juan jimenez uva tema 1: electrostática dto...
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Tema 1: Electrostática* Ley de Coulomb y campo eléctrico.- Ley de Coulomb- Concepto y definición de campo eléctrico* Distribuciones de carga.Aplicaciones- Dipolo- Hilo- Anillo- Disco* Flujo eléctrico. Ley de Gauss.Aplicaciones- Lámina- Cilindro- Esfera* Potencial eléctrico.Aplicaciones- Dipolo- Esfera*Capacidad. Condensadores.Aplicaciones- Condensador plano-paralelo- Condensador cilíndrico- Condensador esférico.- Asociación de condensadores* Dieléctricos.* Energía electrostática.
UVaJuan Jimenez Dto Física de laMateria Condensada
Ley de Coulomb y campo eléctrico.
La atracción electrostática decuerpos cargados eléctricamente seconoce desde la antigua Grecia.
Se observó que tras frotar el ámbar(elektron en griego), este materialatraía pequeños objetos.
Sabemos que hay dos clases decarga, que llamamos positiva ynegativa (en el SI se miden encoulomb, C).
Cualquier fragmento de materiatiene aproximadamente cantidadesiguales de cada clase. Al cargarlo(por frotamiento u otroprocedimiento) esa situación deequilibrio se modifica.
UVa
Ley de Coulomb
Charles Coulomb (1736-1806)estudió cuantitativamente la fuerzaejercida por una cuerpo cargadosobre otro.
Los resultados de susobservaciones conducen alenunciado de la ley que lleva sunombre.
Es análoga a la ley de la gravedadpor la dependencia con la distancia,pero difiere en tanto en cuanto estainteracción puede ser atractiva orepulsiva según sea el tipo de cargade los cuerpos.
UVa
Campo eléctricoComo en el caso gravitatorio, para manejar esta interacción a distancia se introduce el conceptode campo, en este caso eléctrico. La carga qi produce un campo E en todo punto del espacio,capaz de ejercer una fuerza sobre cualquier otra carga q0, y se define como:
(q0 pequeña)
Volviendo a la ley de Coulomb, se tiene
Su unidad en el SI es el Volt por metro (V/m)
0qFE
punto de campo P
posición de la fuente i
iP2iP
iiP r
rkqE
UVa
Distribuciones de carga.Distribuciones discretas. Dipolo eléctrico.
El campo eléctrico asociado a una distribución de cargas puntuales es (principio desuperposición):
Caso relevante de este tipo de distribución es el dipolo electrico.Se describe por su magnitud momento dipolar eléctrico p
Para puntos muy distantes (rp+≈ rp-≈ rp >> L), la expresiónaproximada del campo es
i i
iP2iP
iiPP r
rkqEE
Lqp
P2
PP2
PP r
rqr
rqkE
3
P5P
PPdip r
pr
rpr3kE
UVa
Distribuciones de carga.Distribuciones continuas.
Si los cuerpos cargados son extensos y no pueden manejarse como puntos, habremos dedividirlos en elementos de carga dq suficientemente pequeños.
El diferencial de campo a que cada dq da lugar es
donde r es la distancia desde el elementode carga al punto de campo. El campo neto seobtiene mediante integración:
Según cuales sean las dimensiones relativas de los cuerpos cargados, hablaremos dedistribuciones de carga lineales, superficiales ó volúmicas
rrdqkEd 2
dqr
rkEdE 2
UVa
Se descompone el campo según x e y
Estas expresiones se integrarán a lalongitud L, esto es de x=x1 a x2.
Conviene cambiar de variable
lo que conduce a:
Para una línea muy larga se tendrá
Distribuciones de carga.Distribuciones continuas. Línea cargada uniformemente .
2; csccos
p ss p
y xr r dx y dsen
2s
y
2s
2s
x
rsendxkdE
rcosdxkir
rdxkdE
pyx21 y
k2=E;0=E⇒→θ,0→θ
1 1 2- cos - cosx yp p
k ksen seny y 2Ε ; Ε
UVa
-
Distribuciones de carga.Distribuciones continuas. Campo eléctrico en el eje de un anillo cargado
uniformemente.
En este caso, la simetría de la distribución permite concluir que el campo resultante ha de estardirigido según el eje.
Su magnitud se obtendrá operandodel modo siguiente
2 2 3
3 3 3
3/22 2
cos
ˆ
z
z
k dq k dq z k z dqdEr r r r
k z dq k z k Q zE dqr r r
k Q zE kz a
UVa
Distribuciones de carga.Distribuciones continuas. Campo en el eje de un disco cargado
uniformemente.
Pasamos a una distribución de carga en superficie con una densidad supoerficial de carga .Vamos a aprovechar el resultado previo,y descomponemos el disco en anillos deradio a y anchura da. Estos producen uncampo
La carga en dicho anillo es
e integrando a toda la superficie se llega a
Esta expresión se puede adaptar para escribir el campo generado por un plano infinito.Bastaría con tomar b muy grande, lo que conduciría a:
k
az
zdQkEd 2/322
ada2dAdQ
kbz
zzzk2E
222
kzzk2E
3 1
22 22 22
1ada
aa zz
UVa
Las líneas de campo
Las líneas que permiten visualizar elCampo eléctrico son las líneas de campo
Si colocamos una pequeña carga de prueba, en presencia delcampo eléctrico seguiría una trayectoria equivalente a unalínea de campo.
La densidad de las líneas nos indicaría la intensidad del campo
UVa
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.
El flujo de un campo vectorial C a través de una superficie cerrada S se define como
donde n es el vector unitario normal a la superficie. Desde un punto de vista físico, elflujo de un campo es proporcional a la magnitud de las fuentes del campoencerradas por la superficie.
Para el caso específico del campo eléctricodicha relación viene establecida por la
ley de Gauss.
SS
C AdCdAnC
S 0
encencn
SE
QkQ4dAEAdE
041
k
UVa
El flujo del campo es el mismo atraves de las tres superficies
UVa
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.
La ley de Gauss equivale a la de Coulomb. Para probarlo, es necesario recurrir alconcepto de ángulo sólido, análogo tridimensional del ángulo común.
Se mide en esterorradianes, y es el mismo paratoda superficie que corte el cono de la figura.Su magnitud es la superficie del casquete esférico,formado al secar el cono por la esfera de radio unidadPara el cono de apertura máxima (esfera):
mientras que al degenerar en una recta,se obtendría el valor mínimo, 0.
Vayamos a la expresión del flujo eléctrico,y consideremos una sola carga puntual como fuente.
22 rcosA
rrnA
4r
r42
2
UVa
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.
sS
2S
2E kqrcosAkqAdr
rkq
Si la carga se encuentra dentro del volumen encerrado por la superficie,la apertura angular para abarcarla es la misma
que para la esfera unidad, lo que llevaría a:
Si la carga fuese externa, tomando pequeños conos se observaría queestos atraviesan la superficie en dos ocasiones. Se tendrían doscontribuciones idénticas a la integral del ángulo sólido, salvo porque lacomponente normal del vector superficie a la entrada y la salida de lasuperficie han de tener signos opuestos. Por ello, dichascontribuciones se anulan. Resumiendo, se tiene:
0
4Eqkq
,
, ,0
0i
i enci encE
i enc j ext o o
qq Q Qenc
Eo
Ley de Gauss
UVa
UVa
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.Esfera uniformemente cargada.
Para este tipo de distribución, una rotación en torno a cualquier eje que pase por el centro delsistema deja todo inalterado:
Las superficies de integración elegidas ahoraserán esferas concéntricas a la distribución:
con R radio de la distribución de carga.Para el interior de esfera se tiene:
Y en el exterior
r)r(E)r(E
RrRQRrrdvQ
rrE
encV
enc
E
,34;,
34
4)(
33
2
r3
r)Rr(E0
rr3
R)Rr(E 20
3
UVa
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.Lámina uniformemente cargada.
Esta distribución es simétrica respecto al plano Z.Una traslación arbitraria según X o Y, no modificala distribución de cargas y, además cualquier ejeortogonal al plano Z es también un elemento desimetría, por lo cual:
Por ello, si se toma una superficie como la de la figura, la ley de Gauss simplifica notablemente laresolución de este problema:
Para puntos externos a la distribución de carga, el campo será:
Mientras que en su interior
)z(E)z(E;k)z(E)r(E
azaAdvQ
azzAdvQ
AzE
Venc
Venc
E
,2
;,2
)(2
0 0
ˆ ˆ( ) a a zE z a k kz
kzazE ˆ)(0
UVa
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.Cilindro uniformemente cargado.
Para esta distribución una traslación arbitraria o un giro según el eje Z no altera la distribución decargas. Además cualquier eje ortogonal al Z es de simetría, por lo cual:
Nuevamente, al tomar una superficie como lade la figura, la ley de Gauss simplificanotablemente la resolución de este problema:
donde a es ahora el radio del cilindro cargado.
ˆ( ) ( )E r E R R
aR,LaQ;aR,LRdvQ
RL2)R(E2
enc2
Venc
E
R2
R)aR(E0
RR2
a)aR(E0
2
Ra
2a
UVa
Potencial eléctrico.La fuerza eléctrica es conservativa y, al igual que en el caso de la fuerza gravitatoria, nos permitedefinir una función energía potencial U asociada a ella. Para un desplazamiento diferencial dl enel lugar de aplicación de la fuerza sobre una carga punctual, Q, la variación de laenergía`potencial dU es:
Este incremento de energía es proporcional a la magnitud de la carga desplazada, de tal maneraque podemos, definir la energía potencial por unidad de carga desplazada, que es lo quellamamos potencial eléctrico:
La unidad de potencial en el SI será J/C, que tienepor nombre volt (V).Consideremos el caso del campo creado por una cargapunctual, q.El origen de potencial se toma en el infinito.Entonces:
ldEQldFdU
b
aab ldEVVVldE
QdUdV
P0
P
20
P
20
P r4q
rdr
4qldr
r4qVV
UVa
Potencial eléctrico.Sistemas de cargas puntuales. Dipolo.
El potencial debido a un sistema de cargas puntuales, de acuerdo con el principiode superposición, es:
donde ri es la distancia desde la carga i-ésima hasta el punto de campo P.
Volvamos al caso de un dipolo eléctrico. La expresión exacta del potencial será:
La expresión asintótica para puntos decampo muy distantes (respecto a ladistancia entre las cargas del dipolo) es:
i ir
qV04
rrrr
4q
r4q
r4qV
000
30
dip r4rpV
UVa
Potencial eléctrico.Distribuciones de carga. Esfera cargada uniformemente.
El potencial debido a una distribución continua de carga es:
donde r es la distancia desde el elemento de carga hasta el punto de campo P. Paradistribuciones de alta simetría, la integración directa del campo eléctrico será mássencilla. Veámoslo para este caso ya estudiado. Recordemos:
Con el origen de potenciales en infinito,evaluamos primero V fuera de la distribución de carga:
Para el interior, se tendrá:
rdqV
04
rr3
R)Rr(E;r3
r)Rr(E 20
3
0
P0
3r
20
3
P r3Rr
r3R)Rr(V
P
Rr
RQ
RQrRR
ldrrldrr
RldrERrV
pP
r
R
Rr
P
PP
2
2
300
22
00
2
02
0
3
38463
ˆ3
ˆ3
ˆ)(
Rrp rp
UVa
Superficies equipotenciales
Es el lugar geómetrico de los puntos del espacio que se encuentran al mismo potencial. Son superficies normales a las líneas de campo
UVa
Capacidad. Condensadores.Conductores
Se entiende por conductor un sistema que tiene cargas libres, susceptibles demoverse bajo la acción de un campo eléctrico. Por consiguiente cuando elconductor está en situación equilibrio el campo eléctrico en su interior debeanularse. Lo que implica que el potencial es constante en un conductor en equilibrioelectrostático.
Sea el conductor de la Fig. situamos una superficie gaussiana justo por dentro de lasuperficie del conductor. Si aplicamos la ley de Gauss a esa superficie,
Como el conductor está en equilibrio, elcampo tiene que ser nulo, y por consiguientela carga en el interior de un conductor en equilibrio es cero.Por consiguiente, un conductor en equilibrio electrostáticoes un volumen equipotencial.
La carga se localizará sobre la superficie. Tendremos una densidad superficial decarga:
0enc
S
QAdE
UVa
En E
Et
Sobre la superficie
Si la componente tangencial no fuera nula, las cargas se moveríany no habría equilibrio, por consiguiente Et=0, el campo es normal
a la superficie
EnEn a
00;
EaaEd
SaE Campo en la superficie de un
conductor en equilibrio electrostático
UVa
Vamos a considerar un sistema formado por un solo conductor (esférico por simplificar). Lacarga Q se distribuirá uniformemente sobre su superficie, lo que implicará:
La razón entre la carga y el potencial que adquiereun conductor aislado es su capacidad
R4QV
r4Q)Rr(Vr
r4Q)Rr(E
0conductor
02
0
RVQC 04
UVa
Capacidad. Condensadores.
Es más común hablar de capacidad cuando nos referimos a condensadores. Uncondensador es un dispositivo formado por dos conductores (placas) que adquierencargas de igual magnitud y signo opuesto. El cociente entre la magnitud de la carga de lasplacas y la diferencia de potencial entre ellas es, al igual que en el caso del conductoraislado, constante para una geometría fija
La unidad de capacidad en el SI es el faradio (F).
Esta unidad, desde un punto de vista práctico, es demasiado grande (una esferaconductora debería tener un radio R9·109 m para que su capacidad fuese 1 F), por loque habitualmente se emplean sus submúltiplos, como el microfaradio (1 F=10-6 F), elnanofaradio (1 nF=10-9 F) y el picofaradio (1 pF=10-12 F).
En la expresión de la capacidad de la esfera conductora, se ve que dimensionalmente lapermitividad del vacío es un cociente entre capacidad y longitud.
VQC
m/F10854,8 120
UVa
Capacidad. Condensadores.Condensador plano-paralelo.
En este tipo común de condensador, las placas son dos láminasmetálicas planas (delgadas) paralelas, separadas una distancia (d)mucho menor que las dimensiones que definen el área (A) de dichasplacas.
Entonces, las placas son, a efectos prácticos, asimilables a dos planoscargados muy extensos (indefinidos). El campo producido por taldistribución, vimos que es:
Superponiendo los efectos de las dos placas, se tiene que en la regiónentre placas:
Así pues, la capacidad del condensador de placas paralelas es:
uuu zzz AQkE 00 22
2
AQd
AQdzld
AQV
AQE
dz
z
dz
zzz
0000
0
0
0
0
uu
dA
AQdQ
VQC 0
0
UVa
Capacidad. Condensadores.Condensador cilíndrico.
En este caso las placas son dos cilindrosconductores coaxiales, uno de radio R1 yotro de radio interno R2, ambos de longitudL (L>>R1, R2). Con esta condición, lasdistribuciones de carga son prácticamentecilindros indefinidos cargadosuniformemente en superficie.
De aquí derivamos la diferencia depotencial entre las placas y la capacidad:
o la capacidad por unidad de longitud delcilindro
RRL2
Q)R(ELlQQ
Rl2)R(E
0enc
E
1 1
2 2
2 10 0 0
0
2 1
ˆ ln( / )2 2 2
2ln( / )
R RQ Q dR QV R dl R RRL L R LR R
LQCV R R
)R/Rln(2
=VL/Q
=LC
12
0
UVa
Capacidad. Condensadores.Condensador esférico.
Las placas son ahora dos esferas conductoras concéntricas, la interna de radio R 1 y la externa de radio interno R 2. Las distribuciones de carga son esferas cargadas uniformemente en superficie.
De aquí pasamos a la diferencia depotencial y la capacidad
rr4
Q)r(EQQ
r4)r(E2
0enc
2E
⇒
)RR(RR4
VQC
RR4)RR(Q
R1
R1
4Q
rdr
4Qldr
r4QV
12
120
120
12
210
R
R2
0
R
R2
0
2
1
2
1
UVa
Capacidad. Condensadores.Asociaciones de condensadores.
Asociación en paralelo
De la definición de capacidad:
Asociación en serie
Y de la relación entre las tres magnitudes:
V)CC(QQQVCQ
VCQ2121
22
11
i ieq21eq C1
C1
C1
C1Q
CQV
2121
22
11
C1
C1QVVV
CQV
CQV
1 2eq i
ieq
Q QV C CC C C
1
UVa
Dieléctricos.
En un material dieléctrico o aislante, a diferencia de un conductor, no se disponede cargas libres capaces de desplazarse libremente bajo la acción de un campoeléctrico.Vemos abajo el efecto de un campo eléctrico para medios no conductores, bienapolares (izquierda) o polares.
En cualquiera de los dos casos, el resultado es el mismo: las cargas positivastienden a desplazarse siguiendo el campo, mientras las negativas lo tienden ahacer en el sentido inverso: las moléculas se polarizan en la dirección del campo.
UVa
Dipolo inducido
Moléculas polares
UVa
Dieléctricos
Vamos a analizar la influencia de su presencia en losfenómenos eléctricos. Consideramos para ello unasituación sencilla, un condensador plano-paralelo yestudiaremos de forma semicuantitativa las variacionesque se producen en este sistema.
En las proximidades de las placas, aparece unaconcentración relativa de cargas en exceso del tipoopuesto al de la placa. Esto se traduce, para una carga fijaen las placas, en una disminución de la intensidad delcampo dentro del condensador:
donde es laconstante dieléctricadel material.
0EE
+
++++++++++
----------
UVa
DieléctricosSi seguimos apoyándonos en el condensador planoparalelo, constatamos que ladisminución de la intensidad del campo implica una menor diferencia de potencialentre las placas:
Esto, en la práctica, representa un incremento en la capacidad del condensador:
Siendo más específicos, para el caso concreto del condensador plano paralelo:
donde , producto de la permitividad del vacío por la constante dieléctrica delmedio, es la permitividad del dieléctrico. Cuando operemos con materialesaislantes, las expresiones que veníamos manejando hasta ahora se habrán demodificar, de manera que la permitividad del medio aparecerá en lugar de la delvacío. Así, por ejemplo, la ley de Gauss se expresará como:
00der
izq
VdEdlEV
00
CVQ
VQC
dA
dACC 0
0
enc
S
QAdE
UVa
Una memoria (DRAM-(Dynamic Random Access Memory) es la arquitectura más simple de un chip de memoria microelectrónica. Un célula sencilla que almacena un bit de información consta de un transistor y un condensador de almacenamiento. Cuando se aplica un voltage a la word line se activa el transistor lo que permite transferir la carga del condensador de almacenamiento a la bit line con una lectura de 0, ó 1, según que esté descargado, ó cargado.
BST Barium strontium titanate
UVa
Energía potencial electrostática.
La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el trabajo quese invierte en transportar dichas cargas desde posiciones muy distantes entre síhasta sus posiciones finales en el sistema de cargas.Para dos cargas, supuesta fija la carga 1, el trabajo para llevar la 2 hasta suposición es:
Si se añade otra carga al sistema, el trabajo adicional será:
El trabajo neto para juntar las tres cargas es:
120
12222 r4
qq)r(VqW
230
2
130
13333 r4
qr4
qq)r(VqW
332211
230
2
130
13
230
3
120
12
130
3
120
21
230
32
130
31
120
21
21
4421
4421
4421
444
VqVqVq
rq
rqq
rq
rqq
rq
rqq
rqq
rqq
rqqW
UVa
Energía potencial electrostática.
La energía potencial electrostática U de un sistema de n cargas puntuales,generalizando, es:
Para una distribución continua de carga, operaríamos del modo que ya hemospuesto en práctica previamente:
Para una distribución de carga en volumen se tendría
Si fuese en superficie
Este tipo de distribución aparece, en particular, para medios conductores. Entonces
donde la suma se extiende ahora a los cuerpos conductores con cargas Qj ypotenciales Vj.
n
1iiiVq
21U
Vdq21U
óndistribuciV
dvV21U
óndistribuciS
dAV21U
j
jjj S
jjjS
QV21dAV
21dAV
21U
jóndistribuci
Recordar que un conductor en equilibrio electrostático es un volumen equipotencial
UVa
Energía potencial electrostática
Un condensador es un dispositivo que entra dentro de estas situaciones. Teniendoen cuenta las características específicas de estos sistemas podremos escribir:
Tomemos la última expresión en el caso del condensador plano-paralelo
La energía aparece como producto del volumen del condensador (Ad) por ciertaexpresión que tiene magnitud de energía por unidad de volumen. No lo probaremos,pero, de hecho, la energía electrostática de un sistema de cargas se puede evaluaralternativamente como integral de dicha densidad de energía:
22
221
jjjrcondensado VC
21
CQ
21VC
21VQ
21)Q(VQV
21QV
21U
)Ad(E21dE
dA
21VC
21U 222
espacioeltodo
2dvE21U
UVa