Números complejos

Los números complejos C solucionan el defecto algebraico de los Reales R de que existan

ecuaciones polinómicas con coeficientes reales

que no tienen soluciones reales.

Ej. x2 + 1 = 0.

N Z Q R C⊂ ⊂ ⊂ ⊂

“Estos números no son nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles”.

“formulam littera i …”

1

Leonhard Euler (1.707 – 1.783)

Con Euler los imaginarios se incorporan definitivamente en la Matemática.(1777)

i2 = -1; introdujo la notación binómica.Demostró que el conjunto de los números “imaginarios” era cerrado para las cuatro operaciones básicas, así como para la potenciación y la radicación.

 

Karl Friedrich Gauss (1777-1855)“Números íntegros complexos”

K. F. Gauss (1831)

A los números enteros se han agregado las fracciones; a las cantidades racionales, las irracionales; a las positivas, las negativas; y a las reales, las imaginarias”.

“¿Qué es un número complejo?” Gauss dio la respuesta satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la interpretación geométrica: x+iy → (x,y).

Representación de un número complejo

Un número complejo puede representarse en forma de:Par ordenado z = (x, y)Forma binomial o rectangular z = x + yi

Ejemplo.

z = (-1, 4)

z = -1 + 4i

i = √-1

Si x= 0, se dice que es un imaginario puro.

Si y= 0, z se comporta como un número real.

z = x + yi

Un número complejo Z se escribe comúnmente como :

NOTACIÓN RECTANGULAR

x se llama la parte real de z: Re(z) := x

y se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=y

El plano complejo

z

x

y

r

Eje real

Eje imaginario

Z = (x,y)

x

y

3

2

Ejemplo:Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo

i23

Conjugado

El conjugado de un número complejo z = x + i y se define como:

iyxz

x

zy

zy

Gráficamente el conjugado es una reflexión respecto al eje real.

22: yxzr

x

yz arctanarg:

El plano complejo

Módulo:

Argumento:

z

x

y

r

Eje real

Eje imaginario

Sea: Z = x+yi

rz Forma polar

z

x

yr

sin

cos

ry

rx

)sin(cos

sincos

irz

irrz

iyxz

sincos irz

rzSea :

FormaTrigonométrica

x

y

iz 11

1

12

1r

4sin

4cos21

iz

2)1()1( 2211 zr

argumento:

4/1

1arctanarg 1

z

Ejemplo:

Escribir el siguiente número complejo z1=1+i, en forma polar y trigonométrica:

módulo:

4/1 2zsolución

Convertir a representación trigonométrica

3 + 2i

–√6 + 4i

–4 – √3i

4 – 3i

Convertir a representación rectangular

8(cos 34º + i sen 34º)

5(cos 142º + i sen 142º)

3.5(cos 245º + i sen 245º)

6(cos 310º + i sen 310º)

Fórmula de Euler

Un número complejo puede ser expresado como sigue:

z = r (cos θ + i sen θ)

Para simplificar se usa la fórmula o identidad de Euler:

ei q = cos θ + i sen θ

El número complejo z puede ser expresado como:

z = r ei q = |z| ei q (Fórmula de Euler)

Potencias de i

..........11

11

84

73

62

51

iiiiii

iiiiii

Al elevar i a las potencias enteras se obtiene:

Observamos que el comportamiento es cíclico, se repite cada cuatro potencias enteras. Es decir i 5, i 6, i 7 e i 8 tendrá los mismos valores, respectivamente.

Regla para calcular in1. Se divide n para 42. El residuo de esta división será el nuevo

exponente de i3. Entonces in=iresiduo 4. Hallamos su valor

Cuando la potencia n > 4, entonces se procede de la siguiente manera para hallar su valor:

Ejemplo para calcular in1. Se divide n para 4

n = 322

Calcular i322

2. Entonces i322 = i2 = -1

3. Calculamos i2 = -1

Ejercicios

Calcule el valor de las siguientes expresiones: i21, i 62, i 91

Solución:

i 21 = i 1 = i

i 62 = i 2 = -1

i 91 = i 3 = -i

Suma y Resta

Suma

)()( 212121 yyixxzz Resta

Sean: 222

111

iyxz

iyxz

Parte real Parte imaginaria

)()( 2121 yyixxz

Ejemplos:

Ejemplo:

iiii 26)35()24( )32()54(

iiii 84)35()24( )32()54(

Producto y División

División

)()( 1221212121 yxyxiyyxxzz Producto

Sean: 222

111

iyxz

iyxz

Parte real Parte imaginaria

Se halla multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador

Dado: Z1=18 + 3i y Z2 = -7 + 2i. Hallar Z1 / Z2

)27)(27(

)27)(318(

z

z

2

1

ii

ii

53

57120

27

)27)(318(22

i--

i--i

ii

iiiiii

223)1012()158(

]2)5(34[]3)5(24[)32)(54(

Dado: Z1 = 4 + 5i y Z2 = 2 + 3i. Hallar Z1*Z2

Multiplicación

)]sin()[cos( 222121 irrzz

Sean los números complejos Z1 y Z2, su producto puede ser encontrado de la siguiente manera:

Z1 Z2 = (r1eiθ1) (r2eiθ2)Z1 Z2 = r1r2ei(θ1 + θ2)

Z1 = r1eiθ1 Z2 = r2eiθ2

División

Sean los números complejos Z1 y Z2, su división puede ser encontrado de la siguiente manera:

Z1/ Z2 = (r1eiθ1) / (r2eiθ2)Z1/ Z2 = (r1/r2)e i (θ1 - θ2)

Z1 = r1eiθ1 Z2 = r2eiθ2

)]sin()[cos( 22

2

1

2

1 ir

r

z

z

Potencia

Sea Z un número complejo y n un numero entero, su potencia puede ser encontrado de la siguiente manera:

Z n = (re i θ) n

Z n = r n e i n θ

Z = r e i θ

]sin[cos ninrz nn

Fórmula de Moivre Potencias enteras de complejos en forma polar:

...,1,0sincos

)2sin()2cos(

)sin()cos(

2sin2cos

sincos

22

11

22

nninrz

irz

irz

irz

irz

nn

)sin()cos(sincos nini n

EjerciciosEncontrar el módulo

i

ii

7

134

3

2

2

35

i

i

ii

ii357

162

Ejercicios

Efectuar las operaciones indicadas

3(cos 30º +isen 30º) · 5(cos 70º +isen 70º)

2(cos 57º +isen 57º) · (–8)(cos 63º +isen 63º)

6(cos 34º +isen 34º) / (–2.5(cos 45º +isen 45º))

9(cos 17º +isen 17º) / 7(cos 123º +isen 123º)