no existe un logro que no sea

8/14/2019 No Existe Un Logro Que No Sea

1/37

Leccin 9

Potencias


2/37

Existe un alto

porcentaje depersonas quecreen no poder.

La buena

actitud,fortalece sus

creencias y las

ayuda a lograr

Las personas no nacen con talentoespecial para la matemtica. Necesitan

tener una buena actitud paracomprenderla.Concientzate de que mientras ms tenazsea tu paciencia, ms segura ser turecompensa.

HOLA

No existe un logroque no sea elresultado de untrabajo largo y una

espera paciente.La paciencia es amarga,pero su fruto es dulce yayuda a sobrevivir

cualquier derrota


3/37

Repaso sobre potencias

Una potencia expresa la multiplicacin de uno o msfactores iguales.

3

5

EXPONENTE

BASE

Por ejemplo, la tercera potencia de 5, se expresa 53,

lo cual es igual a 5 5 5.

El 3 se llama exponente y el 5 base


4/37

Escriba en forma exponencial

3 3 3 3 i) 7 7 7 7 7 ii)

Como el exponente indica el nmero de factores iguales,entonces:

3 3 3 3 =i)

7 7 7 7 7 =ii)

43

57


5/37

Potencia de un nmero b

La potencia de un nmero b, indica el nmero de veces que

b aparecer como factor en una multiplicacin.

vecesnb b b b =142 43

n

b

Si b aparece como factorn veces, entonces:


6/37

Base negativa y exponente par

Cuando el exponente es par y la base es negativa, elresultado es positivo. Veamos:

i) ii) ( )

6

2( )

4

3

El resultado lo obtenemos, as:

i)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6

2 2 2 2 2 2 2 = = 64ii)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

3 3 3 3 3 = = 81

Recordemos las leyes de signos para la multiplicacin

+

=

+

= +

+ = +

+ =


7/37

Base negativa y exponente impar

Cuando el exponente es impar y la base es negativa, elresultado es negativo. Veamos:

i) ii) ( )

5

2( )

3

3

El resultado lo obtenemos, as:

i)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5

2 2 2 2 2 2 = = 32ii)

( ) ( ) ( ) ( )

3

3 3 3 3 = = 27

Recordemos las leyes de signos para la multiplicacin

+

=

+

= +

+ = +

+ =


8/37

Importancia de los parntesis

i) ( )4

3 =

ii) 43 =

De lo anterior deducimos que: ( )4 43 3

3 3 3 3 = 81

1 3 3 3 3 = 8141 3 =

la base es( ) 43 343

4 43 1 3 =

En la expresin mientras que en

la expresin la base es 3, el signo negativo no le

pertenece a la base, puesto que:


9/37

Regla general

Si n es par se cumple que ( )n n

b b

Si n es impar se cumple que ( ) n nb b =

La expresin lase, as:

( )

n nb b

( ) es diferente den nb b


10/37

Potencia unidad

La n-sima potencia de 1 es igual a 1, para cualquier

entero n. Esto en forma simblica, lo expresamos as:

1 1

n

= , para todo entero n

Veamos los siguientes ejemplos:

50

1 1=

71

1 1=

1003

1 1=

501 1

=71

1 1

=1003

1 1

=

Observe que, el valor numrico de npuede ser positivo o negativo y el

resultado siempre es 1


11/37

Potencia de 1 con parntesis

( )1 1n

= , para todo entero par n.

Veamos ejemplos numricos:

( )

41 1 =

( )1 1n

= , para todo entero imparn.

Con exponente par ( )

401 1 =

( )5

1 1 = Con exponente Impar ( )13

1 1 =


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Potencia de 1 sin parntesis

1 1n = , para todo entero n.

Veamos los siguientes ejemplos:

41 1 = Con exponente par

401 1 =

51 1 = Con exponente impar 131 1 =


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Exponente 1

La primera potencia de cualquier nmero b es igual a b.

1b b=


1

5 5=

1

37 37=

( )1

7 7 = ( )1

62 62 =

Con base positiva

Con base negativa


14/37

Multiplicacin de potencias

de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base

y se suman los exponentes.

x y

b b =


4 13 3 =i)

125ii)

64iii)

x y

b

+

3 3 3 =33 =4 13 + = 27

4 75 5 =4 75 + = 35 = 5 5 5 =

( ) ( )2 4

2 2 =( )6

2 = 2 2 2 2 2 2 =


15/37

Producto de n factores iguales

x x x x

n veces

b b b b =1 4 2 4 3nxb

Veamos ejemplos con exponente numrico:

4 4 4b b b =

4 4 4b

+ +

=3 4

b

=12

b

7 7 7 7 p p p p = 7 7 7 7p + + + = 4 7p = 28p

7 7 7 7 7 7 x x x x x x = 7x x x x x x+ + + + +

=67 x

i)

ii)

iii)


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Suma de potencias iguales

x x x x

n veces

b b b b+ + + + =1 4 442 4 4 43xnb

La expresin se lee: n veces b a la x.xnb


2 2 2 2n n n n+ + + = 4 2n = 22 2n = 22 n+i)

18 5 7 5x x + = ( )18 7 5x+ 25 5x=

25 5x= 2

5x+

=

ii)


17/37

Divisin de potencias

de igual base

Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y

se restan los exponentes.

m n

b b =

m n

b


40 385 5 =40 385 = 25 = 25

8 107 7 =8 107 = 8 107 + = 27 =49

i)

ii)


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Potencia 0

Todo nmero entero diferente de cero elevado a la cero esigual a uno. En forma simblica, lo expresamos, as:

,b Z 0b 0 1b =


05 1=

07 1=

( )0

4 1 =

( )0

13 1 =

i)

ii)

iii)

iv)


19/37

Demostracin de la potencia 0

0 n nb b

=

Sea b un nmero entero cualquiera, diferente de cero y n otro nmero

entero, entonces

Como 0 es igual a n n, entonces

podemos establecer la siguiente

igualdad

0 n nb b b= Como el segundo miembro, tiene

exponente una diferencia, entonces

lo podemos transformar en una

divisin, en la cual el dividiendo y

el divisor son bn

0 1b =

En una divisin en la cual el

dividendo y el divisor son iguales,

pero diferentes de 0 el cociente es 1

As, queda demostrado que:

0 1 ; con diferente de 0b b=


20/37

Autoevaluacin 9

El esfuerzo que haga en la resolucin de lossiguientes problemas, le construir los modelos

mentales para que aumente su velocidad de

bl 1 A li l i i i i


21/37

Problema 1. Analice las siguientes proposiciones

20

20

) 4 4 4 4veces

i =142 4320

) 3 3 3 20 3veces

ii = 1 2 3

De estas, con certeza cules son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)

C) Solo la i)

Analicemos la proposicin i)

Como el factor 4 se repite 20 veces, entonces laproposicin es verdadera

( )V

Analicemos la proposicin ii)

Como el factor 3 se repite 20 veces, entonces el

producto es 3 elevado a la 20, lo cual es diferentea 20 por 3. Por lo tanto, la proposicin es falsa

( )F

203 20 3

P bl 2 A li l i i i i


22/37

7 7 7 7 7 7) 5 5 5 5 5 5 5i =

6 6 6 6 6 6 6) 7 7 7 7 7 5 7 35ii = =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)

B) Ninguna



Como el cinco a la siete se repite cinco veces,

entonces el producto es cinco a la siete elevado a la

cinco, as:7 7 7 7 75 5 5 5 5 = ( )

575 355=

Por lo tanto, la proposicin i) es falsa

Analicemos la proposicin ii)Como siete a la seis se repite cinco veces, entonces

el producto es siete a la seis elevado a la cinco, as:

( )5

6 6 6 6 6 67 7 7 7 7 7 =307=

Por lo tanto, la proposicin ii) es falsa

( )F

( )F

P bl 3 A li l i i t i i


23/37

4 7 5 6) 3 3 3 3i = 9 4 3 10) 6 6 6 6ii =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)

A) Ambas



Como las bases son iguales en ambos miembros, entonces

al sumar los exponentes en ambos miembros se obtiene

11 como exponente. Por lo tanto, la proposicin es

verdadera

( )V

4 7 5 63 3 3 3 =

11 113 3=


Como las bases son iguales en ambos miembros,entonces al sumar los exponentes en ambos miembros se

obtiene 13 como exponente. Por lo tanto, la proposicin

es verdadera 9 4 3 106 6 6 6 =

13 136 6=

( )V



24/37

5 5 2) n n ni b b b+ = 5 5) 1n nii b b =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)

A) Ambas



Como las bases son iguales, entonces conservamos la

base y sumamos los exponentes, as:

5 5 5 5n n n nb b b

+ + +

=2 0 2n n

b b+

= =

Por lo tanto, la proposicin i) es verdadera

( )V




5 5 5 5n n n nb b b

+

=0 1b= =

Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera

( )V


25/37

7 5) 4 4 16n ni =10 11) 8 8 8x xii =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo lai)

D) Solo la ii)

A) Ambas





7 5 7 54 4 4n n n n + = 24= 16=




base y sumamos los exponentes, as

10 11 10 118 8 8 x x x x + = 18= 8=


( )V ( )V


26/37

( ) ( )7 12

) 1 1 0i + = ( ) ( )13 15

) 1 1 0ii =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)

A) Ambas


Resolvamos la suma aplicando la ley de potencias

correspondientes.

( ) ( )7 12

1 1 1 1 0 + = + =



( )V


correspondientes

( ) ( ) ( )13 15

1 1 1 1 1 1 0 = = + =



( )V


27/37

( ) ( )103 104

) 1 1 2i + = ( ) ( )0 0

) 1 1 0ii =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)D) Solo la ii)



correspondientes

( ) ( )103 104

1 1 1 1 0 + = + =


Por lo tanto, la proposicin i) es falsa

( )F


correspondientes

( ) ( )0 0

1 1 1 1 0 = =


Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera.

( )V


28/37

70 68) 9 9 81i = 80 81) 5 5 5ii =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)

A) Ambas




base y restamos los exponentes, as

70 68 70 689 9 9 = 29= 81=


( )V




( )80 8180 815 5 5

=80 815 += 15= 5=


( )V

P bl 9 A li l i i i i


29/37

125 128) 3 3 27i =7 8) 4 4 4n nii =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)

A) Ambas




base y restamos los exponentes, as:

( )125 128125 1283 3 3

=125 1283 += 33 27= =


( )V




( )7 87 84 4 4n nn n

=7 8

4n n +

=1

4 4= =


( )V

Problema 10 Analice las siguientes proposiciones


30/37

8 12 2) 2 2 4n ni =13 11 2 2) 5 5 5n n nii =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo lai)

D) Solo la ii)

C) Solo lai)





( )8 128 122 2 2n nn n

=8 122n n +=

4 22 16 4= = =


( )V




( )13 1113 115 5 5n nn n

=13 115 n n += 25 25= =


( )F



31/37

0) 7 7 7n ni = 0) 5 4 4n nii = De estas, con certeza cules son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo lai)

D) Solo la ii)

A) Ambas





07 7 7 7n n n n = =




base y restamos los exponentes, as:

0 04 4 4 4 1 5n n n n = = = =


( )V ( )V



32/37

( )8 8) 7 7i ( )

13 13) 7 7ii =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)

A) Ambas



Como la base negativa elevada a un exponente par da

como resultado un nmero positivo, entonces la

proposicin i) es verdadera

( )V


Como la base negativa elevada a un exponente impar da

como resultado un nmero negativo, entonces la

proposicin ii) es verdadera

( )V



33/37

13 13 13 14) 7 7 5 7 7i + + = 201 201 201 202) 5 5 3 5 5ii + + =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)

A) Ambas



13 13 13 13 1 13 147 7 5 7 7 7 7 7++ + = = =


correspondientes


( )V


201 201 201 201 1 201 2025 5 3 5 5 5 5 5++ + = = =

Resolvamos la suma aplicando la ley de potenciascorrespondientes


( )V



34/37

101 101 102) 4 9 5 9 9i + =105 105 109) 19 2 3 2 2ii =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)

A) Ambas



101 101 101 1 101 1024 9 5 9 9 9 9 9+ + = = =


correspondientes

( )V


105 105 105 4 105 4 105 10919 2 3 2 16 2 2 2 2 2+ = = = =


correspondientes



( )V



35/37

108 108 108 109) 13 13 15 13 13i + =

105 105 105 104

) 17 5 17 23 17 17ii + =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i)

D) Solo la ii)

C) Solo la i)



108 108 108 108

1 108

109

13 13 15 13 13 13

1 1313

+

+ =

=

=


Por lo tanto, la proposicini) es verdadera

( )V


105 105 105 105

105

1 105

106

17 5 17 23 17 17 17

1 17 171 17

17

+

+ =

=

=

=


Por lo tanto, la proposicinii

) es falsa

( )F



36/37

107 107) 7 1 7i = 108 108) 1ii x x =


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo lai)

D) Solo la ii)

C) Solo la i)



107 1077 1 7 =

El 1 es un factor invisible. Por lo tanto, la proposicin

ii) es verdadera


108 1081x x =

El 1 es un factor invisible. Por lo tanto, la proposicini) es falsa

( )V ( )F


37/37

Remplace el pensamiento de no puedo por un puedo enrgico y

por un quiero ms enrgico an.

Para alcanzar la estabilidad emocional, tenemos

que abandonar todo pensamiento de miedo y de

odio.

no existe un logro que no sea

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