mÉtodos rigurosos para el θ cÁlculo de operaciones … · 2016-05-27 · 3 ampliación...

1

Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos1

Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante

Tema 2MÉTODOS RIGUROSOS PARA EL CÁLCULO DE OPERACIONES DE SEPARACIÓN DE MEZCLAS MULTICOMPONENTES

• Métodos etapa a etapa y ecuación a ecuación

• Métodos componente a componente (BP, SR, Newton 2N, SC)

• Otros métodos (Inside-out, relajación, homotópicos)



� Hasta 1950: cálculos “a mano”Métodos rigurosos sólo a columnas pequeñas o para comprobar diseño final

� Aparición de los ordenadores Los métodos aproximados quedan relegados a un segundo plano

� Actualmente Métodos rigurosos: para el diseño final (T, P, xi, yi, Li, Vi)

Métodos aproximados: estimación inicial; análisis de resultados



Ecuaciones a resolver altamente no lineales

Métodos iterativos

Distintos métodos según

�Selección de las variables independientes

�Forma de resolver los sistemas de ecuaciones



MÉTODOS ETAPA A ETAPA Y ECUACIÓN A ECUACIÓN

Thiele-Geddes

Lewis-Matheson

MÉTODOS COMPONENTE A COMPONENTE

- Dificultades de convergencia- Método θ de Holland

Método del punto de burbujaMétodo de suma de flujosMétodos Newton 2N Métodos SC

T: ecuación de punto de burbuja

T: balance de entalpía

T y caudales simultáneamente

Todas las ecuaciones conjuntamente



NUEVOS MÉTODOS

Inside-out

Relajación

Homotopía

No equilibrio

- Problemas de convergencia

- Sistemas más complejos



MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes

D caudal molar de destilado

Lo reflujo externo

B caudal molar de residuo

Piso 0 condensador

Piso 1 primer plato de la columna (cabeza)

Piso f piso de alimentación

Piso N último piso de la columna (base)

Piso N+1 caldera

2




Vj caudal de vapor que abandona el piso jcaudal de vapor que llega al piso j-1

Vj = si no se introduce ninguna corriente de vapor entre los pisos j y j-1

Lj caudal de líquido que abandona el piso jcaudal de líquido que llega al piso j+1

Lj = si entre los pisos j y j+1 no se introduce ningúnlíquido

Lj

Vj

Vj

Lj



Bxb DXd

xLl yVv

xLl yVv

BiiDii

jijjijijji

jijjijijji

==

==

==

jiji

jijijijji

jji

jijijij

jjiji

jijjijij

jijjjijijj

jijiji

S/1A

donde vAvVK

Ll

lSlL

VKv

o

lVKvL

xLVKyLV

xKy

=

=

=

=

=

=

=

=





Variables independientes: Tj

Especificaciones:

• Número de platos en cada sector

• Caudal, composición y condición térmica del alimento

• Otras dos variables (D, Lo)




1Ad/v oiii1 +=

1-fj2 1)d/v(Ad/v ii,1ji,1jiji ≤≤+= −−

1)d/v(Ad/v ii,1fi,1fifi += −−

1)b/l(Sb/l iffiii,1f +=−

Nj1+f 1)b/l(Sb/l ijijiii,1j ≤≤+=−

1Sb/l i,1NiNi += +

F LF-1

LF-1

VF

VFPiso f

Piso f-1


Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes

NO

Suponer perfil inicial de T (Tj)

Suponer perfil inicial de K (Kij)

Cálculo piso a piso desde la caldera hasta el piso de alimentación: vij/bi y lij/bi

Cálculo piso a piso desde el condensador hasta el piso de alimentación: vij/di y lij/di

Cálculo de di y a partir de éste, nuevo perfil de composición y de Kij

Coinciden los perfiles de Kijcalculados y supuestos

Nuevos perfiles: Tj y Kij

FINSI



Conocidos di y bi:

a) Si se obtienen, por ejemplo

lij = (lij/di)diLj = Σlijxij = lij/Lj

b) Si se obtienen, por ejemplo

y Lj de balances de materia + entalpía∑

=

=

c

1ii

i

ji

ii

ji

ji

dd

l

ddl

x

APROXIMADO !!!!!!!APROXIMADO !!!!!!!

RIGUROSO !!!!!!! RIGUROSO !!!!!!!

3



ifi

ifi

i

i

b/v

d/v

d

b=

Para un alimento líquido saturado:

donde se calcula usando las ecs. del sector de enriquecimiento y vfi/bi por las del de agotamiento:

ifi/dv

=

i

fifi

i

fi

b

lS

b

v

1)d/v(Ad/v ii,1fi,1fifi += −−

)d/b(1

FXd

ii

ii

+=

Conocido di se puede calcular biCon di y bi se calculan xij, yij, Lj, VjTj y Kij se obtienen por cálculos de equilibrio

OJO: balances de entalpía

Ecs. 2.21 y 2.22



Para un alimento en cualquier condición térmica:

1d

l

d

v

d

v

i

i,1f

i

Fi

i

fi +=+−

FX

l1

FX

v

i

Fi

i

Fi −=

i

Fi

i

fi

i

Fi

i

i,1f

i

i

FX

v

b

v

FX

l

d

l

d

b

+

+

=

−

1d

l

d

FX

FX

v

d

b

b

v

i

i,1f

i

i

i

Fi

i

i

i

fi +=

+

−

d

b+1=

d

FX

i

i

i

i



Nuevo perfil de T:

∑=

=c

1i

ii

ji

ii

ji

ji

dd

v

dd

v

y

∑=

=c

1i

ii

ji

ii

ji

ji

dd

l

dd

l

x

∑∑

=

= α

=α

=c

1i

ii

b

c

1i i

ib

x

1K o

yK




MMéétodo de todo de LewisLewis--MathesonMatheson

Variables independientes: dj , bj

Especificaciones:

• Número de platos en cada sector

• Caudal, composición y condición térmica del alimento

• Otras dos variables (D, Lo)



a) Sector de enriquecimiento

• A partir de di, se calculan y1i• A partir de y1i, se calcula x1i

• Para los demás pisos:

• Al llegar a j = f:

Cálculos:

∑ α

α=

iji

iji

ji/y

/yx

V

d

V

Lxy i1j

ji +=−

i

fi

i

fi

d

Vy

d

v=


∑ α

α=

ii1

ii1

i1/y

/yx



a) Sector de agotamiento

• A partir de bi, se calculan x1i• A partir de x1i, se calcula y1i

• Para los demás pisos:

• Al llegar a j = f:

Cálculos:

∑ α

α=

iBi

iBiBi

x

xy

L

b

L

Vyx i1j

ji +=+

∑ α

α=

iji

iji

jix

xy

i

fi

i

fi

b

Vy

b

v=


4




Suponer di, bi

Cálculo piso a piso desde la

cabeza de la columna hasta el

piso de alimentación: vji/di

Cálculo piso a piso desde la base

de la columna hasta el piso de

alimentación: vji/bi

Suponer

nuevos di, bi

di y bi

supuestos y

calculados son

iguales

Fin

SIMULACIÓN




DISEÑO

1. Especificación completa del alimento y de di y bi para HK y para LK

2. Suposición de NR y NS y del resto de di no especificadas

3. Cálculo piso a piso desde el condensador hasta el piso de alimentación y desde la caldera hasta el piso de alimentación

4. Comparación de las composiciones obtenidas para el piso de alimentación por ambos caminos. Si no coinciden, repetir desde el paso 2



La matriz La matriz tridiagonaltridiagonal. Algoritmo . Algoritmo de Thomasde Thomas

Nomenclatura para una etapa



Matriz Matriz tridiagonaltridiagonal

• Etapa 1 = condensador

• Lo = 0

• Destilado vapor = V1 + W1

• Destilado líquido = U1

• Reflujo = L1• Calor eliminado en el condensador = Q1







• Etapa N = caldera

• VN+1 = 0

• Residuo = LN• Calor aportado en la caldera = QN

5



Matriz Matriz tridiagonaltridiagonalEcuaciones MESH:

1. M- c ecuaciones por etapa:

2. E- c ecuaciones por etapa:

3. S - una por etapa:

4. H- uno por etapa:

0y)WV(x)U(L zFyVxLM ijjjijjjijj1j,i1j1j,iijij =+−+−++= ++−−

0xKyE ijijijij =−=

00.1x)S(

00.1y)S(

c

1iijjx

c

1iijjy

=−=

=−=

∑

∑

=

=

0QH)WV(H)U(L HFHVHLH jjVjjjLjjjFj1jV1j1jL1jj =−+−+−++=++−−



V)UWF(VLj

1m

1mmmj1j ∑=

− −−−+=

Vj Lj-1

V1

F1j

1m

m∑−

=

UW1j

1m

mm∑−

=

+


0y)WV(x)U(L zFyVxLM ijjjijjjijj1j,i1j1j,iijij =+−+−++= ++−−

ijijij xKy =

Poner Lj en función de Vj

Poner yij en función de xij

Xi, j-1

Xi, j

Xi, j+1

Obtener los coeficientes que multiplican a



j1j,ijijj1j,jj DxCxBxA =++ +−

Nj2 V)UWF(VA1j

1m1mmmjj ≤≤−−−+= ∑

−

=

Nj1 )KW+(V+U+V)UWF(VB ji,jjj

j

1m1mmm1jj ≤≤

−−−+−= ∑

=+

1-Nj1 KVC 1j,i1jj ≤≤= ++

Nj1 zFD ijjj ≤≤−=

con xio = 0, VN+1 = 0, W1 = 0 y UN = 0.

Para resolver el sistema se necesita conocer el perfil de

V

Kij


¡OJO! ¡Se ha omitido el subíndice i de los coeficientes!




=

−−−

−−−

N

2

1

N

2

1

NN

1N1N1N

2N2N2N

331

222

11

D

...

...

...

...

...

...

...

...

...

D

D

x

...

...

...

...

...

...

...

...

...

x

x

BA000.........0

CBA00.........0

0CBA0.........0

......

......

......

......

.........

.........

0.........0CBA0

0.........00CBA

0.........000CB



Algoritmo de ThomasAlgoritmo de Thomas

1

2i111i

B

xCDx

−=

B

Dq

B

Cp

1

11

1

11 ==

2i111i xpqx −=

Etapa 1

Cambio de variable:


3i

122

2

122

1222i x

pAB

C

pAB

qADx

−−

−

−=

Etapa 2

Cambio de variable:

122

22

122

1222

pAB

Cpy

pAB

qADq

−=

−

−=

3i222i xpqx −=En general

1jjj

j

j

1jjj

1jjj

jpAB

Cpy

pAB

qADq

−−

−

−=

−

−=

1j,ijjij xpqx +−=

Etapa N

NiN qx =



Algoritmo de ThomasAlgoritmo de Thomas

�Se conoce el perfil de coeficientes A, B, C y D

(a partir de las especificaciones y estimaciones iniciales)


1jjj

j

j

1jjj

1jjj

jpAB

Cpy

pAB

qADq

−−

−

−=

−

−=

1j,ijjij xpqx +−=

NiN qx =

�Se calcula el perfil de coeficientes p y q

(una vez calculado q1 y p1, cada qj y pj se obtiene a partir de los valores obtenidos en el piso anterior)

�Se llega a qN y se calcula la composición del residuo

�Se calcula la xij en sentido ascendente a partir de la del piso inferior

6



MMéétodos numtodos numééricosricos

• Dificultad: cálculo de las derivadas parciales de K y de H.

• Métodos de derivación numérica.

• Convergencia: cálculo de la norma.

• Restricciones para las variables.

• Factorización LU

• Métodos quasi-Newton

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ Importancia de las estimaciones iniciales!!!!!Importancia de las estimaciones iniciales!!!!!



MMéétodo del punto de burbuja para todo del punto de burbuja para destilacidestilacióónn

En cada iteración se calcula un nuevo conjunto de temperaturas de las etapas a partir de las ecuaciones del punto de burbuja.

Las ecuaciones se separan y se resuelven en forma secuencial, excepto las ecuaciones M modificadas, que se resuelven de forma separada para cada componente por el método de Thomas



Se calculan Qj mediante la ecuación H para la etapa 1 y QNmediante el balance global de entalpía

MMéétodo BPtodo BPSe especifica Fj, zij, TFj, PFj (o HFj), Qj (excepto para j=1 y

j=N), N, L1 (reflujo), V1 (destilado), Pj

Se ajustan las variables de tanteo (Tj, Vj, Kjj)

Se calculan las xij por el método de Thomas

Se normalizan las xij

Se calculan nuevas Tj mediante la ecuación del punto de burbuja

Se calculan nuevos Vj (2.57) y Lj (2.34)

SI NO

Se ajustan las variables de tanteo

τ = 0.01 N (2.60)FIN



MMéétodo BPtodo BP

Ecuaciones H reordenadas:

j1jjjj VV γ=β+α +

( ) jLVjFLjLL

1j

1m

1mmmj

LVj

VLj

Q)HH( W)HH(F)HH(VUWF

HH

HH

jjjj1jj

j1j

j1j

+−+−+−

−−−=γ

−=β

−=α

−

+

−

∑−

=

γ

γ

γ

γ

γ

α−γ

=

βα

βα

βα

βα

βα

β

−

−

−

−

−

−−

−−

−−

1N

2N

3N

4

3

222

N

1N

2N

5

4

3

1N1N

2N2N

3N3N

44

33

2

...

...

...

...

...

...

V

V

V

V

...

...

...

...

...

...

V

V

V

000.........0

000.........0

000.........0

......

......

......

......

.........

.........

0.........000

0.........000

0.........0000

1j

1j1j1j

j

3

3334

2

2223

VV

...

VV

VV

−

−−−

β

α−γ=

β

α−γ=

β

α−γ=

V1 es el destilado vapor

V2 se obtiene de un balance en el condensador

Se empieza por la ecuación H2



MMéétodo BPtodo BP

ε≤

−+

−∑∑=

−

=

−2

N

1j)k(

j

)1k(

j

)k(

j

2

N

1j)k(

j

)1k(

j

)k(

j

V

VV

T

TT

N01.0)TT(N

1j

2)1k(

j

)k(

j ≤−=τ ∑=

−

Criterios de convergencia:



MMéétodo de la Suma de Caudalestodo de la Suma de Caudales

Método BP: falla en problemas de absorción/desorción.

� Cálculo del punto de burbuja muy sensible a la composición de la fase líquida

� Balance de entalpía de la etapa más sensible a T que a los caudales L y V

Método de suma de caudales (SR)

7


Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante MMéétodo SRtodo SR

� Especificaciones y estimaciones iniciales: como en el método BP

� Xij: resolución de ecuaciones M modificadas por el algoritmo de Thomas

� Lj: ecuación de suma de caudales

� Vj: balances de materia

� Tj: balances de entalpía

∑=

+=

c

1iij

)k(

j

)1k(

j xLL

∑=

− −−+−=N

jmmmmN1jj )UWF(LLV

0QH)WV(H)U(L HFHVHLH jjVjjjLjjjFj1jV1j1jL1jj =−+−+−++=++−−



MMéétodo SRtodo SR

Especificar todas las Fj y zij junto con su condición térmica, Pj, Uj, Wj, Qj, N

Inicializar variables de tanteo (Tj y Vj)

Calcular xij de (2.37) por el método de Thomas

Calcular nuevos Lj de la ecuación de suma de caudales (2.61) y nuevos Vj de (2.62) (balance de materia con la cabeza de la columna)

Normalizar xij para cada etapa. calcular los correspondientes yij = Kijxijy normalizarlos

Calcular nuevas Tj según (2.31) (ecuaciones H)

Evaluaciones secuenciales (una ecuación cada vez)

τ (de (2.60)) < 0.001 N

FIN

SI

NO

Evaluaciones de la ecuación de la matriz tridiagonal (un componente cada vez)



MMéétodo de la Suma de Caudales todo de la Suma de Caudales IsotIsotéérmicosrmicos

� Aplicable cuando las corrientes están a la misma T, el calor de mezcla es despreciable (operación isotérmica) o cuando están especificadas todas las Tj

� Aplicable a extracción Líquido-Líquido

� Friday y Smith – Tsuboka y Katayama



MMéétodo ISRtodo ISR

Especificar Fj, zij, TFj, PFj, Pj, Uj, Wj, Tj, N

k = 1

Inicializar Vj

Suponer valores de xijCalcular yij (balance de materia)

Calcular γijL, γijVCalcular Kij

r = 1

Calcular xij por el método de Thomas (2.37)

τ1 (2.64) < ε1 Normalizar xij Calcular nuevos gijL y Kij

Calcular nuevos yij(y=Kx). Normalizar. Calcular nuevos γijV y Kij

NO

Calcular nuevos yij (

SI

Calcular nuevos Vj de la relación de suma de Caudales (2.65). Calcular nuevos Lj (

τ2 (2.66)<ε2 FINSI

Evaluación secuencial (una ecuación cada vez)

Ajustar variables de tanteo

k = k +1

r = 1

NO

r = r+1

Especificar Fj, zij, TFj, PFj, Pj, Uj, Wj, Tj, N

k = 1

Inicializar Vj

Suponer valores de xijCalcular yij (balance de materia)

Calcular γijL, γijVCalcular Kij

r = 1

Calcular xij por el método de Thomas ( . )

τ1 ( .6 ) < ε1τ1 ( .6 ) < ε1 Normalizar xij Calcular nuevos gijL y Kij

Calcular nuevos yij(y=Kx). Normalizar. Calcular nuevos γijV y Kij

NO

Calcular nuevos yij ( equilibrio) equilibrio)

SI

Calcular nuevos Vj de la relación d suma de ( . ). Calcular nuevos Lj ( ecuación H) ecuación H)

τ2 ( . )<ε2 FINFINSI

Evaluación secuencial (una ecuación cada vez)

Ajustar variables de tanteo

k = k +1

r = 1

NO

r = r+1



MMéétodos Newton 2Ntodos Newton 2N

�BP, SR perfil de T y perfil de L o V se calculan en pasos separados.

�Otra alternativa: calcularlos de forma conjunta, planteando dos ecuaciones por piso, que se resuelvenpor el método de Newton-Raphson.

�Tomich, Holland y Orbach y col. (difieren en la elecciónde las ecuaciones y variables independientes)




MMéétodo de todo de TomichTomich::

0xyc

1iij

c

1iij =− ∑∑

==

Ecuaciones HEcuaciones

VariablesPerfil de T

Perfil de V

8




1. Suponer T y V para cada piso.2. Calcular los valores de L mediante los balances de materia.

3. Calcular las composiciones del líquido , considerando los últimos perfiles de T, L y V, utilizando el método de la matriz tridiagonal, y las composiciones del vapor, a partir de las relaciones de equilibrio.

4. Generar un perfil de T y V resolviendo las ecuaciones independientes mediante el método de Newton-Raphson.

5. Comprobar si la norma de las funciones independientes es lo suficientemente pequeña.



MMéétodos Newton Globales o detodos Newton Globales o deCorrecciCorreccióón simultn simultáánea (SC)nea (SC)

�Más generales

�Capaces de resolver todos los problemas de separaciónmulticomponente en etapa múltiple

�Basados en la resolución conjunta de todas lasecuaciones MESH por técnicas de corrección simultánea



�En sistemas altamente no ideales (K y H dependenmucho de la composición) no resulta adecuadocalcular las composiciones a partir de los valoresprocedentes de la iteración anterior

�Muy sensibles a la calidad de las estimacionesiniciales

�Muy poderosos a la hora de tratar mezclas no ideales

MMéétodos SCtodos SC

�En ocasiones se requiere aplicar primero otrométodo riguroso (BP o SR) para encontraraproximaciones a la solución final que sirvan comoestimaciones iniciales para el método SC.



AplicaciAplicacióón basada en el mn basada en el méétodo de todo de NewtonNewton--RaphsonRaphson

Seleccionar y ordenar variables y ecuaciones

c elevado y N pequeño ecuaciones por tipos

c pequeño y N elevado ecuaciones por etapas





c pequeño y N elevado ecuaciones por etapas

NaphtaliNaphtali y y SandholmSandholm

Goldstein- Stanfiel

Ishii-Otto

Gallum y Holland (“almost band”)

Difieren en la elección de las funciones y variables independientes




MMéétodo SC de todo SC de NaphtaliNaphtali y y SandholmSandholm

En vez de resolver simultáneamente las N(2C + 3) ecuaciones MESH, se combinan para eliminar 2N variables, reduciendo el problema a la resoluciónsimultánea de N(2c + 1) ecuaciones.

ij

C

1ij

ij

C

1ij

lL

vV

∑

∑

=

=

=

=

9




Se definen sj = Uj/Lj y Sj = Wj/Vj(flujos adimensionales de corrientes laterales)

0fvl)S1(v)s1(lM ij1j,i1j,ijijjijij =−−−+++= +−

0vl

vlKE ijc

1kkj

c

1kkj

ijijij =−=∑

∑

=

=

0QfHvH-lHv)S1(Hl)s1(HH j

c

1i

ijF

c

1i

1j,iV

c

1i

1j,iL

c

1i

ijjV

c

1i

ijjLj j1j1jjj=−−−+++= ∑∑∑∑∑

==+

=−

==+−



MMéétodos SCtodos SCLas funciones y las variables de salida se agrupan por etapas, de cabeza a cola, obteniéndose una estructura de bloque tridiagonal en la matriz jacobiana de las derivadas parcial, con el fin de aplicar el algoritmo de Thomas:

[ ]T

Nj21 X,...,X,...,X,XX =

[ ]T

Nj21 F,...,F,...,F,FF =

[ ]Tcjijj2j1jcjijj2j1j l,...,l,...,v,l,T,v,...,v,...,v,vX =

[ ]T

cjijj2j1cjijj2j1jj E,...,E,...,E,E,M,...,M,...,M,M,HF =


Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante MMéétodos SCtodos SC

Newton-Raphson:

)k(

1

)k(F

X

FX

∂

∂−=∆

− )k()k()1k(XtXX ∆+=+

∂

∂

F

X

B C

A B C

A B C

A B C

A B

N N N

N N

=

− − −

1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

0 0 0

0 0

0

0 0

0 0

0 0 0

...

...

... ...

... ...

... ...

...

...

...




∂

∂

F

X

B C

A B C

A B C

A B C

A B

N N N

N N

=

− − −

1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

0 0 0

0 0

0

0 0

0 0

0 0 0

...

...

... ...

... ...

... ...

...

...

...

Submatrices(2c+1)x(2c+1) de derivadas parciales

Con respecto a las variables de salida de la etapa j-1

Con respecto a las variables de salida de la etapa j

Con respecto a las variables de salida de la etapa j+1







10






2N,C3,1

C

1i

33,i

3

V

3,C

C

1i

V3,i

3,1

V

3,1

C

1i

V3,i

3,1

V

2,C

C

1i

2L2,i2

2,C

L

2,1

C

1i

2L2,i2

2,1

L

2

C

1i

C

1i

2,i2

2

V

i,12

2

L

2C

C

1i

2Vi122

2C

V

2,1

C

1i

2Vi,12

2,1

V

1,CL

C

1i

1,i

1,C

L

1,1

C

1i

L

C

1i

1,i

1,1

L

11,i

1

L

1,C1,1

Hl...l(0TvTv

H

vHvv

H...vHv

v

Hl)s1(Hl)s1(

l

H

...l)s1(Hl)s1(l

HTv)S1(

T

Hl)s1(

T

H

v)S1(Hv)s1(v

H

v)S1(Hv)S1(v

HlHl

l

H

......lHll

H)T(l

T

H)v...v(

3

3

3

3

3

2

2

2

222

2

2

2

2

j

j

j

jj

−=∆++∆+

∆

∂−

∆

+

∂

∂−−∆

+

∂

∂−∆

+++

∂

∂+

+∆

+++

∂

∂++∆

+

∂

∂++

∂

∂+

∆

+++

∂

∂+

∆

+++

∂

∂+∆

+

∂

∂−

−∆

+

∂

∂−∆

∂

∂−∆++∆

∑

∑∑∑

∑∑ ∑

∑

∑∑

∑ ∑

=

===

== =

=

==

= =




SuposicionesSuposiciones parapara loslos valoresvalores de de laslas variables de variables de salidasalida::

�T, V y L para las etapas de cabeza y cola (quizá parauna o más etapas intermedias): el resto se obtienepor interpolación lineal

�Si los valores de K son independientes de la composición: se pueden hallar valores xij y loscorrespondientes yij en equilibrio.


�Una estimación menos precisa se obtiene realizandolos cálculos de flash para una combinación de losalimentos a una presión media de la columna y unarelación V/L que se aproxime a la relación entre losflujos de destilado y colas.




[ ]{ }∑ ∑= =

ε≤++=τN

1j3

c

1i

2

ij

2

ij

2

j3 )E()M()H(

ε32

1

102 1 10= +

=

−∑N C Fjj

N

( )

X

Xt expXX

)k(

(k))k()1k(

∆=+

Si se obtiene un caudal negativo:



MMéétodos SCtodos SC Especificar F j , z ij , T Fj , P Fj (o H F ), P j , η j , N

todas las Q j (excepto para j = 1 y j = N; una

variable para cada corriente lateral, una variable para la etapa de cabeza, y una para la de cola

Ajustar k = 1 (para comenzar

la primera iteración)

Inicializar las variables de tanteo T j , V j , L j

Calcular las suposiciones

iniciales de v j ,l ij

Calcular la suma de los cuadrados de las funciones de de discrepancia




τ 3<= ε

3

Calcular V j y

L j

Calcular Q 1 de

H 1 y Q N de H N si

no se especifican

FIN

Calcular

correcciones de

Newton-Raphson

Calcular t óptimo

para minimizar τ . 3

Calcular nuevos

valores de vj , l ij , T j

SI

(Ha convergido)

No

(No ha

convergido)

Ajustar k=k+1

Resolución

simultánea de

las ecs. por el

método de

newton-Raphson

11



MMéétodos todos InsideInside--OutOut

� Los métodos anteriores: nuevos valores de K y H cadavez que cambian las variables MESH.

� El concepto inside-out: utiliza las correlacionescomplejas para K y H para generar parámetros paramodelos más sencillos:• Estos parámetros son característicos para cada etapa, y

constituyen las variables para un bucle exterior.

• El bucle interior contiene la resolución del sistema de ecuaciones MESH, y consiste en alguna variante de losmétodos BP, SR o Newton 2N.



MMéétodos todos InsideInside--OutOut

BUCLE EXTERNO

k y H mediante modelos rigurosos (complejos)

BUCLE INTERNO

k y H mediante modelos sencillos (aproximados)SE APLICA UN MSE APLICA UN MÉÉTODO TODO RIGUROSO (BP, SR, SC)RIGUROSO (BP, SR, SC)

Se calculan Se calculan coeficientes coeficientes para modelos para modelos del bucle del bucle internointerno


Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante MMéétodos todos insideinside--outout

Modelos termodinModelos termodináámicos aproximadosmicos aproximados

Kbj = exp(Aj-Bj/Tj)

ln Kbj = Aj + Bj (1/Tj - 1/T*)

ln γij* = aij + bij xij

(Russell)

(Boston)

= ∑

i

iijbj KlnwexpK

[ ][ ]∑ ∂∂

∂∂=

i

ijij

ijij

ij)T/1(/Klny

)T/1(/Klnyw

∆HVj = cj - dj (Tj - T*)

∆HLj = ej - fj (Tj - T*)

Inicialización

Bucle interno

Bucle externo

Kbj = 1/Σαijxio también:

En el bucle interno:

xij, yij y Tj KijKij KbjKbj Tj

método riguroso

(sólo sustituir)



InicializaciInicializacióónn1. Se especifica N, condición de todos los alimentos y perfil de presión de la

columna

2. Se especifica localización de productos laterales (incluyendo intercambios de calor)

3. Se da una especificación adicional por cada producto lateral adicional.

4. Si no están especificados, se estiman los caudales de los productos laterales y, en función de éstos, los valores de Vj y Lj.

5. Se estima un perfil inicial de Tj (a partir de los puntos de burbuja y de rocíode una mezcla ficticia formada por la combinación de las corrientes de alimentación).

6. Se hace un flash isotérmico de la mezcla ficticia anterior, a la presión media de la columna y se utilizan las composiciones resultantes como perfil inicial de composición en la columna.

7. Se utilizan las estimaciones anteriores junto con los modelos termodinámicosrigurosos para determinar los valores de los coeficientes de los modelosaproximados.

MMéétodos todos insideinside--outout



Bucle internoBucle internoSe resuelven las ecuaciones MESH. Los valores de Kbj se obtienen mediante

Kbj = 1/Σαijxij

y permiten calcular nuevos valores de T y H mediante los modelos aproximados


Ecs MESH: proporcionan xijxij; proporcionan KbjKbj: proporciona Tj

(mediante parámetros Aj y Bj)



Bucle externoBucle externo

• Se calculan los valores de las volatilidades relativas y de las entalpías utilizando los resultados del bucle interno y aplicando los modelos termodinámicos rigurosos. Si los valores obtenidos son próximos a los utilizados para iniciar el bucle interno, el problema quedó resuelto al salir del bucle interno. En caso contrario, se continúa con el siguiente paso.

• Se utilizan los valores procedentes del paso anterior para obtener nuevos valores de los parámetros en losmodelos sencillos y volver al bucle interno.


12



MMéétodos de relajacitodos de relajacióónn• Rose, Sweeny y Schrodt, modificado por Ball, y posteriormente

mejorado por Jelinek, Hlavacek y Kubicek

• Utiliza ecuacionesecuaciones diferencialesdiferenciales en en estadoestado no no estacionarioestacionario parapara loslosbalances de balances de energenergííaa y de y de materiamateria de de loslos componentescomponentes. Comenzandoa partir de un conjunto supuesto cualquiera de valores iniciales, se resuelven estas ecuaciones numéricamente, para cada intervalo de tiempo, con las ecuaciones de equilibrio entre fases, para obtenervariaciones en las temperaturas de las etapas, flujos y composiciones.

• La velocidadvelocidad de de convergenciaconvergencia disminuyedisminuye al al aproximamosaproximamos a la a la solucisolucióónn..

• En el caso de problemas difíciles, Ketchum combina la estabilidad del método de relajación con la velocidad del método de Newton-Raphson SC para obtener un algoritmo sencillo que utiliza un factor de relajación ajustable.



MMéétodos de relajacitodos de relajacióónn

p,jppp,jp1p,j1p1p,j1Pp,j

p fxVxLyVxLdt

dx+−−+= −−++U

Balance de componente para una etapa p (Up son los moles de líquido en la etapa):

El incremento de tiempo se elegirse de manera más o menos arbitraria, de forma que el parámetro wp = ∆t/Up (factor de relajación) es el que gobierna la convergencia hacia la solución.

Analogía razonable a procesos de puesta en marcha de la columna.



MMéétodos todos homothomotóópicospicos o de o de continuacicontinuacióónn

F(x, B) = 0 • Se desea obtener x para distintos valores de B, dentro de un intervalo

• Dado B1, se puede obtener x1• Para un valor de B2 = B1+∆B, x1 puede ser un buen valor de partida para obtener x2

0=∂

∂+⋅

∂

∂

B

f

dB

dx

x

f Permite obtener directamente el conjunto de valores de x para un conjunto de valores de B, a partir de unos (x, B) iniciales




F(x*) = 0 Sistema que se desea resolver

t tal que: cuando t = 0, x = x0cuando t = 1, x = x*

F(x(tF(x(t)) = (1)) = (1--t) t) f(xf(x00))




H(x,t) = tF(x) + (1-t)G(x)



MMéétodos todos homothomotóópicospicos o de o de continuacicontinuacióónnH(x,t) = tF(x) + (1-t)G(x)

1. Se fija un conjunto inicial de temperaturas y caudales de vapor y de líquido para cada etapa y se resuelve la columna para obtener la solución conocida inicial (caso o modelo más sencillo).

2. Los resultados obtenidos en el paso anterior constituyen los valores iniciales para x en el método SC. Se hace t = 0.

3. Se resuelve H(x,t) = 0 mediante el método SC. Los valores de K y de las entalpías están determinados por el valor actual de t.

4. Si t < 1, se resuelve la ecuación (2.94) para obtener 5. Se obtiene un nuevo conjunto de variables, x, y se vuelve

al paso 3.

td/xd

13



MMéétodos todos homothomotóópicospicos o de o de continuacicontinuacióónnH(x,t) = tF(x) + (1-t)G(x)

1. t = 02. G(x) es el sistema MESH para una columna “sencilla”. La

resolución de G(x) = 0 permite obtener valores de las variables.

3. Se resuelve H = G(x) (por SC): se obtienen valores para las variables.

4. t = t + ∆t5. Se evalúan Hx y Ht y se obtienen los ∆x, que a su vez

proporcionan nuevos valores de las variables.6. Con los valores de las variables del paso 5 se calculan las K

y las H.7. Se repite desde el paso 3 hasta alcanzar t = 1



ResumenResumen• Métodos etapa a etapa y ecuación a ecuación� Entorno para balances: entre la etapa y la cabeza o la cola.

� Se requiere información (especificada o estimada) que permita partir de un extremo de la columna.

� Se va avanzando en el cálculo etapa a etapa y se van aplicando consecutivamente las ecuaciones para cada etapa.



ResumenResumen• Métodos componente a componente� Entorno para balances: alrededor de la etapa.

� Se requiere información (especificada o estimada) sobre perfiles en la columna (normalmente de T y L).

� Se resuelven simultáneamente las ecuaciones para todas las etapas. Se agrupan por componentes.

BP (T: cálculos punto burbuja, L: balances H)

SR, SRI (T: balances H, L: suma caudales)

No usan métodos numéricos

xij: matriz tridiagonal

Newton 2N

Utilizan métodos numéricosSC

Métodos numéricos para sistemas de 2N ecuaciones

xij: matriz tridiagonal



ResumenResumen• Otros métodos� Combinan alguno de los anteriores (componente a componente) con algún otro criterio.

Inside-Out (bucle interno con modelos sencillos)

Relajación (ecuaciones en estado no estacionario)

Homotopía (principio de homotopía)



¿¿CCóómo y cumo y cuáándo se debe ndo se debe utilizar cada mutilizar cada méétodo?todo?

• Consideraciones relativas al conjunto de estimaciones iniciales

• Problemas que pueden plantearse durante la introducción de datos

• Análisis de resultados y resolución de problemas

• Aspectos a considerar en la elección de un paquete de programas



MMéétodos BP, SR, Newtontodos BP, SR, Newton--2N y SC2N y SC: sólo compatibles con un conjunto limitado de especificaciones (caudales), que son las que permiten resolver más fácilmente el conjunto de ecuaciones MESH. Suele preferirse otro tipo de especificaciones (pureza).

14



Algunos métodos pueden modificarse para adaptarse a un cierto tipo de especificaciones. En otros casos hay conjuntos de especificaciones incompatibles.

• Especificación simultánea de las purezas de las corrientes de cabeza y cola.

• Hay algunas variables pueden ser especialmente sensibles a la especificación.

• Concentración especificada para un componente demasiado pequeña



Problemas que pueden plantearse

�Localización del piso de alimentación: si está lejos del óptimo, puede aparecer un pinch-point.

�Un alimento demasiado frío o demasiado caliente puede perturbar uno o más pisos y provocar un pinchpoint.

�La razón de reflujo en cada sector ha de superar el mínimo de operación para la columna. Problemas ocasionados por columnas operando cerca del mínimo.

�No todos los métodos permiten la especificación de la pureza o la recuperación de más de un producto.



� En una columna sencilla, dos especificaciones de pureza para el mismo producto o dos especificaciones para la misma corriente pueden ser imposibles.

� Especificación de pureza/recuperación demasiado elevada.

� Las combinaciones de especificaciones de pureza/recuperación y de caudal de producto pueden ser discordantes.

� Especificación de todos los caudales.

� Especificación de un vapor de cabeza en un sistema que contiene incondensables.



�Especificación de la temperatura de los pisos.

�Caudales de productos (examinar el alimento y decidir que componentes podrán estar en cada producto a la vista de sus puntos de ebullición).

�Especificación de las pérdidas/aportes de calor y el reflujo o el vapor generado en la caldera (están directamente interrelacionados).

�Especificación de la temperatura y el producto de un piso (sólo hay un margen muy estrecho de soluciones para esta combinación).


Universitat d’AlacantUniversidad de Alicanteidealidad del

sistem a

SC Inside-Out Rango de T ª

ebu llic ión

Altam ente no

ideal

Moderadam ente

no idea l

idea l o poco no

ideal

No-equilibrio

- Absorción con

reacción quím ica

- Dependencia de la

transferencia de

m ateria

Destilación

altura de

la

colum na

Relajación Hom otopía

baja alta

destilación absorción

Estrecho

Inside-Out

(Rusell)

(2N-Newton)

Inside-Out

(Ruse ll)

(SR)

Medio

destilación absorción

Inside-O ut

(Boston o

Rusell)

(2N-Newton)

Inside-Out

(Rusell)

(2N-Newton)

Am plio

Destilación

Colum na

Inside-ou t

(Boston o

Rusell)

Com plejaSencillaTam año

co lum na

Inside-Out

(Boston o

Rusell)

(2N-Newton)Baja

AltaInside-Out

(boston)(BP)

mÉtodos rigurosos para el θ cÁlculo de operaciones … · 2016-05-27 · 3 ampliación...

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