módulo sesion 02

SESIÓN 2: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

LOGRO DE LA SESIÓN:

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas de su entorno cotidiano y profesional aplicando procedimientos y estrategias de resolución adecuadas, permitiéndole incrementar su capacidad análisis, abstracción y síntesis a favor de la obtención de la respuesta correcta así como su interpretación coherente.

EL FAMOSO PROBLEMA DE LA EDAD DE DIOFANTO

Diofanto de Alejandría fue un antiguo matemático griego. Es muy conocido por su trabajo en aritmética, álgebra y teoría de números.

Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad en que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega:

“Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.”

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS

Para resolver problemas, no existen reglas que aseguren el éxito en su solución, sin embargo, sin embargo a continuación presentamos algunos pasos y recomendaciones generales para mejorar el proceso de resolución:

A. Leer atentamente para comprender el problema.

Puede que sea necesario leer varias veces el problema hasta estar seguro de haberlo entendido. Es imprescindible rescatar toda la información relevante, como las condiciones, los datos significativos, la pregunta planteada, etc.

B. Pensar para elaborar una estrategia adecuada.

Al haber comprendido el problema, teniendo presente qué datos tenemos y qué nos solicitan, es el momento de elaborar una estrategia que nos permita dar respuesta a la pregunta planteada. Existe una gran variedad de herramientas que pueden utilizarse para elaborar dicha estrategia, a continuación se presentan algunas de uso frecuente:

Elegir una notación clara y concisa con el objetivo de relacionar adecuadamente la información, es decir, los datos con las variables definidas, así como las operaciones a ejecutarse.

Reconocer y/o buscar semejanzas con otros problemas. Hacer un dibujo, esquema o gráfico de apoyo que incluya la información

importante. Ensayo y error. Dividir un problema complejo en varios problemas simples. Usar programas o instrumentos de cálculo pueden proporcionar gran ayuda en

muchas situaciones pues permiten hacer un tratamiento gráfico o numérico preciso.

C. Ejecutar el plan de acción.

Ejecutar los pasos y/o operaciones definidas tratando de ser precisos en los cálculos. Si encontramos demasiadas complicaciones, volver al paso anterior y probar con una estrategia diferente. Generalmente hay varias formas de llegar a la solución y no podemos esperar acertar siempre con la más apropiada al primer intento. Cuando se ha obtenido el resultado, verificar que sea correcto. Son innumerables las veces que creemos haber resuelto un problema y luego no es así.

D. Redactar la respuesta.

Interpretar el resultado obtenido y redactar la respuesta de forma clara y ordenada de tal manera que pueda ser comprendida con facilidad por otra persona.

En resumen, tenemos que la estrategia general para resolver un problema se basa en el siguiente procedimiento:

Si resolviste un problema se recomienda reflexionar acerca del proceso de solución. Si no lo resolviste recuerda que se aprende mucho más de los problemas trabajados con interés aunque no hayan sido resueltos, que de los que se resuelven casi a primera vista.

Recuerda reflexionar sobre todo el proceso, esta es una etapa muy provechosa y que a menudo olvidamos realizar. Este proceso te ayudará a analizar problemas, no necesariamente matemáticos, sino de toda clase, aproximándote a ellos tratando de sacar el mejor partido posible de las ventajas de tu propio estilo.

PROBLEMAS CON OPERACIONES BÁSICAS:

A menudo nos encontramos con situaciones problemáticas que pueden ser resueltas usando conocimientos cotidianos y haciendo uso de un criterio adecuado para proponer operaciones básicas de fácil resolución. A continuación presentamos algunos ejemplos:

a) Un estudiante de negocios dispone de cincuenta minutos para rendir un examen virtual, al cabo de 38’37’’graba y envía su evaluación. ¿Cuántos segundos le sobraron al estudiante?

Solución:

DATOS

Tiempo disponible : 50 minutos

Tiempo empleado : 38 minutos y 37 segundos

PREGUNTA

¿Cuántos segundos le sobraron al estudiante?

OPERACIÓN

“Cómo solicitan la respuesta en segundos, sería conveniente convertir el tiempo disponible y el tiempo empleado a segundos para luego establecer la diferencia entre éstos”.

Cada minuto tiene 60 segundos por lo tanto:

Tiempo disponible : 50 minutos * 60 segundos = 3000 segundos

Tiempo empleado : 38 minutos * 60 segundos = 2280 segundosMás 37 segundos2280 + 37 = 2317 segundos

Para saber cuánto tiempo le sobró al estudiante procedemos a establecer la diferencia entre el tiempo disponible y el tiempo empleado:

Tiempo sobrante = Tiempo disponible – Tiempo empleado

Tiempo sobrante = 3000 – 2317

Tiempo sobrante = 683 segundos

RESPUESTA

Al estudiante de negocios le sobraron 683 segundos cuando rindió su examen virtual.

b) Un asistente contable acude a una librería para comprar tres millares de hojas bond, ½ docena de archivadores y ¼ de ciento de lápices.

Al consultar los precios le informan lo siguiente:

Paquete de medio millar de hojas bond : S/.13,50Archivador : S/.10,70Lápiz : S/.0,90

Si el asistente paga con un billete de S/.200 ¿Cuánto dinero recibirá de vuelto?

Solución:

DATOS:

Cantidades requeridas:

Hojas bond : 3 millaresArchivadores : ½ docenaLápices : ¼ de ciento

Precios de productos comprados:

Paquete de medio millar de hojas bond : S/.13,50Archivador : S/.10,70Lápiz : S/.0,90

Se paga la compra con un billete de S/.200

PREGUNTA

¿Cuánto dinero recibirá de vuelto?

OPERACIÓN

“Cómo solicitan cuánto dinero recibirá de vuelto, sería recomendable calcular cuánto se debe pagar por producto para luego totalizar y finalmente establecer la diferencia con 200 que es la denominación del billete con el cual paga el asistente”.

Hojas bond : Se necesitan 3 millares y cada paquete tiene ½ millar.La operación para saber cuántos paquetes de hojas bond se deben comprar es:

3 ÷12=3×2=6

Si cada paquete de hojas bond cuesta S/.13,50 entonces se debe pagar:

6 ×13,50=81

Archivadores: Se necesita ½ docena y cada archivador cuesta S/.10,70.Cada docena tiene 12 unidades por lo cual la operación para saber cuántos archivadores se deben comprar es:

12 ×12=6

Si cada archivador cuesta S/.10,70 entonces se debe pagar:

6 ×10,70=64,20

Lápices : Se necesita ¼ de ciento y cada lápiz cuesta S/.0,90Cada ciento tiene 100 unidades por lo cual la operación para saber cuántos lápices se deben comprar es:

100 ×14=25

Si cada lápiz cuesta S/.0,90 entonces se debe pagar:

25 ×0,90=22,50

Total a pagar = Total por hojas bond + Total por archivadores + Total por lápicesTotal a pagar = 81 + 64,20 + 22,50Total a pagar = 167,70

Vuelto = Denominación del billete – Total a pagarVuelto = 200 – 167,70Vuelto = 32,30 soles

RESPUESTA

El asistente contable recibirá de vuelto S/.32,30

c) La factura por la compra de una tablet señala que el Total venta es S/.696,20. Sin embargo la impresión de ésta no ha sido muy clara en las celdas de Sub total e I.G.V. (Impuesto general a las ventas). ¿Cuánto es el Sub total y el I.G.V. correspondientes a esta factura?

Solución:

DATOS:

Total venta : S/.696,20Porcentaje actual de I.G.V. : 18%

PREGUNTA

¿Cuánto es el Sub total y el I.G.V. correspondientes a esta factura?

OPERACIÓN

“Cómo solicitan cuánto es el Sub total y el I.G.V. correspondiente a esta factura sería recomendable recordar la estructura de este comprobante de pago y establecer las ope0,18 raciones correspondientes a los porcentajes establecidos”.

Sub total 100%I.G.V. 18%Total venta 118%

En la factura podemos establecer las siguientes equivalencias:

Sub total 100% 1,00 ¿?I.G.V. 18% 0,18 ¿?Total venta 118% 1,18 696,20

Para el cálculo del Sub total dividimos el Total venta S/.696,20 entre 1,18 (es el decimal que representa a su porcentaje) para obtener la unidad que representa al Sub total.

Sub total = 696,20 ÷ 1,18=590

Para el cálculo del I.G.V. multiplicamos al Sub total por 0,18 (es el decimal que representa al porcentaje de I.G.V. con respecto al Sub total)

I.G.V.= 590 ×0,18=106,20

RESPUESTA

El Sub total y el I.G.V. correspondientes a esta factura son de S/.590 y S/.106,20 respectivamente.

Sub total 590,00I.G.V. 106,20Total venta S/. 696,20

PROBLEMAS QUE REQUIEREN ANÁLISIS DE GRÁFICOS:

Estos problemas requieren que de un análisis minucioso del gráfico mostrado, generalmente se hacen operaciones muy sencillas con los datos que éste brinda.

A continuación veamos algunos ejemplos:

a) El siguiente gráfico presenta los resultados de una encuesta cuya muestra fue de 1000 personas en cada una de sus aplicaciones en Marzo 2006 y Mayo 2012.

Responder:

i. En el año 2006, ¿cuántas personas encuestadas leían más de cinco horas?

La muestra es de 1000 personas.Según el gráfico en el año 2006 el 9% de las personas encuestadas leían más de cinco horas.Por lo tanto, se recomienda calcular el 9% de 1000:

(0,09 ) (1000 )=90

RESPUESTA

En el año 2006, noventa personas leían más de cinco horas.

ii. En el año 2012, ¿cuántas personas encuestadas leían menos de una hora?

La muestra es de 1000 personas.Según el gráfico en el año 2012 el 15% de las personas encuestadas leían menos de una hora.Por lo tanto, se recomienda calcular el 15% de 1000:

(0,15 ) (1000 )=150RESPUESTA

En el año 2012, ciento cincuenta personas leían menos de una hora.

iii. Para el año 2012, ¿cuál es el incremento en el porcentaje de personas que no leen libros con respecto al año 2006?

Por simple inspección del gráfico, podemos notar que en la categoría de “nada” los porcentajes son los siguientes:

2006 : 51%2012 : 57%

Por lo tanto el incremento estará representado por la sustracción:

57% - 51% = 6%

RESPUESTA

En el año 2012, el incremento en el porcentaje de personas que no leen libros con respecto al año 2006 fue de 6% .

iv. En el año 2006, ¿cuántas personas no leían libros?

Por simple inspección del gráfico, podemos notar que en la categoría de “nada” el porcentaje para el año 2006 fue 51%.

La muestra es de 1000 personas.

Por lo tanto, se recomienda calcular el 51% de 1000:

(0,51 ) (1000 )=510RESPUESTA

En el año 2006, 510 personas no leían libros.

b) Analizar el siguiente gráfico y responder:

i. ¿En qué año la población consideraba que el principal problema era la corrupción?

RESPUESTA Año 2010

ii. ¿En qué año la población consideraba que el principal problema era la pobreza?

RESPUESTA Año 2008

iii. ¿En qué año la población consideraba que el principal problema eran las drogas?

RESPUESTA Año 2010

iv. En el año 2012, ¿cuál era el principal problema para la población encuestada?

RESPUESTA La delincuencia

v. En el año 2010, ¿cuál era el principal problema para la población encuestada?

RESPUESTA La corrupción

vi. En el año 2008, ¿cuál era el principal problema para la población encuestada?

RESPUESTA La pobreza

PROBLEMAS QUE REQUIEREN PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES:

Plantear una ecuación consiste en representar en el lenguaje matemático el enunciado de un problema.

Podemos deducir que no todo enunciado, frase u oración del lenguaje común puede ser traducido al lenguaje matemático, sin embargo, si el enunciado, frase u oración tiene información medible, entonces podemos afirmar que tal enunciado puede ser expresado en el lenguaje matemático.

¿Cómo podemos representar en el lenguaje matemático situaciones del lenguaje común?

1. Debemos leer atentamente la información para establecer los datos que nos proporcionan y aquello que se nos pide calcular.

2. Lo que nos piden calcular lo representaremos con una incógnita o variable, para lo cual utilizaremos letras del alfabeto.

3. Escribimos la ecuación tomando en cuenta las condiciones establecidas por la información dada.

4. Resolvemos dicha ecuación.5. Interpretamos el resultado obtenido en el lenguaje común.

Inicialmente revisaremos algunos ejemplos de traducción de enunciados verbales a su forma matemática:

a) El doble de un número... 2x

b) La mitad de un número…x2

c) La tercera parte del doble de un número…2 x3

d) La mitad de un número, aumentada en 10…x2+10

e) La mitad de un número aumentado en 10…x+10

2

f) El triple del precio de un producto, disminuido en 5 soles… 3x-5

g) El triple del precio de un producto disminuido en 5 soles… 3(x-5)

h) La cuarta parte de tu sueldo aumentado en 100 soles…x+100

4

i) La cuarta parte de tu sueldo, aumentado en 100 soles…x4+100

j) La suma de tres números consecutivos… x + x+1 + x+2

k) La suma de tres números pares consecutivos… x + x+2 + x+4

l) La suma de tres números impares consecutivos… x + x+2 + x+4

m) La suma de dos edades… x + y

n) La suma de dos edades es 57 años… x + y = 57

o) Un estudiante es 5 años mayor que su hermano… x – y = 5

p) Tu edad dentro de 6 años será 24 años… x + 6 = 24

q) Tu edad hace 4 años era 16 años… x – 4 = 16

r) El cuadrado de la mitad de un número… ( x2 )2

s) El cuadrado de un número es 144… x2=144

t) Seis veces el exceso de un número sobre ocho… 6 ( x−8 )

u) El cuádruple del cubo de un número… 4 ( x3 )

v) Un número disminuido en sus dos novenos… x−2 x9

Ahora revisemos algunos problemas:

w) La suma de tres números pares consecutivos es 588. Calcular el doble del número mayor.

Solución:

DATOS

La suma de tres números pares consecutivos es 588.

PREGUNTA

Calcular el doble del número mayor.

OPERACIÓN

“Se recomienda traducir el enunciado verbal del problema a su forma matemática”.

Identificación de variables:

x : Número menorx+2 : Número intermediox+4 : Número mayor

Por lo tanto, como la suma de tres números pares consecutivos es 588, la traducción al lenguaje matemático está dada por la ecuación:

x + x+2 + x+4 = 588

Reduciendo la ecuación:x + x+2 + x+4 = 588

3x + 6 = 588

Transposición de términos:3x = 588 – 6

3x = 582

x = 582

3

x = 194

Entonces tenemos:

x = 194 Número menorx+2 = 196 Número intermediox+4 = 198 Número mayor

Finalmente, el doble del número mayor se calcula multiplicando por 2 a 198, es decir: 2 ×198=396

RESPUESTA

El doble del mayor de los números pares es 396.

x) La suma de tres números enteros consecutivos es 41 unidades más que el número menor. Hallar el cuadrado del número mayor.

Solución:

DATOS

La suma de tres números enteros consecutivos es 41 unidades más que el número menor.

PREGUNTA

Hallar el cuadrado del número mayor.

OPERACIÓN



x : Número menorx+1 : Número intermediox+2 : Número mayor

Por lo tanto, como la suma de tres números enteros consecutivos es 41 unidades más que el número menor, la traducción al lenguaje matemático está dada por la ecuación:

x + x+1 + x+2 = x + 41

Reduciendo la ecuación:

x + x+1 + x+2 = x + 41

3x + 3 = x + 41

Transposición de términos:

3x - x = 41 – 3

2x = 38

x = 19

Entonces tenemos:

x = 19 Número menorx+1 = 20 Número intermediox+2 = 21 Número mayor

Finalmente, se debe calcular el cuadrado del número mayor: 212=441

RESPUESTA

El cuadrado del número mayor es 441.

y) Una persona depositó en un banco S/. 1480. Si su depósito consistió en sesenta billetes, algunos de diez nuevos soles y el resto de cincuenta nuevos soles. ¿Cuántos billetes de mayor denominación depositó?

Solución:

DATOS

Una persona depositó en un banco S/. 1480.Su depósito consistió en 60 billetes.Las denominaciones de los billetes son de 10 nuevos soles y de 50 nuevos soles.

PREGUNTA

¿Cuántos billetes de mayor denominación depositó?

Es equivalente a: ¿Cuántos billetes de 50 nuevos soles depositó?

OPERACIÓN



x : Número de billetes de 10 nuevos soles.y : Número de billetes de 50 nuevos soles.

Como se han depositado 60 billetes, la primera ecuación está dada por la ecuación:

x+ y=60De donde:

y=60−x

La segunda ecuación se basa en la información de que el depósito en el banco consistió en S/. 1480.

10 x+50 y=1480

Reemplazando el valor de “y” tenemos:

10 x+50 y=1480

10 x+50(60−x)=1480

Aplicando la propiedad distributiva:

10 x+3000−50 x=1480

Transposición de términos:

3000−1480=50 x−10 x

1520=40 x

152040

=x

38=x

Entonces tenemos:

x = 38 Número de billetes de S/.10

Reemplazando para determinar el número de billetes de S/.50:

y=60−xy=60−38

y=22RESPUESTA

Se depositó 22 billetes de 50 nuevos soles.

z) EL FAMOSO PROBLEMA DE LA EDAD DE DIOFANTO

“Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.”

Solución:

DATOS

La niñez ocupó la sexta parte de su vida.La doceava parte de su vida su mejilla se cubrió con bozo.Pasó la séptima parte de su vida antes de tomar esposa.Después de casarse pasaron 5 años para tener un precioso niño.El hijo de Diofanto falleció al alcanzar la mitad de la edad de su padre.Diofanto sobrevivió cuatro años más a la muerte de su hijo.

PREGUNTA

Calcular cuántos años tenía Diofanto cuando falleció. OPERACIÓN



x : Edad de Diofanto

De su epitafio tenemos:

x6

: La niñez ocupó la sexta parte de su vida.

x12

: La doceava parte de su vida su mejilla se cubrió con bozo.

x7

: Pasó la séptima parte de su vida antes de tomar esposa.

x2

: El hijo falleció al alcanzar la mitad de la edad de su padre.

Además se deben considerar 5 años que esperó luego de casarse para ser padre y los 4 años que sobrevivió a la muerte de su hijo.

Toda la información anterior se traduce en la siguiente ecuación:

x6+ x

12+ x

7+5+ x

2+4= x

Para resolver la ecuación se recomienda multiplicar a ambos miembros de la igualdad por 84 que es mínimo común múltiplo de los denominadores:

84 ( x6+ x

12+ x

7+5+ x

2+4)=84 x

Aplicando la propiedad distributiva y simplificando:

14 x+7 x+12 x+420+42 x+336=84 x

Reduciendo términos:75 x+756=84 x

Transposición de términos:756=84 x−75 x

756=9 x

84=xRESPUESTA

Diofanto falleció a la edad de 84 años.EJERCICIOS RESUELTOS

SESIÓN 2: PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES:

NIVEL I

1. En el centro de idiomas PCA, un 1/3 de los alumnos estudian inglés y el 33%

francés. ¿Cuál es la lengua más elegida?

Solución:

Datos OperaciónCantidad total de alumnos del

centro de idiomas PCA

de x estudian inglés.

estudian francés

Por lo tanto La lengua más elegida es el inglés.

2. El administrador de una panadería determinó que para preparar un pastel se necesita:

1/3 de un paquete de 750g de azúcar. 3/4 de un paquete de harina de kilo. 3/5 de una

barra de mantequilla de 200g. Determinar la cantidad en gramos que se necesitan

para preparar el pastel.

Solución:

Datos Operación

de 750g

de 1000g

de 200g Luego:

Por lo tanto la cantidad de gramos que se necesita para preparar el pastel es de gramos

3. Un depósito contiene 150 litros de agua. Se consume los 2/5 de su contenido.

¿Cuántos litros de agua quedan?

Solución:

Datos Operación

150 litros de agua

de 150Luego:

En consecuencia quedan 90 litros de agua.

4. Una familia ha consumido en un día de verano: dos botellas de litro y medio de

agua, 4 botellas de 1/3 de litro de chicha y 5 limonadas de 1/4 de litro. ¿Cuántos

líquidos han bebido en total?

Solución:

Datos Operación

2 botellas de litros de agua4 botellas de 1/3 litros de chicha5 botellas de 1/4 litros de limonadaT: cantidad total de litros

Por tanto, han bebido en total litros.5. En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el

depósito 25 litros por minuto, y por parte inferior por otro tubo salen 30 litros por

minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de

funcionamiento?

Solución:

Datos Operación

Cantidad inicial de agua: 800 litros

Vierte: 25 litros por minuto

Sale: 30 litros por minuto

Tiempo: 15 minutos

L: cantidad de litros después de 15 minutos.

Por tanto, después de 15 minutos habrá en el depósito 725 litros.6. Una caja contiene 60 . Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2.

a) ¿Cuántos bombones se comieron Eva y Ana?

b) ¿Qué fracción de bombones se comieron entre los dos?

Solución:

Datos Operación

Cantidad total de bombones: 60

Eva: 1/5 de 60

Ana 1/2 de 60

a) Eva:

Ana:

b)En consecuencia, Eva comió 12 bombones, Ana 30. La fracción de bombones que

comieron entre las dos es de

7. Una estudiante universitaria ha recorrido 600 metros, que son de los 3/4 del camino

de su casa a la universidad. ¿Qué distancia hay de su casa a la universidad?

Solución:

Datos Operación

X: Distancia de su casa a la universidad.

Recorrido: de x

Recorrido: 600

Por lo tanto, de su casa a la universidad huy 800 metros.

8. Dos Automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572km. El automóvil A lleva

recorrido los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/3 del mismo.

a) ¿Cuál de los dos va primero?

b) ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno?

Solución:

Datos Operación

Recorrido del auto A: de 572

Recorrido del auto B: de 572

a) Comparando ambas fracciones:

b) Recorridos

Por lo tanto:

a) El segundo auto va primerob) El auto A recorre 260km. El auto B recorre 264km.

9. En las elecciones locales celebradas en Huaral, 3/11 de los votos fueron para el

partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D: El total de

votos ha sido de 15 400. Calcular el número de votos obtenidos por cada partido.

Solución:

Datos Operación

Total de votos: 15 400

Partido A:

Partido B:

Partido C:

Partido D:

a) Votos de cada partido:

Por tanto: los votos obtenidos por cada partido son: partido A 4200 votos, B 4620,

C 5500 y D 1080.

10. Un padre reparte entre sus hijos $1800. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al

mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del

dinero recibió el menor?

Solución:

Datos Operación

Cantidad a repartir: $1800

Al mayor 4/9 de 1800

Al mediano 1/3 de 1800

.a) Lo que recibe cada uno:

El mayor

El mediano:

El menor:

b) La fracción de dinero que le corresponde al menor

Luego: El mayor recibe $800, el mediano $600 y el tercero $400. El menor recibió

2/9 de la cantidad total.

11. Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean en combustible,

1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basura, 1/4 en mantenimiento

del edificio y el resto se emplea en limpieza.

a) ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?

b) De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas

enumeradas de menor a mayor.

Solución:

Datos OperaciónIngresos: x

Combustible: 2/5 de x

Electricidad: 1/8 de x

Basura: 1/12 de x

a) Fracción que se emplea en limpieza

b) Ordenando de menor a mayor:

Mantenimiento: 1/4 de x

Por tanto: La fracción que se emplea en limpieza es de

12. Alicia dispone de $300 para sus gastos en la universidad. En libros gastó 2/5 de esa

cantidad y en inmobiliario los 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó en libros y en

inmobiliarios; y cuánto le quedó al final?

Solución:

Datos Operación

Saldo disponible: $300

Gasto en libros: 2/5 de 300

Gasto en inmobiliarios: 3/4 de

lo que le queda.

a) Gastos Libros

Si gasta $120, le queda $180

inmobiliarios

Saldo final

Por consiguiente, En libros gastó $120, en inmobiliarios $135 y el saldo final es de

$

13. Un enfermo debe tomar una gragea cada 30 minutos durante 2 días, tomando una al

principio y otra al final del periodo. ¿Cuánto fue el número de grageas tomadas?

Solución:

Datos Operación

Cada 30 min: 1 pastilla.0 min: 1ª pastilla30 min: 2ª pastilla.

60 min: 3ª pastilla.

1º hora: 3 pastillas

2º hora: + 2 pastillas

3º hora + 2 pastillas

24º horas + 2 pastillas

En dos días

Entonces, el número de grageas que tomó el enfermo durante dos días es igual a 58

pastillas.

14. Una aleación está compuesta por 24/29 de cobre, 4/29 de estaño y 1/29 de cinc.

¿Cuántos kilogramos de cada metal habrá en 348 Kg de aleación?

Solución:

Datos OperaciónTotal de aleación: 348 Kg

Cobre:

Estaño:

Cinc:

X = Aleación en general

Cobre:

Estaño:

Cinc:

Por ello, la aleación de 348 Kg tiene la composición de 288 Kg de cobre, 48 Kg de

estaño y 12 Kg de cinc.

15. Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en

3. ¿Cuál es el denominador de la fracción? Justifique su respuesta.

Solución:

Datos Operación

Fracción:

Denominador:

Debido a lo expuesto el denominador de la fracción es 7.

16. Si ¿A qué letra es equivalente el símbolo ?

Solución:

Datos Operación

Relación letra número:

(Número de letra).5=Número observado:

El número que representa a la letra = 20

Por lo tanto, el símbolo es equivalente a la letra S.

17. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de

éste. Hace cuatro años la edad del padre era doble de la edad del hijo. Hallar las

edades de ambos.

Solución:

Datos Operación

Edad Juan: x

Edad Padre de Juan: 15+x

Hace cuatro años:

Edad Juan: años

Edad Padre de Juan:

Juan: 20 años

Padre de Juan: 15 + 20 = 35

Por lo tanto, la edad de Juan es igual a 15 años y la de su padre es igual a 35 años.

18. Cierta suma de dinero es dividida entre “n” niños y cada uno recibe 60 dólares. Se

añade otro niño al grupo y se vuelve a dividir dicha suma y cada uno recibe 50

dólares. ¿Cuál es la suma repartida?

Solución:

Datos Operación

Cantidad total de dinero: soles

Número de niños: “n”

Por consiguiente la suma repartida es de S/. 300

NIVEL II

19. En el laboratorio de la academia se tiene dos amebas, si la primera mide 62mm y la

segunda 33mm, la primera crece 2mm por día y el otro 3mm por día. ¿Cuántos días

deben transcurrir para que alcancen la misma longitud?

Solución:

Datos Operación

Primera ameba: 62 mm

Segunda ameba: 33mm

Primera crece: 2mm por día.

Segunda crece: 3mm por día.

Luego, deben transcurrir 29 días para que las amebas tengan la misma longitud.

20. El gerente general de la empresa MAC. S.A.C, convoca a un concurso para ocupar el puesto de administrador. En la entrevista pregunta a los postulantes al puesto lo siguiente. “Si la quinta parte de su sueldo está designado a aportar al seguro, las 3/4 partes de su sueldo está designada a sus gastos y aun así ahorraría S/. 1 800; entonces ¿de cuánto será su sueldo?”¿Cuál sería la respuesta correcta del postulante?

Solución:

Datos OperaciónSueldo: soles

Aporte al seguro: de

Gastos: de

Ahorro: S/. 1800

Por tanto la respuesta correcta sería: el sueldo será de S/ 3272.72

21. La administradora de una empresa le hace la siguiente pregunta al contador: “Si he

comprado una cámara de vigilancia a $2500, y se ha vendido ganado las partes de lo que se compró; ¿A qué precio se vendió la cámara de vigilancia?”

¿Cuál sería la respuesta correcta del contador?

Solución:

Datos Operación

Precio de compra: $2500

Ganancia: de 2500Precio de venta:

Ganancia:

Precio de venta

Por tanto la respuesta correcta del contador sería: La cámara de vigilancia se vendió al precio de $4375

22. Un auto recorre 50 km, en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 Km en 27 minutos. ¿Cuál es más rápido?

Solución:

Datos OperaciónRecorrido del primer auto:

50Km

Recorrido del segundo auto:36Km 27 minutos

Rapidez = Velocidad

Donde:

d: distancia

v: velocidad

t: tiempo

Como

En consecuencia, el más rápido es el segundo auto

23. Al tostarse el café, este pierde 1/3 de su peso. Si se tuestan 80 Kg. ¿Cuánto pesarán

después?

Solución:

Datos Operación

Peso total del café:

Al tostar el café:

Peso =

Se tuesta: 80 gramos

Reemplazamos el peso total de gramos a

tostar:

Luego de tostar los 80 gramos de café este pesará 50,33 gr.

24. Al estadio van 200 personas entre adultos y niños. Los adultos pagan 10 soles por

cada entrada mientras que los niños pagan 6 soles. Si la recaudación total fue de

1680 soles, hallar el número de niños que asistieron al estadio.

Solución:

Datos Operación

Número de personas = 200 (Adultos más niños)Adultos: S/. 10Niños: S/.6

Recaudación Total: S/. 1680

Remplazamos en la primera ecuación:

,

Entonces, el número de niños que asistieron al estadio fue de 80.

25. Si x representa a un número impar, ¿qué expresión de las siguientes representa

siempre a un número par?

A) B) C)

D) E)

Solución:

Datos Operación

Por lo tanto, la respuesta es

26. En un ánfora hay 80 bolos numerados del 1 al 80. ¿Cuántos bolos como mínimo

debe extraerse para tener la certeza de extraer 2 bolos comprendidos entre 24 y 37?

Solución:

Datos Operación

Ánfora: 80 bolos.

1º extracción: bolo 1





.

.

.







.

.

.



39º extracción: bolo comprendido entre 24 y

37.

40º extracción: segundo bolo comprendido

entre 24 y 37.

En consecuencia, deben extraerse 40 bolos.

27. Si el cuádruple del número de monedas que hay dentro de una bolsa es tal, que

disminuido en 5, no puede exceder de 34, y que el quíntuplo del mismo número de

monedas aumentado en 8, no es menor que 52, ¿Cuál será dicho numero?

Solución:

Datos Operación

Número de monedas: x

Por lo tanto, el número de monedas es igual a 9.

28. Juan, Pedro y Pablo son hermanos, Pablo tiene 11 años, Juan tiene 5 años más que

Pedro, y la suma de los de Juan y Pedro no alcanzan a los de pablo. ¿Cuántos años

tiene Pedro si su edad es un número impar?

Solución:

Datos Operación

Pablo: 11 años

Pedro: x años

Juan: 5 + x años

Juan + Pedro < 11 años

Pedro : número impar = 1

Por ello, Pedro tiene 1 año.

29. En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cuaderno

con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 soles.

¿Cuánto dinero tenía Ana?

Solución:

Datos Operación

Dinero de Ana: x

Libro:

Cuaderno:

Total de dinero de Ana:

Luego, Ana tenía 54 soles.

30. Alex dispone de un número de monedas de oro comprendido entre 197 y 205. Esas

monedas se reparten entre: Ana, Berta y Coco. Berta recibe 15 monedas más que

Coco y Ana recibe el doble de lo que recibe Berta. ¿Cuántas monedas tiene Coco?

Solución:

Datos Operación

Número de monedas de oro: m

Coco recibe: x

Berta recibe: 15 + x

Ana recibe: 2(15+x)

Entonces, Coco tiene 39 monedas.

NIVEL III

31. La administradora de una empresa le hace la siguiente pregunta al contador: “Si he

comprado una cámara de vigilancia a $2500, y se ha vendido ganado las partes del precio de venta; ¿A qué precio se vendió la cámara de vigilancia?”

¿Cuál sería la respuesta correcta del contador?

Solución:

Datos Operación

Precio de venta:

Precio de compra: $2500

Precio de venta = Precio de compra + Ganancia

Luego:

Ganancia: de

Por tanto la respuesta correcta del contador sería: La cámara de vigilancia se vendió al precio de $ 3333.3

32. Juan toma la mitad de un cordel; de lo queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda,

María toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma 2/5. Al final quedan 30 cm.

¿Cuál era la longitud del cordel?

Solución:

Datos OperaciónTotal:

Juan:

Pedro:

María:

Carmen:

Por ello la longitud del cordel era igual a 243,2 cm.

33. Un hombre compró cierto número de naranjas por 150 pesos. Se comió 5 naranjas y

vendió las restante a 1 peso más de lo que le costó cada una y recuperó lo que había

gastado. ¿Cuántas naranjas compró?

Solución:

Datos OperaciónNúmero de naranjas:

Costo total: 150 pesos

Costo de cada naranja:

Comió: 5 naranjas

Queda:

Con ello, el hombre compró 30 naranjas.

34. Un comerciante de juguetes compro ositos de 5 dólares, muñecas a 3 dólares y

pelotas a 2 dólares. Si se compraron 31 juguetes con 96 dólares, si se compraron de

cada clase, ¿Cuántos ositos compraron?

Nota: las cantidades son números primos menores de 15.

Solución:

Datos Operación

Costo oso: $

Costo muñecas: $Costo pelotas: $

Número de juguetes: 31

Costo total: $

Número de esos: xNúmero de muñecas: yNúmero de pelotas: z

x, y ,z son números primos

menores 15: 3,5,7,11,13

________________

Los únicos valores para y son:

Por lo tanto:

Luego, compraron 7 osos.

35. Dos personas venden “a” helados a precios diferentes, lo que cobra el primero por

c/u es “n” soles y lo que cobra el otro por c/u es “m” soles, pero al final de la

jornada ambos han recibido igual cantidad de dinero. ¿Cuántos helados vendió uno

de ellos?

Solución:

Datos Operación

Vendedor 1 vende: x helados.

Vendedor 2 vende: y helados.

Vendedor 1 cobra por 1 helado: n

soles

Vendedor 2 cobra por 1 helado: m

soles

Vendedor 1 cobra en total: soles

Vendedor 2 cobra en total: soles

El vendedor 1 vendió helados, el vendedor 2 vendió helados.

36. Tengo una cierta cantidad de dinero que mediante una transacción lo duplique,

posteriormente en una mala inversión pierdo la ¼ parte de lo que obtuve; obsequio

del resto, 3 euros a los pobres y me queda exactamente la misma cantidad que al

principio. ¿Cuál fue mi capital? (en soles)

Solución:

Datos Operación

Monto inicial: soles.

Modificación 1: soles.



Por eso mi capital fue de 6 nuevos soles.

37. El dueño de una empresa de licores desea vender sus botellas de vino para cubrir su

costo. Si lo hace a un precio pagaría y le sobraría 5200 soles, pero si lo vendiera a 7

soles menos, le faltaría 9500 dólares para cubrir los gastos. ¿Cuántas botellas de

vino posee?

Solución:

Datos Operación

Número de botellas de vino:

Precio de cada vino:

Caso 1:

Caso 2:

Luego:

Así, el dueño de la empresa de vinos posee 2100 botellas de vino.

38. El gerente general de la empresa AIBECEP desea comprar dos oficinas, una en el

distrito de Puente Piedra y otro en San Isidro. Ambas oficinas valen juntos “A”

soles, si el departamento de San Isidro vale “n” veces más de lo que vale el de

Puente Piedra. ¿Cuántos soles vale el departamento de San Isidro?

Solución:

Datos Operación

Oficina Pte. Piedra: soles

Oficina San Isidro: solesEntonces:

Of. San Isidro:

Por lo tanto, el departamento de San Isidro cuesta soles.

39. Toño, Paco y Carlos tienen 18x, 2x y x soles respectivamente. Toño reparte a Paco y

a Carlos parte de su dinero para que los tres tengan lo mismo. ¿Cuánto reciben Paco

y Carlos?

Solución:

Datos Operación

Toño: 18x

Paco: 2x

Carlos: x

Toño reparte a Paco: m

Toño reparte a Carlos: n

Paco recibe 5x.

Carlos recibe 6x.

Por ello, Paco recibe 5x y Carlos 6x.

40. Una mujer compra cierto número de naranjas por 180 soles, al día siguiente le

dieron 6 naranjas más por la misma cantidad con lo cual cada naranja le costó 1 peso

menos. ¿Cuántas naranjas compró en total?

Solución:

Datos Operación

Compra: x naranjas.

Precio total: 180 soles.

Cada naranja: 180/x soles.

Cada naranja luego: 180/x -1

Por ello, compra 30 naranjas en total.

EJERCICIOS PROPUESTOS

SESIÓN 2: PLANTEO DE ECUACIONES:

NIVEL I

1. Las edades de Margarita y Soledad suman 21 años. Si Soledad tiene 5 años menos que Margarita ¿qué edad tiene cada una?

2. Al cierre del día un cajero tiene siete billetes de S/.50; nueve billetes de S/.20; cinco billetes de S/.10; siete monedas de S/.2; quince monedas de 50 céntimos y diecinueve monedas de 20 céntimos ¿Cuánto dinero tiene el cajero al cierre del día?

3. La suma de cuatro números impares consecutivos es 48. Calcular el cuadrado del número mayor.

4. Los dos quintos de los ahorros de una estudiante de contabilidad son $53,40. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado?

5. La suma de tres múltiplos consecutivos de 7 es 273. Calcular el doble del número mayor.

6. Calcular la venta total de una factura cuyo sub total es S/.3545.

7. La caja chica de una empresa comercial tiene 60 monedas en denominaciones de S/.2 y S/.5; que hacen un total de S/.231. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay?

8. La suma de dos números es 20 y su diferencia es 4. Hallar el producto de ambos números.

9. José sale de su casa con $50 y gasta 4/5 en el cine y 1/10 en chocolates, ¿qué fracción del total ha gastado?

10. Las edades de Ana y Karent suman 30 años, pero dentro de 12 años Karent tendrá el doble de la edad que hoy tiene Ana. ¿Qué edad tiene cada una?

NIVEL II

11. A una conferencia del área de negocios asistieron, entre estudiantes y profesionales, 300 personas. Si por el ticket de entrada cada estudiante pagó 20 soles y cada profesional 35 soles, recaudándose en total S/. 7500, ¿cuántos estudiantes asistieron?

12. En un aula de estudiantes de negocios se está evaluando el examen final. La duración de este examen es de 90 minutos. Si el profesor le dice a sus estudiantes que faltan 3 minutos para que finalizar; ¿cuántos segundos del examen han transcurrido?

13. La suma de dos números es 300. Si el doble del menor excede en 40 al mayor aumentado en 80, ¿cuál es el número menor?

14. El padre de Alejandra y Ángela desea repartir entre ambas S/. 800. Si el doble de lo que recibe Alejandra excede en S/.100 a lo que recibe Ángela, ¿cuánto recibe cada una?

15. Analizar el estudio realizado por la Secretaría Nacional de la Juventud (SENAJU):

Responder:

a. ¿Cuánto es el exceso de estudiantes de contabilidad y finanzas con respecto a los de Medicina?

b. ¿En qué regiones se considera la mayor proyección para la carrera de administración?

c. ¿En qué región se proyecta la necesidad de mayor variedad de profesionales?

d. ¿Cuál es el sub total y el I.G.V. correspondiente a una factura cuyo total venta es S/.2072,08?

e. Dos números sumados dan 600. Si el triple del menor excede en 140 al mayor disminuido en 100. Calcular el número menor.

f. La dueña de una florería ha comprado 3 bandejas de flores. Cada bandeja tiene 3 filas con 3 flores cada una. Si cada flor cuesta S/.1,25; ¿cuántos soles ha pagado en total?

NIVEL III

16. Eva ha comprado: 12 metros de cinta azul a S/.1,25 el metro ; 42 metros de cinta roja a S/.0,75 el metro y 58 metros de cuerda a S/.0,50 el metro. Entregó para pagar un billete de S/.100. ¿Cuánto dinero le dieron de vuelto?

17. El organizador de un evento gastronómico determinó que se vendieron: 76 platos de entrada a s/. 3,50 cada uno; 54 platos de fondo a s/.7,50 cada uno y 98 postres a s/. 2,50 cada uno. Si se invirtió la cuarta parte de lo recaudado ¿Cuánto se invirtió y cuánto es la utilidad por este evento?

18. Si a un número se le resta la tercera parte de lo que le falta para 120, resulta lo que le falta a dicho número para 93. ¿Cuál es el doble de dicho número?

19. Después de aumentarle el sueldo en 15%, un economista cobró $920. ¿Cuál era el su sueldo anterior?

20. El administrador de una empresa de educativa está en la búsqueda de un terreno para la construcción de una nueva sede. Ha escogido un terreno rectangular de 40 metros de ancho y 80 metros de largo donde el precio por m2 es de $350. Además se ha proyectado la construcción inmediata del cerco perimétrico, cuyo costo por metro lineal se ha estimado en S/.450.

Responder:

a. ¿Cuánto se debe pagar para adquirir este terreno?b. ¿Cuánto se debe invertir para la construcción del cerco perimétrico?c. ¿A cuánto asciende la inversión total por la nueva sede considerando los dos

puntos anteriores?

módulo sesion 02

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