OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIN / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Multiplicacin por un monomio)

A = -3x2+ 2x4- 8 - x3 + 5xB = -5x4

-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

X-5x4______________________________ 15x6- 10x8+ 40x4+ 5 x7- 25x5

A x B =15x6- 10x8+ 40x4+ 5 x7- 25x5

Se multiplica al monomio por cada trmino del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicacin de potencias de igual base.Tambin se pueden multiplicar "en el mismo rengln": poniendo el polinomio entre parntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Multiplicacin de polinomios completos)

A = 4x3- 5x2+ 2x + 1B = 3x - 6

4x3- 5x2+ 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)

X3x- 6 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________-24x3+ 30x2- 12x - 6+12x4- 15x3+ 6x2 + 3x _________________________ 12x4- 39x3+ 36x2 - 9x - 6

A x B =12x4- 39x3+ 36x2 - 9x - 6

A cada trmino del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada trmino del primer polinomio. Si ambos polinomios estn completos y ordenados, los resultados quedan tambin completos y ordenados, y es ms fcil encolumnarlos segn su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicacin de nmeros de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" nmeros a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicacin de nmeros de varias cifras, y as se logra que los trminos de igual grado queden en la misma columna.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Multiplicacin de polinomios incompletos y desordenados, completndolos y ordenndolos)

A = -9x2+ x + 5x4B = 3 - 2x2

5x4+ 0x3- 9x2+ x + 0(polinomio A completo y ordenado)

X -2x2+ 0x + 3(polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4+ 0x3- 27x2+ 3x + 0 0x5+ 0x4+ 0x3+ 0x2+ 0x

-10x6+ 0x5+ 18x4- 2x3+ 0x2________________________________________-10x6+ 0x5+ 33x4- 2x3- 27x2+ 3x + 0

A x B =-10x6+ 33x4- 2x3- 27x2+ 3x

Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. As es ms fcil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recin aprende el tema, pero luego cuando se tiene ms prctica se preferir no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicacin sin completar los polinomios.En el resultado final ya no se ponen los trminos con 0.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Multiplicacin de polinomios incompletos; sin completarlos, pero s ordenndolos)

A = -9x2+ x + 5x4B = 3 - 2x2

5x4- 9x2+ x(polinomio A incompleto pero ordenado)

X -2x2+ 3(polinomio B incompleto pero ordenado) _____________________15x4 - 27x2+ 3x

-10x6+ 18x4- 2x3____________________________ -10x6+ 33x4- 2x3- 27x2+ 3x

A x B =-10x6+ 33x4- 2x3- 27x2+ 3x

En el resultado de multiplicar por el 3 no hay trmino con grado 3. Y en el resultado de multiplicar por -2x2, no hay trmino de grado 2. Eso obliga a que, para que queden encolumnados los trminos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en dnde ubicar cada trmino. En ese caso es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos polinomios para que todos los trminos vayan saliendo en orden y no haya qu pensar en dnde ponerlos.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5:(Multiplicacin de polinomios de varias letras)

A = -3x2y3+ 4 - 7x2y2- 6x3y3B =5x4y + 8x- 2x3y - 10

A x B = (-3x2y3+ 4 - 7x2y2- 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =

-15x6y4- 24x3y3+ 6x5y4+ 30x2y3+ 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3- 56x3y2+ 14x5y3+ 70x2y2- 30x7y4- 48x4y3+ 12x6y4+ 60x3y3=

-15x6y4+ 12x6y4-24x3y3+ 60x3y3+ 6x5y4+ 30x2y3+ 20x4y + 32x- 8x3y - 40 - 35x6y3- 56x3y2+ 14x5y3+ 70x2y2- 30x7y4- 48x4y3+ 12x6y4=

-3x6y4+36x3y3+ 6x5y4+ 30x2y3+ 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3- 56x3y2+ 28x5y3+ 70x2y2- 30x7y4- 48x4y3+ 12x6y4

Cuando los polinomios tienen varias letras, no es prctico usar el procedimiento de ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo rengln" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicacin de los trminos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los trminos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos trminos semejantes: -24x3y3con 60x3y3. Los dems quedan como estn.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6:(Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo)

A = -9x2+ x + 5x4B = 3 - 2x2

5x4+ 0x3- 9x2+ x + 0(polinomio A completo y ordenado)

X -2x2+ 3(polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4+ 0x3- 27x2+ 3x + 0

-10x6+ 0x5+ 18x4- 2x3+ 0x2________________________________________-10x6+ 0x5+ 33x4- 2x3- 27x2+ 3x + 0

A x B =-10x6+ 33x4- 2x3- 27x2+ 3x

Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2debajo del -27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el trmino de grado x. Todo lo dems sali ordenado por grado.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7:(Sin ordenar ni completar)

A = -9x2+ x + 5x4B = 3 - 2x2

9x2+ x+5x4(polinomio A incompleto y desordenado)

X3 - 2x2(polinomio B incompleto y desordenado) __________________________- 10x6 + 18x4- 2x3

+ 15x4 - 27x2 + 3x_________________________________________ - 10x6 + 33x4- 2x3 - 27x2+ 3x

A x B =- 10x6 + 33x4- 2x3 - 27x2+ 3x

Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando ms o menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas ms para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo trmino, para los grados intermedios que faltan. As quedan ms o menos acomodados, para que en la prxima fila podamos poner los resultados debajo en la columna correspondiente.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 7

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIN

Cmo se multiplican los polinomios?

Multiplicando todos los trminos de uno de ellos por todos los trminos del otro. Se aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicacin y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:

(x + 5).(x - 3) es una multiplicacin de dos polinomios de grado 1

2x.(x + 1) es una multiplicacin de dos polinomios de grado 1

Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que haba que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada trmino de una expresin con cada trmino de la otra:

(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2- 3x + 5x - 15 =

Y luego "juntar las x con las x, los nmeros con los nmeros, las x2con las x2...". "Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los nmeros que tienen delante". En este ejemplo slo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro nmero no hay, queda -15. Y como otra x2no hay, queda x2. Eso de juntar se ve tambin la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los nmeros con los nmeros..." es en realidad "sumar los trminos semejantes o de igual grado". (ver:suma de polinomios)

= x2+ 2x - 15

Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la multiplicacin con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se haca en las ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener muchos trminos. Por ejemplo:

A =-9x3+ x + 4x5B = 3x2+ 2x4- 8 - x3 + 5x

(-9x3- x + 4x5).(3x2+ 2x4- 8 - x3 + 5x) =

Se trata, como antes, de multiplicar cada trmino de uno por todos los trminos del otro. Eso es aplicar la propiedad distributiva. Las multiplicaciones que hay que hacer son:

(-9x3).(+3x2) = -27x5 (cmo se hacen estas multiplicaciones?) (por qu +3, si no tena el +?)

(-9x3).(+2x4) = -18x7

(-9x3).(-8)= +72x3

(-9x3).(-x3) = +9x6

(-9x3).(+5x)= -45x4

(-x).(+3x2) = -3x3

(-x).(+2x4) = -2x5

(-x).(-8) = +8x

(-x).(-x3) = +x4

(-x).(+5x) = -5x2

(+3x5).(+3x2) = +9x7

(+3x5).(+2x4) = +6x9

(+3x5).(-8) = -24x5

(+3x5).(-x3) = -3x8

(+3x5).(+5x) = +15x6

(cmo se hacen esas multiplicaciones, paso por paso?)

Luego, el resultado de la multiplicacin lo forman todos esos trminos:

-27x5- 18x6+ 72x3+ 9x6- 45x4- 3x3- 2x5+ 8x + x4- 5x2+ 9x7+ 6x9- 24x5- 3x8+ 15x6=Pero quedaron trminos del mismo grado, o "semejantes", entonces se los puede "juntar" (es decir, "sumar" sus coeficientes), para que quede un solo trmino de cada grado. Eso ya se vi en la suma de polinomios (ver). Primero voy a hacer un paso donde cambio el orden de los trminos para que se vean juntos los que se pueden "juntar":

-27x5- 24x5- 2x5- 18x6+ 9x6+ 15x6+ 72x3- 3x3- 45x4+ x4+ 8x - 5x2+ 9x7+ 6x9- 3x8=

Finalmente reduzco a un solo trmino de cada grado, sumando sus coeficientes, como ya se vi en la suma de polinomios:

-53x5+6x6+69x3-44x4+ 8x - x2+ 9x7+ 6x9- 3x8

porque:

-27 - 24 - 2 = -53

-18 + 9 + 15 = 6

72 - 3 = 69

-45 + 1 = -44

Multiplicacin en columnas

Pero cuando empezamos a estudiar el tema "Operaciones con polinomios", nos ensean a multiplicar poniendo un polinomio sobre otro (igual que la suma y la resta). Y parece que estamos haciendo algo distinto, pero es lo mismo: estamos aplicando la Propiedad distributiva. Solamente que tenemos que aprender a ordenar los resultados en columnas, pues as quieren que hagamos las multiplicaciones en un principio (ms adelante es nuestra opcin hacerlas como queramos). Entonces veamos un poco cmo es ese procedimiento:

1) Poner un polinomio sobre otro (opcional ordenarlos y/o completarlos)2) Multiplicar cada trmino del polinomio de abajo por todos los trminos del polinomio de arriba. Es como en la multiplicacin de nmeros naturales de muchas cifras: Cada trmino se multiplica por todo, y se van poniendo los resultados en filas. Luego, se suman todas las filas.3) Sumar las filas (es una suma de polinomios).

Pero para sumarlos con comodidad, hay que poner a los trminos de igual grado en la misma columna. Como los polinomios muchas veces vienen incompletos y/o desordenados, los resultados no van saliendo en orden de grado, as que hay que ir acomodndolos a medida que salen. Si esto resulta inconveniente, es mejor completar y ordenar ambos polinomios, y as los resultados salen en orden y no hay que pensar en qu columna ponerlos o dejar lugar para los grados que una fila tendr y otra no. En caso de recurrir a este mtodo, el primer paso sera ordenar y completar los polinomios (cmo se hace?). Ahora muestro un ejemplo de lo que pasa si no se ordenan y/o completan:

3x - 2x3X 5x2+ 1 ___________ 3x - 2x315x3- 10x5_______________

Pero las x3hay que sumarlas entre s, y quedaron en distintas columnas. Por otro lado las x no se suman con las x5, y quedaron en la misma columna. Entonces, voy a tener que borrar y acomodarlos para que quede as:

3x - 2x3X 5x2+ 4 ___________12x - 8x3- 10x5+ 15x3________________

Para no tener esa molestia, o para no confundirse, muchos prefieren ordenar y hasta completar ambos polinomios. As, los resultados van saliendo en el orden que corresponde:

-2x3+ 0x2+ 3x + 0x 5x2+ 0x + 4______________________________ -8x3+ 0x2+ 12x + 0 0x4+ 0x3+ 0x2+ 0x-10x5+ 0x4+ 15x3+ 0x2______________________________

En las explicaciones delEJEMPLO 2y elEJEMPLO 3se puede ver paso por paso cmo van saliendo en orden los trminos. En elEJEMPLO 4yEJEMPLO 6se muestra tambin cmo sera si se ordenan pero no se completan los polinomios, o si se completa solamente "el de arriba". Algunos prefieren no completar el segundo polinomio, pues no necesitan hacer esa multiplicacin por 0, sino que se dan cuenta de que simplemente se tienen que saltear una columna para empezar la siguiente fila. Cada uno elije la manera que mejor le queda, o incluso se puede empezar haciendo todo completo, hasta que luego con la prctica se adquiere la pericia para acomodar los resultados sin necesidad de completar, ni incluso de ordenar a los polinomios. Eso se muestra en elEJEMPLO 7.

Luego hay que sumar las filas, cada una de las cuales es un polinomio. As que es una suma de polinomios, algo que ya se aprendi antes de ver multiplicacin: Hay que sumar los trminos de igual grado, o "semejantes".

Ejemplo ordenado y completo:

2x3+ 0x2+ 3x + 0x 5x2+ 0x + 4______________________________ -8x3+ 0x2+ 12x + 0 0x4+ 0x3+ 0x2+ 0x-10x5+ 0x4+ 15x3+ 0x2______________________________-10x5+ 0x4+ 7x3+ 0x2+ 12x + 0

Pero los trminos con cero se pueden quitar, as que el resultado es:10x5+ 7x3+ 12x

El mismo ejemplo, sin ordenar ni completar:

3x - 2x3X 5x2+ 4 _____________ 12x - 8x3- 10x5+ 15x3________________-10x5+ 12x + 7x3

Cmo se hacen las multiplicaciones entre los trminos?

Son multiplicaciones entre "monomios" ("polinomio de un solo trmino"). Cuando tienen que multiplicar dos monomios, pueden pensar as: "El nmero se multiplica por el nmero(con o sin signo?); las letras iguales se multiplican entre s sumando sus exponentes, por laPropiedad de las potencias de igual base; y los signos se multiplican entre s por la regla de los signos".

El signo de un trmino en un polinomio es el signo que lleva adelante. Por ejemplo, en el polinomio:

3x2+ 2x4- x3

El signo del segundo trmino es +, porque 2x4est sumando.El signo del tercer trmino es -, porque la x3est restando.El signo del primer trmino es +, porque 3x2no tiene ningn signo delante, entonces hay que asumir que tiene un signo +, pues el + del primer trmino no se pone, el cambio el - s.

(justificacin de por qu se multlica "nmero con nmero y letra con letra igual")

Ejemplos de multiplicaciones entre monomios:

(-9x3).(+3x2) =-27x5

Porque:

"menos por ms, d menos (-)"9.3 =27x3.x2= x3+2=x5

De esas tres cosas sale el resultado:-27x5

O, si prefieren multiplicar a los nmeros con su signo, sera as:

-9.(+3) =-27x3.x2= x3+2= x5

Otro ejemplo:

(-9x3).(+2x4) =-18x7

"menos por ms, d menos (-)"9.2 =18x3.x4= x3+4=x7

Casos particulares:

1) Trmino sin letra:

(-9x3).(-8)=+72x3

"Como a x3no se la multiplica por otra x, queda x3".

"menos por menos, d ms (+)"9.8 =72x3queda igual. Se podra pensar que -8 es un trmino de grado cero, entonces la x est elevada a la potencia cero, ya que -8 es igual a -8x0(ms sobre esto). Y bueno, si se multiplica a x3, por x0, pasa esto: x3.x0= x3+0= x3. Es decir, es lo mismo que no multiplicarla por nada, pues x0es igual a 1, como cualquier cosa que se eleva a la potencia cero.

2) Trmino sin nmero:

(-9x3).(-x3) =+9x6

"Como el nmero no se multiplica por nada, queda el mismo nmero".

"menos por menos, d ms (+)"El9queda igual. Se podra pensar que "hay un 1" delante de la x3, ya que x3es igual a 1.x3, porque el 1 es neutro de la multiplicacin. Y bueno, si se multiplica 9.1 = 9, como cualquier cosa que se multiplica por 1: d la misma cosa.x3.x3= x3+3=x6

3) Letra sin exponente:

(-2x).(+3x4) =-6x5

Aunque la x del primer trmino no tenga exponente, hay que recordar que est elevada a la potencia 1, ya que x1es igual a x. As que el exponente que se suma es 1.

"menos por ms, d menos (-)"2.3 =6x.x4= x1+4=x5

4) Trmino sin signo:

(3x5).(-8x2) =-24x7

Si el trmino no tiene signo es porque era el primero del polinomio y hay que asumir que tiene un signo ms. 3x5es lo mismo que +3x5, ya que cuando el primer trmino es positivo, el signo + no se pone, en cambio cuando es negativo, el signo - s se pone.

"ms por menos, d menos (-)"3.8 =24x5.x2= x5+2=x7

Tomando al nmero con el signo:

En vez de pensar en multiplicar 3 cosas: signo - nmero - letra (lo cual expliqu as porque algunos lo prefieren, ya que visualizan al signo del trmino como un signo de operacin y no del nmero), se puede pensar pensar en multiplicar 2 cosas: el nmero con su signo (el signo que tiene delante) y la letra. Entonces sera as:

(-9x3).(+3x2) =-27x5

Los nmeros con su signo son -9 y +3, as que hay que multiplicar:

-9.(+3) =-27

Luego las letras, igual que antes:

x3.x2= x3+2=x5

Por qu pongo "sumar" entre comillas?

Cuando digo que se "suman" los coeficientes, hablo de suma de nmeros positivos o negativos, lo cual algunos pueden interpretar como una resta. Por ejemplo:

5x - 3x

Alguien puede pensar que ah hay que restar, no sumar. Pero en realidad eso es una suma de los nmeros enteros 5 y -3:

5 + (-3) =

Pero en esa "suma", para hallar el "valor" del resultado hay que restar los "valores absolutos" (sin los signos, como nmeros naturales) de los nmeros:

5 - 3 = 2.

Aclaro esto para que no se tome como regla que, para sumar trminos del mismo grado, hay siempre que "sumar" los "valores" de los nmeros. Lo que hay que sumar son los nmeros con su signo, por lo que al ser alguno de ellos negativo puede que en realidad haya que "restar" los valores absolutos de los nmeros.