Números Complejos

Presentación 1

Precalculus

Sec. 1.5

Conjuntos núméricos en Álgebra

Los números complejos

Terminología Definición Ejemplos

Número complejo a + bi , donde a y b

son números reales

e i2 = -1

3, 2 + i , -5i

Número imaginario a + bi , donde b≠0, a

y b son números

reales e i2 = -1

3 + 2i , 9i

Número imaginario

puro

bi , donde b≠0 -4i , 3𝑖, −𝑖

Para un número complejo a + bi , llamamos a la parte real y b

la parte imaginaria.

La unidad Imaginaria

• La unidad imaginaria, denotada i , tiene las

propiedades:

i = −1, esto es,

i2 = -1 .

• i NO es un número real. Es una nueva entidad

matemática que nos permite definir el

conjunto de los números complejos.

Operaciones con complejos

• Expresar en la forma a + bi , donde a y b

son números reales.

Operaciones con complejos (cont.)

Operaciones con complejos (cont.)

2 + 3𝑖 2 − 3𝑖 =

e)

f)

Conjugados• Si z = a + bi es un número complejo, entonces

su conjugado, denotado, , es a – bi .

• Sigue que el conjugado de a – bi es

a + bi

Ejemplo: Hallar el conjugado del número complejo:−6 + 10𝑖

2

•−6 +10𝑖

2= −3 + 5𝑖

• Su conjugado es : −3 − 5𝑖

Potencias de i

Primeramente estudiaremos potencias consecutivos de i.

y luego el ciclo se repite.

División de NumerosComplejos

• La división de números complejos implica

utilizar la multiplicación por el conjugado del

denominador para eliminar la parte

imaginaria del denominador.

Expresar en la forma a + bi , donde a y b son

reales.

Expresar en la forma a + bi , donde a y b son números reales

Soluciones complejas

• Si r es un número real positivo, entonces la

ecuación x2 = r tiene dos soluciones en los

números complejos, , donde 𝑥 =

𝑟 se llama la raiz principal.

• Hallar las soluciones de:

𝑥 = ± 𝑟𝑖

𝑥2 + 24 = 0𝑥2 = −24

𝑥 = ± −24

𝑥 = ± 24 𝑖

𝑥 = ± 4 ∙ 6 𝑖

𝑥 = ±2 6 𝑖

𝑥 = 2 6 𝑖 y 𝑥 = −2 6 𝑖

Soluciones complejas (cont.)Ejemplo: Resuelva la ecuación x2 – 2x =-26.Nota que: x2 – 2x + 26 = 0 Como no factoriza, utilizamos la fórmula cuadrática.

Para las soluciones son

En este caso, a = 1, b = -2 y c = 26. Entonces,

b b acx

a

2 4

2

ax bx c 2 0

x

22 2 4 1 26

2 1

(Ecuación cuadrática)

x

22 2 4 1 26

2 1

x

2 4 4 1 26

2

x

2 4 104

2

2 100

2

i2 100

2

i2 10

2i 1 5

El conjunto solución de la ecuación es {1+5i, 1-5i}.

Soluciones complejas de polinomios

• Halle el conjunto solución de la ecuación

Es una ecuación polinomial de grado mayor que 2 que factoriza.

Igualando cada factor a cero tenemos,

3 23 4 0x x x

2 3 4 0x x x

0x 2 3 4 0x xUsaremos la fórmula cuadrática con este factor para hallar los demás ceros.

Cont. ejemplo

Use la fórmula cuadrática para determinar las soluciones imaginarias:

Por lo tanto, el conjunto solución es .

2 3 4 0x x

b b acx

a

2 4

2

Ejemplo

Halle el conjunto solución de la ecuación

Es una ecuación polinómica de grado 3 que factoriza por agrupamiento.

Ahora resolvemos la siguientes ecuaciones:

2x – 3 = 0 4x2 + 1 = 0

La segunda tiene soluciones imaginarias.

3 28 12 2 3 0x x x

22 3 4 1 0x x

Cont. ejemploUse el método de la raíz cuadrada o la fórmula cuadrática para determinar las soluciones imaginarias:

4x2 + 1 = 0

Por lo tanto, el conjunto solución del polinomio es: .

b b acx

a

2 4

2