TEMA 5. Reflexión y refracción de ondas

Propagación de la luz. rincipios de Huygens y FermatReflexión y refracción de ondas planasAplicaciones: reflexión totalguías de luzdispersión de la luz en prismaPolarización

Juan JiménezGdS OptronlabDto Física de la Materia CondensadaEIIUniversidad de Valladolid

Ecuación de una onda sinusoidal que se propaga en una dirección arbitraria del espacio

= osen(k·r-t)

k es el vector de ondas, indica la dirección de propagación. r es el vector posicióndel punto del espacio que es alcanzado por la perturbación.

Esta función de ondas es solución de la ecuación de ondas en tres dimensiones:

En le caso de una onda em, las magnitudes físicas cuya perturbación se propaga son los campos eléctrico y magnético respectivamente.

E = Eosen(k·r-t)B = Bosen(k·r-t)

]z

t)z, y, ξ(x,y

t)z, y, ξ(x,x

t)z, y, ξ(x,[vt

tz, y, x,ξ2

2

2

2

2

22

2

2

K

r

Principio de HuygensUn frente de ondas es una superficie formada por todos los puntos del espacio que seven alcanzados por el movimiento ondulatorio simultáneamente y se encuentran en el mismoestado de perturbación. Todos los puntos del frente de ondas tienen la misma fase. = osen(k · r-t)los frentes de onda cumplen que K●r-t=cte En el caso de ondas planas se trata de planos perpendiculares a k.Para una onda esférica se trata de esferas centradas en la fuente.Huygens: cuando el frente de ondas alcanza una superficie, todos los puntos delfrente de ondas se convierten en centros (secundarios) emisores de ondas, quese propagan en la misma dirección y con la misma velocidad y frecuencia que la onda original.

Principio de Fermat. La trayectoria seguida por la luz para pasar de unpunto a otro (camino óptico) es la que corresponde al menor tiempo detránsito.

Los tiempos de propagación entre puntos correspondientes de un frentede ondas son iguales.

La distancia entre puntos correspondientes depende de la velocidadde propagación de la onda en esa dirección.

En un medio isótropo y homogéneo, la trayectoria (rayos) de las ondassigue líneas rectas.

Los rayos son siempre perpendiculares a los frentes deondas. La relación de ortogonalidad entre rayos y frentes de onda se conserva en todo el camino de propagación: Th. De Malus

Reflexión y refracción de ondas planas

La reflexión y la refracción se producen cuando una onda alcanza una superficie de discontinuidad que separa dos medios de distinta naturaleza distinta velocidad de propagación. Al alcanzar la superficie de discontinuidad se produce una onda reflejada (reflexión) y otra transmitida (refracción).

ui ur

ut

ir

t

Los ángulos i, r y t son los ángulos de incidencia,reflexión y refracción.El plano formado por ui y la normal a la superficiede discontinuidad, n, es el plano de incidencia.

ui, ur y ut están en el plano de incidencia.

Los ángulos de incidencia y reflexión son igualesLey de la reflexión

Los ángulos de incidencia y refracción están relacionados por la siguiente expresión

seni/sent=v1/v2

Ley de la refracción (ley de Snell)

n Medio 1V 1

Medio 2V 2

Estas leyes se pueden demostrar haciendo uso del teorema de Malus y del principio de Fermat

t

t

i

i

r

rA

B

A’

B’

A’’

AB frente de onda de la onda incidenteA’’B’ frente de ondas de la onda reflejadaA’B’ frente de ondas de la onda refractadaBB’=v1tAA’=v2tAA’’=v1t

AB'tv

AB'AA'

θsen

AB'tv

AB''AA'

θsen

AB'tv

AB'BB'

θsen

2t

1r

1i

seni=senr

Ley de la reflexiónvv

θsenθsen

2

1

t

i

Ley de la refracción. Ley de Snell

Medio 1V 1

Medio 2V 2

Tambien podemos hacer uso del Principio de FermatLa trayectoria seguida por la luz para pasar de un punto a otro (camino óptico) es la que corresponde al menor tiempo( el camino óptico es el más económico).

La condición de mínimo para el tiempo (Fermat)

Ley de la reflexión

Ley de Snell

La propiedad que define la trayectoria es el índice de refracción: c/v

Cuando el rayo cruza dos medios diferentes, se produce el fenómeno de la refracción.

Reflexión especular

Reflexión difusa

Estudio analítico de la reflexión y refracción

kr

kikt

Or

i= iosen(ki · r-it)

r= rosen(kr · r-rt)

t= tosen(kt · r-tt)

En la superficie de discontinuidad la amplitud debe ser igual a los dos lados, continuidaddel campo eléctrico :

i+r=t iosen(ki · r-it)+rosen(kr · r-rt)=tosen(kt · r-tt)

Las fases tienen que ser iguales: ki · r-it= kr · r-rt=kt · r-tti= r=t ( ki - kr) · r=0 ley de la reflexiónki · r= kr · r=kt · r (ki -kt ) · r=0 ley de la refracción

( ki - kr) · r=0

(ki -kt ) · r=0

( ki - kr) =0( ki - kr) r

( ki - kt) =0( ki - kt) r

( ki - kr) • r=0 (ki -kt ) • r=0

( ki - kr) y (ki -kt ) son vectores normales a lasuperficie de discontinuidad

Representamos los vectores k en esta base

ki=kinn+kittkr=krnn+krtt+krc(nxt)kt=ktnn+kttt+ktc(nxt)

r = rtt+rc (nxt)

n

t

nxt

Ley de la reflexión( ki - kr).r= (kit- krt)rt-krcrc=0

Ley de la refracción( ki - kt).r= (kit- ktt)rt-ktcrc=0

Expresiones válidas para cualquier r, tambien para r sin componente tangencialkrc=0ktc=0

ki=kinn+kittkr=krnn+krttkt=ktnn+kttt

Además: kit- krt =0kit- ktt =0 kit= krt= ktt las tres componentes tangenciales

son iguales

ki, kr y kt están en el mismo plano: plano de incidencia

ki=kinn+kittkr=krnn+krttkt=ktnn+kttt

ki2=kin

2+kit2

kr2=krn

2+krt2

kt2=ktn

2+ktt2

Además, i=r=t=v1=/k1, v2=/k2

kr=ki

krn2= kr

2 - krt2 = ki

2- krt2 = ki

2 - kit2 =kin

2

krn=+kin krt=kit Al ser una onda reflejada tomamos la solución negativa

ir krn= -k1cosi=k1cosr

krt=k1seni=k1senr=r

Onda transmitida

ktt=k2sent=kit=k1seni nn

vv

kk

θsenθsen

1

2

2

1

1

2

t

i

n2>n1v1>v2

seni>sent; i>t;

n2<n1v1<v2

seni<sent; i<t;

sent<1; cuando seni=n2/n1sent=1, t=90o

Reflexión total

La reflexión interna total juega un papel fundamental en los dispositivosQue generan luz, como los diodos emisores de luz (LEDs)

Guías de luz

La luz se puede guiar mediante estructuras cuyo índice de refracción es mayor que el de suentorno. Mediante la reflexión total la luz no puede escapar del medio de mayor índice,y por consiguiente se puede guiar

Schematic illustration of the the structure of a double heterojunction stripecontact laser diode

Oxide insulator

Stripe electrode

SubstrateElectrode

Active region where J > Jth.(Emission region)

p-GaAs (Contacting layer)

n-GaAs (Substrate)

p-GaAs (Active layer)

Currentpaths

L

W

Cleaved reflecting surfaceEllipticallaserbeam

p-AlxGa

1-xAs (Confining layer)

n-AlxGa

1-xAs (Confining layer) 12 3

Cleaved reflecting surface

Substrate

© 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)

Un prisma óptico es un dispositivo formado por dos superficies planas que forman entre sí un ángulo y que separan dos medios con diferente índice de refracción.Angulo que se desvía un rayo de luz monocromática (de una sola longitud de onda) que incide formando un ángulo i sobre la cara de un prisma óptico cuyo índice de refracción es n y cuyo ángulo es si el prisma está en el aire (n aire = 1)1ª superficieseni = n sen t

2ª superficien sen ’t = sen ’i

=t’t t+’t= = (i +’i) - . es el ángulo de desviación del rayoSe puede demostrar teórica y experimentalmente que el ángulo de desviación mínima se produce cuando los ángulos de incidencia y emergentes son iguales, es decir, cuando dentro del prisma la trayectoria del rayo luminoso es paralela a la base del prisma.t + ’t - = 0

i-t + ’i – ’t - =0 i

t ’t

Prisma. Descomposición de la luz. Espectro

’i

Con un segundo prisma invertido se recompone la luz blanca

Aberración axial cromática Vista de Venus

Aberración cromática en un telescopio de Galileo

AmplitudesEn la superficie de discontinuidad se tiene que cumplir que En x=0: Eiosen(-t)+Erosen(-t)= Etosen(-t)

Eio+Ero=Eto

Falta una ecuación:La obtenemos del campo magnético y la relacióncon el campo eléctrico.

Para incidencia normal (i=0) y con E perpendicular al plano de incidencia Ei

Ei

Ei//

kiEcuaciones de Fresnel

T

R

EEEE

io

to

io

ro

Reflectancia

y

Transmitancia1=2 en medios no magnéticos

T siempre es positivo, la onda incidente y la refractada (transmitida) siempre están en fase,R puede ser positivo ó negativo, según que n1 sea mayor ó menor que n2. Puedenestar en fase ó en oposición de fase.

La intensidad de la onda es I=ve=1/2 vo2 =1/2 (1/) 1/2 Eo

2= 1/2 ()1/2 Eo2

22 22

2 1ro 1 1 2 22 2

io 2 1 2 1

1/2 2 22 to2 1 2 1 2

1/2 2 222

1 2 1 2 1io1

2

4 4

1

v v v v v vEE v v v v

/ E v v v vv/ v v v vE

R

T

R T

Coeficientes de Fresnel de:

Reflexión

Transmisión

Incidencia normal

Polarización

La luz es una onda transversal. Esto quiere decir que la magnitudfísica asociada a la propagación (campo eléctrico o magnético, en estecaso) oscila en una dirección perpendicular a la de propagación.Para las ondas transversales, por tanto, la dirección de oscilación noes única y puede ser cualquiera de las infinitas direccionesperpendiculares a la de propagación.La polarización es una característica de las ondas trasnversales, queda cuenta de la distribución geométrica de las oscilaciones. En lasondas electromagnéticas referimos la polarización a la oscilación delcampo eléctrico.La luz natural, normalmente se compone de una mezcla de ondascuyos planos de oscilación (también su fase) difieren de unas a otras.Ese tipo de luz se denomina no coherente y se dice que estádespolarizada.En otras fuentes de luz, como los láseres, las fases de todas las ondasque los componen son iguales (coherencia) y, normalmente, loscampos eléctricos o magnéticos oscilan en una dirección definida(polarización).Según como sea la polarización, las ondas se puedenclasificar en:Linealmente polarizadas: La dirección de polarizaciónes única y no cambia con el tiempo.Circularmente polarizadas. La dirección depolarización rota de forma que evoluciona según unahélice circular.Elípticamente polarizadas. El extremo del vectorcampo va dibujando una elipse a medida que avanza.Se puede entender esta polarización como unasituación intermedia entre una polarización lineal y unacircular.

Polarización

E1

E2

E

Ex

Ey1 1

2 2

cos( )cos( )

x y

x

y

kz tE Ekz tE E

E E E

Eliminamos kz-t, los valores que toman Ex y Ey dependen de E1 y E2, y de 1-2

22

2

1 2 1 21 21 2

2 cos( ) ( )yx yx EE EE senE EE E

Ecuación de una elipse E1

E2 E

Ex

Ey

1-2=022

2

1 2 1 21 21 2

2 cos( ) ( )yx yx EE EE senE EE E

1 2

yx EEE E

E1

E2E

Polarización lineal

E1

E2

E

1-2=

1 2

yx EEE E

Polarización lineal

1-2=/2

E1

E2

E

Ex

Ey

2 2

2

1 2 1 21 1

2 cos( ) ( )1 2

x x yx EE E E senE EE E

2 2

11 2

yx EEE E

E1=E2

2 2

2 2 2

11;1 1

x y

yx EE E E EE E

E1

E1

E

Ex

Ey

Polarización elíptica

Polarización circular

Mecanismos de Polarización:Partiendo de luz no polarizada, existen distintos fenómenos que dan lugar a la emergencia de luz polarizada:•Polarización por absorción•Polarización por reflexión•Polarización por dispersión•Polarización por birrefringencia (también llamada doble reflexión)

Polarización por absorción:Algunas medios sólo permiten el paso de luz polarizada en una determinadadirección denominada «eje de transmisión». Estos medios, denominadospolarizadores, tienen esta propiedad porque sus moléculas se encuentranorganizadas espacialmente de la forma adecuada, como ocurre en algunoscristales ó en materiales tipo «cristal líquido».Cuando a uno de estos materiales llega una luz despolarizada, la componenteperpendicular a esa dirección preferente es absorbida permitiendo sólo el paso dela componente en la dirección paralela. Típicamente, en una luz completamentedespolarizada a la entrada, obtenemos luz polarizada lineal a la salida. En elproceso, la intensidad de la luz se reduce a la mitad.:La luz no polarizada se propaga a lo largo del eje z e incide sobre una láminapolarizadora con eje de transmisión en x.A su salida tendremos una luz polarizada en la dirección x y con un campoeléctrico cuya amplitud será E.Al incidir sobre una segunda lámina cuyo eje de transmisión está girado unángulo respecto de la 1ª, su dirección de polarización cambiará a la nuevadirección, pero con la consiguiente pérdida de intensidad.Antes de incidir sobre esa lámina la amplitud se puede descomponer según el ejede la 2ª lámina en componente paralela y perpendicular:

En la primera lámina, la luz incidente será una mezcla homógenea detodas las posibles direcciones de oscilación, por lo que el ángulopromedio es 45º por lo que a su salida tendremos:

Ley de Malus

Polarización por reflexión:Cuando la luz no polarizada incide en la superficie de separación de dos medios (nometálicos), la luz reflejada está parcialmente polarizada.La luz transmitida sólo está débilmente polarizada independientemente del ángulo deincidencia.El grado de polarización depende del ángulo de incidencia y de los índices de los medios.Existe un ángulo de incidencia, el ángulo de polarización o ángulo de Brewster, para el quela luz reflejada está completamente polarizada.En este caso la dirección de polarización es perpendicular al plano de incidencia.En incidencia de polarización el rayo reflejado y el refractado son perpendiculares entre sí.La relación entre este ángulo y los índices del medio será:

Las gafas polarizadas evitan deslumbramientos aprovechando el efecto de polarizaciónprincipalmente horizontal de la luz reflejada en, por ejemplo, el suelo, la nieve y el agua, no asíen superficies metálicas.

Polarización por dispersión:La dispersión de la luz se produce cuando esta incide sobre un obstáculo que la absorbe yque posteriormente se convierte en fuente de ondas re-emitiendo ondas con la mismafrecuencia que las absorbidas. Típicamente, la dispersión genera ondas que se propaganen todas las direcciones. La luz dispersada en las direcciones perpendiculares a la del hazincidente son emitidas con polarización lineal. El estudio analítico del fenómeno excede elnivel previsto.

Polarización por birrefringencia:La birrefringencia o doble refracción es un fenómeno complejo y poco frecuente cuyoorigen está en la anisotropía de los pocos materiales que la presentan. La anisotropíaimplica que la velocidad de propagación de la luz en estos materiales depende de suestado de polarización y de la propia dirección de propagación.Cuando un rayo incide en estos materiales, se puede dividir en dos rayos – ordinario yextraordinario. Estos rayos están polarizados en direcciones mutuamenteperpendiculares.

p

Solo hay una dirección de propagación en el interior delmaterial en el que no aparece este fenómeno. Estadirección define el eje óptico del material. Cualquierotra dirección de propagación que forme un ángulo dadocon el eje óptico presentará el fenómeno. Por el contrario,si se incide perpendicularmente simultáneamente a lacara del cristal y al eje óptico los dos rayos sepropagan en la misma dirección, y a distinta velocidad.Las ondas emergen de ese sistema con un desfase ypolarizaciones perpendiculares entre si.Basandose en ese fenómeno, las láminas birrefringentesson un extraordinario método de obtener luz polarizadacircular. Si la anchura de la lámina es tal que el desfasea la salida es exactamente de un cuarto de onda, láminacuarto de onda. La incidencia de una luz polarizadaformando 45º con el eje óptico genera luz polarizadacircular a la salida.Si el espesor es justo el necesario para generar undesfase de 180º, lámina de media onda, en las mismascondiciones de incidencia que antes, lo que tenemos a lasalida es luz polarizada lineal pero con su eje girado 90º

Tourmaline 1.669 1.638

Calcite 1.6584 1.4864

Quartz 1.5443 1. 5534

Sodium Nitrate 1.5854 1. 3369

Ice 1.309 1.313

Rutile (TiO2 ) 2.616 2.903

no neB=n0-ne

¿cómo tiene que ser la polarización de los cristales de estas gafas para eliminar la luz reflejada por la nieve, la superficie del mar…?

El color del cielo

I α -4

Sin polarizador

Con polarizador

Sin polarizador Con polarizador