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Métodos del Camino Crítico

Introducción a la Investigación de Operaciones– año 2007

I.O.-InCo-Facultad de Ingeniería-UDELAR

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Contenido y Bibliografía•Introducción al problema del ordenamiento.

•Métodos del Camino Crítico.

•Función económica- Optimización.

•Hillier & Lieberman : Introducción a la Investigación de Operaciones, Mc Graw Hill, 1997.•Kaufmann & Desbazeille: Métdodo del Camino Crítico, Sagitario S.A. Barcelona, 1971.

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IntroducciónOrdenar es programar la ejecución de la realización de un trabajo.

•Se establecen tareas•Se asignan recursos•Se fijan fechasde ejecución para las tareas que componen el trabajo o proyecto.

Los problemas de ordenamiento son inherentes a toda organización.

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EjemploOrganización: hogar.

Proyecto:preparar cena

Problema deordenamiento.

Se listan:

•tareas,

•tiempos y

•restricciones de precedencia.

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Tarea nro.

Tarea Tiempo precedentes

1 Comprar queso muzarella 30 2 Rayar el queso 5 1 3 Batir 2 huevos 2 4 Mezclar huevos y queso ricotta 3 3 5 Picar cebollas y hongos 7 6 Cocinar la salsa de tomate 25 5 7 Hervir agua en una vasija 15 8 Hervir la pasta de lasaña 10 7 9 Enjuagar la pasta de lasaña 2 8 10 Unir los ingredientes 10 9,6,4,2 11 Precalentar el horno 15 12 Hornear la lasaña 30 10,11

Ejemplo(cont.)

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Formular el problema.

Modelarlo (p ej) con un grafo.

Encontrar para cada actividad:

• el tiempo de ejecución,

• las holguras que tienen ,

• si componen el camino crítico.

Procedimiento

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� Una llamada telefónicainterrumpió el proceso durante seis minutos cuando debíaestar picando las cebollas y hongos

� Cuanto tiempo se retrasará la cena?

�Si usa procesador de alimentos, el tiempopara picar se reduce de siete minutos a dos. Con esto, todavía se retrasará la cena?

Preguntas posibles

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•Informática (jobs scheduling, gestión de recursos: procesos, memoria en sistemas operativos, desarrollo de software),

•Construcción (seguimiento de proyectos),

•Industria (problemas de talleres, gestión de la producción),

•Administración (empleo de tiempo).

Problemas de ordenamiento –Areas de aplicación

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Problemas de ordenamiento con restricciones temporales y de precedencia

Empírico: diagramas de Gantt, hasta 1958. Método gráfico de representar duración y sucesión de tareas,

y visualizar posibles soluciones

Metódicos:• PERT: Program Evaluation &

ReviewTechnique (americano), • CPM: Critical Path Method (de los

potenciales B. Roy).

Métodos de Solución

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Representación de las soluciones (diagrama de Gantt)

Es un método gráfico de representar la solución (el ordenamiento);

Valiosa herramienta para resolver el problema, en forma empírica.

Se visualizan

tiempos, duraciones,

sucesión de tareas y

utilización de recursos.

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Ejemplo: Diagrama de Gantt

Sean 5 tareas I = (1, 2, 3, 4, 5)

de duraciones d = (6, 3, 4, 5, 5)

que usan, {4, 1, 3, 2, 3} unidades de recurso 1

y {8, 7, 10, 10, 4} unidades de recurso 2,

fechas de inicio ejecución

t i: {0, 3, 6, 8, 10}

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Sucesión y tiempos

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Utilización de Recursos

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Método de Camino CríticoEl método del camino crítico resuelve problemas donde solo se consideran restricciones potenciales (sucesión y ubicación temporal, en el tiempo). Es un caso particular de problemas de ordenamiento, los más simples.Es un método polinomial.Las Redes de Petri permiten incluir restricciones de recursos, pero no siempre se obtiene la optimalidad.

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Nociones elementalesde ordenamiento

�las tareas,

�las restricciones potenciales,

�los recursos y

�la función económica.

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Son el común denominador de los problemas de ordenamiento, su definición no es siempre inmediata, ni trivial.

Cuando la duración y las fechas mas tempranas de comienzode una tarea son conocidas, estamos ante un problema estático.

Por el contrario, cuando el conjunto de tareas evoluciona con el tiempo, estamos ante problemas dinámicos.

Y si lo hacen de forma no determinista, son estocásticos.

Tareas

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Tareas: Modos de ejecución

a) continua (sin interrupción) o

b) discontinua.La tarea en este caso es "preemtable" (interrumpible)

El poder interrumpir tareas, disminuye la

complejidad de los problemas de ordenamiento. Eso ocurre, p, ej. cuando una tarea j de mayor prioridad necesita de un recurso qué está siendo usado por otra tarea i, si esta tarea puede ser interrumpida , el recurso pasa a ser utilizado por j.

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Inciden en la sucesión y la ubicación de las tareas en el tiempo.

Ejemplos:

•Restricciones de sucesión: construir primero los cimientos de un edificio, luego las paredes, etc.

• Restricciones de ubicación temporal: tal tarea no puede comenzar antes de tal fecha, o debe terminar antes que tal otra tarea.

Restricciones potenciales

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Tareas: Restricciones potenciales�Si dos tareas NO pueden ejecutarse simultáneamente, (p.ej, cuando requieren el

mismo recurso al mismo tiempo), NO se usanlas restricciones potenciales.

� El conjunto de restricciones potencialesse puede representar por un grafo ponderado.

� El Método de Camino Crítico trabaja esencialmente sobre ese grafo.

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RecursosSon los medios necesarios para que las

tareas se ejecuten.

Determinan dos tipos de restricciones:

1. Disjuntas. cuando, p. ej. dos tareas usan la misma máquina y no se pueden ejecutar simultáneamente.

2. Acumulativas: p. ej. :3 procesadores para ejecutar 4 tareas; una se retrasaráy deberá necesariamente esperar la finalización de alguna de las otras.

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Recursos1. Renovable: después de haber sido usado en

una tarea, es utilizable totalmente en las tareas posteriores. Ejemplos: máquinas, procesadores, archivos, personal, etc.

2. Consumible: después de haber sido utilizado en una tarea, ya no esta más disponible para las posteriores. Ejemplos: materias primas, dinero, etc.

Los recursos, sean renovables o no, pueden estar disponibles solamente durante ciertos períodos, sujetos a una curva de disponibilidad.

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Criterios de optimización

Los factores más importantes en la evaluación de un ordenamiento son:

�la utilización eficaz de los recursos,

�la disminución de la demora global

�el respeto del mayor número posible de restricciones introducidas.

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Función objetivoOrdenar es programar las tareas de manera de

optimizar “algo”

sujeto a restricciones.Ejemplo:

�Optimizar el uso de recursos,

�Optimizar la demora en la de ejecución de las tareas,

�Optimizar el cumplimiento de las fechas de finalización.

Criterio más usado: minimizar la duración total del programa respetando las fechas de los pedidos.

Otro criterio: minimizar el costo de operación, etc.

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Notación-conceptos generalesI = {conjunto de tareas},

n = número de tareas a ejecutar (card I),

di = duración de la tarea i,

ci = fecha de disponibilidad, o

comienzo mas temprano de la tareai

Fi = fecha finalización forzada ("deadline") tarea i

t i = fecha de comienzo de ejecuciónde la tarea i,

T i = fecha de fin de ejecuciónde la tarea i.

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Tareas y Tiempos

�Si la tarea iNO se interrumpe,

T i = ti + di.

�Una condición necesaria para que un ordenamiento sea realizable es:

ci ≤≤≤≤ t i <<<< T i ≤≤≤≤ Fi, ∀∀∀∀ i ∈∈∈∈ I

�En ciertos casos, si hay un retardo

tal que T i >>>> Fi, se podrá considerar un costo asociado a la tarea i.

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Tareas: Restricción Potencial

En general, dos tareas cualesquiera i, j ∈∈∈∈ I ,

no son independientes y pueden estar ligadas por restricciones de anterioridad (sucesión).

Notaremos una restricción potencial entre las tareas j e i de la sg manera:

t j - t i ≥≥≥≥ aij

Si aij = di , la sucesión es simple.

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Criterios de optimización-MCCDuración total del ordenamiento:

Tmax = max {Ti}, ∀∀∀∀ i∈∈∈∈I.

(fecha de fin de la tarea que termina último)

Obs: Fecha de comienzo del proyecto t0= 0,

Criterio mas utilizado:min Tmax

según restricciones potenciales

Generalmente con este criterio se asegura además una utilización eficaz de los recursos.

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Otro criterio de optimización: Respetar las fechas mas tardías de finalización

Es decir, minimizar el retraso mayor.

Las demoras se relacionan con las fi fechas obligatorias y que deben ser respetadas.

Sea el retraso de i: Ri = max (0, Ti - Fi)entonces el retraso mayor es

Rmax = max {Ri} i∈∈∈∈I .

El criterio sería min (Rmax)

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Otros criterios: Minimizar costos , Minimizar número de interrupciones

a) La suma ponderada de las fechas de finalización de tareas; es usado para minimizar costos de inventarios

b) Si una tarea es interrumpida n veces, la suma del número total de interrupciones para todas las tareas (criterio secundario y complementario). En multiprogramación, a cada interrupción de tarea, se asocia un cambio de contexto con duración no despreciable.

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El problema central de los ordenamientos

Se trata de ordenar

un conjunto de tareas I={1,...n}

de modo de obtener

una duración minimal del proyecto.

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El problema central de los ordenamientos

Las tareas están sujetas a restricciones temporales del tipo

t j - t i ≥≥≥≥ aij , i, j ∈∈∈∈ I desigualdad potencial

t i es la fecha de comienzo de la tarea i (respectivamente tj y j)

aij es un número real.

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El problema central de los ordenamientos

Objetivo: min (Tmax):

tiempo de fin de la última tarea

Min (max i∈∈∈∈X(t i +di)) sujeto a: tj - t i ≥≥≥≥ aij ,

aij Real, Ti=ti+di

Se modela mediante grafos ponderados. Se calculan caminos en grafos.

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Modelado: grafo potencial-tareas

Se modela como un problema de optimización combinatoria mediante

un grafo ponderado G = (X,U,W)

llamado de potencial-tareas.

X = I ∪∪∪∪ {0, n+1} ,

conjunto de tareas I , más dos tareas adicionales, ficticias, una de inicio llamada tarea 0 y una de fin, la tarea n+1.

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Modelado: grafo potencial-tareas

G = (X,U,W), potencial-tareas.

X = I ∪∪∪∪ {0, n+1} ,

Las tareas 0 y (n+1) tienen una duración nula.

U : {arcos (0, i), donde w(0,i) = 0,

arcos (i, j) asociados a las restricciones potenciales, con w(i,j) = aij , y

arcos (i,n+1) con w(i,n+1) = di }.

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Ejemplo

m

0

i

j

k

n+1

0

0

aik

dj

aij

amj

dk

0

0

di

dm

dk

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Propiedades

1) t0 = 0, para asegurar la positividadde una solución.

2) Restricciones potenciales t j-t i ≥≥≥≥ aij

3)Restricciones redundantes : si existen (i,j), (j,k) y (i,k),

tal que aik ≤≤≤≤ aij + ajk , (i, k) puede suprimirse.

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Ejemplo - redundancia

aijajk

aik

i

j

k

Min {max i (t i + di)}t j - t i ≥≥≥≥ aijtk - t j ≥≥≥≥ ajk

tk - t i ≥≥≥≥ aij + ajkpor otro lado

tk - t i ≥≥≥≥ aik

Si aij + ajk ≥≥≥≥ aik entonces

puedo eliminar (i,k)

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Ejemplo-redundancia

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Aplicando redundancia

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Modelado de restricciones por desigualdades de potencial

ci: Fecha de disponibilidad,

t i ≥≥≥≥ ci, implica la restricción potencial

(t i-t0) ≥≥≥≥ ci

0

i

ci

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Deadline Fi

Fi: Fecha mas tardía admitida de

finalización,

(t i + di)≤≤≤≤ Fi, ���� (t0 - t i) ≥≥≥≥ (di - Fi)

i0

(di - Fi)

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Sucesión Larga o Simple

La tarea j no puede comenzar antes del fin de la tarea i:

t j ≥≥≥≥ t i + di,

���� t j-t i ≥≥≥≥ di

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Sucesión inmediata

La tarea j empieza exactamentecuando termina la tarea i:

t j = ti + di, t j - t i = di

(t j - t i ≥≥≥≥ di) y t j - t i ≤≤≤≤ di

����(t j - t i) ≥≥≥≥ di y

(t i - t j) ≥≥≥≥ -di

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Ejemplo

I = {1, 2, 3, 4, 5} ; d = {1, 3, 1, 2, 1}

La tarea 2 comienza en la fecha 3;

Las tareas 3 y 4 deben superponerse por al menos una unidad de tiempo;

La tarea 4 puede comenzar solamente despues del fin de las tareas 1 y 2;

La tarea 5 no puede empezar antes del comienzo de la tarea 3.

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EjemploLas duraciones de las 5 tareas I = {1, 2, 3, 4, 5},son d = {1, 3, 1, 2, 1}

Restricciones temporales:

1. la tarea 2 comienza en la fecha 3: [t2 - t0 = 3]

restricción potencial[t2 - t0 ≥≥≥≥ 3] y [t0 - t2 ≥≥≥≥ - 3]

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Ejemplo

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Aplicando redundanciaGrafo potencial-tarea

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2. las tareas 3 y 4 deben superponerse por al menos una unidad de tiempo:[t3 ≤≤≤≤ t4 + d4 -1] y [t4 ≤≤≤≤ t3 + d3 - 1]t4 - t3 ≥≥≥≥ 1 - d4=-1 y t3 - t4 ≥≥≥≥ 1 - d3 =0

d = {1, 3, 1, 2, 1}

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d = {1, 3, 1, 2, 1}3. la tarea 4 puede comenzar solamente

después del fin de las tareas 1 y 2: [t4 - t1 ≥≥≥≥ d1] y [t4 - t2 ≥≥≥≥ d2]

4. la tarea 5 no puede empezar antes del comienzo de la tarea 3 [t5 ≥≥≥≥ t3] ==> t5 - t3 ≥≥≥≥ 0

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Problema simple

tarea duración restricciones potenciales 1 3 2 7 3 4 la tarea 1 precede a la tarea 3 4 6 las tareas 1 y 2 preceden a la 4 5 5 la tarea 3 precede a la 5 6 3 las tareas 3 y 4 preceden a la 6 7 2 la tarea 6 precede a la 7

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Grafo potencial tareas.Redundancia aplicada

(7,

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Método Cam.CríticoConceptos generales

Grafo conjuntivo: es un grafo G=(X, U,W), (ponderado)

con un nodo raiz 0 y otro final n+1, tal que

existe un camino de valor positivo entre la raiz y todo otro nodo del grafo,

y un camino de valor positivo entre todo nodo distinto del nodo final y el nodo final del grafo.

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Grafo Conjuntivo

0 n+1

i∈∈∈∈I

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Conjunto de potencialesen G

Un conjunto de potenciales en un grafo conjuntivo G = (X, U, W), es una aplicación t : X→→→→R,

tal que t0 = 0 y que

∀ (i,j) , arco conjuntivo, con ponderación

w(i,j) = w ij , se aplica la restricción potencial

(t j - t i) ≥≥≥≥ wij .

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Teorema de Existencia

Una condición necesaria y suficiente

para que exista un conjunto de potenciales sobre un

grafo conjuntivo G=(X ,U, W)

es que este grafo no contenga circuitos de

valor estrictamente positivo.

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Sea [1,2,...r,1] un circuito de valor estrictamente positivo: w12 +....+ wr1 >>>> 0.Por H. existe un conjunto de potenciales sobre G, t2 - t1 ≥≥≥≥ w12

……...….... tr- tr-1 ≥≥≥≥ w(r-1)r

t1- tr ≥≥≥≥ wr1Sumando tenemos w12 + ...+ wr1≤≤≤≤ 0,

absurdo.

Demostración: (⇒⇒⇒⇒) Por absurdo.

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Demostración (⇐⇐⇐⇐)H: G conjuntivo: ∃∃∃∃ al menos un camino

de valor positivo, de 0 a i. No ∃∃∃∃ circuitos de valor positivo.

T: ∃∃∃∃ conjunto de potenciales.

Tomemos un camino de 0 a i y suprimamos circuitos negativos. Así puedo extraer un camino de 0 a i, elemental, de valor por lo menos el del camino original ( ≥≥≥≥ ).

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Demostración (⇐⇐⇐⇐)Tomemos un camino de 0 a i y suprimamos circuitos negativos. Así obtengo un camino de 0 a i, elemental, de valor por lo menos el del camino original ( ≥ ).

0 i

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Cont. Demostración (⇐⇐⇐⇐)El nro. de caminos elementales es finito.

Por eso, ∃∃∃∃ algun camino de 0 a i que es máximo.

Sea r i el valor máximo de entre los caminos elementales de 0 a i;

Además r0 = 0.

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Cont. Demostración (⇐⇐⇐⇐)

r i + w(i,j) = valor de un camino de 0 a jpasando por i con un valor ri,

Por lo tanto r i + w(i,j) ≤≤≤≤ r j���� r j – r i ≥≥≥≥ wij , ∀∀∀∀ i, j∈∈∈∈ I .

R={ r i } ∀∀∀∀ i ∈∈∈∈ I es un conjunto de potenciales LQQD.

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Corolario 1: Si un grafo conjuntivo no tiene circuitos, existe siempre al menos un conjunto de potenciales asociados.

Corolario 2: Si las ponderaciones de los arcos de un grafo conjuntivo son positivas o nulas, existe al menos un conjunto de potenciales sii todos los circuitos son de valor nulo.

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Notaciones y definiciones

De ahora en adelante, suponemos que el grafo conjuntivo no contiene circuitos de valor positivo.

Sea V(i,j) el valor maximal de un caminode i a j,

V(i,i) = 0 y V(i,j) = -∞∞∞∞ si NO hay camino de i a j.

���� r i = V(0,i).

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Lema 1∀pareja i, j ∈∈∈∈ I y (i,j) ∈∈∈∈U:

t j - t i ≥≥≥≥ V(i,j).Demo: Sea [i, h,...,k, j] un camino de

i a j de valor V(i,j) (max),Por def. de potencial en G:

th-t i ≥≥≥≥ wih, tr-th ≥≥≥≥ whr , ..., tk-ts≥≥≥≥ wsk, tj-tk ≥≥≥≥ wkj .

sumando todos los términos:t j - t i ≥≥≥≥ wih + ...+ wkj = V(i,j). L.Q.Q.D.

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Proposición 1∀conjunto de potenciales T = {ti},

r i ≤≤≤≤ t i.

Dem: Según el lema anterior, ti - t0 ≥≥≥≥ V(0,i),V(0,i) = ri y t 0= 0,

ri ≤≤≤≤ ti L.Q.Q.D.

Esta propiedad muestra que para el conjunto de potenciales R, las tareas se ejecutan lo más temprano posible.

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Conjunto de potenciales optimales,Camino Crítico

En los métodos de potenciales se buscará un ordenamiento de duración total minimal.

Este ordenamiento corresponderá a un conjunto de potenciales tal que tn+1 sea minimal (obs. Tn = tn+1 ).

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Conjunto de potenciales optimalesCamino Crítico

Según la proposición 1, ri ≤≤≤≤ ti,

cuándotn+1 es minimal? tn+1 = rn+1

tn+1 = rn+1 = V(0,n+1) valor maximal de uncamino que va de 0 a n+1.

Es el camino crítico y notamos t* su valor.