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CLASIFICACION DE LOS NUMEROS

Nmeros naturales

Es un conjunto de la forma es un conjunto infinito

Nmeros naturales ampliados

Consiste en agregar el 0 (entendido como la ausencia de algo en particular), su forma es

, sigue siendo un conjunto infinito

Nmeros Enteros

Surgen de agregar al grupo anterior los nmeros enteros negativos, obteniendo un conjunto de la forma:

Z = {, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, }, que contina para ambos lados hasta el infinito.

Nmeros racionales

Al conjunto de los nmeros enteros , le agregamos los nmeros fraccionarios pero con una particularidad, y es que tantos los enteros como los fraccionarios se pueden escribir como la divisin de dos nmeros enteros, es decir:

Notemos que si se trata de un entero entonces

Una caracterstica de los racionales es que siempre se pueden calcular con exactitud, aunque se trate de un resultado infinito (mientras tenga un ciclo que se repita), por ejemplo

(hay un ciclo que se repite)

Nmeros irracionales

Son aquellos que no se pueden escribir como una fraccin, tienen infinitos decimales no peridicos, algunos

ejemplos son: , , no existen dos nmeros enteros cuyo cociente sea la respuesta.

Nmeros Reales

Es el conjunto formado por los nmeros racionales y los irracionales, si bien hay otros ms amplios, consideraremos que este conjunto abarca todas las formas numricas posibles, referirse a los nmeros reales es necesario a la hora de graficar lneas continuas.

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DEFINICIONES

Trmino algebraico: Es la relacin entre nmeros y letras donde intervienen operaciones como la multiplicacin, divisin, potencias y/o races. Consta de un factor numrico, denominado coeficiente y un factor literal. Ejemplos:

, , ,

Expresin algebraica: es la relacin entre trminos algebraicos mediante la suma y/o la resta. Ejemplos:

1. 4x2 3 5y 2. 8a3 + 7xy2 3x + 10y 3. 2a3b2 + 5ab 3a

Monomio: Expresin algebraica que consta de un trmino algebraico. Ejemplos:

25a3, 9xy2, 45x2z5

Polinomio: Expresin algebraica que consta de dos o ms trminos algebraicos.

1) Binomio: Polinomio que consta de dos trminos 4x7y2 + 5xy

2) Trinomio: Polinomio que consta de tres trminos algebraicos 2a3b2 + 5ab 3a2

Trminos semejantes: Son aquellos trminos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo:

Los trminos 6a2b y 5a2b son semejantes Los trminos 2x4 y 7x2 no son semejantes

Mltiplos: Se llama mltiplo de un nmero, a aquel que se obtiene al multiplicar dicho nmero por otro cualquiera. Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son mltiplos de 5.

Divisores: Se llama divisor de un nmero a aquel que lo divide exactamente. (Cabe en l una cantidad exacta de veces). Por ejemplo Los divisores de 24 son los nmeros que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}, comprobamos que 5 no es divisor de 24 porque el resultado es 4,8


OPERACIONES ALGEBRAICAS

Previamente recordemos algunas reglas de prioridad. Hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios, la regla a seguir es resolver respetando las siguientes reglas:

Parntesis: primero se resuelve lo contenido dentro de un parntesis, corchete, llave o equivalente

Productos o divisiones: como el orden de los factores no interesa, da lo mismo hacer un producto y luego dividir que dividir y luego aplicar el producto. Para ejemplificar utilizaremos el parntesis (aunque

no sea necesario). Por ejemplo: el resultado es el mismo.

Adiciones y restas: salvo la existencia de un parntesis o smbolo equivalente, primero se resuelven los trminos separados por signos ms o menos. Por ejemplo:

en esta expresin hay 3 trminos separados por un signo menos y un ms. Aunque no es necesario recurrimos nuevamente a los parntesis como ayuda:

Veamos otras reglas aplicables a expresiones algebraicas:

Suma y resta: slo pueden ser sumados o restados los coeficientes numricos de los trminos semejantes. Ejemplo:

ab2c + 3ab2c - 5ab2c = (1 + 3 5) ab2c = - ab2c 3x + 2x - 4x = x

Lo que hemos hecho es sacar factor comn, obsrvese que slo es posible si el factor literal es el mismo.

Multiplicacin de 2 monomios: Se multiplican los coeficientes numricos y los factores literales entre s. Ejemplo:

Multiplicacin de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por cada trmino del polinomio.

3ab4 (5a2b + 2ab2 - 4ab) = 3ab4 * 5a2b + 3ab4 *2ab2 + 3ab4 (-4ab)

= 15a3b5 + 6a2b6 12a2b5

Multiplicacin de dos polinomios: Se multiplica cada trmino del primer polinomio por cada trmino del segundo polinomio.

(2x + y) * (3x + 2y) = 2x * 3x + 2x * 2y + y * 3x + y * 2y

= 6x2 + 4xy + 3xy + 2y2

= 6x2 + 7xy + 2y2


Cuadrado de un binomio: se resuelve como la multiplicacin de dos binomios iguales

(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2

Factorizacin: Consiste en escribir una expresin algebraica en forma de multiplicacin. Nos interesa sacar factor comn

Factor comn: se emplea para factorizar una expresin en la cual todos los trminos tienen algo en comn (puede ser un nmero, una letra, o la combinacin de los dos). Ejemplo:

2xy + 4xy2 6x2y , para resolverlo lo descomponemos expresando las potencias como productos de si mismos y los valores numricos como mltiplos de 2

2xy + 4xy2 6x2y = 2xy + 22xyy 23xxy

el f.c. que se repite en cada trmino es 2xy

2xy + 4xy2 6x2y = 2xy(1 + 2y 3x)

Otra forma de verlo es encontrar por observacin simple que 2xy se repite en todos los trminos, entonces si multiplicamos y dividimos la expresin por 2xy el resultado no se altera

Ejemplos:

1. Vemos que los factores numricos (2 y 4) son mltiplos, y entre los factores literales o letras tenemos potencias de x, factorizamos sacamos 2x factor comn

2. En este caso como 3 y 5 no son mltiplos no podemos sacar factor comn, sin embargo tenemos a la variable y en ambos trminos, de modo que es el nico factor comn que podemos obtener.

3. En este caso podemos factorizar los trminos numricos, pero no los literales, porque no repiten en los tres sumandos, el factor comn ser 1/4.


ECUACIONES

Una ecuacin es una igualdad entre expresiones algebraicas donde una o ms variables literales (letras) son incgnitas con un valor particular que resuelven la igualdad. Por el carcter de introductorio nos detendremos en ecuaciones de una sola incgnita y de primer grado, tambin denominadas ecuaciones lineales.

Grado de una ecuacin: corresponde a la mayor potencia de la variable x

1 grado: la variable x se encuentra multiplicando en el numerador y el mayor exponente es 1 donde a, b y c son valores numricos conocidos

2 grado: el mayor exponente de x es 2

Ejemplo:

la solucin es y no cualquier otro valor

Veamos ejemplos de ecuaciones lineales y su solucin:

5x + 10 = 2x + 22 el procedimiento es agrupar de un lado de la igualdad los trminos con la incgnita a resolver y del otro los valores numricos, la regla es que lo que est de un lado de la igualdad pasa del otro restando, operando obtenemos

5x - 2x = 22 10 3x = 12 x = 4

12x + 7 - 6x + 4 = 4x + 16 siguiendo la regla anterior

12x - 6x - 4x = 16 7 4 2x = 5 x = 2,5

repetimos el procedimiento de agrupar los trminos con x y separar los valores numricos


FUNCIONES

Este es un concepto muy utilizado en matemticas, los limitaremos a definirlas como la relacin entre una variable independiente x y una variable independiente y, cuyo valor depender del valor que se le asigne a x, se simboliza como

En este curso nivelatorio nos ocuparemos solamente de las funciones lineales, cuyo tipo general es

esta forma se conoce como ecuacin explcita (porque es fcil calcular los valores de y a partir de los valores de x). Ejemplo:

podemos armar una tabla con los valores de ambas variables

x y 0 -1 1 1 2 3 3 5 4 7

Vemos que la variable dependiente y puede tomar infinitos valores a partir del valor numrico que asignemos a x

En algunos casos la ecuacin puede aparecer en su forma implcita (las variables x e y estn del mismo lado de la igualdad), en tal caso debemos despejar la variable y. Ejemplo:

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

Un da de lluvia, tiene la oportunidad de vender paraguas en la puerta de una importante estacin de trenes, el precio de venta de cada paraguas es de $ 50 y el costo de cada uno es de $ 30, los paraguas que no son vendidos se pueden devolver. A su vez hay que pagar un derecho de $ 300 para poder vender paraguas en ese lugar. Planteamos la ecuacin lineal

donde

y es la ganancia obtenida x es la cantidad de paraguas a vender a es la ganancia por cada paraguas vendido a = 20 b es el derecho a pagar b = -300

Nos interesa calcular

1. Ganancia a obtener si se venden 50 paraguas


2. Cantidad de paraguas a vender para obtener una ganancia de $ 400

En este caso la incgnita a resolver es x , siendo y = 400

3. Si tuviramos la certeza de vender 80 paraguas, cul sera el mximo importe del derecho que podramos pagar si nos conformamos con una ganancia de $ 300. En este caso sabemos cunto valen x e y, la incgnita ser b

La respuesta es , el derecho mximo a pagar (que nos garantiza un beneficio de $ 300) asciende a $ 1300, siempre y cuando vendamos exactamente 80 paraguas. Podemos verificar este resultado volviendo a la ecuacin original


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