ondas anualultimo

ONDAS MECANICAS

IntroduccionEstamos rodeados de Ondas entreellas el sonido, la luz , las ondas deradio, las olas de mar, los sismos,al agitar la cuerda de una Guitarra,en todos ellos se encuentra algo decomun es el movimiento oscilatorio.

El sonido de la guitarra son ondas mecánicas

¿Que es una onda?Para entender que es una onda, estu-diemos lo que sucede al caer gotas deagua en un estanque.

Al caer la gota de agua perturba al medio.

Las gotas perturban (altera) a algu-nas partıculas de agua haciendolasoscilar. Esta oscilacion se trasmitepartıcula a partıcula.

Una onda es la propagacion de unaperturbacion en forma de oscilaciones

Propiedades de la ondas

X Una onda mecanica requiere de unmedio sustancial para propagarse.

X Las ondas transportan energıa ycantidad de movimiento.

X Las ondas no arrastran masa.

Las olas no arrastran a la boya

Clasificacion de las Ondas

1. Por su naturaleza

♦ Ondas Mecanicas: Son aquellas quese propagan en un medio sustancial.

♦ Ondas Electromagneticas: Sonaquellas que se propagan en el cam-po electromagnetico.

2. Por la direccion de laoscilacion y la velocidad.

♦ Ondas Transversales: Se caracteri-zan por que la oscilacion del medioes perpendicular a la velocidad dela onda.

♦ Ondas Longitudinales: Se caracteri-zan por que las partıculas del mediooscilan en una direccion paralela ala velocidad de propagacion de laonda.

Academia Cesar Vallejo Fısica

Rapidez de propagacion (v)Consideremos la onda generada enuna cuerda

t=0

En un tiempo igual al periodo la ondarecorre una longitud de Onda, enton-ces

v =λ

T, se sabe: f =

1T

Luego

vonda = λf

Caracterısticas

X La velocidad de propagacion depen-de de las propiedades del medio.

X En relacion con la rapidez con laque cada partıcula del medio es ca-paz de transmitir la perturbacion asu companera.

X En los medios mas densos las veloci-dades son mayores que en los Menosdensos.

Resolucion 1Piden la rapidez de la onda.En un medio homogeneo

v =d

t· · · (I)

Segun la informacion el punto P em-plea 0, 5 s en pasar por su posicionde equilibrio.Observe en la figura queeste tiempo es igual a un cuarto delperiodo y en este tiempo la onda sedesplaza un cuarto de la longitud deonda.

P80cm

l=160 cm

T/4

v

P

l/4

t

Del grafico: λ = 160 cm

⇒ d =λ

4= 40cm

En(I)

v =400, 5

= 80cm

sRpta.

Rapidez en una cuerda (v)

Considerando una cuerda que se tensacon una fuerza

−→T y luego en un tiem-

po pequeno ∆t lo desplazamos verti-calmente mediante una fuerza

−→F y. En

este tiempo pequeno se puede consi-derar que las partıculas perturbadaspresentan la misma rapidez (vy)

2

Ciclo anual Ondas mecanicas

T

Fyq vy

vy ( )Dt

vOnda

( )Dt

parteperturbada

parte sin perturbar

: Rapidez de las partículasque forman la cuerda

q

Impulso-Cantidad de movimiento

En Y:−→I y = −→p Fy −−→p Oy

Luego

Iy = Fy(∆t) = mvy . . . (I)

m: masa de la parte perturbada de lacuerda

De la figura

tan θ =vy(∆t)

vonda(∆t)=

Fy

T

⇒ Fy = T (vy

vonda) . . . (II)

Como

µ =m

L=

m

vonda(∆t)

⇒ m = µvonda∆t . . . (III)

Reemplazando (II) y (III) en (I)

T (vy

vonda)∆t = (µvonda∆t)vy

vonda =√

T

µ

Donde:T: tension(N)µ: Densidad lineal(Kg/m).

Resolucion 2Piden V2

La rapidez de una onda en una cuer-da se determina segun

v =

√T l

m

L

F

R

v =5m/s1

2L

F

2R

v =?2

Primer caso

Segundo caso

⇒ v2 =√

2LF

m2y v1 =

√LF

m1

Luego

v2

v1=

√2m1

m2· · · (I)

Como las cuerdas son del mismo ma-terial tienen la misma densidad, luego

ρ =m1

V1=

m2

V2

ρ =m1

(πR2)(L)=

m2

π(2R)2(2L)

⇒ m2 = 8 m1

En (I)

v2

5=

√2 m1

8 m1

∴ v2 = 2, 5 m/s

3


FUNCION DE ONDA

Es una expresion matematica que re-presenta la ley del movimiento detodas las partıculas del medio.Consideremos una onda transversalarmonica y plana que se genera enuna cuerda tensa.

t

t1

X 1

X

t'

t=0X

X

Y

Y

Y1

v

La ecuacion para la partıcula que seencuentra en x = 0, es

Yo = A sen(ωt)

Para x = x1 es

Y1 = A sen(ωt∗)

Observe que x1 oscila con retardo t1,respecto de la partıcula ubicada enx = 0, entonces

t∗ = t− t1, donde t1 =x1

v

Luego

Y1 = A sen ω(t− x1

v)

Para una partıcula ubicada en la laposicion x

Y = A sen ω(t− x

v)

Pero: v = λf , ω =2π

T

Y = A sen2π

T(t− T

x

λ)

En general

Y = A sen[2π(t

T± x

λ) + φ]

Donde(−): la onda viaja a la derecha(+): la onda viaja a izquierda

Resolucion 3Piden

−→V y

−→Y , para

−→X = +

λ

2; t =

T

2Segun la ecuacion dada

−→Y = 8 sen π(16t− 20x +

12)cm . . . (I)

De la ecuacion general

−→Y = A sen[2π(

t

T± x

λ) + φ]

Dando forma a la ecuacion (I)

−→Y = 8 sen[2π(8t− 10x) +

π

2]cm

Luego identificamos los terminos

A = 8 cm ; 8t =t

T⇒ T =

18

s

(−): La onda viaja a la derecha (+~i)

x

λ= 10x ⇒ λ =

110

m

La fase inicial es φ =π

2

Calculo de la rapidez de la onda

v =λ

T=

1/101/8

= 0, 8 m/s

⇒ ~v = + 0, 8 ~i m/s

4


Calculo de la posicion Y

Construyendo la grafica para t = 0 yt = T/4

En la grafica se observa que para

t = T/4 ;−→X =

λ

4:−→Y = + 8 cm

Problema 4

Determine la funcion de la onda y larapidez de la partıcula que oscila entorno a x=0.

vo=velocidad de la onda mecanica

+10

-10

0,6

x(m)

y(cm)8m/s

j

l

como la funcion de onda es:

~Y = Asen2π

(t

T± x

λ+

ϕ

2π

)

del grafico: A=10cm=0,1m

Podemos observar que:

3λ

4= 0,6 ⇒ λ = 0,8m

para calcular el periodo T del dato:vo = 8m/s

vo = λf = λ1T

8 =0,8T⇒ T = 0,1s

para hallar el angulo de fase ϕ de-bemos de examinar la partıcula queoscila en el eje Y en x=0 y apoyarnosen la “supuesta”partıcula que realizaMCU cuya proyeccion nos indica laubicacion de la partıcula que oscila.Entonces midiendo el angulo en sen-tido antihorario desde la posicion deequilibrio.

ϕ =π

2rad

reemplazando los valores obtenidosen la funcion de onda

~Y = 0,1sen2π

(10t− 5x

4+

14

)

el signo (-) nos indica que la onda sepropaga hacia la derecha.

Potencia media de la onda

La onda mecanica al propagarse, enun intervalo de tiempo (∆t), transfie-re energıa a las partıculas del medioque en la figura forman una masa pe-quena(∆m).

vDx

A B

vosc

Dm

Dt

BA

5


La potencia media de la onda es

Pm =Etrans

∆t· · · (I)

La energıa ganada por la masa pe-quena (∆m)en un tiempo ∆t es iguala la energıa cinetica que presenta es-ta masa pequena cuando se encuentraen la posicion de equilibrio. Se con-sidera que las partıculas que formanesta masa pequena presenta la mismarapidez maxima (ωA).

Etrans = EC =12(∆m)(ωA)2

Tambien

∆m = µ(∆x); ω2A2 = 4π2f2A2

⇒ EC = 2(µ∆x)π2f2A2

EN (I)

Pm = 2µ (∆x

∆t)

︸︷︷︸vonda

π2f2A2

Finalmente

Pm = 2π2µvondaf2A2

Problema 5

Piden la potencia transmitida.

y(cm)

x(m)

-10

10

-0,4-0,8

l

2

la potencia transmitida por la onda es

Pm = 2π2µvondaf2A2 . . . (I)

De: µ =m

L=

26,4

kg

m

en una cuerda tensa

vo =√

T

µ=

√80

1/3,2

vo = 16m/s

ademas: vo = λf ...(α)

del grafico :λ

2= 0,4 ⇒ λ = 0,8m

En (α) : 16 = 0,8f ⇒ f = 20Hz

Tambien: A = 0, 1 m

En (I)

Pm = 2π2(2

6,4)(16)(20)2/(0, 1)2

∴ P = 40π2W

FENOMENOS ONDULATORIOS

REFLEXIONLa onda al incidir en un medio dife-rente al de su propagacion rebota sincambiar de rapidez. Entonces la ondaha experimentado reflexion

i R

normal

Rayo

incidente

Rayo

reflejado

Leyes:

♦ El rayo incidente, el rayo reflejado yla normal se encuentran en un mis-mo plano.

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♦ El angulo de incidencia es igual elangulo de reflexion(i = r).

REFRACCIONLa onda al pasar de un medio a otrocambia su velocidad. A este fenomenose le denomina refraccion.

Rayorefractado

Rayoincidente

Rayoreflejadoi R

r

normal

medio1

medio2

v1

v2

Leyes:

♦ El rayo incidente, el rayo refracta-do y la normal se encuentran en unmismo plano.

♦ Ley de Snell

sen i

sen r=

v1

v2

Problema 1

Pidenλr

λR, donde

λr= longitud de onda reflejada

λR= longitud de onda refractada

37º

onda

incidente

onda

reflejada

onda

refractada

r

^R

interfazMedio 1

Medio 2

v1

v2

Para la refraccion aplicando la ley deSnell

sen i

sen R=

v1

v2=

λif

λRf

tener presente que cuando se pasa deun medio a otro la frecuencia es cons-tante

sen 37o

sen 53o=

λi

λR⇒ λi

λR=

34

Ademas en la reflexion i = r debidoa que la onda se propaga en el mis-mo medio por lo que vi = vr, entonces

λr

λR=

34

DIFRACCIONEste fenomeno consiste en que unaonda bordee un obstaculo u orificiodesviando su propagacion rectilınea.

En la figura la onda plana formada enun liquido al pasar por el agujero lorodea formandose ondas circulares.Este fenomeno se percibe cuando lalongitud de onda es comparable conel tamano de los obstaculos.La ondas sonoras frecuentemente ex-perimentan difraccion ya que su lon-gitud de onda es comparable con eltamano de los obstaculos.

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INTERFERENCIAFenomeno donde las ondas se super-ponen permanentemente dando comoresultado perturbaciones mas inten-sas (interferencia constructiva) o masdebiles(interferencia destructiva).

En la figura anterior se muestra unpatron de interferencia de ondas cir-culares en la superficie de agua.

Interferencia constructiva

onda1

onda2

Se tiene una interferencia constructi-va cuando las ondas que se superpo-nen se encuentran en fase. El resulta-do es una onda de mayor amplitud.

Interferencia destructiva

Onda 1

Onda 2

Se tiene interferencia destructivacuando las ondas estan defasadas en180◦

ONDAS ESTACIONARIASEs el resultado de la interferenciaconstructiva y destructiva de dos omas ondas. En la onda estacionariaexisten partıculas del medio cuya am-plitud resultante en forma permanen-te es nula, dando la impresion que laonda se mantiene fija.

Funcion de onda estacionariaConsiderando una onda que viaja a laderecha y luego se refleja , entonces lasuperposicion de estas ondas sera unaonda estacionaria.Onda que viaja a la derecha

−→Y 1 = Asen(kx− wt)

Onda que viaja a la izquierda

−→Y 2 = Asen(wt + kx)

La ecuacion sera

−→Y = Asen(kx−wt) + Asen(wt + kx)

El resultado es

−→Y = 2A sen(

2πx

λ) cos(

2πt

T)

Donde la amplitud es

AR = 2A sen(2πx

λ)

AR = 0, para x = 0;λ

2; λ;

3λ

2..

Estos puntos no oscilan.

8


En general los puntos que no oscilan(nodos) son los que se encuentran en

x = 2nλ

4

Donde n: 1, 2, 3, 4,...

Problema 2La funcion de la onda estacionaria es

−→Y = 0, 4 sen(πx) cos(

πt

10)m

Ademas se tiene el perfil de la ondapara t = 0

(I) Verdadera

De la ecuacion de la amplitud

AR = 0, 4 sen(πx)︸︷︷︸max=1

(II) Verdadera

q es un nodo, y se ubica en

X =λ

2= 2 (1)︸︷︷︸

n

λ

4

(III) Verdadera

r, se ubica en x = 1, 25m =54m

En la ecuacion de la amplitud

AR = 0, 4 sen(5π

4) = |0, 2

√2|m

(IV) Verdadero

En la funcion de onda, t = 5s

−→Y = 0, 4 sen(πx) cos(

5π

10) = 0

Respuesta:VVVV

Frecuencias de las OndasestacionariasLas ondas estacionarias no se produ-cen a cualquier frecuencia, sino a cier-tas frecuencias llamados armonicos.Veamos como se obtienen estas fre-cuencias.

L= 1(l/2)

L=2( l/2)

L=3( l/2)

Primerarmónico

Segundoarmónico

Tercerarmónico

En la figura para el enesimo armonicose tiene

L =n

2λ ⇒ λ =

2L

n· · · (I)

En una cuerda

vonda = λf =√

T

µ

De (I)

vonda = (2L

n)f =

√T

µ

Finalmente

f =n

2L

√T

µ

Para n=1, se tiene la frecuenciafundamental(fo).

Problema 3Piden f, para el segundo armonico

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(n = 2) cuando la tension se a dupli-cado (T2 = 2To)Dato: fo = 100hzReemplazando en la ecuacion de lafrecuencia

f =2

2L

√2To

µ= (2

√2)

12L

√To

µ︸︷︷︸

fo

f = (2√

2)100 = 282Hz

INTENSIDAD DEL SONIDO

El nivel de la transferencia de laenergıa se expresa en terminos de laintensidad, que es la energıa trans-portada por unidad de tiempo atraves de una unidad de area. Comoenergıa/tiempo es potencia, la inten-sidad es potencia/area.Por ejemplo si consideramos unafuente de sonido puntual, que da ori-gen a ondas esfericas, la intensidad delsonido a una distancia R es.

I =P

A=

P

4πR2

Debido a que la intensidad decreceen un factor de 1/R2, al duplicar ladistancia, la intensidad decrece a lacuarta parte de su valor original.La intensidad del sonido es percibidopor el oıdo como un volumen.En promedio el oıdo humano puededetectar ondas sonoras (a 1 kHZ)con una intensidad tan baja como10−12 W/m2. A esta intensidad sele conoce como umbral de audicion.A medida que la intensidad aumen-ta, el sonido percibido se hace masfuerte. A una intensidad de 1 W/m2

el sonido es demasiado fuerte. Den-tro de este enorme intervalo, el nivelpercibido no es directamente propor-cional a la intensidad. Es convenientecomprimir el intervalo tan grande deintensidades del sonido mediante unabase logarıtmica (base 10)La intensidad se mide en una escalalogarıtmica denominada escala de-cibelica (dB)

β = 10 logI

Io

donde: Io = 10−12 W/m2

Resolucion 4Piden β2 =?, para d = 2rCondicion: β1 = 80 dB, para d = r

β2, se determina segun

β2 = 10 logI2

Io· · · (I)

Se requiere I2

10


se sabe: I =P

A⇒ P = I(4πr2)

Considerando que la potencia de lafuente es constante

⇒ P = I1(4πr21) = I2(4πr2

2)

Reemplazando

I1(πr2) = I2π(2r)2

⇒ I1 = 4 I2 . . . (II)

De: β1 = 10 log(I1

Io)

Reemplazando

80 = 10 log(I1

10−12)

I1

10−12= 108

∴ I1 = 10−4 W/m2

En (II): 10−4 = 4I2

∴ I2 = 25(10−6) W/m2

Reemplazando en (I)

β2 = 10 log25(10−6)

10−12

β2 = 10 log 25(106)

β2 = 10(log 25 + log 106)

β2 == 10(1, 4 + 6)

β2 = 74dB

Resolucion 5

Piden el nivel de intensidad paraR = 0, 5 m

Potencia de la fuente: P = 100π(J/s)

Sabemos:β = 10 log(I

Io) . . . (I)

Calculo de I para r = 0, 5 m

I =P

4πr2=

100π

4π(0, 5)2= 100

W

m2

Remmplazando en (I)

β = 10 log(100

10−12)

β = 10 log(1014)

β = 140 dB

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