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� La cantidad de movimiento lineal total de la bola de billar es aproxima-damente la misma antes y después del impacto. En este capítulo se empleanmétodos basados en las cantidades de movimiento lineal y angular paraanalizar los desplazamientos de los objetos.

M

Al integrar la segunda ley de Newton con respecto altiempo, se obtiene una relación entre la integral respectoal tiempo de las fuerzas que actúan sobre un objeto y elcambio en su cantidad de movimiento lineal. Con este re-sultado, llamado el principio del impulso y la cantidad demovimiento, se puede no sólo determinar el cambio enla velocidad de un objeto cuando se conocen las fuerzasexternas en función del tiempo, sino también analizarimpactos entre objetos y evaluar las fuerzas ejercidas porflujos continuos de masa.

6

v¿A

vA

v¿B

224 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.1 Principio del impulso y la cantidadde movimiento

ANTECEDENTESEl principio del trabajo y la energía es una herramienta muy útil en mecánica. Sepuede obtener otra herramienta útil para el análisis del movimiento al integrar lasegunda ley de Newton con respecto al tiempo. Dicha ley se expresa en la forma

Luego se integra con respecto al tiempo para obtener

(16.1)

donde v1 y v2 son las velocidades del centro de masa en los tiempos t1 y t2. El tér-mino de la izquierda se llama impulso lineal, y mv es la cantidad de movimientolineal. La ecuación (16.1) se denomina el principio del impulso y la cantidad demovimiento: El impulso aplicado a un objeto durante un intervalo de tiempo esigual al cambio en su cantidad de movimiento lineal (figura 16.1). Las dimensio-nes del impulso lineal y la cantidad de movimiento lineal son (masa) � (longitud)�(tiempo).

El promedio respecto al tiempo de la fuerza total que actúa sobre un objetodesde t1 hasta t2 es

de manera que la ecuación (16.1) puede escribirse como

(t2 � t1) ©Fprom � mv2 � mv1. (16.2)

Con esta ecuación se puede determinar el valor promedio de la fuerza total queactúa sobre un objeto durante un intervalo de tiempo dado si se conoce el cambioen su velocidad.

Una fuerza que actúa durante un intervalo pequeño de tiempo, pero que ejer-ce un impulso lineal significativo, se llama fuerza impulsiva. En la figura 16.2 semuestra una fuerza impulsiva y su promedio respecto al tiempo. La determinacióndel desarrollo temporal real de tal fuerza suele ser impráctica, pero algunas veces

©Fprom =1

t2 - t1 Lt2

t1

©F dt,

Lt2

t1

©F dt = mv2 - mv1,

©F = m

dvdt

.

Tiempo t1

t1

t2

mv1 �F

Tiempo t2

mv2�F dt � mv2 � mv1fFigura 16.1Principio del impulso y la cantidad de movimiento.

16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 225

puede especificarse su valor promedio con la ecuación (16.2). Por ejemplo, una pelo-ta de golf golpeada por un palo está sometida a una fuerza impulsiva. Filmando agran velocidad es posible determinar la duración del impacto, la velocidad de lapelota y el movimiento resultante por el impacto. Conociendo la duración y la canti-dad de movimiento lineal de la pelota resultantes del impacto, es posible determinarla fuerza promedio ejercida sobre la pelota por el palo (vea el ejemplo 16.3).

Las ecuaciones (16.1) y (16.2) pueden expresarse en formas escalares que amenudo resultan útiles. La suma de las fuerzas en la dirección tangente a la tra-yectoria de un objeto es igual al producto de su masa por la razón de cambio de suvelocidad a lo largo de la trayectoria (vea la ecuación 14.7):

Integrando esta ecuación con respecto al tiempo, se obtiene

(16.3)

donde v1 y v2 son las velocidades a lo largo de la trayectoria en los tiempos t1 y t2. Elimpulso aplicado a un objeto por la suma de las fuerzas tangentes a su trayectoriadurante un intervalo de tiempo es igual al cambio en la cantidad de movimientolineal a lo largo de la trayectoria. En términos del promedio con respecto al tiem-po de la suma de las fuerzas tangentes a la trayectoria, o bien

la ecuación (16.3) puede escribirse como

(t2 � t1) ©Ft prom � mv2 � mv1. (16.4)

Esta ecuación relaciona el promedio de la suma de las fuerzas tangentes a la tra-yectoria durante un intervalo de tiempo con el cambio en la velocidad a lo largode la trayectoria.

Observe que la ecuación (16.1) y el principio del trabajo y la energía, ecua-ción (15.6), son muy similares. Ambas expresiones relacionan la integral de lasfuerzas externas con el cambio en la velocidad de un objeto. La ecuación (16.1) esuna ecuación vectorial que proporciona el cambio en la magnitud y la dirección dela velocidad, mientras que el principio del trabajo y la energía, que es una ecuaciónescalar, sólo proporciona el cambio en la magnitud de la velocidad. Sin embargo,hay una gran diferencia entre los dos métodos: en el caso del impulso y la canti-dad de movimiento, no hay tipos de fuerzas equivalentes a las fuerzas conservativasque facilitan en gran medida la aplicación del trabajo y la energía.

Cuando se conocen las fuerzas externas que actúan sobre un objeto como fun-ciones del tiempo, el principio del impulso y la cantidad de movimiento puedeaplicarse para determinar el cambio en su velocidad durante un intervalo de tiempo.Aunque éste es un resultado importante, no es nuevo. En el capítulo 14, cuando seusó la segunda ley de Newton para determinar la aceleración de un objeto y luegose integró la aceleración con respecto al tiempo para determinar su velocidad, se esta-ba aplicando de manera efectiva el principio del impulso y la cantidad de movimien-to. En el resto de este capítulo se mostrará que tal principio puede extenderse anuevas e interesantes aplicaciones.

©Ft prom =1

t2 - t1 Lt2

t1

©Ft dt,

Lt2

t1

©Ft dt = mv2 - mv1,

©Ft = mat = m

dv

dt.

tt2t1

Fprom

F

Figura 16.2Fuerza impulsiva y su valor promedio.


RESULTADOS

Al integrar la segunda ley de Newton con respectoal tiempo desde t1 hasta t2 se obtiene el principiodel impulso y la cantidad de movimiento: el im-pulso lineal aplicado a un objeto es igual al cam-bio en su cantidad de movimiento lineal.

3t2

t1

�F dt � mv2 � mv1. (16.1)

Impulso lineal

Tiempo t1

mv1 �F

Tiempo t2

mv2

Una fuerza que actúa a lo largo de un interva-lo de tiempo pequeño pero que ejerce un im-pulso lineal significativo se denomina fuerzaimpulsiva. Con frecuencia, el principio delimpulso y la cantidad de movimiento puedeusarse para determinar el valor promedio deuna fuerza impulsiva.

(t2 � t1)�Fprom � mv2 � mv1 (16.2)

Introduciendo el promedio de la fuerza total conrespecto al tiempo de t1 a t2 ,

el principio del impulso y el momento puedeexpresarse en términos de la fuerza promedio.

�Fprom � �F dt,1

t2 � t1 Lt1

t2

Formas alternativas del principio del impulso y lacantidad de movimiento que se usan con frecuen-cia. �Ft es la componente tangencial de la fuerzatotal sobre un objeto y �Ft prom es el promedio de�Ft desde t1 hasta t2. Los términos v1 y v2 son lasvelocidades a lo largo de la trayectoria en t1 y t2.

(t2 � t1)�Ft prom � mv2 � mv1. (16.4)

�Ft dt � mv2 � mv1, (16.3)Lt1

t2

16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 227

Ejemplo activo 16.1 Aplicación del impulso y la cantidad de movimiento (� Relacionado conel problema 16.7)

Un helicóptero de 1200 kg parte desde el reposo en el tiempo t � 0. Las componentesde la fuerza total (en newtons) sobre el helicóptero desde t � 0 hasta t � 10 s son

Determine la velocidad del helicóptero en t � 10 s.

©Fz = 0.

©Fy = 2160 - 360t,

©Fx = 720t,

Problema de práctica Suponga que no se conocen las componentes de la fuer-za total que actúa sobre el helicóptero desde t � 10 s hasta t � 20 s. Sin embargo, sesabe que en t � 20 s, la velocidad del helicóptero es 36i � 8j (m�s). ¿Cuál es la fuerzatotal promedio que actúa sobre éste desde t � 10 s hasta t � 20 s?

Respuesta: 720 i + 600j (N).

EstrategiaSe conoce la velocidad del helicóptero en t � 0 y las componentes de la fuerza totalque actúa sobre éste como una función del tiempo, por lo tanto se puede usar laecuación (16.1) para determinar su velocidad en t � 10 s.

Solución

y

x

Aplique el principio delimpulso y la cantidad demovimiento desde t � 0hasta t � 10 s.

310

0

[720ti � (2160 � 360t)j]dt � (1200)v2 � (1200)(0),

�F dt � mv2 � mv1:

36,000i � 3600j � 1200v2.

Despejando v2, la velocidad en t � 10 s es 30i � 3j (m/s).

360t2i � (2160t � 180t2)j � 1200v2,�� 10

0

Lt1

t2


La motocicleta mostrada parte desde el reposo en el tiempo t � 0. La componen-te tangencial de la fuerza total (en newtons) que actúa sobre la motocicleta desdet � 0 hasta t � 30 s es

La masa combinada de la motocicleta y su piloto es de 225 kg. ¿Cuál es la magni-tud de la velocidad de la motocicleta en t � 30 s?

©Ft = 300 - 9t.

Se obtiene

Problema de práctica ¿Cuál es el promedio de la componente tangencial de lafuerza total que actúa sobre la motocicleta desde t � 0 hasta t � 30 s?

Respuesta: ©Ft = 165 N.

v2 = 22 m/s.

EstrategiaSe conoce la velocidad en t � 0 y se sabe cuál es la componente tangencial de lafuerza total en función del tiempo, por lo tanto se puede utilizar la ecuación (16.3)para determinar la magnitud de la velocidad en t � 30 s.

Solución

Aplique la ecuación (16.3)al intervalo de tiempoentre t � 0 y t � 30 s.

330

0

(300 � 9t)dt � 225v2 � 225(0),

�Ft dt � mv2 � mv1:

4950 � 225v2.

300t � 4.5t2 �� 30

0� 225v2,

Lt1

t2

Ejemplo activo 16.2 Impulso y cantidad de movimiento tangentes a la trayectoria(� Relacionado con los problemas 16.29, 16.30)


Problemas

16.1 La caja de 20 kg mostrada está en reposo en el tiempo t � 0;se encuentra sujeta a una fuerza horizontal dada como una funcióndel tiempo (en newtons) por F � 10 � 2t2.

a) Determine la magnitud del impulso lineal ejercido sobre la cajadesde t � 0 hasta t � 4 s.

b) Use principio del impulso y la cantidad de movimiento paradeterminar qué tan rápidamente se está moviendo la caja ent � 4 s.

16.2 La caja de 100 lb mostrada se suelta desde el reposo sobrela superficie inclinada en el tiempo t � 0. El coeficiente de friccióncinética entre la caja y la superficie es mk � 0.18.

a) Determine la magnitud del impulso lineal debido a las fuerzasque actúan sobre la caja desde t � 0 hasta t � 2 s.

b) Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento paradeterminar la velocidad a la que se mueve la caja en t � 2 s.

16.3 La masa del helicóptero mostrado es de 9300 kg. Despegaverticalmente en el tiempo t � 0. El piloto presiona el aceleradorde manera que el empuje hacia arriba de su motor (kN) está dadocomo una función del tiempo en segundos por T � 100 � 2t2.

a) Determine la magnitud del impulso lineal debido a las fuerzasque actúan sobre el helicóptero desde t � 0 hasta t � 3 s.

b) Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento paradeterminar la velocidad a la que se mueve el helicóptero en t � 3 s.

16.4 Un barco carguero de 150 millones de kg parte desde elreposo. La fuerza total ejercida sobre éste por sus motores y la re-sistencia aerodinámica (en newtons) puede aproximarse como unafunción del tiempo en segundos por ©Ft � 937,500 – 0.65t2.Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para de-terminar la velocidad a la que se estará moviendo el barco despuésde 16 minutos.

Problema 16.4

30�

F

Problema 16.1

Problema 16.2

Problema 16.3

Problemas 231

y

x

z

�F

Problemas 16.8�16.9

Problema 16.6

Problema 16.5

16.5 La masa combinada de la motocicleta mostrada y su con-ductor es de 136 kg. El coeficiente de fricción cinética entre losneumáticos de la motocicleta y el camino es mk � 0.6. El conduc-tor parte desde el reposo y hace girar la rueda trasera (motriz).La fuerza normal entre la rueda trasera y el camino es de 790 N.

a) ¿Qué impulso ejerce la fuerza de fricción sobre la ruedatrasera en 2 s?

b) Si se ignoran otras fuerzas horizontales, ¿cuál es la velocidadque alcanza la motocicleta en 2 s?

16.6 Un ingeniero biomecánico modela la fuerza generada por lasalas del petrel de las nieves de 0.2 kg mostrado en la figura, me-diante una ecuación de la forma F � F0(1 � sen vt), donde F0 y vson constantes. A partir de mediciones en video de un ave despe-gando, el ingeniero estima que v � 18 y determina que el ave re-quiere 1.42 s para despegar y cuando lo hace se mueve a 6.1 m�s.Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento paradeterminar la constante F0.

� 16.7 En el ejemplo activo 16.1, ¿cuál es la fuerza total pro-medio que actúa sobre el helicóptero desde t � 0 hasta t � 10 s?

16.8 En el tiempo t � 0, la velocidad del objeto de 15 kg que semuestra en la figura es v � 2i � 3j – 5k (m�s). La fuerza totalque actúa sobre el objeto desde t � 0 hasta t � 4 s es

Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para de-terminar su velocidad en t � 4 s.

16.9 En el tiempo t � 0, la velocidad del objeto de 15 kg que semuestra en la figura es v � 2i � 3j – 5k (m�s). La fuerza totalque actúa sobre el objeto desde t � 0 hasta t � 4 s es

¿Cuál es la fuerza total promedio que actúa sobre el objeto duran-te el intervalo de tiempo entre t � 0 y t � 4 s?

©F = (2t2- 3t + 7)i + 5tj + (3t + 7)k (N).

©F = (2t2- 3t + 7)i + 5tj + (3t + 7)k (N).


A

B

rrA

rB

O

Figura 16.4Vector de posición r del centro de masa comúnde A y B.

A

FAB

FBA B

Figura 16.3Dos objetos y las fuerzas que ejercen entre sí.

16.2 Conservación de la cantidadde movimiento lineal y los impactos

ANTECEDENTESEn esta sección se consideran los movimientos de varios objetos y se muestra quesi las fuerzas externas pueden ignorarse, la cantidad de movimiento lineal total delos objetos se conserva. (Por fuerzas externas se entiende aquellas fuerzas que noson ejercidas por los objetos bajo consideración). Este resultado proporciona unaherramienta poderosa para analizar interacciones entre objetos, como las colisiones,y también permite determinar las fuerzas ejercidas sobre los objetos como resultadode la ganancia o pérdida de masa.

Conservación de la cantidad de movimiento linealConsidere los objetos A y B de la figura 16.3. FAB es la fuerza ejercida sobre Apor B y FBA es la fuerza ejercida sobre B por A. Esas fuerzas podrían resultar delcontacto entre los dos cuerpos, o podrían ser ejercidas por un resorte que losconectara. Como consecuencia de la tercera ley de Newton, esas fuerzas son igua-les y opuestas, de manera que

(16.5)

Suponga que ninguna otra fuerza externa actúa sobre A y B, o que las otras fuer-zas externas son insignificantes en comparación con las fuerzas que A y B ejercenentre sí. Entonces se puede aplicar el principio del impulso y la cantidad de movi-miento a cada objeto durante tiempos arbitrarios t1 y t2:

Al sumar estas ecuaciones, los términos de la izquierda se cancelan y se tiene

lo que significa que la cantidad de movimiento lineal total de A y B se conserva:

(16.6)

Se puede demostrar que la velocidad del centro de masa combinado de A y B (esdecir, de A y B considerados como un solo objeto) también es constante. Sean rA

y rB, los vectores de posición de sus centros de masa individuales (figura 16.4). Laposición del centro de masa combinado es

Derivando esta ecuación respecto al tiempo y usando la ecuación (16.6), seobtiene

(16.7)

donde es la velocidad del centro de masa combinado. Aunque por logeneral el objetivo consistirá en determinar los movimientos individuales de losobjetos, si se sabe que la velocidad del centro de masa combinado es constantecontribuye al mejor entendimiento del problema, y en algunos casos el movi-miento del centro de masa combinado puede ser la única información que puedeobtenerse.

v = dr>dt

v =mA vA + mB vB

mA + mB= constant,

r =mA rA + mB rB

mA + mB.

mA vA + mB vB = constant.

mA vA1 + mB vB1 = mA vA2 + mB vB2,

Lt2

t1

FBA dt = mB vB2 - mB vB1.

Lt2

t1

FAB dt = mA vA2 - mA vA1,

FAB + FBA = 0.

constante,

constante.

16.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal y los impactos 239

ImpactosEn máquinas que realizan operaciones de estampado o de forja, los troqueles seimpactan contra las piezas de trabajo. Las impresoras mecánicas crean imáge-nes impactando elementos metálicos contra papel y placas. Hay vehículos que seimpactan de manera intencional, como cuando los vagones de ferrocarril se hacenchocar para acoplarlos entre sí, y otros sin intención, en los accidentes. Los impac-tos ocurren en muchas situaciones de interés para la ingeniería. En esta sección seconsidera un asunto básico: si se conocen las velocidades de dos objetos antes de quechoquen, ¿cómo se pueden determinar las velocidades después de la colisión? Esdecir, ¿cuál es el efecto del impacto sobre los movimientos de los objetos?

Si los cuerpos que chocan no están sujetos a fuerzas externas, sus cantidades demovimiento lineal total deben ser las mismas antes y después del impacto. Aun cuan-do estén sujetos a fuerzas externas, la fuerza del impacto a menudo es tan grandey su duración es tan breve, que el efecto en sus movimientos durante el impacto esinsignificante. Suponga que los objetos A y B con velocidades y entran en

colisión; sean v�A y sus velocidades después del impacto (figura 16.5a). Si losefectos de fuerzas externas son insignificantes, la cantidad de movimiento linealtotal del sistema compuesto por A y B se conserva:

(16.8)

Además, la velocidad v del centro de masa de A y B es la misma antes y despuésdel impacto. Así, de la ecuación (16.7),

(16.9)

Si A y B se adhieren y permanecen juntos después de la colisión, se dice que expe-rimentan un impacto perfectamente plástico. La ecuación (16.9) proporciona lavelocidad del centro de masa del objeto que ellos forman después del impacto(figura 16.5b). Un aspecto notable de este resultado es que se puede determinar lavelocidad posterior al impacto sin considerar la naturaleza física del impacto.

Si A y B no se adhieren, la conservación de la cantidad de movimiento linealpor sí misma no es suficiente para determinar sus velocidades después del impac-to. Primero se considerará el caso en que viajan a lo largo de la misma línea rectaantes y después de que tengan la colisión.

Impactos centrales directos Suponga que los centros de masa de A y B via-jan a lo largo de la misma línea recta con velocidades y antes de su impacto(figura 16.6a). Sea R la magnitud de la fuerza que ejercen entre sí durante el impac-to (figura 16.6b). Se supone que las superficies que chocan están orientadas demanera que R es paralela a la línea en la que viajan los dos objetos y que está diri-gida hacia sus centros de masa. Esta condición, llamada impacto central directo,significa que A y B pueden seguir viajando en la misma línea recta después delimpacto (figura 16.6c). Si los efectos de las fuerzas externas durante el impacto soninsignificantes, la cantidad de movimiento lineal total de los objetos se conserva:

(16.10)mA vA + mB vB = mA vAœ

+ mB vBœ .

vBvA

v =mA vA + mB vB

mA + mB.

mA vA + mB vB = mA vAœ

+ mB vBœ .

vBœ

vBvA

Aun cuando haya fuerzas externas que actúen sobra A y B, si las fuerzas exter-nas son insignificantes en una dirección particular, las ecuaciones (l6.6) y (16.7)son aplicables en esa dirección. Estas ecuaciones también se aplican a un númeroarbitrario de cuerpos: si las fuerzas externas que actúan sobre cualquier conjuntode cuerpos son insignificantes, la cantidad de movimiento lineal total de los cuer-pos se conserva y la velocidad de sus centros de masa es constante.

v

v vBvA

(b)

v vBvA

(a)

v�Bv�A v

AB

AB

A B

AB

Figura 16.5(a) Velocidades de A y B antes y después del

impacto y velocidad v de sus centros demasa.

(b) Impacto perfectamente plástico.


vA vB

A B(a) Antes del impacto

(b) Durante del impacto

v �A v�B

A B

R B

RA

A B

(c) Después del impacto

Figura 16.6(a) Objetos A y B que recorren la misma línea

recta.(b) Durante el impacto, ejercen entre sí una

fuerza R.(c) Recorren la misma línea recta después

del impacto central.

A B

A

A B

B

(a)

(b)

(c)

Figura 16.7(a) Primer contacto, (b) Acercamiento más próximo, (c) Fin del contacto, t = t2.

t = tC.t = t1.

Sin embargo, se necesita otra ecuación para determinar las velocidades y Para obtenerla se debe considerar el impacto con mayor detalle.

Sea t1 el tiempo en que A y B entran por primera vez en contacto (figura 16.7a).Como resultado del impacto, primero se deforman y sus centros de masa continúanacercándose uno al otro. En un tiempo tC, sus centros de masa habrán alcanzadosu máxima proximidad (figura 16.7b). En este tiempo, la velocidad relativa de losdos centros de masa es cero, por lo que ambos tendrán la misma velocidad; éstase denota con Los objetos comienzan a separarse en un tiempo t2 (figura16.7c). Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento a A duran-te los intervalos de tiempo desde t1 hasta el tiempo de máxima proximidad tC ytambién de tC a t2:

(16.11)

(16.12)

Después se aplica este principio a B en los mismos intervalos de tiempo:

(16.13)

(16.14)

Como resultado del impacto, parte de la energía cinética de los objetos puedeperderse debido a una variedad de mecanismos, incluidos la deformación perma-nente y la generación de calor y sonido. En consecuencia, el impulso que se impartenentre sí durante la fase de “restitución” del impacto de tC a t2 es, en general, menorque el impulso que se imparten de t1 a tC. La razón de esos impulsos se llama coefi-ciente de restitución:

(16.15)

El valor de e depende de las propiedades de los objetos y de sus velocidades yorientaciones al chocar, y se puede determinar sólo mediante experimentos o porun análisis detallado de las deformaciones durante el impacto.

e =L

t2

tC

R dt

LtC

t1

R dt

.

Lt2

tC

R dt = mB vBœ

- mB vC.

LtC

t1

R dt = mB vC - mB vB,

Lt2

tC

-R dt = mA vAœ

- mA vC.

LtC

t1

-R dt = mA vC - mA vA,

vC.

vBœ .vA

œ

Si se divide la ecuación (16.12) entre la ecuación (16.11) y se divide laecuación (16.14) entre la ecuación (16.13), se pueden expresar las ecuaciones resul-tantes en las formas

y

Restando la primera ecuación de la segunda, se obtiene

(16.16)

Así, el coeficiente de restitución se relaciona de manera sencilla con las velocida-des relativas de los objetos antes y después del impacto. Si se conoce e, puedeusarse la ecuación (16.16) junto con la ecuación de la conservación de la cantidadde movimiento lineal, ecuación (16.10), para determinar y

Si e � 0, la ecuación (16.16) indica que Los objetos permanecen

juntos después del impacto, y éste es perfectamente plástico. Si e � 1, puededemostrarse que la energía cinética total es la misma antes y después del impacto:

Un impacto en el que se conserva la energía cinética se denomina perfectamenteelástico. Aunque a veces ésta es una aproximación útil, en cualquier impacto entrecuerpos materiales siempre se pierde energía. Si un choque se puede escuchar, laenergía cinética se ha convertido en sonido. Las deformaciones permanentes y lasvibraciones de los cuerpos en colisión después del impacto también representanpérdidas de energía cinética.

Impactos centrales oblicuos El procedimiento utilizado para analizar losimpactos centrales se puede extender al caso en que los cuerpos se aproximanentre sí con un ángulo oblicuo. Suponga que A y B se aproximan con velocidadesarbitrarias vA y vB (figura 16.8) y que las fuerzas que ejercen entre sí durante suimpacto son paralelas al eje x y apuntan hacia sus centros de masa. Ninguna fuer-za se ejerce sobre A y B en las direcciones y o z, por lo que sus velocidades en esasdirecciones no cambian con el impacto:

(16.17)

En la dirección x se conserva la cantidad de movimiento lineal

(16.18)

Mediante el mismo análisis que se usó para obtener la ecuación (16.16), las com-ponentes x de la velocidad satisfacen la relación

(16.19)

Si la fricción es insignificante, se puede analizar un impacto en el que un objetoA choca con un objeto en reposo B. Suponga que B está restringido de manera que nopuede moverse con respecto al marco de referencia inercial. Por ejemplo, en la figu-ra 16.9, A golpea una pared B que está fija respecto a la Tierra. Las componentes y yz de la velocidad de A no cambian, porque la fricción se ignora y el impacto no ejer-ce ninguna fuerza en esas direcciones. La componente x de la velocidad de A despuésdel impacto está dada por la ecuación (16.19) con la velocidad de B igual a cero:

1vAœ 2x = -e1vA2x.

e =1vB

œ 2x - 1vAœ 2x

1vA2x - 1vB2x.

mA1vA2x + mB1vB2x = mA1vAœ 2x + mB1vB

œ 2x.

1vAœ 2z = 1vA2z, 1vB

œ 2z = 1vB2z.

1vAœ 2y = 1vA2y, 1vB

œ 2y = 1vB2y,

12 mA vA

2+

12 mB vB

2=

12 mA1vA

œ 22+

12 mB1vB

œ 22 1when e = 12.

vBœ

= vAœ .

vBœ .vA

œ

e =vB

œ- vA

œ

vA - vB.

1vC - vB2e = vBœ

- vC.

1vC - vA2e = vAœ

- vC


v�By

x

vBvA

A B

AB

v�A

Figura 16.8Impacto central oblicuo.

y

x

vA

A

A

B

v� A

Figura 16.9Impacto con un objeto en reposo.

(cuando e � 1).


RESULTADOS

Conservación de la cantidad de movimiento lineal

Impactos

Colisión perfectamente plástica

Si las únicas fuerzas que actúan sobre dosobjetos A y B son las fuerzas que ejercenentre sí, su cantidad de movimiento linealtotal se conserva y la velocidad v de sucentro de masa común es constante.

mAvA � mBvB � constante.

v �

(16.6)

(16.7)� constante.mAvA � mBvB

mA � mB

Si dos objetos A y B entran en colisión y losefectos de las fuerzas externas son insignifi-cantes, su cantidad de movimiento lineal totaly la velocidad de su centro de masa comúnson las mismas antes y después del impacto.

mAvA � mBvB � mAv¿A � mBv¿B, (16.8)

v � (16.9).mAvA � mBvB

mA � mB

v vBvA

v�Bv�A v

A B

AB

En este tipo de colisión, A y B se adhie-ren y permanecen juntos después delimpacto. La velocidad de su centro demasa común después del impacto estádada por la ecuación (16.9).

v

v vBvA

A B

AB


Se conserva la cantidad de movimiento linealen la dirección perpendicular al plano del im-pacto y las componentes de la velocidad estánrelacionadas por el coeficiente de restitución.

Las componentes de velocidad paralelas alplano del impacto no cambian.

(v¿A)y � (vA)y, (v¿B)y � (vB)y,

(v¿A)z � (vA)z, (v¿B)z � (vB)z.

(16.17)

e � (16.19)

mA(vA)x � mB(vB)x � mA(v¿A)x � mB(v¿B)x. (16.18)

.(v¿B)x � (v¿A)x

(vA)x � (vB)x

v�By

x

vBvA

A B

AB

v�A

Impacto central directo

Impacto central oblicuo

La cantidad de movimiento lineal se conser-va y las velocidades antes y después delimpacto están relacionadas por el coefi-ciente de restitución e. Si e � 0, la colisiónes perfectamente plástica, y si e � 1, seconserva la energía cinética total.

mAvA � mBvB � mAv¿A � mBv¿B, (16.10)

e � (16.16).v¿B � v¿A

vA � vB

vA vB

A BAntes delimpacto

Durante elimpacto

v �A v�B

A B

R B

RA

A B

Después delimpacto


Ejemplo activo 16.4 Conservación de la cantidad de movimiento lineal(� Relacionado con el problema 16.43)

Una persona de masa mP está de pie sobre el centro de la barcaza en reposo conmasa mB, que se muestra en la figura. Suponga que la persona corre hacia el extre-mo derecho de la barcaza y se detiene. ¿Cuál es su posición y la de la barcazarespecto a sus posiciones originales? Ignore las fuerzas horizontales ejercidas porel agua sobre la barcaza.

EstrategiaLas únicas fuerzas horizontales ejercidas sobre la persona y la barcaza son lasque éstas ejercen entre sí. Por lo tanto, la velocidad horizontal de su centro demasa común debe ser constante. Su velocidad inicial es cero, por lo que debe per-manecer en reposo: no se mueve. Esta condición puede usarse para determinar las po-siciones de los centros de masa de la persona y la barcaza cuando la primera seencuentra en el extremo derecho de la barcaza.

Solución

L12

L12

Coloque el origen del sistema coordena-do en la posición original del centro demasa común de la barcaza y la persona.Sea xP la posición de la persona cuandoésta se ha detenido en el extremo dere-cho de la barcaza, y sea xB la posiciónde la barcaza a la izquierda del origen.

y

x

xB

xP

L12

La posición del centro de masa comúnde la persona y la barcaza debe per-manecer en x � 0.

Resolviendo esta ecuación junto con la relaciónxP � xB � L/2 se obtienen las dos posiciones.

� 0.xPmP � (�xB)mB

mP � mBx �

mBL

2(mP � mB)xP � ,

mPL

2(mP � mB)xB � .


Ejemplo activo 16.5 Análisis de un impacto (� Relacionado con el problema 16.60)

Las masas A y B de 4 kg se deslizan sobre la barra horizontal lisa con las velocidadesmostradas. Determine sus velocidades después de entrar en colisión si su coefi-ciente de restitución es e � 0.8.

EstrategiaConociendo las masas, las velocidades antes de la colisión y el coeficiente derestitución, se pueden usar las ecuaciones (16.10) y (16.16) para determinar las ve-locidades de las dos masas después de la colisión.

Problema de práctica Suponga que las masas A y B están cubiertas con velcro y seadhieren entre sí al entrar en colisión. ¿Cuál es su velocidad después del impacto?

Respuesta: 2.5 m�s.

Aplique la ecuación (16.16) (defini-ción del coeficiente de restitución).

v¿B � v¿A

vA � vB

v¿B � v¿A

10 m/s � (�5 m/s)

e �

0.8 �

:

. (2)

Resuelva las ecuaciones (1) y (2) para ob-tener las velocidades después del impacto. v¿A � �3.5 m/s, v¿B � 8.5 m/s.

10 m/s 5 m/s

A B

Aplique la ecuación (16.10) (conserva-ción de la cantidad de movimiento lineal). (4 kg)(10 m/s) � (4 kg)(�5 m/s) � (4 kg)v¿A � (4 kg)v¿B. (1)

mAvA � mBvB � mAv¿A � mBv¿B :

Problema de práctica Si la persona deja su posición inicial sobre el centro dela barcaza en reposo y comienza a correr con velocidad hacia la derecha, ¿cuáles la velocidad resultante de la barcaza?

Respuesta: vB = (mP>mB)vP toward the left .

y

x

vB

vP

vP

hacia la izquierda.


x

B

A

vA

z

y

Ejemplo 16.6 Aplicación de los métodos de la cantidad de movimiento al acoplamientode una nave espacial (� Relacionado con el problema 16.77)

El módulo de servicio y comando Apolo (A) intenta acoplarse con la cápsula Soyuz(B) el 15 de julio de 1975. Sus masas son mA � 18 Mg y mB � 6.6 Mg. El Soyuz seencuentra en reposo respecto al marco de referencia mostrado, y el módulo de ser-vicio se aproxima con velocidad vA � 0.2i � 0.03j � 0.02k (m�s).a) Si el primer intento de acoplamiento tiene éxito, ¿cuál es la velocidad del centrode masa de los dos vehículos combinados después de haberse acoplado?b) Si el primer intento no tiene éxito y el coeficiente de restitución del impactoresultante es e � 0.95, ¿cuáles son las velocidades de los dos vehículos después delimpacto?

Estrategiaa) Si el acoplamiento tuvo éxito, el impacto es perfectamente plástico y se puedeemplear la ecuación (16.9) para determinar la velocidad del centro de masa del ob-jeto combinado después del impacto.b) Suponiendo un impacto central oblicuo con las fuerzas ejercidas por los collaresde acoplamiento paralelos al eje x, se pueden usar las ecuaciones (16.18) y (16.19)para determinar las velocidades de ambos vehículos después del impacto.

Solucióna) A partir la ecuación (16.9), la velocidad del centro de masa de los vehículos com-binados es

b) Las componentes y y z de las velocidades de ambos vehículos espaciales nocambian. Para determinar las componentes x, primero se usa la conservación de lacantidad de movimiento lineal, ecuación (16.18).

118 Mg210.2 m/s2 + 0 = 118 Mg21vAœ 2x + 16.6 Mg21vB

œ 2x.

mA1vA2x + mB1vB2x = mA1vAœ 2x + mB1vB

œ 2x:

= 0.146i + 0.0220j - 0.0146k 1m/s2.

=118 Mg230.2i + 0.03j - 0.02k 1m/s24 + 0

18 Mg + 6.6 Mg

v =mA vA + mB vB

mA + mB

Problemas 247

Después se usa el coeficiente de restitución, ecuación (16.19), para obtener

Resolviendo estas dos ecuaciones, se obtiene ypor lo que las velocidades de los vehículos espaciales

después del impacto son

Razonamiento crítico¿Por qué son útiles los cálculos de este tipo? Las simulaciones analíticas del im-pacto entre dos vehículos espaciales durante su acoplamiento se usaron en el diseñode los mecanismos de acople así como en el entrenamiento de astronautas que reali-zaron esta maniobra.

vœB = 0.285i 1m/s2.

vœA = 0.0954i + 0.03j - 0.02k 1m/s2,

1vBœ 2x = 0.285 m/s,

1vAœ 2x = 0.0954 m/s

0.95 =1vB

œ 2x - 1vAœ 2x

0.2 m/s - 0.

e =1vB

œ 2x - 1vAœ 2x

1vA2x - 1vB2x :

Problemas

Problema 16.43

� 16.43 Una joven que pesa 80 lb está de pie en reposo sobre unaplataforma flotante que pesa 325 lb. Empieza a correr a 10 pies�srespecto a la plataforma hasta llegar al extremo. Ignore la fuerzahorizontal ejercida por el agua sobre la plataforma.

a) Después de que la joven empieza a correr, ¿cuál es su veloci-dad respecto al agua?

b) Mientras ella está corriendo, ¿cuál es la velocidad del centrode masa común de la joven y la plataforma respecto al agua? (Veael ejemplo activo 16.4).

2 pies/sA 1 pie/sB

Problemas 16.44�16.45

16.44 Los vagones de ferrocarril mostrados, con pesosWA � 120,000 lb y WB � 70,000 lb, chocan y quedan acoplados.El carro A está lleno y el B lleno hasta la mitad de ácido carbólico.Cuando los vagones chocan, el ácido en B se agita con violencia.

a) Inmediatamente después del impacto, ¿cuál es la velocidad delcentro de masa común de los dos vagones?

b) Cuando ha terminado la agitación en B, ¿cuál es la velocidadde los dos vagones?

16.45 Los pesos de los vagones de ferrocarril mostrados sonWA � 120,000 lb y WB � 70,000 lb. La vía tiene una pendienteconstante de 0.2 grados hacia arriba a la derecha. Si los vagonesestán a 6 pies de distancia en el instante mostrado, ¿cuál es lavelocidad de su centro de masa común inmediatamente despuésdel acoplamiento?

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