva a medida

que te mueves hacia la derecha, entonces la pendiente de dicha lnea ser positiva.

Si el carro continuase su marcha luego de alcanzar la

cima de la colina, comenzara a descender. Cuando el

carro avanza hacia la derecha y desciende, entonces

se dice que la pendiente es negativa.

La figura mencionada anteriormente tiene una

pendiente negativa igual a:

m =3

4

m = 0.75

Por favor, evita confusiones!

Si el carro retornara y fuese conducido hacia abajo sobre la primera pendiente (la que est a la

izquierda de la cima), aun as la pendiente sera clasificada como positiva. Esto es as porque la

elevacin sera igual a 3, pero el avance sera igual a 4 (recuerda que si te mueves de derecha a

izquierda sobre el eje , entonces te ests moviendo en la direccin negativa de ). La razn de

cambio al movernos hacia la izquierda es:

Pendiente =3

4

Pendiente = 0,75

Determinacin de una Pendiente Positiva

Se ha visto que una funcin lineal con pendiente positiva se incrementa en a medida que se

incrementa. Una manera simple de encontrar un valor para la pendiente es dibujar un tringulo

rectngulo cuya hipotenusa sea paralela a la lnea recta (la cual representa grficamente a la funcin

lineal). Entonces la pendiente se encuentra fcilmente a partir de las medidas de los lados del

tringulo rectngulo que corresponden a la elevacin (la dimensin vertical) y al avance (la

dimensin horizontal).

Dadas las siguientes grficas:

a) b) c)

Encuentra las pendientes para las tres grficas mostradas anteriormente.

Existen lneas rectas previamente dibujadas para cada una de las lneas rectas, construya un

tringulo en donde se vea el avance y la elevacin. Observa que es ms fcil dibujar tringulos cuyos

vrtices sean puntos de cuadrcula (es decir, que todas sus coordenadas sean nmeros enteros).

a) La elevacin mostrada en este tringulo es igual a 4 unidades, el avance es igual a 2

unidades.

m =4

2

m = 2

b) La elevacin en este tringulo es de 4 unidades, el avance es tambin de 4 unidades.

m =4

4

m = 1

c) La elevacin en este tringulo es de 2 unidades y el avance es de 4 unidades.

m =2

4

m =1

2

Encuentra la pendiente de la lnea que pasa por los puntos (1, 2) y (4, 7).

Para graficar una lnea recta cuando se conoce dos puntos

del Plano Coordenado simplemente colocamos los puntos y

los unimos con la recta.

Observa la grfica mostrada anteriormente.

Dado que se conoce las coordenadas para los vrtices de este

tringulo rectngulo, fcilmente se puede concluir que la

elevacin es 5 y que el avance es 3 (ver el diagrama).

He aqu el valor de nuestra pendiente.

m =7 2

4 1

m =5

3

Si observas cuidadosamente los clculos realizados para determinar la pendiente, notars que las

cantidades 7 y 2 son las coordenadas en y de los dos puntos graficados. Similarmente, las cantidades

4 y 1 son las coordenadas en x de dichos puntos. Esto nos sugiere un patrn que podemos seguir

para conseguir una frmula general para la pendiente que existe entre dos puntos (1, 1) y

(2, 2).

m =2 12 1

m =

En la segunda ecuacin, la letra denota la pendiente y la letra griega delta () representa cambio.

As, otra forma de definir la pendiente es cambio en dividido entre el cambio en .