número e

Número e - Lucas M. Castelo

Número eLucas M. Castelo


Introducción

El número e, también conocido como Número de Euler o Constante de Napier es uno de los números reales más relevantes, considerado como el número del cálculo por excelencia.

Se relaciona con diversos resultados importantes como la derivada de la función exponencial: f(x) = e^x

Su valor aproximado es:e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...


Introducción

Su valor aproximado es:e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...


Descubrimiento

El descubrimiento del número e se le acredita a Jakob Bernoulli, que estudiaba un problema llamado interés compuesto.


Descubrimiento

Si se invierte una Unidad Monetaria con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM.

Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2: 1UM x 0.5 = 1.5 UM 1.5UM x 0.5 = 2.25Que sería igual a:1 UM x 1.50^2 = 2.25 UM.


Descubrimiento

Si dividimos el año en 4 trimestres, se obtienen 1 UM x 1.25^4, y si se reciben los pagos cada mes, 1UM x (1 + 1/12)^12

De esta forma se deduce que si dividieramos el año en n partes, al cabo del año tendríamos


Descubrimiento

Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2.71828... . De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas: este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua.


Definición

e se suele definir como la sumatoria de 1 partido por los factoriales de todos los números enteros a desde el 0 hasta n:

Aunque otra definición habitual es:

ln e = 1


Propiedades

Cálculo:1.La función exponencial f(x) = e^x es la única

función que es su propia derivada y ambas valen 1 para x=0 :


Propiedades Cálculo:2.e es el límite de la sucesión

Aplicando esta propiedad se puede obtener el límite de una función:


Propiedades

Desarrollo decimal: El desarrollo decimal de e es completamente irregular,

pero mediante el uso de fracciones continuas, se puede la fracción normalizada:

Que se escribe como e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ]


Propiedades

Álgebra e es un número Trascendente, ya que no puede

ser obtenido directamente como resolución de una ecuación algebraica.

Es un Irracional

número e

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