ORTOGONALIDAD.Ortogonales unadjetivoque se emplea para nombrar a aquello que se encuentra en unngulo de 90. Se trata de una nocin que, en el caso de losespacios eucldeos, es equivalente al concepto deperpendicularidad.Se habla deproyeccin ortogonal, por otra parte, para nombrar al resultado de dibujar la totalidad de las rectas proyectantes perpendiculares sobre un cierto plano. Al realizar esta proyeccin, se establece un vnculo entre los puntos del componente proyectante y los puntos del elemento proyectado.Supongamos que deseamos realizar la proyeccin ortogonal de un segmentoPRsobre una rectaT. Para esto tendremos que proyectar los extremos dePRa travs de lneas que sean perpendiculares aT, lo que permitir conocer la proyeccin ortogonal del segmento sobre dicha recta. La interseccin entre las lneas proyectantes yT crea unnuevosegmento, que podramos denominarMN. Cuando el segmentoPRes paralelo a la rectaT, el segmentoMNresultar anlogo aPR

Enmatemticas, el trminoortogonalidad(del griegoorthosrecto ygonangulo) es una generalizacin de la nocin geomtrica deperpendicularidad. En elespacio eucldeoconvencional el trmino ortogonal y el trmino perpendicular son sinnimos. Sin embargo, en espacios de dimensin finita y engeometras no eucldeasel concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.DefinicinFormalmente, en unespacio vectorial con producto interiorV, dosvectoreseson ortogonales si elproducto escalardees cero. Esta situacin se denota. Adems, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.Ortogonalidad y perpendicularidadEn geometra eucldea se tiene, dosvectoreseortogonales forman un ngulo recto, los vectoresylo son ya que,. En espacios no eucldeos puede definirse de modo abstracto el ngulo entre dos vectores a partir del producto interior.Ortogonalidad respecto de una matriz (A-ortogonalidad) Dados dos vectoresypertenecientes a un espacio vectorial de dimensiny una matrizde dimensin, si el productor escalar, notado, es igual a cero, se dice queyson ortogonales respecto a la matrizoA-ortogonales. Un conjunto devectoresse dice que forma unabase A-ortonormalsipara todo.

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE CALKIN EN EL ESTADO DE CAMPECHE

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

QUINTO SEMESTRE

MATEMTICAS V (ACM-0407)

ING. JULIO CSAR PECH SALAZAR

Subtema 5.2 CONJUNTOS ORTOGONALES Y CONJUNTOS ORTONORMALES

Material de apoyoMATEMTICAS VINGENIERA EN SISTEMAS COMPUTACIONALESClave de la asignatura: ACM-0407UNIDADNOMBRETEMAS Y SUBTEMAS

VSeries De Fourier5.2 Conjuntos ortogonales y conjuntos ortonormales

5.2 Conjuntos ortogonales y conjuntos ortonormales.

Sean(x) y (x) dos funciones reales que estn definidas en un intervaloa x b, de tal manera que la integral de el producto (x) (x) existe en el intervalo. Denotaremos esta integral por (,). Entonces: (1)

Se dice que las funciones y son ortogonales en el intervalo

a x b si

Un conjunto de funciones reales (x), (x), (x), ... es llamado conjunto ortogonal de funciones en el intervalo a x b si todas estn definidas en el intervalo y si todas las integrales (,)existen y son cero para todos los pares distintos de funciones.La raz cuadrada de (,)es llamada norma de y es generalmente denotada por || || ; entonces (2)

Es claro que, un conjunto ortogonal (x), (x), (x), ... en el intervalo a x b cuyas funciones tienen norma 1 satisfacen la condicin

Dicho conjunto es llamado conjunto ortonormal de funciones en el intervalo a x b .Obviamente, de un conjunto ortogonal podemos obtener un conjunto ortonormal dividiendo cada funcin entre su norma.

DEFINICIN DE CONJUNTOS ORTONORMALES Y CONJUNTOS ORTOGONALES:

Se dice que las funciones y son ortogonales en el intervalo

a x b si

Un conjunto de funciones reales (x), (x), (x), ... es llamado conjunto ortogonal de funciones en el intervalo a x b si todas estn definidas en el intervalo y si todas las integrales (,)existen y son cero para todos los pares distintos de funciones.La raz cuadrada de (,)es llamada norma de y es generalmente denotada por || || ; entonces (2)

Es claro que, un conjunto ortogonal (x), (x), (x), ... en el intervalo a x b cuyas funciones tienen norma 1 satisfacen la condicin

Dicho conjunto es llamado conjunto ortonormal de funciones en el intervalo a x b .Obviamente, de un conjunto ortogonal podemos obtener un conjunto ortonormal dividiendo cada funcin entre su norma.

En un conjunto de vectores S de el espacio vectorial V es producto interno es ortogonal si cada vector de y seria espacio ortonormal si cada vector S es unitario.Es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j y || vj || = 1 donde i = 1, 2, 3, ..., n y es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j donde vi, vj pertenecen al conjunto s = { v1, v2, ..., vn }Un conjunto ortogonal es linealmente independiente si s es un conjunto de vectores diferentes de cero y que pertenecen al espacio v con producto interno.Proceso para ortonormalizar de Gram - Schmidt: Ver si la base tiene producto interno (como ya lo vimos). Convertir la base a una base ortogonal.Sea B = { v1, v2, ..., vn }w1 = v1w2 = v2 - proyw1 v2wn = vn - proyw1 v3 - - proyw(n-1) vnB' = { w1, w2, ..., wn } y para ortonormalizar ui = wi / ||wi|| donde I = 1, 2, ..., n.Donde B'' = { u1, u2, ..., un } es un abase ortonormal

CONJUNTOS ORTOGONALESUn conjunto de funciones de valor realesortogonalen un intervalo [a, b] si

EJEMPLO 1 Funciones ortogonales Las funciones 1 (x) = x2 y 2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [ 1, 1] porqueUn conjunto de funciones {f 1(x), f 2(x),} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.(n m).Se considerar solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idnticamente iguales a cero en [a,b].Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma til, que se deducir ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que .se considerar solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idnticamente iguales a cero en [a,b]. Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma til, que se deducir ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que . Se quiere obtener una frmula para los coeficientes Cn en trminos de f(x) y de las funciones ortogonales f n(x). Se selecciona un miembro del conjunto ortogonal, digamos, f n(x), y tome el producto interno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de por f n(x), y se integra sobre el intervalo para obtener suponga que la integracin y la suma se puede intercambiar para dar . Pero f , forma un conjunto ortogonal, de manera que (f n, f m) = 0 si n m. Entonces se convierte en Teorema fundamental de una funcin por una serie de funciones ortogonales. Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que donde {f n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b]. Entonces Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones tcnicas que estn ms all del nivel de esta investigacin. Estas consideraciones se refieren a la convergencia de y a la demostracin de que la suma y la integral se pueden intercambiar. Adems cuando se escribe , de hecho, no se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las condiciones suficientes para garantizar el intercambio de Fourier del seno y del coseno, tambin se analizan en qu sentido es igual a f(x). Slo se necesita la continuidad por las partes de f y las f n para este teorema.

Ejemplo 2: Sea T un subconjunto de RT={(1,0,0);(0,2,0);(0,0,-1)}.Primeramente T es un sub espacio vectorial de R Sus elementos o vectores son distintos Al realizar su respectivo producto punto entre ellos nos da 0 esto se puede evidenciar claramente porque son vectores perpendiculares. Por lo tanto T es un conjunto ortogonal.Todo conjunto ortogonal es linealmente independiente porque si:{ u1, u2, u3, , un} ortogonal{ 1u1, 2u2, nun} ortogonalSiendo un escalarAl mutiplicar por cualquier escalar el conjunto sigue siendo ortogonal