Ondas sísmicas en tiempo y frecuencia

• La forma digital de la onda sísmica es una serie en tiempo que puede ser descrita completamente como la suma discreta de un numero de sinusoides –cada una de las cuales tiene un valor de amplitud, frecuencia y fase.

Onda sísmica= # de senoidales de diferente frecuencia, fase y amplitud

Experimento

• Dos resortes de diferente K

1

2

1

frequency=1/Period

Conclusiones del experimento

• 1) el movimiento de un resorte (onda sísmica) puede ser descrito por una funcion senoidal en tiempo

• 2) Una representación mas completa del movimiento del resorte ( onda sísmica) es dado por su frecuencia amplitud y fase.

• Es decir el movimiento puede ser descrito en tiempo y frecuencia

Ahora imaginemos varios resortes de diferente k que tienen diferentes amplitudes, frecuencias y fases

• El análisis de la traza sísmica en sus componentes senoidales es alcanzado por la TRANSFORMADA DIRECTA DE FOURIER

• Por otro lado la sintetización de la traza sísmica desde las componentes senoidales individuales es logrado mediante la TRANSFORMADA DE FOURIER INVERSA

• Máximos picos en amplitud donde existe senoidales con mayor amplitud

Fase cero

• Siguiendo el pico P se puede ver que varia en valores menores que 0 a frecuencias bajas y mayores que 0 a frecuencias altas

Transformada de fourier • Dada una función continua x (t ) de una sola variable t, su

transformada de Fourier se define por la integral

Si t significa tiempo, entonces ω es la frecuencia angular. la f frecuencia temporal está relacionado con la frecuencia angular ω por ω = 2πf .

• La transformada de Fourier es reversible ; es decir, dado X ( ω ) , la función de tiempo correspondiente es

• Generalmente , X ( ω ) es una función compleja . Mediante el uso de las propiedades de las funciones complejas , X ( ω ) se expresa como otras dos funciones de la frecuencia

• donde A ( ω ) y φ ( ω ) son los espectros de amplitud y fase , respectivamente. Ellos se calculan las siguientes ecuaciones:

• donde Xr ( ω ) y Xi ( ω ) son las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier X (ω). Cuando X ( ω ) se expresa en términos de sus componentes real e imaginaria

• Uno es el espectro de amplitud y el otro es el espectro de fase

Señal analógica vs Señal digital

• La señal sisma es una función en tiempo continua. En el grabado digital la señal sísmica continua es grabada a una tasa constate llamada Tasa de muestreo. Valores típicos de la tasa de muestreo están entre 1 a 4 ms. Estudios de alta resolución están muestreados en intervalos de 0.25 ms

• Los puntos representan la medición discreta de la señal continua.

• La reconstrucción de la señal lleva a omitir eventos de alta frecuencia

Nyquist frequency • La máxima frecuencia que puede ser recuperada a un

intervalo de muestreo Δt esta dada por :

• Para una señal con Δt= 2 ms, fNyq=250Hz • Para una señal con Δt= 4 ms, fNyq=125Hz • Para una señal con Δt= 8 ms, fNyq=62.5Hz Perdida de las altas frecuencias a mayor intervalo de muestreo

Interpolación del sampleo

Aliasing de la frecuencia 25 Hz

Aliasing de la frecuencia

75 Hz

Aliasing de la frecuencia

150 Hz

• Usando una senoidal de una sola frecuencia, vemos que las frecuencias arriba de le frecuencia de Nyquist no se pierden pero aparecen a frecuencias menores de la Nyquist

real: 25 y 75 Hz

Aliased : 25 y 50 Hz

Solución al aliasing de frecuencia

• Para mantener el ancho de banda recobrable entre 0 Hz y la frecuencia de Nyquist, un filtro de alta (high cut filter) debe ser aplicado a la señal antes de ser convertida de analógica a digital. Normalmente el filtro de alta aplicado será de 1/3 a ½ de la frecuencia de Nyquist

High-cut filter

Consideraciones de fase

Aplicando la transformada inversa de Fourier podemos sintetizar las series de tiempo con fase cero. Al final la señal sísmica tendrá fase 0 (wavelet o ondicula )

Wavelet

• Usualmente es considerada una señal transiente (que tiene una duración finita). Tiene un tiempo de inicio y uno final con su energía acumulada en este intervalo.

• Si a cada una de las componentes de la señal las variamos en 90 grados la ondicula se transformara será anti simétrica.

Consideraciones de fase

• Una ondicula en fase cero puede ser modificada simplemente cambiando el espectro de fase

Convención de representación

Para interpretar es mucho mas simple hacerlo en Fase 0

Operaciones en tiempo • Convolución: Supongamos las reflectividades de una

porción del subsuelo representado por la serie en tiempo (1,0,1/2). También consideremos el impulso producido por una fuente explosiva que tiene una amplitud 1 al tiempo 0. La respuesta de la refelctividad al impulso (1, 0 ,½, 0)

• puede ser calculado por la Convolución de la reflectividad y del impulso de la fuente

Operaciones en tiempo

• Supongamos la misma reflectividad pero ahora una fuente implosiva que produce 1 seg después una onda de amplitud -1/2

• Usando el principio de superposición ya que una fuente siempre produce un efecto explosivo e implosivo se suman las dos series de tiempo de la fuente . Donde la respuesta de la reflectividad

compuesta esta definida por ( 1.-1/2,1/2,-1/2)

Convolución

Convolucion

Operaciones en tiempo Convolución

Cros correlación: Medida de la similaridad de dos ondas

Auto correlación: Correlación de la misma onda

Operaciones en tiempo

Cros correlación

• La máxima correlación esta 6 y al mismo tiempo nos esta diciendo que 2 es el numero de espacios que debe moverse la una ondicula 2 para ser similar a la otra

• Chequear el proceso de Auto correlación

• Yilmaz, Öz, 2001, Seismic Data Analysis, Processing, Inversion, and Interpretation

of Seismic Data, Volumes I and II, Society of Exploration Geophysics, Tulsa, OK. capitulo 1

• Verificar la commutividad de la Cross correlación