Pablo Gonzalez Vera

Leyla Daruis Luis

Ortogonalidad y cuadraturasobre la circunferencia unidad

XVIII Escuela Venezolana de Matematicas 2005Facultad de Ciencias, Universidad de los Andes

Merida, Venezuela

XVIII Escuela Venezolana de Matematicas 2005Facultad de Ciencias, Universidad de los Andes

Merida, Venezuela

Ortogonalidad y cuadraturasobre la circunferencia unidad

Pablo Gonzalez Vera- Leyla Daruis Luis

Departamento de Analisis Matematico

Universidad de La Laguna

Avda. Astrofısico Francisco Sanchez s/n, 38071

La Laguna, Tenerife Espana.

Clasificacion segun A.M.S.Primaria: 42Cxx, 41A2x;

Secundaria: 26Cxx, 33Cxx.

A Rosa, Laura y Jorge

A mis padres

Indice general

Prologo III

1. Preliminares 11.1. Sobre el significado de la integracion numerica . . . . . . . 11.2. Generalidades sobre formulas de cuadratura en el eje real 51.3. Polinomios ortogonales sobre el eje real . . . . . . . . . . 161.4. Formulas Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5. Algunos resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6. Convergencia de las formulas de cuadratura . . . . . . . . 45

2. Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad 572.1. Integracion aproximada de funciones periodicas . . . . . . 572.2. Polinomios ortogonales en el plano complejo . . . . . . . . 622.3. Polinomios de Szego. Propiedades generales . . . . . . . . 682.4. Algoritmo de Levinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5. Polinomios de Szego asociados de segunda especie . . . . . 79

3. Cuadraturas sobre la circunferencia unidad 853.1. Polinomios algebraicos, trigonometricos y de Laurent . . . 853.2. Interpolacion trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.3. Sistemas bi-ortogonales de polinomios trigonometricos . . 983.4. Formulas de cuadratura con maximo grado de precision

trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.5. Cuadraturas sobre la circunferencia unidad. Formulas de

Szego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.6. Error y convergencia en las formulas de Szego . . . . . . . 1303.7. Conexion entre el intervalo [-1,1] y la circunferencia unidad148

I

4. Ejemplos, Aplicaciones y Extensiones 1614.1. Modificaciones racionales de la medida de Lebesgue . . . . 1614.2. Funciones peso tipo-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . 1654.3. Funciones peso de signo variable . . . . . . . . . . . . . . 1764.4. Computacion de la Transformada de Fourier . . . . . . . . 1924.5. Procesamiento de senales digitales . . . . . . . . . . . . . 1974.6. Funciones racionales ortogonales . . . . . . . . . . . . . . 205

A. Ejercicios Propuestos 225

Bibliografıa 233

PrologoSin duda alguna, el creciente desarrollo de la Teorıa sobre Polino-

mios Ortogonales en el eje real ha encontrado en la construccion delas bien conocidas “Formulas de Cuadratura Gaussianas” una de susmas inmediatas aplicaciones, existiendo al respecto una vasta literatura,con aportaciones que datan de la 2a mitad del siglo XIX y que se havisto enormemente aumentada en las ultimas decadas del siglo XX y co-mienzos del XXI. Al propio tiempo, el desarrollo de una teorıa paralelasobre polinomios ortogonales en la circunferencia unidad, impulsada enla decada de los sesentas por los decisivos trabajos de Szego y retomadaen los ultimos tiempos por las multiples aplicaciones de tales polinomiosortogonales en campos tan variados como el procesamiento de senalesdigitales, la teorıa de operadores o el calculo de probabilidades, han con-vertido la misma en un importante campo de investigacion matematica.Con todo, cabe senalar que el desarrollo de formulas de cuadratura sobrela circunferencia unidad, y que denominaremos “Formulas de Cuadratu-ra de Szego”, como contrapartida analoga a las formulas Gaussianas, noha recibido toda la atencion que cabrıa esperar, de forma que las aporta-ciones realizadas en este campo, y que se restringen en la mayorıa de loscasos a publicaciones de los ultimos diez anos, en modo alguno es com-parable a la amplısima bibliografıa existente sobre formulas Gaussianas.Tal carencia es justamente el objetivo principal de estas notas con lasque esperamos brindar una guıa a los estudiantes que se matriculen enel curso de igual nombre a impartir en la “XVIII Escuela Venezolanade Matematicas 2005”. Ahora bien, queremos hacer constar que existenmuchos aspectos sobre las formulas de Szego que quedan fuera del tex-to, especialmente aquellos orientados a la computacion efectiva de lasmismas y la obtencion de cotas computables del error, entre otros. Eneste sentido, queremos reconocer que el contenido del curso estas ses-gado, primero por nuestros propios gustos personales y segundo por lainvestigacion llevada a cabo por los autores en este campo en los ulti-mos anos, estando parte de la misma reflejada en las presentes notas.La lectura de las mismas requiere como base conocimientos preliminaresde Analisis Complejo ası como algunas nociones de Analisis Numerico(interpolacion y aproximacion de funciones). El texto elaborado preten-de ser autocontenido, si bien en algunos casos se enuncian resultadoscuya demostracion se propone como ejercicio, pues entendemos que la

III

misma no requiere ni conocimientos ni tecnicas excesivamente elevados.Tambien incluimos algunos teoremas cuyas demostraciones entendemosque escapan a los lımites del curso, por lo que remitimos a alguna re-ferencia incluida en la bibliografıa. Por otro lado, hemos de reconocerque en la preparacion del texto, nos hemos visto obligados a tener queactuar con cierta premura, por los multiples compromisos docentes einvestigadores a los que hemos tenido que enfrentarnos en los ultimosmeses. Ciertamente esto no ha sido culpa de la Organizacion del eventopor lo que pedimos a los lectores un cierto grado de comprension y quesepan disculpar los fallos que sin duda van a encontrar y de los cualessomos los autores los unicos responsables. Queremos agradecer a nuestroalumno de doctorado, D. Ruyman Cruz Barroso, su inestimable ayuday su desinteresada colaboracion en la preparacion de estas notas queha permitido que la edicion final de las mismas no llegara a sobrepasarlımites temporales insalvables. Al propio tiempo, queremos manifestarnuestro profundo agradecimiento a los organizadores de la Escuela porhabernos invitado a tomar parte de la misma. Por ultimo, tambien que-remos pedirles disculpas por las posibles molestias que el retraso en laelaboracion del texto pudiera haber ocasionado.

Los Autores

IV

Capıtulo 1

Preliminares

1.1. Sobre el significado de la integracion numeri-ca

El contenido del presente curso queda enmarcado dentro de la partedel Analisis Numerico denominada “Integracion Numerica”, entendien-do por tal el conjunto de reglas y procedimientos que permiten evaluaruna integral dada de forma aproximada con cierto grado de precision.Sin duda alguna, podemos decir que el calculo de una integral definidaresulta un problema sumamente familiar, no solo para cualquier ma-tematico, sino para cualquier estudiante de un primer curso de Cienciaso Ingenierıa.

Por otro lado, tambien es sabido que los orıgenes de tal problemase remontan a los de las propias matematicas, pues el mismo esta con-ceptualmente ligado al calculo de un area plana, estando tal cuestion yapresente entre egipcios y griegos (piensese en el metodo de “exhaucion”ideado por Arquımides en la resolucion del problema de la cuadraturadel cırculo, que le permitio establecer cotas superiores e inferiores parael numero π). Con todo, es a partir del siglo XVI cuando la IntegracionNumerica desarrolla, junto a la propia evolucion del Calculo integral,una gran abundancia de metodos. Estos incluyen, junto a la bien cono-cida “Regla de Barrow” (Teorema Fundamental del Calculo Integral),metodos de calculo involucrando series infinitas, relaciones funcionales,ecuaciones diferenciales o transformadas de integrales. Junto a otros, te-nemos los llamados metodos de integracion aproximada basados en las

1

formulas de cuadratura, objeto principal del curso y donde basicamente,una integral se aproxima por una combinacion de valores del integrando.A saber:

I(f) =∫ b

af(x)dx ≈ A1f(x1) + . . . Anf(xn) = In(f). (1.1)

En la formula anterior, x1, . . . , xn representan las “abscisas” o “no-dos” de la formula de cuadratura In(f), y A1, . . . , An sus correspondien-tes “coeficientes” o “pesos”. Ası, para cada natural fijo n, se disponede 2n parametros libres que habran de “seleccionarse” de forma apro-piada de modo que In(f) nos proporcione una estimacion razonable deI(f). Por ejemplo, siempre que −∞ < a < b < +∞, tomando n > 1,definiendo h = b−a

n−1 y considerando los nodos igualmente espaciadosxj = a + (j − 1)h, j = 1, . . . , n, surge, a partir de consideracionesgeometricas elementales, la bien conocida “Regla Trapezoidal”, dondeA1 = An = h

2 y Aj = h, j = 2, . . . , n− 1.Ahora bien, cuando el integrando presenta singularidades proximas

al intervalo de integracion, la evaluacion de f(x) en nodos cercanos alos extremos de dicho intervalo pudiera resultar problematica. Por talmotivo, resulta mas conveniente reescribir la integral (1.1) en la forma(siempre que fuese posible)

Iω(f) =∫ b

af(x)ω(x)dx, (1.2)

donde se supone que f es lo suficientemente suave sobre [a, b], con-centrandose las posibles singularidades en ω(x) (funcion peso), la cual,mientras no se indique lo contrario, se supondra no negativa en el inter-valo de integracion. Escribiendo

Iω(f) =∫ b

af(x)ω(x)dx ≈

n∑

j=1

ajf(xj) = In(f), (1.3)

vemos que los coeficientes A1, . . . , An dependen, en general, del pesoω(x) (y de los nodos x1, . . . , xn), el cual supondremos fijo, pudiendovariar f(x).

Antes de proseguir, creemos obligado reflexionar sobre el siguienteaspecto: Con la enorme abundancia de metodos existentes (algunos al-tamente sofisticados) para calcular integrales, ¿vale la pena realmente

2

profundizar en el estudio, aplicabilidad y rentabilidad de las formulas(1.3)? La respuesta es muy sencilla: Los procedimientos matematicosextremadamente refinados no siempre funcionan y aun haciendolo pu-dieran no resultar ventajosos desde un punto de vista computacional.Ası, consideremos por un momento el Teorema fundamental del calculointegral. Con este metodo, se sigue:

Iω(f) =∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a), (1.4)

donde F (x) es una primitiva de f(x). Por tanto, siempre que podamosdisponer de F (x), el calculo de una integral definida a traves de (1.4),no parece revertir dificultad alguna. Sin embargo, todos sabemos queel calculo de primitivas conduce, a menudo, a nuevas funciones trascen-dentes. Ası,

∫1x lleva a la funcion logaritmo, la cual no es una funcion

algebraica, mientras que∫

e−x2dx, conduce a una funcion la cual no

puede representarse mediante un numero finito de operaciones expo-nenciales, logarıtmicas o algebraicas. Incluso, aun cuando una primitivaF (x) de f(x) resulte una funcion elemental que puede obtenerse ma-nualmente sin demasiado esfuerzo, su expresion final podrıa resultar losuficientemente complicada para que nos detengamos antes de aplicar(1.4). Tomese como ejemplo, f(x) = 1

1+x4 , de modo que

F (x) =∫ x0 f(t)dt =

∫ x0

dt1+t4

= 14√

2ln x2+x

√2+1

x2−x√

2+1+

+ 12√

2

(arctan x√

2−x+ arctan x√

2+x

).

Ası, el numero de computaciones que debemos realizar con estaformula “exacta” es sustancial, debiendo calcularse logaritmos y arcotan-gentes, lo cual solo puede hacerse hasta cierto grado de aproximacion.Vemos pues, que un metodo aparentemente “exacto” en la superficiese convierte en “aproximado” cuando descendemos a las profundidadesde los procesos numericos efectivos. Ahora bien, ante la abundancia demetodos existentes para computar (1.2), ¿son las formulas de cuadratu-ra, siempre las mas apropiadas? Como suele ocurrir en matematicas, esdifıcil que podamos dar una respuesta categorica, ni afirmativa ni nega-tiva. Para ilustrar este fenomeno, consideremos la siguiente integral que

3

surge en la teorıa de la radiacion:∫ 1

−1

u3

(1− u2)1/2sen(au)du = H(a).

Inicialmente, la presencia del factor ω(u) = 1(1−u2)1/2 (funcion peso de

Chebyshev de 1a especie), aconseja escribir

H(a) =∫ 1

−1f(u)ω(u)du,

y aplicar las formulas de cuadratura de Gauss- Chebyshev de 1a especie,las cuales estudiaremos en este capıtulo.

Por otro lado, hagamos la transformacion u = sent, de modo que

H(a) =∫ π/2

−π/2sen3tsen(asent)dt = 2

∫ π/2

0sen3tsen(asent)dt.

Si ahora utilizamos la formula elemental 4sen3t = 3sent − sen3t y laconocida representacion integral para la funcion de Bessel, a saber:

J2n+1(a) =2π

∫ π/2

0sen(asent)sen(2n + 1)tdt,

resulta:H(a) =

π

4(3J1(a)− J3(a)) . (1.5)

Por su importancia y aplicacion en gran cantidad de problemas fısicos,la funcion de Bessel ha sido ampliamente estudiada y tabulada de modoque H(a) se puede computar a traves de (1.5) de forma directa sin quetengamos que acudir a una formula de cuadratura. Tal y como se aconse-ja en [14], conviene seguir una serie de recomendaciones previas cuandonos encaremos con una integral definida y debamos decidir que metodopudiera ser a priori el mas apropiado para su computacion. Los pasos aseguir podrıan resumirse en

1. Confirmar la existencia de la integral.

2. Asegurar el rango de variacion de los parametros que aparecen enla integral.

4

3. Reducir la integral a su forma mas simple.

4. Entre los parametros que aparecen en la integral, determinar cualesson los esenciales.

5. Determinar a priori la precision de los valores numericos que vamosa obtener.

Teniendo en cuenta estas consideraciones, a lo largo del texto nosvamos a ocupar del analisis y estudio de formulas de cuadratura del tipo(1.3) para el caso que f(x) sea una funcion periodica de periodo 2π yω(x) una funcion peso, es decir, nos vamos a ocupar de integrales de laforma

Iω(f) =∫ π

−πf(x)ω(x)dx,

con f una funcion periodica. Tales integrales surgen de un modo natural,por ejemplo, con la solucion de ciertos problemas de frontera sobre lacircunferencia unidad. A tal efecto, se hace preciso dar previamente unrecuento de las propiedades generales sobre formulas de cuadratura paraintegrandos, en general, no periodicos con respecto a una funcion pesoω(x) sobre un intervalo [a, b], (−∞ ≤ a < b ≤ +∞) del eje real.

1.2. Generalidades sobre formulas de cuadratu-ra en el eje real

A lo largo de este Capıtulo nos vamos a ocupar del calculo aproxi-mado de integrales de la forma:

Iω(f) =∫ b

af(x)ω(x)dx, −∞ ≤ a < b ≤ +∞, (1.6)

donde supondremos que ω(x) es una funcion peso, esto es, ω(x) ≥ 0en [a, b],

∫ dc ω(x)dx > 0 en cualquier intervalo [c, d] ⊂ [a, b] y de modo

que fω sea integrable en [a, b] en sentido propio o impropio. Como ya seha apuntado en la seccion anterior, proponemos como estimacion paraIω(f) una expresion del tipo:

In(f) =n∑

j=1

Ajf(xj), xi 6= xj , ∀i 6= j, (1.7)

5

que denominaremos una “formula de cuadratura” con nodos xjnj=1 y

coeficientes o pesos Ajnj=1. De inmediato surge la siguiente cuestion:

¿Como se han de elegir los nodos y pesos en (1.7) de modo que In(f)represente una aproximacion “razonable” para Iω(f)?

Una vez que para cada natural n se ha fijado la correspondienteformula de cuadratura, tenemos la siguientes preguntas:

1. ¿Se pueden dar cotas computables del error:

|Rn(f)| = |Iω(f)− In(f)|?

2. ¿Se puede establecer a priori la precision numerica de la estimaciondada por In(f)?

3. ¿Se puede asegurar que lımn→∞Rn(f) = 0? En caso de una res-puesta afirmativa, ¿en que clase de funciones?

4. ¿Con que velocidad tiende In(f) a Iω(f) cuando n →∞?

La ultima cuestion implica el estudio del lımite:

lım supn→∞

|Iω(f)− In(f)|1/n = λ.

(El parametro V = 1λ se denomina velocidad de convergencia de la su-

cesion In(f)).El dar respuesta a algunos de los interrogantes planteados anterior-

mente sera el objetivo del presente capıtulo. Conviene, sin embargo,primero dar una sencilla interpretacion de la formula In(f) dada por(1.7), como aproximacion a Iω(f) en (1.6). A tal efecto, hagamos

p =∫ b

aω(x)dx > 0,

de modo que podemos escribir:

p−1

∫ b

af(x)ω(x)dx ≈

n∑

j=1

Bjf(xj), Bj =Aj

p, j = 1, . . . , n. (1.8)

Aquı los coeficientes Bjnj=1 son numeros abstractos que pueden

ser interpretados como “pesos” (de ahı su nombre) pertenecientes a los

6

correspondientes valores f(xj). En efecto, si exigimos que In(f) produzcael valor exacto de Iω(f) cuando f es una funcion constante, entonceslos coeficientes Bjn

j=1 deben satisfacer:∑n

j=1 Bj = 1, de modo que lasuma

∑nj=1 Bjf(xj) tendra el significado de un “promedio” de los valores

f(xj). El problema de construccion de (1.8) se reduce a encontrar nodosxjn

j=1 y pesos Bjnj=1 de modo que el “valor medio ponderado” de los

valores de f(xj) con pesos Bj nos de una aproximacion del valor mediode la integral respecto a ω(x) en el segmento [a, b]: p−1

∫ ba f(x)ω(x)dx.

En lo que sigue, n sera un entero positivo arbitrario pero fijo, demodo que parece natural tratar de alcanzar la necesaria precision en elcalculo de Iω(f) a traves de In(f) con un numero de nodos n lo maspequeno posible. Fijado n, veamos cual ha sido uno de los principios masusados en la determinacion de los nodos y pesos de In(f). Supongamosque f ∈ F , siendo F una cierta clase de funciones, y sea uk∞k=0 ⊂ Ftal que fuk es integrable y donde las integrales

∫ b

auk(x)ω(x)dx,

son “facilmente computables” para cualquier k ≥ 0.

Supongamos que el sistema uk∞k=1 es completo (el subespacio gene-rado es denso) en la clase F respecto a la norma L1 (pesada con ω(x)),esto es, introduciendo la notacion ρ(f, g) =

∫ ba (f(x)− g(x))ω(x)dx, con

f, g ∈ F ; dada f ∈ F y ε > 0, ∃ sN (x) =∑N

k=0 αkuk(x) tal queρ(f, sN ) < ε.

Ası pues,

|Iω(f)− Iω(sN )| ≤∫ b

a|f(x)− sN (x)|ω(x)dx = ρ(f, sN ) < ε.

Puesto que la integral Iω(sN ) =∫ ba sN (x)ω(x)dx se puede calcular facil-

mente, Iω(f) se podra estimar (al menos teoricamente) con precision tanalta como queramos. Desde luego las consideraciones anteriores llevana un analisis totalmente “heurıstico” y sirven como simple motivacionpara la construccion de las formulas de cuadratura. Como veremos a lolargo del capıtulo, el error en las formulas construidas debe estar suje-to posteriormente al correspondiente y rigurosos analisis y estimacion.Con todo, sera util indicar un sencillo principio para la eleccion de los

7

nodos y pesos: Se intentara determinarlos de modo que In(f) “integreexactamente” Iω(f) para f = uk k = 0, 1, . . . , N, con N = N(n) lomas grande posible. Ası, decimos que In(f) =

∑nj=1 Ajf(xj) tiene gra-

do de precision m con respecto a las funciones uk∞k=0, si es exacta parau0, . . . , um, esto es:

∫ b

auj(x)ω(x)dx =

n∑

k=1

Akuj(xk), j = 0, . . . , m

y no lo es para um+1 :∫ ba um+1(x)ω(x)dx 6= ∑n

k=1 Akum+1(xk).Ası pues, fijada la clase F vemos que la contruccion de In(f) depende

de la familia uk∞k=0. (Tengase en cuenta que, en general, el requisitode “completitud” no la caracteriza del todo). A nuestros efectos, C[a, b]sera la clase de funciones continuas en [a, b], esto es, F = C[a, b], y mane-jaremos, fundamentalmente, dos sistemas uk∞k=0 “completos”. A saber,por un lado, en este Capıtulo 1, tomaremos uk(x) = xk, k = 0, 1, . . . ,mientras que, por otro lado, en los capıtulos restantes, al estar tratan-do con funciones periodicas, se elegira u2k(θ) = cos kθ y u2k+1(θ) =senkθ, k = 0, 1, . . . , siendo [a, b] cualquier intervalo de longitud 2π. Enambos casos, la “completitud” del sistema quedara garantizada por elteorema de aproximacion de Weierestrass que comentaremos al final delcapıtulo. (En el caso en el que [a, b] no sea finito, habra que anadir al-gunas condiciones extras a la sucesion ck =

∫ ba xkω(x)dx, k = 0, 1, . . .).

Conviene ahora fijar la siguiente notacion: En lo que sigue, Πk (kentero no negativo), denotara el espacio de los polinomios de grado k,mientras que Π designa el espacio de todos los polinomios. Ademas,diremos que una formula de cuadratura In(f) =

∑nj=1 Ajf(xj) para

Iω(f) tiene grado de precision algebraica m, sı y solo si,

In(P ) = Iω(P ), ∀P ∈ Πm,

y existe Q ∈ Πm+1 tal que In(Q) 6= Iω(Q).Nuestro objetivo sera construir formulas con el mayor grado de pre-

cision algebraica posible. Para ello, conviene tener presente el siguiente

Lema 1.1 Sea In(f) =∑n

j=1 Ajf(xj) una formula de cuadratura arbi-traria. Entonces, su grado de precision algebraica no puede ser 2n.

Demostracion: Hagase Q(x) =∏n

j=1(x−xj), de modo que Q2 ∈ Π2n.

Entonces, claramente In(Q2) = 0, mientras que Iω(Q2) > 0. ¤

8

Ası pues, vemos que para una formula de cuadratura con n nodos,el maximo grado de precision algebraico alcanzable es 2n − 1. La pre-gunta es: ¿Existiran tales formulas? En caso afirmativo, ¿como vienencaracterizadas? ¿Seran unicas? En el resto de la seccion, nos ocuparemosde desvelar tales interrogantes mostrando como el elemento clave en taldesarrollo, es la teorıa de los polinomios ortogonales. Comenzaremos conel siguiente:

Teorema 1.1 Dados n nodos distintos en [a, b], existen pesos A1, . . . , An,unıvocamente determinados tales que:

In(f) =n∑

j=1

Ajf(xj),

tiene grado de precision algebraica, al menos n− 1.

Demostracion: Hemos de ver que In(P ) = Iω(P ), ∀P ∈ Πn−1, o equi-valentemente:

Iω(xk) = In(xk), k = 0, 1, . . . , n− 1. (1.9)

Si llamamos ck =∫ ba xkω(x)dx, entonces (1.9) da lugar a:

n∑

j=1

Ajxkj = ck, k = 0, 1, . . . , n− 1,

que representa un sistema lineal de n ecuaciones con n incognitas A1, . . . , An,con solucion unica, pues el determinante de la matriz de coeficientes esno nulo: (Determinante de Vandermonde, vease [13])

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1

x1 x2 . . . xn

......

...

xn−11 xn−1

2 . . . xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6= 0 ⇔ xi 6= xj , sı i 6= j.

¤

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Vemos pues que, partiendo de n nodos distintos y arbitrarios, se pue-de construir (determinando los pesos A1, . . . , An) una formula de cua-dratura con grado de precision algebraica, al menos n−1. Esto nos llevaa tener que resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n incognitas.Alternativamente, podrıamos proceder como sigue: Sea Pn ∈ Πn−1, elunico polinomio que interpola a f en los nodos x1, . . . , xn, es decir:

Pn(xj) = f(xj), j = 1, . . . , n.

Si ahora utilizamos la formula de interpolacion de Lagrange:

Pn(x) =n∑

j=1

Lj(x)f(xj),

con Lj ∈ Πn−1 tal que: Lj(xk) = δj,k =

1, si j = k,

0, si j 6= k,, podemos

escribir:

Iω(Pn) =∫ b

aPn(x)ω(x)dx =

n∑

j=1

Iω(Lj)f(xj) =n∑

j=1

Bjf(xj) = In(f),

con Bj = Iω(Lj), j = 1, . . . , n. La formula de cuadratura ası construidadiremos que es de “tipo interpolatorio”, siendo facil probar el siguiente:

Teorema 1.2 Dados n nodos distintos x1, . . . , xn, In(f) =∑n

j=1 Ajf(xj),es de tipo interpolatorio, sı y solo si, su grado de precision es n − 1 almenos.

Ademas, utilizando la expresion del error para el polinomio de inter-polacion Pn(x), esto es, si f ∈ Cn[a, b], entonces

f(x)− Pn(x) =f (n)(ξ(x))

n!Qn(x), ξ(x) ∈ [a, b],

y Qn(x) =∏n

j=1(x − xj) (polinomio nodal), deducimos la siguiente es-timacion del error para In(f) :

Teorema 1.3 En las condiciones anteriores, hagamos Rn(f) = Iω(f)−In(f) y supongamos que

∣∣f (n)(x)∣∣ ≤ Mn, ∀x ∈ [a, b], entonces:

|En(f)| ≤ Mn

n!

∫ b

a|Qn(x)|ω(x)dx.

10

En definitiva, partiendo de n nodos distintos y arbitrarios en [a, b],podemos determinar una formula de cuadratura con grado de precisionalgebraica n − 1. La pregunta ahora sera: ¿Como seleccionar tales no-dos de modo que podamos incrementar el grado de precision? Antes deresponder a tal cuestion, veamos que serıa deseable imponer cierto re-quisito adicional sobre los pesos Ajn

j=1. En efecto, supongamos queIn(f) =

∑nj=1 Ajf(xj), es una formula de cuadratura para Iω(f) que

integra exactamente, al menos la funcion constante (grado de precisiones mayor o igual que cero), por tanto:

n∑

j=1

Aj =∫ b

aω(x)dx > 0. (1.10)

Supongamos que los valores de f(xj), j = 1, . . . , n se computan conun cierto error, esto es, f(xj) = f(xj) + εj , j = 1, . . . , n, con |εj | < ε, yque los pesos Aj , j = 1, . . . , n se computan exactamente. Ası pues, enlugar de In(f) tendremos el valor computado:

In(f) =n∑

j=1

Aj f(xj),

cometiendose el siguiente error:

∣∣∣Iω(f)− In(f)∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

n∑

j=1

Aj

(f(xj)− f(xj)

)∣∣∣∣∣∣≤ ε

n∑

j=1

|Aj |. (1.11)

La relacion (1.11) da lugar a la siguiente

Definicion 1.1 Consideremos la sucesion de formulas de cuadratura:

In(f) =n∑

j=1

Aj,nf(xj,n), n = 1, 2, . . . .

Entonces, se dira que es estable, sı y solo si, existe M > 0 tal que∑nj=1 |Aj,n| ≤ M, n = 1, 2, . . . .

Obviamente, la estabilidad significa que los errores de redondeo co-metidos en la computacion de In(f) permanecen acotados ∀n ≥ 1. Por

11

otro lado, la condicion (1.1) implica que una sucesion de formulas decuadratura con coeficientes positivos es estable. Ası pues, ya tenemoslos dos requisitos que le vamos a imponer a una formula de cuadraturaIn(f), a saber:

1. Que tenga el mayor grado de presicion algebraica posible.

2. Que tenga coeficientes positivos.

Veremos en la seccion 1.4 que ambas exigencias se dan en las llamadasformulas de cuadratura de Gauss o de Gauss- Christoffel (tambien llama-das “Gaussianas”). Ahora finalizaremos esta seccion mostrando el papelque juegan los polinomios ortogonales en el desarrollo de tales formulasy cuyas propiedades basicas se veran en la seccion siguiente. Ası pues,nos planteamos el siguiente problema: Dados n y k enteros, siendo n ≥ 1y 0 ≤ k ≤ n−1, ver si existen nodos distintos x1, . . . , xn en [a, b] y pesosA1, . . . , An de modo que la formula de cuadratura In(f) =

∑nj=1 Ajf(xj)

verifique In(P ) = Iω(P ), ∀P ∈ Πn+k, lo cual da lugar al siguiente siste-ma:

n∑

j=1

Ajxrj = cr =

∫ b

axrω(x)dx, r = 0, 1, . . . , n + k, (1.12)

en general no lineal, con n + k + 1 ecuaciones y 2n incognitas. Observe-se que una vez determinados los nodos x1, . . . , xn, los pesos se puedenobtener linealmente de las primeras n ecuaciones de (1.12), haciendor = 0, . . . , n − 1. Ahora, en lugar de hallar directamente los nodosx1, . . . , xn, caracterizamos el polinomio de grado n que los contiene comoceros. A tal efecto introducimos:

Qn(x) =n∏

j=1

(x− xj) =n∑

j=1

αjxj , αn = 1.

Por consiguiente, de las n primeras ecuaciones en (1.12), resultara:

α0c0 = A1α0 + A2α0 + . . . + Anα0

α1c1 = A1α1x1 + A2α1x2 + . . . + Anα1xn

α2c2 = A1α2x21 + A1α2x

22 + . . . + Anα2x

2n

. . .

αncn = A1αnxn1 + A1αnxn

2 + . . . + Anαnxnn,

12

sumando las ecuaciones anteriores, se tiene:

n∑

j=1

αjcj =n∑

i=1

Ai

(n∑

k=0

αkxkj

)=

n∑

i=1

AiQn(xi) = 0.

Por tanto, podemos escribir:

∑nj=1 αjcj =

∑nj=1 αj

∫ ba xjω(x)dx =

∫ ba

(∑nj=1 αjx

j)

ω(x)dx

=∫ ba Qn(x)ω(x)dx = 0.

Si procedemos de modo analogo, en el sistema (1.12), tomando la ecua-ciones que van desde r = 2 a r = n + 1, desde r = 2 a r = n + 2, ası su-cesivamente hasta llegar al sistema que va desde r = k hasta r = n + k,concluimos que el polinomio nodal satisface las relaciones

∫ b

axrQn(x)ω(x)dx = 0, r = 0, 1, . . . , k, (1.13)

dando lugar al sistema lineal de k+1 ecuaciones con n incognitas (k+1 ≤n), α0, α1, . . . , αn, (αn = 1):

c0α0 + c1α1 + . . . + ckαk + . . . + cn−1αn−1 = −cn

c1α0 + c2α1 + . . . + ck+1αk + . . . + cnαn−1 = −cn+1

. . .

ckα0 + ck+1α1 + . . . + c2kαk + . . . + cn+k−1αn−1 = −cn+k

Tal sistema es compatible (indeterminado) ya que el determinantede la matriz formada por las k + 1 primeras columnas viene dado por:

D = det (ci+j) = det

(∫ b

axi+jω(x)dx

),

el cual es el determinante de Gram de las funciones 1, x, . . . , xk, y te-niendo en cuenta que estas funciones son linealmente independientes, sesigue que D 6= 0. (Vease, Davis [13]).

Recıprocamente, sea Qn(x) un polinomio de grado n que verifica lascondiciones (1.13) y supongamos que sus n raıces x1, . . . , xn son reales,

13

distintas y contenidas en el dominio de la funcion f(x). Por consiguiente,podemos construir una formula de cuadratura con nodos los ceros deQn(x) y grado de precision n− 1 al menos. Sea dicha formula:

In(f) =n∑

j=1

Ajf(xj) = Iω(f), ∀f ∈ Πn−1.

Tomemos P ∈ Πn+k. Entonces: P (x) = q(x)Qn(x) + r(x), con q ∈ Πk yr ∈ Πn−1. Dado que Qn(xj) = 0, j = 1, . . . , n, se tiene que:

P (xj) = r(xj), j = 1, . . . , n,

y por consiguiente, teniendo en cuenta que r ∈ Πn−1, la exactitud deIn(f) y la condicion (1.13), se sigue que:

Iω(f) =∫ ba P (x)ω(x)dx =

∫ ba q(x)Qn(x)(x)ω(x)dx +

∫ ba r(x)ω(x)dx

=∑n

j=1 Ajr(xj) =∑n

j=1 AjP (xj) = In(P ).

Ası pues, In(f) tiene grado de precision algebraica al menos n + k.En definitiva, hemos probado el siguiente

Teorema 1.4 Una formula de cuadratura In(f) =∑n

j=1 Ajf(xj) parala integral Iω(f) tiene grado de precision algebraica n+k, siendo k enterotal que 0 ≤ k ≤ n− 1, sı y solo si,

1. In(f) es de tipo interpolatorio.

2. El polinomio nodal Qn(x) =∏n

j=1(x− xj), verifica:

∫ b

axrQn(x)(x)ω(x)dx = 0, r = 0, 1, . . . , k.

Como ya se ha indicado, en la Seccion 1.4, nos ocuparemos del caso“optimo” k = n− 1 que da lugar a las llamadas “formulas Gaussianas”,mientras que finalizaremos la presente seccion con algunos resultados querelacionan el grado de precision algebraico de una formula de cuadraturacon el numero de coeficientes o pesos positivos de la misma.

En primer lugar, se tiene:

14

Proposicion 1.2.1 Una formula de cuadratura con n nodos del tipoIn(f) =

∑nj=1 Ajf(xj), con grado de precision algebraico al menos 2n−

2, tiene todos sus coeficientes positivos.

Demostracion: Tomese lj(x) ∈ Πn−1 definido mediante: lj(xk) =

δj,k =

1, si j = k,

0, si j 6= k,. Entonces, l2j ∈ Π2n−2 y tenemos:

0 <

∫ b

al2j (x)(x)ω(x)dx =

n∑

k=1

Akl2j (xk) = Aj , j = 1, . . . , n.

¤

Proposicion 1.2.2 Sea In(f) =∑n

j=1 Ajf(xj) una formula de cua-dratura con grado de precision algebraica: G.P.A.≥ m con m < 2n.Entonces, el numero de coeficientes positivos en In(f) es ≥ [

m2

]+ 1,

donde [x] denota la parte entera de x ∈ R.

Demostracion: Procederemos por reduccion al absurdo. Supongamosque sea l el numero de coeficientes positivos en In(f) con 0 ≤ l ≤ [

m2

].

Denotemos por Ai1 , . . . , Ail tales pesos positivos y por xi1 , . . . , xil loscorrespondientes nodos. Definamos

q(x) =l∏

p=1

(x− xip)2 ∈ Π2l ⊂ Πm.

(Si l = 0 entonces q(x) se toma como identicamente igual a uno, es decir,q ≡ 1.)

Ahora bien, como In(f) es exacta en Πm, tendremos:

0 < Iω(q) =∫ b

aq(x)ω(x)dx = In(q) =

n∑

j=1

Ajf(xj),

pero por otro lado, =∑n

j=1 Ajf(xj) =∑n

j 6=i1,...,ilAjf(xj) ≤ 0, ya que

Aj ≥ 0 y q(xj) > 0. Llegamos pues a un absurdo que proviene de habersupuesto que l ≤ [

m2

]. ¤

Obviamente, si el G.P.A. es ≥ 2n−2, entonces tomamos m = 2n−2y

[m2

]+ 1 = n, por lo que todos los coeficientes son positivos y la

Proposicion 1.2.2 sigue directamente de esta ultima.

15

1.3. Polinomios ortogonales sobre el eje real

En las ultimas decadas la teorıa de los llamados “polinomios ortogo-nales” ha experimentado un desarrollo inusitado no solo por su conexioncon otras areas proximas a la Matematica como la Fısica o la Ingenierıasino por su ıntima interrelacion con otros campos de la propia Matemati-ca como pueden ser las Ecuaciones Diferenciales, los Aproximantes dePade, las Fracciones Continuas o las Formulas de Cuadratura. En estaseccion discutiremos solo una pequena porcion de esta teorıa la cual va-mos a necesitar para la construccion de formulas de cuadratura con elmaximo grado de precision algebraica.

Ası pues, sea [a, b] un intervalo del eje real finito o infinito y sea ω(x)una funcion peso sobre [a, b] de modo que las integrales (momentos)

ck =∫ b

axkω(x)dx , k = 0, 1, . . . (1.14)

existan y sean facilmente computables. Diremos que las funciones f(x)y g(x) son ortogonales en [a, b] respecto a la funcion peso ω(x) si elproducto f(x)g(x)ω(x) es integrable en [a, b] y verifica

∫ b

af(x)g(x)ω(x)dx = 0. (1.15)

Ası, de acuerdo a esta terminologıa, y teniendo en cuenta (1.13), elpolinomio nodal Qn(x) de una formula de cuadratura con n nodos ygrado de precision algebraica n+k es “ortogonal” a cualquier polinomiode grado a lo sumo k. Por otro lado, una funcion f(x) se dice normalizadaen [a, b] con respecto a ω(x) si f2(x) es integrable en [a, b] y

∫ b

af2(x)ω(x)dx = 1. (1.16)

En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusion respecto a que funcionpeso estamos considerando la ortogonalidad, podremos omitir la expre-sion ”con respecto a la funcion peso ω(x)”. Ahora, para todo n ≥ 0,consideremos el determinante ∆n asociado a la sucesion ck∞k=0 (deter-

16

minante de Hankel):

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

c0 c1 · · · cn

c1 c2 · · · cn+1...

......

cn cn+1 · · · c2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣. (1.17)

Proposicion 1.3.1 Para todo n ≥ 0, ∆n 6= 0.

Demostracion: Supongamos que existe n ∈ N, n ≥ 1 tal que ∆n = 0 yconstruyamos el sistema homogeneo de n+1 ecuaciones en las incognitasa0, . . . , an:

a0c0 + a1c1 + · · · + ancn = 0a0c1 + a1c2 + · · · + ancn+1 = 0

...a0cn + a1cn+1 + · · · + anc2n = 0

. (1.18)

Dado que ∆n = 0, (1.18) admite solucion no trivial. Ahora bien, por(1.14), el sistema (1.18) es equivalente a:

∫ ba [a0 + a1x + · · ·+ anxn]ω(x)dx = 0

∫ ba [a0 + a1x + · · ·+ anxn]xω(x)dx = 0

...∫ ba [a0 + a1x + · · ·+ anxn]xnω(x)dx = 0

Multiplicando estas ecuaciones respectivamente por a0, . . . , an y suman-do obtenemos

∫ b

a[a0 + a1x + · · ·+ anxn]2ω(x)dx = 0

lo cual es una contradiccion, pues algunos de los coeficientes aj son nonulos ¤

Ahora es facil probar la siguiente:

Proposicion 1.3.2 Dado cualquier numero natural n ≥ 1, existe unpolinomio Pn(x) de grado exacto n (determinado salvo factor multipli-cativo) que es ortogonal a cualquier polinomio de grado a lo sumo n−1.

17

Demostracion: Hagase como ejercicio. ¤Si escribimos Pn(x) = anxn + · · · + a1x + a0, se suele elegir a veces

el factor multiplicativo que lo caracteriza unıvocamente, de modo que:

an > 0 ,

∫ b

aP 2

n(x)ω(x)dx = 1.

En este caso diremos que Pn(x) es “ortonormal”. Otra forma usual denormalizar el polinomio Pn(x) es imponer que an = 1. En este caso,estamos hablando del n-esimo polinomio ortogonal “monico”.

Si hacemos P0(x) ≡ constante tal que∫ ba P 2

0 (x)ω(x)dx = 1 y repeti-mos el proceso para todo n ≥ 1, generaremos un sistema de polinomiosPn(x)∞n=0 que denominaremos ortonormal respecto a ω(x) en [a, b] yque verifica:

1. Pn(x) es un polinomio de grado n.

2.∫ ba Pn(x)Pm(x)ω(x)dx =

1 si n 6= m0 si n = m

.

En lo que sigue, escribiremos el n-esimo polinomio ortonormal Pn(x)en la forma

Pn(x) = anxn + bnxn−1 + · · · , n ≥ 1 , an > 0

P0(x) =1√c0

= a0

(recordar que ck =∫ ba xkω(x)dx). En general, cualquier sucesion o sis-

tema de polinomios ortogonales sera de la forma Qn(x) = λnPn(x) conλn 6= 0, de modo que al correspondiente sistema monico sera:

Qn(x) =Pn(x)

an, n = 0, 1, . . . .

Recıprocamente, si Qn(x)∞n=0 es el sistema monico de polinomios or-togonales,

Pn(x) =Qn(x)

kn, kn > 0 : k2

n =∫ b

aQ2

n(x)ω(x)dx

sera el correspondiente sistema ortonormal.Veamos ahora algunas propiedades de los polinomios ortogonales:

18

Teorema 1.5 (Ceros) Los ceros de cualquier polinomio ortogonal

ϕn(x) = λnQn(x) , λn 6= 0

de grado n ≥ 1 son reales, distintos y contenidos en (a, b).

Demostracion: Sean ξ1, . . . , ξm los ceros de ϕn(x) de multiplicidadimpar contenidos en (a, b). Observese que 0 ≤ m ≤ n. Por tanto, he-mos de probar que m = n. Supongamos pues m < n y definamosP (x) = (x − ξ1) · · · (x − ξm) ∈ Πm (si m = 0, P (x) se toma comouna constante no nula). Vemos que P (x)ϕn(x) no cambia de signo en(a, b) y por consiguiente

∫ ba P (x)ϕn(x)ω(x)dx 6= 0, lo cual lleva a una

contradiccion. ¤

Teorema 1.6 (Ley de recurrencia a tres terminos) Si Pn(x) =anxn + bnxn−1 + · · · es el n-esimo polinomio ortonormal con respecto ala funcion peso ω(x) en [a,b], entonces para todo n ≥ 0:

xPn(x) =an

an+1Pn+1(x) +

(bn

an− bn+1

an+1

)Pn(x) +

an−1

anPn−1(x) (1.19)

con condiciones iniciales P0(x) = 1√c0

, P−1(x) ≡ 0.

Demostracion: Dado que xPn(x) ∈ Πn+1, y como P0(x), . . . , Pn+1(x)forman una base de Πn+1, podemos escribir

xPn(x) =n+1∑

k=0

ck,nPk(x)

siendo ck,n =∫ ba xPn(x)Pk(x)ω(x)dx, k = 0, 1, . . . , n + 1. Dado que

xPk(x) ∈ Πk+1, entonces si k + 1 < n (k < n − 1 o 0 ≤ k ≤ n − 2)resultara ck,n = 0 para 0 ≤ k ≤ n− 2, y por consiguiente:

xPn(x) = cn+1,nPn+1(x) + cn,nPn(x) + cn−1,nPn−1(x) , n > 1.

Comparando los coeficientes de mayor grado obtenemos cn+1,n = anan+1

.Ademas, puesto que cn,k = ck,n deducimos cn,n−1 = cn−1,n = an−1

an.

Para obtener cn,n comparamos el coeficiente del monomio xn y se tiene

19

cn,n = bnan− bn+1

an+1. Finalmente, lo formula (1.19) tambien es valida para

n = 0 tomando P−1(x) ≡ 0. ¤Si hacemos ahora,

αn+1 =an

an+1> 0 y βn+1 =

(bn

an− bn+1

an+1

)(1.20)

podemos escribir:

xPn(x) = αn+1Pn+1(x) + βn+1Pn(x) + αnPn−1(x) , n ≥ 0 (1.21)

Para la correspondiente sucesion monica Qn(x)∞n=0 tenemos:

Corolario 1.1 Para todo n ≥ 0,

Qn+1(x) = (x− βn+1)Qn(x)− α2nQn−1(x)

con las condiciones iniciales Q0(x) ≡ 1, Q−1(x) ≡ 0.

Teorema 1.7 (Identidad de Christoffel-Darboux) Sea Pn(x)∞n=0

el sistema ortonormal de polinomios con respecto a ω(x). Entonces, paratodo x, y ∈ R, x 6= y y n ≥ 1 se cumple

n−1∑

k=0

Pk(x)Pk(y) = αn

[Pn(x)Pn−1(y)− Pn−1(x)Pn(y)

x− y

](1.22)

siendo Pn(x) = anxn + · · ·, an > 0 y αn = an−1

an, n ≥ 1.

Demostracion: Multiplicando ambos miembros de (1.21) por Pn(y)obtenemos

xPn(x)Pn(y) = αn+1Pn+1(x)Pn(y)+βn+1Pn(x)Pn(y)+αnPn−1(x)Pn(y).

Intercambiando x por y:

yPn(x)Pn(y) = αn+1Pn+1(y)Pn(x)+βn+1Pn(x)Pn(y)+αnPn−1(y)Pn(x)

Restando ahora ambas expresiones:

(x− y)Pn(x)Pn(y) = αn+1 [Pn+1(x)Pn(y)− Pn(x)Pn+1(y)]

− αn [Pn(x)Pn−1(y)− Pn−1(x)Pn(y)] .

Finalmente, sumando sobre n y recordando que P−1(x) ≡ 0 se deduceel resultado. ¤

20

Corolario 1.2 Para todo n ≥ 1,

n−1∑

k=0

P 2k (x) = αn[P ′

n(x)Pn−1(x)− P ′n−1(x)Pn(x)] (1.23)

¤

Teorema 1.8 (Separacion de ceros) Sea Pn(x)∞n=0 el sistema or-tonormal de polinomios con respecto a ω(x). Para n ≥ 1, sean x1, . . . , xn

los ceros de Pn(x) ordenados en forma creciente. Entonces, entre xj yxj+1 existe un unico cero de Pn−1(x).

Demostracion: Utilizando la relacion (1.23) y teniendo en cuenta queαn > 0, sigue:

P ′n(x)Pn−1(x)− P ′

n−1(x)Pn(x) > 0.

Haciendo x = xj , dado que Pn(xj) = 0, resulta:

P ′n(xj)Pn−1(xj) > 0 , j = 1, . . . , n.

Ahora bien, sign (P ′n(xj)) = (−1)n−j , por lo que sign (Pn−1(xj)) =

(−1)n−j para j = 1, · · · , n y se concluye la prueba. ¤

Ejemplo 1.1 Consideremos el intervalo [−1, 1] y la funcion peso ω(x) =1√

1−x2. El sistema de polinomios ortogonales que genera tal funcion pe-

so son los famosos polinomios de Chebyshev de primera especie y que sepueden definir para n = 0, 1, 2, . . . como:

Tn(x) = cos (nθ), cos θ = x. (1.24)

Ası vemos que T0(x) = 1, T1(x) = x y

T2(x) = cos 2θ = cos2 θ − sen2θ = 2 cos2 θ − 1 = 2x2 − 1.

En general, utilizando la conocidas formulas trigonometricas:

cos(n + 1)θ = cosnθ cos θ − sennθsenθ

cos(n− 1)θ = cosnθ cos θ + sennθsenθ

21

resultaracos(n + 1)θ + cos(n− 1)θ = 2 cos θ cosnθ,

que permite escribir:

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x) , n ≥ 1

Esto prueba que la funcion Tn(x) dada por (1.24) representa un polino-mio de grado n de la forma Tn(x) = 2n−1xn + · · · . Por otro lado, es facilverificar que

∫ 1

−1

Tn(x)Tm(x)√1− x2

dx =

0 si n 6= mπ/2 si n = m ≥ 1π si n = m = 0

(1.25)

Para ello hagase el cambio x = cos θ. Ası pues, para todo n ≥ 1,Tn(x) = Tn(x)

2n−1 representa el correspondiente polinomio monico de gradon, mientras que Tn(x) = Tn(x)√

π/2=

√π2 Tn(x) el correspondiente polinomio

ortonormal de grado n.Por otro lado, para todo x ∈ [−1, 1], |Tn(x)| = ∣∣ cos nθ

2n−1

∣∣ ≤ 12n−1 y dado

que existen puntos de [−1, 1] donde |Tn(x)| = 1, tenemos

maxx∈[−1,1]

∣∣∣Tn(x)∣∣∣ =‖ Tn(x) ‖[−1,1]=

12n−1

y por consiguiente:

lımn→∞ ‖ Tn(x) ‖1/n

[−1,1]=12

(1.26)

Al mismo tiempo, Tn(z) con z ∈ C admite la siguiente representacion:

Tn(z) =

(z +

√z2 − 1

)n+

(z −√z2 − 1

)n

2

Ademas, para todo z ∈ C\[−1, 1], |z +√

z2 − 1| > 1. Luego, para todoz 6∈ C\[−1, 1]

|Tn(z)| = 12

∣∣∣(z +

√z2 − 1

)n+

(z −√z2 − 1

)n∣∣∣ =

= 12

∣∣∣z +√

z2 − 1∣∣∣n ∣∣∣1 +

(z−√z2−1z+√

z2−1

)n∣∣∣ =

= |z+√

z2−1|n2

∣∣∣∣1 + 1

(z+√

z2−1)2n

∣∣∣∣ .

22

Como lımn→+∞ 1

(z+√

z2−1)2n = 0 uniformemente en compactos deC\[−1, 1]

deducimos finalmente que

lımn→+∞∣∣∣Tn(z)

∣∣∣1/n

= lımn→+∞∣∣∣Tn(z)

2n−1

∣∣∣1/n

= |z+√

z2−1|2 = |ψ(z)|

2

(1.27)

siendo ψ(z) = z+√

z2 − 1 la transformacion conforme que aplicaC\[−1, 1]en el exterior del disco unidad z ∈ C : |z| > 1 conservando el puntodel infinito (ψ(∞) = ∞).

Las relaciones (1.26) y (1.27) validas para los polinomios de Chebys-hev de primera especie se pueden generalizar para cualquier familia depolinomios ortogonales. En efecto, damos sin demostracion el siguien-te resultado que vamos a necesitar a la hora de estudiar la velocidadde convergencia de las formulas de cuadratura Gaussianas. Una demos-tracion del mismo puede verse en el libro de Stahl y Totik [29]. Nosreferiremos a un intervalo finito [a, b] y tomaremos por sencillez [−1, 1].El caso general se resuelve mediante un simple cambio de variable.

Teorema 1.9 Denotemos por Qn(x)∞n=0 la sucesion de polinomiosortogonales monicos con respecto a la funcion peso ω(x) en [−1, 1]. En-tonces

1. lımn→+∞ |Qn(z)|1/n = |z+√

z2−1|2 uniformemente en compactos de

C\[−1, 1].

2. lımn→+∞ ‖ Qn(z) ‖1/n[−1,1]=

12 . ¤

1.4. Formulas Gaussianas

El objetivo de esta seccion sera recordar las propiedades fundamen-tales de las llamadas formulas de cuadratura Gaussianas, de Gauss ode Gauss-Christoffel conocidas tambien como las de “maximo grado deprecision algebraica”. A tal efecto, recuerdese que en una formula decuadratura con n nodos, el maximo grado de precision algebraica alcan-zable en 2n− 1. Ası, el teorema de caracterizacion 1.4 y la propiedad delos ceros de polinomios ortogonales nos permite asegurar que tal gradomaximo si que es alcanzable, verificandose el siguiente:

23

Teorema 1.10 Una formula de cuadratura In(f) =∑n

j=1 Ajf(xj) conn nodos tiene grado de precision algebraico 2n− 1 sı y solo si

1. In(f) es de tipo interpolatorio.

2. El polinomio nodal Qn(x) =∏n

j=1(x−xj) coincide con el n-esimopolinomio ortogonal monico respecto a ω(x).

¤

Observacion 1 1. Dado que el polinomio Qn(x) queda determina-do salvo factor multiplicativo constante, fijado n, las formulas delTeorema (1.10) son unicas y las denominaremos Gaussianas.

2. Los coeficientes Aj son positivos para j = 1, . . . , n.

En cuanto a los pesos, por el Teorema 1.10, al tratarse de formulasde tipo interpolatorio vendran dados para j = 1, . . . , n por

Aj =∫ b

alj(x)ω(x)dx , lj(x) ∈ Πn−1 , lj(xk) = δj,k , 1 ≤ j, k ≤ n.

Ahora bien, recordando que lj(x) = Qn(x)(x−xj)Q′n(xk) para j = 1, . . . , n,

tendremos

Aj =1

Q′n(xj)

∫ b

a

Qn(x)(x− xj)

ω(x)dx , j = 1, . . . , n (1.28)

El caracter positivo, queda claramente reflejado en la siguiente represen-tacion (compruebese como ejercicio):

Aj =1

(Q′n(xj))

2

∫ b

a

[Qn(x)

(x− xj)

]2

ω(x)dx , j = 1, . . . , n (1.29)

o tambien en el siguiente:

Teorema 1.11 Sea Pn(x)∞n=0 la sucesion de polinomios ortonormalescon respecto a la funcion peso ω(x) en [a, b] y sea In(f) =

∑nj=1 Ajf(xj)

la enesima formula Gaussiana. Entonces,

Aj =1∑n−1

k=0 P 2k (xj)

, j = 1, . . . , n. (1.30)

24

Demostracion: Utilizando el Corolario 1.2 con x = xj tenemos

n−1∑

k=0

P 2k (xj) = αn

[P′n(xj)Pn−1(xj)

], αn =

an−1

an> 0

y siendo Pn(x) = anxn + bnxn−1 + · · · (an > 0). Por otro lado, si en laidentidad de Christoffel-Darboux (1.22) hacemos x = xj deducimos

n−1∑

k=0

Pk(x)Pk(xj) = αnPn(x)Pn−1(xj)

x− xj.

Multiplicando ambos miembros por ω(x) e integrando sobre [a, b], resul-tara:

1 = αnPn−1(xj)∫ b

a

Pn(x)x− xj

ω(x)dx

lo cual implica

Aj =1

P ′n(xj)

∫ b

a

Pn(x)x− xj

ω(x)dx =1

αnPn−1(xj)P′n(xj)

=1∑n−1

k=1 P 2k (xj)

.

¤

Observacion 2 De la propia demostracion anterior y utilizando la leyde recurrencia a tres terminos para Pn(x)n=0∞, resultara tambien:

Aj =1

αnPn−1(xj)P′n(xj)

=−1

αn+1Pn+1(xj)P′n(xj)

, j = 1, . . . , n

Veamos a continuacion algunas familias de funciones peso cuyasformulas Gaussianas han sido estudiadas profundamente. En efecto, con-sideremos, en primer lugar, las llamadas funciones peso de Jacobi sobreun intervalo finito, el cual para fijar ideas, tomaremos el [−1, 1] y quevienen dadas por:

ω(x) = (1− x)α(1 + x)β , α, β > −1.

En tal sentido, se comprueba que la funcion dependiente de los parame-tros α y β (vease [21] para los detalles):

J (α,β)n (x) =

(−1)n

2nn!(1−x)−α(1+x)−β dn

dxn[(1−x)α+n(1+x)β+n], (1.31)

25

representa para cada n ≥ 0 un polinomio de grado n cuyo coeficientedirector es

Γ(α + β + 2n + 1)2nn!Γ(α + β + n + 1)

,

verificandose ademas:

In,m =∫ 1

−1J (α,β)

n (x)J (α,β)m (x)(1− x)α(1 + x)βdx =

0 si n 6= m

2α+β+1Γ(α+n+1)Γ(β+n+1)(α+β+2x+1)n!Γ(α+β+n+1) si n = m

(1.32)

Ası pues, la familia de polinomios J (α,β)n (x)∞n=0 dada por (1.31)

representa una familia de polinomios ortogonales con respecto a ω(x) =(1−x)α(1+x)β que denominaremos polinomios de Jacobi, y siendo (1.31)la llamada “formula de Rodrigues” para la misma. La correspondientesucesion ortonormal Q(α,β)

n (x)∞n=0 vendra dada por

Q(α,β)n (x) =

J(α,β)n (x)√

In,n

= anxn + · · ·

conan =

Γ(α + β + 2n + 1)2nn!Γ(α + β + n + 1)

√In,n

.

Algunos casos interesantes son:

1. α = β = 0; ω(x) ≡ 1. Ahora:

J (0,0)n (x) = Jn(x) =

12nn!

dn

dxn(x2 − 1)n

conJn(x) =

(2n)!2n(n!)2

xn + · · ·

y verificandose:

∫ 1

−1Jn(x)Jm(x)dx =

0 si n 6= m

22n+1 si n = m

26

La sucesion Jn(x)∞n=0 representa la familia de polinomios de Le-gendre, ortogonales con respecto a ω(x) ≡ 1 en [−1, 1]. Un sistemaortonormal vendra dado por

Qn(x) =

√2n + 1

2Jn(x) = anxn + · · ·

con

an =

√2n + 1

2(2n)!2nn!

. (1.33)

2. α = β = −1/2; ω(x) = 1√1−x2

. Ası pues, J(−1/2,−1/2)n (x) = λnTn(x)

con λn 6= 0 y Tn(x) el n-esimo polinomio de Chebyshev de primeraespecie dado por (1.24), siendo Tn(x) = 2n−1xn + · · ·, para todox ∈ R.

3. α = β = 1/2; ω(x) =√

1− x2. Consideremos ahora la familia depolinomios dados para n = 0, 1, 2, . . . por

Un(x) =sen((n + 1)θ)√

1− x2, cos θ = x. (1.34)

comprobandose (hagase como ejercicio) que satisfacen la relacionde recurrencia

Un+1(x) = 2xUn(x)− Un−1(x). (1.35)

con U0(x) = 1, U1(x) = 2x. Por induccion se sigue que Un(x) =2nxn + · · ·. La sucesion Un(x)∞n=0 constituye la familia de polino-mios ortogonales de Chebyshev de segunda especie, comprobando-se que

∫ 1

−1Un(x)Um(x)

√1− x2dx =

0 si n 6= m

π2 si n = m

Por consiguiente,

J (1/2,1/2)n (x) = cnUn(x) con cn =

(2n + 1)!22nn!(n + 1)!

27

En lo concerniente a funciones peso ω(x) sobre intervalos no acota-dos, consideremos ω(x) = e−x2

, cuyo sistema de polinomios ortogonalesson los llamados polinomios de Hermite definidos por la formula de Ro-drigues

Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxn

(e−x2

), (1.36)

comprobandose que Hn(x) = 2nxn + · · · y que:

In,m(x) =∫ ∞

−∞Hn(x)Hm(x)e−x2

dx =

0 si n 6= m2nn!

√π si n = m

(1.37)

Tambien los polinomios Hn(x)∞n=0 satisfacen las leyes de recurrencia

Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x) (1.38)

La correspondiente sucesion ortonormal Qn(x)∞n=0 vendra dada paran = 0, 1, 2, . . . por

Qn(x) =Hn(x)√2n√

n!π14

= anxn + · · · , an =

√2n

n!√

π(1.39)

Por otro lado, en (0, +∞) tenemos la funcion peso, dependiente delparametro α > −1, ω(x) = xαe−x. Ahora un sistema de polinomiosortogonales viene dado por (formula de Rodrigues):

Lαn(x) = (−1)nx−αex dn

dxn

(xα+ne−x

)(1.40)

En efecto, se puede comprobar que Lαn(x) dado por (1.40) es un polino-

mio monico de grado n, y se cumple:

In,m(x) =∫ ∞

0Lα

n(x)Lαm(x)xαe−xdx =

0 si n 6= mn!Γ(n + α + 1) si n = m

(1.41)Los polinomios Lα

n(x)∞n=0 son los llamados polinomios de Laguerre deorden α. El caso particular mas conocido son los de orden 0, esto es

L0n(x) = Ln(x) = (−1)nex dn

dxn

(xne−x

)= xn + · · · . (1.42)

28

Ası pues, un sistema ortonormal para la funcion peso ω(x) = e−x conx ∈ (0,∞) vendra dado por

Qn(x) =Ln(x)

n!=

1n!

xn + · · · .

Analizadas las familias de polinomios ortogonales para las funcionespeso anteriores, veamos ahora como quedan las correspondientes formu-las Gaussianas:

1. Funcion peso constante

ω(x) ≡ 1 , Iω(f) = I(f) =∫ 1

−1f(x)dx.

In(f) =n∑

j=1

Ajf(xj).

Ahora, xjnj=1 son los ceros del polinomio de Legendre Jn(x) de

grado n con

Aj =−2

(n + 1)P ′n(xj)Pn+1(xj)

=2

nPn(x)′(xj)Pn−1(xj)(1.43)

siendo Pn(x) el correspondiente ortonormal. Teniendo en cuentaque tal sistema ortonormal Pn(x)∞n=0 satisface la relacion

(1−x2)P′n(x) = (n+1) [xPn(x)− Pn+1(x)] = n [Pn−1(x)− xPn(x)]

obtenemos

Aj =2(

1− x2j

)[P ′

n(xj)]2

, j = 1, . . . , n (1.44)

2. Funcion peso de Chebyshev de primera especie

ω(x) =1√

1− x2, Iω(f) =

∫ 1

−1

f(x)√1− x2

dx

29

Sea In(f) =∑n

j=1 Ajf(xj) la correspondiente formula Gaussia-na con n nodos. Estos seran las raıces del n-esimo polinomio deChebyshev de primera especie Tn(x), por tanto,

xj = cos(

2j − 12n

)π , j = 1, . . . , n. (1.45)

En este caso se puede comprobar que los pesos Aj son indepen-dientes de j y por tanto,

n∑

j=1

Aj =∫ 1

−1

dx√1− x2

= π.

Por consiguiente:

Aj =π

n, j = 1, . . . , n. (1.46)

3. Funcion peso de Chebyshev de segunda especie

ω(x) =√

1− x2 , Iω(f) =∫ 1

−1f(x)

√1− x2dx

Sea ahora In(f) =∑n

j=1 Ajf(xj) la correspondiente formula Gaus-siana. Los nodos xjn

j=1 seran los ceros de

Un(x) =sen [(n + 1)arccosx]√

1− x2.

Por tanto,

xj = cos(

j

n + 1

)π , j = 1, . . . , n, (1.47)

mientras que los pesos se conocen explıcitamente:

Aj =π

n + 1sen2

(jπ

n + 1

), j = 1, . . . , n (1.48)

4. Funcion peso de Hermite

ω(x) = e−x2, Iω(f) =

∫ 1

−1f(x)e−x2

dx

30

Ahora en la correspondiente formula Gaussiana con n nodos In(f) =∑nj=1 Ajf(xj), los nodos seran los ceros del n-esimo polinomio de

Hermite Hn(x) (1.36) mientras que los pesos vienen dados por

Aj =2n+1n!π1/2

[H ′n(xj)]2

, j = 1, . . . , n.

5. Funcion peso de Laguerre

ω(x) = xαe−x , α > 1 , Iω(f) =∫ 1

−1f(x)xαe−xdx

Sea In(f) =∑n

j=1 Ajf(xj) la enesima formula de Gauss. Sus nodosseran los ceros del polinomio de Laguerre de orden α y grado n(1.40) mientras que los pesos Aj se pueden expresar mediante

Aj =n!Γ(α + n + 1)

L′(α)n (xj)L

(α)n+1(xj)

Si utilizamos la relacion

L(α)n+1(x) = (x− α− n− 1)L(α)

n (x)− xL(α)n (x)

obtenemos

Aj =n!Γ(α + n + 1)

xj

[L′(α)n (xj)

]2 (1.49)

Para el caso particular α = 0, esto es, ω(x) = e−x, tendremos:

Aj =(n!)2

xj [L′n(xj)]2 , j = 1, . . . , n (1.50)

con Ln(x) dado por (1.42).

Veamos a continuacion como se puede proceder en la computacionefectiva de las formulas Gaussianas para una funcion peso arbitrariaω(x) con x ∈ [a, b], −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Uno de los procedimientos masconocidos y eficientes consiste en reducir el calculo de los nodos xjn

j=1

y pesos Ajnj=1 de una formula Gaussiana In(f) =

∑nj=1 Ajf(xj) con

31

respecto a ω(x) a un problema de autovalores. En efecto, si consideramosla familia de polinomios ortonormales Pn(x) para n = 0, 1, . . . con

Pn(x) = anxn + bnxn−1 + · · · , an > 0

entonces de la relacion (1.21) tenemos:

xPk−1(x) = αkPk(x) + βkPk−1(x) + αk−1Pk−2(x) , k ≥ 2 (1.51)

siendo

αk =ak−1

ak, k = 1, 2, . . . , βk =

(bk−1

ak−1− bk

ak

), k = 2, 3, . . .

la cual tambien es valida para k = 1 tomando P−1(x) ≡ 0.Ası pues, si en la relacion (1.51) hacemos k = 1, . . . , n (siendo n un

numero natural fijo) obtenemos:

k = 1 : xP0(x) = β1P0(x) + α1P1(x)

k = 2 : xP1(x) = α1P0(x) + β2P1(x) + α2P2(x)

...

k = n : xPn−1(x) = αn−1Pn−2(x) + βnPn−1(x) + αnPn(x)(1.52)

Introduciendo ahora la notacion matricial

P (x) =

P0(x)P1(x)

...Pn−2(x)Pn−1(x)

∈ Rn , E =

00...01

∈ Rn

J =

β1 α1 0 0 · · · 0α1 β2 α2 0 · · · 00 α2 β3 α3 · · · 0...

.... . . . . . . . .

...0 0 . . . αn−2 βn−1 αn−1

0 0 0 0 αn−1 βn

(1.53)

32

se tiene que (1.52) toma la forma

xP (x) = JP (x) + αnPn(x)E.

Por consiguiente, xj sera un cero de Pn(x), sı y solo si xjP (xj) = JP (xj),lo cual significa que xj es un autovalor de J y P (xj) el correspondienteautovector. En otras palabras, al calculo de los nodos de la n-esimaformula Gaussiana se reduce a calcular los autovalores de la matriz realsimetrica J, llamada “matriz de Jacobi”. Veamos tambien como los pesosAj para j = 1, . . . , n se expresan en termino de los autovectores. Enefecto, los pesos Aj vienen dados, segun el Teorema (1.11) por

1Aj

=n−1∑

k=0

[Pk(xj)]2 , j = 1, . . . , n

lo cual implica:

1 = Aj

n−1∑

k=0

[Pk(xj)]2 = Aj [P (xj)]T [P (xj)]

(aquı el super-ındice T significa “traspuesta”). Por tanto, se sigue que

Q(xj) = A1/2j P (xj) (1.54)

es el autovector de norma (Euclıdea) uno. Si hacemos

Q(xj) = (q0,j , . . . , qn−1,j)T ∈ Rn

y seleccionamos la primera componente de ambos lados de (1.54), obte-nemos que q0,j = A

1/2j Po(xj) para j = 1, . . . , n. Pero, dado que P0(x) =

1√c0

con c0 =∫ ba ω(x)dx, deducimos finalmente que Aj = c0q

20,j para

j = 1, . . . , n.Vemos pues, que la computacion de la formula Gaussiana se reduce al

calculo de autovalores y autovectores de una matriz tridiagonal simetricacuyos elementos son los paramtros αk y βk que aparecen en la ley derecurrencia a tres terminos del correspondiente sistema ortonormal. Deahı la importancia computacional de la referida ley de recurrencia.

Conluımos esta seccion dedicando unas lıneas a formulas de cua-dratura con nodos preasignados y maximo grado de precision. Tales

33

formulas resultan de interes en el estudio de metodos para la resolu-cion numerica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Ası pues, dadala funcion peso ω(x), pretendemos aproximar Iω(f) =

∫ ba f(x)ω(x)dx

(−∞ ≤ a < b ≤ ∞) por una formula de cuadratura del tipo

In+m(f) =n∑

k=1

Akf(xk) +m∑

j=1

Bjf(aj) (1.55)

en la que los nodos aj , . . . , am se fijan de antemano. Ası, (1.55) con-tiene 2n + m parametros que se habran de determinar imponiendo queel grado de precision algebraica para In+m(f) sea lo mas alto posible.Introduciendo los polinomios

r(x) =∏m

j=1(x− aj) ∈ Πm y qn(x) =∏m

j=1(x− xj) ∈ Πn

entonces, aplicando el Teorema 1.4, se puede probar el siguiente

Teorema 1.12 La formula de cuadratura (1.55) tiene grado de preci-sion algebraica 2n + m− 1 al menos sı y solo si

1. Es de tipo interpolatorio.

2. El polinomio qn(x) es ortogonal en [a, b] con respecto a la funcionpeso ω(x) = r(x)ω(x) a cualquier polinomio de grado menor quen.

Vemos que la construccion de la formula (1.55) exacta para cualquierpolinomio de grado 2n + m − 1 a lo sumo se reduce a encontrar elpolinomio de grado n, qn(x) ortogonal en [a, b] respecto a la funcionpeso ω(x) = r(x)ω(x), la cual es de signo variable. Ası pues, en generalya no podemos asegurar que qn(x) tenga grado exacto n y mucho menosque sus raıces sean reales, distintas y contenidas en (a, b) y que ademassean distintas a los nodos prefijados aj (j = 1, . . . , m). Con todo, veamosalgunos casos puntuales sencillos de gran interes y aplicabilidad. En loque sigue supondremos [a, b] finito. Consideremos primero m = 1 cona1 = a o a1 = b, dando lugar a las llamadas formulas de “Gauss-Radau”para ω(θ). Ası si tenemos a1 = a, entonces r(x) = (x − a) y qn(x)sera ortogonal a (x − a)ω(x), que es una funcion peso positiva. Por

34

consiguiente, los ceros xjnj=1 de qn(x) son distintos y contenidos en

(a, b). La formula de cuadratura resultante

In+1(f) =n∑

j=1

Ajf(xj) + B1f(a)

de tipo interpolatorio, sera exacta en Π2n y por consiguiente, los pesosson positivos. Por otro lado, supongamos que m = 2 y que elegimos comonodos prefijados a1 = 1 y a2 = b. Ahora qn(x) es ortogonal respecto a(x − a)(b − x)ω(x), la cual tambien en una funcion peso positiva. Porconsiguiente, podemos asegurar que existen n nodos distintos en (a, b) ypesos A1, . . . , An, B1 y B2 de modo que

In+2(f) = B1f(a) + B2f(b) +n∑

j=1

Ajf(xj) (1.56)

es exacta en Π2n+1. Tal formula recibe el nombre de “Gauss-Lobatto”para ω(x) en [a, b].

Ejercicio: Pruebese que los pesos de la formula (1.56) son positivos.

1.5. Algunos resultados auxiliares

Al objeto de que el presente texto resulte autocontenido, a lo largode esta seccion resenaremos algunos resultados basicos en la Teorıa deAproximacion y que habran de ser utilizados a la hora de establecer laconvergencia tanto de una familia de formulas de cuadraturas sobre eleje real como sobre la circunferencia unidad. Comenzamos con el famo-so “Teorema de Aproximacion de Weierstrass” que establece como bienes sabido, la densidad del espacio de los polinomios Π sobre el espacioC[a, b] de las funciones continuas sobre un intervalo finito [a, b] respec-to a la norma uniforme. Para nuestro proposito, sera mas convenienteconsiderar primero el caso de una funcion periodica f(θ) de periodo2π. Ası pues, sea f(θ) una funcion de estas caracterısticas integrable en[−π, π], esto es, f ∈ L[−π, π]. Su serie de Fourier asociada viene dadapor:

f(θ) ∼ a0

2+

∞∑

k=1

(ak cos kθ + bksenkθ) (1.57)

35

conak =

1π

∫ π

−πf(θ) cos kθdθ , k = 0, 1, 2, . . .

bk =1π

∫ π

−πf(θ)senkθdθ , k = 1, 2, 3, . . . .

Si denotamos por Sn(f ; θ) = Sn(θ) la suma parcial de orden n de (1.57)se sabe que Sn(θ) converge a f(θ) en norma L2. Sin embargo, la conver-gencia uniforme depende “fuertemente” de la suavidad de la funcion. Alrespecto, cabe senalar el resultado negativo debido a du-Bois Reymond(vease por ejemplo [13]) que dice que existen funciones continuas cuyaserie de Fourier diverge en algun punto θ. Esto llevo a estudiar otrostipos de convergencia (o sumabilidad) de series como por ejemplo la in-troducida por E. Cesaro. Ası, la serie

∑∞n=0 an se dice “(C, 1)-sumable”

o “sumable en sentido Cesaro” si los promedios de las sumas parciales

1n + 1

(S0 + S1 + · · ·+ Sn) ,

con Sn =∑n

k=0 ak, n = 0, 1, . . . , tienen lımite S y escribiremos

∞∑

n=0

an = S (C, 1)

De esta forma, en 1904, L. Fejer llego al notable descubrimiento deque la serie de Fourier de una funcion continua (y periodica de periodo2π) es (C, 1)-sumable a f(x). Tal resultado se conoce como “Teoremade Fejer”, cuya demostracion daremos a continuacion siguiendo el texto[13]. Para ello, introducimos los llamados “nucleos de Fejer”, siendopreciso una serie de resultados previos.

Lema 1.2 1.

senx

2+ sen

3x

2+ · · ·+ sen

(n− 1

2

)x =

sen2(

nx2

)

sen(

x2

) (1.58)

2.12

+ cos x + cos 2x + · · ·+ cos nx =sen

(n + 1

2

)

2sen(

x2

) (1.59)

36

Demostracion: Dado que sen(k − 1

2

)xsenx

2 = 12 [cos(k − 1)x− cos kx]

se sigue que∑n

k=1 sen(k − 1

2

)xsenx

2 = 12

∑nk=1 [cos(k − 1)x− cos kx] =

= 12 [1− cosnx] = sen2

(nx2

).

Por tanto,n∑

k=1

sen(

k − 12

)xsen

x

2=

sen2(

nx2

)

sen(

x2

) .

Para la demostracion de 2. se procede analogamente. ¤

Lema 1.3 Sea

Sn(x) =a0

2+

n∑

k=1

(ak cos kθ + bksenkθ)

la suma parcial de orden n de la serie de Fourier de f(x) y definamos:

σn(x) =1n

[S0(x) + · · ·+ Sn−1(x)] . (1.60)

Entonces,

σn(x) =1

2nπ

∫ π

0[f(x + t) + f(x− t)]

sen2(

nt2

)

sen(

t2

) dt (1.61)

Demostracion: Utilizando 2. del Lema 1.2 es facil ver que

Sn(x) =12π

∫ π

−π

sen(n + 1

2

)(x− t)

sen12(x− t)

f(t)dt.

Haciendo t = t′ + x (x fijo), deducimos

Sn(x) = 12π

∫ n+x−n−x f(x + t′)

sen(n+ 12)t′

sen

t′2

dt′

= 12π

∫ π−π

f(x+t)sen(n+ 12)t

sen( 12t) dt.

37

Por consiguiente,

Sn(x) =12n

∫ π

0[f(x + t) + f(x− t)]

sen(n + 1

2

)t

sen(

t2

) dt. (1.62)

Ahora, de la definicion de σn(x), (1.62) y 1. del Lema (1.2) se sigue lademostracion. ¤

Del Lema (1.3) se obtienen las siguientes dos consecuencias que re-sumimos en el siguiente

Corolario 1.3 1.

1πn

∫ π

0

sen2(

nt2

)

sen2(

t2

) dt = 1.

2. Supongamos que m ≤ f(x) ≤ M . Entonces, para todo n ≥ 0,m ≤ σn(x) ≤ M . ¤

Lema 1.4 Sea x ∈ R fijo y definamos ϕ(t) = f(x+ t)+f(x− t)−2f(x)y

Kn(t) =sen2

(nt2

)

2nπsen2(

t2

) .

Entonces,

σn(x)− f(x) =∫ π

0Kn(t)ϕ(t)dt.

Demostracion: Por el Lema (1.3),

σn(x)(x) =∫ π

0Kn(t) [f(x + t) + f(x− t)] dt. (1.63)

Por otro lado, del Corolario (1.3) se sigue:

f(x) =∫ π

02f(x)Kn(t)dt. (1.64)

Restando (1.64) de (1.63) se concluye la demostracion. ¤La funcion Kn(t) =

sen2(nt2 )

2nπ( t2)

se conoce como “Nucleo de Fejer” de

orden n, y verifica:

38

1. Kn(t) ≥ 0

2.∫ π0 Kn(t)dt = 1

2nπ

∫ π0

sen2(nt2 )

sen2( t2)

dt = 12 para n = 1, 2, . . .

3. Si para 0 < δ < π se define Mn(δ) = maxδ≤t≤πKn(t), entonces

lımn→∞Mn(δ) = 0 (1.65)

Esto ultimo se sigue de:

0 ≤ Kn(t) =sen2

(nt2

)

2nπ(

t2

) ≤ 12nπ (sen(δ/2))2

.

Estamos ya en condiciones de probar el Teorema de Fejer, a saber:

Teorema 1.13 Sea f ∈ L[−π, π] y continua en todo punto x. Entonces

lımn→∞σn(x) = f(x).

Demostracion: En primer lugar, por el Lema (1.4) tenemos, paratodo x ∈ [−π, π]:

|σn(x)− f(x)| ≤ ∫ π0 Kn(t)|ϕ(t)|dt

≤ ∫ δ0 Kn(t)|ϕ(t)|dt +

∫ πδ Kn(t)|ϕ(t)|dt

≤ ∫ δ0 Kn(t)|ϕ(t)|dt + Mn(δ)

∫ πδ |ϕ(t)|dt.

(1.66)

Por otro lado, por ser f(x) continua en x, dado ε > 0, existe δ > 0tal que ∀t : 0 ≤ |t| ≤ δ, |f(x) − f(x + t)| < ε. Ahora bien, ϕ(t) =f(x + t) + f(x − t) − 2f(x) = f(x + t) − f(x) + f(x − t) − f(x) y portanto |ϕ(t)| < ε, ∀t : 0 ≤ |t| ≤ δ, lo cual implica

∫ δ

0Kn(t)|ϕ(t)|dt ≤ ε

∫ δ

0Kn(t)dt ≤ ε

∫ δ

0Kn(t)dt = ε/2. (1.67)

Dado que lımn→∞Mn(δ) = 0, la prueba sigue de (1.66) y (1.67). ¤

39

Teorema 1.14 Sea f ∈ L[−π, π] y continua en [a, b], siendo −π ≤ a <b ≤ π. Entonces,

lımn→∞σn(x) = f(x)

uniformemente en [a, b].

Demostracion: Teniendo en cuenta que f(x) es continua en [a, b],f(x) es uniformemente continua en dicho intervalo, luego procediendocomo en el Teorema anterior, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que ∀t ∈ [0, δ]y para todo x ∈ [a, b],

|σn(x)− f(x)| ≤ ε∫ δ0 Kn(t)dt + Mn(δ)

∫ πδ |ϕ(t)|dt

≤ ε2 + Mn(δ)

∫ πδ |ϕ(t)|dt.

(1.68)

Por otro lado,∫ πδ |ϕ(t)|dt ≤ ∫ π

0 |ϕ(t)|dt

≤ ∫ π0 |f(x + t)|dt +

∫ π0 |f(x− t)|dt + 2

∫ π0 |f(x)|dt

=∫ π−π |f(x + t)|dt + 2π|f(x)| = ∫ π

−π |f(t)|dt + 2π|f(x)|Como f(x) es continua en [a, b], f(x) esta acotada y concluimos queexiste C > 0 tal que

∫ π−π |ϕ(t)|dt < C. Dado que lımn→∞Mn(δ) = 0, se

concluye la demostracion. ¤

Corolario 1.4 Sea f : R → R continua y periodica de periodo 2π.Entonces, dado ε > 0, existe T (x) polinomio trigonometrico tal que

|f(x)− T (x)| < ε , ∀x ∈ R.

¤Finalmente, el Teorema de Fejer, o mas concretamente el Corolario

1.4 nos permite dar una demostracion del llamado

Teorema 1.15 (Teorema de aproximacion de Weierstrass) Seaf(x) continua sobre el intervalo finito [a, b]. Dado ε > 0, existe un poli-nomio P (x) tal que

|f(x)− P (x)| < ε , ∀x ∈ [a, b].

40

Demostracion: Consideremos la funcion g : [0, 2π] → R definida me-diante

g(θ) =

f(a + θ(b−a)

π

)si 0 ≤ θ < π

f(a + (2π−θ)(b−a)

π

)si π ≤ θ < 2π

Vemos que g(θ) es continua en [0, 2π] y que g(0) = g(2π), luego se pudeextender periodicamente a todo R. Ası pues, dado ε > 0, por el Corolario1.3, existe T (θ) polinomio trigonometrico tal que:

|g(θ)− T (θ)| < ε/2 , ∀θ ∈ R.

Puesto que T (θ) es una suma finita de funciones trigonometricas, esdecir

T (θ) =A0

2+

N∑

k=1

(Ak cos kθ + Bksenkθ)

entonces T (θ) =∑∞

k=0 ckθk, con convergencia uniforme en [0, 2π]. Por

consiguiente, existe m suficientemente grande tal que

|Pm(θ)− T (θ)| < ε/2 , Pm(θ) =m∑

k=0

ckθk

y podemos escribir

|g(θ)− Pm(θ)| < ε , ∀θ ∈ [0, 2π]. (1.69)

Ası pues, ∀θ ∈ [0, π] : |g(θ) − Pm(θ)| < ε, implicando por definicion deg : ∣∣∣∣f

(a + θ

b− a

π

)− Pm(θ)

∣∣∣∣ < ε, ∀θ ∈ [0, π].

Haciendo x = a + θ b−aπ , sigue:

∣∣∣∣f(x)− Pm

((x− a)π

b− a

)∣∣∣∣ = |f(x)− P (x)| < ε, ∀x ∈ [a, b],

con P (x) = Pm

((x−a)π

b−a

)∈ Π. ¤

Para el caso que f(x) sea solo Riemann-Stieltjes integrable en [a, b],tambien se tiene la siguiente propiedad, la cual se puede ver enunciadaen [32].

41

Teorema 1.16 Sea f : [a, b] → R acotada, siendo [a, b] un intervalofinito, α(x) no decreciente y supongamos que la integral de Riemann-Stieltjes

∫ ba f(x)dα(x) existe. Entonces, para todo ε > 0, existen polino-

mios ρ(x) y P (x) tales que

Inf f(x) : a ≤ x ≤ b − ε ≤ ρ(x) ≤ f(x) ≤ P (x)

≤ Sup f(x) : a ≤ x ≤ b+ ε

y ademas ∫ b

a[P (x)− ρ(x)] dα(x) < ε.

Demostracion: Vease [14] para el caso α(x) = x y [3] para el casogeneral. ¤

Observacion 3 Un resultado similar tambien se da para funciones pe-riodicas de periodo 2π utilizando polinomios trigonometricos (vease [32,p.11, Theorem 1.5.3])

A continuacion recordamos algunos resultados basicos del AnalisisFuncional que nos permitiran dar una vision unificada de la convergenciaen los procesos de cuadratura.

Ası pues, sean X e Y espacios vectoriales normados y sea H : X → Yun operador lineal. Si existe M > 0 tal que ∀x ∈ X, ‖ Hx ‖≤ M ‖ x ‖,entonces H se dira acotado. Ademas, la menor de las constantes M quesatisfacen la desigualdad anterior se denomina “norma del operador”, yescribimos:

‖ H ‖= mınM : ‖ Hx ‖≤ M ‖ x ‖ , ∀x ∈ X.

Se tiene la siguiente relacion (vease [21]):

‖ H ‖= sup‖x‖≤1 ‖ Hx ‖ .

Ejemplo 1.2 Sea ω(x) una funcion peso y consideremos

Iω(f) =∫ b

af(x)ω(x)dx.

42

Entonces claramente Iω : C[a, b] → R es un operador lineal acotado (enC[a, b] estamos considerando la norma del maximo). Ademas, es facilcomprobar que:

‖ Iω ‖=∫ b

aω(x)dx.

Supongamos ahora que X e Y son espacios de Banach y sea Hn∞n=0

una sucesion de operadores lineales de X en Y. Entonces, Hn∞n=0 sedira convergente sı y solo si ∀x ∈ X existe una sucesion yn = Hnxconvergente en el espacio Y . Si escribimos lımn→∞Hnx = y = Hx,entonces es facil ver que H : X → Y es un operador lineal y acotado.Las condiciones que debe cumplir una sucesion de operadores Hn (n =1, 2, . . .) para que sea convergente quedan recogidas en el siguiente

Teorema 1.17 (Banach-Steinhauss) Sean X e Y espacios de Bana-ch y sea Hn : X → Y, n = 1, 2, . . . , una sucesion de operadores lineales.Entonces, Hn∞n=1 converge sı y solo si:

1. Las normas ‖ Hn ‖ de los operadores tienen una cota en comun,esto es, ‖ Hn ‖≤ M , n = 1, 2, . . ..

2. Hnx es convergente para todo x ∈ E ⊂ X, E denso en X.

Demostracion: Vease [21, Krylov, pp. 59-61]. ¤Por ultimo, enunciaremos un resultado que utilizaremos en el Capıtu-

lo 3, que nos proporciona una relacion entre la asintotica de la raız enesi-ma de polinomios y su norma uniforme. Para ello necesitaremos algunasnociones basicas de la Teorıa del potencial. La referencia basica aquı esel libro de Stahl y Totik (ver [29]).

Sea K un compacto del plano complejo C. Denotamos por M(K)al espacio de todas las medidas finitas de Borel µ soportadas en K.Denotamos ‖µ‖ = µ(K) y definimos

I(µ) =∫ ∫

log1

|z − ζ| dµ(z) dµ(ζ).

El valor I(µ) recibe el nombre de energıa asociada a µ y denotemos porI(K) a:

I(K) = inf‖µ‖=1

I(µ).

43

Definicion 1.2 Se llama capacidad del compacto K al valor

CapK = e−I(K) .

Por otro lado,

Definicion 1.3 Dado µ ∈ M(K), se llama potencial (logarıtmico) deµ a la funcion

p(µ; z) =∫

Klog

1|z − ζ| dµ(ζ) .

El siguiente resultado se conoce como Teorema Fundamental de laTeorıa de Potencial. Pueden ver su demostracion en [28].

Teorema 1.18 Sea K un compacto de C tal que CapK > 0. Entonces,existe una unica medida unitaria µ tal que

I(µ) = I(K) .

Esta medida esta caracterizada por una cualquiera de las siguientes pro-piedades equivalentes:

a. Existe una constante w tal que

p(µ; z) = ≤ w , z ∈ C ,

= w , z ∈ K \ e , Cape = 0 .

b. mınz∈K

p(µ; z) = max‖µ‖=1

mınz∈K

p(µ; z) .

La medida µ recibe el nombre de medida de equilibrio del compactoK y la constante w, constante de equilibrio. Como la medida de equilibriotiene energıa finita y C(e) = 0, entonces µ(e) = 0. Del teorema anteriory de la definicion de la capacidad se deduce que

log1

CapK= I(K) =

∫

Kp(µ; z) dµ(z) = w . (1.70)

Por ultimo, dado un subconjunto compacto K del plano complejo C,denotamos por K a la union de K y de todas las componentes conexasacotadas de su complemento. Luego, Ω = C \ K denota la componenteconexa no acotada del complemento de K. Ası se tiene la siguiente:

44

Definicion 1.4 Se llama funcion de Green de Ω (o tambien de K) consingularidad en el infinito a la funcion

gΩ(z;∞) = w − p(µ; z) ,

donde w y µ son la constante y la medida de equilibrio respectivamente.

Ya estamos en situacion de enunciar el siguiente Teorema, que co-mo hemos dicho, nos va a proporcionar una relacion entre la asintoticade la raız enesima de ciertas sucesiones de polinomios y su norma uni-forme. Esto nos permite controlar el crecimiento de un polinomio en elplano complejo si conocemos su norma uniforme sobre un compacto decapacidad mayor que cero.

Teorema 1.19 Sea K ∈ C, K compacto y sea Pn(z)n una sucesionde polinomios monicos tales que, para cada n, los ceros de Pn(z) se hallanen K. Denotemos por ‖Pn‖ = maxz∈K |Pn(z)| la norma del maximo dePn(z) en K. Sea gK(z,∞) la funcion de Green con polo en ∞ y seaCap(K) la capacidad logarıtmica de K. Entonces:

lımn→∞ |Pn(z)|1/n = expgK(z,∞)Cap(K),

uniformemente en compactos de C \K, sı y solo si, lımn→∞ ‖Pn‖1/n =Cap(K).

1.6. Convergencia de las formulas de cuadratu-ra

Sea ω(x) una funcion peso en un intervalo finito [a, b] de modo que losmomentos ck =

∫ ba xkω(x)dx existan para cualquier entero no negativo

k, y denotemos por In =∑n

j=1 Aj,nf(xj,n) la n-esima formula Gaussianapara ω(x) en [a, b], n = 1, 2, . . .. Nos vamos a plantear en que espacio defunciones F se verifica:

lımn→∞ In(f) = Iω(f) =

∫ b

af(x)ω(x)dx , ∀f ∈ F .

Obviamente, interesa que la clase F sea lo mas amplia y general posible.Ası, en primer lugar, haciendo uso del Teorema de Banach-Steinhauss ydel Teorema de Weierstrass, sigue:

45

Teorema 1.20

lımn→∞ In(f) = Iω(f) , ∀f ∈ C[a, b].

¤Veamos ahora, como se puede extender tal resultado de convergencia

a una clase mas amplia de funciones. A tal efecto, introduzcamos la clase

Rω[a, b] =

f : [a, b] → R : f acotada , f(x)ω(x) Riemann integrable en [a, b] .

Tenemos en primer lugar el siguiente resultado general:

Teorema 1.21 Sea In(f) =∑n

j=1 λj,nf(tj,n) una sucesion de formulasde cuadratura para Iω(f) con coeficientes positivos λj,n, j = 1, . . . , n,n = 1, 2, . . . y verificandose

lımn→∞ In(P ) = Iω(P ) , ∀P ∈ Π.

Entonces,lım

n→∞ In(f) = Iω(f) , ∀f ∈ Rω[a, b].

Demostracion: Sea f ∈ Rω[a, b] y ε > 0. Por el Teorema 1.16 sabemosque existen polinomios P (x) y ρ(x) tales que ρ(x) ≤ f(x) ≤ P (x) y

∫ b

a[P (x)− ρ(x)]ω(x)dx < ε/2.

Puesto que ρ(x) ∈ C[a, b], lımn→∞ In(ρ) = Iω(ρ). Por consiguiente, dadoε′> 0, existe n1 ∈ N tal que para todo n > n1 se cumple |Iω(ρ)−In(ρ)| <

ε′o equivalentemente,

In(ρ)− ε′< Iω(ρ) < In(ρ) + ε

′.

Analogamente, dado ε′′

> 0, existe n2 ∈ N tal que para todo n > n2 secumple

Iω(P )− ε′′

< In(P ) < Iω(P ) + ε′′.

Por otra parte,∫ b

a[P (x)− f(x)]ω(x)dx ≤

∫ b

a[P (x)− ρ(x)]ω(x)dx < ε/2

46

y ∫ b

a[f(x)− ρ(x)]ω(x)dx ≤

∫ b

a[P (x)− ρ(x)]ω(x)dx < ε/2.

Ası, tomando n > maxn1, n2 = n3, resultara∫ ba f(x)ω(x)dx− ε/2 <

∫ ba f(x)ω(x)dx− ∫ b

a [f(x)− ρ(x)]ω(x)dx

=∫ ba ρ(x)ω(x)dx < In(ρ) + ε

′ ≤ In(f) + ε′

≤ In(P ) + ε′< Iω(P ) + ε

′+ ε

′′

= Iω(f) + Iω(P − f) + ε′+ ε

′′

< Iω(f) + ε/2 + ε′+ ε

′′.

En definitiva, dado ε > 0, existe n3 ∈ N tal que ∀n > n3:

−ε/2 + Iω(f) ≤ In(f) + ε′< Iω(f) + ε/2 + ε

′+ ε

′′.

Luego,−ε/2− ε

′+ Iω(f) ≤ In(f) < Iω(f) + ε/2 + ε

′′.

Dado que ε′y ε

′′son arbitrarios, si hacemos ε

′= ε

′′= ε/2, se concluye

la demostracion. ¤

Corolario 1.5 Sea In(f) =∑n

j=1 Aj,nf(xj,n), para n = 1, 2, . . . lasucesion de formulas Gaussianas para Iω(f). Entonces,

lımn→∞ In(f) = Iω(f) , ∀f ∈ Rω[a, b].

Demostracion: Tengase en cuenta el Teorema 1.20 y el hecho de queAj > 0 para j = 1, . . . , n. ¤

Tambien, en relacion a la convergencia de una sucesion general deformulas de cuadratura del tipo In(f) =

∑nj=1 λj,nf(tj,n), cabe senalar

el famoso Teorema de Polya-Steklov ([21]), cuya demostracion es unaconsecuencia del Teorema de Banach-Steinhauss y del Teorema de apro-ximacion de Weierstrass.

Teorema 1.22 La sucesion de formulas de cuadratura In(f)n, conIn(f) =

∑nj=1 λj,nf(tj,n), convergen en la clase C[a, b], sı y solo si:

47

1.lım

n→∞ In(P ) = Iω(P ) , ∀p ∈ Π.

2. ∃ M > 0 tal que:∑n

j=1 |λj,n| ≤ M, n = 1, 2, . . . .

En el caso que el intervalo [a, b] sea no acotado, es preciso imponercondiciones a los momentos ck =

∫ ba xkω(x)dx. Para fijar ideas, supon-

gamos [a, b] = [0,∞) y que el problema de los momentos de Stieltjeses determinado, esto es, dada la sucesion ck∞k=0, existe una unica fun-cion peso ω(x) tal que ck =

∫∞0 xkω(x)dx. En tales condiciones podemos

asegurar que el espacio Π de los polinomios es denso en

Lω2,[0,∞) =

f : [0,∞) → R :

∫ ∞

0|f(x)|2ω(x)dx < +∞

.

Tal resultado nos va a permitir asegurar que la sucesion de polinomiosque interpola a una funcion en los ceros de los polinomios ortogonales aω(x) en [0,∞) converge en norma L2 a dicha funcion f . Esto es, seanxj,nn

j=1 los ceros del n-esimo polinomio ortogonal Qn(x) con respectoa ω(x) en [0,∞) y sea Ln(f ; x) ∈ Πn−1 tal que Ln(f ; xj,n) = f(xj,n)para j = 1, . . . , n. Entonces,

lımn→∞ ‖ f − Ln(f ; ·) ‖2

ω= limn→∞∫ ∞

0[f(x)− Ln(f ; x)]2 ω(x)dx = 0.

Ası pues, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwartz, obtenemos

|Iω(f)− In(f)| =∣∣∫∞

0 [f(x)− Ln(f ; x)]ω(x)dx∣∣

≤ c0

∫∞0 |f(x)− Ln(f ; x)|2 ω(x)dx.

(1.71)

Por otro lado, se sabe que una condicion suficiente para la determinaciondel problema de los momentos de Stieltjes es la llamada “condicion deCarleman” (vease [1]):

∞∑

n=1

12n√

cn= +∞. (1.72)

Ası, de (1.71) y (1.72) concluimos:

48

Teorema 1.23 Sea ω(x) una funcion peso en [0,∞) tal que sus mo-mentos ck =

∫∞0 xkω(x)dx verifican la condicion (1.72). Entonces,

lımn→∞ In(f) = Iω(f) , ∀f ∈ Lω

2,[0,∞)

siendo In(f) la sucesion de formulas Gaussianas para ω(x). ¤

Ejemplo 1.3 Tomemos la funcion peso de Laguerre de orden cero, estoes, ω(x) = e−x, x ∈ [0,∞). Se tiene:

ck =∫ ∞

0xke−xdx = Γ(k + 1) = k!.

Ası pues, 12k√

ck= 1

2k√k!

. Haciendo uso de la formula de Stirling, k! ≈√2πk[k/2]k, es facil comprobar que la serie de termino general 1

2k√k!

tiene el mismo caracter que la del termino general 1√k

que es divergente.Por consiguiente se cumple (1.72) y se concluye para toda funcion f :[0,∞] → R tal que

∫∞0 |f(x)|2e−xdx < +∞ que

lımn→∞ In(f) =

∫ ∞

0f(x)e−xdx,

siendo In(f) la sucesion de formulas Gauss-Laguerre de orden cero.

Cuando estamos considerando integrandos f(x) mas generales pode-mos usar el resultado clasico de Uspensky (vease [33] ) que nos asegurael siguiente

Teorema 1.24 Sea ω(x) una funcion peso en [0,∞) tal que los mo-mentos ck =

∫∞0 xkω(x)dx verifican la condicion

cm

(2m + 1)!< CR2m , m = 1, 2, . . . ,

siendo C y R constantes positivas. Entonces lımn→∞ In(f) = Iω(f), paracualquier funcion f(x) definida en [0,∞) tal que f(x)ω(x) sea integrableen [0,∞). Aquı In(f) con n = 1, 2, . . . sigue denotando la sucesion deformulas Gaussianas para ω(x) en [0,∞).

49

En el resto de la seccion supondremos que [a, b] es finito, el cualtomaremos como el intervalo [−1, 1] y f una funcion analıtica en unabierto U ⊃ [−1, 1]. Nos vamos a ocupar de estudiar la velocidad deconvergencia de la sucesion In(f) de formulas Gaussianas con respectoa ω(x), esto es,

limsupn→∞ |Iω(f)− In(f)|1/n .

Con este proposito conviene introducir la llamada “Transformada deCauchy” de una funcion ω(x), dada por

Fω(z) =∫ 1

−1

ω(x)dx

z − x, z ∈ C \ [−1, 1]. (1.73)

Ası, para todo x ∈ [−1, 1] y z ∈ C con |z| > 1, se tiene:

1z − x

=1

z(1− x

z

) =1z

∞∑

k=0

xk

zk.

Como∣∣xz

∣∣ < 1, la serie anterior converge uniformemente en la variablex ∈ [−1, 1] siempre que |z| > 1. Por consiguiente,

Fω(z) =∫ 1

−1

ω(x)dx

z − x=

∞∑

k=1

ck−1z−k = L∞(z) (1.74)

donde como siempre, ck =∫ 1−1 xkω(x)dx para k = 0, 1, . . . y siendo la

convergencia de la serie L∞(z) uniforme a Fω(z) en conjuntos compactosdel exterior del cırculo unidad E = z ∈ C : |z| > 1. Sea ahora Γ lafrontera del abierto U , Γ = ∂U . Entonces, por el Teorema de Cauchy,para todo z0 ∈ U podemos escribir

f(z0) =1

2πi

∫

Γ

f(x)z − z0

dz.

Por tanto:

Iω(f) =∫ 1

−1f(x)ω(x)dx =

∫ 1

−1

[1

2πi

∫

Γ

f(z)z − x

dz

]ω(x)dx

y utilizando el Teorema de Fubini:

Iω(f) =1

2πi

∫

Γ

[∫ 1

−1

ω(x)dx

z − xdx

]f(z)dz =

12πi

∫

ΓFω(z)f(z)dz. (1.75)

50

Por otro lado, sea In(f) =∑n

j=1 Ajf(xj) la n-esima formula de cuadra-tura Gaussiana; de nuevo podemos escribir:

In(f) =∑n

j=1 Aj

[1

2πi

∫Γ

f(z)z−xj

dz]

=

= 12πi

∫Γ

[∑nj=1

Aj

z−xj

]f(z)dz = 1

2πi

∫Γ Fn(z)f(z)dz

(1.76)

siendo Fn(z) =∑n

j=1Aj

z−xj. Dado que xjn

j=1 son los ceros de Qn(x),polinomio ortogonal monico de grado n correspondiente a ω(x), podemosescribir:

Fn(z) =Pn−1(z)Qn(z)

, Pn−1 ∈ Πn−1.

Ası pues, Fn(z) es una funcion racional de grado n − 1 a lo sumo en elnumerador y grado exacto n en el denominador con polos simples en elintervalo [−1, 1]. Por consiguiente, para todo z tal que |z| > 1 se tiene:

Fn(z) =∞∑

k=1

dk−1

zk

siendo facil comprobar que dj = cj =∫ 1−1 xjω(x)dx, j = 0, 1, . . . , 2n− 1.

Lo anterior se suele expresar como:

L∞(z)− Fn(z) = O(

1z2n+1

)(z →∞) (1.77)

y diremos que la funcion racional Fn(z) representa el [n− 1/n] aproxi-mante de Pade (en infinito) a la serie L0(z) o a Fω(z), escribiendo

Fn(z) =Pn−1(z)Qn(z)

= [n− 1/n]L0(z) = [n− 1/n]Fω

(z). (1.78)

Por consiguiente, mediante (1.75), (1.76), (1.77) y (1.78), deducimos lasiguiente representacion del error en la formula Gaussiana:

Teorema 1.25 Sea ω(x) una funcion peso en [−1, 1] siendo Fω(z) sucorrespondiente Transformada de Cauchy y sea Fn(z) el [n− 1/n] apro-ximante de Pade en ∞ a Fω(z). Supongamos f(z) una funcion analıticaen un dominio U ⊃ [−1, 1] y sea Γ su frontera. Entonces

Rn(f) = Iω(f)− In(f) =1

2πi

∫

Γ[Fω(z)− Fn(z)] f(z)dz (1.79)

siendo In(f) la n-esima formula Gaussiana correspondiente a ω(x). ¤

51

Claramente, por (1.79) vemos que el error de la formula Gaussianaesta basicamente controlado por el error del [n− 1/n] aproximante dePade en ∞ a Fω(z). Interesa pues, dar estimaciones de dicho error,En(z) = Fω(z)− Fn(z), z 6∈ [−1, 1]. En primer lugar se tiene:

Lema 1.5 Para todo z 6∈ [−1, 1],

Fω(z)− [n− 1/n]Fω(z) =

1Qn(z)

∫ 1

−1

Qn(x)z − x

ω(x)dx, (1.80)

con Qn(x) el polinomio ortogonal de grado n para ω(x).

Demostracion: Fn(z) = [n− 1/n]Fω(z) = Pn−1(z)

Qn(z) =∑n

j=1Aj

z−xj, sien-

do xjnj=1 los ceros de Qn(x) y Ajn

j=1 los pesos de la n-esima formulaGaussiana. Por consiguiente, si z ∈ C, z 6∈ [−1, 1] es un parametro,podemos escribir:

Fn(z) = In

(1

z − x

)= Iω (Hn(z, x))

donde Hn(z, x) es el polinomio de grado n − 1 que interpola a 1z−x (x

variable, z un parametro) en los ceros xjnj=1 de Qn(x). Ahora bien, se

comprueba facilmente que:

Hn(z, x) =1

z − x

(1− Qn(x)

Qn(z)

).

Por consiguiente,

Fn(z) =∫ 1

−1

(1− Qn(x)

Qn(z)

)ω(x)z − x

dx , z 6∈ [−1, 1]. (1.81)

La demostracion se sigue de la definicion (1.73) y de (1.81). ¤Ahora bien, dado que Qn(z) tiene grado exacto n, 1

Qn(z) = O (1zn

)y

∫ 1

−1

Qn(x)z − x

ω(x)dx = O(

1z

).

Por tanto,

Fω(z)− [n− 1/n]Fω(z) = O

(1

zn+1

),

no quedando claro de (1.81) que pueda concluirse O (1

z2n+1

). Esto ultimo

se deduce de la siguiente representacion alternativa del error:

52

Teorema 1.26 Para todo z 6∈ [−1, 1],

Fω(z)− [n− 1/n]Fω(z) =

1Q2

n(z)

∫ 1

−1

Q2n(x)

z − xω(x)dx.

Demostracion: Por ortogonalidad se verifica:∫ 1

−1Qn(x)p(x)ω(x)dx = 0 , ∀p ∈ Πn−1.

Por otro lado, la funcion Qn(z)−Qn(x)z−x es un polinomio de grado n − 1,

tanto en la variable x como en la variable z. Si tomamos z 6∈ [−1, 1]como un parametro, resultara:

∫ 1

−1Qn(x)

[Qn(z)−Qn(x)

z − x

]ω(x)dx = 0

lo cual implica:

Qn(z)∫ 1

−1

Qn(x)z − x

ω(x)dx =∫ 1

−1

Q2n(x)

z − xω(x)dx

o lo que es lo mismo,∫ 1

−1

Qn(x)z − x

ω(x)dx =1

Qn(z)

∫ 1

−1

Q2n(x)

z − xω(x)dx.

De aquı junto con (1.80) se concluye la demostracion. ¤En lo que sigue, utilizaremos la notacion usual de la norma uniforme

o del maximo. Ası , si K es un compacto de C y f continua sobreK, ‖ f ‖K= supz∈K |f(z)|. Entonces, se tiene el siguiente resultado deconvergencia:

Teorema 1.27 Sea Fω(z) la Transformada de Cauchy de ω(x), fun-cion peso sobre [−1, 1] y sea Fn(z)∞n=1 la sucesion de Aproximantesde Pade [n− 1/n] en ∞ a Fω(z). Entonces, si K es un compacto enC\[−1, 1] se verifica

lımn→∞ ‖ Fω − Fn ‖1/n

K ≤‖ ϕ(z) ‖2K< 1

siendo ϕ(z) = 1z+√

z2−1= 1

ψ(z) con ψ(z) = z+√

z2 − 1 la transformacionconforme que aplica C\[−1, 1] en el exterior del cırculo unidad (|z| > 1)conservando el punto del infinito (ψ(∞) = ∞).

53

Demostracion: Sea K ⊂ C\[−1, 1] y sea z ∈ K. Entonces, por elTeorema 1.26, z 6∈ [−1, 1],

|Fω(z)− Fn(z)| ≤ 1|Qn(z)|2

∫ 1

−1

|Qn(x)|2|z − x| ω(x)dx.

Por otro lado, para todo z ∈ K y x ∈ [−1, 1], |z−x| ≥ dist (K, [−1, 1]) =α > 0. Luego,

|Fω(z)− Fn(z)| ≤‖ Qn ‖2

[−1,1]

|Qn(z)|2c0

2,

siendo c0 =∫ 1−1 ω(x)dx. Por consiguiente,

lım supn→∞ |Fω(z)− Fn(z)|1/n ≤ lım supn→∞

[‖Qn‖2[−1,1]

|Qn(z)|2

]1/n

≤hlım supn→∞‖Qn‖1/n

[−1,1]

i2

[lım infn→∞ |Qn(z)|1/n]2.

Ahora bien, por el Teorema 1.9 se sigue

lım supn→∞

|Fω(z)− Fn(z)|1/n ≤∣∣∣∣

1z +

√z2 − 1

∣∣∣∣2

= |ϕ(z)|2 ≤‖ ϕ ‖2K ,

concluyendo la demostracion. ¤

Teorema 1.28 Sea f analıtica en un entorno abierto U ⊂ [−1, 1] y seaIn(f)∞n=1 la sucesion de formulas Gaussianas para una funcion pesoω(x) en [−1, 1]. Entonces:

lım supn→∞

|Iω(f)− In(f)|1/n ≤ γ2(f) < 1

donde γ(f) =‖ ϕ ‖Γ, siendo ϕ(z) = z −√z2 − 1 y Γ la frontera de U .

Demostracion: Utilizando la formula (1.79) del Teorema 1.25, dedu-cimos:

|Iω(f)− In(f)| ≤ 12πi

∫

Γ[Fω(z)− Fn(z)] |f(z)||dz|.

54

Si denotamos por L(Γ) la longitud de la curva Γ, entonces

|Iω(f)− In(f)| ≤ 12πi

‖ f ‖Γ L(Γ) ‖ Fω − Fn ‖Γ .

Ası, por el Teorema (1.27) se sigue la demostracion. ¤El parametro v = 1

γ2(f)> 1 nos da una estimacion de la velocidad

de convergencia. Veamos como calcularlo. En efecto:

γ(f) =‖ ϕ ‖Γ= supz∈Γ

∣∣∣z −√

z2 − 1∣∣∣

siendo Γ la frontera de U . Consideremos ahora la transformacion ω =ψ(z) = z +

√z2 − 1 sı y solo si z = 1

2

(ω + 1

ω

), de modo que ω ∈ T =

w ∈ C : |w| = 1 sı y solo si z ∈ [−1, 1]. Por tanto, |ω| = |ψ(z)| > 1,para todo z 6∈ [−1, 1]. Consideremos ρ > 1 y determinemos el lugargeometrico de los puntos del plano z tales que |z +

√z2 − 1| = ρ sı y

solo si |ω| = ρ. Ahora bien, |ω| = ρ implica ω = ρeiθ y 1ω = 1

ρe−iθ, luego

z = x + iy =12

[ρeiθ +

1ρe−iθ

].

Por tanto,

x =12

(ρ +

1ρ

)cos θ , y =

12

(ρ− 1

ρ

)senθ , θ ∈ [0, 2π],

que como es sabido, representan las ecuaciones parametricas de unaelipse centrada en el origen y semieje real a = 1

2

(ρ + 1

ρ

)y semieje

imaginario b = 12

(ρ− 1

ρ

). Ademas, 2a + 2b = 2ρ y c2 = a2 − b2 =

14

(ρ2 + ρ−2 + 2

) − 14

(ρ2 + ρ−2 − 2

)= 1 implicando que c = ±1. Por

consiguiente, dado ρ > 1, el conjunto E(ρ) = z ∈ C : |z +√

z2 − 1| =ρ representa una elipse centrada en el origen con focos en ±1 y dondela suma de los ejes real e imaginarios es 2ρ. Ademas, si ρ → 1+, b → 0y a → 1. Esto quiere decir que tomando ρ proximo a uno, la elipseE(ρ) ⊂ U . Ası pues, tomando Γ = E(ρ), deducimos:

γ(f) =‖ ϕ ‖E(ρ)= supz∈E(ρ)

∣∣∣z −√

z2 − 1∣∣∣

= supz∈E(ρ)1

|z+√

z2−1| = 1ρ .

55

Por consiguiente, una estimacion de la velocidad de convergencia sera V =1

γ2(f)= ρ2. Por ejemplo, tomemos la funcion f(x) = ex

(x−3)(x2+1), cuyas

singularidades polares estan localizadas en x = 3 y x = ±i. Por tanto,podemos tomar una elipse x2

a2 + y2

b2= 1 con a < 3 y b < 1, esto es,

ρ + 1ρ < 6 y ρ− 1

ρ < 2. Ası podemos tomar ρ = 2. Por consiguiente,

lımn→∞ |Iω(f)− In(f)|1/n ≤ 1

4

y una estimacion de la velocidad de convergencia serıa: V = 4.

56

Capıtulo 2

Polinomios ortogonalessobre la circunferenciaunidad

2.1. Integracion aproximada de funciones pe-riodicas

A lo largo del Capıtulo 1, hemos visto el papel que juegan los po-linomios ortogonales cuando queremos aproximar una integral del tipoIσ(f) =

∫ ba f(x)σ(x)dx, (−∞ ≤ a < b ≤ ∞) y siendo σ(x) una funcion

peso, mediante una formula de cuadratura In(f) =∑n

j=1 Ajf(xj).En lo que sigue nos vamos a seguir ocupando del calculo aproximado

de integrales pero donde el integrando ahora es una funcion periodicade periodo 2π, esto es, integrales de la forma:

Iω(f) =∫ π

−πf(θ)ω(θ)dθ, (2.1)

siendo f periodica y ω(θ) una funcion peso, de modo que fω sea inte-grable en [−π, π]. Obviamente, podrıamos intentar aproximar (2.1) poruna formula de cuadratura Gaussiana del tipo estudiado en el Capıtu-lo 1. Nos obstante, la propia naturaleza del integrando en (2.1) por unlado y el significado de las cuadraturas Gaussianas por otro, no pareceaconsejable usar estas ultimas.

57

En efecto, tengase en cuenta que si In(f) representa la n−esimaformula Gaussiana respecto a ω(θ), entonces In(f) = Iω(Pn(f ; ·)), sien-do Pn(f ; θ) el polinomio (algebraico) de grado a lo sumo n−1 que inter-pola a f en los n ceros θ1, θ2, . . . , θn del n−esimo polinomio ortogonalrespecto a ω(θ). En definitiva, para aproximar (2.1) reemplazamos f(θ)por un polinomio algebraico que aproxima a f en un cierto sentido (in-terpolacion). Tal fenomeno se puede ilustrar con algunos experimentossencillos, tomando por ejemplo ω(θ) = 1, ∀θ ∈ [−π, π] y comparando losresultados que ofrecen las formulas de “Gauss- Legendre” en [−π, π] conlos que ofrece la “Regla Trapezoidal”. Tomando en cuenta la propiedadfundamental que toda funcion continua y periodica tambien se puedeaproximar uniformemente por polinomios trigonometricos, parece masnatural utilizar tales polinomios en lugar de los polinomios algebraicos.A tal efecto, recordemos que un polinomio trigonometrico de grado mes una funcion de la forma

Tm(θ) = a0 +m∑

k=1

(ak cos kθ + bksenkθ) , ao, ak, bk ∈ R.

Al propio tiempo diremos que Tm(θ) tiene “grado exacto” m si |am|+|bm| > 0.

A modo de motivacion, vamos a considerar una integral del tipo (2.1)con funcion peso ω(θ) = 1, ∀θ ∈ [−π, π], es decir

I(f) =∫ π

−πf(θ)dθ, (2.2)

la cual estimamos por una formula de cuadratura

In(f) =n∑

j=1

λjf(θj), θi 6= θj , ∀i 6= j, θj ∈ [−π, π]. (2.3)

Ahora los “nodos” θj y los “pesos” λj se van a determinar imponiendoque In(f) “integre exactamente” polinomios trigonometricos del mayorgrado posible, esto es, I(T ) = In(T ), T polinomio trigonometrico. Ental sentido, diremos que que la formula (2.3) tiene “grado de precisiontrigonometrica” m, si es exacta para cualquier polinomio trigonometricode grado m, pero existe un polinomio de grado m + 1 para el que no loes.

58

Es facil verificar que no importa como tomemos los nodos θj y lospesos λj en (2.3), que dicha formula no puede tener grado de preci-sion trigonometrica igual a n. Para ello, basta considerar la funcionTn(θ) =

∏nk=1 sen2

(θ−θk

2

)y comprobar, por induccion, que se trata de

un polinomio trigonometrico de grado exacto n. Para tal polinomio, secumple

I(Tn) =∫ π

−πTn(θ)dθ > 0, e In(Tn) = 0,

ya que, claramente, Tn(θk) = 0, ∀k = 1, . . . , n.Vemos pues que el maximo grado de precision trigonometrica alcan-

zable es n − 1 y enseguida nos preguntamos: ¿Se podra elegir adecua-damente los nodos θj y los pesos λj en (2.3) para alcanzar dicho gradomaximo? Fijado n, ¿sera unica la formula de cuadratura.

Vamos a responder a tales interrogantes comprobando como el maxi-mo grado de precision n−1 se alcanza con nodos igualmente espaciadosy con los pesos todos iguales, esto es,

λj =2π

n, j = 1, . . . , n. (2.4)

En efecto, consideremos cualquier conjunto de nodos igualmente es-paciados sobre el eje real con amplitud h = 2π

n . Sea α el nodo de talconjunto mas proximo a −π por la derecha o coincidiendo con −π. Cla-ramente, los nodos θj = α + jh, (j = 0, . . . , n − 1) se encuentran en elintervalo [−π, π]. Tomando tales puntos como nodos, definiremos

In(f) =2π

n

n∑

j=1

f

(α + (j − 1)

2π

n

)(2.5)

y comprobamos que es exacta para todo polinomio trigonometrico degrado a lo sumo n − 1. Ası pues, hemos de verificar las siguientes trescondiciones

In(1) = I(1) =∫ π

−πdθ (2.6)

In(cos jθ) = I(cos jθ) =∫ π

−πcos jθdθ, j = 1, . . . , n− 1. (2.7)

59

In(cos jθ) = I(cos jθ) =∫ π

−πcos jθdθ, j = 1, . . . , n− 1. (2.8)

La condicion (2.6) es evidentemente cierta en virtud de como se hanelegido los pesos. Para justificar (2.7) y (2.8), haremos uso de la formulade Euler eijθ = cos jθ + isenjθ, por lo que sera suficiente probar que

In(eijθ) = I(eijθ) =∫ π

−πeijθdθ, j = 1, . . . , n− 1. (2.9)

Ahora bien, para j = 1, . . . , n− 1,

I(eijθ) =∫ π

−πeijθdθ =

1ij

(eijπ − e−ijπ

)= 0.

Por otro lado,

In(eijθ) = 2πn

∑nk=1 eijθk = 2π

n

∑nk=1 eij(α+(k−1) 2π

n )

= 2πn eijα

∑nk=1 eij(k−1)h = 2π

n eijα eij2π−1eijπ−1

= 0.

De este resultado, valido para la funcion peso ω(θ) = 1, se puedendeducir varias conclusiones:

1. Dado que los nodos dependen de un parametro arbitrario α, lasformulas con maximo grado de precision (algebraica) no son unicas.Es mas, tenemos una familia “uniparametrica” de formulas. Estoparece logico pues In(f) depende de 2n parametros y logramos lamaxima “exactitud” en el espacio de los polinomios trigonometri-cos de grado a lo sumo n− 1, cuya dimension es 2n− 1.

2. Sea τ un complejo de modulo unidad, esto es, τ = eiβ, β ∈ R yconsideremos la ecuacion:

zn − τ = 0, (2.10)

cuyas raıces son zk = ei

β+2(k−1)πn

, k = 1, . . . , n. Ası pues:

θk = α + (k − 1)2π

n, k = 1, . . . , n y α = nβ.

60

Es decir, los nodos de las formulas con maximo grado de perci-sion son los argumentos de las raıces de la ecuacion (2.10), todassituadas sobre la circunferencia unidad.

3. Supongamos que I(f) =∫ π−π f(θ)dθ se aproxima por la regla Tra-

pezoidal Tn(f) con h = b−an = 2π

n , entonces resulta:

Tn(f) = 2πn

(f(−π)

2 + f(−π + h) + f(−π + 2h) + . . . +

+f(−π + (n− 1)h) + f(π)2

).

Dado que f es periodica de periodo 2π, se tiene que f(−π) = f(π)y por tanto:

Tn(f) =2π

n

n∑

j=1

f (α + (j − 1)h) = In(f), con α = −π.

Como veremos en el Capıtulo 3, esta relacion nos va a permitir jus-tificar los “buenos” resultados numericos que proporciona la ReglaTrapezoidal frente a la Gaussiana en la integracion de funcionesperiodicas..

4. Para n = 0, 1, . . . definamos ρn(z) = zn y el producto interior:

〈f, g〉 =∫ π

−πf

(eiθ

)g (eiθ)dθ,

en la clase de las funciones definidas e integrables sobre la circun-ferencia unidad. Es facil justificar que:

〈ρn, ρm〉 = knδn,m, kn > 0,

y decimos que ρn∞n=0 representa una sucesion de polinomios or-togonales con respecto a la funcion peso ω(θ) = 1, ∀θ ∈ [−π, π].

Si introducimos los polinomios recıprocos ρ∗n(z) = znρn

(1z

), la ecua-

cion (2.10), se puede escribir como:

Bn(z, τ) = ρn(z) + τρ∗n(z), (|τ | = 1).

61

Los polinomios Bn(z, τ) van a jugar un papel fundamental a lo largo deCapıtulo 3.

A la vista de tales conclusiones, cabe preguntarse: ¿Se puede hacerun desarrollo analogo cuando en lugar de tener funcion peso ω(θ) =1, ∀θ ∈ [−π, π], tenemos una funcion peso arbitraria? El responder aesta cuestion es basicamente el objetivo del curso. Para ello, tendremosque utilizar la teorıa de los polinomios ortogonales sobre la circunferen-cia unidad, tambien llamados polinomios de Szego, la cual desarrolla-remos en este Capıtulo, dedicando el Capıtulo 3 a la construccion delas formulas de cuadratura para integrandos periodicos y funciones pesoarbitrarias. A tal efecto, comenzaremos considerando sucesiones de po-linomios ortogonales respecto a un producto interior generado por unamedida arbitraria µ con soporte en el plano complejo.

2.2. Polinomios ortogonales en el plano comple-jo

Sea µ una medida positiva de Borel y consideremos el espacio deHilbert

L2(µ) = f : C→ C :∫|f(z)|2dµ(z) < ∞.

Denotemos por supp(µ) al soporte de la medida, es decir

supp(µ) = z ∈ C : µ (Bz,ε) > 0, ∀ε > 0, (2.11)

donde Bz,ε = w ∈ C : |w − z| < ε y supongamos que supp(µ) escompacto y contiene infinitos puntos.

La medida µ genera el siguiente producto interior definido en L2(µ) :

〈f, g〉 =∫

f(z)g(z)dµ(z), f, g ∈ L2(ν).

Como supp(µ) es infinito, el sistema 1, z, . . . , zn es linealmente in-dependiente en L2(µ) y, utilizando el proceso de ortogonlaizacion deGram- Schmidt, podemos construir un sistema ortogonal de polinomiosψ0(z), ψ1(z), . . . , ψn verificando:

〈ψn, ψm〉 =∫

ψn(z)ψm(z)dν(z) = 0, m 6= n,

62

Si ademas,

‖ψn‖2 = 〈ψn, ψn〉 =∫|ψn(z)|2dµ(z) = 1,

entonces diremos que ψ0(z), ψ1(z), . . . , ψn es un sistema ortonormalde funciones.

Denotemos por ϕn al n−esimo polinomio ortonormal con respecto aµ, el cual quedaran unıvocamente determinado, salvo factor multiplica-tivo de modulo unidad. Estas funciones ortonormales se pueden expresaren terminos de la matriz de Gram:

Gn =

〈1, 1〉 〈z, 1〉 . . . 〈zn, 1〉〈1, z〉 〈z, z〉 . . . 〈zn, z〉

...... . . .

...

〈1, zn〉 〈z, zn〉 . . . 〈zn, zn〉

Por ello, conviene observar que, al tratarse de un producto hermitia-no, 〈f, g〉 = 〈g, f〉. Por consiguiente, la matriz Gn es siempre Hermitianay definida positiva. Como consecuencia se tiene que

∆n = det(Gn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

〈1, 1〉 〈z, 1〉 . . . 〈zn, 1〉〈1, z〉 〈z, z〉 . . . 〈zn, z〉

...... . . .

...

〈1, zn〉 〈z, zn〉 . . . 〈zn, zn〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

> 0. (2.12)

Teorema 2.1 Las funciones ϕn ortonormales se pueden expresar en laforma:

ϕn(z) =1√

∆n∆n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

〈1, 1〉 〈z, 1〉 . . . 〈zn, 1〉〈1, z〉 〈z, z〉 . . . 〈zn, z〉

...... . . .

...

〈1, zn−1〉 〈z, zn−1〉 . . . 〈zn, zn−1〉1 z . . . zn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(2.13)

63

Demostracion: Bastarıa probar las condiciones de ortogonalidad:

〈ϕn, zk〉 = 0, k = 0, . . . , n− 1.

Por formula (2.13), se tiene:

〈ϕn(z), zk〉 =1√

∆n∆n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

〈1, 1〉 〈z, 1〉 . . . 〈zn, 1〉〈1, z〉 〈z, z〉 . . . 〈zn, z〉

...... . . .

...

〈1, zn−1〉 〈z, zn−1〉 . . . 〈zn, zn−1〉〈1, zk〉 〈z, zk〉 . . . 〈zn, zk〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

y cuando k = 0, . . . , n− 1, el determinante es cero.Solo resta probar la ortonormalidad, es decir: 〈ϕn, ϕn〉 = 1. Observar

que

〈ϕn(z), zn〉 =1√

∆n∆n−1∆n =

√∆n

∆n−1.

De (2.13) vemos que la funcion ϕn se puede expresar como combinacionlineal de 1, z, . . . , zn en la forma:

ϕn(z) =√

∆n−1

∆nzn + γn−1, γn−1 ∈ Πn−1,

y por consiguiente:

〈ϕn, ϕn〉 =√

∆n−1

∆n〈ϕn(z), zn〉 = 1.

¤Por tanto, el sistema ortonormal de polinomios ϕ0, . . . , ϕn es unico

si imponemos que el coeficiente director κn de ϕn sea positivo, es decir,

ϕn(z) = κnzn + . . . + ϕn(0), κn > 0.

El lo que sigue, el enesimo polinomio ortogonal monico sera denotadopor ρn(z), esto es, ρn(z) = ϕn(z)

κn.

Con el objetivo de dar un resultado sobre la localizacion de los ce-ros de ϕn, probaremos primero la siguiente propiedad minimal de estospolinomios:

64

Proposicion 2.2.1 El mınimo de ‖qn‖L2(µ) =(|qn(z)|2dµ(z)

)1/2 paratodo qn ∈ Πn monico se alcanza cuando qn(z) = ρn(z) y el mınimo esigual a 1

kn.

Demostracion: Sea qn(z) ∈ Πn monico, entonces podemos escribir

qn(z) = ρn(z) + rn−1(z),

con rn−1 ∈ Πn−1 y, por ortogonalidad, se tiene que:∫ |qn(z)|2dµ(z) =

∫ |ρn(z)|2dµ(z) +∫ |rn−1(z)|2dµ(z)+

+2<(∫

ρn(z)rn−1(z)dµ(z))

=∫ |ρn(z)|2dµ(z) +

∫ |rn−1(z)|2dµ(z).

Notar que la expresion∫|qn(z)|2dµ(z) =

∫|ρn(z)|2dµ(z) +

∫|rn−1(z)|2dµ(z),

es mınima cuando∫ |rn−1(z)|2dµ(z) = 0, es decir, rn−1(z) = 0, ∀z, ya

que, por hipotesis, la medida µ tiene infinitos puntos en su soporte y rn−1

tiene n− 1 ceros. Por tanto, el mınimo se alcanza para qn(z) = ρn(z) yademas, por ser ϕn ortonormal, se tiene que ‖qn‖ = 1

kn. ¤

Definicion 2.1 Sea A ⊂ C, la envolvente convexa C0(A) de A se definecomo:

C0(A) =⋂

A ⊂ G ⊂ CG convexo

G

Ahora ya estamos en posicion de demostrar el siguiente

Teorema 2.2 Sea ρn(z) el n−esimo polinomio ortogonal monico conrespecto a µ. Entonces, todos los ceros de ρn estan en C0(supp(µ)).

Demostracion: Supongamos, por reduccion al absurdo, que ∃z0 6∈C0(supp(µ)) : ρn(z0) = 0. Entonces ρn se puede expresar en la forma:ρn(z) = (z − z0)q(z), donde q ∈ Πn−1. Como z0 6∈ C0(supp(µ)), existeuna recta L que separa z0 de supp(µ). Sea z0 la proyeccion ortogonal

65

de z0 sobre la recta L. Entonces, |z − z0| < |z − z0|, ∀z ∈ supp(µ). Sidenotamos por Zq al conjunto de ceros de q, se tiene que:

|(z − z0)q(z)| < |(z − z0)q(z)| = |ρn|, ∀z ∈ supp(µ) \ Zq.

Como supp(µ) es infinito,∫|(z − z0)q(z)|2dµ(z) <

∫|ρn|2dµ(z),

lo cual contradice el Teorema 2.2.1. ¤

Teorema 2.3 Si C0(supp(µ)) no es un segmento, entonces los ceros deρn estan en el interior de C0(supp(µ)).

Demostracion: Denotemos por Γ a la frontera de C0(supp(µ)) y su-pongamos que ∃z0 ∈ Γ : ρn(z0) = 0. Sin perdida de generalidad, por ro-tacion y traslacion, podemos suponer que z0 = x0 ∈ R y que C0(supp(µ))esta a la izquierda de la recta L vertical que pasa por x0. Escribamosρn(z) = (z − x0)q(z), con q ∈ Πn−1. Entonces si

f(x) =∫|(z−x)q(z)|2dµ(z) =

∫ (|z|2 + x2 − 2x<z) |q(z)|2dµ(z), x ∈ R.

por Teorema 2.2.1, sabemos que en x = x0 se alcanza el mınimo de lafuncion f y por tanto f

′(x0) = 0, es decir,

∫(2x0 − 2<z) |q(z)|2dµ(z) = 0.

Como C0(supp(µ)) esta a la izquierda de la recta L vertical que pasa porx0, se tiene que 2x− 2<z ≥ 0, ∀ z ∈ C0(supp(µ)) y, por tanto,

(2x− 2<z) |q(z)|2 = 0, casi por todo.

Esto implica que solo un numero finito de puntos de supp(µ) estan a laizquierda de la recta L y que ademas deben ser ceros de q. Como porhipotesis C0(supp(µ)) no es un intervalo, podemos encontrar un puntoξ0 ∈ C0(supp(µ))

⋂Γ tal que ξ 6∈ L y q(ξ) = 0 y, utilizando el mismo

argumento anterior, es decir, reemplazando z0 por ξ0, se tiene que larecta L tiene solo un numero finito de puntos de supp(µ) y por tantosupp(µ) es finito, lo cual es una contradiccion. ¤

66

Por otro lado, conviene senalar que las funciones ortogonales se uti-lizan en la resolucion del llamado “ problema de mınimos cuadrados”.A saber: “Dada f ∈ L2(µ), y n ∈ N, encontrar Pn ∈ Πn tal que∫ |f(z)− Pn(z)|2dµ(z) sea mınimo”.

Este problema tiene solucion, es unica y se puede escribir en terminosdel sistema ortonormal ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn de la forma (ver [13]): Pn(z) =∑n

k=0 akϕk(z), donde ak = 〈f, ϕk〉, k = 0, . . . , n son los llamados coefi-cientes de Fourier y a Pn(z) se le denomina suma de Fourier. Ası,

Pn(z) =∑n

k=0〈f, ϕk〉ϕk(z) =∑n

k=0

(∫f(ξ)ϕk(ξ)dµ(ξ)

)ϕk(z)

=∫

Kn(z, ξ)f(ξ)dµ(ξ),

donde Kn(z, ξ) =∑n

k=0 ϕk(z)ϕk(ξ).Observar que si qn ∈ Πn, entonces, su correspondiente suma de Fou-

rier coincide con el propio polinomio y se tiene que:

qn(z) =∫

Kn(z, ξ)qn(ξ)dµ(ξ).

Por esta razon, al nucleo Kn(z, ξ) se le denomina nucleo reproductor yverifica la siguiente

Proposicion 2.2.2 El mınimo de ‖qn‖L2(ν) =∫ (|qn(z)|2dν(z)

)1/2 paratodo qn ∈ Πn con qn(ξ) = 1, se alcanza cuando qn(z) = Kn(z,ξ)

Kn(ξ,ξ) y elmınimo es igual a 1

Kn(ξ,ξ) .

Demostracion: Expresando el polinomio qn en terminos de su sumade Fourier en la base ortonormal ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn, obtenemos

qn(z) =n∑

k=0

akϕk(z)

y, por ortogonalidad, se tiene que:

‖qn‖L2(ν) =∫ |qn(z)|2dν(z) =

∫qn(z)qn(z)dν(z)

=∑n

k=0

∑nj=0 akaj〈ϕk, ϕj〉 =

∑nk=0 |ak|2.

67

Por tanto, la condicion de que qn(ξ) = 1 se traduce en∑n

k=0 akϕk(ξ) = 1.Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

1 =

∣∣∣∣∣n∑

k=0

akϕk(ξ)

∣∣∣∣∣2

≤(

n∑

k=0

|ak|2)(

n∑

k=0

|ϕk(ξ)|2)

,

de forma que se tiene la siguiente desigualdad:

n∑

k=0

|ak|2 ≥ 1∑nk=0 |ϕk(ξ)|2 .

Observar que la igualdad se alcanza cuando ak = Cϕk(ξ), donde C =1Pn

k=0 |ϕk(ξ)|2 . ¤Hasta ahora hemos partido de una medida arbitraria µ con soporte

en el plano complejo. En el resto del capıtulo nos vamos a restringir amedidas soportadas sobre la circunferencia unidad, y dando lugar a losllamados polinomios de Szego o polinomios ortogonales sobre la misma.Por otro lado, cuando el soporte de µ es un intervalo del eje real y lamedida es absolutamente continua, esto es, dµ(x) = ω(x)dx, (ω funcionpeso), la teorıa sobre polinomios ortogonales desarrollada en el Capıtulo1 queda englobada dentro de este marco mas general.

2.3. Polinomios de Szego. Propiedades genera-les

Supongamos ahora que µ es una medida positiva sobre la circunfe-rencia unidad T = z : |z| = 1 y supongamos que dµ(θ) = ω(θ)dθ es laderivada de Radon- Nikodyn de µ con respecto a la medida de Lebesgue.En este caso las entradas de la matriz de Gram vienen dadas por:

〈zn, zm〉 =∫ π

−πe−i(m−n)θω(θ)dθ = µm−n,

donde, para todo k ∈ Z, µk son los llamados momentos trigonometricoscon respecto a ω, es decir,

µk =∫ π

−πe−ikθω(θ)dθ, k ∈ Z. (2.14)

68

En este caso, la matriz de Gram , a la que se le suele denotar por Tn, sepuede expresar como

Tn =

µ0 µ1 . . . µn

µ−1 µ0 . . . µn−1

...... . . .

...

µ−n µ−n+1 . . . µ0

.

A esta matriz Hermitiana con valor constante en cada diagonal, se ledenomina matriz de Toeplitz.

Si ϕn denota el n−esimo polinomio ortonormal con respecto a ω,entonces, por Teorema 2.1, se tiene que

ϕn(z) =1√

∆n∆n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 . . . µn

µ−1 µ0 . . . µn−1

...... . . .

...

µ−n+1 µ−n+2 . . . µ−1

1 z . . . zn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= κnzn+. . . , (2.15)

donde κn =√

∆n−1

∆n.

A ϕn tambien se le denomina: n−esimo polinomio ortonormal deSzego.

Definicion 2.2 Sea ρn(z) el n−esimo polinomio monico de Szego, esdecir, ρn(z) = 1

κnϕn(z). Entonces, el correspondiente polinomio recıpro-

co viene dado por:

ρ∗n(z) = znρn

(1z

). (2.16)

Es facil ver que estos polinomios satisfacen las siguientes condiciones deortogonalidad respecto a ω :

〈ρ∗n(z), zk〉ω = 0, k = 1, . . . , n.

69

De igual forma que se hizo en el Capıtulo 2 para el caso real, noscentraremos ahora en dar propiedades de los polinomios de Szego, re-lativos a la localizacion de ceros, formulas de recurrencia y formula deChristoffel-Darboux.

En cuanto a la localizacion de ceros, bastarıa aplicar directamente elTeorema 2.3, para concluir que,

Teorema 2.4 Para cada n los ceros de ϕn(z) estan en D.

A continuacion daremos algunos resultados relativos al nucleo repro-ductor Kn(z, ξ) =

∑nk=0 ϕk(z)ϕk(z).

Proposicion 2.3.1 Sea ϕn(z)n la sucesion de polinomios ortonorma-les de Szego respecto a ω. Si Kn(z, ξ) =

∑nk=0 ϕk(z)ϕk(z) es el corres-

pondiente nucleo reproductor, entonces:

Kn(z, 0) =n∑

k=0

ϕk(z)ϕk(0) = κnϕ∗n(z), (2.17)

y

Kn(0, 0) =n∑

k=0

|ϕk(0)|2 = κ2n. (2.18)

Demostracion: Si qn ∈ Πn monico, entonces q∗n(z) es un polinomiode grado a lo sumo n con q∗n(0) = 1 y

mınqn ∈ Πn

qn monico

∫ π

−π|qn(z)|2ω(θ)dθ = mın

q∗n ∈ Πn

qn ∗ (0) = 1

∫ π

−π|q∗n(z)|2ω(θ)dθ,

donde z = eiθ. Por tanto, haciendo uso de las Proposiciones 2.2.1 y 2.2.2,se tiene que: κ2

n = Kn(0, 0) y ρ∗n(z) = Kn(z,0)Kn(0,0) . ¤

Como consecuencia de (2.18) se tiene otra forma alternativa de de-mostrar el Teorema 2.4. En efecto, por el Teorema 2.2 sabemos quelos ceros zj,nn

j=1 de ρn(z) estan en el disco unidad cerrado, por tanto|ρn(0)| = ∏n

j=1 |zj,n| ≤ 1. Bastarıa entonces probar que |ρn(0)| < 1. Enefecto, por (2.18) se tiene que:

κ2n − κ2

n−1 = |ϕn(0)|2 = κ2n|ρn(0)|2, (2.19)

70

dividiendo toda la ecuacion por κ2n > 0, obtenemos:

(κn−1

κn

)2

= 1− |ρn(0)|2 > 0. (2.20)

¤Por otro lado, y como consecuencia de (2.17) se puede probar la

siguiente formula de recurrencia para los polinomios de Szego:

Teorema 2.5 Si ϕn(z) es el n−esimo polinomio ortonormal de Szego,entonces

κn−1zϕn−1(z) = κnϕn(z)− ϕn(0)ϕ∗n(z)

κn−1zϕn(z) = κnzϕn−1(z)− ϕn(0)ϕ∗n−1(z)(2.21)

Demostracion: De (2.17) podemos deducir que

κnϕ∗n(z)− κn−1ϕ∗n−1(z) = ϕn(z)ϕn(0).

Entonces,κnϕn(z)− κn−1ϕn−1(z) = ϕ∗n(z)ϕn(0).

Por otro lado, eliminando ϕ∗n(z) de las dos ultimas ecuaciones, se tieneque:

κ2nϕn(z)− κnκn−1zϕn−1(z)− κn−1ϕn(0)ϕ∗n−1(z) = ϕn(z)|ϕn(0)|2.

Teniendo en cuenta (2.19), se concluye la demostracion. ¤Observar que para los polinomios de Szego monicos ρn(z) = ϕn(z)

κn,

las relaciones de recurrencia tienen la forma:

ρ0(z) = ρ∗0(z) = 1, (condicion inicial)ρn(z) = zρn−1(z) + ρn(0)ρ∗n−1(z) n = 1, 2, 3, ...

ρ∗n(z) = ρn(0)zρn−1(z) + ρ∗n−1(z) n = 1, 2, 3, ...

(2.22)

A los numeros ρn(0) n = 1, 2, 3.. se les denomina coeficientes de reflexiono tambien parametros de Shur.

Recıprocamente, se puede probar que si ρnn es una sucesion depolinomios que satisface las relaciones de recurrencia dadas por (2.22),entonces existe una unica medida positiva µ con respecto a la cual dicha

71

sucesion de polinomios es ortogonal. Este resultado se conoce con elnombre de Teorema de Favard ([18]).

Por otro lado, como consecuencia de esta formula de recurrencia,se puede obtener, en el caso de la circunferencia unidad, una expresionsimilar a la formula de Christoffel- Darboux para el caso real. En efecto,se puede probar el siguiente

Teorema 2.6 Si ϕn(z) es el n−esimo polinomio ortonormal de Szego,entonces:

Kn−1(z, ξ) =ϕ∗n(z)ϕ∗n(ξ)− ϕn(z)ϕn(ξ)

1− zξ. (2.23)

Demostracion: Eliminando ϕn(z) de las dos ecuaciones en (2.21), setiene que:

κn−1ϕ∗n(z) = zϕn−1(z)ϕn(0) + κnϕ∗n−1(z). (2.24)

Por un lado, de la segunda ecuacion en (2.21), se tiene que

ϕn(z)ϕn(ξ) = κ−2n−1(κnzϕn−1(z) + ϕn(0)ϕ∗n−1(z))×

×(κnξϕn−1(ξ) + ϕn(0)ϕ∗n−1(ξ))

= κn

κ2n−1

zξϕn−1(z)ϕn−1(ξ)+

+ |ϕn(0)|2κ2

n−1zϕ∗n−1(z)ϕ∗n−1(ξ)+

+κnϕn(0)κ2

n−1zϕn−1(z)ϕn−1(ξ)+

+κnϕn(0)κ2

n−1ξϕ∗n−1(z)ϕ∗n−1(ξ)

72

De manera similar, usando (2.24)

ϕ∗n(z)ϕ∗n(ξ) = κ−2n−1(ϕn(0)zϕn−1(z) + κnϕ∗n−1(z))×

×(ϕn(0)ξϕn−1(ξ) + κnϕ∗n−1(ξ))

= |ϕn(0)|2κ2

n−1zξϕn−1(z)ϕn−1(ξ)+

+ κ2n

κ2n−1

ϕ∗n−1(z)ϕ∗n−1(ξ)+

+κnϕn(0)κ2

n−1ϕn−1(z)ϕn−1(ξ)+

+κnϕn(0)κ2

n−1ϕ∗n−1(z)ϕn−1(ξ).

Restando estas dos ultimas ecuaciones y aplicando (2.19), se tiene que

ϕ∗n(z)ϕ∗n(ξ)− ϕn(z)ϕn(ξ) = ϕ∗n−1(z)ϕ∗n−1(ξ)− zξϕn−1(z)ϕn−1(ξ),

y por tanto,

(1− zξ)ϕn−1(z)ϕn−1(ξ) =(ϕ∗n(z)ϕ∗n(ξ)− ϕn(z)ϕn(ξ)

)−

−(ϕ∗n−1(z)ϕ∗n−1(ξ)− ϕn−1(z)ϕn−1(ξ)

).

Tomando sumatorios a ambos lados de la ecuacion y teniendo en cuentaque en el segundo miembro aparece una suma telescopica, se tiene lademostracion. ¤

Esta formula de Christoffel-Darboux para ξ = z, se reduce a

Kn−1(z, z) =|ϕ∗n(z)|2 − |ϕn(z)|2

1− |z|2 .

Ejercicio: Probar de nuevo, utilizando ahora la formula anterior,que los ceros de ϕn estan en D.

Finalizamos esta seccion con una propiedad asintotica de los polino-mios de Szego que se utilizaran en el siguiente Capıtulo (vease [23]):

Lema 2.1 Sea ϕn(z)n la sucesion de polinomios ortonormales de Szegopara ω(θ) funcion peso en [−1, 1]. Entonces, se verifica:

1. lımn→∞ϕn+1(z)ϕn(z) = z, uniformemente en compactos de T

⋃E = E.

73

2. lımn→∞ϕ∗n(z)ϕn(z) = 0, uniformemente en compactos de E.

3. lımn→∞ δn = lımn→∞ ρn(0) = 0 y lımn→∞kn+1

kn= 1, siendo kn tal

que ϕn(z) = knzn + . . . .

2.4. Algoritmo de Levinson

En general, cabe decir que se conocen pocas medidas que den lu-gar a formulas explıcitas para los correspondientes polinomios de Szego.Ası por ejemplo, para la medida de Lebesgue es facil ver, como se hi-zo en la Seccion 2.1, que el n−esimo polinomio de Szego monico vienedado por ρn(z) = zn. Si ahora consideramos modificaciones raciona-les de la medida de Lebesgue, es decir, ω(θ)dθ = dθ

2π|h(eiθ)|2 donde h

es un polinomio de grado k tal que h(z) =∏k

j=1(z − αj), |αj | 6= 1 yαi 6= αj si i 6= j, el correspondiente polinomio ortogonal vendra dadopor ρn(z) = zn−kh(z), n ≥ k, ([17]). Tambien se ha estudiado el casode modificaciones racionales de una medida dada sobre la circunferenciaunidad, ([16].) Por otro lado, para la familia de funciones peso ω(θ) detipo Jacobi, que viene dada por:

ω(θ) = (1− cos θ)α(1 + cos θ)β|senθ|= (1− cos θ)α+1/2(1 + cos θ)β+1/2,

(2.25)

con α, β > −1, tambien se conocen explıcitamente los polinomios deSzego (ver [15],[24]). En el Capıtulo 4 veremos como se calculan explıci-tamente los polinomios de Szego para algunos de los casos particularesque acabamos de mencionar. En general, dada una medida arbitraria µ,tal y como hemos visto en la seccion anterior, los polinomios de Szegose pueden calcular mediante la formula (2.15) en terminos de los deter-minantes de Toeplitz. Sin embargo, en la practica, esta formula no sesuele utilizar para el computo de los polinomios, sobre todo cuando nes grande. Por lo regular, los polinomios de Szego se calculan haciendouso del llamado algoritmo de Levinson ([4]) que esta basado en las rela-ciones de recurrencia (2.21) que verifican estos polinomios. Recordemosque para los polinomios de Szego monicos, tales formulas de recurrencia

74

vienen dadas por:

ρ0(z) = ρ∗0(z) = 1ρn(z) = zρn−1(z) + δnρ∗n−1(z) n = 1, 2, 3, ...

ρ∗n(z) = δnzρn−1(z) + ρ∗n−1(z) n = 1, 2, 3, ...

(2.26)

donde δn = ρn(0) n = 1, 2, 3.. son los coeficientes de reflexion. Estoscoeficientes se pueden escribir en la forma:

ρn(0) = − (zρn−1(z),1)ω

(ρ∗n−1(z),1)ω= −

Pn−1j=0 r

(n−1)j (zj+1,1)ω

Pn−1j=0 r

(n−1)j (zn−j−1,1)ω

= −Pn−1

j=0 r(n−1)j µ−j−1Pn−1

j=0 r(n−1)j µj+1−n

,

donde ρn−1(z) =∑n−1

j=0 r(n−1)j zj y µj =

∫ π−π e−ijθω(θ)dθ; j ≥ 0. Como

ρ0(z) = ρ∗0(z) = 1, podemos calcular ρ1(0), ρ1(z) y ρ∗1(z) (r(0)0 = r

(1)1 =

1). Alternando estas formulas sucesivamente finalmente podremos cal-cular ρn(0), ρn(z) y ρ∗n(z).

Este algoritmo aparecio en un contexto diferente dentro del campodel procesamiento de senale digitales, mas concretamente, en el “pro-blema del modelado autorregresivo” para una senal finita. En efecto,supongamos que tenemos una muestra finita de longitud N de una senalcompleja s(t) : s(0), s(1), . . . , s(N − 1), con s(0) 6= 0. Tomaremos porconvenio s(t) = 0 para t ≤ −1 y para t ≥ N.

El problema del modelado autorregresivo consiste en encontrar un“filtro autorregresivo” junto con un “impulso de entrada”. Un impulsode entrada es una senal de la forma u(0)δt,0, donde u(0) ∈ C y δt,0 es ladelta de Kronecker. Un filtro autorregresivo de grado n se define comoun esquema computacional recursivo que transforma una sucesion denumeros complejos de entrada u(0), u(1), . . . , en una sucsion de numeroscomplejos de salida v(0), v(1), . . . , de acuerdo con la ley

v(t) +n∑

i=1

an,iv(t− i) = u(t), t = 0, 1, . . . .

El caso mas sencillo serıa suponer que u(t) = 0 para t ≥ 1, porlo que el problema se reduce a determinar u(0) (pulso de entrada) y

75

los coeficientes an,ini=1 del filtro, de forma que se minimice la norma

Euclıdea: En =∑N+n−1

t=0 |en(t)|2 donde

en(t) = s(t) +n∑

i=1

an,is(t− i)− u(0)δt,0.

Mediante calculos elementales, se puede ver que las ecuaciones nor-males de este problema de mınimos cuadrados vienen dadas por:

u(0) = s(0), (2.27)

Tn

1an,1

...an,n

=

σn

0...0

, (2.28)

siendo Tn la matriz de Toeplitz

Tn =

µ0 µ1 . . . µn

µ−1 µ0 . . . µn−1

...... . . .

...

µ−n µ−n+1 . . . µ0

,

cuyos elementos vienen dados por

µk =N−1∑

t=k

s(t)s(t− k). (2.29)

El numero σn es positivo y esta unıvocamente determinado por los datos.Del sistema (2.28), se deduce que el filtro autorregresivo [1, an,1, . . . , an,n]>

es proporcional a la primera columna de la inversa de Tn. Ademas, secumple que el mınimo de la norma Euclıdea viene dado por

En = σn − s2(0). (2.30)

El algoritmo de Levinson es un procedimiento numerico que permiteel calculo de la solucion de sistemas lineales de ecuaciones de la forma

76

(2.27)-(2.28), computando el vector solucion de tal sistema de manerarecursiva considerando subsistemas de Toeplitz de dimension crecienteformados con la sucesion anidada de submatrices (Tk : k = 0, . . . , n)de la matriz Tn. En detalle, el mecanismo es el siguiente: Supongamosque conocemos σk−1, ak−1,1, . . . , ak−1,n para Tk−1. Entonces, podemosescribir:

Tk

1 1 1

ak,1 ak−1,1 ak−1,k−1

......

...

ak,k−1 ak−1,k−1 ak−1,1

ak,k 0 1

=

1 1 1

σk σk−1 −δkσk−1

......

...

0 0 0

0 −δkσk−1 σk−1

,

(2.31)donde δk es un numero complejo definido por

δkσk−1 = −k−1∑

i=0

µk−iak−1,i, (2.32)

con ak−1,0 = 1. De (2.31) y (2.32) se tiene que la solucion relativa a Tk

viene dada por las siguientes ecuaciones:

ak,i = ak−1,i + δkak−1,k−i, i = 1, 2, . . . , k, (2.33)

σk = σk−1(1− |δk|2). (2.34)

El algoritmo de Levinson resulta entonces de aplicar las tres ultimasecuaciones: (2.32), (2.33) y (2.34), recursivamente con valores inicialesa0,0 = 1 y σ0 = µ0.

La relacion de este algoritmo con los polinomios de Szego se establecemediante la ecuacion (2.33). En efecto, sea ak(z) el polinomio construi-do a partir de las cantidades obtenidas mediante las ecuaciones (2.32),(2.33) y (2.34), es decir: ak(z) =

∑ki=0 ak,iz

i, y consideremos su polino-mio recıproco bk(z) = a∗k(z). Se puede demostrar (hagase como ejercicio),que la igualdad (2.33) es equivalente a la relacion de recurrencia

bk(z) = zbk−1(z) + δkb∗k−1(z).

77

Aplicando ahora el Teorema de Favard, se concluye la existencia de unamedida positiva µ respecto a la cual los polinomios monicos bk(z) sonortogonales sobre T.

En la literatura de la teorıa de senales, al polinomio ak(z) se ledenomina “polinomio predictor progresivo” y al polinomio bk(z) se ledenomina “polinomio predictor regresivo”.

Por otro lado, para el caso particular en el que la medida µ ven-ga generada por una funcion peso simetrica, es decir, dµ(θ) = ω(θ)dθtal que verifique ω(−θ) = ω(θ), conviene observar que los momentostrigonometricos µk, ∀k, son reales y vienen dados por:

µk = 2∫ π

−πcos kθω(θ)dθ.

Funciones peso ω simetricas apareceran en el Capıtulo 4, donde aborda-remos una seccion dedicada a la Teorıa de senales digitales y su conexioncon los polinomios de Szego y con las formulas de cuadratura en la cir-cunferencia unidad.

Por otro lado, se pueden contruır funciones peso ω simetricas en[−π, π], a partir de una funcion peso dada σ(θ) en [−1, 1], definiendo ωcomo sigue:

ω(θ) = σ(cos θ)|senθ|.En el Capıtulo 3, veremos el papel que juega la funcion peso ω ası cons-truida, a la hora de establecer conexiones entre el intervalo [−1, 1] yla circunferencia unidad T. Esta conexion se establecera en terminos,tanto de polinomios ortogonales como de formulas de cuadratura, en elintervalo [−1, 1] y la circunferencia unidad, respectivamente.

Por tanto, cuando ω es simetrica, tal y como acabamos de ver, lasucesion de momentos µkk es real y por tanto las matrices de Toeplitzson reales. En este caso, a la hora de computar los correspondientes po-linomios de Szego, conviene, en vez del algoritmo de Levinson, utilizar elllamado algoritmo de Levinson-Split, pues con el se reduce notablementeel numero de operaciones: El numero de multiplicaciones por escalares sereduce a la mitad (aunque el numero de adiciones es aproximadamenteel mismo).

Sin entrar en detalles, en esencia, el algoritmo de Levinson-Splitno computa directamente los polinomios de Szego ρn(z)n sino cier-tas combinaciones de ρn(z) y ρ∗n(z), a saber:

78

1. O bien: ρn(z) + ρ∗n(z),

2. O bien: ρn(z)− ρ∗n(z),

dando lugar a las versiones simetrica o antisimetrica, respectivamente,de dicho algoritmo.

Estas dos combinaciones son casos particulares de los llamados poli-nomios para-ortogonales que, como hemos dicho anteriormente, veremosen el siguiente Capıtulo.

2.5. Polinomios de Szego asociados de segundaespecie

Los polinomios de Szego asociados de segunda especie, a los que de-notaremos por Ωn(z), se definen en terminos de los polinomios de Szegoρn(z) en la forma

Ωn(z) :=

∫ π−π

z+eiθ

z−eiθ

(ρn(eiθ)− ρn(z)

)dµ(θ) si n = 1, 2, 3, ...

−µ0 si n = 0.

(2.35)Estos polinomios satisfacen las mismas relaciones de recurrencia que lospolinomios ortogonales ρn(z) pero con distinto dato inicial:

Ω0(z) := −µ0, (dato inicial)zΩn−1(z)− δnΩ∗n−1(z) = Ωn(z), n = 1, 2, . . .

δnzΩn−1(z)− Ω∗n−1(z) = −Ω∗n(z), n = 1, 2, . . .

(2.36)

donde δn = ρn(0) son los coeficientes de reflexion y Ω∗n(z) = znΩn(1/z).En base a estas formulas de recurrencia dadas por (2.36), y por el Teore-ma de Favard ([18]), se puede deducir que la sucesion Ωn de polinomiosde Szego asociados son tambien ortogonales con respecto a una medidapositiva dµ a la que se le denomina medida de segunda especie asociadaa µ.

La medida de segunda especie se puede calcular haciendo uso dela llamada transformada de Herglotz- Riesz que, como veremos en elsiguiente Capıtulo, aparece como solucion al problema de interpolacionde Caratheodory-Fejer el cual se enuncia como sigue: Dada una sucesion

79

µk∞k=0 de numeros complejos, consiste en encontrar una funcion F (z)definida en D con < (F (z)) > 0 para todo z ∈ D y tal que

F (z) = µ0 + µ1z + µ2z2 + . . . , ∀z ∈ D.

Este problema esta ıntimamente relacionado con el problema trigonometri-co de los momentos, que consiste en lo siguiente: Dada una sucesionµk∞k=−∞ de numeros complejos, encontrar una medida positiva µ en[−π, π] tal que

µk =∫ π

−πe−ikθdµ(θ), k ∈ Z.

Se sabe, ([18]), que este problema tiene solucion sı y solo si los determi-nantes de Toeplitz

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣

µ0 · · · µn...

. . ....

µ−n · · · µ0

∣∣∣∣∣∣∣verifican ∆n > 0, n = 0, 1, 2, . . . y µk = µ−k, n = 0, 1, 2, . . . . Ademasdicha solucion es unica. A la sucesion µk∞−∞ donde para cada k ∈ Z,los µk viene dado por la formula (2.14), como ya se indico en la seccionanterior, es la llamada sucesion de momentos trigonometricos.

Es facil ver, ([2, p. 91]), que la solucion F (z) al problema de in-terpolacion de Caratheodory-Fejer, siendo µ(θ) la solucion al problematrigonometrico de los momentos, se puede escribir de la forma

F (z) = Fµ(z) =∫ π

−π

eiθ + z

eiθ − zdµ(θ) + i=(Fω(0)), (2.37)

siendo =(z), en general, la parte imaginaria del complejo z. Esta formulaes la transformada de Herglotz- Riesz para µ(θ). Observar que Fµ(z) esuna funcion analıtica en C\T que satisface la siguiente propiedad:

Fµ(1z) = −Fµ(z). (2.38)

Como hemos dicho anteriormente, la transformada de Herglotz- Riesznos va a permitir calcular la medida de segunda especie respecto a lacual los polinomios de Szego asociados Ωn(z) son ortogonales. A talfin enunciaremos el siguiente

80

Teorema 2.7 ([26]) Sea F analıtica en D y supongamos que F tienepolos simples en zkn

k=1 con |zk| = 1 de forma que

lımz→zk

(z − zk)F (z) = γk (2.39)

y zkγk ∈ R. Supongamos que los lımites no tangenciales

lımz→eiθ

<

F (z)−n∑

k=1

γk

z − zk

existen casi por todo en [−π, π] y son Lp−integrables en [−π, π] conp ∈ (1, +∞). (Aquı <(z) es, en general, la parte real del complejo z).Entonces

F (z) =∫ 2π

0

eiθ + z

eiθ − zdµ(θ) + i=(F (0))

con

dµ(θ) =(<

(F (eiθ)

))dθ −

n∑

k=1

2πγk

zkδ(eiθ − zk) (2.40)

donde <(F (eiθ)) = lımz→eiθ <(f(z)) es el lımite no tangencial y donde

δ(eiθ − zk) =

1 si eiθ = zk

0 si eiθ 6= zk

Por otro lado, se puede probar, ver [27], que:

Teorema 2.8 Si F es la funcion de Caratheodory con respecto a µ yµ es la medida de segunda especie asociada µ, entonces, G = 1

F es lafuncion de Caratheodory asociada a µ.

En el Capıtulo 3, se daran mas detalles acerca de las propiedadesde transformada de Herglotz- Riesz y se pondra de manifiesto el papelque juega en relacion con el error en las formulas de cuadratura sobrela circunferencia unidad. De hecho, la Transformada de Herglotz-Rieszrepresenta el papel analogo, sobre la circunferencia unidad, a la Trans-formada de Cauchy en el caso real que vimos en el capıtulo anterior.

Para finalizar esta seccion, veamos un ejemplo ilustrativo en el quese calcula explıcitamente la medida de segunda especie:

81

Ejemplo: Tomemos la funcion peso de Chebyshev, esto es: dµ(θ) =ω(θ)dθ = sen2θ

2π dθ. Calcularemos, en primer lugar, la transformada deHerglotz-Riesz:

Fω(z) =∫ π−π

eiθ+zeiθ−z

sen2(θ)2π dθ

= 12πi

∫T−(w+z)(w2−1)2

4w3(w−z)dw

=

Res(h, 0) + Res(h, z) si |z| < 1Res(h, 0) si |z| > 1

Aquı, Res(h, z), z ∈ C, denota el residuo de la funcion h(w) en el poloz, dada por: h(w) = −(w+z)(w2−1)2

4w3(w−z). Como

1w − z

=∞∑

j=0

( −1zj+1

)wj

y

−(w + z)(w2 − 1)2

4w3(w − z)=−w2

4+

12

+−14w2

+−zw

4+

z

2w+−z

4w3

entonces

Res(h, 0) = 14z2 + −z

2z + z4z3 = 1−z2

2z2 y Res(h, z) = −2z(z2−1)2

4z3 = −(z2−1)2

2z2 .

Por tanto

Fω(z) =

1−z2

2 si |z| < 11−z2

2z2 si |z| > 1.(2.41)

Tengase en cuenta que como los unicos momentos no nulos son µ0 yµ2, entonces

Fω(z) = µ0 + 2µ2z2 =

1− z2

2, si |z| < 1.

De aquı podemos establecer inmediatamente la siguiente

Proposicion 2.5.1 dµ(θ) = dθ + π(dδ(eiθ − z1) + δ(eiθ − z2)

)es la

medida de segunda especie asociada a dµ(θ) = ω(θ) = sen2θ2π dθ donde

z1 = 1 y z2 = −1.

82

Demostracion: Por (2.41), si |z| < 1 entonces F (z) = 1−z2

2 es lafuncion de Caratheodory correspondiente a la funcion peso dµ(θ) =ω(θ)dθ = sen2θ

2π dθ. Haciendo uso del Teorema 2.8, se tiene que G(z) =2

1−z2 es la funcion de Caratheodory correspondiente a dµ dada en elTeorema 2.7. Por la formula (2.39),

z1 = 1, γ1 = −1

z2 = −1, γ2 = 1

yG(eiθ) = 2 1

1−cos 2θ−isen2θ = 21−cos 2θ+isen2θ2−2 cos 2θ

= 1 + sen2θ1−cos 2θ i.

Por tanto, <(G(eiθ)) = 1 y, por formula (2.40),

dµ(θ) = dθ + π(δ(eiθ − z1) + δ(eiθ − z2)

)

y la sucesion Ωn es ortogonal con respecto a dµ. ¤Ejercicio:

1. Consideremos las funciones peso:

ω1(θ) = 1 + cos θ, y ω2(θ) = 1− cos θ.

Comprobar que la transformada de Herglotz-Riesz para ω1 y ω2

viene dada, respectivamente, por:

Fω1(z) =

1 + z si |z| < 1−1+z

z si |z| > 1,Fω2(z) =

1− z si |z| < 11−z

z si |z| > 1,

2. Calcular las medidas de segunda especie asociadas a

ω1(θ) = 1 + cos θ, y ω2(θ) = 1− cos θ.

83

84

Capıtulo 3

Cuadraturas sobre lacircunferencia unidad

3.1. Polinomios algebraicos, trigonometricos yde Laurent

El objeto central de este Capıtulo sera la construccion de formulasde cuadratura para estimar integrales con integrandos periodicos de laforma

Iω(f) =∫ π

−πf(θ)ω(θ)dθ,

siendo ω(θ) una funcion peso tambien periodica, de forma que fω es in-tegrable en [−π, π] o mas generalmente, integrales sobre la circunferenciaunidad T = z : |z| = 1 del tipo:

∫ π

−πf(z)ω(z)dz =

∫ π

−πf

(eiθ

)ω(θ)dθ,

siendo ω(θ) = ω(eiθ

)y f

(eiθ

)= ieiθf

(eiθ

).

En lo que sigue, cuando nos refiramos a una integral sobre la circun-ferencia unidad, escribiremos

Iω(f) =∫ π

−πf

(eiθ

)ω(θ)dθ,

85

siendo f una funcion compleja y ω(θ) una funcion real (funcion peso)de forma que se tiene

Iω(f) = Iω(f1) + iIω(f2),

donde f1(θ) = < (f

(eiθ

))y f2(θ) = = (

f(eiθ

)), ambas periodicas.

Ası pues, comenzaremos con integrandos periodicos, quedando cla-ra su equivalencia con integrandos sobre la circunferencia unidad. Co-mo ya se anuncio al comienzo del Capıtulo 2 (Seccion 2.1), Iω(f) =∫ π−π f (θ) ω(θ)dθ sera aproximada por la expresion In(f) =

∑nj=1 λjf(θj)

(formula de cuadratura), donde los pesos y nodos se eligen imponiendoque In(f) integre polinomios trigonometricos del mayor grado posible.La finalidad de esta seccion sera revisar algunas propiedades generalesde los polinomios trigonometricos y su vinculacion tanto con los “po-linomios algebraicos” como con los llamados “polinomios de Laurent”que posteriormente definiremos.

Recordemos que un polinomio trigonometrico real de grado n es unafuncion de la forma:

Tm(θ) = a0 +m∑

k=1

(ak cos kθ + bksenkθ) , ao, ak, bk ∈ R.

Ademas, se dice que Tm(θ) tiene “grado exacto” m si |am|+ |bm| > 0.Por otro lado, denotaremos por Tn el espacio de los polinomios tri-

gonometricos de grado a lo sumo n y por T el espacio de todos lospolinomios trigonometricos, es decir, T =

⋃∞n=0 Tn. Observese que

Tn = 〈1, cos θ, senθ, . . . , cosnθ, sennθ〉,y por consiguiente, dim(Tn) = 2n + 1. Utilizando la transformacion z =eiθ, θ ∈ [−π, π]y la formula de Euler, se puede escribir: Tn(θ) = Ln

(eiθ

),

siendoLn(z) =

∑nk=−n ckz

k, ck = 12(ak − ibk),

c−k = ck, k = 0, 1, . . . , n, (c0 = a0 ∈ R).(3.1)

Las funciones Ln(z) se denominan “polinomios de Laurent” o masgeneralmente, dados p y q enteros, siendo p ≤ q, un polinomio de Laurentes una funcion de la forma

Ln(z) =q∑

k=p

αkzk, αk ∈ C. (3.2)

86

Tambien, denotaremos por ∆p,q el espacio de los polinomios de Lau-rent dados por (3.2). Observese que ∆p,q = 〈zp, zp−1, . . . , zq〉, por lo que∆p,q es un espacio vectorial sobre C de dimension q − p + 1. Ası, Ln(z)en (3.1) pertenece a ∆−n,n. Denotaremos por ∆ el espacio de polinomiosde Laurent (∆0,n = Πn).

Por otro lado, teniendo en cuenta que una sucesion de numeros com-plejos doblemente infinita µk∞−∞, cumpliendo µ−k = µk, k = 0, 1, 2, . . .recibe el nombre de “hermitiana” (o “hermıtica”), un polinomio de Lau-rent L ∈ ∆−n,n se dira “hermitiano” cuando la sucesion de sus coe-ficientes es “hermitiana”, es decir, si Ln(z) =

∑nk=−n ckz

k, entoncesc−k = ck, k = 0, 1, 2, . . . , n, verificando la siguiente:

Proposicion 3.1.1 Sea Tn(θ) un polinomio trigonometrico real de gra-do n entonces:

Tn(θ) = Ln

(eiθ

)∈ ∆−n,n ⇔ Ln es hermitiano.

Observacion 4 Si definimos ∆Hn = L ∈ ∆−n,n, Ln es hermitiano,

entonces ∆Hn es un espacio vectorial real de dimension 2n+1 y se puede

escribirTn = Ln

(eiθ

): L ∈ ∆H

n ,pudiendose identificar los polinomios trigonometricos con los polinomiosde Laurent hermitianos.

Veamos ahora la conexion existente entre polinomios trigonometricosy ciertos polinomios algebraicos. A tal efecto, recordemos que dado unpolinomio P (z) de grado n su recıproco P ∗(z) se define como:

P ∗(z) = znP

(1z

)= znP

(1z

).

Ası, si P (z) =∑n

j=0 ajzj , entonces P ∗(z) =

∑nj=0 an−jz

j y tenemos lasiguiente:

Definicion 3.1 Un polinomio P (z) se dice “invariante” (o mas con-cretamente, “k−invariante”, k ∈ C \ 0) sı y solo si:

P ∗(z) = kP (z), ∀z ∈ C.

87

Ejemplo 3.1 Sea P (z) un polinomio de grado n con todos sus cerossobre T, es decir,

P (z) = cn∏

j=1

(z − zj), c 6= 0, |zj | = 1, j = 1, . . . , n.

Entonces

P ∗(z) = znc

n∏

j=1

(1z− 1

zj

)=

c

c

(−1)n

z1 . . . znPn(z).

Luego, P (z) es “k−invariante” con k = cc

(−1)n

z1...zn, (|k| = 1). Obviamente

el recıproco no es cierto. (Compruebese).

Algunas consecuencias inmediatas de la definicion 3.1 son:

1. Si P (z) es k−invariante, entonces P (0) 6= 0.

2. Si α es un cero de P (z), invariante, entonces, 1α tambien lo es.

(Observese que α 6= 0).

3. Sea P (z) un polinomio invariante de grado n impar. Entonces, elnumero de ceros de P (z) sobre T (contando multiplicidades) estambien impar, lo cual implica que P (z) tiene al menos un cerosobre T cuya multiplicidad es tambien impar.

4. Sea P (z) invariante de grado exacto n, de forma que:

P (z) =n∑

j=0

cjzj = cn

n∏

j=1

(z − zj), cn 6= 0.

Ası, |P (0)| = |c0| = |cn|∏n

j=1 |zj | = |cn| y en consecuencia, ya quecn = kc0, se sigue que |k| = 1.

Escribamos pues k = eiw, w ∈ R y definamos Q(z) = λP (z), (λ 6=0). Entonces

Q∗(z) = λP ∗(z) = λkP (z) =λ

λkQ(z),

es decir, Q(z) es(

λλk

)−invariante.

88

Si suponemos que λ = Reiγ , R > 0, γ ∈ R, entonces λλk =

ei(w−2γ). Notese que eligiendo γ ∈ R de forma que w − 2γ =2kπ, k ∈ Z, claramente λ

λk = 1 y Q(z) = λP (z) es 1−invariante.

Observacion 5 El termino “invariante” fue introducido por Jo-nes et. al. en [18]. Mientras que Szego en [32] habla de un poli-nomio P (z) “autorecıproco” si P ∗(z) = P (z) (1−invariante). Ve-mos pues que los polinomios “invariantes” son esencialmente los“autorecıprocos”.

Sea ahora P2n(z) un polinomio algebraico de grado exacto 2n ya su vez k−invariante. Entonces, sabemos que existe λ ∈ C \ 0tal que Q2n(z) = λP2n(z) es 1−invariante (autorecıproco). Porconsiguiente, podemos escribir

Ln(z) =Q2n(z)

zn=

n∑

j=−n

cjzj , c−j = cj , j = 0, 1, . . . , n,

es decir, Ln ∈ ∆Hn y concretamente Ln

(eiθ

)= Tn(θ) ∈ Tn. Por

tanto, hemos probado la siguiente

Proposicion 3.1.2 Sea P2n(z) un polinomio invariante de gradoexacto 2n, entonces

e−inθP2n

(eiθ

)= λnTn(θ), λn ∈ C \ 0,

y Tn(θ) un polinomio trigonometrico (real) de grado exacto n.

A continuacion veremos como la conexion entre polinomios trigo-nometricos y polinomios algebraicos invariantes nos permite recuperaralgunas propiedades clasicas de los polinomios trigonometricos relativasa sus ceros y a un resultado de factorizacion. Ası, sean α y β constan-tes arbitrarias, entonces sen

(θ−α

2

)sen

(θ−β

2

)representa, claramente, un

polinomio trigonometrico de grado uno. Se puede probar por induccionque la funcion

T (θ) = cn∏

j=1

sen(

θ − θ2j−1

2

)sen

(θ − θ2j

2

), c 6= 0, (3.3)

89

siendo θj2nj=1 constantes dadas, representa un polinomio trigonometri-

co de grado exacto n. ¿Sera cierto el recıproco? Esto es, dado Tn(θ)polinomio trigonometrico de grado exacto n, ¿ se podra factorizar comoen (3.3)? Veamos que se puede responder afirmativamente. En efecto,sea Tn ∈ Tn, entonces Tn(θ) = Ln

(eiθ

)con Ln ∈ ∆H

n , de forma queLn(z) = P2n(z)

zn , P2n ∈ Π2n y “autorecıproco”. En virtud del “TeoremaFundamental del Algebra” podemos escribir, contando multiplicidades

P2n(z) = cn

2n∏

j=1

(z − zj), cn 6= 0,

donde zj 6= 0 y si zj 6∈ T, entonces 1zj

tambien es raız de P2n(z). Ademas,el numero de raıces de P2n sobre T es par, el cual denotamos por 2m(0 ≤ m ≤ n). Ası,

P2n(z) = cn

2m∏

j=1

(z − zj)n−m∏

j=1

(z − zj)(

z − 1zj

), cn 6= 0, (3.4)

siendo zj = eiθj , θj ∈ R, j = 1, . . . , 2m. Por un lado, ∀z ∈ C, z 6= 0,podemos escribir:

z = reiϕ = eiω = ei(x+iy) = e−yeix, r > 0, ϕ ∈ R,

resultando: r = e−y, x = ϕ + 2kπ, ϕ ∈ [−π, π], k ∈ Z, o equivalente-mente

y = − ln r, x = ϕ + 2kπ, k ∈ Z.

Por consiguiente: 1z = 1

reiϕ = ei(a+bi) = e−beia, lo cual implica:

b = ln r = −y, a = x = ϕ + 2kπ, k ∈ Z,

es decir, 1z = eiω.

Por otro lado, ∀θ ∈ [−π, π] y ω ∈ C, podemos escribir:

eiθ − eiω = (cos θ − cosω) + i(senθ − senω)

= −2sen(

θ+ω2

)sen

(θω2

)+ 2isen

(θ−ω

2

)cos

(θ+ω

2

)

= −2sen(

θ−ω2

) (sen

(θ+ω

2

)− i cos(

θ+ω2

))

= 2isen(

θ−ω2

)ei( θ+ω

2 ).

90

Haciendo ahora, zj = eiωj , ωj ∈ C, j = 1, . . . , n−m, tenemos, de (3.4):

P2n

(eiθ

)= cn

2m∏

j=1

(eiθ − eiθj )n−m∏

j=1

(eiθ − eiωj )(eiθ − eiω

), (3.5)

siendo θj ∈ R y ωj ∈ C, <(ωj) = ϕj+2kπ, ϕj ∈ [−π, π]. Por consiguiente:

P2n

(eiθ

)= cn(−1)n22n

∏2mj=1 sen

(θ−θj

2

)ei

θ+θj2

×

×∏n−mj=1 sen

(θ−ωj

2

)sen

(θ−ωj

2

)eiθ+

ω+ωj2

,

lo cual da:

P2n

(eiθ

)= λneinθ

2m∏

j=1

(θ − θj

2

) n−m∏

j=1

sen(

θ − ωj

2

)sen

(θ − ωj

2

), λn 6= 0.

Recordando ahora que Tn ∈ Tn : Tn(θ) = Ln

(eiθ

)=

P2n(eiθ)einθ , llegamos

a la representacion:

Tn(θ) = λn

2m∏

j=1

sen(

θ − θ2j−1

2

) n−m∏

j=1

sen(

θ − wj

2

)sen

(θ − wj

2

).

(3.6)con λn 6= 0.

Ası pues, tenemos el siguiente

Corolario 3.1 Un polinomio trigonometrico Tn(θ) de grado exacto n,tiene 2n raıces reales o complejas (contando multiplicidades) y siempreque nos restrinjamos a la banda −π < <(θ) ≤ π. Ademas, los ceroscomplejos aparecen en pares conjugados.

Observacion 6 La representacion (3.6) no es unica.

Por otro lado, como consecuencia inmediata de la representacion(3.6), tenemos tambien el siguiente

Corolario 3.2 (Teorema de L-Fejer y F. Riesz) Cualquier polinomiotrigonometrico T (θ) que sea no negativo ∀θ ∈ R, se puede expresar enla forma

T (θ) = |g(z)|2, z = eiθ,

siendo g(z) un polinomio algebraico del mismo grado que T (θ).

91

Demostracion: Supongamos que T (θ) es un polinomio trigonometricode grado n. Entonces tenemos

T (θ) = λnP2n

(eiθ

)

einθ, λn 6= 0,

siendo P2n(z) “autorecıproco”. dado que T (θ) ≥ 0, ∀θ ∈ R, los posiblesceros reales de T (θ) deben tener multiplicidad par. Ası pues, por (3.6),podemos escribir P2n(z) = p2

m(z)qn−m(z)q∗n−m(z), donde pm ∈ Πm, (0 ≤m ≤ n) con todos sus ceros sobre T y qn−m ∈ Πn−m. Ademas, dado queT (θ) ≥ 0, ∀θ ∈ R :

T (θ) = |T (θ)| =∣∣∣∣∣λn

P2n

(eiθ

)

einθ

∣∣∣∣∣ = |λn|∣∣∣p2

m

(eiθ

)∣∣∣∣∣∣qn−m

(eiθ

)∣∣∣×

×∣∣∣qn−m (eiθ)

∣∣∣ = |λn|∣∣∣p2

m

(eiθ

)∣∣∣∣∣∣qn−m

(eiθ

)∣∣∣2

= |g(z)|2, z = eiθ,

donde g(z) =√|λn|pm(z)qn−m(z) ∈ Πn. ¤

Observacion 7 Recıprocamente, si g(z) es un polinomio algebraico degrado n, la expesion |g(z)|2, z = eiθ, representa un polinomio trigo-nometrico de grado n. En efecto, ∀z = eiθ :

|g(z)|2 = g(z)g(z) = g(z)g(1/z) =g(z)g∗(z)

zn=

P2n(z)zn

,

siendo P2n(z) autorecıproco. Por consiguiente, Tn(θ) =∣∣g (

eiθ)∣∣2 ∈ Tn y

ademas, claramente, Tn(θ) ≥ 0, ∀θ ∈ R.

3.2. Interpolacion trigonometrica

En esta seccion recopilaremos algunos resultados basicos sobre inter-polacion trigonometrica, los cuales habran de usarse en la construccionde las correspondientes formulas de cuadratura.

En primer lugar, dados 2n+1 nodos distintos en [−π, π] se sabe queexiste un unico polinomio trigonometrico Tn ∈ Tn tal que

Tn(θj) = yj , j = 1, . . . , 2n + 1, (3.7)

92

siendo yj2n+1j=1 un conjunto de numeros reales dados. Esto significa que

1, cos θ, senθ, . . . , cosnθ, sennθ representa un sistema de Chebyshev.Tal propiedad se puede probar mostrando que el correspondiente pro-blema homogeneo, es decir, yj = 0, j = 1, . . . , 2n + 1 solo admite lasolucion trivial Tn(θ) ≡ 0. En efecto, hallar Tn ∈ Tn cumpliendo (3.7)con yj = 0, j = 1, . . . , 2n + 1 significa que si escribimos

Tn(θ) = a0 +n∑

k=1

(ak cos kθ + bksenkθ) , ao, ak, bk ∈ R,

y se verifica que Tn(θj) = 0, j = 1, . . . , 2n + 1, entonces a0 = 0 yak = bk = 0, k = 1, . . . , n. Ahora bien, Tn(θj) = 0, j = 1, . . . , 2n + 1, sepuede reescribir como

Ln(zj) = 0, j = 1, . . . , 2n + 1, (3.8)

donde Ln ∈ ∆−n,n, Ln(z) =∑n

k=−n ckzk, ck = ak − ibk, c−k = ck y

zj = eiθj , j = 1, . . . , 2n + 1.Dado que θj 6= θk, ∀j 6= k, entonces zj 6= zk, ∀j 6= k, por lo que

(3.8) representa un sistema lineal homogeneo que solo admite la soluciontrivial ck = 0, k = 0,±1,±2, . . . ,±n (compruebese como ejercicio). Portanto, a0 = c0 = 0, ak = <(ck) = 0 y bk = =(ck) = 0 ∀k = 1, . . . , n.

Formula tipo- Lagrange: Supongamos Tn ∈ Tn cumpliendo lascondiciones de interpolacion (3.7). Entonces, en virtud de la unicidad,podemos escribir

Tn(θ) =2n+1∑

j=1

lj(θ)yj , (3.9)

donde lj ∈ Tn tal que

lj(θk) = δj,k =

1, si j = k,

0, si j 6= k.

Para todo j = 1, . . . , 2n+1, dado que lj(θk) = 0, k = 1, . . . , 2n+1, k 6=j, por la representacion (3.6), tenemos

lj(θ) = λj

2n+1∏

k = 1k 6= j

sen(

θ − θk

2

),

93

siendo λj una constante de normalizacion elegida de forma que lj(θj) =

1, mas concretamente, si ponemos Wn(θ) =∏2n+1

k=1 sen(

θ−θk2

), se sigue

que

lj(θ) = λjWn(θ)

sen(

θ−θj

2

) , j = 1, . . . , 2n + 1.

Ası, 1 = lj(θj) = λj lımθ→θj

Wn(θ)

sen(

θ−θj

2

) = λj lımθ→θj

Wn(θ)θ−θj

2

= 2λjW′n(θj). Por

consiguiente,

lj(θ) =Wn(θ)

2W ′n(θj)sen

(θ−θj

2

) , j = 1, . . . , 2n + 1. (3.10)

Por analogıa con el caso polinomico, la expresion (3.9) con lj(θ)dado por (3.10), recibe el nombre de “Formula tipo- Lagrange” para elpolinomio trigonomtrico de interpolacion.

Interpolacion de Hermite: Al considerar la construccion de formu-las de cuadratura con el maximo grado de precision trigonometrico, senecesitara resolver el siguiente problema de interpolacion de Hermite. Asaber, “dados n nodos distintos θ1, . . . , θn en [−π, π], hallar Hn ∈ Tn−1

tal queHn(θj) = yj , j = 1, . . . , n,

H′n(θj) = y

′j , j = 1, . . . , n, j 6= k,

(3.11)

siendo k ∈ 1, . . . , n previamente fijado con yj y y′j 2n − 1 nume-ros reales dados”. Al respecto, la existencia y unicidad de Hn se pue-de garantizar pasando a la circunferencia unidad y mostrando que elproblema de interpolacion (3.11) es equivalente a encontrar un unicoLn ∈ ∆−(n−1),n−1 tal que

Ln(zj) = yj , j = 1, . . . , n,

L′n(zj) = y

′j , j = 1, . . . , n, j 6= k,

(3.12)

con zj = eiθj , j = 1, . . . , n.

94

Si hacemos Ln(z) = P2n−1(z)zn−1 , P2n−1 ∈ Π2n−1, nuestro problema se

reduce a hallar P2n−1 ∈ Π2n−1, tal que

P2n−1(zj) = zn−1j yj , j = 1, . . . , n,

P′2n−1(zj) = zn−1

j y′j , j = 1, . . . , n, j 6= k.

(3.13)

Puesto que zl 6= zm, ∀l 6= m, se sabe que (3.13) tiene una unica soluciony por consiguiente tambien el problema (3.11).

En consecuencia, en virtud de la unicidad, podemos escribir, paratodo k = 1, . . . , n :

Hn(θ) = H(k)n (θ) =

n∑

j=1

t(k)j (θ)yj +

n∑

j = 1j 6= k

s(k)j (θ)y

′j , (3.14)

siendo t(k)j y s

(k)j polinomios trigonometricos de grado a lo sumo n− 1,

cumpliendo:

t(k)j (θr) = δj,r, 1 ≤ j, r ≤ n,

(t(k)j )

′(θr) = 0, 1 ≤ j, r ≤ n, r 6= k,

s(k)j (θr) = 0, 1 ≤ r ≤ n, j 6= k,

(s(k)j )

′(θr) = δj,r, 1 ≤ r ≤ n, j 6= k.

Observacion 8 De modo analogo al caso polinomico y siguiendo porejemplo el libro clasico de Stoer- Bulirsch, [30], se pueden dar expresio-nes explıcitas para t

(k)j y s

(k)j .

El resto de la seccon la vamos a dedicar a resolver el problema deinterpolacion con un numero par de nodos, digamos 2n en un subespaciode Tn (cuya dimension es 2n + 1) de dimension 2n. Por ejemplo,

Tn \ 〈cosnθ〉 = 〈1, cos θ, senθ, . . . , cos(n− 1)θ, sen(n− 1)θ, sennθ〉,o

Tn \ 〈sennθ〉 = 〈1, cos θ, senθ, . . . , cos(n− 1)θ, sen(n− 1)θ, cosnθ〉.

95

En tal sentido debieramos recordar que un conjunto f0, f1, . . . , fnde n + 1 funciones continuas en [a, b] forman un sistema de Haar sobre[a, b], sı y solo si, para cualquier k ∈ 1, . . . , n, el conjunto f0, f1, . . . , fkes un sistema de Chebyshev sobre dicho intervalo.

Claramente, 〈1, cos θ, senθ, . . . , cosnθ, sennθ〉 no puede ser un siste-ma de Haar sobre [−π, π] (basta comprobar simplemente que 〈1, cos θ〉 nopuede ser un sistema de Chebyshev en [−π, π].). Por consiguiente, al me-nos inicialmente, no podemos garantizar en general que dados 2n nodosdistintos θj2n

j=1 en [−π, π], exista Tn en Tn \ 〈cosnθ〉 o en Tn \ 〈sennθ〉tal que Tn(θj) = yj , j = 1, . . . , 2n. No obstante, podemos probar elsiguiente

Teorema 3.1 Sean θj2nj=1 2n nodos distintos en [−π, π]. Entonces,

dados 2n numeros reales yj2nj=1 existe un unico polinomio trigonometri-

co Tn bien en Tn \ 〈cosnθ〉 o en Tn \ 〈sennθ〉 tal que

Tn(θj) = yj , j = 1, . . . , 2n. (3.15)

Demostracion: Supongamos en primer lugar que tratamos de hallarTn ∈ Tn \ 〈sennθ〉 cumpliendo (3.15). Ası, podemos escribir

Tn(θ) = a0 +n−1∑

k=1

(ak cos kθ + bksenkθ) + an cosnθ = Ln

(eiθ

),

con Ln ∈ ∆−n,n, Ln(z) =∑n

j=−n cjzj , siendo cj = 1

2(aj − ibj), c−j =cj , j = 0, 1, . . . , n − 1 y cn = c−n = an

2 . Haciendo zj = eiθj , j =1, . . . , 2n, la formula (3.15) se expresa como el sistema lineal siguiente:

n−1∑

j=−(n−1)

cjzj + cn(zn

j + z−nj ) = yj , j = 1, . . . , 2n. (3.16)

Supongamos en primer lugar que (3.16) admite una unica solucion y seaesta el polinomio de Laurent: Ln(z) =

∑nj=−n cjz

j , con cj ∈ C, j =

0,±1, . . . ,±n − 1 y cn = c−n. Definimos Ln∗(z) = Ln

(1z

) ∈ ∆−n,n.Ası pues,

Ln∗(zj) = Ln (zj) = yj = yj , j = 1, . . . , 2n.

Por consiguiente, Ln∗ tambien es solucion y en virtud de la unicidadse tiene que Ln ≡ Ln∗ , lo cual implica: c−j = cj , j = 0, . . . , n. Puesto

96

que cn = c−n, entonces c0 y cn deben ser reales y se debe cumplir:c−j = cj , j = 1, . . . , n − 1. Por tanto, Tn(θ) = Ln

(eiθ

) ∈ Tn \ 〈sennθ〉cumplira las condiciones de interpolacion (3.15).

Por otro lado, el sistema (3.16) admitira solucion unica, sı y solo si,

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z−(n−1)1 z

−(n−2)1 . . . 1 zn

1 + z−n1

z−(n−1)2 z

−(n−2)2 . . . 1 zn

2 + z−n2

......

......

z−(n−1)2n z

−(n−2)2n . . . 1 zn

2n + z−n2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6= 0.

Introduciendo el determinante de Vandermonde

γn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 z1 . . . z2n−11

1 z2 . . . z2n−12

......

...

1 z2n . . . z2n−12n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

el cual es no nulo ya que zi 6= zj , ∀i 6= j. Se puede comprobar facilmentelo siguiente

∆n = (z1 . . . z2n)n−1(1− z1 . . . z2n)γn. (3.17)

Por otra parte, si consideramos el problema de interpolacion en Tn \〈cosnθ〉 se prueba que el correspondiente determinante ∆n cumple:

∆n = (z1 . . . z2n)n−1(1 + z1 . . . z2n)γn. (3.18)

Teniendo en cuenta que z1 . . . z2n = ei(θ1+...θ2n) = eiλn , con λn =∑2n

j=1 θj ,si λn 6= kπ, k ∈ Z, entonces, tanto (3.17) como (3.18) son distintos decero y nuestro problema de interpolacion admite solucion unica tanto enTn \ 〈sennθ〉 como en Tn \ 〈cosnθ〉.

Por el contrario, si λn 6= kπ para cierto entero k, si k es par: eiλn = 1,por lo que (3.18) no se anula, mientras que si k es impar entonces eiλn =−1 y sera entonces (3.17) distinto de cero. De esta forma concluimos lademostracion. ¤

97

3.3. Sistemas bi-ortogonales de polinomios tri-gonometricos

Como se ha visto en el Capıtulo 1, la determinacion de una baseortogonal para el espacio Π de los polinomios resulto fundamental a lahora de construir las formulas con el maximo grado de precision algebrai-ca o formulas Gaussianas. Algo similar va a suceder cuando queramosconstruir formulas de cuadratura con el maximo grado de precision tri-gonometrica. En efecto, mostraremos como las bases ortogonales para elespacio T de polinomios trigonometricos constituyen el elemento crucialen tal desarrollo.

Ası pues, el objetivo de esta Seccion sera presentar algunos resul-tados de Szego ([31]) relativos a la construccion de una base ortogonalpara T =

⋃∞n=0 Tn, (recordar que hemos denotado por Tn al espacio de

los polinomios trigonometricos de grado a lo sumo n). Al hablar de or-togonalidad, lo haremos con respecto al producto interior inducido porla funcion peso ω(θ), esto es,

〈f, g〉ω =∫ π

−πf(θ)g(θ)ω(θ)dθ. (3.19)

(Dado que estamos considerando polinomios trigonometricos con coefi-cientes reales, podemos suprimir la conjugacion en la integral de (3.19)).

Observacion 9 En lugar de una funcion peso, podrıamos partir de unasituacion mas general que involucrara una distribucion (medida) arbitra-ria dα(θ) con soporte en T. No obstante, por motivos de comodidad nosrestringiremos al caso anterior, es decir, cuando ω(θ) es absolutamentecontinua: dα(θ) = ω(θ)dθ.

Consideremos pues, la base ya conocida de Tn :

〈1, cos θ, senθ, . . . , cosnθ, sennθ〉,

la cual es claramente ortogonal con respecto a la funcion peso ω(θ) =1, ∀θ ∈ [−π, π]. Por consiguiente, cuando manejamos una funcion ar-bitraria ω(θ), ¿Como podrıamos proceder? La respuesta nos la da elproceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt aplicado a dicha base

1, cos θ, senθ, . . . , cosnθ, sennθ,

98

siguiendo un cierto orden. De esta manera generamos los polinomiostrigonometricos f0, f1, g1, f2, g2, . . . , fn, gn tales que f0 = cte,

f1 ∈ 〈1, cos θ〉, g1 ∈ 〈1, cos θ, senθ〉,f2 ∈ 〈1, cos θ, senθ, cos 2θ〉, g2 ∈ 〈1, cos θ, senθ, cos 2θ, sen2θ〉,

......

fn ∈ Tn \ 〈sennθ〉, gn ∈ Tn.

En definitiva, ∀k ≥ 1, fk y gk son polinomios trigonometricos degrado exacto k (con f0(θ) = f0 = cte) satisfaciendo

(i) 〈fj , fk〉ω = kjδj,k, kj > 0,

(ii) 〈gj , gk〉ω = k′jδj,k, k

′j > 0,

(iii) 〈fj , gk〉ω = 0, j, k = 0, 1, . . . , n.

(3.20)

Cuando el proceso se repite para n = 1, 2, . . . , entonces, la familia depolinomios trigonometricos f0

⋃fn, gn∞n=1 representara una base orto-gonal de T con respecto a la funcion peso ω(θ), θ ∈ [−π, π].

Supongamos que, para todo j = 1, . . . , n,

f0 = a0,0 6= 0

fj(θ) = aj,0 +∑n

k=1 (aj,k cos kθ + bj,ksenkθ)

gj(θ) = a′j,0 +

∑nk=1

(a′j,k cos kθ + b

′j,ksenkθ

)(3.21)

Puesto que f0⋃fk, gkn

k=1 es una base de Tn, por la independencialineal

α0f0 +n∑

j=1

(αjfj(θ) + βjgj(θ)) = 0, (3.22)

implica que αj = βj = 0, ∀j = 1, . . . , n.Ası pues, de (3.21) y (3.22) deducimos que

∣∣∣∣∣∣an,n bn,n

a′n,n b

′n,n

∣∣∣∣∣∣6= 0.

Recıprocamente, se verifica la siguiente:

99

Proposicion 3.3.1 Consideremos la familia de polinomios trigonometri-cos f0

⋃fn, gn∞n=1 tales que f0(θ) = cte 6= 0,

fn(θ) = a0 +n∑

k=1

(ak cos kθ + bksenkθ)

y

gn(θ) = c0 +n∑

k=1

(ck cos kθ + dksenkθ)

y supongamos que ∀n ≥ 1,

∣∣∣∣∣an bn

cn dn

∣∣∣∣∣ 6= 0. (3.23)

Entonces, f0⋃fn, gn∞n=1 representa una base de T .

Demostracion: En primer lugar, por (3.23) se sigue que ambos poli-nomios fn y gn tienen grado exacto n. Sea ahora T ∈ Tn, entonces vamosa probar que T se puede escribir en la forma

T (θ) = λ0f0(θ) + λ1f1(θ) + µ1g1(θ) + . . . + λnfn(θ) + µngn(θ),

donde las constantes λjnj=0 y µjn

j=1, quedan determinadas de formaunica. Esto concluira la demostracion. En efecto, se pueden hallar λn yµn unicas tales que

T (θ)− (λnfn(θ) + µngn(θ)) ∈ Tn−1. (3.24)

Para ello, hagamos T (θ) = α0 +∑n

j=1 (αj cos jθ + βjsenjθ) . Por consi-guiente, la formula (3.24) se verificara, sı y solo si, el sistema lineal

anλn + bnµn = αn

cnλn + dnµn = βn,

admite una unica solucion, y esto se deduce de la condicion (3.23).Ası pues, siguiendo a Szego [31], consideraremos las siguientes defi-

niciones:

100

Definicion 3.2 Sean f y g polinomios trigonometricos de grado n talesque

f(θ) = a cosnθ + bsennθ + . . .

g(θ) = c cosnθ + dsennθ + . . . .

Entonces, f y g se diran linealmente independientes si

∣∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣∣ 6= 0.

Definicion 3.3 Dada la funcion peso ω(θ) en [−π, π], el sistema depolinomios trigonometricos f0

⋃fn, gn∞n=1 con f0 = cte y fn, gn ∈Tn, n = 1, 2, . . . , se dira que representa un “sistema bi-ortogonal” paraω(θ) si

1. ∀n ≥ 1, fn y gn son linealmente independientes.

2. Son ortogonales con respecto al producto interior inducido porω(θ), es decir, se cumple (3.20).

Observacion 10 Cuando en (3.20), kj = k′j = 1, j = 1, 2, . . . , el

sistema se dice “bi-ortogonormal.

Veamos ahora como determinar de modo constructivo un sistemabi-ortogonal de polinomios trigonometricos. Para ello haremos uso dela sucesion de polinomios monicos de Szego: ρn(z)∞n=0 donde ρn(z) =zn + . . . + δn, n = 0, 1, . . . , tal que 〈ρn(z), zk〉ω = 0, k = 0, . . . , n −1, n = 1, 2, . . . , (z = eiθ) Aquı δn = ρn(0), (δ0 = 1) representa elcoeficiente de reflexion o parametro de Schur de orden n y sabemos quese cumple |δn| < 1, n = 1, 2, . . . . Sea ahora τn ∈ C \ 0 y consideremosτnρ2n+1(z)

zn ∈ ∆−n,n. Por consiguiente, podemos escribir

τne−iθρ2n+1

(eiθ

)= fn+1(θ) + ign+1(θ), (3.25)

donde es facil comprobar que fn+1 y gn+1 son polinomios trigonometricosde grado n + 1, n = 0, 1, . . . y ademas se cumple el siguiente

Teorema 3.2 Sea τn∞n=0 una sucesion de numeros complejos no nu-los tales que τ2

n

∫ π−π eiθρ2n+1

(eiθ

)ω(θ)dθ es un numero real. Entonces

f0⋃fn+1, gn+1∞n=0 dados por (3.25) y siendo f0 = cte 6= 0, forman un

sistema bi-ortogonal para ω(θ).

101

Demostracion: De (3.25) se puede escribir

fn+1(θ) = 12

(τne−iθρ2n+1

(eiθ

)+ τneiθρ2n+1 (eiθ)

)

= 12

(τne−iθρ2n+1

(eiθ

)+ τneiθρ2n+1∗

(eiθ

))

= 12

(τn

ρ2n+1(z)zn + τn

ρ∗2n+1(z)

zn+1

), (z = eiθ).

Analogamente,

gn+1(θ) =12i

(τn

ρ2n+1(z)zn

− τnρ∗2n+1(z)

zn+1

), (z = eiθ).

En primer lugar, se puede probar facilmente que para n = 0, 1, . . . , fn+1

y gn+1 son linealmente independientes. Veamos pues que satisfacen lascondiciones de ortogonalidad.

Sea k ∈ Z, −n ≤ k ≤ n, tenemos∫ π−π fn+1(θ)eikθω(θ)dθ = 1

2

∫ π−π τnei(k−n)θρ2n+1

(eiθ

)ω(θ)dθ+

+12

∫ π−π τnei(k−n−1)θρ∗2n+1

(eiθ

)ω(θ)dθ =

= 12

(τn〈ρ2n+1(z), zn−k〉ω + τn〈ρ∗2n+1(z), zn+1−k〉ω

)

Ambos terminos son nulos debido a las propiedades de ortogonalidadtanto de ρ2n+1(z) como de ρ∗2n+1(z). Por consiguiente,

∀h ∈ Tn :∫ π

−πfn+1(θ)h(θ)ω(θ)dθ = 0.

En particular:∫ π

−πfn+1(θ)fm(θ)ω(θ)dθ =

∫ π

−πfn+1(θ)gm(θ)ω(θ)dθ = 0, 0 ≤ m ≤ n.

Analogamente, se deduce que∫ π

−πgn+1(θ)gm(θ)ω(θ)dθ =

∫ π

−πgn+1(θ)fm(θ)ω(θ)dθ = 0, 0 ≤ m ≤ n.

Por consiguiente, resta probar que∫ π

−πfn+1(θ)gn+1(θ)ω(θ)dθ = 0, n = 0, 1, . . . .

102

De la relacion (3.24), podemos probar∫ π−π

(τne−inθρ2n+1

(eiθ

))2ω(θ)dθ =

∫ π−π (fn+1(θ) + ign+1(θ))

2 ω(θ)dθ

=∫ π−π (fn+1(θ))

2 ω(θ)dθ − (gn+1(θ))2 ω(θ)dθ+

+2i∫ π−π (fn+1(θ)gn+1(θ))

2 ω(θ)dθ.

(Notese que las tres integrales son reales)Por otro lado, dado que ρ2n+1(z) = z2n+1 + . . . + δ2n+1, y por las

condiciones de ortogonalidad de ρ2n+1, tenemos∫ π−π

(τne−inθρ2n+1

(eiθ

))2ω(θ)dθ = τ2

n

∫ π−π e−2inθρ2

2n+1

(eiθ

)ω(θ)dθ =

= τ2n

∫ π−π ρ2n+1

(eiθ

) (δ2n+1e

−2inθ + . . . + eiθ)ω(θ)dθ =

= δ2n+1∑2n

j=0〈ρ2n+1(z), zj〉ω + τ2n

∫ π−π eiθρ2n+1

(eiθ

)ω(θ)dθ =

= τ2n

∫ π−π eiθρ2n+1

(eiθ

)ω(θ)dθ.

Ası pues, comparando las dos expresiones de∫ π

−π

(τne−inθρ2n+1

(eiθ

))2ω(θ)dθ,

se sigue que∫ π−π (fn+1(θ)gn+1(θ))

2 ω(θ)dθ = 0. ¤

Ejemplo 3.2 Tomemos ω(θ) = 1, ∀θ ∈ [−π, π]. Sabemos que ρn(z) =zn, n = 0, 1, . . . . Por tanto, ∀τn ∈ C \ 0 :

τ2n

∫ π

−πeiθρ2n+1

(eiθ

)ω(θ)dθ = τ2

n

∫ π

−πei(n+2)θdθ = 0,

y la condicion del Teorema 3.2 se cumple ∀τn ∈ C \ 0.Tomemos τn = αn + iβn, |αn|+ |βn| > 0. Entonces

τnρ2n+1

(eiθ

)

einθ= (αn + iβn) (cos(n + 1)θ + isen(n + 1)θ) , n = 0, 1, . . . .

Ası pues,

fn+1(θ) = αn cos(n + 1)θ − βnsen(n + 1)θ

gn+1(θ) = βn cos(n + 1)θ + αnsen(n + 1)θ.(3.26)

103

Por otro lado, si hacemos τn = 1, obtenemos

fn(θ) = cosnθ, gn(θ) = sennθ,

de modo que las bien conocidas propiedades de ortogonalidad para lasfunciones trigonometricas: 1, cos θ, senθ, . . . , cosnθ, sennθ, . . . , se recu-peran de forma inmediata. La relacion que existe entre los dos sistemasbi-ortogonales es la siguiente:

(fn

gn

)=

(αn −βn

βn αn

)(fn

gn

). (3.27)

Observacion 11 Conviene resaltar que la relacion del tipo (3.27) pa-ra la funcion peso ω(θ) = 1 se cumple para cualquier funcion pesoω. En efecto, sean f0

⋃fn, gn∞n=0 y f0⋃fn, gn∞n=0 dos sistemas bi-

ortogonales para ω. Entonces, ∀n ≥ 1, fn ∈ Tn y fn⊥Tn−1, es decir,〈fn, T 〉ω = 0, ∀T ∈ Tn−1, por lo que si ponemos

fn(θ) = α0f0 +n∑

j=1

αjfj(θ) +n∑

j=1

βjgj(θ),

concluimos que αj = 0, j = 0, 1, . . . , n − 1 y βj = 0, j = 1, . . . , n − 1,resultando:

fn(θ) = αnfn + βngn(θ).

Analogamente,gn(θ) = γnfn + σngn(θ).

Ambas relaciones se pueden expresar en forma matricial:(

fn

gn

)= An

(fn

gn

), siendo An =

(αn −βn

βn αn

),

conαn = 〈 efn,fn〉ω

‖fn‖2ω , βn = 〈 efn,gn〉ω‖gn‖2ω

γn = 〈egn,fn〉ω‖fn‖2ω , σn = 〈egn,gn〉ω

‖gn‖2ω .

(Aquı, ‖fn‖2ω = 〈fn, fn〉ω).Puesto que podemos intercambiar los papeles

de ambos sistemas, se sigue(

fn

gn

)= An

(fn

gn

), donde An = A−1

n .

104

Ademas, cuando consideramos sistemas bi-ortonormales, entonces ‖fn‖ω =‖gn‖ω = 1, comprobandose ahora que An = At

n = A−1n , es decir, que An

es una matriz ortogonal.

3.4. Formulas de cuadratura con maximo gradode precision trigonometrica

En esta seccion comenzaremos propiamente el problema de estimarla integral

Iω(f) =∫ π

−πf(θ)ω(θ)dθ, (3.28)

donde, como siempre, ω es una funcion peso en [−π, π] y f periodica (deperiodo 2π) de modo que fω ∈ L1([−π, π]). Al igual que se hizo en elCapıtulo 1, la integral (3.28) la vamos a aproximar por una expresion(formula de cuadratura):

In(f) =n∑

j=1

λjf(θj), θi 6= θj , ∀i 6= j, θj ∈ [−π, π], ∀j = 1, . . . , n.

(3.29)Ahora los nodos y pesos de In(f) se van a determinar imponiendo

que In(f) sea exacta en subespacios de T (polinomios trigonometricos)de dimension lo mas grande posible, es decir, que se cumpla que In(T ) =Iω(T ), ∀T ∈ Tm(n), con m(n) lo mas grande posible. Previamente, sehan de tener en cuenta los siguientes resultados:

Proposicion 3.4.1 No existen formulas de cuadratura del tipo (3.29)que sean exactas en Tn, esto es, m(n) < n.

Demostracion: Supongamos que existe In(f) =∑n

j=1 λjf(θj) exacta

en Tn, y definamos Tn(θ) =n∏

j=1

sen(

θ − θj

2

). Ası, T 2

n ∈ Tn y se tiene

que, por un lado

Iω(T 2n) =

∫ π

−πT 2

n(θ)ω(θ)dθ > 0,

105

y por otro lado, dado que T 2n(θj) = 0, j = 1, . . . , n,

In(T 2n) =

n∑

j=1

λjT2n(θj) = 0.

¤Por esta razon damos la siguiente:

Definicion 3.4 Una formula de cuadratura In(f) =∑n

j=1 λjf(θj), siexiste, tal que In(T ) = Iω(T ), ∀T ∈ Tn−1, se dira de “la maxima preci-sion trigonometrica”.

Proposicion 3.4.2 Una formula de cuadratura In(f) =∑n

j=1 λjf(θj)con la maxima precision trigonometrica, tiene todos los pesos positivos.

Demostracion: Sea In(f) =∑n

j=1 λjf(θj) = Iω(f), ∀f ∈ Tn−1 y

definamos ∀j = 1, . . . , n : tj(θ) =n∏

k = 1k 6= j

sen2

(θ − θk

2

). Vemos que

tj ∈ Tn−1, tj(θ) ≥ 0, ∀j = 1, . . . , n y tj(θj) > 0, ∀j = 1, . . . , n. Porconsiguiente, para todo j = 1, . . . , n :

0 < Iω(tj) = In(tj) = λjtj(θj) ⇒ λj > 0.

¤Nuestro problema ahora sera caracterizar la existencia de tales formu-

las de cuadratura con el maximo grado de precision algebraica. Previa-mente podemos dar la siguiente

Proposicion 3.4.3 Dados n nodos distintos en [−π, π], existe un ciertosubespacio Tn de Tn−1 de dimension n, de modo que podemos determinarde forma unica n pesos A1, . . . , An para los cuales se tiene:

In(f) =n∑

j=1

Ajf(θj) = Iω(f), ∀f ∈ Tn.

Demostracion: Supongamos primero n impar, esto es, n = 2m + 1 ytomemos Tn = T2m+1 = Tm. Obviamente, dim (Tm) = 2m + 1 = n.

106

Ahora bien, dados θ1, . . . , θn, θi 6= θj , ∀i 6= j, θj ∈ [−π, π], ∀j =1, . . . , n, sabemos que existe Ln ∈ Tm que interpola a f en tales nodos.Ası pues, utilizando la formula de Lagrange:

Ln(θ) =n∑

j=1

tj(θ)f(θj), tj ∈ Tm, (tj(θk) = δj,k) ,

podemos escribir

Iω(Ln) =n∑

j=1

Iω(tj)f(θj) =n∑

j=1

Ajf(θj),

con Aj = Iω(tj), j = 1, . . . , n y cumpliendo, por propia construccion,que In(f) es exacta en Tm.

Falta comprobar la unicidad. Supongamos que ∃ A1, . . . , An talesque

In(f) =n∑

j=1

Ajf(θj) = Iω(f), ∀f ∈ Tm.

Utilizando los polinomios trigonometricos tj ∈ Tm, definidos anterior-mente, se tiene:

In(tj) =n∑

j=1

Ajt(θj) = Aj = Iω(tj) = Aj , ∀j = 1, . . . , n.

Supongamos ahora que n es par, es decir, n = 2m. Ahora tomaremosTn = Tm \ 〈cosmθ〉 o Tn = Tm \ 〈senmθ〉 y procedemos como en el casoanterior, haciendo uso del Teorema 3.1 de este Capıtulo. ¤

Despues de estos resultados preliminares, podemos ya enunciar nues-tro problema. A saber: “ Dada la integral Iω(f) y n ∈ N, encontrar nodosθ1, . . . , θn en [−π, π] distintos entre sı y numeros reales λ1, . . . , λn talesque:

In(f) =n∑

j=1

λjf(θj) = Iω(f) =∫ π

−πf(θ)ω(θ)dθ, ∀f ∈ Tn−1. (3.30)

Dado que Tn−1 = 〈1, cos θ, senθ, . . . , cos(n−1)θ, sen(n−1)θ〉, la formula

107

(3.30) conduce al siguiente sistema

∑nj=1 λj =

∫ π−π ω(θ)dθ

∑nj=1 λj cos θj =

∫ π−π cos θω(θ)dθ

∑nj=1 λjsenθj =

∫ π−π senθω(θ)dθ

. . .

∑nj=1 λj cos(n− 1)θj =

∫ π−π cos(n− 1)θω(θ)dθ

∑nj=1 λjsen(n− 1)θj =

∫ π−π sen(n− 1)θω(θ)dθ,

(3.31)

el cual es no lineal con 2n−1 ecuaciones y 2n incognitas: θjnj=1, λjn

j=1.En lo que sigue supondremos que n es par: n = 2m y procederemos co-mo en el caso de las formulas Gaussiana ([14]). Ası, en lugar de “tratar”directamente el sistema (3.31), intentaremos analizar las propiedadesdel polinomio trigonometrico cuyos ceros son precisamente los nodosθjn

j=1 que estamos buscando. Sea pues, Tm(θ) =∏n

j=1 sen(

θ−θj

2

).

Ası, siempre que dicho polinomio trigonometrico pueda ser caracteriza-do y que sus ceros satisfagan θi 6= θj , ∀i 6= j, θjn

j=1 ⊂ [−π, π], entonceslos pesos λjn

j=1 se pueden deducir de las 2m primeras ecuaciones, lascuales constituyen un sistema lineal en las incognitas λjn

j=1. Por laProposicion 3.4.3, tal sistema admite solucion unica.

Ahora bien, utilizando convenientemente las 2m − 1 ecuaciones, sepuede mostrar que Tm(θ) cumple lo siguiente

〈Tm, t〉ω =∫ π

−πTm(θ)t(θ)ω(θ)dθ = 0, ∀t ∈ Tm−1. (3.32)

Supongamos ahora dado un sistema bi-ortogonal f0⋃fn, gn∞n=0 pa-

ra la funcion peso ω. Como Tm ∈ Tm y f0⋃fk, gkm

k=0 es una base deTm, podemos escribir

Tm(θ) = α0 +m∑

k=1

(αkfk(θ) + βkgk(θ)) ,

108

y por (3.32) se sigue que αk = 0, k = 0, . . . ,m − 1; βk = 0, k =1, . . . , m− 1. Por consiguiente:

Tm(θ) = αmfm(θ) + βmgm(θ), |am|+ |bm| > 0, (3.33)

y hemos probado el siguiente:

Teorema 3.3 Sea In(f) =∑n

j=1 λjf(θj) una formula de cuadraturacon maximo grado de precision trigonometrica para Iω(f) y seaf0

⋃fn, gn∞n=0 un sistema bi-ortogonal para la funcion peso ω. Defina-mos:

Tm(θ) =n∏

j=1

sen(

θ − θj

2

),

donde estamos suponiendo que n = 2m. Entonces, existen a y b reales,ambos no nulos, tales que:

Tm(θ) = afm(θ) + bgm(θ). (3.34)

La pregunta ahora es, ¿existen realmente las formulas In(f) = I2m(f)con el maximo grado de precision trigonometrica? Tal interrogante llevadirectamente a indagar acerca de la localizacion de los ceros del polino-mio trigonometrico Tm dado por (3.34). La respuesta la tenemos en elsiguiente:

Teorema 3.4 Sea f0⋃fn, gn∞n=0 un sistema bi-ortogonal para la fun-

cion peso ω y sean a y b numeros reales no nulos. Entonces, el polinomiotrigonometrico Tm(θ) = afm(θ) + bgm(θ) tiene exactamente 2m cerosreales y distintos contenidos en cualquier intervalo de longitud 2π.

Demostracion: Sea p el numero de ceros de Tm(θ) en [−π, π] conmultiplicidad impar, siendo estos: θ1, . . . , θp y modo que 0 ≤ p ≤ 2m.Tambien sabemos que p debe ser par, digamos p = 2k. Ası pues, sisu‘ponemos que k < m hemos de llegar a una contradiccion. A tal efecto,definamos

Uk(θ) =k∏

j=1

sen(

θ − θ2j

2

)sen

(θ − θ2j−1

2

)∈ Tk.

(Obviamente, si k = 0, entonces Uk(θ) = 1). Por consiguiente:

Tm(θ) = afm(θ) + bgm(θ) = Uk(θ)Vm−k(θ),

109

donde Vm−k ∈ Tm−k y signo constante en [−π, π]. En virtud de la orto-gonalidad, se sigue, por un lado, que:

I =∫ π

−πTm(θ)Uk(θ)ω(θ)dθ = 0,

mientras que por otro:

I =∫ π

−πU2

k (θ)Vm−k(θ)ω(θ)dθ 6= 0,

pues ω(θ) es una funcion peso en [−π, π] y Vm−k(θ) no cambia de signoen este intervalo. Se sigue que k debe coincidir con m y se concluye lademostracion. ¤

Ademas, tambien es valida la siguiente propiedad de entrelazamientode ceros:

Teorema 3.5 En las mismas condiciones que el Teorema 3.4, los cerosde afm(θ) + bgm(θ) y −afm(θ) + bgm(θ) se entrelazan.

Demostracion: dado que estamos tratando propiedades de los ceros,podemos suponer, sin perdida de generalidad, que el sistema

f0

⋃fk, gk∞k=1

es bi-ortonormal, e introduzcamos la funcion:

Kn(α, θ) = f0(α)f0(θ) +n∑

k=1

(fk(α)fk(θ) + gk(α)gk(θ)) ,

lo cual, es facil verificar que satisfacen la propiedad de nucleo reproduc-tor:

T (α) =∫ π

−πKn(α, θ)T (θ)ω(θ)dθ, ∀T ∈ Tn.

Por otro lado, del artıculo de Szego [31], se puede deducir la siguienteidentidad de Christoffel- Darboux:

Kn−1(α, θ) = 12

κ2n−1

κ2ncot

(θ−α

2

)(fn(α)gn(θ)− fn(θ)gn(α))−

− (rnfn(α)fn(θ) + sngn(α)gn(θ)) ,

110

siendo ϕn(z) = κnzn + . . . + ln el polinomio ortonormal de Szego degrado n (κn > 0) y

2rn = 1− |l2n|κ2n

, 2sn = 1 + |l2n|κ2n

> 0.

dado que 4rnsn = 1− |l2n|2κ22n

= 1−s2n > 0, se sigue que rn > 0, obteniendo

la siguiente formula confluente:

Kn−1(α, α) = lımθ→α Kn−1(α, θ) = κ2n−1

κ2n

(fn(α)g

′n(α)− f

′n(α)gn(α)

)−

− (rnf2

n(α) + sng2n(α)

).

Haciendo Mn(α) = rnf2n(α) + sng2

n(α) > 0 y teniendo en cuenta queKn−1(α, α) > 0, llegamos a la siguiente relacion:

∀α ∈ R : fn(α)g′n(α)− f

′n(α)gn(α) = (Mn(α) + Kn−1(α, α))

κ2n−1

κ2n> 0,

siendo facil ahora ver que los ceros de fn(θ) y gn(θ) se entrelazan.Consideremos ahora:

Cn(θ) = afn(θ) + bgn(θ)

Dn(θ) = −bfn(θ) + agn(θ).

Entonces:

Cn(α)D′n(α)− C

′n(α)Dn(α) = (a2 + b2)fn(α)g

′n(α)− f

′n(α)gn(α) > 0,

y la demostracion se concluye sin dificultad. ¤Ası pues, tenemos de inmediato,

Corolario 3.3 Sea f0⋃fn, gn∞n=0 un sistema bi-ortogonal para ω.

Entonces, ∀m ≥ 1(i) Tanto fm como gm tienen 2m ceros distintos y contenidos en

[−π, π].(ii) Los ceros de fm se entrelazan con los de gm en [−π, π].

Observacion 12 Los dos teoremas anteriores fueron probados por Szego[31], utilizando la propiedad de los ceros de los polinomios de Szego.Aquı hemos dado una prueba alternativa utilizando el significado de labi-ortogonalidad. Serıa interesante investigar si la propiedad de los ce-ros de los polinomios de Szego se pudiera deducir a partir de la propiabi-ortogonalidad.

111

El Teorema 3.4 nos permite establecer el recıproco al Teorema 3.3.

Teorema 3.6 Sea f0⋃fk, gk∞k=0 un sistema bi-ortogonal para la fun-

cion peso ω. Sean a y b reales, ambos no nulos y θj2nj=1 los ceros de

Tn(θ) = afn(θ)+bgn(θ). Entonces, existen numeros positivos λ1, . . . , λ2n

tales que

I2n(f) =2n∑

j=1

λjf(θj) = Iω(f), ∀f ∈ T2n−1.

Demostracion: A lo largo de la demostracion Tn coincidira bien conTn \ 〈cosnθ〉 o con Tn \ 〈sennθ〉. Ası pues, dim

(Tn

)= 2n y dados los

2n ceros θ1, . . . , θ2n, de Tn(θ) = afn(θ)+ bgn(θ), (|a|+ |b| > 0), sabemosque existen λ1, . . . , λ2n unıvocamente determinados tales que

I2n(f) =2n∑

j=1

λjf(θj) = Iω(f), ∀f ∈ Tn.

Veamos que I2n(f) es del maximo grado de precision trigonometrica, esdecir, I2n(f) = Iω(f), ∀f ∈ T2n−1.

Tomemos T ∈ T2n−1, y sea Ln ∈ Tn tal que

T (θj) = Ln(θj), j = 1, . . . , 2n.

Entonces, T−Ln ∈ T2n−1 y (T−Ln)(θj), j = 1, . . . , 2n. Por consiguiente,podemos escribir

T (θ)− Ln(θ) = Un(θ)V (θ), V ∈ Tn−1,

es decir, T (θ) = Ln(θ) + Un(θ)V (θ). Por tanto,

Iω(T ) =∫ π

−πLn(θ)ω(θ)dθ +

∫ π

−πUn(θ)V (θ)ω(θ)dθ.

Ahora bien, por ortogonalidad,∫ π

−πUn(θ)V (θ)ω(θ)dθ = α

∫ π

−πfn(θ)V (θ)ω(θ)dθ+β

∫ π

−πgn(θ)V (θ)ω(θ)dθ.

Por tanto,

Iω(T ) =∫ π

−πLn(θ)ω(θ)dθ =

2n∑

j=1

λjLn(θj) =2n∑

j=1

λjT (θj) = I2n(T ).

112

Por otro lado, el caracter positivo de los pesos sigue de la Proposicion3.4.2 . Sin embargo, tambien podemos dar una representacion integralde los mismos. Ası, para j = 1, . . . , 2n, definimos,

lj(θ) = cjTn(θ)

sen(

θ−θj

2

) ,

siendo cj una constante de normalizacion de modo que lj(θj) = 1. Esdecir:

lj(θj) = cj lımθ→θj

Tn(θ)

sen(

θ−θj

2

) = 2cjT′n(θj).

Ası, cj = 12T ′n(θj)

.

Por otro lado, l2j ∈ T2n−1, j = 1, . . . , 2n y lj(θk) = δj,k, lo cualimplica

Iω(l2j ) = I2n(l2j ) =2n∑

k=1

λklj(θk) = λj , j = 1, . . . , 2n.

En definitiva, hemos obtenido la siguiente expresion para los pesos:

λj =∫ π

−π

Tn(θ)

2T ′n(θ)sen

(θ−θj

2

)

2

ω(θ)dθ, j = 1, . . . , 2n. (3.35)

¤El siguiente resultado podrıa ser de interes a la hora de estimar el

error en la formula I2n(f). En efecto, se tiene

Teorema 3.7 Sean a y b reales no nulos y θj2nj=1 los ceros de afn(θ)+

bgn(θ), siendo f0⋃fk, gk∞1 un sistema bi-ortonormal. Sea H2n ∈ T2n−1

tal que

H2n(θj) = f(θj), 1 ≤ j ≤ 2n

H′2n(θj) = f

′(θj), 1 ≤ j ≤ 2n, j 6= k ∈ 1, . . . , 2n.

Entonces, Iω(H2n) coincide con I2n(f) =∑n

j=1 λjf(θj), la correspon-diente formula de cuadratura con el maximo grado de precision trigo-nometrica.

113

Demostracion: Hagase como ejercicio.Ahora cabra preguntarse si para la formula I2n(f) con el maximo

grado de precision trigonometrica, dada en el teorema anterior, los pe-sos admiten una representacion explıcita en terminos de un sistema bi-ortonormal similar a la formula de los pesos para las cuadraturas Gaus-sianas. A tal efecto, recordar que si denotamos por A1, . . . , An los pesosde la n−esima formula Gaussiana para la funcion peso σ(x) en [a, b],(−∞ ≤ a < b ≤ ∞), entonces se cumple:

Aj =1

n∑

k=1

|ϕk(xj)|2, j = 1, . . . , n,

siendo ϕk∞k=0 la correspondiente sucesion de polinomios ortonormalescon respecto a σ(x) en [a, b], y xjn

j=1 los ceros de ϕn, ∀n. Al respecto,vale el siguiente resultado que enunciaremos sin demostracion:

Teorema 3.8 Sea f0⋃fk, gk∞1 un sistema bi-ortonormal para ω(θ)

y sea I2n(f) =∑2n

j=1 λjf(θj) la correspondiente formula de cuadraturacon el maximo grado de precision trigonometrica. Entonces

λj =1

f20 +

n−1∑

k=1

(f2

k (θj) + g2k(θj)

)+

(1− |δ2n|

2

)f2

n(θj) +(

1 + |δ2n|2

)g2n(θj)

,

(3.36)siendo δ2n = ρ2n(0), donde ρ2n(z) es el polinomio monico de Szego degrado 2n y θj2n

j=1 los ceros de afn(θ) + bgn(θ), (|a|+ |b| > 0).

Ejemplo 3.3 Ahora vamos a caracterizar, de acuerdo con los resultadosobtenidos, las formulas de maximo grado de precision trigonometricapara ω(θ) = 1, ∀θ ∈ [−π, π]. Como hemos visto, un sistema ortogonales 1, (cosnθ, sennθ)∞n=1. Por consiguiente, un sistema bi-ortonormal,viene dado por

f0 = 1√2π

, fn(θ) = cos nθ√π

, gn(θ) = sennθ√π

, n = 1, 2, . . . .

Los nodos seran los ceros de afn(θ)+bgn(θ). Ası, tomando a = 0 y b = 1,se tiene que gn(θ) = 0, es decir, sennθ = 0, y por tanto θ = kπ

n , k ∈ Z.

114

Tomando k ∈ −n,−n + 1, . . . , 0, 1, . . . , n− 1, tenemos 2n ceros en[−π, π], es decir, θk = kπ

n , −n ≤ k ≤ n− 1. Si hacemos k = j − n :

θj =j − nπ

n= −π +

jπ

n= −π +

2πj

2n, j = 0, 1, . . . , 2n− 1.

Es decir, los 2n ceros θj estan igualmente espaciados en [−π, π] con pasoh = 2π

2n = πn .

Por otro lado, ρn(z) = zn y δ2n = ρ2n(0) = 0, n = 1, 2, . . . . Ası pues,si utilizamos la expresion (3.36) para los pesos, resultara:

λj =1

12π +

n−1∑

k=1

(cos2(kθj)

π+

sen2(kθj)π

)+

12

(cos2(nθj)

π+

sen2(nθj)π

) ,

es decir, λj = πn , j = 1, . . . , 2n.

Tales expresiones para los nodos y para los pesos coinciden con losdados en la introduccion del Capıtulo 2 (Seccion 2.10), si bien con nues-tro analisis solo hemos deducido el caso de formulas de cuadratura conun numero par de nodos, tanto para el caso de ω(θ) = 1 como para elcaso general. Ahora bien, al menos para ω(θ) = 1 hemos visto que se pue-den construir formulas con el maximo grado de precision trigonometricay un numero impar de nodos. Ası pues, ¿Que sucede en el caso gene-ral? ¿Como proceder? Parece claro que no podemos ya utilizar los cerosde polinomios trigonometricos como nodos, pues estos son siempre unnumero par. Tales interrogantes no aparecen en el trabajo de Szego, po-siblemente debido a que ni se lo planteo, (estaba mas interesado en otrascuestiones de tipo analıtico), o si se lo llego a plantear, es muy posibleque pensara que solo habrıa de introducirse ligeras modificaciones tecni-cas. Tales modificaciones, en modo alguno triviales, forman parte de untrabajo de investigacion de los autores, el cual se haya en fase de prepa-racion. Sin embargo, aquı no seguiremos dicha pauta. Como alternativa,pasaremos a la circunferencia unidad y nos plantearemos el construirformulas de cuadratura con nodos sobre T y que sean exactas en cier-tos subespacios de polinomios de Laurent, siendo este precisamente elobjetivo de la siguiente seccion.

115

3.5. Cuadraturas sobre la circunferencia unidad.Formulas de Szego

En esta seccion nos planteamos estimar integrales de la forma∫

Tf(z)dµ(z),

siendo µ una medida positiva en T, por medio de una expresion

In(f) =n∑

j=1

λjf(zj), zj 6= zk, zj ∈ T. (3.37)

Aquı volvemos a suponer, por simple comodidad, que la medida µ esabsolutamente continua, es decir, dµ(z) = ω(z)dz, z ∈ T y escribiremosla integral anterior como:

∫

Tf(z)dµ(z) =

∫ π

−πf

(eiθ

)ω(θ)dθ = Iω(f).

Logicamente, ahora f puede tomar valores complejos, de modo que sif

(eiθ

)= f1(θ) + if2(θ), (las funciones fj(θ), j = 1, 2 son periodicas

de periodo 2π) entonces Iω(f) = Iω(f1) + iIω(f2) y podrıamos utilizarla teorıa desarrollada en la seccion anterior para construir las formu-las (3.37). Sin embargo, procederemos dentro del propio marco de fun-ciones definidas sobre T y, teniendo en cuenta el hecho basico de quetoda funcion continua sobre T se puede aproximar uniformemente porpolinomios de Laurent, de forma que los nodos zjn

j=1 sobre T y lospesos λjn

j=1 se van a determinar imponiendo que la formula In(f)sea exacta en subespacios de ∆ de la forma ∆−p,p con p dependien-do de n lo mas grande posible. (Claramente, lo anterior significa queIω(L) = In(L), ∀L ∈ ∆−p,p, p = p(n).)

Al igual que en el caso trigonometrico, debemos tener en cuenta lossiguientes hechos:

1. No puede existir una formula de cuadratura con n nodos que seaexacta en ∆−n,n. Para ello, basta tomar Qn(z) =

∏nj=1(z − zj) de

modo que∣∣Qn

(eiθ

)∣∣2 = Ln

(eiθ

), con Ln ∈ ∆−n,n. Ası,

Iω(Ln) > 0, y In(Ln) = 0.

116

2. Cualquier formula de cuadratura con n nodos que sea exacta en∆−(n−1),n−1 tiene coeficientes λj positivos. Tomese lj(z) = Qn(z)

(z−zj),

j = 1, . . . , n y considerese∣∣lj

(eiθ

)∣∣2 ∈ ∆−(n−1),n−1.

3. Si existe una formula de cuadratura con n nodos distintos y situa-dos sobre T que sea exacta en ∆−(n−1),n−1, diremos que ∆−(n−1),n−1

representa el “maximo dominio de validez” para dicha formula,siendo nuestro objetivo el construir formulas de cuadratura con elmaximo dominio de validez.

4. Sea In(f) =∑n

j=1 λjf(θj), θj 6= θk, θj ∈ [−π, π] exacta en Tn−1,

entonces In(f) =∑n

j=1 λjf(zj) con zj = eiθj , j = 1, . . . , n esexacta en ∆−(n−1),n−1. Ası pues, de la seccion anterior, deducimosque el problema de construir formulas de cuadratura con nodossobre T y con “maximo dominio de validez” estarıa resuelto parael caso de un numero par de nodos.

5. Recıprocamente, sea In(f) =∑n

j=1 λjf(zj) con nodos distintossobre T y exacta en ∆−(n−1),n−1. Entonces, In(f) =

∑nj=1 λjf(θj),

(zj = eiθj ) es tambien exacta en Tn−1.

De esto ultimo, vemos que si para n = 1, 2, . . . se puede contruiruna formula In(f) con nodos distintos sobre T y exacta en ∆−(n−1),n−1,tendrıamos resuelto el problema planteado al final de la ultima seccion.Ası pues, procederemos con la contruccion de tales formulas, dando enprimer lugar el siguiente:

Teorema 3.9 Sea In(f) =∑n

j=1 λjf(zj) con nodos distintos sobre T yexacta en ∆−(n−1),n−1 y definamos Bn(z) =

∏nj=1(z − zj). Entonces

1. El polinomio Bn(z) es invariante.

2. El polinomio Bn(z) cumple las siguientes condiciones de ortogo-nalidad:

〈Bn, zk〉ω = 0, 1 ≤ k ≤ n− 1 〈Bn, 1〉ω 6= 0 〈Bn, zn〉ω 6= 0.(3.38)

Demostracion:

117

1.

B∗n(z) = znBn

(1z

)= zn

∏nj=1

(1z − 1

zj

)

= (−1)n

z1...zn

∏nj=1(z − zj) = knBn(z).

Luego, el polinomio Bn(z) es invariante.

2. La formula de cuadratura In(f) es exacta en ∆−(n−1),n−1. Portanto,

n∑

j=1

λjzkj = µk, −(n− 1) ≤ k ≤ n− 1, (3.39)

siendo µk =∫ π−π e−ikθω(θ)dθ, los momentos trigonometricos de

ω(θ), constituye un sistema no lineal de 2n− 1 ecuaciones con 2nincognitas. Ahora, procediendo como en el caso polinomico ([14])concluimos que Bn(z) satisface:

〈Bn, zk〉ω = 0, 1 ≤ k ≤ n− 1. (3.40)

Por otro lado, el requisito de que los nodos deben hallarse sobreT, va a implicar que:

〈Bn, 1〉ω 6= 0 y 〈Bn, zn〉ω 6= 0. (3.41)

En efecto, supongamos que 〈Bn, 1〉ω = 0. Si Bn(z) satisface (3.40),se tiene que

〈Bn, zk〉ω = 0, 0 ≤ k ≤ n− 1,

implicando que Bn(z) = cnρn(z), (cn 6= 0), siendo ρn el n−esimopolinomio de Szego monico. Dado que sus ceros se hallan en D,conlleva una contradiccion.

De la misma manera, si suponemos ahora que 〈Bn, zn〉ω = 0, juntocon la formula (3.40), tendrıamos que

〈Bn, zk〉ω = 0, 1 ≤ k ≤ n.

Por consiguiente, Bn(z) = dnρ∗n(z), (dn 6= 0), surgiendo de nuevootra contradiccion ya que los ceros de ρ∗n estan en E. ¤

118

Observacion 13 Cabe resaltar que de la propia demostracion del teore-ma anterior se deduce que no pueden existir formulas con n nodos sobreT que sean exactas ni en ∆−n,n−1 ni en ∆−(n−1),n.

Los polinomios Bn(z) que satisfacen las condiciones de ortogonalidad(3.38) fueron introducidos por Jones, Njastad y Thron en [18], motivandola siguiente

Definicion 3.5 Un polinomio Bn(z) de grado n se dice “para-ortogonal”con respecto a la funcion peso ω(θ) si satisface (3.38), es decir,

〈Bn, zk〉ω = 0, 1 ≤ k ≤ n− 1 〈Bn, 1〉ω 6= 0 〈Bn, zn〉ω 6= 0.

Inmediatamente, se plantean las siguientes cuestiones: Dado n ∈ N,¿existe un polinomio de grado n que satisfaga (3.38)? Caso de respuestaafirmativa, ¿ Como se puede caracterizar? ¿Que se puede decir sobre susceros? Tales cuestiones fueron respondidas en el trabajo de Jones et alen el ano 1989. En primer lugar, teniendo en cuenta las propiedades deortogonalidad de los polinomios de Szego ρn(z)n y de sus recıprocosρ∗n(z)n, (recordar que 〈ρn, zk〉ω = 0, 0 ≤ k ≤ n − 1 y 〈ρ∗n, zk〉ω =0, 1 ≤ k ≤ n), se ve facilmente que cualquier polinomio de la formaρn(z)+ τρ∗n(z) con τ ∈ C\0 y 1+ τδn 6= 0, tiene grado exactamente ny verifica (3.38). Por otro lado, si τ ∈ T, entonces 1+τδn 6= 0, (|δn| < 1),ρn(z) + τρ∗n(z) es invariante y logicamente para-ortogonal. Ademas secumple el siguiente

Teorema 3.10 Sea Bn(z) un polinomio de grado n, entonces Bn(z) espara-ortogonal e invariante sı y solo si

Bn(z) = cn (ρn(z) + τρ∗n(z)) , cn 6= 0, τ ∈ T. (3.42)

Demostracion: Veamos que si Bn(z) es un polinomio de grado n,para-ortogonal e invariante entonces se puede expresar en la forma (3.42).Para ello consideremos el polinomio Tn(z) = Bn(z)− cnρn(z)− dnρ∗n(z)donde cn y dn se determinan imponiendo que 〈Tn, ρn〉ω = 0 y 〈Tn, ρ0〉ω =〈Tn, 1〉ω = 0. Entonces,

cn = 〈Bn,ρn〉ω〈ρn,ρn〉ω −

〈ρ∗n,ρn〉ω〈ρn,ρn〉ω

〈Bn,1〉ω〈ρ∗n,1〉ω

dn = 〈Bn,1〉ω〈ρ∗n,1〉ω 6= 0.

119

Dado que Tn ∈ Πn y ρknk=0 es una base (ortogonal) de Πn, podemos

escribir

Tn(z) =n∑

k=0

akρk(z), ak ∈ C.

Por tanto 〈Tn, ρ0〉ω = a0〈ρ0, ρ0〉ω = 0 y a0 = 0. Analogamente, 〈Tn, ρn〉ω =an〈ρn, ρn〉ω = 0 y an = 0.

Ası, Tn(z) =∑n−1

k=1 akρk(z). Por otro lado, 〈Tn, z〉ω = a1〈ρ0, z〉ω.Como Tn es para-ortogonal se tiene que 〈Tn, z〉ω = 0 y por tanto a1 = 0.Continuando de esta manera, vemos que a2 = a3 = . . . an−1 = 0. Porconsiguiente, Tn(z) = 0 y podemos escribir:

Bn(z) = cnρn(z) + dnρ∗n(z).

Faltarıa por comprobar que cn 6= 0 y que |cn| = |dn|. Ahora bien, cn 6= 0ya que en caso contrario Bn(z) = dnρ∗n(z) y esto llevarıa a una contradic-cion. Por otro lado, Bn es invariante, luego existe k ∈ T tal que B∗

n(z) =kBn(z). Dado que B∗

n(z)− kBn(z) = 0 pero B∗n(z) = cnρ∗n(z)+ dnρn(z).

Resultara:

cnρ∗n(z) + dnρn(z)− kcnρn(z)− kdnρ∗n(z) = 0,

lo cual implica:

(dn − kcn)ρn(z) + (cn − kdn)ρ∗n(z) = 0.

Como ρn y ρ∗n son linealmente independientes (compruebese), se sigue|cn| = |dn|. ¤

En definitiva, por el teorema anterior, vemos que un polinomio para-ortogonal de grado n viene esencialmente dado en terminos del polinomiode Szego del mismo grado. Ahora bien, recuerdese que las sucesionesρn y ρ∗n satisfacen las leyes de recurrencia (2.22) Por consiguiente, unpolinomio para-ortogonal e invariante se expresa en la forma

Bn(z) = cn (ρn(z) + τρ∗n(z))

=(1 + τδn

)cn

(zρn−1(z) + τ+δn

1+τδnρ∗n−1(z)

).

Observese que (1 + τδn) 6= 0 pues |τ | = 1.

120

Ası,

Bn(z) = cn

(zρn−1(z) + λρ∗n−1(z)

), cn 6= 0, |λ| = 1, (3.43)

pues λ = τ+δn

1+τδntiene efectivamente modulo uno.

Recıprocamente, cualquier polinomio de la forma (3.43) es para-ortogonal e invariante ya que lo podemos escribir como,

Bn(z) = cn (ρn(z) + τρ∗n(z)) , con τ =δn − λ

δnλ− 1,

siendo facil comprobar que |τ | = 1.En suma, hemos probado la siguiente caracterizacion alternativa de

un polinomio para-ortogonal e invariante

Teorema 3.11 Un polinomio Bn(z) es para-ortogonal e invariante sı ysolo si

Bn(z) = cn

(zρn−1(z) + λρ∗n−1(z)

), |λ| = 1, cn 6= 0.

Observacion 14 Como consecuencia del teorema anterior, dado λ ∈ T,cuando se desee computar un polinomio para-ortogonal e invariante, solose necesita conocer el polinomio de Szego de grado n− 1 : ρn−1(z).

Continuando con el analisis de la formula de cuadratura sobre T con“maximo dominio de validez”, por el Teorema 3.9, se torna crucial elconocer la localizacion de los ceros de los polinomios Bn(z), n = 1, 2, . . .dados por (3.43) o equivalentemente por (3.42). Al respecto, tenemos elsiguiente

Teorema 3.12 Sea Bn(z) polinomio de grado n, para-ortogonal e in-variante, entonces Bn(z) tiene exactamente n ceros distintos situadossobre T.

Demostracion: Consideraremos primero el caso par, de forma queB2n(z) es ahora un polinomio de grado 2n, para-ortogonal e invarian-te. Ademas, sin perdida de generalidad podemos suponer que es “1-invariante” o “autorecıproco”. Por consiguiente:

e−inθBn

(eiθ

)= Tn(θ), Tn ∈ Tn, de grado exacto n.

121

Comprobemos que Tn es ortogonal a Tn−1, esto es, 〈Tn, T 〉 = 0, ∀T ∈Tn−1, o equivalentemente, 〈Tn, zj〉 = 0, −(n − 1) ≤ j ≤ n − 1. Ahorabien,

〈Tn, zj〉 =∫ π−π e−inθB2n

(eiθ

)e−ijθω(θ)dθ

=∫ π−π B2n

(eiθ

)e−i(n+1)θω(θ)dθ

Dado que −(n− 1) ≤ j ≤ n− 1, entonces 1 ≤ n+ j ≤ 2n− 1, por lo quecuando n + j = k :

〈Tn, zj〉 =∫ π

−πB2n

(eiθ

)e−ikθω(θ)dθ = 〈B2n, zk〉 = 0,

debido a la para-ortogonalidad. Sea ahora (f0, fk, gk∞k=1) un sistemabi-ortogonal, entonces existen a y b reales no nulos tales que Tn(θ) =afn(θ) + bgn(θ). Por consiguiente, aplicando el Teorema 3.4 vemos queTn(θ) tiene exactamente 2n ceros distintos en [−π, π], lo cual implicaque B2n(z) tiene 2n ceros distintos sobre T.

Supongamos ahora B2n+1(z) (caso impar) para-ortogonal e invarian-te. Tal y como vimos en la Seccion 1.1, se sabe que B2n+1(z) tiene almenos un cero sobre T de multiplicidad impar, por lo que podemos es-cribir:

B2n+1(z) = (z − α)B2n(z), |α| = 1,

siendo B2n(z) de grado 2n, comprobandose que B2n(z) es invariantey para-ortogonal con respecto a la funcion peso ω(θ) = |eiθ − α|2ω(θ)(hagase como ejercicio).

Por consiguiente, B2n(z) tiene exactamente 2n ceros distintos loca-lizados sobre T. Ademas, cualquier cero de B2n(z) debe ser distinto deα, pues de lo contrario, la multiplicidad de este serıa par. ¤

Observacion 15 En el artıculo [18], Jones et al. dan una demostracionmas larga. Aquı, hemos aprovechado la propiedad de los ceros de lossistemas bi-ortogonales para una demostracion mas directa y sencilla.

Supongamos ahora que Bn(z)∞n=1representa una sucesion de po-linomios para-ortogonales e invariantes (autorecıprocos), de modo que,para n = 1, 2, . . . podemos definir:

fn(θ) =B2n

(eiθ

)

einθ∈ Tn, n = 1, 2, . . . . (3.44)

122

Por tanto, si anadimos f0 ≡ cte 6= 0, la sucesion fn∞0 representara unsistema ortogonal no trivial de polinomios trigonometricos, en el sentidoque para cada n, fn(θ) tiene grado exacto n y 〈fn, fm〉 = knδn,m,kn > 0, n, m = 1, 2, . . . . En consecuencia, parece natural el pregun-tarse si es posible determinar otro sistema ortogonal de polinomios tri-gonometricos gn∞0 de forma que (f0, fk, gk∞k=1) forme un sistemabi-ortogonal para ω(θ). Ası pues, supongamos que ∀n ≥ 1 :

B2n(z) = B2n(z, τn) = cn (ρ2n(z) + τnρ∗2n(z)) , cn 6= 0, |τ1| = 1.

Ciertamente, se puede escribir: τn = γnγn

con γn 6= 0.

Por otro lado, para z = eiθ, se tiene:

B2n(z)zn = cn

(ρ2n(z)+τρ∗2n(z)

zn

)= cn

γn

(γnρ2n(z)+γnρ∗2n(z)

zn

)

= cnγn

(γnρ2n(z)+γnz2nρ2n(z)

zn

)

= cnγn

(γnz−nρ2n(z) + γnz−nρ2n(z)

)

= 2 cnγn< (γnz−nρ2n(z)) .

Por tanto, de (3.44), se deduce:

fn(θ) = cn<(γnz−nρ2n(z)

), cn ∈ R, cn 6= 0, z = eiθ. (3.45)

Consideremos ahora:

B2n(z) = B2n(z,−τn) = dn (ρ2n(z)− τnρ∗2n(z)) ,

con dn 6= 0, de forma que sea “autorecıproco” y definimos: gn(θ) =eB2n(eiθ,−τn)

eiθ , n = 1, 2, . . . .Entonces, gn∞0 representa un sistema ortogonal de polinomios tri-

gonometricos verificando

〈gn, gm〉ω = knδn,m, kn > 0 〈gn, fm〉ω = 0, n = 1, 2, . . . , m = 0, 1, 2, . . . ,

siempre que n 6= m. Por tanto, cara a conseguir un sistema biortogonal,hemos de comprobar ademas de lo anterior, que tambien se cumple

〈gn, fn〉ω = 0, n = 1, 2, . . . .

123

Como se hizo con fn(θ) es facil comprobar que

gn(θ) = dn=(γnz−nρ2n(z)

), dn ∈ R, dn 6= 0, z = eiθ.

Ası pues,

〈fn, gn〉ω = 0 ⇔ 〈< (γnz−nρ2n(z)

),= (

γnz−nρ2n(z))〉ω = 〈fn, gn〉ω = 0.

(Recuerdese que γn ∈ C, γn 6= 0 de modo que τn = eγγ ).

En estas condiciones, para z = eiθ :

∫ π−π (γnz−nρ2n(z))2 ω(θ)dθ =

∫ π−π

(fn + ign

)2ω(θ)dθ

=∫ π−π f2

nω(θ)dθ − ∫ π−π g2

nω(θ)dθ+

+2i∫ π−π fngnω(θ)dθ.

Por consiguiente, si suponemos que∫ π−π (γnz−nρ2n(z))2 ω(θ)dθ es

real, concluimos que∫ π−π fngnω(θ)dθ = 0.

Por otro lado,

γ2n

∫ π−π z−2nρ2

2n(z)ω(θ)dθ = γ2n

∫ π−π ρ2n(z)

(z2n+...+δ2n

z2n

)ω(θ)dθ

= γ2n

∫ π−π ρ2n(z) δ2n

z2n ω(θ)dθ

= γ2nδ2n〈ρ2n, z2n〉 = γ2

nδ2n‖ρ2n‖2ω.

El numero γ2nδ2n‖ρ2n‖2

ω es real sı y solo si γ2nδ2n ∈ R ⇔ γ2

nδ2n ∈ R, oequivalentemente en terminos de τn = γ

γ : τnδ2n ∈ R.En otras palabras, hemos probado el siguiente:

Teorema 3.13 Sea τn∞1 una sucesion de numeros complejos sobre Ttal que τnδ2n ∈ R, n = 1, 2, . . . y consideremos los polinomios para-ortogonales e invariantes (autorrecıprocos):

B2n(z, τn) = cn (ρ2n(z) + τnρ∗2n(z)) , cn 6= 0,

B2n(z,−τn) = dn (ρ2n(z)− τnρ∗2n(z)) , dn 6= 0.

Entonces:

1. fn(θ) =B2n(eiθ,τn)

einθ y gn(θ) =eB2n(eiθ,−τn)

einθ son polinomios trigo-nometricos de grado exacto n, para n = 1, 2, . . . .

124

2. Si tomamos f0 = cte. 6= 0, entonces (f0, fk, gk∞k=1) representaun sistema bi-ortogonal para ω(θ).

Ahora, del Teorema 3.5 (o Corolario 3.35), se deduce inmediatamen-te:

Corolario 3.4 Bajo las mismas hipotesis del Teorema 3.13, los cerosde B2n(z, τn) y B2n(z,−τn) se entrelazan.

Tambien, como recıproco al Teorema 3.13, tenemos

Proposicion 3.5.1 Sea (f0, fk, gk∞k=1) un sistema bi-ortogonal paraω(θ) y sean a y b numeros reales tales que |a|+ |b| > 0, entonces

Tn(θ) = afn(θ) + bgn(θ) = e−inθB2n

(eiθ

),

donde B2n(z) es un polinomio de grado 2n, para-ortogonal y 1−invariante.

Demostracion: Hagase como ejercicio.Una vez analizadas las propiedades de los ceros de los polinomios

para-ortogonales, podemos enunciar un recıproco al Teorema 3.9, ase-gurandonos la existencia de formulas de cuadratura con nodos sobre Ty exactas en ∆−(n−1),n−1 (maximo dominio de validez).

Teorema 3.14 Sean z1, . . . , zn los ceros de

Bn(z) = Bn(z, τ) = cn (ρn(z) + τρ∗n(z)) ,

con cn 6= 0 y |τ | = 1. Entonces, existen numeros positivos λ1, . . . , λn

tales que

In(f) =n∑

j=1

λjf(zj) = Iω(f) =∫ π

−πf

(eiθ

)ω(θ)dθ, ∀f ∈ ∆−(n−1),n−1.

Demostracion: Como hemos probado ya, los ceros z1, . . . , zn de Bn(z)son distintos y estan situados sobre T. Tomemos p y q enteros no nega-tivos tales que p + q = n− 1 y consideremos ∆−p,q = 〈zj : −p ≤ j ≤ q〉.Al tratarse de un espacio de Chebyshev de dimension n sobre T, el pro-blema de interpolacion sobre los nodos z1, . . . , zn tiene solucion unica.Esto nos permite deducir λ1, . . . , λn tales que

In(f) =n∑

j=1

λjf(zj) = Iω(f) ∀f ∈ ∆−p,q. (3.46)

125

(Observese que ∆−p,q ⊂ ∆−(n−1),n−1).Veamos que la formula (3.46) tambien es exacta en ∆−(n−1),n−1. Sea

pues f ∈ ∆−(n−1),n−1 y sea L ∈ ∆−p,q tal que f(zj) = L(zj), j =1, . . . , n. Entonces f − L ∈ ∆−(n−1),n−1 y (f − L)(zj) = 0, j = 1, . . . , n.Por tanto,

(f − L)(z) =P2n−2(z)

zn−1, P2n−2 ∈ Π2n−2, y P2n−2(zj) = 0, j = 1, . . . , n.

Por tanto, dado que Bn(zj) = 0, j = 1, . . . , n :

(f − L)(z) =Bn(z)Pn−2(z)

zn−1, Pn−2 ∈ Πn−2.

Esto implica, debido a la para-ortogonalidad, que:∫ π

−π(f − L)

(eiθ

)ω(θ)dθ =

∫ π

−π

Bn

(eiθ

)Pn−2

(eiθ

)

ei(n−1)θω(θ)dθ = 0.

Por consiguiente, al ser In(f) exacta en ∆−p,q y L ∈ ∆−p,q :

Iω(f) =∫ π−π f

(eiθ

)ω(θ)dθ

=∫ π−π L

(eiθ

)ω(θ)dθ

= In(L) =∑n

j=1 λjL(zj) =∑n

j=1 λjf(zj) = In(f).

El que los pesos sean positivos sigue de la “exactitud” en ∆−(n−1),n−1.Ademas, dado que tambien se verifica:

λj =∫ π

−π

∣∣∣lj(eiθ

)∣∣∣2ω(θ)dθ, j = 1, . . . , n,

siendo lj(z) = Bn(z)

(z−zj)B′n(z)

, j = 1, . . . , n, la formula resultante In(f)sera independiente de los parametros p y q que hemos tomado en lademostracion. ¤

Si refundimos los Teoremas 3.9 y 3.14, podemos enunciar el siguiente

Teorema 3.15 (Caracterizacion) Una formula de cuadratura In(f) =∑nj=1 λjf(zj) tal que zi 6= zj , ∀i 6= j, y zj ∈ T, es exacta en ∆−(n−1),n−1

para una funcion peso ω(θ), sı y solo si:

1. In(f) es exacta en ∆−p,q, siendo p y q enteros arbitrarios no ne-gativos tales que p + q = n− 1.

126

2. El polinomio nodal Bn(z) =∏n

j=1(z − zj) es para-ortogonal e in-variante.

Observacion 16 La formulas In(f), n = 1, 2, . . . del Teorema 3.15fueron introducidas por Jones et al. en 1989 [18] y reciben el nombrede “formulas de cuadratura de Szego”, representando el analogo sobrela circunferencia unidad de las formulas Gaussianas sobre intervalos deleje real.

Observacion 17 Del Teorema 3.15, se ve claramente como construirformulas de cuadratura con n nodos (par e impar) que sean exactas enTn−1.

A continuacion nos ocuparemos de dar diferentes expresiones paralos pesos en una formula de Szego con n nodos. Ası pues, en lo que sigue,supondremos que los nodos z1, . . . , zn son los ceros de

Bn(z) = ρn(z) + τρ∗n(z), |τ | = 1. (3.47)

Recordemos que los polinomios de segunda especie asociados con ρn(z)vienen dados por:

Ωn(z) = Iω

(t + z

t− z

)(ρn(z)− ρn(t))

, t = eiθ. (3.48)

Teorema 3.16 Sea In(f) =∑n

j=1 λjf(zj) la formula de Szego con no-dos, los ceros del polinomio dado en (3.47), entonces

λj = − 12zj

Qn(zj)B′

n(zj), j = 1, . . . , n, (3.49)

siendo Qn(z) = Ωn(z)− τΩ∗n(z) con Ωn(z) dado por (3.48).

Demostracion: Por el Teorema 3.15, dado que In(f) es exacta en∆−p,q, 0 ≤ p, q ≤ n− 1 y p + q = n− 1, si tomamos p = 0 (q = n− 1),resultara: (t = eiθ) :

λj = Iω

(Bn(z)

(z − zj)B′n(zj)

), j = 1, . . . , n. (3.50)

127

Por otro lado, de (3.48), sigue:

Ω∗n(z) = −Iω

(t + z

t− z

)(ρ∗n(z)− zn

tnρ∗n(t)

), t = eiθ,

por consiguiente

Qn(z) = Iω

(t + z

t− z

)(Bn(z)−

(ρn(t) + τ

zn

tnρ∗n(t)

)), t = eiθ.

Dado que Bn(zj) = 0, j = 1, . . . , n y que 〈ρn, 1〉ω = 〈ρ∗n, tn〉ω = 0 :

Qn(zj) = Iω

(t+zj

t−zj

)(Bn(zj)−

(ρn(t) + τ

znj

tn ρ∗n(t)))

= −Iω

(1 + 2zj

t−zj

)(ρn(t) + τ

znj

tn ρ∗n(t))

= −2zjIω

(1

t−zj

) (ρn(t) + τ

znj

tn ρ∗n(t))

.

Por consiguiente,

Qn(zj) = −2zjIω

(1

t−zj

)(ρn(t) + τρ∗n(t)− τρ∗n(t) + τ

znj

tn ρ∗n(t))

= −2zjIω

(Bn(z)t−zj

)+ 2zjIω

(ρ∗n(t)t−zj

(1− zn

j

tn

))

= −2zjIω

(Bn(z)t−zj

),

pues Iω

(ρ∗n(t)t−zj

(1− zn

j

tn

))= 0, en virtud de las propiedades de ortogona-

lidad de ρ∗n(z).En definitiva, llegamos a que

Qn(zj) = −2zjIω

(Bn(z)t− zj

). (3.51)

Ası, de (3.50) y (3.51) se culmina la demostracion. ¤

Observacion 18 El interes de la formula (3.50) radica en el hecho deque los polinomios Ωn(z) de segundo orden satisfacen la misma ley derecurrencia que ρn(z), n = 0, 1, 2, . . . aunque naturalmente con condi-ciones iniciales distintas (ver formula (2.36) del Capıtulo 2).

Teorema 3.17 Sea ϕk∞k=0 la sucesion ortonormal de polinomios deSzego y sean z1, . . . , zn los ceros de Bn(z) = ϕn(z) + τϕ∗n(z),

128

|τ | = 1. Entonces, los pesos λjnj=1 de la correspondiente formula de

Szego vienen dados por

λj =1

n−1∑

k=0

|ϕk(zj)|2, j = 1, . . . , n.

Demostracion: Considerando la formula de Christoffel-Darboux parala sucesion ϕk∞k=0 y haciendo t = zj ∈ T(ver formula (2.23) del capıtuloanterior), se obtiene:

Kn−1(z, zj) =n−1∑

k=0

ϕk(zj)ϕk(z) =ϕ∗n(zj)ϕ∗n(z)− ϕn(zj)ϕn(z)

1− zzj

.

Teniendo en cuenta que ϕn(zj) + τϕ∗n(zj) = 0, es decir, que ϕ∗n(zj) =−ϕn(zj)τ, resulta:

Kn−1(z, zj) =∑n−1

k=0 ϕk(zj)ϕk(z)

= zjϕn(zj)(ϕn(z)+τϕ∗n(z))z−zj

= zjϕn(zj)Bn(z)z−zj

.

Por consiguiente, en el lımite cuando z → zj , se deducimos:

B′n(z) =

1zjϕn(zj)

n−1∑

k=0

|ϕk(zj)|2 . (3.52)

Por otro lado, si en la igualdad

n−1∑

k=0

ϕk(zj)ϕk(z) = zjϕn(zj)Bn(z)z − zj

,

hacemos z = eiθ, multiplicamos en ambos miembros por ω(θ) e integra-mos sobre [−π, π], en virtud de la ortogonalidad, resulta:

1 = zjϕn(zj)∫ π

−π

Bn(z)z − zj

ω(θ)dθ. (3.53)

La demostracion sigue ahora de (3.50), (3.52) y (3.53). ¤Por ultimo, como consecuencia del teorema anterior, deducimos otra

expresion para los pesos:

129

Corolario 3.5 Sea ϕn(z) el polinomio ortonormal de Szego de gradon para ω(θ) y sea In(f) =

∑nj=1 λjf(zj) la n−esima formula de Szego

correspondiente. Entonces

λj =zj

ϕ′n(zj)ϕn(zj)− (ϕ∗n)′(zj)ϕ∗nzj). (3.54)

Demostracion: Introduciendo de nuevo el nucleo reproductor y laidentidad de Christoffel-Darboux (ver formula (2.23)) podemos escribir,por el Teorema 3.17:

1λj

= Kn−1(zj , zj) = lımz→zj

ϕ∗n(zj)ϕ∗n(z)− ϕn(zj)ϕn(z)1− zzj

.

Aplicando la Regla de L’Hopital se obtiene (3.54). ¤

Observacion 19 La formula (3.54) se puede expresar mediante el de-terminante:

λj =zj∣∣∣∣

ϕn(zj) ϕ∗n(zj)(ϕ∗n)

′(zj) ϕ

′n(zj)

∣∣∣∣, j = 1, . . . , n. (3.55)

Ejemplo 3.4 Tomemos ω(θ) = 1. Entonces, ∀n ≥ 1, ϕn(z) = zn√2π

,

luego ϕ∗n(z) = 1√2π

, resultando, para todo j = 1, . . . , n : (|zj | = 1)

λj =zj∣∣∣∣∣∣

znj√

2π1√2π

0nzn−1

j√2π

∣∣∣∣∣∣

=2πzj

nznjz

n−1j

=2π

nzn−1jz

n−1j

=2π

n|zj |2n=

2π

n,

Ahora los nodos zjnj=1 seran las raıces de la ecuacion zn + τn =

0, (|τn| = 1), o lo que es lo mismo, las raıces de orden n de cualquiercomplejo de modulo uno.

3.6. Error y convergencia en las formulas deSzego

En esta seccion nos ocuparemos de aspectos concernientes a la esti-macion del error en las formulas de Szego, ası como a la velocidad de

130

convergencia, cuando el integrando f(z) es una funcion analıtica en uncierto entorno del cırculo unidad. Para ello, haremos uso de ciertas fun-ciones racionales: los llamados “aproximantes de Pade en dos puntos”a la Transformada de Herglotz-Riesz para una cierta funcion peso en[−π, π], o mas generalmente, para una distribucion o medida con sopor-te en T. Como hemos mencionado en el Capıtulo 2, la Transformada deHerglotz-Riesz representa el analogo sobre la circunferencia unidad dela Transformada de Cauchy de una medida con soporte en [−1, 1].

Ası pues, sea G una region del plano complejo (G es cerrado y conexo)que contiene a la circunferencia unidad. Sea Γ la frontera de G, la cual sesupone es la union de curvas de Jordan, y sea f(z) una funcion analıticaen G. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que f(0) = 0, demodo que la funcion g(z) = −f(z)

2z siempre sera analıtica en G. Entonces,por el Teorema de Cauchy, se sigue que

f(z0) =1

2πi

∫

Γ

z0 + z

z0 − zg(z)dz, (3.56)

siempre que z0 este en el interior de G. Entonces, por medio del Teoremade Fubini, podemos escribir: (T ⊂ G)

Iω(f) =∫ π−π f

(eiθ

)ω(θ)dθ =

∫ π−π

(1

2πi

∫Γ

eiθ+zeiθ−z

g(z)dz)

ω(θ)dθ

= 12πi

∫Γ

(∫ π−π

eiθ+zeiθ−z

ω(θ)dθ)

g(z)dz = 12πi

∫Γ Fω(z)g(z)dz,

(3.57)siendo

Fω(z) =∫ π

−π

eiθ + z

eiθ − zω(θ)dθ, (3.58)

y que ya hemos denominado como la “Transformada de Herglotz-Riesz”de la funcion peso ω(θ).

Sea µkk, k ∈ Z la sucesion de los momentos trigonometricos aso-ciada a ω(θ), esto es:

µk =∫ π

−πe−ikθω(θ)dθ, k = 0,±1,±2, . . . .

Entonces, se verifica la siguiente

Proposicion 3.6.1 La funcion Fω(z) esta definida en C \ T y cumple:

131

1.Fω(1/z) = −Fω(z). (3.59)

2.

Fω(z) = µ0 + 2∞∑

k=1

µkzk, |z| < 1. (3.60)

3.

Fω(z) = −µ0 − 2∞∑

k=1

µ−kz−k, |z| > 1. (3.61)

Ademas, la convergencia en (3.60) y (3.61) es uniforme en compactosde D y E, respectivamente.

Demostracion:1.

Fω(1/z) =∫ π−π

eiθ+1/zeiθ−1/z

ω(θ)dθ =∫ π−π

e−iθ+1/ze−iθ−1/z

ω(θ)dθ

=∫ π−π

ze−iθ+1ze−iθ−1

ω(θ)dθ =∫ π−π

eiθ+zz−eiθ ω(θ)dθ

= −Fω(z)

2. ∀n ≥ 1, e y ∈ C, y 6= 1, comencemos con la identidad:

1 + y

1− y= 1 + 2

n∑

k=1

yk +2yn+1

1− y.

Por consiguiente,

eiθ + z

eiθ − z=

1 + ze−iθ

1− ze−iθ= 1 + 2

n∑

k=1

zke−ikθ +2zn+1e−i(n+1)θ

1− ze−iθ.

Multiplicando en ambos miembros por ω(θ) e integrando:

Fω(z) =∫ π−π

(1 + 2

∑nk=1 zke−ikθ

)ω(θ)dθ+

+2∫ π−π

2zn+1e−i(n+1)θ

1−ze−iθ ω(θ)dθ.(3.62)

Tomemos z ∈ D, luego, dist(z,T) = ρ(z) > 0, y |z − eiθ| ≥ρ(z), ∀θ ∈ [−π, π]. Por tanto,

∣∣∣∣∣∫ π

−π

2zn+1e−i(n+1)θ

1− ze−iθω(θ)dθ

∣∣∣∣∣ ≤|z|nρ(z)

µ0 → 0, cuando n →∞,

y (3.60) sigue de (3.62).

132

3. Se deduce de los dos apartados anteriores.

¤Ejercicio: Justifıquese la convergencia uniforme.Como ya se ha comentado en el Capıtulo 2, la funcion Fω(z) ca-

racterizada por los desarrollos en serie (entorno al origen y el infinito)en terminos de los momentos trigonometricos µkk, k ∈ Z es de granimportancia en problemas de aproximacion e interpolacion en la circun-ferencia unidad. Por ejemplo, en el llamado “problema de interpolacionde Caratheodory-Fejer”, el cual recordamos que consistıa en: “Dada unasucesion de numeros complejos µk∞k=0, encontrar F (z) analıtica en Dtal que < (F (z)) > 0, ∀z ∈ D y que cumpla:

F (z) = µ0 + 2∞∑

k=1

µkzk ”.

Ası pues, si pudieramos asegurar la existencia de una funcion pesoω(θ) en [−π, π] tal que µk =

∫ ππ e−ikθω(θ)dθ, k = 0, 1, . . . , (Problema de

los momentos trigonometricos), entonces claramente Fω(z) serıa solucional problema de interpolacion de Caratheodory-Fejer. (Compruebese que< (Fω(z)) > 0, ∀z ∈ D).

En nuestro contexto, (formula de cuadratura sobre T), nos va a inte-resar aproximar Fω(z) a partir de los desarrollos (3.60)-(3.61) medianteciertas funciones racionales Fn(z) y luego estimar el error:

|Fω(z)− Fn(z)| , con z ∈ C \ T.

Sea pues Pn(z) =∏n

j=1(z − xj) tal que |xj | = 1, j = 1, . . . , n.Entonces, se puede probar que existe un unico polinomio Qn(z) de gradoa lo sumo n tal que

Fω(z)− Qn(z)Pn(z) =

∑∞j=p+1 µjz

j = O(zp+1

), (z → 0)

Fω(z)− Qn(z)Pn(z) =

∑∞j=q+1 µ−jz

−j = O((

1z

)q+1)

, (z →∞),(3.63)

siendo p y q enteros no negativos tales que 0 ≤ p, q ≤ n−1, p+q = n−1.La funcion racional anterior se denomina un “Aproximante tipo-Pade endos puntos a la funcion Fω(z)”, [17] y lo denotaremos por (p/n)Fω

(z) =Qn(z)Pn(z) con polinomio generador Pn(z), verificandose la siguiente descom-posicion:

133

Lema 3.1 (p/n)Fω(z) =

∑nj=1 Aj

xj+zxj−z .

Demostracion: (p/n)Fω(z) = Qn(z)

Pn(z) , Pn(z) =∏n

j=1(z−xj), Qn ∈ Πn.

Entonces, Qn(z)Pn(z) = a0 + Rn−1(z)

Pn(z) con Rn−1 ∈ Πn−1.

Mediante la descomposicion en fracciones simples de Rn−1(z)Pn(z) , pode-

mos escribir:

Rn−1(z) =n∑

j=1

Bj

z − xj, Bj =

Rn−1(xj)P ′

n(xj), j = 1, . . . , n.

Ahora bien, teniendo en cuenta que:

z + xj

z − xj=

z − xj + 2xj

z − xj= 1 +

2xj

z − xj,

entonces

1z − xj

=1

2xj

(z + xj

z − xj− 1

)= − 1

2xj

(xj + z

xj − z+ 1

),

lo cual implica:

(p/n)Fω(z) = a0 +

∑nj=1 Bj

(− 1

2xj

(xj+zxj−z + 1

))

= λ0 +∑n

j=1 Ajxj+zxj−z ,

siendo λ0 = a0 −∑n

j=1Bj

2xjy Aj = − Bj

2xj, j = 1, . . . , n.

Falta probar que λ0 = 0. Esto sigue de las condiciones (3.63). Ası,

(p/n)Fω(0) = λ0 +

n∑

j=1

Aj = µ0.

Por otro lado, (p/n)Fω(∞) = λ0 −

∑nj=1 Aj = −µ0, deduciendose

que λ0 = 0. ¤

Teorema 3.18 Sea In(f) =∑n

j=1 Ajf(zj) con Ajnj=1 y xjn

j=1 comoen el lema anterior. Entonces

1. In(f) es exacta en ∆−p,q, 0 ≤ p, q ≤ n− 1, p + q = n− 1.

134

2. Sea f analıtica en G tal que T \G, entonces:

Rn(f) = Iω(f)− In(f) =1

2πi

∫

Γ

(Fω(z)− (p/n)Fω

(z))g(z)dz,

(3.64)siendo g(z) = −f(z)

2z y Γ la frontera de G.

Demostracion:

1. Sea R ∈ ∆−p,q, entonces hemos de probar que In(R) = Iω(R).Teniendo en cuenta que Fω(z)− (p/n)Fω

(z) es analıtica en C \ T,por las condiciones (3.63) y el Teorema de Cauchy, se sigue:

∫

Γ

(Fω(z)− (p/n)Fω

(z))(−R(z)

2z

)dz = 0,

es decir,

∫

ΓFω(z)

(−R(z)2z

)dz =

∫

Γ(p/n)Fω

(z)(−R(z)

2z

)dz.

Ahora bien, por (3.57):∫Γ Fω(z)−R(z)

2z dz = Iω(R). Mientras que,por el Lema 3.1 y (3.56), se tiene:

∫Γ

Qn(z)Pn(z)

(−R(z)2z

)dz =

∑nj=1 Aj

∫Γ

xj+zxj−z

(−R(z)2z

)dz

=∑n

j=1 AjR(zj) = In(R).

2. Sea ahora f analıtica en G, entonces (de nuevo por (3.56)):

In(f) =∑n

j=1 Ajf(zj) =∑n

j=1 Aj

(1

2πi

∫Γ

xj+zxj−z

(−f(z)2z

)dz

)

= 12πi

∫Γ

(∑nj=1 Aj

xj+zxj−z

)g(z)dz

= 12πi

∫Γ (p/n)Fω

(z)g(z)dz,

con g(z) = −f(z)2z . Recordando que Iω(f) = 1

2πi

∫Γ Fω(z)g(z)dz, se

sigue la demostracion. ¤

135

Observacion 20 Conviene recordar que, dados n puntos x1, . . . xn, xi 6=xj sobre la circunferencia unidad, siempre existen pesos A1, . . . An, unıvo-camente determinados, de modo que

In(f) =n∑

j=1

Ajf(xj) = Iω(f), ∀f ∈ ∆−p,q,

con 0 ≤ p, q ≤ n − 1 y p + q = n − 1. Sin embargo, debera quedarclaro que la representacion integral (3.64) del error, solo es valida paraintegrandos analıticos.

Ası pues, denotando por En(z) el error en el ATP2, esto es

En(z) = Fω(z)− (p/n)Fω(z), ∀z 6∈ T,

y por Rn(f) el error en la formula de cuadratura In(f) con nodosx1, . . . xn, y exacta en ∆−p,q :

Rn(f) = Iω(f)− In(f),

entonces tenemos de inmediato la siguiente acotacion del error en dichacuadratura:

Corolario 3.6 Sea f analıtica en G, region de C que contiene a T, ysea Γ su frontera, entonces:

|Rn(f)| ≤ 14π

(max

∣∣∣∣f(ξ)

ξ

∣∣∣∣ : ξ ∈ Γ) ∫

Γ|En(z)| |dz|. (3.65)

Ası pues, vemos que el error en la formula de cuadratura esta esen-cialmente “dominado” por el error en el ATP2. Conviene pues, buscarestimaciones del error, teniendose la siguiente representacion integral delmismo:Teorema 3.19

Fω(z)− (p/n)Fω(z) =

2zp+1

Pn(z)

∫ π

−π

e−ipθPn

(eiθ

)

eiθ − zω(θ)dθ, z 6∈ T,

siendo (p/n)Fω(z) = Qn(z)

Pn(z) , con Pn(z) =∏n

j=1(z − xj), xj ∈ T,xj 6= xk, j 6= k.

136

Demostracion: Sea z 6∈ T, arbitrario pero fijo. Entonces:

Fω(z) =∫ π

−π

eiθ + z

eiθ − zω(θ)dθ = Iω

(eiθ + z

eiθ − z

).

Por otro lado, del Lemma 3.1, se puede poner:

(p/n)Fω(z) =

n∑

j=1

Ajxj + z

xj − z= In

(eiθ + z

eiθ − z

).

Dado que In(f) es exacta en ∆−p,q, entonces podemos escribir:

In(f) = Iω (Ln(f, ·)) ,

siendo Ln(f, x) ∈ ∆−p,q tal que Ln(f, xj) = f(xj), j = 1, . . . , n, por loque

Iω(f)− In(f) = Iω (f − Ln(f, ·)) .

Para z 6∈ T, consideremos la siguiente funcion en la variable x, siendo zun parametro:

Ln(x, z) = Ln(x) =(

1 +2z

x− z

)(1− zpPn(x)

xpPn(z)

),

la cual verifica:

Ln ∈ ∆−p,q, Ln(xj) = 1 +2z

xj − z=

xj + z

xj − z, j = 1, . . . , n,

es decir, Ln es el unico polinomio de Laurent que interpola a la funcionx+zx−z (z parametro) en los nodos xjn

j=1. Por consiguiente, (x = eiθ):

En(f) = Fω(z)− (p/n)Fω(z) = Iω

(x+zx−z

)− In

(x+zx−z

)

= Iω

(x+zx−z − Ln(x, z)

)

= Iω

(1 + 2z

x−z − 1− 2zx−z

(1− zpPn(x)

xpPn(z)

))

= Iω

(2zp+1Pn(x)

xpPn(z)

)

= 2zp+1

Pn(z)

∫ π−π

e−ipθPn(eiθ)eiθ−z

ω(θ)dθ.

137

¤Veamos seguidamente como estos resultados se pueden aprovechar

para dar expresiones del error en las formulas de Szego estudiadas en laseccion anterior. Para ello, tengase en cuenta que en el analisis realiza-do hasta el momento, partıamos de n nodos distintos sobre T y cons-truıamos la correspondiente formula exacta en ∆−p,q, p + q = n − 1.Supongamos que tomamos como nodos los ceros z1, . . . , zn de un po-linomio de grado n para-ortogonal con respecto a ω e invariante, estoes,

Pn(z) = Bn(z, τ) = ρn(z) + τρ∗n(z), |τ | = 1.

En este caso, sabemos que la correspondiente formula de cuadraturaIn(f) basada en tales nodos, no solo es exacta en ∆−p,q con p y q enterosno negativos y arbitrarios, tales que, p + q = n− 1, sino que tambien loes en ∆−(n−1),n−1, “maximo dominio de validez”. Denotemos por Fn(z)el correspondiente ATP2, esto es,

Fn(z) = (p/n)Fω(z), 0 ≤ p ≤ n− 1.

Teorema 3.20 1. ∀z ∈ C, z 6= zj , Fn (1/z) = −Fn(z), con Fn(z)independiente de p, (0 ≤ p ≤ n− 1).

2.Fω(z)− Fn(z) = O (zn) , (z → 0),

Fω(z)− Fn(z) = O((

1zn

)), (z →∞).

(3.66)

Demostracion:

1. Sea In(f) =∑n

j=1 λjf(zj) la correspondiente formula de cuadratu-ra exacta en ∆−p,q, que como hemos dicho, coincide con la formulade Szego y por consiguiente, λj > 0, j = 1, . . . , n. Entonces, po-demos escribir (x = eiθ) :

Fn(z) = In

(x + z

x− z

)=

n∑

j=1

λj

(zj + z

zj − z

).

Por tanto,

Fn (1/z) =∑n

j=1 λj

(zj+1/zzj−1/z

)=

∑nj=1 λj

(zj+1/zzj−1/z

)

=∑n

j=1 λj

(zj+zz−zj

)= −Fn(z)

138

2. Por el apartado anterior, basta que comprobemos que Fω(z) −Fn(z) = O (zn) , (z → 0). A tal efecto, sabemos que:

Fω(z) = µ0 + 2∞∑

k=1

µkzk, µk =

∫ π

−πe−ikθω(θ)dθ, k = 0, 1, . . . .

Por otro lado, Fn(z) es una funcion racional con polos sobre T, porlo que ∀z ∈ D :

Fω(z) = µ0 + 2∞∑

k=1

µkzk.

Por tanto, hemos de ver que µk = µk, k = 0, 1, . . . , n− 1.

Ahora bien,

Fn(z) =n∑

j=1

λj

(zj + z

zj − z

), λj > 0, |zj | = 1, j = 1, . . . , n.

De nuevo: zj+zzj−z = zj−z+2z

zj−z = 1 + 2zzj−z , luego

Fn(z) =n∑

j=1

λj

(1 +

2z

zj − z

)=

n∑

j=1

λj + 2z

n∑

j=1

1zj − z

.

Ası pues, vemos que µ0 =∑n

j=1 λj = In(1) = Iω(1) = µ0.

Por otro lado,

1zj − z

=1

zj(1− z/zj)=

1zj

∞∑

k=0

zk

zkj

,

(∣∣∣∣z

zj

∣∣∣∣ < 1)

.

Por tanto,

Fn(z) = µ0 + 2z∑n

j=1

(λj

zj

∑∞k=0

zk

zkj

)

= µ0 + 2z∑n

j=1

∑∞k=0

λjzk

zkj

= µ0 + 2z∑∞

k=0

∑nj=1

λjzk

zkj

= µ0 + 2z∑n

k=0

(∑nj=1

λj

zkj

)zk

= µ0 + 2z∑n

k=0 µkzk,

139

siendo µk =∑n

j=1λj

zkj

= In(z−k) = Iω(z−k) = µk, k = 1, . . . , n− 1.

¤

Por otro lado, si denotamos por Rn(f) el error en la formula de SzegoIn(f), por el Teorema 3.18, se tiene:

Rn(f) = Iω(f)− In(f) =1

2πi

∫

ΓEn(z)g(z)dz, (3.67)

siendo g(z) = −f(z)2z con f analıtica en G, dominio que contiene a T,

siendo Γ su frontera y En(z) = Fω(z)− Fn(z).De la relacion (3.67) vemos que si deseamos establecer acotaciones

del error para las formulas de Szego, se hace preciso estimar En(z).Ası pues, como una consecuencia inmediata del Teorema 3.20, resulta elsiguiente

Corolario 3.7 Sea Fn(z) el aproximante racional a Fω(z) definido enel Teorema 3.20. Entonces, ∀z 6∈ T y x = eiθ, se verifica:

En(z) = Fω(z)− Fn(z) =2zp+1

Bn(z)

∫ π

−π

x−pBn(z)x− z

ω(θ)dθ, (3.68)

siendo Bn(z) el denominador del aproximante dado por Bn(z) = ρn(z)+τρ∗n(z) y p cualquier entero no negativo tal que 0 ≤ p ≤ n− 1.

Ası, de (3.68), cuando hacemos p = n − 1, y dado que Bn(0) 6=0, entonces se verifica que En(f) = O(|z|n), (z → 0). Por otro lado,tomando p = 0 y como Bn(z) tiene grado exacto n, se deduce que

En(z) = O

((1z

)n), (z →∞),

tal y como establece el Teorema 3.20. De todos modos, se puede dar unaexpresion alternativa del error, similar a la dada para los aproximantesde Pade en infinito vistos en el Capıtulo 1 en terminos de B2

n(z) y dondese puede constatar que se dan simultaneamente ambos comportamientosasintoticos del error En(z) en entornos del origen y del infinito. En efecto,se puede probar el siguiente

140

Teorema 3.21 ∀z 6∈ T y x = eiθ :

En(z) = Fω(z)− Fn(z) =2zn

B2n(z)

(∫ π

−π

x−(n−1)B2n(x)

x− zω(θ)dθ − γn

),

(3.69)siendo Bn(z) = ρn(z) + τρ∗n(z), (|τ | = 1) y γn ∈ C, γn 6= 0, tal que|γn| = ‖ρn‖2

ω = 〈ρn, ρn〉ω.

Demostracion: Sea z 6∈ T, arbitrario pero fijo. Entonces, puesto queBn(z) no es monico, podemos tomar cn 6= 0 tal que:

cnBn(x)−Bn(z)

x− z= xn−1 + Rn−2(x),

siendo Rn−2 ∈ Πn−2 y con coeficientes dependientes del parametro z.Teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad de Bn(x), se tiene(x = eiθ

):

cn

∫ π−π

Bn(x)−Bn(z)x−z x−(n−1)ω(θ)dθ =

∫ π−π xn−1 + Rn−2(x)ω(θ)dθ

=∫ π−π Bn(x)ω(θ)dθ = 〈Bn, 1〉ω = γn 6= 0.

Tomemos ahora λn ∈ C tal que λ2n = cn y consideremos Bn(x) =

λnBn(x). De lo anterior se tiene:∫ π

−πBn(x)

Bn(x)− Bn(z)x− z

x−(n−1)ω(θ)dθ = γn.

Por consiguiente,∫ π

−π

Bn(x)x−(n−1)

x− zω(θ)dθ =

1

Bn(z)

∫ π

−π

B2n(x)x−(n−1)

x− zω(θ)dθ − γn.

Haciendo ahora p = n− 1 en el Corolario 3.7, tenemos:

En(z) = 2zn

Bn(z)

∫ π−π

Bn(x)x−(n−1)

x−z ω(θ)dθ

= 2zn

eBn(z)

∫ π−π

eBn(x)x−(n−1)

x−z ω(θ)dθ

= 2zn

eB2n(z)

∫ π−π

eB2n(x)x−(n−1)

x−z ω(θ)dθ − γn

= 2zn

B2n(z)

∫ π−π

B2n(x)x−(n−1)

x−z ω(θ)dθ − γn.

141

Por ultimo:

γn =∫ π−π Bn(x)ω(θ)dθ =

∫ π−π (ρn(x) + τρ∗n(x))ω(θ)dθ

= τ∫ π−π ρ∗n(x)ω(θ)dθ == τ〈ρ∗n, 1〉ω = τ〈ρn, zn〉ω

= τ〈ρn, ρn〉ω = τ‖ρn‖2ω

¤En el resto de la seccion nos vamos a ocupar de aspectos relacionados

con la convergencia de las formulas de Szego. Ası pues, en lo que sigue,τn∞1 denotara una sucesion de numeros complejos sobre T de formaque, para cada n ≥ 1, los nodos zj,nn

j=1 de la enesima formula deSzego, seran los ceros de

Bn(z) = ρn(z) + τnρ∗n(z), (3.70)

y escribiremos In(f) =∑n

j=1 λj,nf(zj,n), n = 1, 2, . . . para denotar talesformulas. En primer lugar, tenemos el siguiente resultado general deconvergencia:

Teorema 3.22 Sea ω(θ) una funcion peso en [−π, π] y sea f : T −→ Cacotada y tal que f

(eiθ

)ω(θ) es integrable en [−π, π], entonces

lımn→∞ In(f) = Iω(f) =

∫ π

−πf

(eiθ

)ω(θ)dθ.

Demostracion: La demostracion sigue la misma pauta que la pruebade convergencia de las formulas Gaussianas estudiadas en el Capıtulo 1.Ası pues, supongamos primero f : T −→ C continua. Entonces, dadoε > 0, por el “Teorema de Aproximacion de Weirestrass”, existe L ∈∆−N,N tal que

|f(x)− L(x)| < ε, ∀x ∈ T.

Tomemos ahora n > N + 1. Entonces, dado que L ∈ ∆−(n−1),n−1 secumple que Iω(L) = In(L). Por consiguiente,

|Iω(f)− In(f)| = |Iω(f)− Iω(L) + Iω(L)− In(f)|≤ Iω (|f − L|) + In (|f − L|)= ε

∫ π−π ω(θ)dθ + ε

∑nj=1 λj

= 2εµ0,(µ0 =

∫ π−π ω(θ)dθ

).

142

La conclusion sigue ahora por el Teorema 1.21, que nos asegura queuna sucesion de formulas de cuadratura con coeficientes positivos queconverja en la clase de funciones continuas, tambien converge en la clasede funciones acotadas integrables sobre T. ¤

El teorema anterior nos permite deducir la convergencia de la suce-sion Fn(z)n de aproximantes racionales estudiados previamente. Enefecto, tenemos:

Teorema 3.23 Sea Fn(z)n la sucesion de aproximantes en el Teore-ma 3.20 con denominadores dados por (3.69). Entonces,

lımn→∞Fn(z) = Fω(z) =

∫ π

−π

eiθ + z

eiθ − zω(θ)dθ,

uniformemente en compactos de C \ T.

Demostracion: Para todo n = 1, 2, . . . , se tiene que,

Fn(z) =n∑

j=1

λj,nzj,n + z

zj,n − z=

Qn(z)Bn(z)

, zj,n ∈ T, j = 1, . . . , n.

Tenemos por tanto una sucesion de funciones racionales de grado n conpolos sobre T. Ası pues, para probar la convergencia uniforme en com-pactos de C \ T a Fω(z), mostraremos en primer lugar que se verifica laconvergencia puntual y luego que la sucesion Fn(z)n esta uniforme-mente acotada en compactos de C\T. En estas condiciones, la conclusionsigue aplicando el Teorema de Stieltjes-Vitali [10]. Tomemos z 6∈ T, en-tonces la funcion (en la variable x): x+z

x−z es continua sobre T, por lo que:(x = eiθ

)

lımn→∞ In

(x + z

x− z

)= lım

n→∞Fn(z) = Iω

(x + z

x− z

)= Fω(z).

En relacion a la convergencia uniforme, por el primer apartado del Teore-ma 3.20, sera suficiente que la probemos en D. Sea pues K ⊂ D, K com-pacto, de modo que dis (K,T) = ρ > 0. Entonces, ∀z ∈ K, |z| ≤ r < 1se tiene:

|Fn(z)| =∣∣∣∑n

j=1 λj,nzj,n+zzj,n−z

∣∣∣

≤ ∑nj=1 λj,n

∣∣∣ zj,n+zzj,n−z

∣∣∣≤ 1+r

ρ

∑nj=1 λj,n = 1+r

ρ µ0

143

¤

Observacion 21 Los aproximantes Fn(z) del teorema anterior fueronintroducidos por Jones, Njastad y Thron en [18] quienes los denomina-ron “aproximantes modificados”. Podemos decir que desempenan, en elcontexto de las formulas de cuadratura sobre la circunferencia unidad,el mismo papel que los aproximantes de Pade estudiados en el Capıtu-lo 1, en relacion a las formulas Gaussianas sobre [−1, 1]. No obstante,conviene remarcar que tales funciones racionales no son propiamente“aproximantes de Pade en dos puntos” a Fω(z) pues, para cada n, Fn(z)depende de 2n+1 parametros e interpola a Fω(z) n veces en el origen yn veces en el infinito, faltando pues una condicion de interpolacion. Enel artıculo citado anteriormente se da una demostracion del Teorema3.23 mucho mas larga y dificultosa.

En lo que sigue supondremos que f es analıtica en un dominio G deC (T ⊂ G) y nos proponemos estudiar la “velocidad de convergencia delas formulas de Szego”. Esto es, si denotamos por Rn(f) el error en laenesima formula de Szego, entonces trataremos de analizar

λ = lım supn→∞

∣∣∣Rn(f)∣∣∣1/n

.

v = 1λ se denomina la “velocidad de convergencia de In(f) a Iω(f)”. Por

consiguiente, “interesa” que el parametro λ sea lo mas pequeno posible.A tal efecto, sera crucial el estudiar el comportamiento asintotico dela raız enesima de la sucesion de polinomios Bn(z)n donde Bn(z) =ρn(z) + τnρ∗n(z) = cn(ϕn(z) + τnϕ∗n(z)), con cn 6= 0 y |τn| = 1, siendoϕn(z)n la sucesion de polinomios ortonormales de Szego. Teniendo encuenta el Teorema 1.19 del Capıtulo 1 y el Lema 2.1 del Capıtulo 2,podemos probar el siguiente:

Teorema 3.24 Sea τnn una sucesion de numeros complejos en Ty sea Xn(z) = ϕn(z) + τnϕ∗n(z)n una sucesion de polinomios para-ortogonales con respecto a ω(θ) e invariantes. Entonces:

1. lımn→∞ |Xn(z)|1/n = |z|, uniformemente en compactos de E.

2. lımn→∞ |Xn(z)|1/n = 1, uniformemente en compactos de D.

144

3. lımn→∞M1/nn = 1, donde Mn = ‖Xn‖T = maxz∈T |Xn(z)|.

Demostracion:

1. Sea z ∈ E, entonces:

Xn+1(z)Xn(z)

=ϕn+1(z) + τn+1ϕ

∗n+1(z)

ϕn(z) + τnϕ∗n(z)=

ϕn+1(z)ϕn(z)

1 + τn+1ϕ∗n+1(z)

ϕn+1(z)

1 + τnϕ∗n(z)ϕn(z)

.

Por consiguiente, aplicando los dos primeros apartados del Le-ma 2.1, se deduce que lımn→∞

Xn+1(z)Xn(z) = z, lo cual implica que

lımn→∞ |Xn(z)|1/n = |z|.

2. Sea z ∈ D, entonces 1z ∈ E. Hagamos pues, t = 1

z y z = 1t. Ası,

teniendo en cuenta que Xn(z) es invariante:

|Xn(z)| =∣∣∣∣xn

(1t

)∣∣∣∣ =∣∣∣∣xn

(1t

)∣∣∣∣ = |Xn∗(t)| =∣∣∣∣X∗

n(t)tn

∣∣∣∣ =∣∣∣∣Xn(t)

tn

∣∣∣∣ .

Luego, por el apartado anterior,

lımn→∞ |Xn(z)|1/n = lım

n→∞

∣∣∣∣Xn(t)

tn

∣∣∣∣1/n

=1|t| lım

n→∞ |Xn(t)|1/n =|t||t| = 1.

3. Denotemos por λn = kn + τnϕn(0) = kn(1 + τnρn(0)), (kn > 0)el coeficiente director de Xn(z), y donde hemos supuesto: ρn(z) =knzn + . . . . Ası:

λn+1

λn=

kn+1

kn

1 + τn+1ρn+1(0)1 + τnρn(0)

,

y dado que lımn→∞ ρn(0) = 0 por el Lema 2.1, obtenemos:

lımn→∞

λn+1

λn= lım

n→∞kn+1

kn= 1,

implicando: lımn→∞ |λn|1/n = 1.

145

Consideremos la sucesion de polinomios monicos

Xn(z)λn

n

en el

compacto K = D⋃T. Vemos que, ∀n ≥ 1, Xn(z) tiene sus n ceros

en K y por el apartado 1 de este teorema:

lımn→∞

∣∣∣∣Xn(z)

λn

∣∣∣∣1/n

= lımn→∞

|Xn(z)|1/n

λ1/nn

= |z|,

uniformemente en compactos de E = C \ K. Ası pues, usando elLema 1.19, logramos:

Cap(K) = Cap (D⋃T) = Cap

(D

)= 1

= lımn→∞ 1

λ1/nn

‖Xn‖1/nT = lımn→∞ ‖Xn‖1/n

T , .

Esto concluye la demostracion.

¤Estamos ahora en condiciones de estimar la velocidad de convergen-

cia. A saber:

Teorema 3.25 Sea In(f)∞n=1 una sucesion de formulas de Szego connodos los ceros de Xn(z) = ϕn(z)+ τnϕ∗n(z), n = 1, 2, . . . , y τn ∈ T. Seaf analıtica en un dominio G tal que T ⊂ G. Entonces:

λ = lım supn→∞

∣∣∣Rn(f)∣∣∣1/n

= lım supn→∞

|Iω(f)− In(f)|1/n ≤ r < 1,

donde r = maxr1, r2, con

r1 = max|z| : z ∈ Γ⋂D y r2 = max|z|−1 : z ∈ Γ

⋂E,

y siendo Γ la frontera de G.

Demostracion: Recordemos que el error Rn(f) viene dado segun(3.67) mediante

Rn(f) =1

2πi

∫

ΓEn(z)g(z)dz, (3.71)

siendo g(z) = −f(z)2z analıtica en G y En(z) = Fω(z)−Fn(z). Por consi-

guiente:∣∣∣Rn(f)

∣∣∣ ≤ C(f,Γ)∫Γ

∣∣∣En(z)∣∣∣ |dz|, siendo C(f, Γ) una constante

positiva dependiente de f y Γ. Por tanto:∣∣∣Rn(f)

∣∣∣ ≤ C(f, Γ)l(Γ) maxz∈Γ

∣∣∣En(z)∣∣∣ = C(f, Γ)l(Γ)

∥∥∥En

∥∥∥Γ

,

146

siendo l (Γ) la longitud de la curva Γ. En consecuencia:

lım supn→∞

∣∣∣Rn(f)∣∣∣1/n

≤ lım supn→∞

∥∥∥En

∥∥∥1/n

Γ. (3.72)

Haciendo uso del Corolario 3.7, obtenemos

En(z) =2zp+1

Xn(z)

∫ π

−π

x−pXn(z)x− z

ω(θ)dθ, x = eiθ,

siendo Xn(z) = ϕn(z) + τnϕ∗n(z) y 0 ≤ p ≤ n− 1. Ası pues, ∀z ∈ Γ :

∣∣∣En(z)∣∣∣ ≤ 2|z|p+1

|Xn(z)|∫ π

−π

|Xn(z)||x− z| ω(θ)dθ ≤ 2|z|p+1

|Xn(z)|Mnµ0

dis (Γ,T), (3.73)

(Observese que dis (Γ,T) > 0), siendo Mn = ‖Xn(z)‖T .Supongamos que z ∈ Γ

⋂D, entonces, tomando p = n− 1 en (3.73),

resulta: ∣∣∣En(z)∣∣∣1/n

≤ 21/n|z||Xn(z)|1/n

M1/nn

(µ0

dis (Γ,T)

)1/n

.

Ası,

lım supn→∞∣∣∣En(z)

∣∣∣1/n

≤ |z| lım supn→∞M

1/nn

|Xn(z)|1/n ≤ |z| lım supn→∞M1/nn

lım infn→∞|Xn(z)|1/n

≤ |z| lımn→∞M1/nn

lımn→∞|Xn(z)|1/n = |z|,(3.74)

en virtud del Teorema 3.24.Por otro lado, si z ∈ Γ

⋂E, entonces, tomando p = 0, resultara de

modo analogo:

lım supn→∞

∣∣∣En(z)∣∣∣1/n

≤ 1|z| . (3.75)

Ası, de (3.74) y (3.75), concluimos que

lım sup∣∣∣En(z)

∣∣∣1/n

≤ ‖γ(z)‖Γ , (3.76)

donde γ(z) =

|z|, z ∈ Γ

⋂D,

1|z| , z ∈ Γ

⋂E.

Por consiguiente, de (3.72) y (3.76) se sigue la demostracion. ¤

147

3.7. Conexion entre el intervalo [-1,1] y la cir-cunferencia unidad

En esta Seccion estableceremos una relacion entre las formulas Gaus-sianas para el intervalo [−1, 1], que aproximan integrales de la formaJσ(F ) =

∫ 1−1 F (x)σ(x)dx, y las formulas de cuadratura de Szego pa-

ra la circunferencia unidad que aproximan integrales del tipo, Iω(f) =∫ π−π f(eiθ)ω(θ)dθ, cuando las funciones peso σ(x) y ω(θ) se relacionan

mediante:ω(θ) = σ(cos θ)|senθ|. (3.77)

En primer lugar, convendrıa recordar que existe una ıntima relacionentre los polinomios ortogonales monicos sobre la circunferencia unidadT = z : |z| = 1 y los polinomios ortogonales monicos sobre un inter-valo finito del eje real (ver [ ]) que por comodidad tomaremos [−1, 1].En efecto, sean pn(x) y qn(x) las sucesiones de polinomios ortogo-nales monicos respecto a las funciones peso σ(x) y (1 − x2)σ(x) sobre[−1, 1], respectivamente. Sea ω(θ) una funcion peso en [−π, π] defini-da por (3.77) y ρn(z) la sucesion de polinomios ortogonales monicosrespecto a ω(θ). Entonces si x = z+z−1

2 , z = eiθ, se tiene, para todon ≥ 1 :

pn(x) =1

2n(1 + ρn2n(0))(z−nρn2n(z) + znρn2n(z−1)

)(3.78)

y

qn(x) =1

2n(1− ρn2n + 2(0))

(z−n−1ρn2n + 2(z)− zn+1ρn2n + 2(z−1)

z − z−1

).

(3.79)En tal sentido, de acuerdo con la transformacion anterior, esto es, z = eiθ

y x = z+z−1

2 = cos θ, podemos escribir para la integral Iσ(F ) :

Iσ(F ) =∫ 1

−1F (x)σ(x)dx = −

∫ 0

−πF (cos θ)σ(cos θ)senθdθ.

Por otro lado, si ζ = −θ, se tiene que:∫ 1

−1F (x)σ(x)dx =

∫ π

0F (cos ζ)σ(cos ζ)senζdζ.

148

Por tanto,

2∫ 1−1 F (x)σ(x)dx = − ∫ 0

−π F (cos θ)σ(cos θ)senθdθ++

∫ π0 F (cos ζ)σ(cos ζ)senζdζ

=∫ π−π F (cos θ)σ(cos θ)|senθ|dθ,

o lo que es lo mismo:

∫ 1

−1F (x)σ(x)dx =

∫ π

−πf(eiθ)ω(θ)dθ (3.80)

donde f(eiθ) = 12F

(eiθ+e−iθ

2

)= 1

2F (cos θ), (ω(−θ) = ω(θ), ∀θ ∈ R).

Dada la simetrıa de la funcion peso ω(θ), sus momentos trigonometri-cos µkk, k ∈ Z son reales y, por lo tanto, tambien lo son los coeficien-tes de los polinomios de Szego ρn(z). (Compruebese como ejercicio).Por otro lado, si queremos que los coeficientes de los correspondientespolinomios para-ortogonales Bn(z, τ) = ρn(z) + τρ∗n(z) tengan tambiencoeficientes reales, debemos tomar τ = ±1. Para tales valores de τ, losceros ξjn

j=1 de Bn(z, τ), que sabemos son distintos y estan sobre T,cumplen tambien cierta simetrıa en el sentido que aparecen en paresconjugados o son reales (z = ±1).

Tomemos en primer lugar τ = 1. Entonces, como ρn(1) = ρ∗n(1) 6= 0,(recuerdese que los ceros de ρn(z) estan en la region |z| < 1 y los deρ∗n(z) por tanto estan en la region |z| > 1 ) el punto z = 1 no puede serun cero de Bn(z, 1). Ası pues, para n par, z = −1 no puede ser un cero ypor tanto todos los ceros de Bn(z, 1) estan sobre T en pares conjugados.Si por el contrario n es impar, el unico cero real es z = −1 y los (n− 1)ceros restantes aparecen sobre T en pares conjugados.

Si ahora tomamos τ = −1, claramente el punto z = 1 es un cero deBn(z,−1) = ρn(z)−ρ∗n(z). Para n par el punto z = −1 serıa tambien uncero (observar que ρn(−1) = ρ∗n(−1)). Si n es impar, el punto z = 1 esel unico cero real. En ambos casos, los restantes ceros aparecen en paresconjugados sobre T.

Teniendo en cuenta si n es par o impar y los valores del parametro τque elijamos (τ = 1 o τ = −1), las correspondientes n−esimas formulasde Szego adquieren una determinada expresion. En efecto, supongamosque In(f) =

∑nj=1 λjf(ξj) es la n−esima formula de Szego respecto a

149

ω(θ). Entonces, sabemos que los coeficientes λjnj=1 vienen dados por:

λj = − 12ξj

Qn(ξj , τ)B′

n(ξj , τ)

donde An(z, τ) = Ωn(z) − τΩ∗n(z), siendo Ωn(z) el n−esimo polinomioasociado a ρn(z). Si τ = ±1 entonces, tanto An como Bn tienen coefi-cientes reales. (Compruebese).

Por otro lado, si denotamos por λj el coeficiente en la formula de cua-dratura In(f) correspondiente al nodo ξj , siendo ξj un cero de Bn(z,±1),entonces se tiene que

λj = − 12ξj

An(ξj , τ)

B′n(ξj , τ)

= − 12ξj

An(ξj , τ)B′

n(ξj , τ)= λj .

Como λj > 0, se tiene que λj = λj = λj . Ası pues, hemos probadola siguiente:

Proposicion 3.7.1 Sea ω(θ) una funcion peso simetrica, esto es, ω(−θ) =ω(θ), ∀θ ∈ R, en el intervalo [−π, π] y sea In(f) =

∑nj=1 λjf(ξj) la

n−esima formula de Szego respecto a ω(θ) donde sabemos que los nodosson los ceros del polinomio para-ortogonal Bn(z, τ), |τ | = 1. Entonces

1. Si τ = 1 se tiene

a) Si n es par: In(f) =∑n/2

j=1 λj

(f(ξj) + f(ξj)

).

b) Si n es impar: In(f) = λ−f(−1)+∑(n−1)/2

j=1 λj

(f(ξj) + f(ξj)

).

2. Si τ = −1

a) Si n es par:

In(f) = λ+f(1) + λ−f(−1) +(n−2)/2∑

j=1

λj

(f(ξj) + f(ξj)

)

b) Si n es impar: In(f) = λ+f(1)+∑(n−1)/2

j=1 λj

(f(ξj) + f(ξj)

),

donde todos los coeficientes λ+, λ− y λj son positivos.

150

Observacion 22 Conviene senalar que debido a la simetrıa de la fun-cion peso ω(θ), solo tendremos que calcular la mitad de los coeficientesy nodos en la formula de cuadratura de Szego.

Haciendo uso de la conexion que existe entre los polinomios ortogo-nales sobre el intervalo [−1, 1] y sobre T se tiene, mediante la formula(3.78), que la expresion z−nρ2n(z) + znρ2n(z−1) se puede escribir de lasiguiente forma:

z−nρ2n(z) + znρ2n(z−1) =ρ2n(z) + ρ∗2n(z)

zn=

B2n(z, 1)zn

.

Por la Proposicion 3.7.1 sabemos que los ceros de B2n(z, 1) aparecensobre T en pares conjugados. Sean ξ1, . . . , ξn, ξ1, . . . , ξn dichos ceros. Siξj = eiθj , j = 1, . . . , n entonces los ceros de pn(x) vienen dados porxj = cos θj , j = 1, . . . , n.

De forma similar se tiene, por formula (3.79), que:

z−n−1ρ2n+2(z)− zn+1ρ2n+2(z−1)z − z−1

=ρ2n+2(z)− ρ∗2n+2(z)

zn(z2 − 1)=

B2n+2(z,−1)zn(z2 − 1)

y otra vez, por la Proposicion 3.7.1 sabemos que z = ±1 son cerosde B2n+2(z,−1) y el resto aparecen sobre T en pares conjugados. Seanξ1, . . . , ξn, ξ1, . . . , ξn dichos ceros. Si ξj = eiθj , j = 1, . . . , n entonces losceros de qn(x) vienen dados por xj = cos θj , j = 1, . . . , n.

Segun los valores del parametro τ (τ = 1 o τ = −1) y segun nsea par o impar, obtendremos, partiendo de formulas de Szego sobre lacircunferencia unidad In(f), formulas de cuadratura Jn(F ) en el inter-valo [−1, 1], que seran formulas Gaussianas, formulas de Gauss-Lobattoo bien de Gauss-Radau. Ası pues, para τ = 1 y n par se obtendran lasformulas Gaussianas. Si τ = −1 y n es par obtendremos las formulas deGauss- Lobatto, mientras que, para τ = ±1 y n impar, se tendran lasde Gauss-Radau.

Formulas de cuadratura Gaussianas.

Supongamos que queremos aproximar integrales sobre el intervalo[−1, 1] de la forma Jσ(F ) =

∫ 1−1 F (x)σ(x)dx donde σ(x) es una funcion

151

peso en [−1, 1]. Entonces si denotamos por Jn(F ) =∑n

j=1 AjF (xj) ala correspondiente n−esima formula Gaussiana, sabemos que todos loscoeficientes Ajn

j=1 son positivos y los nodos xjnj=1 son los ceros del

n−esimo polinomio ortogonal respecto a σ(x). Ademas, esta formula decuadratura alcanza el maximo grado de precision que es 2n−1, es decir,Jσ(F ) = Jn(F ), ∀F ∈ Π2n−1.

Una conexion entre las formulas de cuadratura Gaussianas y las deSzego, viene dada en el siguiente

Teorema 3.26 Sea Jn(F ) =∑n

j=1 AjF (xj) la n−esima formula Gaus-siana paraJσ(F ) =

∫ 1−1 F (x)σ(x)dx. Sea xj = cos θj , j = 1, . . . , n y definamos

ξj2nj=1 y λj2n

j=1 de la siguiente forma:

ξj = eiθj , ξn+j = zj ; j = 1, . . . , n

yλj = Aj , λn+j = Aj ; j = 1, . . . , n.

Entonces In(f) =∑2n

j=1 λjf(ξj) =∑n

j=1 λj(f(ξj) + f(ξj)) es la 2n−esi-ma formula de cuadratura de Szego para Iω(f) =

∫ π−π f(eiθ)ω(θ)dθ donde

ω(θ) y σ(x) estan relacionadas por (3.77) y los nodos son los ceros deB2n(z, 1).

Demostracion: Por la caracterizacion de las formulas de cuadratu-ra de Szego, bastarıa con probar que In(L) = Iω(L) para todo L ∈Λ−(2n−1),2n−1, o, lo que es lo mismo, que In(zk) = Iω(zk), −(2n− 1) ≤k ≤ (2n− 1).

Vamos a suponer que k ≥ 0 (el caso k < 0 es similar). Entonces

I2n(zk) =n∑

j=1

λj(ξkj + ξ

kj ) = 2

n∑

j=1

λj cos kθj .

Si Tk(x) es el k−esimo polinomio de Chebyshev de primera especie,entonces podemos escribir cos kθ = Tk(cos θ). Como 0 ≤ k ≤ 2n − 1 setiene que

I2n(zk) = 2n∑

j=1

λjTk(cos θj) = 2n∑

j=1

AjTk(xj) = 2∫ 1

−1Tk(x)σ(x)dx.

152

Por (3.80) tendremos que

2∫ 1

−1Tk(x)σ(x)dx = 2

∫ π

−πp(eiθ)ω(θ)dθ

donde p(eiθ) = 12Tk

(eiθ+e−iθ

2

)= 1

2Tk(cos θ) = 12 cos kθ. En resumen,

hemos probado que I2n(zk) =∫ π−π cos kθω(θ)dθ.

Por otro lado,

Iω(zk) =∫ π

−πeikθω(θ)dθ =

∫ π

−πω(θ) cos kθdθ + i

∫ π

−πω(θ)senkθdθ.

Pero como ω(θ) es simetrica, la segunda integral en la relacion anteriores nula ∀k ∈ Z, podemos escribir Iω(zk) =

∫ π−π cos kθω(θ)dθ, para 0 ≤

k ≤ 2n− 1. ¤El recıproco tambien es cierto. En efecto, se tiene el siguiente

Teorema 3.27 Sea I2n(f) =∑2n

j=1 λjf(ξj) la 2n−esima formula deSzego para Iω(f) con ω(θ) dada en terminos de σ mediante (3.77) ycuyos nodos son los ceros de B2n(z, 1). Sea ξn+j = ξj y ξj = eiθj , j =1, . . . , n. Entonces, si definimos xj = cos θj , j = 1, . . . , n, la formulaJn(F ) =

∑nj=1 λjF (xj) es la n−esima formula Gaussiana para Jσ(F ).

Demostracion: Hemos de ver que Jn(p) = Jσ(p), para todo p ∈Π2n−1, o, lo que es lo mismo, que

Jn(xk) = Jσ(xk), 0 ≤ k ≤ 2n− 1

Como x = z+z−1

2 se tiene que

xk =(

z + z−1

2

)k

= p(z) + p(z−1) = L(z) ∈ Λ−k,k, (3.81)

donde p es un polinomio de grado k con coeficientes reales. Por tanto

L(z) = L(z) = L(z−1) = L(z), z = eiθ. (3.82)

Sabemos que λn+j = λj y ξn+j = ξj , j = 1, . . . , n. Entonces, comoL ∈ Λ−k,k ⊂ Λ−(2n−1),2n−1,

Jn(xk) =∑n

j=1 λjxkj =

∑nj=1 λjL(ξj)

=∑n

j=1λj+λj

2 L(ξj) = 12

∑2nj=1 λjL(ξj)

= 12

∫ π−π L(eiθ)ω(θ)dθ.

153

Por otro lado, por la formula (3.80):

Jσ(xk) =∫ 1−1 xkσ(x)dx = 1

2

∫ π−π (cos θ)k σ(cos θ)|senθ|dθ

= 12

∫ π−π L(eiθ)ω(θ)dθ = Jn(xk)

para 0 ≤ k ≤ 2n− 1. ¤

Observacion 23 Supongamos que pn(x) =∏n

j=1(x − xj) es el polino-mio nodal en la formula Gaussiana que sabemos coincide con el polino-mio ortogonal monico respecto de la funcion peso σ(x). Como xj = cos θj

siendo ξj = eiθj , j = 1, . . . , n podemos escribir

B2n(z, 1) = ρ2n(z) + ρ∗2n(z) = (1 + ρ2n(0))∏n

j=1(z − ξj)(z − ξj)= (1 + ρ2n(0))zn

∏nj=1(z − ξj)(1− ξj/z).

Si x = z+z−1

2 , entonces (z−ξj)(z−ξj/z) = (z+z−1)−(ξj+ξj) = 2(x−xj).Por tanto,

B2n(z, 1) = (1 + ρ2n(0))zn2npn(x)

y obtenemos

pn(x) = z−n

2n(1+ρ2n(0))

(ρ2n(z) + z2nρ2n(z−1)

)

= z−nρ2n(z)+znρ2n(z−1)2n(1+ρ2n(0)) .

Hemos deducido, por tanto, la formula (3.78) de un modo diferente y massencillo, haciendo uso simplemente de la conexion entre las formulas decuadratura.

Formulas de cuadratura de Gauss- Lobatto y Gauss-Radau

Supongamos inicialmente que se desea aproximar Jσ(F ) medianteuna formula de cuadratura donde alguno de los nodos ajm

j=1 han sidoprefijados y los restantes xjn

j=1 a determinar de modo que

Jn(F ) =m∑

j=1

BjF (aj) +n∑

j=1

AjF (xj) (3.83)

154

tenga el maximo grado de precision 2n+m−1, es decir, Jσ(F ) = Jn(F )para todo F ∈ Π2n+m−1. (Observese que disponemos de 2n+m parame-tros). Entonces, tenemos el siguiente resultado de caracterizacion, refor-mulacion del Teorema 1.12: ([21]) (la prueba del mismo se propone comoejercicio)

Teorema 3.28 La formula de cuadratura Jn(F ) dada mediante (3.83)es exacta en Π2n+m−1 sı y solo si

(1) Jn(F ) es de tipo interpolatorio en Πn+m−1.(2) Los nodos xjn

j=1 son los ceros del n−esimo polinomio ortogo-nal respecto a la funcion ν(x)σ(x) donde ν(x) = (x − a1) . . . (x − am).Ademas, si ν(xk) 6= 0 para k = 1, . . . , n entonces los coeficientes Bjm

j=1

y Ajnj=1 son positivos.

Observese que en general ν(x) cambia de signo, por lo que no puedeasegurarse que el n−esimo polinomio ortogonal tenga grado n y que susceros esten en [−1, 1], (ver [14], formulas de Gauss- Kronrod).

Para m = 2, a1 = −1 y a2 = 1 se obtienen las formulas de Gauss-Lobatto. En este caso, los nodos xjn

j=1 son los ceros del n−esimopolinomio ortogonal con respecto a la funcion peso (1 − x2)σ(x). Porla formula (3.78), los nodos vienen dados en terminos de los ceros delpolinomio para-ortogonal B2n+2(z,−1), el cual tiene 2n ceros complejosque aparecen en pares conjugados sobre T y los dos restantes son z = ±1.Sean ξ1, . . . , ξ2n los 2n ceros complejos. Si ξn+j = ξj = e−iθj , j =1, . . . , n, vemos que, por (3.79), los ceros de qn(x) y por tanto los nodosxjn

j=1 en la formula (3.83) vienen dados por xj = cos θj , j = 1, . . . , n.De forma analoga al Teorema 3.26 podemos demostrar el siguiente

Teorema 3.29 Sea Jn(F ) = A+F (1) + A−F (−1) +∑n

j=1 AjF (xj) lan−esima formula de Gauss- Lobatto para Jσ(F ) =

∫ 1−1 F (x)σ(x)dx. Sea

xj = cos θj y definamos ξj2nj=1 y λj2n

j=1 de la siguiente forma:

ξj = eiθj , ξn+j = ξj ; j = 1, . . . , n

yλ+ = A+, λ− = A−, λj = Aj , λn+j = Aj ; j = 1, . . . , n.

Entonces:

In(f) = 2λ+f(1) + 2λ−f(−1) +∑2n

j=1 λjf(ξj)

= 2λ+f(1) + 2λ−f(−1) +∑n

j=1 λj(f(ξj) + f(ξj)),

155

es la (2n + 2)−esima formula de cuadratura de Szego para Iω(f) =∫ π−π f(eiθ)ω(θ)dθ donde ω(θ) y σ(x) estan relacionadas por (3.77) y los

nodos son los ceros de B2n+2(z,−1).

Haciendo uso de las formulas (3.81) y (3.82), y procediendo igual queen el Teorema 3.27 se tiene:

Teorema 3.30 Sea I2n+2(f) =∑2n+2

j=1 λjf(ξj) la (2n+2)−esima formu-la de Szego para Iω(f) con ω(θ) dada en terminos de σ como en la formu-la (3.77) y cuyos nodos son los ceros de B2n+2(z,−1). Sea ξ2n+1 = 1,ξ2n+2 = −1 y ξn+j = ξj con ξj = eiθj , j = 1, . . . , n. Entonces si defi-nimos xj = cos θj , j = 1, . . . , n y tomando λ+ = λ2n+1 y λ− = λ2n+2,

la formula Jn(F ) = λ+

2 F (1) + λ−2 F (−1) +

∑nj=1 λjF (xj) es la n−esima

formula de Gauss- Lobatto para Jσ(F ).

Observacion 24 Supongamos que qn(x) =∏n

j=1(x−xj) es el polinomionodal en la formula de Gauss- Lobatto, que sabemos que coincide con elpolinomio ortogonal monico respecto de la funcion peso (1 − x2)σ(x).Como xj = cos θj siendo ξj = eiθj , j = 1, . . . , n podemos escribir

B2n+2(z,−1) = ρ2n+2(z)− ρ∗2n+2(z)

= (1− ρ2n+2(0))(z2 − 1)∏n

j=1(z − ξj)(z − ξj)

= (1− ρ2n+2(0))zn(z2 − 1)∏n

j=1(z − ξj)(1− ξj/z).

Si x = z+z−1

2 , entonces (z−ξj)(1−ξj/z) = (z+z−1)−(ξj+ξj) = 2(x−xj).Por tanto,

B2n+2(z,−1) = (1− ρ2n+2(0))zn2n(z2 − 1)qn(x)

y obtenemos

qn(x) = z−n

2n(1−ρ2n+2(0))

(ρ2n+2(z)−z2n+2ρ2n+2(z−1)

z2−1

)

= z−n−1ρ2n+2(z)+zn+1ρ2n+2(z−1)2n(1−ρ2n+2(0))(z−z−1)

.

Hemos deducido, por tanto, la formula (3.79) de una forma diferentey mas sencilla, haciendo uso, de nuevo, de la conexion entre las formulasde cuadratura.

156

Supongamos ahora que en (3.83) elegimos m = 1 y a1 = 1 o biena1 = −1. En ambos casos obtendremos las formulas de Gauss- Radaudonde los nodos xjn

j=1 son los ceros del n−esimo polinomio ortogonalcon respecto a la funcion peso (1 + x)σ(x) (si a1 = 1) y (1 − x)σ(x)(si a1 = −1). Dichos nodos vendran dados en terminos de los ceros delos polinomios para-ortogonales B2n+1(z,−1), (si a1 = 1) y B2n+1(z, 1),(si a1 = −1). Para fijar ideas, supongamos que a1 = 1. Entonces elpolinomio B2n+1(z,−1) tiene un unico cero real que es el punto z = 1 ylos 2n restantes aparecen sobre T en pares conjugados. Podemos formularteoremas para el caso de las formulas de Gauss- Radau analogos a losTeoremas 3.29 y 3.30 dados en el caso Gauss- Lobatto:

Teorema 3.31 Sea Jn(F ) = A+F (1)+∑n

j=1 AjF (xj) la n−esima formu-la de Gauss- Radau para Jσ(F ) =

∫ 1−1 F (x)σ(x)dx. Sea xj = cos θj y

definamos ξj2n+1j=1 y λj2n+1

j=1 de la siguiente forma:

ξj = eiθj , ξn+j = ξj ; j = 1, . . . , n, ξ2n+1 = 1

yλj = Aj , λn+j = Aj ; j = 1, . . . , n, λ+ = λ2n+1 = A+

Entonces

In(f) = 2λ+f(1) +2n∑

j=1

λjf(ξj) = 2λ+f(1) +n∑

j=1

λj(f(ξj) + f(ξj)),

es la (2n + 1)−esima formula de cuadratura de Szego para Iω(f) =∫ π−π f(eiθ)ω(θ)dθ donde ω(θ) y σ(x) estan relacionadas por la formula

(3.77) y los nodos son los ceros de B2n+1(z,−1).

Recıprocamente se tiene tambien el siguiente

Teorema 3.32 Sea I2n+1(f) =∑2n+1

j=1 λjf(ξj) la (2n+1)−esima formu-la de Szego para Iω(f) con ω(θ) dada en terminos de σ a traves de (3.77)y cuyos nodos son los ceros de B2n+1(z,−1). Sea ξ2n+1 = 1 y ξn+j = ξj

con ξj = eiθj , j = 1, . . . , n. Entonces si definimos xj = cos θj ,j = 1, . . . , n y tomando λ+ = λ2n+1, la formula

Jn(F ) =λ+

2F (1) +

n∑

j=1

λjF (xj),

es la n−esima formula de Gauss- Radau para Jσ(F ).

157

Finalmente, veamos como puede deducirse una expresion para lospolinomios ortogonales monicos relativos a las funciones peso (1+x)σ(x)y (1−x)σ(x), respectivamente, utilizando, nuevamente, la conexion entrelas formulas de cuadratura. Ası pues, tenemos el siguiente

Teorema 3.33 Sea σ(x) una funcion peso en el intervalo [−1, 1] y con-sideremos las siguientes funciones peso asociadas a σ(x) tambien en[−1, 1] :

σ+(x) = (1 + x)σ(x) y σ−(x) = (1− x)σ(x).

Sean Q+n (x) y Q−

n (x) las sucesiones de los polinomios monicos res-pecto de σ+(x) y σ−(x), respectivamente. Si definimos ω(θ) en [−π, π]como en (3.77), entonces six = z+z−1

2 , (z = eiθ), se tiene que

Q±n (x) =

12n(1± ρ2n+1(0))

(z−nρ2n+1(z)± zn+1ρ2n+1(z−1)

z ± 1

),

siendo como siempre ρn(z) la sucesion de polinomios monicos de Szegopara ω(θ).

Demostracion: Sea I2n+1(f) la (2n + 1)−esima formula de Szegopara Iω(f), donde los nodos son los ceros del polinomio para-ortogonalB2n+1(z, 1). Sabemos que, en este caso, el unico cero real es el puntoz = −1 y los 2n ceros restantes ξj2n

j=1 aparecen sobre T en paresconjugados. Es decir,

I2n+1(f) = λ−f(−1) +2n∑

j=1

λjf(ξj) = λ−f(−1) +n∑

j=1

λj(f(ξj) + f(ξj)).

Entonces, si definimos xj = cos θj siendo ξj = eiθj , j = 1, . . . , n, sepuede comprobar que la formula de cuadratura:

Jn(F ) = λ−F (−1) +n∑

j=1

λjF (xj)

para Jσ(F ) es exacta en Π2n. Es decir, hemos obtenido la formula deGauss- Radau (m = 1) tomando ahora a1 = −1 en la formula (3.83).

158

Si Q+n (x) =

∏nj=1(x − xj), por el Teorema 3.28, sabemos que es el

n−esimo polinomio ortogonal respecto a (1 + x)σ(x). Entonces

B2n+1(z, 1) = ρ2n+1(z) + ρ∗2n+1(z)

= (1 + ρ2n+1(0))(z + 1)∏n

j=1(z − ξj)(z − ξj)

= (1 + ρ2n+1(0))zn(z + 1)∏n

j=1(z − ξj)(1− ξj/z)

= (1 + ρ2n+1(0))2nzn(z + 1)Q+n (x).

El caso σ−(x) se demuestra de forma similar. ¤

Observacion 25 La conexion entre la circunferencia unidad y el inter-valo [−π, π] fue estudiada ampliamente por el “padre” de los polinomiosortogonales sobre la circunferencia unidad (Gabor Szego), permitiendoobtener de forma mas rapida y directa propiedades tanto algebraicas co-mo analıticas para los polinomios ortogonales sobre [−1, 1] a partir de lascorrespondientes sobre T. En esta seccion, hemos contribuido a comple-tar tal conexion figurando el contenido de la misma en el trabajo reciente[5] de los autores L. Daruis y P. Gonzalez- Vera, en colaboracion con elProfesor A. Bulthell. Tal circunstancia pone de manifiesto la vitalidady dinamismo del tema en cuestion.

159

160

Capıtulo 4

Ejemplos, Aplicaciones yExtensiones

4.1. Modificaciones racionales de la medida deLebesgue

A lo largo del curso, hemos venido mencionando ejemplos de po-linomios de Szego, polinomios para-ortogonales y formulas de cuadra-tura, con respecto a la funcion peso mas sencilla ω(θ) = 1 (medidade Lebesgue) o en forma normalizada

(∫ π−π ω(θ)dθ = 1

), ω(θ) = 1

2π .

Afortunadamente, para tal funcion peso, la sucesion de polinomios deSzego se conoce explıcitamente y tiene la forma extremadamente sen-cilla: ρn(z) = zn, n = 0, 1, . . . , lo cual nos permite simplificar muchoscalculos, (no ocurre lo mismo en el caso real, donde la funcion pesoσ(x) = 1, x ∈ [−1, 1], lleva a los polinomios de Legendre).

La siguiente familia de funciones peso estudiada ya desde la epocade Szego, son las denominadas “modificaciones racionales de la medidade Lebesgue” sobre la que nos vamos a centrar en esta seccion. Talesfunciones peso son de la forma (normalizada):

ω(θ) =1

2π |h (eiθ)|2, (4.1)

siendo h(z) un polinomio de grado m fijo con ceros fuera de la circun-ferencia unidad. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que talesceros se encuentran en D. Ası tenemos la primera

161

Proposicion 4.1.1 ∀n ≥ m, ϕn(z) = zn−mh(z), representa el polino-mio ortonormal de grado n para ω(θ) dada por (4.1).

Demostracion: ∀n ≥ m, ϕn(z), es un polinomio de grado exacto n.Tomemos k : 0 ≤ k ≤ n− 1. Entonces,

(z = eiθ

):

〈ϕn, zk〉ω =∫ π−π ϕn(z)z−kω(θ)dθ = 1

2π

∫ π−π

zn−m−kh(z)

h(z)h(z)dθ

= 12π

∫ π−π

z2n−(m+k)

h∗(z) dθ = 12πi

∫T

z2n−(m+k+1)

h∗(z) dz.

Por el Teorema de los residuos, dado que los ceros de h∗(z) estan en E,se tiene que

〈ϕn, zk〉ω =1

2πi

∫

T

z2n−(m+k+1)

h∗(z)dz = 0, (k : 0 ≤ k ≤ n− 1.)

Por otro lado,

〈ϕn, ϕn〉ω =∫ π−π |ϕn(z)|2 ω(θ)dθ = 1

2π

∫ π−π

ϕn(z)ϕn(z)

|h(z)|2 dθ

= 12π

∫ π−π

zn−mh(z)zm−nh(z)

|h(z)|2 dθ = 1.

¤Ası pues, los polinomios para-ortogonales Bn(z) seran de la forma

Bn(z) = cn (ϕn(z) + τnϕ∗n(z)) , cn 6= 0, |τn| = 1.

Ahora bien, si n ≥ m :

ϕ∗n(z) = znϕn∗(z) = znϕn

(1z

)

= zn(

1zn−m h

(1z

))= zmh

(1z

)= h∗(z).

Por tanto,

Bn(z) = cn

(zn−mh(z) + τnh∗(z)

), n ≥ m. (4.2)

Si denotamos por In(f) la correspondiente formula de Szego para elparametro τn, esto es,

In(f) =n∑

j=1

λjf(zj),

162

entonces, los nodos zjnj=1 seran las raıces de la ecuacion:

zn−mh(z) + τnh∗(z) = 0, n ≥ m. (4.3)

En cuanto a los pesos λjnj=1, tenemos:

Proposicion 4.1.2 Si h(z) =∏s

k=1(z−αk)rk , donde r1 + . . .+ rs = my |αk| < 1, k = 1, . . . , s :

λj =1

|h(zj)|2(n−m +

∑sk=1

rk(1−|αk|2)|zj−αk|2

) , j = 1, . . . n,

con n ≥ m.

Demostracion: Utilizaremos la expresion de los pesos estudiada en elCapıtulo 3, a saber:

λj =zj

ϕ′n(zj)ϕn(zj)− (ϕ∗n)′(zj)ϕ∗n(zj)

=zn−1j

ϕ∗n(zj)ϕ′n(zj)− ϕn(zj) (ϕ∗n)

′(zj)

.

Dado que ϕn(z) = zn−mh(z), entonces ϕ′n(zj) = (n−m)h(zj)zn−m−1

j +

zn−mj h

′(zj). Ademas, ϕ∗n(z) = h∗(z), por lo que (ϕ∗n)

′(zj) = (h∗)

′(zj).

Por tanto,

λj =zn−1j

h∗(zj)((n−m)h(zj)zn−m−1

j + zn−mj h′(zj)

)− zn−m

j h(zj) (h∗)′(zj)

.

dado que zj ∈ T : h∗(zj) = zmj h(zj), luego:

λj =zn−1j

(n−m)zn−1j |h(zj)|2 + zn

j h(zj)h′(zj)− zn−m

j h(zj) (h∗)′(zj)

.

(4.4)Por otro lado, teniendo en cuenta que h(z) =

∏sk=1(z − αk)rk , se puede

comprobar facilmente que:

h′(z)

h(z)=

s∑

k=1

rk

z − αk.

163

Ademas, h∗(z) =∏s

k=1(1− αkz)rk , por lo que de modo analogo:

(h∗)′(z)

h∗(z)= −

s∑

k=1

αkrk

1− αkz.

Por tanto, utilizando (4.4), se deduce:

λj =zn−1j

(n−m)zn−1j |h(zj)|2 + zn

j |h(zj)|2(∑s

k=1rk

z−αk

)+ zn

j |h(zj)|2(∑s

k=1αkrk

1−αkz

) ,

es decir,

λj =1

|h(zj)|2((n−m) + zj

(∑sk=1

(rk

z−αk+ αkrk

1−αkz

))) . (4.5)

Por otro lado,

1z−αk

+ αk1−αkz = 1

z−αk+ αkzj

zj−αk= zj−αk+zjzjαk−|αk|2zj

|z−αk|2

= zj(1−|αk|2)|z−αk|2 .

Recordando que |zj |2 = 1, j = 1, . . . , n, al sustituir esta ultima expresionen (4.5), se concluye la demostracion. ¤

Observese que cuando h(z) = 1, se tiene ω(θ) = 12π . Entonces m =

s = 0, quedando, para los pesos, la expresion ya conocida

λj =1n

, j = 1, . . . , n.

Otro caso particular interesante es el que conduce al llamado nucleo dePoisson (el que comparece en la integral de Poisson)

ω(θ) =1

2π(1− 2r cos θ + r2), r ∈ (0, 1).

En efecto, si en (4.1) tomamos m = 1 y h(z) = z−r, r ∈ (0, 1), entonces

∣∣h (eiθ

)∣∣2 =∣∣eiθ − r

∣∣2 =(eiθ − r

) (e−iθ − r

)= 1 + r2 − 2< (

reiθ)

= 1− 2r cos θ + r2.

164

Los nodos zjnj=1 de las correspondientes formulas de cuadratura de

Szego seran las raıces de la ecuacion

zn−1(z − r) + τ(1− rz) = 0, |τ | = 1.

En cuanto a los pesos, aplicando la Proposicion 4.1.2, obtenemos, paratodo j = 1, . . . , n :

λj = 1

|zj−r|2

n−1+ 1−r2

|zj−r|2

= 1(n−1)|zj−r|2+1−r2

= 11−r2+(n−1)(1−r2+2r cos θj)

= 1n(1−r2)+2(n−1)r cos θj

,

siendo zj = eiθ, j = 1, . . . , n.

Ejemplo 4.1 Compruebese que el error En(z) en la aproximacion aFω(z) (Transformada de Herglotz-Riesz) viene dada por

En(z) = Fω(z)− Fn(z) =

2zn

(1−rz)Bn(z) si |z| < 1,

−2τz(z−r)Bn(z) si |z| > 1,

siendo Bn(z) = zn−1(z − r) + τ(1− rz), 0 < r < 1.

4.2. Funciones peso tipo-Chebyshev

Con la finalidad de seguir calculando explıcitamente formulas de cua-dratura de Szego, tomaremos algunos casos particulares de las llamadas“funciones peso de tipo Jacobi” que se expresan en la forma:

ω(θ) = (1− cos θ)α+1/2(1 + cos θ)β+1/2, α, β > −1. (4.6)

Mas concretamente, nos centraremos en los siguientes casos:

α = −12 , β = 1

2 , ω1(θ) = 1 + cos θα = 1

2 , β = −12 , ω2(θ) = 1− cos θ

α = 12 , β = 1

2 , ω3(θ) = sen2θ.(4.7)

Tales funciones forman parte de las llamadas funciones peso de Chebys-hev, es decir, funciones peso σ(x) en [−1, 1] de tipo Jacobi, esto es,σ(x) = (1 − x)α(1 + x)β, donde α, β ∈ ±1

2. El caso que falta es

165

α = β = −12 y da lugar a la funcion ω4(θ) = 1 (medida de Lebes-

gue) para la que, como hemos visto en la seccion anterior, se conocenmuy bien las formulas de Szego.

Calcularemos, en primer lugar, para cada una de las funciones pesoωk, k = 1, 2, 3, tanto los polinomios de Szego ρn(z) como sus asociadosΩn(z).

Por otro lado, tambien determinaremos los polinomios para-ortogonalesBn(z, τ) para ciertos valores del parametro τ ası como los asociadosAn(z, τ) con el fin de dar formulas explıcitas para los coeficientes de lascorrespondientes formulas de Szego.

A la hora de computar los polinomios de Szego ρn(z) a traves de lasrelaciones de recurrencia, se hace preciso determinar los coeficientes dereflexion δn := ρn(0). En [24] se probo que para las funciones peso detipo Jacobi, los polinomios de Szego monicos satisfacen:

ρn(0) =α + 1

2 + (−1)n(β + 12)

n + α + β + 1. (4.8)

En primer lugar, estudiaremos en detalle todo lo relativo a la funcionpeso de Chebyshev normalizada ω3(θ) = sen2(θ)

2π . En este caso la sucesionde momentos viene dada por µ0 = 1/2, µ1 = 0, µ2 = −1/4 y µk =0 ∀k ≥ 3. Por la formula (4.8) los coeficientes de reflexion son δn :=ρn(0) = 1+(−1)n

n+2 . Ası pues, los polinomios de Szego se pueden computarrecursivamente obteniendose, para los primeros valores de n, lo siguiente:

ρ2(z) = 12 + z2 ρ3(z) = z

(12 + z2

)ρ4(z) = 1

3 + 23z2 + z4 ρ5(z) = z

(13 + 2

3z2 + z4).

Como regla general, hemos deducido la siguiente:

Proposicion 4.2.1 La sucesion ρn, donde

ρn(z) =

2

n+2

∑n/2k=0(k + 1)z2k si n es par

z 2n+1

∑(n−1)/2k=0 (k + 1)z2k si n es impar

(4.9)

es la sucesion de los polinomios monicos de Szego con respecto a lafuncion peso ω(θ) = sen2(θ)

2π , para todo n.

166

Demostracion: Supongamos que n es par, entonces:

< ρn(z), zk >ω3 =∫ π−π ρn(eiθ)e−ikθ sen2(θ)

2π dθ

= 12πi

∫T

−1

2n+4

Pn/2j=0(j+1)z2j

(z2−1)2

zk+3 dz

= Res(h, 0)

donde h(z) =

−1

2n+4

Pn/2j=0(j+1)z2j

(z2−1)2

zk+3 . Por tanto:

h(z) =−1

2n + 4

n/2∑

j=0

j + 1zk−2j−1

+n/2∑

j=0

−2(j + 1)zk−2j+1

+n/2∑

j=0

j + 1zk−2j+3

.

Observar que, si k es impar entonces Res(h, 0) = 0. Si k = 0 se tiene

Res(h, 0) =−1

2n + 4(−2 + 2) = 0.

Si 2 ≤ k ≤ n− 2

Res(h, 0) =−1

2n + 4

(k − 2

2+ 1− 2

(k

2+ 1

)+

k + 22

+ 1)

= 0.

Si k = n

Res(h, 0) =−1

2n + 4

(n

2− n− 2

)=

n + 44(n + 2)

6= 0.

Si n es impar, se tiene:

< ρn(z), zk >ω3 =< zρn−1(z), zk >ω3

=< ρn−1(z), zk−1 >ω3

=

0 si 1 ≤ k ≤ n− 1n+4

4(n+2) si k = n.

Si k = 0,

< ρn(z), 1 >ω3 = 12πi

∫T

zρn−1(z)(z2−1)2

−4z3 dz

= 12πi

∫T

ρn−1(z)(z2−1)2

−4z2 dz

= Res(h, 0)

167

donde

h(z) =−1

2(n + 1)

(n−1)/2∑

j=0

((j + 1)z2j+2 + (−2(j + 1))z2j + (j + 1)z2j−2

).

Por tanto, Res(h, 0) = 0 y para todo n, tenemos que:

< ρn(z), zk >ω3=

0 si 0 ≤ k ≤ n− 1n+4

4(n+2) si k = n.

¤

Observacion 26 La expresion (4.9) de los polinomios de Szego con res-pecto a la funcion peso ω3(θ) = senθ

2π (y en general tambien para ω1 y ω2)ya habıa sido obtenida con anterioridad. Por ejemplo ver [16], teniendo

en cuenta que senθ2π = |1−z2|2

212π , z = eiθ (modificacion racional de la

medida de Lebesgue). Ver tambien [15] y [24].

Los correspondientes polinomios asociados Ωn(z) para los primerosvalores de n vienen dados por: (recuerdese que satisfacen la misma leyde recurrencia que los ρn(z) pero con distinto valor inicial (2.36))

Ω0(z) = −12 Ω1(z) = −1

2zΩ2(z) = 1

4 − 12z2 Ω3(z) = z

(14 − 1

2z2)

Ω4(z) = 16 + 1

6z2 − 12z4 Ω5(z) = z

(16 + 1

6z2 − 12z4

).

Como regla general se tiene la siguiente

Proposicion 4.2.2 La sucesion Ωn, donde

Ωn(z) = 1n+2

1−zn

1−z2 − 12zn para n par

Ωn(z) = z(

1n+1

1−zn−1

1−z2 − 12zn−1

)= zΩn−1(z) para n impar

(4.10)

es la sucesion de polinomios asociados con respecto a la funcion pesoω(θ) = sen2(θ)

2π , para todo n.

168

Demostracion: Para n par:

zΩn−1(z)− δnΩ∗n−1(z) = z2Ωn−2(z)− δnΩ∗n−2(z)= z2

(1n

1−zn−2

1−z2 − 12zn−2

)− 2

n+2

(1n

z2(1−zn−2)1−z2 − 1

2

)

= 1n

z2(1−zn−2)1−z2 − 1

n(n+2)z2(1−zn−2)

1−z2 + 1n+2 − 1

2zn−2

= 1n(n+2)(1−z2)

((n + 2)z2(1− zn−2)− 2z2(1− zn−2) + (1− z2)n

)− 12zn

= 1n(n+2)(1−z2)

((n + 2)z2 − (n + 2)zn − 2z2 + 2zn + n− nz2

)− 12zn

= 1n(n+2)(1−z2)

(−nzn + n)− 12zn

= 1n+2

1−zn

1−z2 − 12zn

= Ωn(z).

Por otro lado,

δnzΩn−1(z)− Ω∗n−1(z) = δnz2Ωn−2(z)− Ω∗n−2(z)= 2

n+2z2(

1n

1−zn−2

1−z2 − 12zn−2

)−

(1n

z2(1−zn−2)1−z2 − 1

2

)

= 2n(n+2)

z2(1−zn−2)1−z2 − 1

nz2(1−zn−2)

1−z2 − 1n+2zn + 1

2

= 1n(n+2)(1−z2)

(2z2(1− zn−2)− (n + 2)z2(1− zn−2)− (1− z2)nzn

)+ 1

2

= 1n(n+2)(1−z2)

(−nz2 + nzn − nzn + nzn+2)

+ 12

= 1n(n+2)(1−z2)

(−nz2(1− zn))

+ 12

= − 1n+2

z2(1−zn)1−z2 + 1

2

= −Ω∗n(z).

Para n impar, como δn = 0,

zΩn−1(z)− δnΩ∗n−1(z) = zΩn−1(z) = Ωn(z)

δnzΩn−1(z)− Ω∗n−1(z) = −Ω∗n−1(z) = −Ω∗n(z).

Acabamos de ver que los polinomios Ωn, definidos anteriormente, conΩ0(z) = −1

2 , satisfacen las relaciones de recurrencia dadas por (2.36).Como se sabe, tales relaciones de recurrencia caracterizan los polinomiosΩn(z). Esto concluye la demostracion. ¤

Una vez deducida la sucesion ρn(z) de polinomios monicos deSzego dada por (4.9), podemos construir los polinomios para-ortogonalesBn(z, τn) = ρn(z) + τnρ∗n(z) con |τn| = 1. Si tomamos τn = 1 y τn =−1, ∀n tenemos las siguientes expresiones para los polinomios para-ortogonales:

169

Proposicion 4.2.3

B2n(z, 1) = (n+2)n+1

1−z2n+2

1−z2 ,

B2n(z,−1) = 1n+1

−n(1−z2n+4)+(n+2)z2(1−z2n)(1−z2)2

(4.11)

yB2n+1(z, 1) = (n+1)(1−z2n+4)+(n+2)z(1−z2n+2)

(n+1)(1−z2)(1+z)

B2n+1(z,−1) = −(n+1)(1−z2n+4)+(n+2)z(1−z2n+2)(n+1)(1−z2)(1−z)

.

(4.12)

Demostracion:

B2n(z, 1) = 1n+1

∑nk=0(k + 1)z2k + 1

n+1

∑nk=0(n− k + 1)z2k

= 1n+1

∑nk=0 ((k + 1) + (n− k + 1)) z2k = n+2

n+1

∑nk=0 z2k

= (n+2)n+1

1−z2n+2

1−z2 .

De forma analoga se tiene

B2n(z,−1) = 1n+1

∑nk=0(k + 1)z2k − 1

n+1

∑nk=0(n− k + 1)z2k

= 1n+1

∑nk=0 ((k + 1)− (n− k + 1)) z2k

= 1n+1

∑ni=0(2k − n)z2k

= 1n+1

(2

∑nk=0 k(z2)k − n

∑nk=0(z

2)k)

= 1n+1

2z2−2(n+1)z2n+2+2nz2n+4

(1−z2)2− n1−z2n+2

1−z2

= 1n+1

2z2−2(n+1)z2n+2+2nz2n+4−n(−z2n+2)(1−z2)(1−z2)2

= 1n+1

(n+2)z2−(n+2)z2n+2+nz2n+4−n(1−z2)2

= 1n+1

−n(1−z2n+4)+(n+2)z2(1−z2n)(1−z2)2

.

y

B2n+1(z, 1) = ρ2n+1(z) + ρ∗2n+1(z) = zρ2n(z) + ρ∗2n(z)= 1

n+1

∑nk=0(k + 1)z2k+1 + 1

n+1

∑nk=0(n− k + 1)z2k

= 1n+1

(∑nk=0(k + 1)z2k+1 +

∑nk=0(n− k + 1)z2k

)= 1

n+1(z − 1)∑n

k=0 k(z2)k + (z + 1 + n)∑n

k=0(z2)k

= 1n+1

((z−1)(z2−(n+1)z2n+2+nz2n+4)

(1−z2)2+ (1+z)(1−z2n+2)

1−z2 + n(1−z2n+2)1−z2

)

= 1n+1

(z2−(n+1)z2n+2+nz2n+4

(1+z)2(z−1)+ 1−z2n+2

1−z + n 1−z2n+2

(1−z)(1+z)

)

= 1n+1

(z2−(n+1)z2n+2+nz2n+4−(1+z)2(1−z2n+2)−n(1+z)(1−z2n+2)

(z2−1)(1+z)

)

= 1n+1

((n+1)z2n+4−(n+1)−(n+2)z+(n+2)z2n+3

(z2−1)(1+z)

)

= (n+1)(1−z2n+4)+(n+2)z(1−z2n+2)(n+1)(1−z2)(1+z)

.

170

B2n+1(z,−1) = ρ2n+1(z)− ρ∗2n+1(z) = zρ2n(z)− ρ∗2n(z)= 1

n+1

∑nk=0(k + 1)z2k+1 − 1

n+1

∑nk=0(n− k + 1)z2k

= 1n+1

(∑nk=0(k + 1)z2k+1 −∑n

k=0(n− k + 1)z2k)

= 1n+1(z + 1)

∑nk=0 k(z2)k + (z − 1− n)

∑nk=0(z

2)k

= 1n+1

((z+1)(z2−(n+1)z2n+2+nz2n+4)

(1−z2)2+ (z−1)(1−z2n+2)

1−z2 − n1−z2n+2

1−z2

)

= 1n+1

(z2−(n+1)z2n+2+nz2n+4

(1−z)2(z+1)− 1−z2n+2

1−z − n 1−z2n+2

(1−z)(1+z)

)

= 1n+1

(z2−(n+1)z2n+2+nz2n+4−(z−1)2(1−z2n+2)+n(z−1)(1−z2n+2)

(z2−1)(z−1)

)

= 1n+1

((n+1)z2n+4−(n+1)+(n+2)z−(n+2)z2n+3

(z2−1)(1+z)

)

= −(n+1)(1−z2n+4)+(n+2)z(1−z2n+2)(n+1)(1−z2)(1−z)

.

¤De la misma manera podemos construir los polinomios, Qn(z, τn) =

Ωn(z)− τnΩ∗n(z), tomando τn = ±1, ∀n. En efecto, si la sucesion Ωnes la dada por la formula (4.10), vale la siguiente

Proposicion 4.2.4

Q2n(z, 1) = n+22(n+1)(1− z2n), Q2n(z,−1) = n(z2n+2−1)

2(n+1)(1−z2)+ (n+2)z2(1−z2n−2)

2(n+1)(1−z2)

(4.13)y

Q2n+1(z, 1) = z(1−z2n)2(n+1)(1+z) + 1

2(1− z2n+1),

Q2n+1(z,−1) = z(1−z2n)2(n+1)(1−z) − 1

2(1 + z2n+1).(4.14)

Demostracion:

Q2n(z, 1) =(

12n+2

1−z2n

1−z2 − 12z2n

)−

(1

2n+2z2(1−z2n)

1−z2 − 12

)

= 12(2n+2)(1−z2)

(2(1− z2n)− 2z2(1− z2n) + (1− z2n)(2n + 2)(1− z2)

)

= 12(2n+2)(1−z2)

((2n + 4)− (2n + 4)z2 − (2n + 4)z2n + (2n + 4)z2n+2

)

= n+42(2n+2)(1−z2)

(1− z2 − z2n + z2n+2

)

= 2n+42(2n+2)(1−z2)

((1− z2)(1− z2n)

)

= n+22(n+1)(1− z2n).

Q2n(z,−1) =(

12n+2

1−z2n

1−z2 − 12z2n

)+

(1

2n+2z2(1−z2n)

1−z2 − 12

)

= 12(2n+2)(1−z2)

(2(1− z2n) + 2z2(1− z2n)− (1 + z2n)(2n + 2)(1− z2)

)

= 12(2n+2)(1−z2)

(−2n− (2n + 4)z2 − (2n + 4)z2n + 2nz2n+2)

= n(z2n+2−1)2(n+1)(1−z2)

+ (n+2)z2(1−z2n−2)2(n+1)(1−z2)

.

171

Analogamente

Q2n+1(z, 1) = Ω2n+1(z)− Ω∗2n+1(z) = zΩ2n(z)− Ω∗2n(z)= z

(1

2(n+1)1−z2n

1−z2 − 12z2n

)−

(1

2(n+1)z2(1−z2n)

1−z2 − 12

)

= z(1−z2n)−z2(1−z2n)+(1−z2n+1)(n+1)(1−z2)2(n+1)(1−z2)

= z(1−z2n)(1−z)+(1−z2n+1)(n+1)(1−z2)2(n+1)(1−z2)

= z(1−z2n)2(n+1)(1+z) + 1

2(1− z2n+1).

Q2n+1(z,−1) = Ω2n+1(z) + Ω∗2n+1(z) = zΩ2n(z) + Ω∗2n(z)= z

(1

2(n+1)1−z2n

1−z2 − 12z2n

)+

(1

2(n+1)z2(1−z2n)

1−z2 − 12

)

= z(1−z2n)+z2(1−z2n)−(1+z2n+1)(n+1)(1−z2)2(n+1)(1−z2)

= z(1−z2n)(1+z)−(1+z2n+1)(n+1)(1−z2)2(n+1)(1−z2)

= z(1−z2n)2(n+1)(1−z) − 1

2(1 + z2n+1).

¤Una vez hechos estos calculos preliminares, estamos ahora en dispo-

sicion de determinar los nodos y coeficientes de las formulas de Szego. Enefecto, sabemos que si ξkn

k=1 denotan los ceros de Bn(z, τ) entonces,los coeficientes de la formula de cuadratura de Szego se pueden escribir,(recordar formula (3.49) del Capıtulo 2) en la forma

λk =−12ξk

Qn(ξk, τ)B′

n(ξk, τ), k = 1, . . . , n. (4.15)

De modo que si Qn y Bn vienen dados por (4.13) y (4.11) respectiva-mente, para n par y τ = 1 obtenemos:

B′n(z, 1) = n+4

n+2−(n+2)zn+1(1−z2)−(1−zn+2)(−2z)

(1−z2)2

= n+4n+2

−(n+2)zn+1+(n+2)zn+3+2z−2zn+3

(1+z)2

= n+4n+2z

(2−(n+2)zn+nzn+2

(1−z2)2

).

En este caso, los nodos son ξk = eiθk = e2(k−1)πi

n+2 , k = 2, ..., n + 2, k 6=

172

n2 + 2. Por tanto, por formula (4.15), resultara:

λk = −1

2e2(k−1)πi

n+2

1−−e

2(k−1)πin+2

n

2e

2(k−1)πin+2

0@−(n+2)

0@e

2(k−1)πin+2

1A

n

+n+2

1A

0@1−e

4(k−1)πin+2

1A

2

= − 1

4e2(k−1)πi

n+2

1−e2(k−1)nπi

n+2

(n+2)(1−e2(k−1)nπi

n+2 )

(1− e

4(k−1)nπin+2

)2

= − 14(n+2)

1−2e4(k−1)πi

n+2 +e8(k−1)πi

n+2

e4(k−1)πi

n+2

= − 14(n+2)

(−2 + 2<

(e

4(k−1)πin+2

))

=1−cos

4(k−1)π

n+2

2(n+2) = 2πω3(θk)n+2 .

En resumen, hemos probado el siguiente

Teorema 4.1 Los coeficientes de la n−esima formula de cuadratura deSzego para n par y τn = 1, con respecto a la funcion peso ω3(θ) = sen2θ

2π ,son:

λk =2πω3(θk)

n + 2, k = 2, ..., n + 2, k 6= n

2+ 2

viniendo los nodos dados explıcitamente por ξk = eiθk = e2(k−1)πi

n+2 , k =2, ..., n + 2, k 6= n

2 + 2.

Observacion 27 Tengase en cuenta que la correspondiente n−esimaformula de Szego calculada anteriormente se puede escribir como:

∫ π−π f(eiθ)ω3(θ)dθ ≈ ∑n+2

k=2,k 6=n2+2 λkf(eiθk)

=∑n+2

k=2,k 6=n2+2

2πω3(θk)n+2 f(eiθk)

= 2πn+2

∑n+2k=1 f(eiθk)ω3(θk)

con θk = 2(k−1)πn+2 , k = 1, . . . , 2n + 2.

Vemos pues que la n−esima formula de Szego con respecto a ω3

coincide con la (n + 2)−esima formula de Szego respecto a la medida deLebesgue, si consideramos todo el integrando f(eiθ)ω3(θ).

173

Como para el resto de las funciones peso de Chebyshev normaliza-das, es decir, ω1(θ) = 1+cos θ

2π y ω2(θ) = 1−cos θ2π , los calculos son muy

parecidos a los efectuados para ω3(θ), los omitiremos y expondremossolo los resultados directamente.

En la Tabla 1 se puede ver la expresion de los polinomios de Szegoρn(z) y de los asociados Ωn(z) con respecto a ω1(θ) y ω2(θ), respectiva-mente,

Tabla1ρn(z) Ωn(z)

ρn(z) = (−1)n

n+1

∑nk=0(−1)k(k + 1)zk Ωn(z) = (−1)n

n+11+(−1)n−1zn

1+z − zn

ρn(z) = 1n+1

∑nk=0(k + 1)zk Ωn(z) = 1

n+11−zn

1−z − zn

Observacion 28 Procediendo de igual forma que en la demostracionde la Proposicion 3.1 , se puede comprobar que

< ρn(z), zk >ωj= 0, 0 ≤ k ≤ n− 1, j = 1, 2.

Los polinomios para-ortogonales Bn(z, τ) y los asociados Qn(z, τ),(|τ | = 1), se han calculado para τ = ±1. Los resultados se muestran enlas Tablas 2 y 3:

Tabla2ω(θ) Bn(z, τ)

ω1(θ)Bn(z, (−1)n) = (−1)n(n+2)

n+11+(−1)nzn+1

1+z

Bn(z, (−1)n+1) = 1n+1

n(zn+2−(−1)n)+(n+2)z(zn−(−1)n)(1+z)2

ω2(θ)Bn(z, 1) = (n+2)

n+11−zn+1

1−z

Bn(z,−1) = 1n+1

n(zn+2−1)−(n+2)z(zn−1)(1−z)2

174

Tabla3ω(θ) Qn(z, τ)

ω1(θ)Qn(z, (−1)n) = (−1)n(n+2)

n+1 (1− zn)Qn(z, (−1)n+1) = (−1)nn(1−(−1)n+1zn+1)

(n+1)(1−z) + (−1)n(n+2)z(1+(−1)nzn−1)(n+1)(1+z)

ω2(θ)Qn(z, 1) = n+2

n+1(1− zn)

Qn(z,−1) = n(zn+1−1)(n+1)(1−z) + (n+2)z(1−zn−1)

(n+1)(1−z)

Si en las formulas de Szego para la funcion peso ω1, tomamos τ =(−1)n y tenemos en cuenta la sencillez de las expresiones para Bn(z, (−1)n)y Qn(z, (−1)n), obtenemos el siguiente teorema donde se dan, tanto losnodos como los coeficientes de la formula de cuadratura de Szego conrespecto a dicha funcion peso:

Teorema 4.2 Los coeficientes de la n−esima formula de cuadratura deSzego con respecto a la funcion peso ω1(θ) = 1+cos θ

2π tomando τn = (−1)n

son:

λk = 2π

n+1ω1(θk) si n es impar, 1 ≤ k ≤ n + 1, k 6= n+12 + 1

2πn+1ω1(θk) si n es par, 1 ≤ k ≤ n + 1, k 6= n

2 + 1

y los nodos vienen dados por ξk = eiθk siendo

θk =

2(k−1)π

n+1 si n es impar, 1 ≤ k ≤ n + 1, k 6= n+12 + 1

(2k−1)πn+1 si n es par, 1 ≤ k ≤ n + 1, k 6= n

2 + 1.(4.16)

Si para la funcion peso ω2 elegimos τ = 1, tendremos el siguiente

Teorema 4.3 Los coeficientes de la n−esima formula de cuadratura deSzego con respecto a la funcion peso ω2(θ) = 1−cos θ

2π y τn = 1 son:

λk =2π

n + 1ω2(θk)

y los nodos son ξk = eiθk con θk = 2(k−1)πn+1 , k = 1, . . . , n.

175

Finalmente, digamos que para estas dos funciones peso, ω1 y ω2, sepuede obtener un resultado analogo al dado en la observacion 27.

Ejercicio: Comprobar que la transformada de Herglotz-Riesz paraω1, ω2 y ω3 viene dada, respectivamente, por:

Fω1(z) =

1 + z si |z| < 1−1+z

z si |z| > 1,

Fω2(z) =

1− z si |z| < 11−z

z si |z| > 1,

y

Fω3(z) =

1−z2

2 si |z| < 11−z2

2z2 si |z| > 1.

4.3. Funciones peso de signo variable

En los capıtulos precedentes, al referirnos a una integral “pesada”de la forma Iω(f) =

∫ π−π f

(eiθ

)ω(θ)dθ, sobre la circunferencia unidad,

o Iσ(f) =∫ ba f(x)σ(x)dx, sobre el eje real, siempre hemos supuesto

que tanto ω(θ) como σ(x) eran funciones peso, recordando con ello,por ejemplo en la circunferencia unidad que ω(θ) ≥ 0, ∀θ ∈ [−π, π] yque

∫ π−π ω(θ)dθ > 0. Tambien vimos que en la construccion de formulas

de cuadratura con el maximo grado de precision “algebraica” o “trigo-nometrica” jugaban un papel esencial ciertos polinomios que satisfacıancondiciones de ortogonalidad respecto al producto interior generado porla correspondiente funcion peso. En esta seccion nos vamos a ocupar deconstruir formulas de cuadratura sobre la circunferencia unidad, esto es,expresiones de la forma

In(f) =n∑

j=1

Ajf(xj), xi 6= xj , ∀i 6= j, xj ∈ T, 1 ≤ j ≤ n, (4.17)

que permitan “estimar”, en algun sentido, la integral

Iω(f) =∫ π

−πf

(eiθ

)ω(θ)dθ, (4.18)

176

donde ahora ω(θ) ya no es una funcion peso, sino que puede cambiar designo en [−π, π] o incluso, mas generalmente, ω(θ) podrıa tomar valorescomplejos. Dado que a In(f) le vamos a seguir exigiendo “exactitud”sobre ciertos subespacios de polinomios de Laurent, impondremos comohipotesis basicas sobre ω(θ) que sea L1−integrable en [−π, π] y que lasintegrales

µk =∫ π

−πe−ikθω(θ)dθ, (4.19)

sean “facilmente calculables” para k = 0,±1,±2, . . . . Claramente, ahorael “producto” asociado a ω(θ) :

〈f, g〉ω =∫ π

−πf

(eiθ

)g (eiθ)ω(θ)dθ,

ya no es “interior” y aunque podrıamos hablar de “ortogonalidad for-mal”, nada puede asegurarse , en general, sobre la existencia de suce-siones de polinomios ortogonales y mucho menos sobre localizacion delos ceros de los mismos, como ocurrıa cuando ω(θ) era una funcion pesopositiva.

Por otro lado, pudiera suceder que ω(θ) fuese propiamente una fun-cion peso, pero con una forma tal que el calculo de los polinomios or-togonales (polinomios de Szego) y posterior computacion de ceros delos correspondientes polinomios para-ortogonales , implicase un procesocomputacional altamente costoso y probablemente inestable, de modoque cabrıa pensarse en rebajar el dominio de exactitud a fin de estimar(4.18) con otras formulas que fueran mas facilmente computable. Tantopara un caso como para otro, en relacion a ω(θ), tenemos las llama-das formulas de “tipo interpolatorio”, introducidas ya en el Capıtulo 3,en relacion a la aproximacion de la Transformada de Herglotz-Riesz deω(θ).

Sean pues, x1, . . . , xn, n nodos distintos situados sobre T, dado que∆−p,q, con p y q enteros no negativos verificando p + q = n − 1, esun subespacio de Chebyshev de ∆ de dimension n, se puede probarfacilmente la siguiente (hagase como ejercicio):

Proposicion 4.3.1 Sea ω(θ) una funcion L1−integrable en [−π, π] ysean x1, . . . , xn, n nodos distintos sobre T. Entonces, existen numeros

177

complejos A1, . . . , An, unıvocamente determinados tales que

In(f) =n∑

j=1

Ajf(xj) = Iω(f) =∫ π

−πf

(eiθ

)ω(θ)dθ, ∀f ∈ ∆−p,q.

Por otro lado, dados los nodos x1, . . . , xn, xi 6= xj , ∀i 6= j, xj ∈T, 1 ≤ j ≤ n, sabemos que existe un unico polinomio de LaurentLn(f, z) ∈ ∆−p,q, tal que

Ln(f, xj) = f(xj), 1 ≤ j ≤ n.

Ademas, se tiene que

Ln(f, z) =n∑

j=1

lj(z)f(xj),

siendo lj ∈ ∆−p,q, tal que lj(xk) = δj,k.Ejercicio: Sea Qn(z) =

∏nj=1(z − xj) (polinomio nodal), pruebese

entonces que:

lj(z) =xp

j

zp

Qn(z)(z − xj)Q

′n(xj)

, j = 1, . . . , n. (4.20)

Por consiguiente,

Iω (Ln(f, .)) =n∑

j=1

Iω(lj)f(xj) =n∑

j=1

Ajf(xj) = In(f)

Ademas, puesto que ∀f ∈ ∆−p,q, se cumple que Ln(f, z) = f(z), laformula de cuadratura In(f) definida anteriormente es exacta en ∆−p,q

y la denominaremos de “tipo interpolatorio en ∆−p,q”, pudiendose com-probar la siguiente:

Proposicion 4.3.2 Una formula de cuadratura

In(f) =n∑

j=1

Ajf(xj), xi 6= xj , ∀i 6= j, xj ∈ T, 1 ≤ j ≤ n,

es exacta en ∆−p,q, (p + q = n− 1), sı y solo si, In(f) es de tipo inter-polatorio en ∆−p,q.

178

Veamos pues, que tenemos la “libertad” de elegir nodos sobre T,generando formulas de cuadraturas exactas en subespacios de dimensionn, frente a las formulas de Szego (cuando se pudieran construir) que sonexactas en ∆−(n−1),n−1 (dimension 2n − 1). La pregunta que surge es:¿Como elegir los nodos para que In(f) sea efectivamente una “buenaestimacion” de Iω(f) ? En general, dada una tabla triangular de nodossobre T : X = xj,n : xi,n 6= xk,n, ∀i 6= kn

j=1, (n ∈ N), de forma que,para cada n ∈ N, definimos

In(f) =n∑

j=1

Aj,nf(xj,n) = Iω(f), ∀f ∈ ∆−p,q, (4.21)

(p y q enteros no negativos dependientes de n tales que p + q = n− 1),vamos exigir a In(f) las siguientes propiedades:

1. Estabilidad: In(f)∞n=1 dada por (4.19), se dira estable, sı y solosi, ∃M > 0 : ∀n ≥ 1,

∑nj=1 |Aj,n| ≤ M.

2. Convergencia: In(f)∞n=1 se dira convergente en una cierta claseG de funciones definidas sobre T, sı y solo si,

lımn→∞ In(f) = Iω(f), ∀f ∈ G.

Vamos a denotar ahora por C(T) = f : T −→ C; f continua. En-tonces, se tiene que cuando G = C(T), “estabilidad” y “convergencia”son conceptos equivalentes, como se probara en el siguiente teorema. Atal efecto, en lo que sigue p(n)∞n=1 y q(n)∞n=1 son sucesiones crecien-tes de enteros no negativos cumpliendo:

1. p(n) + q(n) = n− 1, n = 1, 2, . . . , (p(1) = q(1) = 0).

2. lımn→∞ p(n) = lımn→∞ q(n) = ∞.

Como consecuencia del Teorema de Banach- Steinhauss, se tiene:

Teorema 4.4 Sea X una tabla triangular de nodos sobre T :

X = xj,n : xi,n 6= xk,n, ∀i 6= knj=1, (n ∈ N),

y sea

In(f) =n∑

j=1

Aj,nf(xj,n) = Iω(f), ∀f ∈ ∆−p(n),q(n).

179

Entonces,

lımn→∞ In(f) = Iω(f), ∀f ∈ C(T) ⇔ ∃M > 0 : ∀n ≥ 1,

n∑

j=1

|Aj,n| ≤ M.

Demostracion: “⇐” Sea f ∈ C(T). Dado ε > 0, sabemos que existe(Teorema de Weierestrass) TN ∈ ∆−N,N tal que

|f(x)− TN (x)| < ε, ∀x ∈ T.

Como lımn→∞ p(n) = lımn→∞ q(n) = ∞, existe n0 ∈ N tal que ∀n > n0 :mınp(n), q(n) > N. Por consiguiente, TN ∈ ∆−p(n),q(n) y se cumple:In(TN ) = Iω(TN ). Entonces, ∀n > n0 :

|Iω(f)− In(f)| = |Iω(f)− Iω(TN ) + In(TN )− In(f)|≤ |Iω(f)− Iω(TN )|+ |In(TN )− In(f)|≤ Iω (|f − TN |) + In (|f − TN |) < (|µ0|+ M) ε,

siendo µ0 =∫ π−π ω(θ)dθ.

“⇒” Aplıquese el Teorema de Banach- Steinhauss.¤

Observacion 29 Del Teorema 4.4, se puede observar que, dada la tablaX, la condicion

∑nj=1 |Aj,n| ≤ M no es facilmente constatable, de ahı que

dicho teorema no resulte, en principio, de mucha utilidad practica. Enla lınea de solventar este tipo de dificultades, damos el siguiente teoremaque es una version, sobre la circunferencia unidad, del famoso Teoremade Erdos-Turan, relativo a la convergencia en norma L2 para sucesionesde polinomios interpolantes en los ceros de polinomios ortogonales.

Teorema 4.5 Sea ν(θ) una funcion peso positiva en [−π, π] y sea τnn ⊂T. Sea Ln(f, z) el polinomio de Laurent en ∆−p(n),q(n) que interpola a lafuncion f(z) en los ceros zj,nn

j=1 del polinomio para-ortogonal respectoa ν(θ) :

Bn(z) = ρn(z) + τnρ∗n(z), n = 1, 2, . . . .

Entonces, ∀f ∈ C(T) :

lımn→∞ ‖f−Ln(f, .)‖ν = lım

n→∞

(∫ π

−π

∣∣∣f(eiθ

)− Ln

(f, eiθ

)∣∣∣2ν(θ)dθ

)1/2

= 0.

180

Demostracion: Sea f ∈ C(T). Dado ε > 0, ∃TN ∈ ∆−N,N tal que

|f(x)− TN (x)| < ε, ∀x ∈ T.

Procediendo de modo analogo a la demostracion del Teorema 4.4, ∃n0 ∈N tal que ∀n > n0 : TN ∈ ∆−p(n),q(n) y por consiguiente,

TN (x) = Ln(Tn, x).

Por otro lado,

‖f − Ln(f, .)‖ν ≤ ‖f − TN‖ν + ‖TN − Ln(f, .)‖ν

= ‖f − TN‖ν + ‖Ln(TN − f, .)‖ν .

Ahora bien, claramente

‖f − Ln(f, .)‖ν < ε√

c0, (4.22)

donde ck =∫ π−π e−ikθν(θ)dθ, k = 0,±1,±2, . . . .

Por otro lado, teniendo en cuenta que

Ln(TN − f, x) =n∑

j=1

lj,n(x)(TN − f)(xj,n),

con lj,n ∈ ∆−p(n),q(n), lj,n(xk,n) = δj,k,(x = eiθ

), podemos escribir:

‖Ln(f − TN , .)‖2ν =

∫ π−π |Ln(TN − f, x)|2 ν(θ)dθ =

=∫ π−π

∣∣∣∑nj=1 lj,n(x)(TN − f)(xj,n)

∣∣∣2ν(θ)dθ =

=∫ π−π

∑nj=1 lj,n(x)(TN − f)(xj,n)

∑nj=1 lj,n(x)(TN − f)(xj,n)ν(θ)dθ =

=∑n

j=1

∑nk=1

∫ π−π lj,n(x)lk,n(x)(TN − f)(xj,n)(TN − f)(xk,n)ν(θ)dθ.

(4.23)Denotemos por In(f) la formula de Szego para Iν(f) con nodos, los

ceros zj,nnj=1 de

Bn(z) = ρn(z) + τnρ∗n(z), n = 1, 2, . . . ,

181

y escribamos, ∀f ∈ ∆−(n−1),n−1 :

In(f) =n∑

j=1

λj,nf(zj,n) = Iν(f) =∫ π

−πf

(eiθ

)ν(θ)dθ,

siendo λj,n > 0, j = 1, . . . , n.

Por otro lado, observese que

lj,n(x)lk,n(x) ∈ ∆−(n−1),n−1, j, k = 1, . . . , n,

y en consecuencia, haciendo βj = (TN − f)(xj,n), j = 1, . . . , n, resulta,∀j, k = 1, . . . , n :

∫ π−π lj,n(x)lk,n(x)βjβkν(θ)dθ = βjβk

∑nr=1 λr,nlj,n(x)lk,n(x)

= |βj |2λj,nδj,k.(4.24)

Ası, de (4.23) y (4.24), podemos establecer

‖Ln(TN − f, .)‖2ν =

∑nj=1 λj,n |f(xj,n)− TN (xj,n)|2 ν(θ)dθ

< ε2∑n

j=1 λj,n = ε2∫ π−π ν(θ)dθ = ε2c0.

(4.25)

Concluimos pues, de (4.22) y (4.25) que ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 :

‖f − Ln(f, .)‖ν < 2√

c0ε,

culminando ası la demostracion. ¤Vemos pues, que podemos introducir una funcion peso auxiliar ν(θ)

de modo que los ceros de la sucesion de polinomios para-ortogonalese invariantes nos proporcionan una tabla triangular X de nodos. En elsiguiente teorema se probara que la sucesion de formulas de tipo inter-polatorio asociados a dicha tabla X es convergente en la clase de lasfunciones continuas sobre T.

Teorema 4.6 Sea ω(θ) una funcion peso, posiblemente compleja y ν(θ)una funcion peso positiva, ambas definidas en [−π, π] y supongamos que

∫ π

−π

|ν(θ)|2ω(θ)

dθ = K < +∞. (4.26)

182

Sea Bn(z) = ρn(z) + τn, (|τn| = 1) para-ortogonal con respecto a ν(θ)e invariante y sean xj,nn

j=1 sus ceros para n = 1, 2, . . . . Sea In(f) =∑nj=1 Aj,nf(xj,n) la formula de cuadratura con tales ceros y de tipo in-

terpolatorio en ∆−p(n),q(n), siendo p(n) y q(n) sucesiones de enterosno negativos tales que p(n) + q(n) = n− 1, n = 1, 2, . . . y

lımn→∞ p(n) = lım

n→∞ q(n) = ∞.

Entonces, ∀f ∈ C(T) :

lımn→∞ In(f) = lım

n→∞

n∑

j=1

Aj,nf(xj,n) = Iω(f) =∫ π

−πf

(eiθ

)ω(θ)dθ.

(4.27)

Demostracion: Recordar que Iω(f) = Iω (Ln(f, .)) , siendo Ln(f, x) ∈∆−p(n),q(n) que interpola a f en los nodos xj,nn

j=1. Por consiguiente:

|Iω(f)− In(f)| ≤ Iω (|f − Ln(f, .)|)=

∫ π−π

∣∣f (eiθ

)− Ln

(f, eiθ

)∣∣ |ω(θ)|dθ

=∫ π−π

∣∣f (eiθ

)− Ln

(f, eiθ

)∣∣√ν(θ) |ω(θ)|√

ν(θ)dθ.

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, resultara

|Iω(f)− In(f)| ≤(∫ π−π

∣∣f (eiθ

)− Ln

(f, eiθ

)∣∣2 ν(θ)dθ)1/2 (∫ π

−π|ω(θ)|2ν(θ) dθ

)1/2

≤ √K‖f − Ln(f, .)‖ν .

Aplicando el Teorema 4.5:

|Iω(f)− In(f)| → 0.

¤Del Teorema 4.6 y el Teorema de Banach- Steinhauss, se deduce el

siguiente:

Corolario 4.1 Bajo las mismas condiciones del Teorema 4.6, ∃M >0 : ∀n ≥ 1 :

n∑

j=1

|Aj,n| ≤ M.

183

Como una aplicacion de los resultados anteriores, tambien podemosdeducir la convergencia de la sucesion de aproximantes tipo-Pade en dospuntos (p(n)/n)Fω

(z) = Qn(z)Bn(z) a la Transformada de Herglotz-Riesz de

la funcion ω(θ). Podemos enunciar el siguiente:

Teorema 4.7 Bajo las mismas condiciones del Teorema 4.6, se verifi-ca:

lımn→∞ (p(n)/n)Fω

(z) = lımn→∞

Qn(z)Bn(z)

= Fω(z) =∫ π

−π

eiθ + z

eiθ − zω(θ)dθ,

uniformemente en compactos de C \ T.

Demostracion: Recordar que (p(n)/n)Fω(z) admite la siguiente des-

composicion:

(p(n)/n)Fω(z) =

n∑

j=1

Aj,n

(z + xj,n

z − xj,n

),

siendo xj,nnj=1 los ceros de Bn(z) = ρn(z) + τnρ∗n(z), (|τn| = 1) y

Aj,nnj=1 los coeficientes de la correspondiente formula de cuadratura

de tipo interpolatorio en ∆−p(n),q(n), esto es,

In(f) =n∑

j=1

Aj,nf(xj,n).

Por consiguiente: (p(n)/n)Fω(z) = In

(eiθ+zeiθ−z

).

Ahora se procede como en la demostracion del Teorema 3.23 delCapıtulo 3. Los detalles se dejan para el lector. ¤

Al propio tiempo, se pueden dar estimaciones de la velocidad de con-vergencia. Sea pues, En(z) = Fω(z) − (p(n)/n)Fω

(z), z 6∈ T. Entonces,se cumple

Teorema 4.8 Bajo las condiciones del Teorema 4.6, sea K ⊂ C \ T,compacto, entonces:

lım supn→∞

‖En‖1/nK ≤ ρ < 1,

con ‖En‖K = maxz∈K |En(z)|. Aquı: ρ = maxρ1, ρ2, siendo:

ρ1 = max|z|r : z ∈ K⋂D, ρ2 = max|z|r−1 : z ∈ K

⋂E,

y r = lımn→∞p(n)

n , donde hemos supuesto que 0 < r < 1.

184

Demostracion: Utilizando la expresion obtenida en el Capıtulo 3 paraEn(z), (vease relacion (3.69)), podemos escribir, para z ∈ K :

En(z) =zp(n)

Bn(z)

∫ π

−π

x−(p(n)−1)Bn(x)x− z

ω(θ)dθ, x = eiθ.

Ası: |En(z)| ≤ |z|p(n)

|Bn(z)|Mn

dis(K,T) , con Mn = maxz∈T |Bn(z)|.Procediendo como en la demostracion del Teorema 3.25 del Capıtulo

3, se obtiene el resultado. Los detalles se dejan para el lector. ¤El Teorema 4.8 nos va a permitir dar estimaciones de la velocidad de

convergencia de las sucesiones de formulas de cuadratura estudiadas enel Teorema 4.6, cuando consideramos integrandos analıticos. En efecto,procediendo como en la demostracion del Teorema 3.25, tenemos:

Corolario 4.2 Sea Iω(f) =∫ π−π f

(eiθ

)ω(θ)dθ, siendo ω(θ) una fun-

cion peso (posiblemente compleja y L1−integrable) y f analıtica en unaregion G que contiene a T con Γ = ∂G, (frontera). Sean p(n) y q(n)sucesiones crecientes de enteros no negativos tales que p(n) + q(n) =n− 1, n = 1, 2, . . . ,

lımn→∞ p(n) = lım

n→∞ q(n) = ∞,

y lımn→∞p(n)

n = r, (0 < r < 1). Sea ν(θ) una funcion peso positiva talque ∫ π

−π

|ω(θ)|2ν(θ)

dθ < +∞,

y sea In(f) =∑n

j=1 Aj,nf(xj,n) una formula de cuadratura para Iω(f)de tipo interpolatorio en ∆−p(n),q(n), siendo xj,nn

j=1, los ceros de Bn(z)de grado n, para-ortogonal respecto a ν(θ) e invariante. Entonces:

lımn→∞ |Rn(f)|1/n = lım

n→∞ |Iω(f)− In(f)|1/n ≤ ρ < 1,

siendo ρ = maxρ1, ρ2, con:

ρ1 = max|z|r : z ∈ Γ⋂D, y ρ2 = max|z|r−1 : z ∈ Γ

⋂E,

Observacion 30 Si por ejemplo, se desea una distribucion “balancea-da” (equilibrada) de potencias “positivas” (p(n)) y “negativas” (q(n)) en

185

los correspondientes subespacios ∆−p(n),q(n), de polinomios de Laurent,podrıamos escoger p(n) =

[n2

](q(n) = n− p(n) =

[n+1

2

]) que satisfacen

todas las exigencias del Corolario 4.2, con

r = lımn→∞

p(n)n

= lımn→∞

[n2

]

n=

12.

Si comparamos la estimacion de la velocidad de convergencia paralas formulas de Szego (dada por r en el Teorema 4.8) con la estimacionpara las de tipo interpolatorio dada por ρ en el Corolario 4.2, vemos quese cumple r = ρ2, constatando ası la mayor velocidad de convergenciade las de Szego frente a las de tipo interpolatorio.

Ahora cabrıa preguntarse acerca de la existencia de funciones “pe-so” positivas ν(θ) en [−π, π], que proporcionen nodos interpolatoriosxj,nn

j=1 con el menor esfuerzo computacional posible (xj,nnj=1 dados

explıcitamente o facilmente calculables, al menos).Como ya hemos ilustrado en el Capıtulo 3, una respuesta positiva

viene dada en terminos de la funcion peso positiva mas simple que unopudiera imaginar, esto es, ν(θ) = 1, ∀θ ∈ [−π, π], ya que en ese casoρn(z) = zn y Bn(z) = zn + τn con τn ∈ T. Ası, los nodos xjn

j=1

seran rotaciones de las raıces de la unidad. Denotando por µk∞−∞ lasucesion de momentos trigonometricos respecto a ω(θ), es decir, µk =∫ π−π e−ikθω(θ)dθ, k ∈ Z, podemos deducir, para los pesos, la siguiente

expresion:

Proposicion 4.3.3 Sea τ ∈ T y sean xjnj=1 las raıces de la ecuacion

zn − τ = 0. Entonces, los pesos de la formula de cuadratura In(f) =∑nj=1 Ajf(xj) de tipo interpolatorio en ∆−p,q, (p + q = n − 1) para

Iω(f), vienen dados por

Aj =1n

q∑

j=−p

x−kj µ−k =

1n

p∑

j=−q

xkj µk, j = 1, . . . , n.

Demostracion: Si denotamos por Bn(z) = zn−τ, el polinomio nodal,entonces, para todo j = 1, . . . , n, y x = eiθ, por (4.20), sigue:

Aj =xp

j

B′n(xj)

∫ π

−π

Bn(x)xp(x− xj)

ω(θ)dθ,

186

lo cual implica

Aj =xp

j

nxn−1j

∫ π

−π

xn − τ

xp(x− xj)ω(θ)dθ =

x−qj

n

∫ π

−π

xn − xnj

xp(x− xj)ω(θ)dθ.

Ahora bien,xn−xn

j

xp(x−xj)=

∑n−1k=0 xn−1−kxk

j =∑q

k=−p xq−kj xk. Por consi-

guiente:

Aj =x−q

j

n

∑qk=−p xq−k

j

∫ π−π xkω(θ)dθ = 1

n

∑qk=−p x−k

j

∫ π−π eikθω(θ)dθ

= 1n

∑qk=−p x−k

j µ−k = 1n

∑pk=−q xk

j µk.

¤

Observacion 31 Si suponemos ω(θ) real y n impar, por ejemplo n =2m + 1 y tomamos p = q = m, entonces, dado que ahora los momentosµk satisfacen µk = µ−k, k ∈ Z, para los pesos tenemos la siguienterepresentacion:

Aj =2n

(µ0

2+

m∑

k=1

<(µkx

kj

)), j = 1, . . . , n.

Finalmente, cabrıa considerar la posibilidad de tomar como funcionpeso en la integral Iω(f) =

∫ π−π f

(eiθ

)ω(θ)dθ, la identicamente igual a

uno, siendo el integrando f(eiθ

)ω(θ) = F

(eiθ

), es decir

Iω(f) = I(F ) =∫ π

−πF

(eiθ

)dθ,

y aproximar esta ultima mediante una formula de Szego. El problemaradica en que normalmente ω(θ) suele contener singularidades en losextremos del intervalo de integracion y eso conlleva que la formula deSzego, o bien no se pudiera aplicar, o que su convergencia fuese extre-madamente lenta. Con caracter ilustrativo, se podrıan realizar diversosexperimentos numericos considerando la integral de Poisson:

ρ(r, ϕ) =12π

∫ π

−π

(1− r2)f(eiθ

)

1− 2r cos(θ + ϕ) + r2dθ, 0 ≤ r < 1, ϕ ∈ [−π, π].

(4.28)

187

(Recuerdese que una funcion ρ que satisface la ecuacion de Laplace encada punto z ∈ D (o sea, es armonica) y toma el valor presente f

(eiθ

)sobre T, esta dada por (4.28)).

Observese que, haciendo α = reiϕ, podemos poner

ρ(r, ϕ) =12π

∫ π

−π

(1− r2)f(eiθ

)

|eiθ − α|2dθ,

y que, cuando r ≈ 1, α esta muy proximo a T, es decir, que tenemos queintegrar en presencia de singularidades.

Se proponen tres procedimientos para estimar (4.28)):

1. Considerar la funcion peso ω(θ) = 1, θ ∈ [−π, π] e integrar me-diante una formula de Szego, (Regla Trpezoidal).

2. Tomar ω(θ) = (1−r2)1−2r cos(θ+ϕ)+r2 y considerar una formula de Szego

para tal funcion peso.

3. Tomar ω(θ) como en el caso anterior y utilizar una formula de tipointerpolatorio con nodos, las raıces de la unidad o rotaciones deestas.

Concluimos esta seccion extendiendo los resultados de convergenciade las sucesiones de formulas de cuadratura introducidas en el Teorema4.6 a la clase de las funciones integrables sobre la circunferencia uni-dad. En efecto, con la ayuda del Teorema 1.16 del Capıtulo 1 (Seccion1.5), podemos extender el Teorema 4.5 (Erdos-Turan) a la clase de lasfunciones integrables sobre T, como queda constatado en el siguiente:

Teorema 4.9 Sea ν(θ) una funcion peso sobre [−π, π] y sea Bn(z) =Bn(z, τn) = ρn(z) + τnρ∗n(z)∞n=1, (|τn| = 1) una sucesion de polinomiospara-ortogonales respecto a ν(θ) e invariantes. Sean zj,nn

j=1 los cerosde Bn(z) (zi,n 6= zk,n, ∀i 6= k y zj,nn

j=1 ⊂ T) y denotemos por Ln(f, z)el polinomio de Laurent en ∆−p(n),q(n) que interpola a una funcion fdefinida sobre T. Aquı p(n) y q(n) son dos sucesiones de enteros nonegativos tales que p(n) + q(n) = n− 1, n = 1, 2, . . . y

lımn→∞ p(n) = lım

n→∞ q(n) = ∞.

Entonces,lım

n→∞ ‖f − Ln(f, .)‖ν = 0,

188

siendo f acotada y tal que f(θ)ν(θ) es integrable sobre [−π, π].

Demostracion:

‖f − Ln(f, .)‖2ν =

∫ π−π

∣∣f (eiθ

)− Ln

(f, eiθ

)∣∣2 ν(θ)dθ

=∫ π−π

∣∣f (eiθ

)∣∣2 ν(θ)dθ +∫ π−π

∣∣Ln

(f, eiθ

)∣∣2 ν(θ)dθ−

−2<(∫ π−π f

(eiθ

)Ln

(f, eiθ

)ν(θ)dθ

).

Ahoar bien, |Ln (f, x)|2 ∈ ∆−(n−1),n−1,(x = eiθ

), por consiguiente:

Iν

(|Ln (f, .)|2

)= In

(|Ln (f, .)|2

),

siendo In(f) la n−esima formula de Szego con nodos zj,nnj=1.

Por otro lado,

In

(|Ln (f, .)|2

)=

∑nj=1 λj,n |Ln (f, zj,n)|2

=∑n

j=1 λj,n |f (zj,n)|2 = In

(|f |2

).

Ademas, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

∣∣∣∫ π−π f

(eiθ

)Ln

(f, eiθ

)ν(θ)dθ

∣∣∣ ≤(∫ π−π

∣∣f (eiθ

)∣∣2 ν(θ)dθ)1/2

×

×(∫ π−π

∣∣f (eiθ

)∣∣2 ν(θ)dθ)1/2

Por otro lado,(x = eiθ

)

‖f − Ln(f, .)‖2ν ≤ Iν

(|f |2

)+ In

(|f |2

)+

+2(∫ π−π |f(x)|2 ν(θ)dθ

)1/2 (∫ π−π |Ln(f, x)|2 ν(θ)dθ

)1/2.

(4.29)Ası pues, teniendo en cuenta que

lımn→∞ In

(|f |2

)= Iν

(|f |2

),

de (4.29) resultara:

189

lım supn→∞

‖f − Ln(f, .)‖2ν ≤ 4

∫ π

−π

∣∣∣f(eiθ

)∣∣∣2ν(θ)dθ. (4.30)

Sea ahora, ε > 0, y consideremos f(eiθ

)= f1(θ) + if2(θ), donde

fj(θ), j = 1, 2, son funciones periodicas, acotadas y tal que fj(θ)ν(θ), j =1, 2, integrables en [−π, π]. Entonces, aplicando el Teorema 1.16 a f1(θ)y f2(θ), podemos asegurar que existen constantes positivas y polinomiostrigonometricos T1(θ) y T2(θ), tales que:

−M1 − ε ≤ f1(θ) ≤ T1(θ) ≤ M1 + ε,∫ π−π |f1(θ)− T1(θ)| ν(θ)dθ < ε,

(4.31)

y−M2 − ε ≤ f2(θ) ≤ T2(θ) ≤ M2 + ε,

∫ π−π |f2(θ)− T2(θ)| ν(θ)dθ < ε.

(4.32)

Formemos ahora T (θ) = T1(θ) + iT2(θ) = R(eiθ

), con R ∈ ∆−N,N .

Ası, ∀x ∈ T :

|f(x)−R(x)| ≤ |f1(θ)− T1(θ)|+ |f2(θ)− T2(θ)|≤ 2 ((M1 + ε) + (M2 + ε)) .

Por otro lado,

∫ π−π |f(x)−R(x)|2 ν(θ)dθ ≤ ∫ π

−π |f(x)−R(x)| |f(x)−R(x)| ν(θ)dθ

≤ 2(M1 + M2 + 2ε)(∫ π−π |f1(θ)− T1(θ)| ν(θ)dθ+

+∫ π−π |f2(θ)− T2(θ)| ν(θ)dθ

)≤ 4(M1 + M2 + 2ε)ε.

(4.33)Ahora, dado que lımn→∞ p(n) = lımn→∞ q(n) = ∞, y que R ∈ ∆−N,N ,tomando n suficientemente grande podemos asegurar que R ∈ ∆−p(n),q(n)

y consecuentemente escribir:

f − Ln(f, .) = f −R + R− Ln(f, .) = (f −R)− (Ln(f, .)− Ln(R, .))

= (f −R)− Ln(f −R, .)

190

Por tanto, de (4.30) y (4.33), se sigue,(x = eiθ

)

lım supn→∞ ‖f − Ln(f, .)‖2ν = lım supn→∞ ‖f −R− Ln(f −R, .)‖2

ν

≤ 4∫ π−π |f(x)−R(x)|2 ν(θ)dθ

≤ 16(M1 + M2 + 2ε)ε.

Esto implica que lım supn→∞ ‖f − Ln(f, .)‖2ν = 0 y de aquı se concluye

la demostracion. ¤A partir de este resultado podemos ahora establecer, procediendo

como en el Teorema 4.6, el siguiente

Corolario 4.3 Bajo las mismas condiciones del Teorema 4.6, se veri-fica

lımn→∞ In(f) = lım

n→∞

n∑

j=1

Aj,nf(xj,n) = Iω(f) =∫ π

−πf

(eiθ

)ω(θ)dθ,

para cualquier funcion f : T −→ C acotada y tal que f(eiθ

)ω(θ) es

integrable en [−π, π].

Observacion 32 Obviamente, el Teorema 4.9 y Corolario 4.3 se pu-dieron haber dado con anterioridad y de aquı deducir los Teoremas 4.5y 4.6 relativos a la convergencia en la clase de las funciones continuas.Creemos, no obstante, que el procedimiento expuesto es mas didacticoen el sentido de que se va viendo la necesidad de ir incorporando otrostipos de Teoremas de Teorıa de Aproximacion para obtener las conclu-siones deseadas. Con todo, conviene resaltar que se trata de resultadosrecientes deducidos en el marco mas amplio de las funciones raciona-les ortogonales sobre la circunferencia unidad dados por A. Bultheel, P.Gonzalez-Vera, E. Hendriksen y O. Njastad (vease [8]). Sin embargo, sehace preciso resaltar que el Teorema 4.6 fue establecido por los cuatroautores anteriores en 1996 en la clase de las funciones continuas quesatisfacen una cierta condicion de Lipschitz como puede verse en [6].

191

4.4. Computacion de la Transformada de Fou-rier

Es bien sabido que la computacion de la Transformada de Fourier deuna funcion g,

G(σ) = F(g)(σ) =∫ ∞

−∞g(t)e2πiσtdt, −∞ < σ < +∞, (4.34)

puede conllevar considerables dificultades involucrando el rango infini-to del intervalo de integracion por una parte, y el caracter “altamen-te oscilatorio” del integrando por otro. Al respecto, y de acuerdo conDavid-Rabinowitz [14], por un integrando “altamente oscilatorio” enten-deremos que posee un gran numero (mas de diez) de extremos locales(maximos y mınimos) sobre el intervalo de integracion. En esta seccionrebajaremos el grado de dificultad en la estimacion de (4.34) suponiendoque g(t) se anula fuera de un cierto intervalo finito. Sin embargo, anadi-remos una dificultad extra, admitiendo la presencia de singularidadesproximas al intervalo de integracion. Bajo estas condiciones, la expre-sion (4.34) la computaremos mediante ciertas formulas de cuadratura(formulas de Szego) asumiendo previamente que todas las singularidadeslas reunimos en una cierta funcion peso, siendo este el proceso habitualempleado en la integracion numerica.

Ası pues, supongamos que g ∈ L1 (R) , de modo que su transformadade Fourier F(g)(σ) = G(σ) dada por (4.34), satisface:

G(σ) = F(g)(σ) = lımB1 →∞B2 →∞

∫ B1

−B2

g(t)e2πiσtdt, −∞ < σ < +∞.

(4.35)Tomando ahora T > 0, entonces, de (4.35), podemos escribir:

G(σ) = F(g)(σ) =+∞∑

k=−∞

∫ T

0g(t + kT )e2iσ(t+kT )πdt, −∞ < σ < +∞.

(4.36)Suponiendo que podemos intercambiar los sımbolos de “integracion” y

192

“sumatorio”, se sigue:

G(σ) = F(g)(σ)

=∫ T0

(∑+∞k=−∞ g(t + kT )e2σikT

)e2πσikT dt, −∞ < σ < +∞.

(4.37)Nuestro objetivo ahora sera la evaluacion de la Transformada de

Fourier en valores discretos de la variable σ, a saber, σ = σr = rT , r =

0,±1,±2, . . . . Esto es,

G(σr) = F(g)(σr) =∫ T

0

(+∞∑

k=−∞g(t + kT )e2σikT

)e2πσrikT dt, −∞ < σ < +∞.

(4.38)Haciendo

gp(t) =+∞∑

k=−∞g(t + kT ), −∞ < t < +∞, T > 0,

se puede escribir:

G(σr) = F(g)(σr) =∫ T

0gp(t)e2πitσrdt, −∞ < σ < +∞. (4.39)

Observese que, para cualquier funcion g(t), gp(t) es periodica de pe-riodo T y coincide con g(t) en [0, T ], sı y solo si, g(t) se anula fuerade este intervalo. En otras palabras, gp(t) representa la “extension pe-riodica” de la parte de g(t) sobre [0, T ]. Por tal motivo, en lo que siguesupondremos que g(t) = 0, ∀t 6∈ [0, T ]. En realidad, si g(t) no se anu-lara fuera de [0, T ], surgirıa una nueva fuente de error llamado “errorde solapamiento”, que sin embargo no tendremos en cuenta en nuestroanalisis. Por consiguiente, tenemos:

G(σr) =∫ T

0g(t)e2πitσrdt, −∞ < σ < +∞. (4.40)

Haciendo t = T2πθ, podemos escribir:

G(σr) =T

2π

∫ 2π

0g

(T

2πθ

)e2πσr

T2π

θidθ, −∞ < σ < +∞, (4.41)

193

o de forma equivalente

G(σr) = G(r) =T

2π

∫ 2π

0g(θ)eirθdθ, (4.42)

siendo g(θ) = g(

T2πθ

). Supongamos ahora que g(θ) se puede factori-

zar como g(θ) = h(θ)ω(θ), con h(θ) suficientemente suave y ω(θ) conposibles singularidades.

Inicialmente, supondremos que ω(θ) es una funcion peso en [0, 2π],es decir, ω(θ) > 0 salvo en un conjunto de medida nula, de forma que laTransformada de Fourier

G(r) =T

2π

∫ 2π

0h(θ)eirθω(θ)dθ, (4.43)

se podrıa aproximar utilizando una formula de Szego para la funcionpeso ω(θ) con N nodos. Ası, si escribimos para dicha formula:

IN (f) =N−1∑

j=0

λjf(zj), λj > 0, zj 6= zk, zj ∈ T,

resultara:

G(r) ≈ T

2π

N−1∑

j=0

λjeirθjh(θj) = GN (r), (4.44)

donde hemos supuesto zj = eiθj , j = 0, 1, . . . , N−1, θj ∈ [0, 2π), θj 6= θk

si j 6= k. Si suponemos que g(t) es real, entonces h(θ) tambien lo es y,puesto que λj > 0, j = 0, . . . , N − 1, se tiene:

GN (r) =T

2π

N−1∑

j=0

λjh(θj)z−rj .

Por consiguiente, en este caso, nos podemos restringir a valores no ne-gativos de r. Si nos limitamos a r ∈ 0, 1, . . . , N − 1, entonces, laformula (4.44) transforma la sucesion h(j) = h(θj), j = 0, 1, . . . , N − 1en la sucesion GN (r), r = 0, 1, . . . , N − 1. En tal sentido, cuandoω(θ) = 1, θ ∈ [0, 2π], entonces sabemos que:

IN (f) =N−1∑

j=0

λjf(zj),

194

donde λj = 2πN , j = 0, 1, . . . , N −1 y los nodos zjN−1

j=0 son las raıces deorden N de cualquier numero complejo τ ∈ T. En particular, si tomamosτ = 1, entonces, zj = e

2πijN , j = 0, 1, . . . , N − 1. Por consiguiente, (4.44)

se transforma en

GN (r) =T

N

N−1∑

j=0

g

(jT

N

)e

2πijN , (4.45)

que no es otra cosa que la bien conocida “Transformada discreta deFourier” (despues de cancelar el factor T

N ).Por otro lado, teniendo en cuenta que h(j) = h(θj), j = 0, 1, . . . , N−

1 y despues de haber suprimido por comodidad el factor TN , (4.44) se

puede escribir en forma matricial:

GN (0)GN (1)

...GN (N − 1)

=

λ0 λ1 . . . λN−1

λ0z0 λ1z1 . . . λN−1zN−1...

.... . .

...λ0z

N−10 λ1z

N−11 . . . λN−1z

N−1N−1

h(0)h(1)

...h(N − 1)

.

Si hacemos GtN = (GN (0) . . . GN (N − 1)) y ht = (h(0) . . . h(N − 1)),

podemos poner:GN = Dh,

donde

D =

λ0 λ1 . . . λN−1

λ0z0 λ1z1 . . . λN−1zN−1...

.... . .

...λ0z

N−10 λ1z

N−11 . . . λN−1z

N−1N−1

.

Claramente,

det(D) =N−1∏

j=0

λj

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1z0 z1 . . . zN−1...

.... . .

...zN−10 zN−1

1 . . . zN−1N−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0,

ya que λj > 0, j = 0, . . . , N − 1 y zj 6= zk, ∀j 6= k. Por consiguiente,

h = D−1GN ,

195

y la Transformada inversa de Fourier g(t) tambien se puede recuperar(recuerdese que g(t) = h

(2tπT

)ω

(2tπT

), t ∈ [0, T ]).

Supongamos ahora que ω(θ) en (4.43) ya no es una funcion peso demodo que las formulas de Szego ahora no tienen sentido. Como hemoscomentado en la Seccion 4.3, tambien pudiera suceder que ω(θ) sea pro-piamente una funcion peso, pero considerada “no estandar” de modoque, si bien la formula de Szego sı que se puede emplear su utilizacionpodrıa dar lugar a un proceso computacional largo e inestable. Como al-ternativa propondremos, de acuerdo con la Seccion anterior, aproximar(4.43) mediante una formula de cuadratura con 2n + 1 nodos que seaexacta en ∆−n,n y tomando como nodos las raıces de la unidad de orden2n + 1. Ası,

In(f) =2n∑

j=0

Ajf(xj), xj = 2n+1√

1, j = 1, . . . , 2n, (4.46)

viniendo los pesos Aj2nj=0 dados por la Proposicion 4.3.3. Ası pues,

cuando (4.46) se aplica a (4.43), se deduce:

G(r) ≈ G2n+1(r) =T

2π

2n∑

j=0

Ajh(θj)eirθj , (4.47)

donde ahora θj = 2jπ2n+1 , j = 0, 1, . . . , 2n.

Ademas, si suponemos que g(t) es real, dado que Aj2nj=0 ⊂ R, se

tiene:

G2n+1(r) =T

2π

2n∑

j=0

Ajh(θj)e−irθj ,

de modo que, de nuevo, podemos restringir nuestros calculos a valoresenteros de r no negativos. Ası, para r ≥ 0

G2n+1(r) =T

2π

2n∑

j=0

Ajh

(2jπ

2n + 1

)e(

2jrπ2n+1)i. (4.48)

La expresion (4.48) se puede considerar como una “entidad” ensı misma. En efecto, luego de suprimir el factor T

2π (por sencillez y co-modidad), y hacer w = e

2πiN con N = 2n + 1, se puede escribir:

G(r) ≈ GN (r) =N−1∑

j=0

Ajh(j)wrj , (4.49)

196

con h(j) = h(

2jπN

). En realidad, (4.49) se puede interpretar como una

transformacion lineal que aplica la sucesion h(0), h(1), . . . , h(N − 1) enla sucesion G(0), G(1), . . . , G(N − 1).

Ahora, haciendo uso de la bien conocida identidad:

N−1∑

r=0

wr(j−k) =1− wN(j−k)

1− wj−k=

N, si j = k0, si j 6= k

,

para k fijo, (0 ≤ k ≤ N − 1), tenemos:∑N−1

r=0 G(r)w−kr =∑N−1

r=0

∑N−1j=0 Ajh(j)wrjw−kr

=∑N−1

j=0

∑N−1r=0 Ajh(j)w(j−k)r

=∑N−1

j=0

(Ajh(j)

∑N−1r=0 Ajh(j)w(j−k)r

)

= Akh(k)N.

En consecuencia, siempre que Ak 6= 0, k = 0, 1, . . . , N − 1, obtenemos:

h(k) = h

(2kπ

N

)=

1NAk

N−1∑

r=0

G(r)w−kr,

lo que nos permite recuperar nuevamente la transformada inversa g(t).

4.5. Procesamiento de senales digitales

Es bien sabido que una de las aplicaciones de los polinomios de Szego,los polinomios para-ortogonales y las formulas de Szego ha sido su utili-zacion en el llamado procesamiento de senales digitales o senal discreta.

Ası, a lo largo de esta seccion, cualquier sucesion de numeros realesx(m)∞−∞ la denominaremos con el termino senal discreta. Para nues-tros propositos, nos centraremos en el estudio de senales periodicas dela forma:

x(m) = ∑I

j=−I αjeimωj , m = 0, 1, . . .

0, m < 0(4.50)

donde I es un entero positivo, las frecuencias ωj satisfacen ωj ∈ R,ω−j = −ωj , 0 = ω0 < ω1 < . . . < ωI < π y las amplitudes αj verificanα0 ≥ 0, α−j = αj ∈ C.

197

El problema clasico del analisis de frecuencias consiste en determinarω1, ω2, . . . , ωI a partir de N observaciones de la senal (4.50), es decir,

xN (m) = ∑I

j=−I αjeimωj , 0 ≤ m ≤ N − 1

0, otro caso.(4.51)

Una vez conocidas las frecuencias ωj , las amplitudes αj se pueden calcu-lar resolviendo un sistema lineal de ecuaciones dadas por las relaciones(4.51).

Existe un metodo para resolver este problema, basado en los poli-nomios de Szego, que viene a ser una reformulacion del llamado metodode Wiener-Levinson ([22],[34]). El punto de partida de este metodo loconstituyen los llamados coeficientes de autocorrelacion:

µ(N)k :=

N−1∑

m=0

xN (m)xN (m + k), k ∈ Z.

Se puede ver facilmente que la sucesion µ(N)k es la sucesion de momen-

tos con respecto a la funcion de peso

ωN (θ) :=∣∣∣XN (eiθ)

∣∣∣2,

donde

XN (z) =N−1∑

m=0

xN (m)z−m.

Es decirµ

(N)k =

12π

∫ π

−πe−ikθωN (θ)dθ, k ∈ Z.

Sea µ(N)k = µ

(N)kN . Entonces la funcion peso ωN (θ)/N da lugar a un

producto interior y por tanto a una sucesion de polinomios ortogonalesmonicos o polinomios de Szego: ρn(ωN ; z). Estos polinomios jueganun papel fundamental en la resolucion del problema de analisis de fre-cuencias cuando n ≥ n0, donde n0 = 2I +1. En efecto, si n0 es conocido,entonces se tiene que ([25],[20])

lımN→∞

ρn0(ωN ; z) =n0∏

j=1

(z − eiωj )

198

uniformemente en compactos de C. Esto implica, haciendo uso del Teo-rema de Hurwitz ([10, p. 152]), que los ceros del polinomio de Szegoρn0(ωN ; z) se aproximaran a los puntos βj = eiωj , j = 1, . . . , n0, llama-dos tambien puntos de frecuencia.

Sin embargo, el numero n0 de frecuencias suele ser desconocido. Su-pongamos, en primer lugar, que n < n0, entonces ([25],[20])

lımN→∞

ρn(ωN ; z) = Qn(z)

donde Qn es el polinomio de Szego con respecto a la medida discreta

dσ(θ) =n0∑

j=1

|αj |2δβj , βj = eiωj , j = 1, . . . , n0. (4.52)

Como ya sabemos, sus ceros estan en D y por tanto, en este caso, nopodremos utilizar los polinomios de Szego para resolver el problema deanalisis de frecuencias.

Por otro lado, si n > n0 entonces ([25],[20]) existe una subsucesionNk tal que

lımk→∞

ρn(ωNk; z) = Qn−n0(z)

n0∏

j=1

(z − eiωj ). (4.53)

De nuevo, haciendo uso del Teorema de Hurwitz, se tiene que n0 cerosdel polinomio de Szego se aproximaran a los puntos βj = eiωj , j =1, . . . , n0, y que el resto de los (n − n0) se aproximaran a los ceros delpolinomio Qn−n0(z) que dependera de la subsucesion que se tome. Los(n−n0) ceros se denominan, a menudo, “uninteresting points” y se puededemostrar ([25]) que estos ceros estan en la region |z| < 1, es decir, quelos “uninteresting” ceros permanecen fuera de la circunferencia unidad.Entonces, si xN

j , j = 1, . . . , n − n0 son los n − n0 ceros del polinomioQn−n0(z), para todo n > n0 existe un numero Kn ∈ (0, 1) que dependede n y de la senal dada tal que

|xNj | ≤ Kn < 1, j = 1, . . . , n− n0. (4.54)

Este metodo es, por tanto, muy util a la hora de determinar las fre-cuencias. Sin embargo, si bien sabemos que los “uninteresting points”se mantienen separados de los ceros que van a aproximar los puntos de

199

frecuencia βj = eiωj , j = 1, . . . , n0, no se sabe calcular con exactitudel numero Kn ∈ (0, 1), ni siquiera se han podido obtener, hasta ahora,estimaciones del mismo.

Este es uno de los motivos por los que, en vez de polinomios deSzego ρn(ωN ; z), se consideraron los correspondientes polinomios para-ortogonales Bn(ωN , τ ; z) = ρn(ωN ; z) + τρ∗n(ωN ; z), |τ | = 1, (vease [11]y [12]). En este caso, se tiene el siguiente resultado analogo al obtenidopara los polinomios de Szego dado por (4.53): ([19])

Teorema 4.10 Sea Nk∞k=1 una subsucesion arbitraria de la sucesionde numeros naturales. Entonces existe una subsucesion Nkν∞ν=1 y lacorrespondiente sucesion de polinomios Wn(Nkν , τ ; z) de grado a losumo n− n0, tal que, para cada n ≥ n0, |τ | = 1, se tiene que

lımν→∞Bn(ωNkν

, τ ; z) = Wn(Nkν , τ ; z)n0∏

j=1

(z − eiωj ),

uniformemente en compactos de C.

Por tanto, n0 ceros de Bn(ωNkν, τ ; z) aproximaran a los puntos de

frecuencia βj , j = 1, . . . , n0. Sin embargo, para los ceros de estos po-linomios no se tiene ninguna propiedad como la dada en la formula(4.54) que separe los “uninteresting” ceros de los que se aproximan aβj , j = 1, . . . , n0.

Recordar que en el caso de los polinomios de Szego, los ceros (“unin-teresting” ceros) del polinomio Qn−n0 dado en (4.53), estan en D. Alconsiderar ahora polinomios para-ortogonales, la preguntaserıa: ¿Que sepuede decir de los ceros de Wn(Nkν , τ ; z)? A tal efecto se tiene el si-guiente

Teorema 4.11 El polinomio Wn−n0 es el (n − n0)−esimo polinomiopara-ortogonal con respecto a una medida positiva µ sobre T. Es decir,podemos escribir:

Wn−n0(z, τ) = Qn−n0(z) + τQ∗n−n0

(z),

donde Qn−n0 es el polinomio de Szego de grado n − n0 con respecto adicha medida µ.

200

La medida µ, ademas, se puede calcular explıcitamente a partir deωN (θ). En efecto,

ωN (θ) = |XN (eiθ)|2 =∣∣∣∑N−1

m=0

(∑n0j=1 αjβ

mj

)e−iθm

∣∣∣2

=∣∣∣∣eiθ

∑n0j=1

αj

eiθ−βj− e−iθ(N−1)

∑n0j=1

αjβNj

eiθ−βj.

∣∣∣∣2

Si,

n0∑

j=1

αj

z − βj=

Nn0−1(z)ρn0(z)

,

n0∑

j=1

αjβNj

z − βj=

Mn0−1;N (z)ρn0(z)

,

entonces:

|ρn0(eiθ)|2|XN (eiθ)|2 = |Nn0−1(eiθ)|2 + |Mn0−1;N (eiθ)|2

−eiNθNn0−1Mn0−1;N

−e−iNθNn0−1Mn0−1;N ,

y se tiene el siguiente:

Teorema 4.12 Supongamos que Nk(ν) es una subsucesion tal que:

lımν→∞ |Mn0−1,Nk(ν)

(eiθ)−Mn0−1(eiθ)| = 0, uniformemente en [0, 2π].

Entonces Qn−n0(z) es ortogonal con respecto a:

dµ(θ) =(|Nn0−1(eiθ)|2 + |Mn0−1(eiθ)|2

)dθ.

Por simplicidad, sea Bn(z) = Wn(Nkν , τ ; z)∏n0

j=1(z− eiωj ). Del Teo-rema 4.11, los ceros de Wn−n0 son simples y estan en T. Como conse-cuencia, los puntos de frecuencia βj = eiωj seran ceros del polinomio“lımite” Bn de multiplicidad a lo sumo dos, es decir, se pueden dar lossiguientes casos, si j = 1, . . . , n0 :

1. O bien, βj es cero simple del polinomio lımite Bn.

2. O bien, βj es cero doble del polinomio lımite Bn.

201

Nuestro objetivo sera, por tanto, el responder a la siguiente pregunta:¿Como distinguir los ceros de B

(Nk(ν))n que aproximan a los puntos de

frecuencias de los que no ? Una primera respuesta a este problema nos lavan a dar las formulas de cuadratura de Szego, mas concretamente, loscoeficientes λN

j , j = 1, . . . , n de la n−esima formula de Szego respectoa ωN :

Teorema 4.13 Sea n > n0 y supongamos que la sucesion zNk(ν)

j ν

de ceros de B(Nk(ν))n converge a un cero de Wn−n0 que no coincida con

ningun punto de frecuencia. Entonces, para la correspondiente sucesionde coeficientes en la formula de Szego, se tiene que

lımν→∞λ

Nk(ν)

j = 0.

Acabamos de ver, por el Teorema anterior, que los coeficientes corres-pondientes a ceros de B

(Nk(ν))n que aproximan a ceros de Wn−n0 que no

coinciden con ningun punto de frecuencia, tienden a cero. La preguntaahora es pues: ¿Que ocurrira con los coeficientes correspondientes a cerosde B

(Nk(ν))n que aproximen a los puntos de frecuencia? La respuesta nos

la daran los dos Teoremas siguientes, que se corresponden con el caso“simple” y “doble”, respectivamente:

Teorema 4.14 Supongamos βj es un cero simple del polinomio lımiteBn para algun j = 1, . . . , n0, (Wn−n0(βj , τ) 6= 0) y sea n > n0. Entonces

Si, lımν→∞ z

Nk(ν)

j = βj , ⇒ lımν→∞λ

Nk(ν)

j = |αj |2 .

Teorema 4.15 Supongamos que βj , para algun j = 1, . . . , n0, es un cerodoble del polinomio lımite Bn (Wn−n0(βj , τ) = 0, W ′

n−n0(βj , τ) 6= 0).

Entonces, existen dos sucesiones zNk(ν)

j1ν , zNk(ν)

j2ν de ceros de B

(Nk(ν))n

tales quelım

ν→∞ zNk(ν)

jm= βj , m = 1, 2.

Y, para las correspondientes sucesiones de coeficientes λNk(ν)

j1ν , y λNk(ν)

j2ν ,

se tiene que:lım

ν→∞

(λ

Nk(ν)

j1+ λ

Nk(ν)

j2

)= |αj |2 .

202

Por tanto, bastarıa computar los coeficientes λNk(ν)

j1de la n−esima

formula de Szego para distinguir que ceros de B(Nk(ν))n van a aproximar

los puntos de frecuencia y cuales no. Veamos un ejemplo ilustrativo:Ejemplo: Tomemos la senal: xN (m) = eimπ/2 + e−imπ/2, 0 ≤ m ≤

N − 1. En este caso los puntos de frecuencia y amplitudes son:

β1 = eiπ/2 = i, β2 = e−iπ/2 = −i, α1 = α2 = 1.

A partir de N observaciones de la senal xN (m)N−1m=0, podemos cons-

truir la funcion peso ωN (θ) = 1N

∣∣∣∑N−1m=0 xN (m)e−imθ

∣∣∣2

y a partir de esta,

computar el n−esimo polinomio para-ortogonal BNn (z, τ). Debemos ele-

gir n ≥ n0 = 2. Si tomamos n = 5 y la subsucesion N = 2k+1, se puedecomprobar que

lımk→∞

B(2k+1)5 (z, τ) = W3(z, τ)(z2 + 1), W3(z, τ) = z3 + τ.

Por tanto, si τ = −i, entonces β2 = −i es un cero doble. Los ceros deW3(z,−i) = z3 − i son:

w1 = −0,866025403 + 0,5 i, w2 = 0,866025403 + 0,5 i, y w3 = −i.

Para n = 5 y la subsucesion N = 2k + 1, hemos calculado losnodos z(2k+1)

j 5j=1 y pesos λ(2k+1)

j 5j=1 de la correspondiente formu-

la de Szego, con distintos valores de k, a saber, k = 2500, k = 25000 yk = 2500000.

Los nodos z(2k+1)j 5

j=1 vienen dados en las siguientes tablas, paralos tres valores de k, respectivamente:

k = 2500 k = 25000z1 = −0,86600616 + 0,50003332i z1 = −0,86602347 + 0,50000333iz2 = 0,86600616 + 0,50003332i z2 = 0,86602347 + 0,50000333i

z3 = i z3 = i

z4 = −0,0115455− 0,9999333i z4 = −0,00365143− 0,99999333iz5 = 0,0115455− 0,9999333i z5 = 0,00365143− 0,99999333i

203

k = 250000z1 = −0,86602521 + 0,50000033iz2 = 0,86602521 + 0,50000033i

z3 = i

z4 = −0,00115469− 0,999999333iz5 = 0,00115469− 0,999999333i

y los pesos λ(2k+1)j 5

j=1 vienen dados en la siguiente tabla, para los tresvalores de k :

k = 2500 k = 25000 k = 250000λ1 0,00017774 0,00001777 0,00000177λ2 0,00017774 0,00001777 0,00000177λ3 0,9999 0,99999 0,999999λ4 0,50007221 0,50000722 0,50000072λ5 0,50007221 0,50000722 0,50000072

Observando la tabla de los valores de los pesos de la formula de Szegovemos que

lımk→∞

λ2k+1j = 0, j = 1, 2.

lımk→∞

λ2k+13 = |α1|2 = 1.

lımk→∞

(λ2k+1

4 + λ2k+15

)= |α2|2 = 1.

De esta informacion podemos concluir que existen dos puntos defrecuencia ( n0 = 2): β1 ≈ i y β2 ≈ −0,00115469 − 0,999999333i ≈ −i(o bien 0,00115469− 0,999999333i ≈ −i).

Observacion 33 Notar que, para el caso de los coeficientes asociadosa ceros “dobles”, se tiene que

lımν→∞

(λ

Nk(ν)

j1+ λ

Nk(ν)

j2

)= |αj |2 .

204

Sin embargo, nada se sabe a cerca de

λNk(ν)

j1, λNk(ν)

j2, cuando ν →∞

Los ejemplos numericos que se han hecho y tal y como se puedeobservar en el ejemplo anterior, podemos conjeturar que

lımν→∞λ

Nk(ν)

j1= lım

ν→∞λNk(ν)

j2=|αj |2

2.

Tengase en cuenta que los pesos de las formulas de Szego no solo noshace distinguir los ceros que aproximan a los puntos de frecuencia de losque no, sino que nos proporcionan, ademas, estimaciones del modulo delas amplitudes que tambien son parametros a determinar.

4.6. Funciones racionales ortogonales

Las funciones racionales, esto es, las definidas como cociente de dospolinomios, poseen la caracterıstica especial de ser las funciones masgenerales que pueden definirse utilizando las “operaciones usuales de laAritmetica”: Suma, resta multiplicacion y division. Esto ha hecho que lasfunciones racionales hayan sido utilizadas con gran profusion en los di-ferentes campos de la Teorıa de la Aproximacion. Ejemplos de funcionesracionales aproximantes las hemos visto en los Capıtulos 1 y 3, mediantelos llamados Aproximantes de Pade, que en el caso unipuntual (Capıtulo1) pueden, en cierto modo, considerarse como la “version racional” delpolinomio de Taylor. Claramente, los polinomios son funciones raciona-les, donde ahora sus polos (los ceros del polinomio denominador), estantodos localizados en el punto del infinito. Parece pues logico, plantearseutilizar otro tipo de funciones racionales mas generales, en el sentido deque los polos no tengan por que estar todos “prefijados en el infinito”.Esto ha dado lugar en los ultimos anos al desarrollo de una Teorıa sobrefunciones racionales ortogonales, tanto sobre intervalos (finitos o infi-nitos) del eje real como sobre la circunferencia unidad. En tal sentido,cabe significar que uno de los autores de la presente memoria, en colabo-racion con los profesores Adhemar Bultheel, de la Universidad Catolicade Lovaina (Belgica), Erik Hendriksen, de la Universidad de Amsterdam(Holanda) y Olav Njastad, de la Universidad de Trondheim (Noruega),han contribuido al desarrollo de tal teorıa con mas de sesenta trabajos y

205

una monografıa [7] donde se recoge la labor investigadora de los cuatroautores durante la ultima decada.

El objetivo de esta seccion es mostrar de forma esquematica, como lospolinomios de Szego se pueden extender al caso de funciones racionalescon polos prefijados fuera del disco unidad y como se pueden construirformulas de cuadratura con nodos sobre la circunferencia unidad que son“exactas” en ciertos subespacios de funciones racionales que generalizanlos polinomios de Laurent estudiados en el Capıtulo 3.

Sea pues γk∞k=1 una sucesion de numeros complejos, la cual supon-dremos fija en lo que sigue, y consideremos el espacio Ln de las funcionesracionales de grado n (numerador y denominador de grado a lo sumo n)con polos en γkn

k=1. Por tanto:

Ln =

P (z)∏nk=1(z − γk)

, P ∈ Πn

, n = 1, 2, . . . .

(Observar que 1 ∈ Ln y que dim (Ln) = n+1). Por otro lado, se puedenelegir diferentes bases para definir Ln, por ejemplo:

1. Si γj 6= γk, j 6= k, una base serıa:

1, 1z−γ1

, . . . , 1z−γn

.

2.

1Qnk=1(z−γk)

, zQnk=1(z−γk)

, . . . , znQnk=1(z−γk)

.

Al objeto de hacer un desarrollo algebraico uniforme que permitarecuperar en todo momento los polinomios (γk = ∞, k = 1, 2, . . .),resulta fundamental elegir una base apropiada. En tal sentido, en lugarde partir de la sucesion γk∞k=1, tomaremos una sucesion αk∞k=1 ⊂ D,de forma que los polos se fijaran en γk = 1

αk. De este modo, cuando

αk = 0, k = 1, 2, . . . , entonces γk = ∞, k = 1, 2, . . . y obtendrıamos lospolinomios.

Ası pues, fijada la sucesion αk∞k=1 ⊂ D, consideramos los factoresde Blaschke, para k = 1, 2, . . . :

ξk =αk

|αk|αk − z

1− αkz,

lo que nos permite definir los productos de Blaschke, Bk(z), k = 0, 1, . . . :

B0 ≡ 1, Bk(z) = Bk−1(z)ξk, k = 1, 2, . . . .

206

Por convenio, definimos αn|αn| = −1 cuando αn = 0. Tambien vemos que

se puede escribir:

Bn(z) = ηnωn(z)πn(z)

,

con

ηn = (−1)n∏n

j=1αj

|αj | , ωn(z) =∏n

j=1(z − αj),

πn(z) =∏n

j=1(1− αjz) .(4.55)

Consideremos ahora el espacio Ln de las funciones racionales gene-rado por los factores de Blaschke Bkn

k=0, esto es,

Ln = 〈B0, B1, . . . , Bn〉.Es facil ver que el sistema Bkn

k=0, es linealmente independiente ypor consiguiente dim (Ln) = n + 1 y claramente Ln ⊂ Ln+1.

Por otro lado, ∀R ∈ Ln, se tiene

R(z) =n∑

j=0

ajBj(z) = a0 + η1ω1(z)π1(z)

+ . . . + ηnωn(z)πn(z)

=Pn(z)πn(z)

, Pn ∈ Πn.

Recıprocamente, cualquier funcion racional de la forma Pn(z)πn(z) , con

Pn ∈ Πn, esta en Ln, y podremos poner (n = 0, 1, . . .) :

Ln = 〈B0, B1, . . . , Bn〉 =

P (z)πn(z)

, P ∈ Πn

.

Con los convenios anteriores, vemos que cuando αk = 0, k = 1, 2, . . . ,entonces

Bn(z) = zn, n = 0, 1, . . . ,

y que, por consiguiente, Ln = Πn.Por otro lado, en el Capıtulo 3, vimos que las formulas de Szego in-

tegraban exactamente subespacios de polinomios de Laurent, que no esotra cosa que funciones racionales con polos en el origen y el infinito. Se-guidamente, introduciremos otras funciones racionales que generalizanlos polinomios de Laurent y que trataremos posteriormente de integrar“exactamente” mediante formulas de cuadratura. A tal efecto, recorde-mos la transformacion “subestrella”:

f∗(z) = f (1/z),(f∗(z) = f(z), ∀z ∈ T

),

207

la cual nos permite definir los espacios (n = 0, 1, . . .)

Ln∗ = f∗ : f ∈ Ln.

Claramente, Ln∗ = 〈B0∗ , B1∗ , . . . , Bn∗〉, por consiguiente, dim (Ln∗) =n + 1 y tambien Ln∗ ⊂ Ln+1∗ .

Recordemos que Bn(z) = ηnωn(z)πn(z) , donde ηn, ωn(z) yπn(z) vienen

dadas por las formulas (4.55), teniendose la siguiente

Proposicion 4.6.1 ∀n ≥ 0 : Bn∗(z) = 1Bn(z) .

Demostracion: Hagase como ejercicio.Ahora estamos en condiciones de definir los espacios de funciones

racionales con polos prefijados fuera de la circunferencia unidad quegeneralizan a los polinomios de Laurent. Ası, para p y q enteros nonegativos, definimos

Rp,q = Lp∗ + Lq =

P (z)ωp(z)πq(z)

, P ∈ Πp+q

. (4.56)

Por tanto, si R ∈ Rp,q : R(z) = P (z)Qpk=1(z−αk)

Qqk=1(1−zαk)

, es decir, los

elementos de (4.56) son funciones racionales con polos en αkpk=1 ⊂ D

y en

1αk

p

k=1⊂ E.

Algunas consecuencias inmediatas de (4.56) son :

1. R0,n = Ln.

2. Rp,q = 〈 1Bp

, . . . , 1B1

, B0, B1, . . . , Bq〉.

3. dim (Rp,q) = p + q + 1.

4. Por convenio: B−n(z) = 1Bn(z) .

5. Si αk = 0, ∀k ≥ 1, entonces Bn(z) = zn, n = 0,±1, . . . y porconsiguiente:

Rp,q = 〈 1zp

, . . . ,1z, 1, z, . . . , zq〉 = ∆−p,q.

208

Preparados pues los espacios de funciones, trataremos de estudiar la“contrapartida racional” a las formulas de cuadratura analizadas en elCapıtulo 3.

Supongamos una funcion peso ω(θ) en [−π, π] y consideremos denuevo la integral

Iω(f) =∫ π

−πf

(eiθ

)ω(θ)dθ, (4.57)

se trata de encontrar nodos sobre T : zjnj=1, zj 6= zk, ∀j 6= k y

coeficientes o pesos λjnj=1, de modo que In(f) dado por

In(f) =n∑

j=1

λjf (zj) , (4.58)

sea una “aproximacion” efectiva de Iω(f). Como veremos, para la elec-cion de los nodos y pesos en In(f), hemos de suponer que las integrales∫ π−π Bk

(eiθ

)ω(θ)dθ existen y se pueden calcular para k = 0,±1,±2, . . . .

Tengase en cuenta que si k > 0 :

∫ π−π B−k

(eiθ

)ω(θ)dθ =

∫ π−π

ω(θ)

Bk(eiθ)dθ =∫ π−π Bk∗

(eiθ

)ω(θ)dθ

=∫ π−π Bk (eiθ)ω(θ)dθ =

∫ π−π Bk (eiθ)ω(θ)dθ.

Por tanto, podemos restringirnos a valores no negativos de k. Ası pues,vamos a imponer a (4.58) que integre exactamente subespacios de la for-maRp,q con p y q dependientes de n lo mas grande posible. Si denotamos

por A = αkpk=1 ⊂ D y en A =

1

αk

p

k=1⊂ E, entonces ∀p, q enteros

no negativos, es facil ver (hagase como ejercicio), que Rp,q representa

un sistema de Chebyshev sobre cualquier conjunto X ∈ C \(A ∪ A

), y

tenemos la siguiente:

Proposicion 4.6.2 Sean p y q enteros no negativos tales que p + q =n−1, sean zjn

j=1 ⊂ X ∈ C\(A ∪ A

)n− puntos distintos dados y sea

f : X −→ C,entonces, existe un unico elemento Rn ∈ Rp,q verificando

Rn(zj) = f(zj), j = 1, . . . , n.

Demostracion: Hagase como ejercicio. ¤

209

Para nuestros propositos, resultara conveniente dar una representa-cion tipo- Lagrange del interpolante Rn(z) de la proposicion anterior.Ası, definimos:

Ωn(z) =Nn(z)

ωp(z)πq(z), (4.59)

siendo Nn(z) =∏n

j=1(z − zj) el polinomio nodal y definamos

Lj(z) =1− αq+1z

1− αq+1zj

Ωn(z)(z − zj)Ω

′n(zj)

∈ Rp,q. (4.60)

Entonces, se cumple

Proposicion 4.6.3 Sea Rn(z) ∈ Rp,q que interpola a f(z) en n nodos

distintos en C \(A

⋃A

), entonces:

Rn(z) =n∑

j=1

Lj(z)f(zj). (4.61)

Demostracion: Compruebese que Lj(zk) = δj,k, 1 ≤ j, k ≤ n. ¤En particular, si en la proposicion anterior hacemos p = 0, (q =

n− 1), entonces, R0,n−1 = Ln−1 y el interpolante vendra dado por:

Rn(z) =n∑

j=1

1− αnz

1− αnzj

Ωn(z)(z − zj)Ω

′n(zj)

f(zj), (4.62)

donde ahora Ωn(z) = Nn(z)πn(z) =

Qnj=1(z−zj)Qn

j=0(1−αjz).

Cuando αi = 0, ∀i = 1, 2, . . . , entonces, Ωn(z) = Nn(z) y (4.62)nos proporciona la conocida formula de interpolacion de Lagrange parapolinomios.

Ejercicio: Definamos

Lj(z) =z − αp+1

zj − αp+1

Ωn(z)(z − zj)Ω

′n(zj)

, j = 1, . . . , n.

Compruebese que:

Lj(z) = Lj(z), j = 1, . . . , n,

con Lj(z), j = 1, . . . , n dado por (4.60).

210

Si ahora integramos la expresion (4.61) con respecto a ω(θ), θ ∈[−π, π], y suponemos que los nodos zjn

j=1 estan sobre T, obtenemos:

Iω(Rn) =n∑

j=1

Iω(Lj)f (zj) =n∑

j=1

Ajf (zj) = In(f), (4.63)

donde Aj = Iω(Lj), j = 1, . . . , n.

Ası pues, hemos obtenido una formula de cuadratura, que por propiaconstruccion, es exacta en Rp,q, (p + q = n − 1), el cual llamaremos eldominio de validez de In(f). A esta formula de cuadratura In(f), ladenominaremos de tipo interpolatorio en Rp,q, teniendose:

Proposicion 4.6.4 Una formula de cuadratura In(f) =∑n

j=1 Ajf (zj) ,con nodos distintos sobre T, tiene dominio de validez Rp,q, sı y solo si,es de tipo interpolatorio en tal dominio.

Demostracion: Hagase como ejercicio. ¤Llegados a este punto, cabe preguntarse como hemos de elegir los

nodos zjnj=1 sobre T, a efectos de que se pueda agrandar el dominio

de validez lo mas posible. El intentar dar respuesta a este interroganteconstituye el objetivo fundamental de la seccion, poniendo para ello demanifiesto el papel desempenado por las funciones racionales ortogona-les que definiremos a continuacion. No obstante, conviene precisar enque sentido “alargamos” o “agrandamos” el espacio Rp,q. Nos vamos arestringir a dominios “balanceados”, de la forma Rp,p, con p tan grandecomo sea posible. Teniendose, en primer lugar:

Proposicion 4.6.5 No importa como se elijan los nodos zjnj=1 sobre

T (o mas generalmente en C \(A ∪ A

)), no puede existir una formula

de cuadratura In(f) =∑n

j=1 Ajf (zj) , que sea exacta en Rn,n.

Demostracion: Sean zjnj=1 ⊂ C \

(A ∪ A

)tal que zj 6= zk, ∀j 6= k

y consideremos:

Rn(z) =Nn(z)ωn(z)

, Nn(z) =n∏

j=1

(z − zj).

211

Ası, ∀z ∈ T :

|Rn(z)|2 = Rn(z)Rn(z) = Nn(z)ωn(z)

Nn(z)

ωn(z)= Nn(z)

ωn(z)

Qnj=1(z−zj)Qnj=1(z−αj)

= Nn(z)ωn(z)

Qnj=1(1−zjz)Qnj=1(1−αjz)

= Nn(z)ωn(z)

N∗n(z)

πn(z) ∈ Rn,n.

Por consiguiente, dado que |Rn(z)|2 ≥ 0, ∀z ∈ T, resultara:

0 < Iω(|Rn|2) =n∑

j=1

Aj |Rn(zj)|2 = 0,

ya que Rn(zj) = 0, j = 1, . . . , n. ¤De la proposicion anterior vemos que lo maximo que se puede agran-

dar Rp,q es hasta Rn−1,n−1. En el supuesto de que sea alcanzable, estoes, que existan nodos distintos sobre T : zjn

j=1 y pesos λjnj=1 tales

que Iω(f) =∑n

j=1 Ajf(zj) = Iω(f), ∀f ∈ Rn−1,n−1, se dira el “dominiomaximo de validez”. Esta claro que cuando αk = 0, ∀k ≥ 1, entoncesRn−1,n−1 = ∆−(n−1),n−1 y, en el Capıtulo 3 vimos como elegir los nodossobre T para alcanzar exactitud en tal subespacio. A tal efecto, recuerde-se el papel jugado por los polinomios de Szego, por lo que introducire-mos funciones racionales ortogonales que generalizan tales polinomiosmediante la siguiente

Definicion 4.1 Sea αk∞k=1 ⊂ D. Entonces, una sucesion ψk∞k=1 sedira una sucesion de funciones racionales de Szego respecto a la funcionpeso ω(θ) y αk∞k=1, si verifica los siguientes requisitos:

1. ψ0(z) = cte 6= 0.

2. ψn ∈ Ln \ Ln−1.

3. 〈ψn, ψm〉ω = knδn,m, con kn > 0.

Ahora bien, ¿existira tal sucesion? ¿Sera unica? Evidentemente, dadoque Ln es un espacio con producto interior 〈., .〉ω de dimension n +1, aplicando el procedimiento de ortogonalizacion de Gram-Schmidt ala base B0, B1, . . . , Bn, en este orden, podemos conseguir una baseortogonal ψ0, ψ1, . . . , ψn, verificando:

ψn ∈ Ln \ Ln−1, 〈ψn, ψm〉ω = 0, 0 ≤ m ≤ n− 1.

212

Si repetimos el proceso para n = 1, 2, . . . , se obtiene la sucesionψn(z)∞n=1, que verifica los requisitos de la Definicion 4.1, viendo queψn(z) queda unıvocamente determinada salvo factor multiplicativo cons-tante. Cuando en la Definicion 4.1, exigimos 〈ψn, ψm〉ω = δn,m, se dira queψn(z)∞n=1 representa la sucesion ortonormal de funciones racionalesde Szego para ω(θ). Conviene ahora fijar algunas notaciones y relacio-nes elementales entre las funciones racionales de Szego. Ası, dado queψn ∈ Ln \ Ln−1, podemos escribir

ψn(z) =n∑

k=1

αkBk(z), αn 6= 0,

de forma que αn se dira el “coeficiente director” de ψn(z). Cuando αn =1, a la sucesion ψn(z)∞n=1 la denominaremos monica. Por otro lado,si definimos ϕn(z) = ψn(z)

‖ψn‖ω, vemos que 〈ϕn, ϕn〉ω = 1 y la sucesion

ϕn(z)∞n=0 representara la familia o sucesion ortonormal de funcionesracionales de Szego para ω(θ).

Observese que si escribimos ϕn(z) = knBn(z) + . . . + k0B0(z), en-tonces, tomando kn > 0, la sucesion ortonormal quedara unıvocamentedeterminada.

Observacion 34 Tengase en cuenta que si ϕn(z)∞n=0 es una familiaortonormal de funciones racionales de Szego, entonces ϕn(z) = γnϕn(z),con γn ∈ T, n = 0, 1, 2, . . . , tambien lo es.

Siguiendo un proceso paralelo al realizado al caso polinomico, con-viene extender el concepto de “polinomio recıproco” al caso racional.Recordar que, dado P un polinomio de grado exacto n, definıamos surecıproco P ∗ como:

P ∗(z) = znP (1/z) = znP (1/z) = znP∗(z).

Dado que la operacion “sub-estrella” se puede aplicar a cualquier funcionf (convenientemente definida) y que en el caso racional Bn(z) es el“equivalente” a zn, tenemos la siguiente

Definicion 4.2 Sea fn ∈ Ln \ Ln−1, entonces, se define su funcionrecıproca f∗n como:

f∗(z) = Bn(z)fn∗(z) = Bn(z)fn (1/z).

213

Ejercicio 6.10: Comprobar que si fn ∈ Ln\Ln−1, entonces, f∗n ∈ Ln.Por otro lado, recuerdese que si ρn(z) es el enesimo polinomio de

Szego (monico), entonces, ρ∗n(z) verificaba las condiciones de ortogona-lidad:

〈ρ∗n, zk〉ω = 0, 1 ≤ k ≤ n,

lo cual significa que 〈ρ∗n, P (z)〉ω = 0, para todo polinomio P de grado alo sumo n, tal que P (0) = 0. Definamos ahora:

Ln (αn) = f ∈ Ln : f(αn) = 0.

Tenemos la siguiente:

Proposicion 4.6.6 1. Ln (αn) = ξnLn−1, ξn = ξn(z) = αnαn

αn−z1−αnz .

2. Si ψn(z) denota la enesima funcion racional de Szego con respectoa ω(θ), entonces:

〈ψ∗n, f〉ω = 0, ∀f ∈ Ln (αn) , (ψ∗n ⊥ Ln (αn)) .

Demostracion:

1. Hagase como ejercicio.

2. Tomemos f ∈ Ln (αn) , entonces, por 1., f(z) = ξn(z)g(z), cong ∈ Ln−1. Ademas, se tiene que |ξn(z)|2 = 1, ∀z ∈ T. Por tanto,∀z ∈ T :

〈ψ∗n, f〉ω =∫ π−π Bn(z)ψn∗(z)f(z)ω(θ)dθ

=∫ π−π ξn(z)Bn−1(z)ψn(z)ξn(z)g(z)ω(θ)dθ

=∫ π−π |ξn(z)|2ψn(z)Bn−1(z)g∗(z)ω(θ)dθ

=∫ π−π ψn(z)g∗(z)ω(θ)dθ = 〈ψn, g∗〉ω = 0,

pues, si g ∈ Ln−1, tambien g∗ ∈ Ln−1. ¤

Como vimos en el Capıtulo 2, los ceros de ρn(z) estan en D. De modoanalogo, se tiene el siguiente:

Teorema 4.16 Sea ψn(z) la enesima funcion racional de Szego paraω(θ), con n = 1, 2, . . . . Entonces, todos sus ceros se encuentran en D.

214

Observacion 35 Hay que recordar que para nuestros intereses, que noson otros sino “construir formulas de cuadratura con nodos sobre T”,el Teorema anterior resulta tremendamente negativo. Al igual que en elcaso polinomico, los ceros de las funciones racionales ortogonales no sepueden utilizar como nodos de las formulas de cuadratura.

Al objeto de subsanar los inconvenientes senalados en la observacionanterior, se introducen los conceptos de “para-ortogonalidad e invarian-za” mediante

Definicion 4.3 Sea X ∈ Ln \Ln−1, entonces X se dira para-ortogonalcon respecto a ω, sı y solo si,

1. 〈X, 1〉ω 6= 0, 〈X,Bn〉ω 6= 0.

2. 〈X, f〉ω = 0, ∀f ∈ Ln−1⋂Ln(αn).

Definicion 4.4 Sea X ∈ Ln, entonces X se dira “invariante”, sı y solosi,

∃ k 6= 0 : X∗(z) = kX(z), ∀z ∈ C.

Podemos encontrar funciones en Ln satisfaciendo las definiciones an-teriores mediante la siguiente:

Proposicion 4.6.7 Sea Xn = cn (ψn(z) + τnψ∗n(z)) ,con cn 6= 0 y τn ∈T. Entonces, Xn es para-ortogonal e invariante.

Demostracion: Sea f ∈ Ln−1⋂Ln(αn). Hemos de probar que 〈Xn, f〉ω =

0. Ahora bien, f ∈ Ln−1, por tanto 〈ψn, f〉ω = 0. Ademas, f ∈ Ln(αn),por consiguiente, 〈ψ∗n, f〉ω = 0. Luego,

〈Xn, f〉ω = cn (〈ψn, f〉ω + τn〈ψ∗n, f〉ω) = 0.

Por otro lado,

〈Xn, 1〉ω = cn (〈ψn, 1〉ω + τn〈ψ∗n, 1〉ω) = cnτn〈ψ∗n, 1〉ω 6= 0.

De igual modo, dado que por propia definicion, Bn(z) ∈ ξnLn−1 =L(αn), entonces:

〈Xn, Bn〉ω = cn (〈ψn, Bn〉ω + τn〈ψ∗n, Bn〉ω) = cn〈ψn, Bn〉ω 6= 0.

215

Por otro lado,

X∗n(z) = Bn(z)Xn∗(z) = Bn(z)cn

(ψn∗(z) + τnψ∗n (1/z)

)

= cn

(Bn(z)ψn∗(z) + τnBn(z)Bn∗(z)ψ∗n (1/z)

)

= cn (ψn∗(z) + τnψn(z)) = cnτn

(ψn(z) + τnψ∗n(z))

= cncnτn

cn (ψn(z) + τnψ∗n(z)) = knXn(z),

donde kn = cncnτn

. ¤Ademas, en [7] y siguiendo fielmente los pasos del caso polinomico,

se encuentra demostrado el siguiente resultado fundamental:

Teorema 4.17 Sea X ∈ Ln \ Ln−1, para-ortogonal e invariante. En-tonces

1. Xn = cn (ψn(z) + τnψ∗n(z)) , cn 6= 0, τn ∈ T.

2. Xn(z) tiene exactamente n ceros distintos sobre T.

Ya estamos en condiciones de enunciar el principal resultado de estaseccion:

Teorema 4.18 (Cuadraturas Racionales de Szego).Consideremos una formula de cuadratura con nodos distintos sobre

T del tipo usual: In(f) =∑n

j=1 λjf(zj). Entonces, In(f) tiene dominiode validez en Rn−1,n−1, sı y solo si,

1. In(f) es de tipo interpolatorio en Rp,q con p y q enteros no nega-tivos, arbitrarios, verificando: p + q = n− 1.

2. Si hacemos Xn(z) = Nn(z)πn(z) , siendo Nn(z) =

∏nj=1(z−zj) el polino-

mio nodal, entonces, Xn es para-ortogonal e invariante. Ademas,los pesos λjn

j=1 son positivos.

Demostracion: “ ⇒′′

1. Sean p y q enteros no negativos, tales que: p+ q = n− 1. EntoncesRp,q ⊂ Rn−1,n−1 y puesto que In(f) es exacta, por hipotesis, enRn−1,n−1, tambien lo sera en Rp,q y, consecuentemente, es de tipointerpolatorio en dicho subespacio.

216

2. Veamos en primer lugar que Xn(z) es invariante. En efecto:

X∗n(z) = Bn(z)Xn∗(z) = Bn(z =

∏nj=1 zj

z−zj

αj−z

= ηnωn(z)πn(z) (−1)n

∏nj=1 zj

Nn(z)ωn(z) = kn

Nn(z)πn(z)

= knXn(z),

con kn = ηn(−1)n∏n

j=1 zj y ηn = (−1)n∏n

j=1αj

|αj | , es decir: kn =∏n

j=1αjzj

|αj | ∈ T.

Para probar la “para-ortogonalidad”, debemos probar en primerlugar que:

〈Xn, f〉ω = 0, ∀f ∈ Ln−1

⋂Ln(αn).

A tal efecto, conviene utilizar una nueva base U0, U1, . . . , Un deLn y dada por:

U0 = 1, Uk =(z − τ)Bk−1

1− αkz, k = 1, . . . , n.

Comprobandose facilmente que es una base (hagase como ejerci-cio) para cualquier valor τ ∈ C. Tomamos en particular τ = αn,resultando:

U0 = 1, Uk =(z − αk)Bk−1

1− αkz, k = 1, . . . , n.

Ası, si f ∈ Ln−1⋂Ln(αn), entonces f(z) =

∑n−1k=0 akUk(z), con

a0 = 0, pues f(αn) = 0. Consecuentemente, tenemos que probarque 〈Xn, f〉ω = 0, 1 ≤ k ≤ n− 1, (n ≥ 2). Ahora bien,

(z = eiθ

):

〈Xn, Uk〉ω =∫ π

−πXn(z)Uk(z)ω(θ)dθ =

∫ π

−πXn(z)Uk∗(z)ω(θ)dθ,

con Uk∗(z) = γk(1−αnz)πk−1(z)ωk(z) , γk 6= 0. Ası,

〈Xn, Uk〉ω = γk

∫ π−π

Nn(z)(1−αnz)πk−1(z)πn(z)ωk(z)

= γk

∫ π−π

Nn(z)πk−1(z)πn−1(z)ωk(z) ω(θ)dθ

= γk

∫ π−π gk,n(z)ω(θ)dθ

= γkIn(gk,n) = 0,

217

ya que gk,n ∈ R−(n−1),n−1 y gk,n(zj) = 0, j = 1, . . . , n. Deaquı concluimos que

〈Xn, Uk〉ω = 0, 1 ≤ k ≤ n− 1,

y por consiguiente,

〈Xn, f〉ω = 0, ∀f ∈ Ln−1

⋂Ln(αn).

Veamos ahora que 〈Xn, 1〉ω〈Xn, Bn〉ω 6= 0.

En efecto, si 〈Xn, 1〉ω = 0, entonces 〈Xn, Uk〉ω = 0, 0 ≤ k ≤ n− 1y como Ukn−1

k=0 es una base de Ln−1, resultara Xn ⊥ Ln−1. Porconsiguiente, Xn(z) = cnψn(z), cn 6= 0 y Xn(z) no podrıa tenersus ceros sobre T. De modo analogo se prueba que 〈Xn, Bn〉ω 6= 0.

“ ⇐′′ Sea ahora Xn(z) para-ortogonal e invariante. Sabemos queXn(z) tiene n ceros simples zjn

j=1 sobre T, y por tanto, tomando p yq enteros no negativos tales que p + q = n− 1, podemos determinar deforma unica los pesos λjn

j=1 verificandose:

In(f) =n∑

j=1

λjf(zj) = Iω(f), ∀f ∈ Rp,q.

Ahora seguimos de nuevo el esquema clasico en la demostracion deeste tipo de resultados. Tomemos T ∈ Rn−1,n−1 y definamos R(z) =T (z)−Ln(z), donde Ln ∈ ∆−p,q interpolando a R en los nodos zjn

j=1,es decir:

Ln(zj) = T (zj), j = 1, . . . , n.

Claramente, R ∈ Rn−1,n−1 y R(zj) = 0, j = 1, . . . , n. Por consiguiente,R(z) = Nn(z)S(z)

ωn−1(z)πn−1(z) , con Nn(z) =∏n

j=1(z − zj) y S ∈ Πn−2. Luego:

R(z) =Nn(z)S(z)

πn(z)(1− αnz)S(z)

ωn−1(z)= Xn(z)gn∗(z),

donde gn(z) = (z−αn)S∗(z)πn−1(z) ∈ Ln−1

⋂Ln(αn).Tengase en cuenta que

gn∗(z) =

(1z − αn

)S∗ (1/z)

πn−1 (1/z)=

(1− αnz)z−n+1S(z)ωn−1(z)z−n+1

=(1− αnz)S(z)

ωn−1(z).

218

Luego,(z = eiθ

):

∫ π

−πR(z)ω(θ)dθ =

∫ π

−πXn(z)gn∗(z)ω(θ)dθ = 〈Xn, gn〉ω = 0,

por la para-ortogonalidad de Xn(z) y en consecuencia, ya que Ln ∈∆−p,q :

Iω(T ) = Iω(Ln) = In(Ln) =n∑

j=1

λjLn(zj) =n∑

j=1

λjT (zj) = In(T ).

Falta probar que los pesos λjnj=1, son positivos. Para ello, tomemos

Rj ∈ Ln−1, verificando Lj(zk) = δj,k, j, k = 1, . . . , n (Lj(z) esta unıvo-camente determinado, ∀j = 1, . . . , n).

Entonces, ∀z ∈ T : |Lj(z)|2 = Lj(z)Lj(z) = Lj(z)Lj∗(z) = Rj(z), demodo que Rj ∈ Rn−1,n−1 y resulta, para j = 1, . . . , n :

∫ π

−π|Lj(z)|2ω(θ)dθ =

n∑

k=1

λk|Lj(zk)|2 = λj > 0.

¤En resumen, fijado n ≥ 1, hemos deducido una familia uniparametri-

ca de formulas de cuadratura de la forma

In(f) =n∑

j=1

λjf(zj),

dependiendo de un parametro τ ∈ T, tales que:

1. Los nodos son los ceros de ψn(z) + τψ∗n(z), con ψn(z) la enesimafuncion racional de Szego respecto a ω(θ).

2. Los pesos λjnj=1, son positivos.

3. Son exactas en Rn−1,n−1 (dominio maximo de validez).

Tales formulas fueron inicialmente introducidas por A. Bultheel, etal. en [9] y se denominan “Cuadraturas racionales de Szego”. Estasformulas extienden al caso de funciones racionales, las formulas de Szegoestudiadas en el Capıtulo 3.

219

Con todo, cabrıa preguntarse, dado que In(f) depende de 2n parame-tros y dim (Rn−1,n−1) = 2n− 1, si pudieran existir formulas de cuadra-tura con nodos sobre T que fuesen exactas, bien en Rn,n−1 o en Rn−1,n.La respuesta (negativa) la hallaremos en:

Proposicion 4.6.8 No pueden existir formulas de cuadratura In(f) =∑nj=1 λjf(zj), con nodos distintos sobre T que sean exactas en Rn,n−1

o en Rn−1,n.

Demostracion: Considerese la base Uknk=0 utilizada en la prueba

del teorema anterior y completese la demostracion como ejercicio. ¤

Ejemplo 4.2 Las funciones racionales de Szego o funciones racionalesortogonales sobre la circunferencia unidad, aparecieron motivadas, tantopor problemas teoricos (Problemas de Interpolacion de Pick-Nevalinna),como por problemas aplicados de la Fısica o la Ingenierıa (estimadoresracionales para sucesiones estocasticas estacionarias), pero careciendo-se, hasta principios de la decada de los noventa, de ejemplos de talesfunciones racionales similares a los que se ya se conocıan para el ca-so polinomico, tanto en el eje real como en la circunferencia unidad.El primer ejemplo que se nos podrıa ocurrir es el generado por la fun-cion peso ω(θ) = 1, conociendose las funciones racionales ortogonalescorrespondientes como “bases de Malmqhist”, de gran aplicabilidad enel procesamiento de senales digitales. Tales funciones racionales fueronestudiadas por M. M. Djrbashian en los anos sesenta, si bien, sus tra-bajos no se conocieron hasta finales de los ochenta, que fue cuando elgrupo Bultheel-Gonzalez-vera- Hendriksen-Njaastad comenzo el estudiode las funciones racionales ortogonales de forma similar al estudio delos polinomios. Aquı nos vamos a referir, como ejemplo ilustrativo, a lafuncion peso que figura en el nucleo de Poisson, a saber:

ω(θ) =1− r2

2π

12− r cos θ + r2

, r ∈ (0, 1), θ ∈ [−π, π], (4.64)

o mas generalmente

ω(θ) =1− |r|2

2π|z − r| , r ∈ D, z = eiθ ∈ T, (4.65)

(Observese que la funcion peso esta normalizada de modo que∫ π−π ω(θ)dθ =

1 y que cuando r = 0 entonces: ω(θ) = 12π ).

220

Vamos a determinar la sucesion de funciones racionales de Szegoortonormales: ϕn∞n=0. Sabemos que ϕ0 = 1 y que para n = 1, 2, . . . ,ϕn ha de verificar las condiciones:

1. ϕn ∈ Ln \ Ln−1,

2. 〈ϕn, Bk〉ω = 0, k = 0, 1, . . . , n− 1.

3. 〈ϕn, ϕn〉ω = 1.

Ahora bien,(z = eiθ

):

〈ϕn, Bk〉ω =∫ π−π ϕn(z)Bk(z)ω(θ)dθ =

∫ π−π

ϕn(z)(1−|r|2)Bk(z)(z−r)(1−rz)dθ

= 1−|r|22πi

∫T

ϕn(z)Bk(z)(z−r)(1−rz)dz, k = 0, 1, . . . , n− 1.

Aquı vemos que el denominador Bk(z)(z−r)(1−rz) se anula en z =αi, i = 1, . . . , k y z = r, los cuales estan en D mientras que el otro ceroz = 1

r ∈ E. Tomando ϕn de modo que se anule en z = αi, i = 1, . . . , n−1y en z = r, la integral anterior sera cero. Ası pues, ϕn ∈ Ln \ Ln−1,debera ser de la forma:

ϕn(z) = kn(z − r)(z − α1) . . . (z − αn−1)

πn(z), kn 6= 0,

o de forma equivalente,

ϕn(z) = kn(z − r)Bn(z)

z − αn∈ Ln \ Ln−1, kn 6= 0.

Ası, para 0 ≤ k ≤ n− 1 :

〈ϕn, Bk〉ω = kn1− |r|2

2πi

∫

T

Bn/k(z)(z − αn)(1− rz)

dz = 0,

donde Bn/k = BnBk

y por consiguiente cumple: Bn/k(αn) = 0.Tenemos ası determinadas nuestras funciones racionales ortogona-

les salvo factor multiplicativo kn 6= 0, el cual se fija por la condicion:(z = eiθ

)

1 = 〈ϕn, ϕn〉ω = |kn|2∫ π−π

(z−r)Bn(z)(z−αn)

(z−r)Bn(z)

(z−αn)ω(θ)dθ

= |kn|2 1−|r|22π

∫ π−π

z(z−αn)(1−αnz)dz = |kn|2 1−|r|2

1−|αn|2 ,

221

y por tanto, kn =(

1−|αn|21−|r|2

)1/2eiγn , γn ∈ R.

Por otro lado, hemos convenido que el coeficiente director de ϕn(z),ha de ser positivo, viniendo dado este por ϕ∗n(αn). Ahora bien, ϕn∗(z) =kn

1−rz1−αnz

1Bn(z) , luego,

ϕ∗n(z) = Bn(z)ϕn∗(z)kn1− rz

1− αnz,

y de aquı, ϕ∗n(αn) = kn1−rαn1−r2 , lo que nos permite concluir:

γn = −arg(1− rαn),

y tener unıvocamente determinada una sucesion de funciones ortonor-males de Szego, como sigue:

ϕ0 = 1, ϕn = kn(z−r)Bn(z)

z−αn,

con :

kn =(

1−|αn|21−|r|2

)1/2eiγn , γn = −arg(1− rαn).

(4.66)

Casos particulares:

1. r = 0, ω(θ) = 12π . Ahora, γn = −arg(1− rαn) = −arg(1) = 0 y

ϕn =√

1− |αn|2 zBn(z)z − αn

. (4.67)

Cuando αi = 0, i = 1, 2, . . . . Entonces, Bn(z) = zn y ϕn(z) = zn

2. r = αn :

γn = −arg(1− |αn|2) = 0, y ϕn(z) = Bn(z).

3. r 6= 0, αk = 0, k = 1, 2, . . . . Entonces:

ϕn(z) =(z − r)Bn(z)

z= (z − r)zn−1,

coincidiendo con los resultados obtenidos en el Capıtulo 3.

222

Veamos a continuacion las formulas de Szego para la funcion pesoω(θ) dada por (4.64) o (4.65):

In(f) =n∑

j=1

λjf(zj),

donde los nodos zjnj=1 son los ceros de ψn(z) + τψ∗n(z), |τ | = 1. Te-

niendo en cuenta la forma de ϕn, se deduce:

Xn = kn(z − r)Bn(z)

z − αn+ τ kn

1− rz

1− αnz=

Nn(z)πn(z)

∈ Ln. (4.68)

Ası la ecuacion Xn(z) = 0 toma la forma:

(z − r)Bn(z)z − αn

+ τ1− rz

1− αnz= 0.

Usando Bn(z) = ηnπn(z)ωn(z) , |ηn| = 1, logramos

Xn(z) = 0 ⇔ (z − r)ηnωn−1(z) + τπn−1(z)(1− rz) = 0.

Dado que |ηn| = 1, podemos escribir:

(z − r)ωn−1(z) + τπn−1(z)(1− rz) = 0, |τ | = 1,

y por consiguiente, cuando r = 0, los nodos zjnj=1 seran los nodos de

la ecuacionzωn−1(z) + τπn−1(z) = 0,

oz(z − α1) . . . (z − αn−1) + τ(1− α1z) . . . (1− αn−1z) = 0.

En cuanto a los pesos λjnj=1, se tiene, para todo j = 1, . . . , n :

λj =∫ π

−πLj

(eiθ

)ω(θ)dθ,

con Lj ∈ Ln−1 tal que Lj(zk) = δj,k. Por consiguiente:(z = eiθ

)

λj =∫T

Xn(z)z−zj

1−αnz1−αnzj

1−|r|2X′

n(zj)(z−r)(1−rz)dz

= Xn(r)r−zj

1−αnr1−αnzj

1X′n(zj)

, j = 1, . . . , n.

223

Por otra parte, Xn(z) = Nn(z)πn(z) , con Nn(z) = (z − r)ηnωn−1(z) +

τπn−1(z)(1−rz) y dado que Xn(zj) = 0, j = 1, . . . , n, entonces, X′n(zj) =

N′n(zj)

πn(zj), deduciendose:

πn(zj) = −(1− αnzj)(zj − r)ηnωn−1(zj)τ(1− rzj)

,

lo cual implica:

λj = ηn1− |r|21− rzj

ωn−1(zj)N ′

n(zj), j = 1, . . . , n. (4.69)

De la propia definicion de

πk(z) =∏k

j=1(1− αjz) y ωk(z) =∏k

j=1(z − αj),

se deduce facilmente que

π′k(zj) = −πk(zj)

∑ki=1

αi1−αjzj

, y ω′k(zj) = ωk(zj)

∑ki=1

1zj−αj

,

lo cual nos permite deducir de (4.69):

λj =1− |r|2

1− |r|2 + |zj − r|2 ∑n−1k=1

1−|αk|2|zj−αk|2

, j = 1, . . . , n, (4.70)

quedando el caracter positivo de los pesos claramente constatado.De nuevo, cuando αi = 0, i = 1, 2, . . . , resulta

λj =1− |r|2

1− |r|2 + (n− 1)|zj − r|2 , j = 1, . . . , n, (4.71)

que son los pesos de la formula de Szego polinomica para el nucleo dePoisson como ya se dedujo en el Capıtulo 3.

Finalmente, cuando r = 0, entonces ω(θ) = 12π y

λj =1n

, j = 1, . . . , n,

recuperandose el ejemplo que motivo el principio del Capıtulo 2, la cons-truccion de formulas de cuadratura sobre la circunferencia unidad.

224

Apendice A

Ejercicios Propuestos

Los ejercicios que se detallan a continuacion son una recopilacion deaquellos problemas que hemos propuesto a lo largo de esta memoria (enla forma de “Teorema” o “Proposicion” sin demostracion), en cada unode los cuatro capıtulos anteriores.

Capıtulo 1:

1. Dado cualquier numero natural n ≥ 1, probar que existe un po-linomio Pn(x) de grado exacto n (determinado salvo factor mul-tiplicativo) que es ortogonal a cualquier polinomio de grado a losumo n− 1.

2. Si In(f) =∑n

j=1 Ajf(xj) es la n−esima formula Gaussiana paraIω(f), demostrar que los pesos Ajn

j=1 vienen dados por

Aj =1

(Q′n(xj))

2

∫ b

a

[Qn(x)

(x− xj)

]2

ω(x)dx , j = 1, . . . , n

donde lj(x) = Qn(x)(x−xj)Q′n(xk) para j = 1, . . . , n, siendo Qn(x) =∏n

j=1(x− xj) el polinomio nodal.

3. Considerese la familia de polinomios dados para n = 0, 1, 2, . . . por

Un(x) =sen((n + 1)θ)√

1− x2, cos θ = x.

225

Demostrar que la sucesion Un(x)∞n=0 constituye la familia depolinomios ortogonales de Chebyshev de segunda especie, com-probandose que

∫ 1

−1Un(x)Um(x)

√1− x2dx =

0 si n 6= m

π2 si n = m

Probar que dicha familia satisface la relacion de recurrencia

Un+1(x) = 2xUn(x)− Un−1(x),

con U0(x) = 1, U1(x) = 2x.

4. Sea In+2(f) = B1f(a) + B2f(b) +∑n

j=1 Ajf(xj) la formula de“Gauss-Lobatto” para una funcion peso ω(x) en [a, b], que sabemoses exacta en Π2n+1. Pruebese que sus pesos son positivos.

Capıtulo 2:

1. Utilizar la formula Christoffel-Darboux para ξ = z, esto es:

Kn−1(z, z) =|ϕ∗n(z)|2 − |ϕn(z)|2

1− |z|2 ,

para demostrar que los ceros del enesimo polinomio ortonormal deSzego, ϕn, estan en D.

2. Sea ak(z) =∑k

i=0 ak,izi, el polinomio predictor progresivo asocia-

do a una senal s(t). Sabemos que, por el algoritmo de Levinson,sus coeficientes satisfacen la relacion ak,i = ak−1,i+δkak−1,k−i, i =1, 2, . . . , k. Si consideramos su polinomio recıproco bk(z) = a∗k(z)(polinomio predictor regresivo), demostrar que la formula anteriores equivalente a la relacion de recurrencia

bk(z) = zbk−1(z) + δkb∗k−1(z).

3. Consideremos las funciones peso de Chebyshev en [−π, π]:

ω1(θ) = 1 + cos θ, y ω2(θ) = 1− cos θ.

226

Comprobar que la transformada de Herglotz-Riesz para ω1 y ω2

viene dada, respectivamente, por:

Fω1(z) =

1 + z si |z| < 1−1+z

z si |z| > 1,Fω2(z) =

1− z si |z| < 11−z

z si |z| > 1,

4. Calcular las medidas de segunda especie asociadas a

ω1(θ) = 1 + cos θ, y ω2(θ) = 1− cos θ.

Capıtulo 3:

1. Dados 2n+1 puntos yj2n+1j=1 ⊂ R, demostrar que existe un unico

polinomio trigonometrico Tn(θ) ∈ Tn tal que Tn(θj) = yj , j =1, . . . , 2n + 1, donde: θj 6= θk, ∀j 6= k. ( Sugerencia: Utilizar larelacion:

Tn(θ) = Ln(z), z = eiθ, Ln ∈ ∆−n,n,

y considerando el sistema homogeneo: L(zj) = 0, j = 1, . . . , 2n+1,comprobar que este solo admite la solucion trivial).

2. Sean a y b reales no nulos y θj2nj=1 los ceros de afn(θ) + bgn(θ),

siendo f0⋃fk, gk∞1 un sistema bi-ortonormal. Sea H2n ∈ T2n−1

tal que

H2n(θj) = f(θj), 1 ≤ j ≤ 2n

H′2n(θj) = f

′(θj), 1 ≤ j ≤ 2n, j 6= k ∈ 1, . . . , 2n.

Probar que entonces Iω(H2n) coincide con I2n(f) =∑n

j=1 λjf(θj),la correspondiente formula de cuadratura con el maximo grado deprecision trigonometrica.

3. Sea B2n+1(z) para-ortogonal e invariante con respecto a ω(θ). Seaα ∈ T, un cero de B2n+1(z), por lo que podemos escribir:

B2n+1(z) = (z − α)B2n(z), |α| = 1,

siendo B2n(z) de grado 2n. Comprobar que B2n(z) es invariante ypara-ortogonal con respecto a la funcion peso ω(θ) = |eiθ−α|2ω(θ).

227

4. Sea (f0, fk, gk∞k=1) un sistema bi-ortogonal para ω(θ) y sean a yb numeros reales tales que |a|+ |b| > 0. Demostrar que

Tn(θ) = afn(θ) + bgn(θ) = e−inθB2n

(eiθ

),

donde B2n(z) es un polinomio de grado 2n, para-ortogonal y1−invariante.

5. Sea Fω(z) la transformada de Herglotz-Riesz para ω. Demostrarque, para z ∈ D:

Fω(z) = lımn→∞

(µ0 + 2

n∑

k=1

µkzk

),

uniformemente en compactos de D, siendo µkk la sucesion demomentos trigonometricos con respecto a ω.

6. Demostrar que si una funcion peso ω(θ), es simetrica, entonces susmomentos trigonometricos µkk, k ∈ Z son reales y, por lo tanto,tambien lo son los coeficientes de los correspondientes polinomiosde Szego ρn(z).

7. Sea Jn(F ) =∑m

j=1 BjF (aj) +∑n

j=1 AjF (xj) una formula de cua-

dratura para Jσ(F ) =∫ ba F (x)σ(x)dx, donde los nodos distintos

ajmj=1 han sido prefijados en [a, b] y los restantes xjn

j=1 a de-terminar. Demostrar que Jn(F ) es exacta en Π2n+m−1 sı y solosi

(1) Jn(F ) es de tipo interpolatorio en Πn+m−1.

(2) Los nodos xjnj=1 son los ceros del n−esimo polinomio orto-

gonal respecto a la funcion ν(x)σ(x) donde ν(x) =∏m

j=1(x− aj).Ademas, si ν(xk) 6= 0 para k = 1, . . . , n entonces los coeficientesBjm

j=1 y Ajnj=1 son positivos.

Capıtulo 4:

1. Sea ω(θ) una funcion L1−integrable en [−π, π] y sean x1, . . . , xn,n nodos distintos sobre T. Probar que entonces existen numeros

228

complejos A1, . . . , An, unıvocamente determinados tales que

In(f) =n∑

j=1

Ajf(xj) = Iω(f) =∫ π

−πf

(eiθ

)ω(θ)dθ, ∀f ∈ ∆−p,q,

con p y q enteros no negativos verificando p + q = n− 1.

2. Dados los nodos x1, . . . , xn, xi 6= xj , ∀i 6= j, xj ∈ T, 1 ≤ j ≤n, sabemos que existe un unico polinomio de Laurent Ln(f, z) ∈∆−p,q, tal que

Ln(f, xj) = f(xj), 1 ≤ j ≤ n.

Ademas, se tiene que

Ln(f, z) =n∑

j=1

lj(z)f(xj),

siendo lj ∈ ∆−p,q, tal que lj(xk) = δj,k. Si Qn(z) =∏n

j=1(z − xj)(polinomio nodal), pruebese entonces que:

lj(z) =xp

j

zp

Qn(z)(z − xj)Q

′n(xj)

, j = 1, . . . , n.

3. Sabemos que, fijada una sucesion αk∞k=1 ⊂ D y considerando losfactores de Blaschke, para k = 1, 2, . . . :

ξk =αk

|αk|αk − z

1− αkz,

podemos definir los productos de Blaschke Bk(z), k = 0, 1, . . . :

B0 ≡ 1, Bk(z) = Bk−1(z)ξk, k = 1, 2, . . . ,

pudiendo escribir:

Bn(z) = ηnωn(z)πn(z)

,

con

ηn = (−1)n∏n

j=1αj

|αj | , ωn(z) =∏n

j=1(z − αj),

πn(z) =∏n

j=1(1− αjz) .

Probar que: ∀n ≥ 0 : Bn∗(z) = 1Bn(z) .

229

4. Si denotamos por A = αkpk=1 ⊂ D y A =

1

αk

p

k=1⊂ E. Pro-

bar que ∀p, q enteros no negativos, Rp,q representa un sistema de

Chebyshev sobre cualquier conjunto X ∈ C \(A ∪ A

), siendo

Rp,q = 〈Bj(z) : −p ≤ j ≤ q〉 y B−k(z) = 1Bk(z) , k ≥ 0.

5. Sean p y q enteros no negativos tales que p + q = n − 1, seanzjn

j=1 ⊂ X ∈ C \(A ∪ A

)n puntos distintos dados y sea

f : X −→ C. Demostrar que existe un unico Rn ∈ Rp,q (definidoen el problema anterior) verificando

Rn(zj) = f(zj), j = 1, . . . , n.

6. SeaΩn(z) =

Nn(z)ωp(z)πq(z)

,

siendo Nn(z) =∏n

j=1(z − zj) el polinomio nodal y definamos

Lj(z) =z − αp+1

zj − αp+1

Ωn(z)(z − zj)Ω

′n(zj)

, j = 1, . . . , n.

Compruebese que:

Lj(z) = Lj(z), j = 1, . . . , n,

con Lj(z), j = 1, . . . , n dado por

Lj(z) =1− αq+1z

1− αq+1zj

Ωn(z)(z − zj)Ω

′n(zj)

∈ Rp,q.

7. Una formula de cuadratura In(f) =∑n

j=1 Ajf (zj) , con nodosdistintos sobre T, tiene dominio de validez Rp,q, sı y solo si, es detipo interpolatorio en tal dominio.

8. Comprobar que si fn ∈ Ln \ Ln−1, entonces, f∗n ∈ Ln.

9. Sea ρn(z) es el enesimo polinomio de Szego (monico), entonces,sabemos que el polinomio recıproco ρ∗n(z) verifica las siguientescondiciones de ortogonalidad:

〈ρ∗n, zk〉ω = 0, 1 ≤ k ≤ n,

230

lo cual significa que 〈ρ∗n, P (z)〉ω = 0, para todo polinomio P degrado a lo sumo n, tal que P (0) = 0. Si definimos ahora:

Ln (αn) = f ∈ Ln : f(αn) = 0.

Probar que:

a) Ln (αn) = ξnLn−1, ξn = ξn(z) = αnαn

αn−z1−αnz .

b) Si ψn(z) denota la enesima funcion racional de Szego conrespecto a ω(θ), entonces:

〈ψ∗n, f〉ω = 0, ∀f ∈ Ln (αn) , (ψ∗n ⊥ Ln (αn)) .

10. Sea el sistema U0, U1, . . . , Un ⊂ Ln dado por:

U0 = 1, Uk =(z − τ)Bk−1

1− αkz, k = 1, . . . , n.

Comprobar que dicho sistema es una base para cualquier valorτ ∈ C.

11. Demostrar que no pueden existir formulas de cuadratura In(f) =∑nj=1 λjf(zj), con nodos distintos sobre T que sean exactas en

Rn,n−1 o en Rn−1,n. (Sugerencia: Considerese la base Uknk=0 de-

finida en el ejercicio anterior).

231

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