ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO

SEDE LATACUNGA

CORRECCIÓN DEL EXAMEN

INTEGRANTES: Buitrón Byron Lema Ivan

Llumiquinga Víctor

NIVEL: Primero Automotriz “A”

Septiembre-Marzo 2012-20131. Realizar el análisis de la función y construir su gráfica para:

f ( x )=ln (x2−1)+ 1

(x2−1)

Dominio de la función:

F(x) existe para x ϵ R−{−1 ;0 ;1 }

Intersección con los ejes

Eje x: y=0

ln (x2−1)+ 1

(x2−1)=0

1

(x2−1)=ln(x2−1)

e−1

( x2−1)=(x2−1)

x=±1 fueradel dominio∴∄ intersecciónconel eje x

Eje y: x=0

ln (x2−1)+ 1

(x2−1)= y

ln (0−1)+ 1(0−1)

= y

ln (−1 )−1= y

∴∄ ellogaritmo naturalde numerosnegativos

∴∄ intersecciónconel eje x

Asíntotas

Asíntota Vertical

limx→1

ln(x2−1)+ 1

( x2−1)=∞

limx→−1

ln(x2−1)+ 1

(x2−1)=∞

∴∃asintontas en { x=1x=−1

Asíntota Horizontal

limx→∞

ln (x2−1)+ 1

(x2−1)=∞

∴∄asintontas hor izontal

Asíntota Oblicua

y=mx+b

limx→∞

ln (x2−1)+ 1

(x2−1)x

=∞

limx→∞ [ ln (x2−1 )

x+ 1

(x3−x ) ]limx→∞

ln (x2−1)x

+limx→∞

1

(x3−x)

limx→∞

2 x

(x2−1)1

limx→∞

22x

m=0∴∄asintontas oblicua

Monotonía de la Función

f ( x )=ln (x2−1 )+ 1

(x2−1 )

f ' ( x )= 2 x

(x2−1 )− 2x

(x2−1 )2

f ' ( x )=2x2−2 x−2 x(x2−1 )2

f ' ( x )=2x(x2−2 )

( x2−1 )2

2x (x2−2 )(x2−1 )2

>0 2x (x2−2 )

(x2−1 )2 < 0

x>0∧ x<0

x>±√2∧ x<±√2

x>±1x<±1

]-∞ ;−√2] ]−√2 ;−1] ]-1 ;0] ]0;1] ]1;√2] ]√2 ;+∞]X -2 -1,2 -0,5 0,5 1,2 2

F(x) - + + - - +F’(x) Decrece Crece Crece Decrece Decrece Crece

Puntos máximos

f ' ( x )=2x(x2−2 )

( x2−1 )2=0

f ' ( x )=2 x (x2−2 )=0

x=0 x=±√2

y1=ln (2−1)+1

(2−1)

y2=ln (2−1)+1

(2−1)

P1=(√2 ;1 )MINIMO

P2=(−√2 ;1 )MINIMO

Concavidad

f ' ( x )=2x(x2−2 )

( x2−1 )2=0

f ' ' ( x )=6 x4−4 x2−6 x2+4−8 x4+16 x2

(x2−1 )3

f ' ' ( x )=−2x4+6 x2+4(x2−1 )3

f ' ' ( x )=−2(x¿¿4−3 x2−2)

(x2−1 )3>0 f ' ' (x )=−2

( x¿¿ 4−3 x2−2)

( x2−1 )3>0¿¿

x>±1x<±1

x>±1,88x<±1,88

]-∞ ;−1,88 ]−1,88 ;−1] ]-1 ;1] ]1;1,88] ]1,88 ;√2]X -2 -1,5 0 1,5 2

F’’(x) - + - + -Concavidad abajo arriba abajo arriba abajo

Puntos de inflexión

f ' ' ( x )=−2x4+6 x2+4(x2−1 )3

=0

−2 x4+6 x2+4=0

x=±1,88

y1=ln ((1,88)2−1)+ 1

((1,88)2−1)

y2=ln ((−1,88)2−1)+ 1

((−1,88)2−1)

x1=1,32 x2=−1,32

P1=(1,88 ;1,32 )

P2=(−1,88 ;1,32 )

Trazado de la gráfica

2. Una ventana Norman se construye juntando un semicírculo a la parte superior de un rectángulo. Calcule las dimensiones de una ventana de área máxima (base, altura, radio del arco) si el perímetro total es de 16 metros, guíese por la figura.

A=xy+ 12π r2

A=xy+ 12π ( x2 )

2

A=xy+ π8x2 [1 ]

P=x+2 y+πr

16=x+2 y+π ( x2 )32=2 x+4 y+πx

y=32−2 x−πx4

y=8−2+π4x [2 ]

Remplazo [2 ]en [1 ]

A(x )=x (8−2+π4 x)+ π8 x2

A ( x )=8 x−2+π4x2+ π

8x2

A ( x )=π8x2−2+π

4x2+8 x

A ( x )=( π8−2+π4 ) x2+8 x

A ( x )=π−2(2+π )8

x2+8x

A ( x )=π−4−2 π8

x2+8 x

A ( x )=−π+48

x2+8x

A' ( x )=−π+48

(2x )+8 x

A' ( x )=−π+44

x+8

A' ( x )=0

−π+44

x+8=0

π+44x=8

x= 32π+4

A' ' ( x )=−π+44

A' ' ( x 1 )=−π+44

A' ' ( x 1 )<0

Reemplazo [ x ]en [2 ]

y=8−2+π4

∗( 32π+4 )y=8−64+32 π

4 π+16

y=32π+128−64−32π4 (π+4)

y= 644(π+4)

y= 16π+4

Las dimensiones para que la ventana de una área máxima son:

x= 32π+4

y= 16π+4

3. Un filtro cónico de 18cm de profundidad y 6cm de radio en la parte superior, se encuentra lleno de una solución .Esta va pasando a un vaso cilíndrico de 5cm de radio .Cuando la profundidad de la solución en el filtro es de 10cm su nivel está bajando a razón de 2cm/min. Hallar la rapidez con que está subiendo la solución en el vaso, para dicha profundidad.

r=6cm

h=18cm

R=5cm

H=10cm

DATOS DEL PROBLEMA

r=6cm

h =18cm

dvdt

=2cm /min

Vc=πR2H

Vco=13πr2 h

Establecersemejanzadet riangulos6R

=18H

6H=18 R

R=13H

Re emplazamosenelvolumendelcono

Vco=13π (13 H)

2

H

Vc=127πH 3

Vc=127π (10 )3

Vc=116 ,35cm3

Vc=Vcodvdt

=ddt

(13πr2h)

dvdt

=25π324

H3

dvdt

=25π324

3Hdhdt

1

116 ,35=0 ,7272(10)dhdt

dhdt

=116 ,357 ,27

dhdt

=15 ,3cm /min

4. ∫ √16−x2x2

sin t= x4

x=4sin t

dx=4cos t . dt√16−x2

x2=x2 a2=16

x=x a=4

√16−x2

∫ √16−(4 sin t)2

(4sin t )2(4 cos t . dt )

∫√16¿¿¿¿

∫ 4 √cos2 t16sin2t

(4cos t . dt )

∫ cos2t

sin2 tdt

∫cot2t dt

∫¿¿

∫ csc2t .dt−∫ dt

−cot t−t+C

−√16−x2x

−arcsin ( x4 )+C

5. ∫ e−axcosbx .dx

u=cosbx

du=−b sinbx .dx

∫ dv=∫e−ax . dx v=−e−ax

a

∫u .dv=u . v−∫v .du

∫ e−axcosbx .dx=cosbx (−e−axa )−∫−e−ax

a(−b sinbx .dx )

¿−1acos bx . e−ax−b

a∫e−ax .sinbx .dx

∫ e−ax . sinbx .dx

u=sinbx

du=bcos x .dx

∫ dv=∫e−ax . dx

v=−e−ax

a

∫ e−ax . sinbx .dx=sinbx (−e−axa )−∫−e−ax

a(bcos x .dx )

¿−1asinbx . e−ax+ b

a∫ e−axcos x .dx

∫ e−axcosbx .dx=−1acosbx . e−ax−b

a (−1a sinbx . e−ax+ ba∫ e−axcos x .dx)∫ e−axcosbx .dx=−1

acosbx . e−ax+ b

a2sinbx . e−ax−b

2

a2∫e−axcos x .dx

∫ e−axcosbx .dx+ b2

a2∫ e−axcos x .dx=−1

acosbx . e−ax+ b

a2sinbx . e−ax

∫ e−axcosbx .dx (1+ b2a2 )=−1acos bx . e−ax+ b

a2sinbx . e−ax

∫ e−axcosbx .dx=−1acos bx . e−ax+ b

a2sinbx . e−ax

(1+ b2

a2 )+C