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ÍNDICE

Bienvenida

1. Presentación

2. Actividad

3. ¿Qué es un TANGRAM?

4. Clasificación

5. Propiedades

6. Construcción de triángulos

7. Un famoso teorema

8. En resumen

9. Autoevaluación

10. Actividad final

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¡Les damos la bienvenida a la unidad didáctica! En ella encontrarás contenidos explicativos y propuestas de actividades. ¿Cómo está organizada la unidad? Por un lado encontrarás textos explicativos propios de la mate-ria y, por otro, los espacios de producción con actividades que invitan a aplicar lo previamente explicado. Éstas últimas están resaltadas en color: para que puedas encon-trarlas e identificarlas más sencillamente. En algunas de las actividades vas a encontrar propuestas que pueden involucrar herramientas 2.0. Para ello, contás con los insumos del anexo que tu docente descargó previamente. Para que lo puedas visualizar correctamente, es importante que descargues este archivo y lo abras con la última versión de Adobe Acrobat.

¡Mucha suerte! ¡A trabajar!

Editorial ORTMaterial creado para uso educativo y no comercial.Contactoeditorial@ort.edu.ar(011) 4789-6491 / 6392

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1. Presentación

¿Qué son los triángulos? ¿Cómo se pue-den clasificar? ¿Y cómo se construyen? ¿Se puede deducir cómo calcular su área? ¿Qué problemas nos pueden ayudar a resolver? En esta unidad, trabajaremos con los dis-tintos tipos de triángulos, con la ayuda del pro-grama GeoGebra. Hay distintos tutoriales, que nos orien-tarán sobre el uso de las herramientas de este programa para construir las figuras, y analizar sus características. Sin embargo, si no contás con este recur-so, tu docente te indicará el mejor modo de reali-zar esta unidad didáctica. ¡Manos a la obra!

Fuente: goo.gl/Ft4RrN

2. ¡Manos a la obra!

Mirá el video presente en el anexo docente como insu-

mo N°1. Luego, en grupos, decidan qué características

podrían tener los triángulos, en base a lo visto. Respon-

dé donde tu docente lo indique.

3. ¿Qué es un TANGRAM?

Fuente: goo.gl/hW9dei

El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado “chi chíao pan ” que significa “juego de los siete elementos ” o “tabla de la sabiduría. Exis-ten varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo cantones “tang ” que significa chino con el voca-blo latino “gram ” que significa escrito o gráfico. Otra versión narra que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía “tang ” de donde se derivaría su nombre. Hoy en día el Tangram no se usa sólo como entretenimiento, se utiliza también en la psicolo-

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gía, en diseño, en filosofía y particularmente en lapedagogía. En el área de enseñanza de las ma-temáticas el Tangram se usa para introducir con-ceptos de la geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e inte-lectuales de los niños. Actualmente se pueden realizar con el Tangram alrededor de 16.000 figuras distintas. En esta sección podrás encontrar un poco de la historia del tangram, y con la ayuda del pro-grama GeoGebra, podremos construir figuras. ¡Con tu imaginación podrás construir mu-chos de los tangram que existen!

El tangram es un rompecabezas de origen chino que probablemente apareció hace tan sólo 200 ó 300 años. Los chinos lo llamaron "tabla de sabiduría" y "tabla de sagacidad" haciendo refe-rencia a las cualidades que el juego requiere. La misma palabra "tangram" es un inven-to occidental: Se supone que fue creada por un norteamericano aficionado a los rompecabezas, quien habría combinado tang, una palabra can-tonesa que significa "chino", con el sufijo inglés gram (-grama) que significa "escrito" o "gráfico" (como en cardiograma). Otra teoría sostiene que

Fuente: goo.gl/CHL7z3

3.1 Historia del Tangram

"tangram"deriva de tan, que en chino significa "prostituta". Según esta hipótesis, los marineros norteamericanos habrían conocido el juego a tra-vés de prostitutas chinas y "tangram" significaría, por tanto, "el rompecabezas de las prostitutas". Los primeros libros sobre el tangram apa-recieron en Europa a principios del siglo XIX y presentaban tanto figuras como soluciones. Se trataba de unos cuantos cientos de imágenes en su mayor parte figurativas como animales, casas y flores... junto a una escasa representación de for-mas abstractas. A lo largo del siglo XIX aparecie-ron diversos libros de tangram chinos, que fue-ron copiados por las editoriales europeas, buena prueba de la popularidad que había adquirido el juego. A partir de 1818 se publicaron libros de tangram en EE. UU., Inglaterra, Francia, Alemania, Austria e Italia. En la introducción al libro publicado en Ita-lia se hacía notar que el tangram se jugaba "en to-das partes con verdadera pasión". En efecto, aun-que una antigua enciclopedia china lo describía como "un juego de mujeres y niños", el tangram se había convertido en una diversión universal. En cuanto al número de figuras, la mayor parte de las publicaciones occidentales copiaron las figuras chinas originales, que ascendían a algu-nos cientos. Al principio el tangram fue publicado en forma de libro, en torno a 1870 se concedía más atención al juego mismo y sus siete compo-nentes, de forma que el tangram era producido y vendido como un objeto: piezas de marfil, tarje-tas con las siluetas y envoltorio en forma de caja. Hacia 1900 se habían añadido nuevas fi-guras y formas geométricas, llegando a un total de más de 900 y en 1973, los diseñadores holan-deses Joost Elffers y Michael Schuyt produjeron una edición en rústica con 750 figuras nuevas,

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alcanzando así un total de más de 1.600. La edi-ción de 1973 ha vendido hasta la fecha más de un millón de ejemplares en todo el mundo.

Fuente: goo.gl/CHL7z3

3.2 Tangram de 7 piezas

Mirá el siguiente tangram:

Luego, creá todas las figuras que puedas con el tangram

donde tu docente lo indique. Si querés descargarte el

programa Geogebra, podés hacerlo desde el anexo do-

cente que aparece como insumo N°2.

3.3 Tangram de 5 piezas

Mirá el siguiente tangram:

Luego, intentá realizar alguna de estas figuras donde tu

docente lo indique:

3.4 Desafío: ¡Creá tu propio tangram!

Mirá el video presente en el anexo docente como

insumo N°3.

Luego, intentá hacerlo vos mismo donde tu docente lo

indique.

4. Clasificación

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4.1 Clasificación según sus ángulos

Completá con el nombre que le corresponde a cada

triángulo según la amplitud de sus ángulos:

Tiene sus tres

ángulos inte-

riores agudos

(menores a 90°)

Tiene un ángulo

interior recto

(90°)

Tiene un ángulo

interior obtuso

(mayor a 90°)

Observá la imagen en la cual se observa la clasificación

de los triángulos según sus ángulos

¿Conocían los triángulos oblicuángulos?

Según lo que pudiste observar, completá qué caracterís-

ticas tiene un triángulo oblicuángulo donde tu docente

lo indique.

4.2 Clasificación según sus lados

Completá con el nombre que le corresponde a cada

triángulo según la medida de sus lados.

Tiene sus tres

lados de distinta

longitud

Tiene por lo me-

nos dos lados

de igual longitud

Tiene sus tres

lados de igual

longitud

Observá los siguientes triángulos y clasifícalos según

sus lados y según sus ángulos completando las frases

donde tu docente lo indique:

Completá las siguientes frases donde tu docente lo

indique:

Si observás detenidamente los triángulos anteriores verás

que a mayor lado se opone_____________________________

Esto sucede para todo triángulo.

Observaciones importantes:

En todo triángulo Escaleno sus ángulos son

____________________________________________________

En todo triángulo Isósceles dos de sus ángulos son

____________________________________________________

En todo triángulo Equilátero sus tres ángulos son

____________________________________________________

Todo triángulo Equilátero es _______________________

pero no todo triángulo isósceles es _____________________

El triángulo es una figura plana. Las figuras planas son las que están limitadas por líneas rec-tas o curvas y todos sus puntos están contenidos en un solo plano. Además:

5. Propiedades

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En esta sección, veremos las distintas propiedades que tienen los triángulos.

Luego, completá la siguiente oración donde tu docente

lo indique: En todo triángulo, la suma de sus ángulos

interiores es de:_____________________________________

5.1 Ángulos interiores

Mirá la siguiente imagen

5.3 Una propiedad un tanto desconocida…

Luego, completá las siguientes consignas donde tu do-

cente lo indique:

El triángulo es __________________________, es el único

polígono que cumple esta propiedad. Todos los demás

polígonos se pueden “__________________________”

, __________________________ los ángulos pero mante-

niendo la medida de sus __________________________.

5.2 Ángulos exteriores

Para marcar el ángulo exterior de un triángulo debemos

prolongar cada lado del triángulo. El ángulo exterior es

el ángulo adyacente al interior.

Mirá la siguiente imagen:

Luego, completá las siguientes consignas donde tu do-

cente lo indique:

- Propiedad de los ángulos exteriores de todo triángulo:

la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de

____________________________________________________

Analizando la actividad anterior concluimos en que:

En todo triángulo se cumple que todo ángulo exterior es

igual a ________________________________de los ángulos

interiores no ____________________________________ a él.

¿Sabes cuál es la propiedad que distingue al triángulo

de otros polígonos?

Mirá la siguiente imagen:

Para finalizar, mirá el video presente en el anexo docente como insumo N°4.

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6. Construcción de Triángulos

Para construir un triángulo no hace falta conocer todos sus elementos, bastará conocer: - Tres de sus lados. - Dos de sus lados y el ángulo comprendi-do entre ellos. - Dos de sus lados y el ángulo adyacente a uno de ellos. -Uno de sus lados y sus ángulos contiguos. Mirá los videos presentes en el anexo do-cente como insumo N°5 para analizar una cons-trucción en cada caso.

6.1 Medidas de los lados

Respondé las siguientes preguntas donde tu docente lo

indique:

¿Pensás que tres segmentos de cualquier medida deter-

minan un triángulo?

¿Podés trazar un triángulo en el que sus lados midan 5

cm, 2 cm y 1 cm?

¿Podés construir uno en el que sus lados midan 3 cm,

2cm y 1 cm?

Completá la siguiente frase donde tu docente lo indique

según la propiedad en cuanto a las medidas de los lados

de un triángulo:

En todo triángulo ____________________________________

____________________________________________________

6.2 Alturas de un triángulo.

¿Cuántas alturas tiene un triángulo?

Analizá cada uno de los siguientes gráficos

Acutángulo

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Rectángulo

Obtusángulo

Completá la siguiente frase donde tu docente lo indique:

Concluimos en que: Todo triángulo tiene_____alturas. El

punto en donde se intersecan dichas alturas recibe el

nombre de ________________________________________

6.3 El triángulo isósceles

Observá detenidamente qué determina la altura del

triángulo isósceles respecto del lado desigual. Extraé

conclusiones donde tu docente lo indique.

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la lon-gitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio en matemática.

7. Un famoso teorema

Comprobalo con un tangram donde tu do-cente lo indique. Luego, respondé a la siguiente pregunta ¿Y si tenemos un triángulo rectángulo isósceles? Comprobá si eso también se cumple donde tu docente lo indique.

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8. En resumen Triángulos Definición: dados tres puntos A,B,C, no alineados, es decir que no pertenecen a la misma recta, se llama triángulo a la figura formada por la intersección de los semiplanos determinados por las rectas AB, AC, BC.

- Los puntos A,B,C se denominan vértices del triángulo. Los segmentos AB, AC, BC se lla-man lados. - Todo triángulo tiene 3 ángulos interiores y 3 ángulos exteriores. El ángulo exterior es el án-gulo adyacente al exterior. - Recordatorio: dos ángulos son adyacen-tes, cuando son consecutivos (comparten vértice y lado) y suplementarios (suman 180°).

Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican: 1. Según sus lados en: - Escalenos: sus tres lados son de distinta longitud - Isósceles: tiene por lo menos dos lados de igual longitud - Equiláteros: tiene sus tres lados de igual longitud 2. Según sus ángulos en: - Rectángulos: tienen un ángulo recto.

-Oblicuángulos: no tienen un ángulo rec-to. Por lo que, si sus tres ángulos son agudos es un triángulo oblicuángulo acutángulo; y si tiene un ángulo recto, es un triángulo oblicuángulo obtusángulo.

Propiedades acerca de los triángulos - Suma de los ángulos interiores de un triángulo: en todo triángulo, la suma de los ángu-los interiores es de 180°. - Propiedad del ángulo exterior en un triángulo: Todo ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores del triángulo, no ad-yacentes a él. - Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo: todo polígono, de tres o más lados, cumple que la suma de sus ángulos exteriores es de 360°. - Desigualdad triangular: en todo triángulo se cumple que cada lado es menor que la suma de los otros dos.

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Propiedades acerca de los triángulos El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la lon-gitud de la hipotenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos (a y b). Es decir:

- En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo. - Todo triángulo tiene 3 alturas. El punto en donde se intersecan dichas alturas recibe el nombre de ortocentro.

9. Autoevaluación

Realizá esta autoevaluación para repasar los contenidos

que aprendimos en esta unidad.

1. De un triángulo cualquiera sabemos que tiene un

ángulo de 35° y otro de 83°, entonces el tercer ángulo

mide...

- 62°

- 52°

- 242°

2. El triángulo del ejercicio anterior es...

-Oblicuángulo acutángulo

- Rectángulos

- Oblicuángulo obtusángulo

3. La suma de dos lados de un triángulo es 15 cm, en-

tonces el otro lado puede medir...

- 18 cm

- 12 cm

- 16 cm

4. Un triángulo isósceles cuyos ángulos iguales miden

45° cada uno es un triángulo...

- Oblicuángulo acutángulo

- Rectángulos

- Oblicuángulo obtusángulo

5. Sabemos que la medida de dos lados de un triángulo

son 2 cm y 5 cm. Entonces, el tercer lado podrá medir...

- Entre 0 y 7 cm.

- Menos de 3 cm.

- Más de 3 cm y menos de 7 cm.

- Ninguna de las opciones anteriores.

6. La medida del ángulo exterior marcado en este dibujo

es...

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- 113°

- 67°

- 247°

- Ninguna de las opciones anteriores.

7. La medida del ángulo interior del triángulo anterior es

que falta es...

- 113°

- 67°

- Faltan datos para resolver el problema.

8. Si tenemos un triángulo equilátero cuyo perímetro es

de 15 cm, su lado mide...

- 5 cm.

- 3 cm.

- Faltan datos para resolver el problema.

9. No es posible que un triángulo sea...

- Obtusángulo e isósceles

- Obtusángulo y equilátero

- Obtusángulo y escaleno

10. Sabemos que uno de los ángulos agudos de un trián-

gulo rectángulo mide 52°, entonces el otro ángulo agu-

do mide...

- 48°

- 38°

- Faltan datos para resolver el problema

Verificá tus respuestas en la página 14.

10. Actividad final

Para concluir con las construcciones propuestas en esta

unidad didáctica:

1. Mirá los dos videos presentes en el anexo docente

como insumo N°6. Luego, leé la información brindada

acerca de un triángulo bastante particular, El Triángulo

de Sierpinsky.

Triángulo de Sierpinski

Este triángulo de Sierpinski animado es una

auténtica maravilla capaz de hipnotizar a cualquiera.

¿Cómo de grande llega a ser el triángulo? ¿Por qué no se

acaba nunca? ¿De dónde proceden los diferentes com-

ponentes de tan curiosa forma geométrica?

El GIF animado es un ejemplo sobre uno de los

fractales más curiosos y fáciles de entender, el triángulo

de Sierpinski es una especie de triángulo delimitado por

triángulos construidos por triángulos delimitados por

triángulos… (etcétera) Esa es precisamente la forma de

construir muchas formas fractales: basta por comenzar

por un triángulo, marcar el punto medio de cada uno de

Fuente: https://bit.ly/2VnbMpI

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sus lados y unirlos para formar otro triángulo semejante.

Entonces se deja en blanco el triángulo central y se repi-

te la operación con los demás.

2. Mirá detenidamente el video instructivo presente

en el anexo docente como insumo N°7 para realizar la

construcción del triángulo de Sierpinsky con Geogebra

o donde tu docente lo indique.

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1. 62°2. Oblicuángulo acutángulo3. 12 cm4. Rectángulo5. Más de 3 cm y menos de 7 cm.6. 67°7. 67°8. 5 cm9. Obtusángulo y equilátero10. 38°

Respuestas