IINSTITUTO DE EDUCACIN SUPERIOR PEDAGGICO PBLICO

GRAN PAJATEN

MDULO DE MATEMTICA

Prof. Edith Janeth Fernndez Fernndez Prof. Salustino Crdenas RuIz

JUANJU-SAN MARTN PER

DEDICATORIA

A mis hijas, Luz Ekatherina; Kiara Nirvana; Adelita Janeth; a todos y cada uno de mis actuales y futuros estudiantes.

A mi esposa Mara, a mis hijos, Roy; Martn; Dany y a todos mis estudiantes.

INTRODUCCIN

Este mdulo de matemticas I, fue diseado como material de apoyo, para promover el desarrollo del pensamiento matemtico, el cual posibilita al estudiante describir, organizar, interpretar y relacionarse con determinadas situaciones a travs de la matemtica. El conocimiento matemtico es considerado hoy como una actividad social que debe tener en cuenta los intereses y la afectividad del estudiante, y como toda tarea social debe ofrecer respuestas a una multiplicidad de opciones e intereses que permanentemente surgen y da sentido a una serie de prcticas, a cuyo dominio hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo; se ha estructurado este mdulo en dos unidades: lgica proposicional y conjuntos numricos.

OBJETIVOS GENERALES Demuestra tica, compromiso y autodisciplina en la resolucin de problemas del contexto social sobre alternativas de tratamiento de residuos en la provincia de Mariscal Cceres.

Analiza y sistematiza informacin de fuentes primarias, de resultados de innovaciones e investigaciones, as como de bibliografa actualizada, para desarrollar cada uno de los temas propuestos, como parte de soluciones tanto en contextos comerciales o financieros sobre las riquezas (flora fauna) de Mariscal Cceres.

Promueve la corresponsabilidad involucrndose positiva y creativamente en el trabajo en equipo la misma que contribuye a la gestin pedaggica e institucional logrando una educacin sostenible.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Reconocer la presencia de la Matemtica en la Naturaleza, en la Ciencia, en la Tecnologa y en el Arte.

Reconocer y saber aplicar los mtodos y tcnicas de las Matemticas.

Capacitar para saber aplicar las competencias y conocimientos adquiridos durante el semestre en diferentes contextos.

Transmitir al estudiante la importancia de las Matemticas en la Ciencia y la Tecnologa as como en nuestra vida cotidiana.

Desarrollar en el estudiante el gusto por la Ciencia, en especial, por las Matemticas y hacerlo conocedor del papel que esta ciencia ha jugado y juega en la evolucin humana.

Formar al estudiante para que pueda posteriormente incorporarse al mercado laboral en una posicin acorde a la formacin recibida.

TABLA DE CONTENIDO Cartula o portada1

Dedicatoria2

Introduccin 3

Objetivos generales4

ndice 5

Justificacin 6

UNIDAD I

Lgica proposicional8

Proposiciones simples y compuestas10

Operaciones con proposiciones11

Evaluacin de esquemas moleculares17

Inferencia lgica20

Funcin proposicional22

Cuantificador universal 22

Cuantificador existencial23

UNIDAD II

Sistemas numricos26

Conjunto numrico30

Clasificacin de los nmeros31

La recta real32

Ecuaciones de primer grado34

Ecuaciones de segundo grado36

Sistemas de ecuaciones de primer grado40

Inecuaciones 47

Bibliografa 50

JUSTIFICACINEl rea de Matemtica, en formacin inicial, tiene por finalidad entrenar y orientar a los futuros docentes en la capacidad de desarrollar sus estrategias personales para el anlisis de situaciones concretas, la identificacin y resolucin de problemas utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando su conveniencia. Desarrolla los aspectos tericos y prcticos de manera que los enfoques y herramientas propias de la matemtica, permitan al estudiante, manejar eficientemente tcnicas de resolucin de situaciones problemticas de su entorno en forma prctica fortaleciendo su pensamiento complejo y reflexivo al resolver problemas propuestas y plantear soluciones innovadoras y con participacin permanente durante el desarrollo del rea en el semestre correspondiente. En el semestre se han articulado temas transversales, valores y temas eje que aborda el desarrollo sostenible. La EADS apoya fundamentalmente cinco clases de aprendizaje para facilitar una educacin de calidad y fomentar el desarrollo humano sostenible: aprender a conocer, aprender a ser, aprender a convivir, aprender a hacer y aprender a transformarse uno mismo y a la sociedad.

UNIDAD 1

Lgica proposicional

LGICA

1.1. INTRODUCCINLgica es el estudio de los procesos validos del razonamiento humano. Existen dos tipos importantes de razonamiento: el inductivo y el deductivo. El razonamiento inductivo es el medio por el cual una persona, en base de sus experiencias especficas, decide aceptar como valido un principio general. El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio segn el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habr de determinar el curso de su accin.Dado que las proposiciones son preceptos validos de razonamiento deductivo en nuestro breve estudio, veremos lo esencial de la lgica proposicional, a travs del uso y manejo de una simbologa adecuada.1.2 PROPOSICINUna proposicin es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas simultneamente.Una proposicin se representa simblicamente por letras minsculas tales como: p, q, r, etc. (llamadas variables proposicionales). Cuando se trata de representar muchas proposiciones similares se usan subndices para indicar cada una de ellas, esto es,p1 , p2, p3,, pn

Si P(x), que se lee P de x, es un polinomio en x, su valor numrico para x=a se escribe P(x)=x2-3x+4 y se toma a=2, se obtiene: P(a)= (2)2- 3(2)+4, es decir: P(a)=2 Anlogamente, tambin expresaremos simblicamente el hecho de que una proposicin sea verdadera o falsa. Si es una proposicin, su valor de verdad se denotara con V(p) y escribiremos: V(p)=V V(p)=1

Y si queremos expresar que es falsa escribiremos: V (p)=F V(p)=0

Ejemplos:Proposicinvalor de verdada) p: Alan Garca naci en ParisV(p)=Fb) q: 2+8 < 18-3V(q)=Vc) r: El nmero 125 es divisible por 5V(r)=Vd) t: Todos los hombres no son mortalesV(t)=F

Observaciones:1) Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclamacin, son expresiones no proposicionales.

Ejemplo:a) Cmo te llamas?b) auxilio!c) Prohibido arrojar basura.

2) Los enunciados que usan las palabras el, ella y los smbolos x, y, z, no tienen la propiedad de ser verdadero o falso, es decir, no son proposiciones. Sin embargo, si a una de estas palabras y smbolos se le asigna un determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es una proposicin. A este tipo de enunciados se les denomina enunciados abiertos.Ejemplo:a) l est bailando marinera nortea.b) y+4

1.3 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTASLas proposiciones simples, llamadas tambin atmicas o elementales, son aquellos enunciados que tienen un solo sujeto y un solo predicado. El valor de verdad (v) o falsedad (f) de estas proposiciones se obtienen de la disciplina o suceso de donde provienen.Ejemplo:1) p: El ngulo recto mide 90 V(p)=V, por los conceptos de la geometra elemental.2) q: Carlos Marx es autor de la Ilada. V(q)=F, pues, segn la historia, Homero es el autor.3) r: 7 es un nmero primero V(r)=V, porque la aritmtica as lo establece.

Las proposiciones compuestas llamadas tambin moleculares o coligativas son aquellos que estn constituidas por dos o ms proposiciones simples. El valor de verdad de la proposicin compuesta depende del valor de la verdad de cada una de las proposiciones componentes, sin que esta dependencia de verdades tenga que ver con la naturaleza, la significacin o la estructura de las proposiciones componentes. Por esta propiedad, a las proposiciones compuestas se les llama tambin funciones veritativas.En la composicin de proposiciones simples, estas estn ligadas por ciertos palabras tales como y, o, si, entonces, si, y solo si, no, pero, etc. Estas constantes proposicionales son llamadas conectivos lgicos.

SMBOLONOMBRELENGUAJE COMN

~NegacinNo , no es cierto que; no es el caso que

^Conjunciny; pero; sin embargo, adems, aunque, no obstante, a la vez. etc.

VDisyuncin inclusivao

Disyuncin exclusivao, o.o

CondicionalSientonces ; Si.dado que...siempre que.. ; en vista que.,etc.

BicondicionalSi y solo si

Ejemplo:

1. La proposicin El terreno es muy frtil y hay suficiente lluvia, es la compuesta de las composiciones atmicas El terreno es muy frtil, Hay suficiente lluvia.

2. La proposicin: La luna no es satlite de la tierra, es una proposicin molecular que utiliza el conectivo no. En este caso, el termino del enlace acta solo sobre una proposicin atmica: La luna es satlite de la tierra.

3. La proposicin: Si estamos en diciembre entonces llegar la navidad, usa el conectivo lgico siestamos que acta sobre las proposiciones simples Estamos en diciembre, llegar la navidad.

Observacin. Dado que el valor de una proposicin molecular depende nicamente de los valores de verdad de las proposiciones componentes, el nmero de combinaciones para el valor de verdad de aquella es 2n donde n es el nmero de enunciados que tiene la proposicin compuesta. As, para dos proposiciones simples p y q, las posibilidades de combinacin de v o f son 22=4 formas posibles. Para tres proposiciones simples p, q y r (n=3) tenemos: 23=8 formas posibles.

OPERACIONES CON PROPOSICIONESAs como en aritmtica y en lgebra se estudian operaciones entre nmeros, en lgica se estudian operaciones entre proposiciones. La operacin aritmtica de una de dos nmeros 3 y 5, por ejemplo, se hace corresponder a un nuevo nmero 8 que es su suma mediante la igualdad: 3+5=8; es decir, escribir 3+5 significa lo mismo que escribir 8. Vamos a proceder analgicamente para definir las operaciones entre proposiciones.1.4 LA CONJUNCIN.Dadas dos proposiciones p y q, la conjuncin es el resultado de componer estas proposiciones con el conectivo lgico y. Se denota por el smbolo ^, se escribe p ^ q y se lee p y q.

Ejemplo:Sean las proposiciones: p=La tiza es blanca. q=6 es un nmero primo.A partir de estas podemos simples obtenemos la nueva proposicin unindolas mediante la y : La tiza es blanca y 6 es un nmero primo.Aqu podemos observar que V(p)=V y V(q)=F , entonces V(r)=F, ya que la conjuncin y exige el cumplimiento de ambas componentes, sin excepcin.

En consecuencia, la regla prctica para conjunciones es:

La proposicin conjuntiva es verdadera nicamente cuando las dos proposiciones coligativas p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa. pqp^q

vvffvfvf v f f f

Esta caracterstica es vlida para toda conjuncin y se puede resumir en la siguiente tabla de verdad.

Ejemplo 2. Determinar el valor de verdad de la proposicin: r: 2+3+5=11 y 4+8 > 5+6Solucin. Sean: p: 2+3+5=11 V(p)=F q: 4+8 > 5+6 V(q)=VSegn la tabla de verdad de la conjuncin:V(r)= V(p ^ q)=F

Ejemplo 3. Determinar el valor de verdad de la proposicin: r:7 es un nmero par y no es mayor que 5Solucin. A simple vista, la conjuncin es falsa, pues si: p= 7 es un nmero par V(p)=F q= 7 no un mayor que 5 V(q)=FEntonces, segn la tabla de verdad de la conjuncin:V(r)= V(p ^ q)=F

Ejemplo 4. Determinar el valor de verdad de la proposicin: R: 15 es mltiplo de 3, pero 5 no es mayor que 7.Solucin. Sean: p=15 es mltiplo de 3 V(p)=V q=5 no es mayor que 7 V(q)=VLuego, segn la tabla de verdad de la conjuncin:V(r)= V(p ^ q)=V

1.5 LA DISYUNCIN.Se llama disyuncin o suma lgica de las proposiciones p y q, dadas en ese orden, a la proposicin que se obtiene enunciado q a continuacin p unidas ambas por el conectivo o, esto es: p o q.

Ejemplos:a) La proposicin: la luna es azul o 3 es un nmero primo es la disyuncin de: p=la luna es azul V(p)=F q=3 es un nmero primo V(q)=V

Aqu, podemos decir que la disyuncin p o q es verdadera, pues el uso habitual del conectivo o establece una alternativa: alguna de las dos componentes se cumple. Como es cierto que 3 sea un nmero primo, no importa que la luna no sea azul, ya que uno de los componentes de la alternativa es verdadero. En esta caso podemos escribir, entonces: V(poq)=V.

b) La proposicin: Luis es ingeniero o profesor de matemticas, es la disyuncin de: r: Luis es ingeniero. s: Luis es profesor de matemticas. Se observa que si V(r)=F y V(s)=F V(ros)=F. Sin embargo cuando las componentes son ambas verdaderas, la disyuncin admite dos usos diferentes del conectivo o, uno inclusivo y el otro exclusivo.

As, si V(r)=V o V(s)=V V(ros)=V. En este caso hemos usado el o inclusivo, pues la verdad de que Luis sea ingeniero no excluye la posibilidad de que sea profesor de matemticas.

c) La proposicin: Cesar Vallejo naci en el Per o naci en Francia, es la disyuncin de:t: Cesar Vallejo naci en el Per r: Cesar Vallejo naci en Francia

En cambio, la verdad de que Cesar Vallejo naciera en el Per excluye la posibilidad de que naciera en Francia y viceversa. En este caso hemos usado el o exclusivo y si V(t)=V V(u)=V V(tou)=F.Estas consideraciones ilustran la necesidad de distinguir dos interpretaciones para la disyuncin poq.

1.5.1 LA DISYUNCIN INCLUSIVA.Dadas dos proposiciones p y q, la disyuncin inclusiva o dbil, es una proposicin coligativa que resulta de unir las proposiciones p y q con el conectivo o, el cual se denota el smbolo v, se escribe p v q y se lee poq. La regla prctica es: La disyuncin inclusiva de dos proposiciones es verdadera si y solo si por lo menos una de las proposiciones es verdadera, resultando falsa solamente cuando las dos son falsas.

pqp v q

vvffvfvf v v v f

Su tabla de verdad es:

1.5.2 LA DISYUNCIN EXCLUSIVA O FUERTE.En este caso, la palabra o suele usarse en su sentido excluyente, en caso la conectiva proposicional se simboliza por , se llama disyuncin exclusiva o fuerte, se escribe p q pero no ambos, esto es, se da exactamente una de las de las dos alternativas.La regla prctica es: La disyuncin exclusiva de dos proposiciones es verdadera si y solo si por lo menos una de las proposiciones componentes es verdadera y no las dos, resultando falsa en otros casos.

pqp q

vvffvfvf f v v f

Su tabla de valor es:

1.6 LA NEGACINSe denomina proposicin negativa de la proposicin afirmativa p a otra que se denota por ~p y se lee no p o no es cierto que p y cuya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla:p~p

vffv

Observemos que el p si es verdadero, entonces ~p es falso, y viceversa. Es decir, el valor de la negacin de un enunciado es siempre opuesto del valor de la verdad del enunciado. Lo importante de la proposicin negativa es que su valor de verdad depender del valor de la verdad de la afirmacin.

Otras formas de expresar la negacin es utilizando los trminos no es el caso que, es falso que, etc.En estos casos generalmente la negacin niega proposiciones compuestas y simblicamente se expresa por ~ ()Ejemplo 2. Simbolizar la siguiente proposicin:no es el caso de que 10 sea mltiplo de 3 o que 5+2 < 10Solucin. Si p =10 es mltiplo de 3, y q= 5+2 < 10; entonces se simboliza: ~ (p v q)

1.7 LA CONDICIONAL.Antes de dar la tabla de verdad para la implicacin, consideramos la siguiente proposicin:r= Si Luis obtiene un promedio de 15 o ms, entonces se le otorgara beca.Aqu se trata de la implicacin de las proposiciones:

p= Luis obtiene un promedio de 15 o ms (antecedente).

q= A Luis se le otorgara beca (consecuente).

Nos interesa inducir el valor de verdad de la condicional r en trminos de la V o F de las proposiciones p y q. el enunciado r puede pensarse como una promesa, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento de la promesa. Veamos todos las posibilidades.

a) Si Luis obtiene 15 o ms de promedio se le otorgar beca, se habr cumplido lo prometido. V(p)=v y V(q)=v V(r)=vb) Si Luis obtiene 15 o ms de promedio y no se otorga beca, no se habr cumplido lo prometido. V(p)=v y V(q)=f V(r)=fc) Si Luis obtiene un promedio menor que 15 y se otorga beca, no se falta a la promesa. V(p)=f y V(q)=v V(r)=vd) Si Luis obtiene un promedio menor que 15 y no se le otorga beca, se sigue cumpliendo lo prometido. V(p)=f y V(q)=f V(r)=vEntonces el valor de verdad de p p queda establecido de acuerdo a la siguiente regla:La condicional o implicacin tendr su valor de verdad falso cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso q es falso; en los dems casos diremos que p q es verdadero.

En consecuencia, la tabla de verdad de la implicacin es la siguiente:pqp q

vvffvfvf v f v v

1.8 LA BICONDICIONAL.Dada dos proposiciones simples p y q, se denomina bicondicional a la proposicin definida por la conjuncin de la proposicin condicional con reciproca: (pq) (qp)Se denota p q y se lee p si y solo si qEjemplo. Fernando comprara un automvil si y solo si obtiene un prstamo de la cooperativaSi; p: Fernando comprara un automvil q: Fernando obtiene un prstamo de la cooperativa.Esta proposicin bicondicional se entiende como: Si Fernando compra un automvil entonces obtiene un prstamo de la cooperativa, y si obtiene un prstamo de la cooperativa compra un automvil. Si simbolizamos esta proposicin obtenemos: (pq) (qp) p qConcluimos afirmando que el valor de verdad de la proposicin bicondicional est dado por la siguiente regla: Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces la bicondicional pq es verdadera, y si p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces pq es falsa.

En consecuencia, la tabla de verdad de bicondicional es la siguiente:pqp q

vvffvfvf v f f v

Simbolizacin de proposicioneslgicas

1. Las computadoras trabajan ms rpido que los hombres.2. No tengo un auto azul.3. Marcela estudia en Quito y Pablo en Loja.4. Bailamos o tomamos caf. 5. Si cantamos entonces necesitamos viajar.6. Leer este libro si solo si tiene pocas hojas.7. No es cierto que si no tomamos caf implica que no es de da.8. La tierra gira alrededor del sol no se da que la luna es un planeta.9. Si trabajara los fines de semana y durmiera menos entonces no perdera el vuelo.10. Es falso que vivo en Loja, pero visitar a mi familia en Cuenca.11. No iremos al partido a menos que salga el sol.12. Ana es profesora o es estudiante pero no puede ser ambas cosas a la vez.TAREA INDIVIDUAL

1.9 USOS DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIN

Los signos de agrupacin (parntesis, corchetes, llaves) se usan en lgica cuando se trata de obtener esquemas lgicos ms complejos con el fin de evitar la ambigedad de las frmulas. As, por ejemplo, la expresin: p q res ambigua; pero asociando sus trminos es:(p q) r p (q r)La expresin dada tiene un sentido y deja de ser ambigua.Otra finalidad de los signos de agrupacin es darle mayor o menor jerarqua a los conectivos. En general, ~ es la conectiva de menor jerarqua, le siguen , que son de igual jerarqua, y luego que es el mayor jerarqua. Sin embargo, cada conectiva puede ser de mayor jerarqua si as lo indica el signo de coleccin.

Ejemplos:

1) No es el caso de que 9 es mltiplo de 3 o que 2x8=15. Asignndole: una variable de cada proposicin simple se tiene p= 9 es mltiplo de 3; q= 2x8=15 Su notacin simblica es: ~ (p q) Ntese que aqu la negacin afecta a las variables dentro del parntesis.

(2) Si el testigo no dice la verdad, entonces Juan es inocente o es culpable Si p= El testigo dice la verdad, q= Juan es inocente y r= Juan es culpable; entonces se simboliza:~p(q r) Aqu, el smbolo de mayor jerarqua es . Obsrvese que ~ solo afecta a la variable p y que est limitado por el parntesis.

Observacin. La combinacin de las variables y los operadores o conectivos proposicionales por medio de los signos de agrupacin se denomina esquema molecular. En cada esquema molecular solo uno de los operadores es el de mayor jerarqua y es el que le da el nombre a dicho esquema. Por ejemplo, en los esquemas moleculares: A= ~p (q r); B= (p q) ~r p; C= ~(p q (~p r)Podemos notar que los operadores de mayor jerarqua en A, B y C son: , y ~ y los nombres que llevan cada uno de estos esquemas son: esquema condicional, esquema bicondicional y esquema negativo, respectivamente.

1.10 EVALUACIN DE ESQUEMAS MOLECULARES POR LA TABLA DE VALORESConsiste en obtener los operador principal a partir de la valides de cada una de las variables proposicionales. Hemos visto que para evaluar una tabla de verdad de dos variables proposicionales se necesitan 22=4 valores de verdad (filas) para cada variable. En general, el nmero de valores de verdad que asigna a cada variable resulta aplicar la frmula 2n, donde n es el nmero de variables que hay en el esquema molecular. Las combinaciones de todas las posibilidades de V o F se hacen en las columnas de referencia al margen izquierdo del esquema, luego se procede a aplicar la regla a cada uno de los operadores, empezando por el de menor alcance, hasta llegar al de mayor jerarqua.

Ejercicio 1. Evaluar la tabla de verdad del esquema molecular: A=~(p q)(~p)(~q) Solucin. Nmero de valor de verdad para cada variable: 22=4pq ~(p q) (~p) (~q)

VVFFVFVFFVVV V F F F VV VV F FVVFVVVFVFV

216354

Explicacin de los pasos:1) Se aplic la conjuncin a los valores de verdad de p y q.2) Se aplic la negacin a la columna 1.3) Se aplic la negacin a los valores de verdad de p.4) Se aplic la negacin a los valores de verdad de q.5) Se aplic la disyuncin inclusiva a los valores de verdad de las columnas 3 y 4.6) Se aplic la bicondicional a los valores de verdad de las columnas 2 y 5.

Ejercicio 2. Evaluar la tabla de verdad de la proposicin: A= ~p (p q)Solucin. Nmero de valores para cada variable: 22=4pq~ p (p q)

VVFFVFVFFFFFVVFFVVVV V V V F

Ejercicio 3: (pq)(rq)pqr(pq)(rq)

VVVVVV

VVFVVV

VFVFFF

VFFFVV

FVVFVV

FVFFVV

FFVFFF

FFFFVV

ACTIVIDAD EN EQUIPO

EJERCICIOS:

Construya la tabla de verdad de:

1) ~ p ( p ~ q )2) ~ (~ p p)3) p ( p V q )4) p (pq)5) ~ q ( p ~ q )6) ~ ( q ^ p) (~ q V ~ p)7) (P q ) [ p ( q ^ p )]8) ( p ~ q ) V ( p q )9) (~ p V q ) (p q )10) ( p ^ ~ p ) (q V ~ q )

PRCTICA DE MATEMTICA I

11) 12) 13) 14) 15) [ p ( q V r ) ] ~ [ p ~ r]16) Si ( p ~ q ) ( r p) 17) Si ( p ^ ~ q ) ( r ~ s ) 18) Si ~ ( r V ~ p ) ~ ( p q) 19) Si ( p q ) ( q V r ) 20)

LA INFERENCIA LGICA.La inferencia es una estructura de proposiciones en las que a partir de una o ms de estas llamadas premisas se obtiene otra que es la conclusin.En Smbolos se tiene: (P1 ^ P2 ^ P3 ^ ^ Pn) C(1)La tarea de la Lgica es estudiar el anlisis formal de validez o invalidez de las inferencias.En el resultado de la implicacin (1) se tiene:a) Si la implicacin es una tautologa (V), entonces se tiene una inferencia vlida.b) Si la implicacin es falso, entonces se tiene una inferencia invlida llamada falacia.Ejemplo:Si Juana es provinciana entonces es aficionada a la fiesta tpica. Pero, Juana no es aficionada a la fiesta tpica. Por lo tanto no es provinciana.Solucin. Simbolizando: p : Juana es provinciana q : Juana es aficionada a la fiesta tpicap q ~ q______C: ~ pEn una tabla de valores el resultado de dicha inferencia es una tautologa, la conjuncin de premisas implica a la conclusin, por lo tanto la inferencia es vlida.

EJERCICIOSDetermine la validez o invalidez de las siguientes inferencias por la tabla de valores o el mtodo abreviado.

1) Si Walter es msico, entonces es un artista, y Walter no es msico, luego, Walter no es un artista.2) Si manifiesta aversin al trato humano, entonces eres un misntropo y no eres un misntropo, en consecuencia; manifiestas aversin al trato humano.3) Elsa padece de asma y ella es vctima de sofocaciones intermitentes, luego, Elsa padece de asma y es vctima de sofocaciones intermitentes.4) Esta figura es un crculo o es un rombo; y no es un rombo. Por lo tanto, no es un crculo.5) Si estoy en Ledoy no estoy en Campanilla y si estoy en campanilla, entonces no estoy en Ledoy; y/o estoy en Ledoy o estoy en Campanilla .Por lo tanto estoy en Ledoy.6) Si Newton dice la verdad entonces las leyes de la mecnica son exactas .Newton dice la verdad. En consecuencia, las leyes de la mecnica son exactas.7) Betty ingresar a la universidad si y solo si aprueba el exmen de admisin, pero Betty no ingres a la universidad, en consecuencia si no ingres a la universidad entonces no aprob el exmen de admisin.8) Si Rosa participa en el municipio escolar entonces los estudiantes se enojan con ella, y si no participa en el municipio escolar, los profesores se enojan con ella. Pero, Rosa participa en el municipio escolar o no participa. Por lo tanto, los estudiantes o los profesores se enojan con ella.

INVESTIGAR: Funcin proposicional.

ACTIVIDADES DE PREPARACIN

1. Determinar la validez de las inferencias:

a) Si el tringulo es issceles entonces tiene dos lados iguales. Pero, el tringulo no tiene dos lados iguales; por lo tanto, no es issceles.

b) Si estudio, entonces no perder matemticas y si no juego futbol, entonces estudiare, pero perd matemticas. Por lo tanto jugu futbol.

c) Si un satlite gira alrededor de la luna, entonces gira tambin alrededor de la tierra; y si gira alrededor de la tierra, tambin gira alrededor del sol. Y, si gira alrededor del sol, entonces gira alrededor de la constelacin de la lira. En consecuencia, si un satlite gira alrededor de la luna, entonces gira alrededor de la constelacin de la lira.

2. Mediante una tabla de verdad, establece si es vlida la inferencia:

a) pqrpq___________

b) pqq_____ C: Pq

ACTIVIDAD EN PARES

1. Determinar la validez de las inferencias:

a) Si eres provinciano entonces huyes de Lima; y huyes de Lima .Por lo tanto, no eres provinciano.

b) Si camino demasiado entonces me duele la cintura; y camino demasiado; por lo tanto, me duele la cintura.

FUNCIN PROPOSICIONAL

Una funcin proposicional es todo enunciado abierto de la forma P(x) que tiene la propiedad de convertirse en una proposicin al ser sustituida la variable x por una constante especfica (c) o valor particular (nmero). El conjunto de todos los valores convenidos para la variable recibe el nombre de dominio de la variable. Esto es, si representamos por D el dominio, diremos que x pertenece a D mediante la notacin conocida: x D.Entonces segn la definicin de enunciado abierto, funcin proposicional sobre D es toda expresin P(x) tal que P(c) es verdadera o falsa para todo c D.

Ejemplos: 1) P(x): x + 5 < 113) R(x): 2x2 - 6

2) Q(x): 2x -3 = 74) S(x): x +38

CUANTIFICADORES

Hemos visto que una funcin proposicional se puede convertir en proposicin asignndole a la variable un valor particular (numero), pero existe otro mtodo para lograr esto y consiste en anteponer un cuantificador, ya sea universal o existencial, a la funcin proposicional.

Ejemplo: Consideremos la funcin proposicional , sabemos que no es proposicin, y determinemos un conjunto A de valores para la variable x: A, luego:a) Si x=1 entonces 12 (verdadero)b) Si x=3 entonces 32 (verdadero)c) Si x=5 entonces 52 (verdadero)

.

1) CUANTIFICADOR UNIVERSAL:El cuantificador universal se representa y se lee para todo o para cualquier, entonces: lee: Para todo elemento x que pertenece al conjunto A se cumple P(x).

Ejemplos:a)

b) Es una proposicin verdadera.

2) CUANTIFICADOR EXISTENCIAL:El cuantificador existencial se representa por y se lee: existe algn o existe por lo menos un, entonces: se lee: Existe por lo menos un elemento x que pertenece al conjunto A para el que se cumple P(x)

Ejemplos:a) b)

Es una proposicin verdadera porque: Es una proposicin falsa porque:Si x=5, entonces 52 + 1 20 (verdadero) 7x 9 = 0; slo si x =9/7 ySignifica que hemos encontrado por lo 9/7 menos un elemento verifica la desigualdad.

3) NEGACIN DE PROPOSICIN CON CUANTIFICADORES:Sea la proposicin: P(x): x es un planeta habitable; entonces la expresin x: P(x), es evidentemente falsa, y por lo tanto queremos afirmar su negacin: ~ [x: P(x)], que se lee: No para todo x, x es un planeta habitable y significa: Existe por lo menos un planeta que no es habitable o bien: No todos los planetas son habitables.Por lo tanto, la equivalencia del siguiente teorema, resulta evidente:Teorema 1.La negacin del cuantificador universal es equivalente a la afirmacin de un cuantificador existencial respecto de la funcin proposicional negada. ~ [x : P(x)] [ x : ~ P(x) ]

Si tenemos ahora la proposicin: x : P(x) que significa:Existe por lo menos un planeta que es habitable y que es una afirmacin verdadera, entonces su negacin es: ~ [ x : P(x) ] ,que quiere decir:No existe x, tal que x sea un planeta habitable y significa: Todos los planetas son no habitablesPara todo x , no es el caso de que x sea un planeta habitableExpresando simblicamente se tiene: ~ [x: P(x)] [ x: ~ P(x) ]

EJERCICIOS:

1) En los siguientes ejercicios expresar simblicamente e identificar las proposiciones verdaderas o falsas.a) Todas las gallinas son avesb) Existe por lo menos un elemento de A que pertenece X / X+2A=c) Todos los nmeros reales () pertenecen, d) Existe por lo menos un loro verde.e) Todos los nmeros naturales(),pertenecen a 2n +1 es imparf) Existe por lo menos un elemento de H que pertenece a x/6x-15, si H=2) Simbolizar usando cuantificadores y negar la proposicin cuantificada: Para todo x pertenece A, , si A= Existen algunas gallinas que son blancas.ACTIVIDADES DE PREPARACIN

1. Determinar la validez de los siguientes ejercicios sobre cuantificadores:

a) Existen algunas plantas acuticas.

b) Para todo x pertenece C, , si C=

c) Existe por lo menos un elemento de N que pertenece a x/4x-210, si H=

d) Todos los nmeros naturales(),pertenecen a 2n +2 es par

e) Existe por lo menos un elemento de M que pertenece X / 2X+8 M=

UNIDAD 2

Conjuntos numricos

SISTEMAS DE NUMERACINLos sistemas de numeracin que podemos elegir son infinitos, puesto que el nmero de bases que se pueden elegir tambin.Para indicar que un nmero est escrito en un sistema de numeracin determinado, se escribe un subndice en la parte inferior derecha del nmero., que representa la base.Ejemplo: los nmeros 1213, 1102, 23104 y 878649 estn escritos en base tres, dos, cuatro y nueve, respectivamente.

Hay que resaltar, por su importancia, el hecho de que todos los sistemas de numeracin utilizan tantas cifras como indica la base.Ejemplo: El sistema de numeracin binario, cuya base es dos, se utilizan dos cifras: 0 y 1.El sistema de numeracin ternario, cuya base es tres, se utilizan las cifras: 0, 1 y 2, y as sucesivamente.A pesar de las diferencias que se acaban de indicar, todos los sistemas de numeracin presentan una serie de caractersticas comunes; es decir cualquier nmero puede escribirse en cualquier sistema de numeracin. Si la base del sistema es superior a diez, se utilizan las cifras 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y las letras que sean necesarias hasta completar un numero de signos igual a la base.

Donde: a= 10 ; b = 11 ; c = 12 ; d = 13 y e = 14.

CONVERSIN DE UN NMERO DE UN SISTEMA A OTROSe pueden plantear los siguientes casos:Caso 1: Pasar un nmero del sistema de numeracin decimal a otro sistema de numeracin no decimal.Ejemplo 1: Pasar el nmero 37 al sistema binario. Solucin: 37 21 18 2 0 9 2 1 4 2 0 2 2Z jn

0 1El resultado es: 1001012Es decir: 37 = 1x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 Ejemplo 2: Pasar el numero71 984 a base quince.

Solucin: 71 984 15 119 4 798 15 148 029 319 15 134 148 019 21 15 14134 6 1El resultado es: , donde d = 13 y e = 14Caso 2: Pasar un nmero de un sistema de numeracin no decimal a otro sistema de numeracin decimal. Podemos hacerlo de dos formas:a) Se descompone el nmero expresado en cualquier base como potencias en dicha base, y se realizan las operaciones.

Ejemplo 1: Pasar el nmero 25678 al sistema de numeracin decimal. Solucin: 25678 = 2 x 83 + 5 x 82 + 6 x 81 + 7 x 80 25678 = 1024 + 320 + 48 + 7 25678 =1399b) Se multiplica la base por la primera cifra del nmero empezando por la izquierda. El producto obtenido se suma con la cifra siguiente y el resultado de la suma se vuelve a multiplicar por la base. El producto obtenido se vuelve a sumar con la cifra siguiente y as sucesivamente hasta sumar la ltima cifra del nmero inicial.Ejemplo 2: Pasar el nmero 2102213 al sistema de numeracin decimal. Solucin: 2 x 3 = 6;6 + 1 = 7; 7 x 3 = 21;21 + 0 = 21; 21 x 3 = 63; 63 + 2 = 65; 65 x 3 = 195; 195 + 2 = 197; 197 x 3 = 591; 591 + 1 = 592.2102213 = 592

Caso 3: Pasar un nmero de un sistema de numeracin no decimal a otro sistema de numeracin no decimal. Distinto del primero se pasa, en primer lugar, el nmero inicial al sistema de numeracin decimal y, a continuacin, se convierte el nmero as obtenido al nuevo sistema de numeracin.Ejemplo 1: Pasar el nmero 341205 a base ocho. Solucin: En primer lugar, se pasa el nmero al sistema de numeracin decimal.3 x 5 = 15;15 + 4 = 19; 19 x 5 = 95; 95 + 1 = 96; 96 x 5 = 480; 480 + 2 = 482; 482 x 5 = 2410; 2410 + 0 = 2410. 341205 = 2410; a continuacin pasamos el nmero 2410 a base ocho.2410 8 010 301 826137 8 5 5 4 Donde: 2410 = 45528

Por lo tanto, el resultado final es: 341205 = 45528Ejemplo 2: Pasar el nmero 3415 a base seis. Solucin: En primer lugar, se pasa el nmero al sistema de numeracin decimal.3 x 5 = 15;15 + 4 = 19; 19 x 5 = 95; 95 + 1 = 96. 3415 = 96; a continuacin pasamos el nmero 96 a base seis.96 6 36 1 6 60 4 2

Donde: 3415 = 2406Por lo tanto, el resultado final es: 3415 = 2406ACTIVIDADES EN EQUIPO

1) Pasar a sistema de numeracin decimal los siguientes nmeros:a) a263b714 b) 321014

c) 7a9811 d) 130425 e) 1067 f) 45528 g) 164de15 h) 6a16 i) 45528 j) 164de15k) 1010012 l) 321014 m) 76438 n) 4315 o) 643 2) Pasar un nmero de un sistema de numeracin no decimal a otro sistema de numeracin decimal.a) 5472285 a base catorceb) 592 a base tres c) 1399 a base ocho d) 74 al sistema binario e) 2410 a base cinco f) 432 a base cincog) 146 a base siete.h) 9818 a base cincoi) 548 a base cuatroj) 2306 a base tresk) 98765467 a base doce3) Pasar un nmero de un sistema de numeracin no decimal a otro sistema de numeracin no decimal.a) 45528 a base 11 b) 789a11 a base doce c) 1215 a base siete d) 789a11 a base doce e) 43210 a base dos f) 110002 a base 10 g) 235 a base diez h) 1112 a base tres i) 114 a base dos.j) 101102 a base tresk) 1001012 a base tres a base diez.CONJUNTOS NUMRICOSBREVE INTRODUCCIN HISTRICA DE LOS NMEROS

La nocin de nmero es tan primitiva como el propio hombre. Los hombres primitivos utilizaban los dedos, muescas en huesos... para expresar cantidades: un mamut, una luna, un sol... empleando los NMEROS NATURALES. Los babilonios (2100 a. C.) posean una organizacin administrativa contable muy compleja, lo que motiv un desarrollo importante en los sistemas numricos. Tenan un sistema de numeracin base 60 perfectamente maduro. En l destacaba el valor posicional de las cifras, como en la actualidad. A continuacin, civilizaciones como la egipcia (2000 a. C.), empezaron a utilizar expresiones que representaban las fracciones, apareciendo as los NMEROS FRACCIONARIOS, eso s, muy bsicos y generalmente con el 1 como numerador. En el siglo V a. C. los griegos encontraron otro tipo de nmeros que eran la solucin de determinadas ecuaciones y que no tenan fin, eran algo se le escapaba al razonamiento humano, eran los NMEROS IRRACIONALES. Hubo que esperar al siglo XVII para empezar a considerar los NMEROS NEGATIVOS. El propio Descartes denominaba soluciones falsas a las races negativas de una ecuacin, aunque es cierto que civilizaciones como la China parece que ya los conocan, colocando bolas rojas en los bacos, simbolizando a los nmeros negativos (de ah que muchas veces omos la expresin de nmeros rojos).

CLASIFICACIN DE LOS NMEROS

Enteros(Z)Naturales: (N) = {0, 1, 2, 3, ...}N Z- = {0}Negativos: (Z-) = {0, 1, 2, ...}

Racionales: (Q) a/b

Reales(R)FraccionariosDecimal exacto:0.5 = 1/2Peridico puro:2.33333333... = 7/3Peridico mixto: 2.34444444... = 211/90

Irracionales:(I) a/bTiene infinitas cifras decimales NO peridicas = 3.14159265... = 1.61803398... Irracinales 2 = 1.41421356... e = 2.71828182...

Imaginarios: (C)

LA RECTA REALLos nmeros reales pueden ser representados geomtricamente en una recta a la que denominamos recta real. Para ello graficamos una recta y tomamos un punto referencial al que asignamos el nmero cero (0).

Determinamos los puntos ubicados a la derecha e izquierda.

Ubicamos los nmeros racionales y los irracionales.

Esta recta, llamada recta real, representa al conjunto de los nmeros reales.HOJA DE TRABAJO Ubicar en una recta los siguientes nmeros: 11 0,5 -5/3 5/2 3,14 1,7 2 -1/2 3 -3,7 5 3/2 TALLER DE EJERCICIOS

Recordemos nuestros saberes resolviendo el siguiente taller de ejercicios:

1) Determinar si es verdadero o falso, indicando la razn correspondiente:a) -8 b) 5 c) 6 d) -7e) 1/4f) 9g)

2) Redondea las siguientes expresiones decimales:Expresin decimal Dcimos centsimosMilsimos Diez milsimos

3,9388888

6,16547

5,27685

9,090909

1,84893

37,969494

3) Hallar el resultado de las operaciones siguientes y redondea hasta los centsimos:a) 5,463 + 7,8905b) 1,12 x 1,08c) -5,79 x0,05

4) Ordena los grupos de nmeros, como se te pide:a) 2,5 ; -2,51 ; -3,3 ; 3,3; 3/7 de menor a mayorb) ; 2 ; - ; -13/4 de mayor a menorc) ; -4/3 ; -3 ; de menor a mayor

5) Calcular:a) Si b) c) =d) 3 =e) =TRABAJO INDIVIDUAL

EJERCICIOS: 1) Determina si es verdadero o falso cada uno de los siguientes enunciados.a) 2,5( )b) 2.=2( )c) ( )d) es ( )

2) Resuelve los siguientes ejercicios.a) 7,3455 x Aproximacin a los centsimosb) x = Aproximacin a los dcimosc) x 4,3333. Aproximacin a los diez milsimosd) - Aproximacin a los centsimose) Aproximacin a los milsimosf) Aproximacin a los centsimos

3) Resuelve los siguientes ejercicios. g) = i)j)

a) b) / 4=c) d) e)

ECUACIN DE PRIMER GRADO

Una ecuacin es una igualdad que slo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x.

Resolver la siguiente ecuacin: 4x (3x + 9) = (x + 2) (2x - 1)SolucinPaso 1.- Eliminamos signos de coleccin: 4x 3x 9 = x + 2 2x + 1Paso 2.- Reducimos trminos semejantes en cada miembro: x 9 = -x + 3Paso 3.- Por transposicin de trminos: x + x = 3 + 9Paso 4.- Volvemos a reducir trminos semejantes en cada miembro: 2x = 12

Paso 5.- Despejamos x: x =

Respuesta: x = +6

RESOLVER LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 PROBLEMAS RESUELTOS:

1.- Escribe el siguiente problema utilizando una incgnita y resulvelo: Si la suma de un nmero y 25 es igual a 100, cul es el nmero?SolucinSi x es el nmero que buscamos, entonces x ms 25 debe ser 100.Operacin y resultado:x + 25 = 100x + 25 25 = 100 25 x = 75Respuesta: El nmero es 75.2. Jos calcula la edad de sus compaeros dndoles las siguientes instrucciones: piensa en tu edad, multiplcala por 10, a ese nmero rstale 18 y dame el resultado. Con esta frmula Jos obtiene la edad del compaero. Por ejemplo, si el resultado es 112 la edad es 13 aos. Descubre el mtodo que utiliza Jos, designando por una x la edad que pens el compaero.SolucinSi x es la edad pensada y repetimos el procedimiento de Jos, obtenemos lo siguiente: - el nmero pensado multiplicado por 10 es: 10x - a este nmero hay que restarle 18, esto es: 10x 18 - el resultado es 112, es decir, 10 x 18 = 112Operacin y resultado:x 10 18 = 112x = 13Respuesta: El mtodo que utiliza Jos es: sumar 18 al resultado que le han entregado y luego dividir por 10. El nmero obtenido es la edad del compaero.

EL JOVEN HIND Y EL GATOCuntos cuadrados distintos puedes contar en el dibujo del joven hind con turbante? Cuntos tringulos distintos puedes contar en el dibujo del gato? Observa atentamente. Los problemas no son tan fciles como podra parecer!

ECUACIONES DE 2 GRADO

Una ecuacin de segundo grado es toda expresin de laforma: ax2+ bx +c = 0 con a 0.Se resuelve mediante los siguientes mtodos:

Mtodo de la frmula general:

Ejemplos:1.

2.

3. Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (1).

Ejercicios:Resolver cada ecuacin por el mtodo de la frmula general:

1) 2) 3) 4) 5) 6) Mtodo de factorizacin: Tenemos que convertirlo en un producto de binomios.Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor dexde cada uno.Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos:

1) Resolver: (x + 3)(2x 1) = 9 Lo primero es igualar la ecuacin a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuacin: (2x 3)(x + 4) = 0Ahora podemos igualar a cero cada trmino del producto: Si : 2x 3 = 0 Si: x + 4 = 0 2x = 3 x= 4

2) Halle las soluciones de : La ecuacin ya est igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en trminos dex: Ahora, si x = 0 o si x 4 = 0 x=4

Ejercicios

Resolver cada ecuacin por el mtodo de factorizacin:

Soluciones:SOLUCIONES

Mtodo por completacin de cuadrados: Se llama mtodo de lacompletacin de cuadradosporque se puede completar un cuadrado geomtricamente, y porque en la ecuacin cuadrtica se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuacin del tipo: (ax + b)2= n en la cual el primer miembro de la ecuacin(ax + b)2, es elcuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuacin del tipo: x2+ bx + c = 0

Ejemplo 1 : x2+ 8x = 48, que tambin puede escribirsex2+ 8x 48 = 0Al primer miembro de la ecuacin(x2+ 8x)le falta un trmino para completar elcuadrado de la suma de un binomiodel tipo (ax + b)2Que es lo mismo que: (ax + b) (ax + b)Que es lo mismo que: ax2+ 2axb + b2En nuestro ejemplo: x2+ 8x = 48, el8representa al doble del segundo nmero del binomio, por lo tanto, ese nmero debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio( a2+ 2ab + b2)el tercer trmino corresponde al cuadrado del segundo trmino(42= 16)amplificamos ambos miembros de la ecuacin por 16, as tenemos:x2+ 8x + 16 = 48 + 16x2+ 8x + 16 = 64La cual, factorizando, podemos escribir como sigue:(x + 4) (x + 4) = 64Que es igual a:(x + 4)2= 64Extraemos raz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos quedax + 4 = 8Entoncesx = 8 4x = 4

Ejemplo 2:x2 6x + 8 = 0x2 6x = 8x2 6x = 8 /+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuacin)x26x + 9= 8 +9(x 3)2= 1Extraemos las races cuadradas

x 3 = 1 y x 3 = 1x 3 = 1 x = 1 + 3x = 1 + 3 x = 2x = 4

Por lo tantox1= 4y x2= 2 Tarea Individual

: Resolver por el mtodo de completar cuadrados 3 ejerciciosPROBLEMAS RESUELTOS SOBRE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1) El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el rea se duplica. Halle el rea original de la sala.Supongamos que: x = ancho de la salaEl largo es 3 metros mayor que el ancho, as es que: x + 3 = largo de la sala.El rea de un rectngulo es la multiplicacin de ambos: x (x + 3 ) = rea de la sala.Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, as que, luego del aumento quedan:x + 3 = nuevo ancho de la salax + 5 = nuevo largo de la sala(x + 3 ) (x + 5) = nueva rea de la salaSegn los datos del problema, el rea se ha duplicado, as es que planteamos la ecuacin:(x + 3 ) (x + 5) = 2 x (x + 3)Se efectan las multiplicaciones:x2+ 2x + 15 = 0Esta es la ecuacin a resolver.x1= 5yx2= 3. La solucinx = 3se desecha, ya quexes el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como nica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.Como el largo inicialx + 3 = 8metros,el rea original era 8m 5m = 40 m2.

2) Halle el rea y permetro del tringulorectngulo mostrado. Las dimensionesestn en metros.Como es un tringulo rectngulo se cumple elTeorema de Pitgoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c2= a2+ b2). La hipotenusa es el lado mayor (2x 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuacin: (x + 3)2+ (x 4)2= (2x 5)2 Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene: x2+ 6x + 9 + x2 8x + 16 4x2+ 20x 25 = 0Finalmente: 2x2+ 18x = 0 Las races de la ecuacin sonx1= 0yx2= 9. La solucinx = 0se desecha, ya que entonces un cateto sera 4 m, lo cual no es posible. La solucin es entonces,x = 9. Por lo tanto el rea es:

El permetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m =30 m

RESOLVER PROBLEMAS DE ECUACIONES DE 2 GRADO

1) El cuadrado de un nmero diferente de cero es igual al cudruplo del mismo nmero. Hallar el nmero.2) El producto de dos nmeros consecutivos es 156. Hallar los nmeros.3) El rea de un tringulo es 52cm2. Cules son las dimensiones del tringulo si su altura mide 5cm ms que su base. 4) Manuel y Alberto que viven en dos pueblos AyB distantes entre s 60km, se ponen de acuerdo para encontrarse en un determinado da en la mitad del camino.5) El cuadrado de un nmero disminuido en 8 es igual a 17.hallar el nmero.6) Qu valor debe tomar n, para que 5 sea una de las races de la ecuacincuadratica:x2 -8x+n=0?SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definicin. Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparecen una o varias variables elevadas al exponente uno.

Clasificacin: Segn el anlisis de un sistema de ecuaciones lineales, tenemos: Sistema Compatible Determinado: Si el sistema tiene solucin y esta es nica Sistema Compatible Indeterminado: Si el sistema admite infinitas soluciones. Sistema Imposible o Incompatible: Si el sistema no admite solucin. Sistema Equivalente: Si dos sistemas compatibles tienen las mismas soluciones.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLESSe expresa de la siguiente forma:a1x+b1y= K1a2x+b2y= K2Donde a1, b1, a2, b2 son coeficientes de la ecuacin y X e Y son las variables, y K1 y K2 son los trminos independientes del sistema.Por lo tanto la solucin del sistema es el par de valores (x,y) que satisface simultneamente las dos ecuaciones usando diversos mtodos: METODO DE IGUALACIN: Consiste en despejar la misma incgnita en ambas ecuaciones para igualar las expresiones resultantes y resolver. Ejemplo:Determinar el conjunto solucin de: 3x+2y= 31)4x-3y= -13..2)Despejamos x en ambas ecuaciones e igualamos las expresiones:1) 3x + 2y = 33x = 3 - 2y 3 - 2y = -13 + 3y x = 3 - 2y 3 4 3 Entonces:2) 4x - 3y = -13 = 12 - 8y = -39 + 9y4x = -13 + 3y -8y - 9y = -39 - 12x = -13 + 3y -17y = -51 4 y = -51 -17 y = 3Reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones:En 1) x = 3 - 2y 3 x = 3 - 2(3) = -1 Cs = (-1,3) 3

MTODO DE SUSTITUCIN: Consiste en despejar una incgnita en una de las ecuaciones para sustituir la expresin obtenida en la otra ecuacin y resolver.Ejemplo:I. Determinar el conjunto solucin de:3x + 2y = 3..1)4y - 3y = -13.2) Despejamos x en la ecuacin 1) y la sustituimos en la ecuacin 2):1) 3x + 2y = 3 3x = 3 - 2y x = 3 - 2y 32) 4x - 3y = -13 4 3 - 2y - 3y = -13 12 - 8y -3y = -13 1 3 3 12 - 8y - 9y = -13 3 12 - 8y - 9y = -39 -17y = -39 - 12 y = -51 -17 y = 3

Reemplazamos el valor de y en la ecuacin despejada En 1):x = 3 - 2y x = 3 - 2(3) 3 3 x = -1 Cs = (-1,3)

MTODO DE REDUCCIN: Consiste en eliminar una incgnita buscando sistemas equivalentes y resolver.Ejemplo:Determinar el conjunto solucin de:3x + 2y = 3..1)4y - 3y = -13.2 ) Eliminamos y, a travs de multiplicaciones apropiadas: Son equivalentes 3x + 2y = 3 multiplicamos por 3 9x + 6y = 9 4y - 3y = -13 multiplicamos por 2 8x - 6y = -26 17x = -17 X = -1

Reemplazamos el valor de x en cualquiera de las ecuaciones; ecuacin 2)4x - 3y = -134(-1) - 3y = -13 -4 - 3y = -13 3y = -13 + 4 y = -9 -3

y = 3 Cs = (-1, 3)

MTODO DE DETERMINANTES O REGLA DE CRAMER: Para resolver este sistema debe cumplir lo siguiente:

Debe tener igual nmero de ecuaciones que de variables El determinante de la matriz de los coeficientes debe ser distinto de cero.La solucin por este mtodo es compatible determinado.Al sistema: a1x+b1y= K1a2x+b2y= K2 le asignamos tres determinantes:

DET. PRINCIPALDET. DE LA VARIABLE XDET. DE LA VARIABLE Y

Se denota: |Mp|Se denota: |Mx|Se denota: |My|

Est formado por los coeficientes de las variables x e y|Mp|= a1 b1 a2 b2Est formado por las constantes del sistema y los coeficientes de la variable y.|Mx|= k1 b1 k2 b2 Est formado por los coeficientes de la variable x y las constantes del sistema.|My|= a1 k1 a2 k2

El valor de las incgnitas se calcula con los determinantes:

VALOR DE LA INCOGNITA XVALOR DE LA INCOGNITA Y

k1 b1 k2 b2x = |Mx| = = x = k1.b2-b1.k2 |Mp| a1 b1 a1.b2-b1.a2 a2 b2

a1 k1 a2 k2y = |My| = = x = a1.k2-k1.a2 |Mp| a1 b1 a1.b2-b1.a2 a2 b2

Ejemplo:1. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:3x + 2y = 3Identificamos: a1 = 3 b1 = 2 k1 = 24y - 3y = -13 a2 = 4 b2 = -3 k2 = -13

Calculamos los valores x e y, segn el mtodo de determinantes:

3 2-13-3x = ---------------- = 3(-3) - 2(-13) = -9 - (-26) 3 2 3(-3) - 2(4) -9 - 8 4-3 = -9 + 26 -17 = 17 -17x = -1

3 3 4-13y = ---------------- = 3(-13) - 3(4) = -39 - (12) 3 2 3(-3) - 2(4) -9 - 8 4-3 = -99 + 12 -17 = -51 -17

y = 3

Cs = (-1, 3)

Problemas que se resuelven por sistemas de ecuaciones lineales

1) Juan pag S/50 por 3 cajas de taquetes y 5 cajas de clavos. Pedro compr 5 cajas de taquetes y 7 de clavos y tuvo que pagar S/74. Cul es el precio de cada caja de taquetes y de cada caja de clavos?

Para plantear la solucin de este problema, identificamos en primer lugar aquello sobre lo que se nos pregunta, es decir: qu debemos averiguar? En este caso debemos encontrar dos cantidades, el precio de una caja de taquetes y el precio de una caja de clavos. En segundo lugar debemos identificar las relaciones (o condiciones) que sobre esas dos cantidades se plantean en el problema. Si llamamos x al precio de una caja de taquetes y llamamos y al precio de una caja de clavos, podemos expresar lo que gast Juan a travs de una ecuacin y lo que gast Pedro por medio de otra. Para ello analicemos la informacin que nos presenta:Informacin Expresin algebraica

Precio de una caja de taquetes.Precio de 3 cajas de taquetes.Precio de 5 cajas de taquetes.x pesos3x pesos5x pesos

Precio de una caja de clavos.Precio de 5 cajas de clavos.Precio de 7 cajas de clavos.y pesos3y pesos5y pesos

Importe de la compra de Juan.Importe de la compra de Pedro.3x + 5y = 505x + 7y = 74

Ahora ya podemos plantear y resolver el sistema:3x + 5y = 50 5x + 7y = 7415x + 25y = 25015x + 21y = 222 0 + 4y = 28 Entonces y = 7, ahora sustituimos y por ese valor en la primera ecuacin:3x + 5y = 503x + 5(7) = 503x = 50 35x = = 5Podemos entonces decir que la caja de taquetes cuesta s/5 y la de clavos cuesta s/7.

2) Enriqueta es costurera y quiere aprovechar una oferta de botones. El paquete de botones blancos cuesta s/15 y el de botones negros s/10. Si con s/180.00 compr en total 14 paquetes, cunto gast en botones blancos?

Veremos dos maneras de plantear un sistema de ecuaciones para este problema. Segn la primera manera, podemos pensar que para responder a la pregunta planteada nos puede ser til conocer cuntos paquetes de botones blancos compr Enriqueta.Llamemos entonces x a la cantidad de paquetes de botones blancos y, equivalentemente, llamemos y a la cantidad de paquetes de botones negros. Podemos entonces expresar algebraicamente la cantidad total de paquetes comprados, el costo de los paquetes de cada color y el total gastado, lo que nos permitir encontrar el dato que necesitamos para resolver el problema.Informacin Expresin algebraica

Cantidad de paquetes de botones blancos.Cantidad pagada por los botones blancos.x15x

Cantidad de paquetes de botones negros.Cantidad pagada por los botones negros.y10y

Total de paquetes comprados.Importe de la compra.x + y = 1415x + 10y = 180

Ahora ya podemos plantear el sistema de ecuaciones: x + y = 14 15x + 10y = 180Como a nosotros nos interesa conocer x, igualaremos los coeficientes de y. Es decir, para eliminar la y, multiplicamos la primera ecuacin por 10.

10x + 10 y = 140 15x + 10y = 180 5x + 0 = 40Entonces despejamos la x: 5x = 40 x = 40 / (5)x = 8Ahora ya sabemos que Enriqueta compr 8 paquetes de botones blancos. Pero lo que queramos averiguar es cunto gast en ellos: 8 x 15 = 120Solucin: Enriqueta gast s/120 en botones blancos.

Planteemos ahora la segunda manera de resolver el problema. Aqu nos podemos plantear que, como lo que necesitamos es saber cunto gast Enriqueta en botones blancos, esa cantidad es la que podemos llamar x, y, equivalentemente, llamamos y a la cantidad que gast en botones negros. La informacin que tenemos se puede traducir en la siguiente tabla:Informacin Expresin algebraica

Cantidad pagada por los botones blancos.Cantidad de paquetes de botones blancos.XX/15

Cantidad pagada por los botones negros.Cantidad de paquetes de botones negros.YY/10

Importe de la compra.Total de paquetes compradosX+Y=180X/15+ Y/10=14

Esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:X+Y=180X/15+ Y/10=14Para eliminar la y ahora multiplicamos por 10 la segunda ecuacin: X+Y=180 -10X/15- Y=-140 X -10x/15 = 40 x = 40 ( 3 )= 120Ahora hemos llegado directamente a la solucin: tenemos que gast s/120. FICHA DE TRABAJO SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1) Hallar las edades de dos personas, sabiendo que si la primera tuviese 10 aos menos, su edad seria los 4/3 de la edad de la segunda, y si la segunda tuviese 20 aos ms, ambas tendran la misma edad.2) La suma de dos nmeros es 74, su diferencia dividida entre el menor da 2 por cociente y 10 por residuo.3) Determinar la edad de dos hermanos sabiendo que si el mayor tuviera 11 aos ms, su edad seria el doble que la edad del menor, y si tuviera 6 aos menos, tendra la edad del menor.4) Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 20 aos menos y su hijo 16 aos ms, entonces ambos tendran la misma edad. Hallar las edades actuales de los dos.5) En el mercado de Bellavista, 5 kg. de arroz, 3 Kg. de cacao y 4 Kg. de fideos cuestan S/41,30; 4 Kg. de arroz, 5 Kg. de cacao y 3 Kg. de fideos cuestan S/48,00; 2 Kg. de arroz, 1 Kg. de cacao y 2 Kg. de fideos cuestan S/16,60; Calcula el precio de un Kg. de cada producto?6) La suma de tres nmeros es 37. El menor disminuido en 1 equivale 1/3 de la suma del mayor y el intermedio, la diferencia entre el intermedio y el menor equivale al mayor disminuido en 13. Determina cada uno de los nmeros.7) En una reunin hay doble nmero de mujeres que de hombres y triple nmero de nios que de hombres y de mujeres cuntos hombres, mujeres y nios hay en la reunin si en total son 156 personas? 8) La suma de las dos cifras de un nmero es 8. Si la cifra de las decenas se divide entre las cifra de las unidades, el cociente es 3. Hallar el nmero.

INECUACIONESLas inecuacionessondesigualdades algebraicasen la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:

mayor que2x 1 > 7

mayor o igual que2x 1 7

Lasolucinde unainecuacines el conjunto de valores de la variable que la verifica. La solucin de la inecuacin se expresa mediante: Una representacin grfica. Un intervalo.

EJEMPLOS:

1) 2x 1 < 7 2x < 8 x < 4 (-, 4)

2) 2x 1 7 2x 8 x 4 (-, 4]

3) 2x 1 > 7 2x > 8 x > 4 (4, )

4) 2x 1 7 2x 8 x 4 [4, )

Inecuaciones de primer grado con una incgnita

1Quitar corchetes y parntesis.2Quitar denominadores.3Agrupar los trminos en x a un lado de la desigualdad y los trminos independientes en el otro.4Efectuar las operaciones5Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, por lo que cambiar el sentido de la desigualdad.6Despejamos la incgnita.7Expresar la solucin de forma grfica y con un intervalo.

EJEMPLO:

[3, +)Inecuaciones de segundo grado

Consideremos la inecuacin: x2 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las races de la ecuacin de segundo grado. x2 6x + 8 = 0

2Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

3La solucin est compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

S = (-, 2)(4, )

Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado:

1. 2x + 4 > 02. 3x 7 < 53. 2 x > 34. x 3 < 3 x5. 3x + 5 4x-16. 4x + 9 < x 17. 3x 1 x-38. 3x 1 2x+19. 2(x-1) < 6 x10. 5(x+1) > 2x + 611. 1- (4-x) < 2(x + 1)12. 3x + 2 < 10 + 3(x 2)13. 3(2x + 5) 4(x 1) > 0 14. 6x + 5 3 2(x + 3) 15. 2(3x 6) < 3(5x + 4)

Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado :

1. x2 10x + 21 02. x2 5x + 4 03. 2x2 12x + 16 > 04. x2 3x 4 < 05. x2 + 7 > 06. x2 + 6x + 5 07. x2 12 x8. 6x2 < 5x + 69. x2 x < 010. 3x2 + 1 011. x2 x 6 > 012. x2 + 3x 4 013. 2x2 7x + 3 014. x2 6x + 6 015. x2 10x + 25 < 0

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