modulo matemÁtica y estadÍstica ciclo iv...

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I.E.

CÁRDENAS CENTRO

MÓDULO DE MATEMÁTICA

Y ESTADÍSTICA

CICLO IV

GRADO NOVENO

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TABLA DE CONTENIDO

pág.

UNIDAD 1 1. FUNCIÓN LINEAL 6 2. PENDIENTE DE UNA LÍNEA RECTA, ECUACIÓN DE LA RECTA 6 3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES, PROPIEDADES DE SUS PENDIENTES 7 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 Y 3X3, MÉTODOS DE SOLUCIÓN 9 4.1. ECUACIONES DE DOS INCOGNITAS 9 4.1.1. Método por Igualación 9 4.1.2. Método por Sustitución 9 4.1.3. Método por Reducción 10 4.2. ECUACIONES DE TRES INCOGNITAS 11 5. MATRICES Y DETERMINANTES 14 5.1. MATRICES 14 5.1.1. Tipos de matrices 14 5.1.1.1. Atendiendo a la forma 14 5.1.1.2. Atendiendo a los elementos 15 5.1.2. Operaciones con matrices 15 5.1.2.1. Trasposición de matrices 15 5.1.2.2. Suma y diferencia de matrices 16 5.1.2.3. Producto de una matriz por un número 16 5.1.2.4. Propiedades simplificativas 16 5.2. DETERMINANTES 16 5.2.1. Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3 17 5.2.2. Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea 17 5.2.3. Propiedades de los determinantes 18 5.2.4. Cálculo de determinantes por el método de Gauss 19 6. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES 20 7. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS CON DATOS AGRUPADOS 20 8. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS ESTADÍSTICOS 21 8.1. DIAGRAMA DE BARRAS 21 8.2. HISTOGRAMA 21 8.3. POLÍGONO DE FRECUENCIAS 21 8.4. DIAGRAMA DE SECTORES 21

EVALUACIÓN DE COMPETETENCIAS 23

UNIDAD 2

1. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES Y PROPIEDADES 25 2. DEFINICIÓN DE RADICACIÓN Y REGLAS DE CÁLCULO CON RADICALES 25 3. EXPONENTES RACIONALES 26 4. NOTACIÓN CIENTÍFICA 26 4.1. POTENCIAS DE 10 26 4.1.1. Descomposición de números con potencias de 10 27 5. UNIDAD IMAGINARIA Y POTENCIA DE i 29

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5.1. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA 29 6. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 29 6.1. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA 29 6.2. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS 29 6.3. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS 29 6.4. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS 30 7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 30 7.1. LA MODA 30 7.2. LA MEDIANA 30 7.3. LA MEDIA ARITMÉTICA 30 8. MEDIDAS DE POSICIÓN: DECILES, CUARTILES Y PERCENTILES 31 8.1. DECILES 31 8.1.1. Datos Agrupados 31 8.1.2. Fórmulas Datos No Agrupados 31 8.2. CUARTILES 32 8.2.1. Datos Agrupados 32 8.2.2. Para Datos No Agrupados 33 8.3. CENTILES O PERCENTILES 33 8.3.1. Datos Agrupados 33 8.3.2. Fórmulas Datos No Agrupados 34 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 35 UNIDAD 3

1. DEFINICIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Y SU GRÁFICA 37 1.1. CARACTERÍSTICAS DE LA PARÁBOLA 37 2. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y SU GRÁFICA 41 3. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y SU GRÁFICA 42 4. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 43 4.1. ECUACIONES EXPONENCIALES 43 4.1.1. Resolución de ecuaciones exponenciales 43 4.2. ECUACIONES LOGARÍTMICAS 44 4.2.1. Propiedades de los Logaritmos 45 4.2.2. Resolución de Ecuaciones Logarítmicas 45 5. MEDIDAS DE DISPERSIÓN 46 5.1. DESVIACIÓN MEDIA 46 5.2. DESVIACIÓN TÍPICA 48 5.2.1. Cálculo de la desviación típica para datos no agrupados en clases 48 5.2.2. Cálculo de la desviación típica para datos agrupados en clases y agrupados por frecuencias 48 5.3. VARIANZA 49 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 51 UNIDAD 4

1. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Y GRÁFICA 52 2. SUCESIONES Y SERIES 53 2.1. ¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN? 53 2.1.1. Tipos de Sucesiones 55

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2.1.1.1. Sucesiones aritméticas 55 2.1.1.2. Sucesiones geométricas 56 2.1.1.3. Sucesiones especiales 56 2.2. SERIES 57 3. PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 57 3.1. PROGRESIÓN ARITMÉTICA 57 3.2. SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 60 4. PROBABILIDAD, ESPACIO MUESTRAL, EVENTOS 61 4.1. PROBABILIDAD 61 4.1.1. Espacio Muestral 61 4.1.2. Evento o Suceso 62 4.1.2.1. Sucesos Excluyentes 62 4.1.2.2. Sucesos Independientes 62 4.1.2.3. Sucesos Dependientes 62 5. DIAGRAMAS DE ÁRBOL, TÉNICAS DE CONTEO 62 6. COMBINACIONES Y PERMUTACIONES 63 6.1. PERMUTACIONES 63 6.2. COMBINACIONES 64 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 66 BIBLIOGRAFÍA 68

1. FUNCIÓN LINEAL

En matemática, el término función linealreferirse a dos conceptos diferentes.

En el primero, correspondiente a lael álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer gradouna función que se representa en elcartesiano como una línea recta.

Esta función se puede escribir como

donde m y b son constantes reales yvariable real. La constante m es larecta, y b es el punto de corte de la recta con el ejeCuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.

En el segundo caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es una función que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.

Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa una aplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llamanlineal a aquella de la forma f(x) = llaman función afín a la que tiene la = mx + b cuando b es distinto de cero.

2. PENDIENTE DE UNA LÍNEA RECTA, ECUACIÓN DE LA RECTA

La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

(El símbolo delta "∆", es comúnmente usado en cálculo para representar un cambio o diferencia).

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UNIDAD 1

función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes.

En el primero, correspondiente a la geometría y , una función lineal es

de primer grado . Es decir, epresenta en el plano

son constantes reales y x es una es la pendiente de la

es el punto de corte de la recta con el eje y. modificamos la inclinación de

desplazamos la línea

En el segundo caso, en matemáticas más es una función que es

. Esto es, una aplicación entre que preserva la suma de

scalar.

según la primera definición dada anteriormente representa una aplicación lineal si y

0. Así, algunos autores llaman función mx mientras que

a la que tiene la forma f(x) es distinto de cero.

Ejemplo: Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (función

del vendedor, y "x" es la vendidos. Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es

EJERCICIOS….

Representa gráficamente estas rectas:

y = 2x – 3, y = – 2, y = 3x

PENDIENTE DE UNA LÍNEA RECTA,

La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano), suele ser

, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el

mbio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

es comúnmente usado en cálculo para representar un cambio o diferencia).

Dados dos puntos (x1,yes x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

Donde m representa la pendiente entre el punto 1 y el punto 2. La cual representa la razón de cambio de y respecto a x, es decir siunidad, (y) se incrementa en

Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo

ingreso) donde "y" es el sueldo

del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos

Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:

Representa gráficamente estas rectas:

2, y = 3x – 2.

y1) y (x2,y2), la diferencia en X , mientras que el cambio en Y se calcula

. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

representa la pendiente entre el punto 1 y representa la razón de cambio de

y respecto a x, es decir si (x) se incrementa en 1 se incrementa en (m) unidades.

Si la pendiente (m) es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva, si la pendiente es menor que 0 se dice que la pendiente es negativa, si la pendiente es igual a 0 la recta es paralela al eje (x) del plano cartesiano, y si la pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (y) del plano cartesiano En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación puntopendiente):

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendientetangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X. La ecuación de la recta que pasa por el

punto y tiene la pendiente dada m es: Ejemplo La ecuación de la recta que pasa por el punto A4) y que tiene una pendiente de − 1 / 3Al sustituir los datos en la ecuación, siguiente:

3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES, PROPIEDADES DE SUS PENDIENTES

Rectas paralelas son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus prolongaciones. Uno de los ejemplos más populares e

Para que una función sea paralela a otra tiene que tener la misma pendiente, o sea la misma “M”. Ejemplos:F(X) = 2x + 2 G(X) = 2x + 4

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es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva, si la pendiente es menor que 0

pendiente es negativa, si la pendiente es igual a 0 la recta es paralela al eje (x) del plano cartesiano, y si la pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (y) del plano cartesiano

es siempre constante.

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y

. La pendiente m es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje

La ecuación de la recta que pasa por el

y tiene la pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − − 1 / 3.

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo

Forma simplificada de la ecuación de la rectaSi se conoce la pendienterecta corta al eje de ordenadas es (deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y − y1 = m(x − x1

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremospuede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. EJERCICIOS……..


son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus prolongaciones. Uno de los ejemplos más populares es el de las vías de un tren.

Para que una función sea paralela a otra tiene que tener la misma pendiente, o sea la misma “M”. Ejemplos:

Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la

1):

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una


son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus

Para que una función sea paralela a otra tiene que tener la misma pendiente, o sea la misma “M”. Ejemplos:

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Propiedades de las Rectas Paralelas � Reflexiva (toda recta es paralela a si misma) � Simétrica (si una recta es paralela a otra, aquella será paralela a la primera) � Transitiva (si una recta es paralela a otra y esta a su vez es paralela a una tercera, la primera será paralela a la tercera recta),

� corolario de la propiedad transitiva (dos rectas paralelas a una tercera serán paralelas entre sí) y (todas las rectas paralelas presentan la misma dirección) En tanto, los teoremas vinculados a las rectas paralelas nos dicen: que en un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera serán paralelas entre sí; por un punto

exterior a una recta, pasará siempre una paralela a esa recta; y si una recta corta a una de dos paralelas, cortará también a la otra, siempre hablando en un plano. El trazado de las líneas paralelas puede llevarse a cabo con regla y escuadra o con regla y compás.

En este caso las rectas son paralelas, puesto que la pendiente es la misma. Ahora, para que una función sea perpendicular a otra tiene que su pendiente ser la inversa negativa de la otra

pendiente, digamos entonces que la formula sería: m1 • m2 = – 1 ⇒ m1 = – 1/m2. Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro Ángulos iguales de 90º. - Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares. - Dado un Punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha Recta. - Dos rectas son perpendiculares si sus Vectores directores son perpendiculares es decir el producto de los vectores es igual a cero - Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

La relación de perpendicularidad se puede dar entre:

� Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.

� Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen.

� Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º. � Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente,

compartiendo la misma recta de origen.

EJERCICIOS Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3 ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0? Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4) Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P1(4, 3) y P2(–3, –2)

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4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 Y 3X3, MÉTOD OS DE SOLUCIÓN

4.1. ECUACIONES DE DOS INCOGNITAS

Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen ambas ecuaciones. Existen tres métodos equivalentes básicos para encontrar las soluciones de los sistemas, estos son: 4.1.1. Método por Igualación. Consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones, y como ésta debe ser equivalente entre ambas las podemos igualar, obteniendo de esta forma una ecuación con una sola incógnita.

Consideremos el sistema anterior:

De la primera ecuación despejemos y:

Ahora de la segunda ecuación despejemos la misma variable:

Luego, como y de la primera ecuación debe ser el mismo que el de la segunda se tiene que:

Así, obteniendo una simple ecuación de primer grado logramos obtener la solución para x, ahora para encontrar el valor de y solo debemos reemplazar x = 1 en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema:

De ésta forma logramos encontrar el valor de la otra incógnita, y con una simple ecuación de primer grado. 4.1.2. Método por Sustitución. Este método consiste en despejar una incógnita de alguna de las ecuaciones para luego sustituirla en la segunda, de ésta manera obtendremos una ecuación de una sola incógnita. Consideremos el sistema anterior:

De la primera ecuación despejemos esta vez x.

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Ahora sustituimos este valor en la segunda ecuación, resultando:

Como ya sabemos que 1

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yy

+= =y x basta

reemplazar y encontramos x.

4.1.3. Método por Reducción. Ya sabemos que a una igualdad le podemos sumar a ambos lados la misma cantidad sin alterarla, lo que implica que a una ecuación le podemos sumar a ambos lados los miembros de otra ecuación, ya que las partes de esta última no son más que el mismo elemento. Esto

quiere decir que si sumamos, o restamos igualdades, obtendremos otra igualdad también válida. La idea de este método es obtener inteligentemente una tercera ecuación que contenga a solo una de las incógnitas. Resolvamos el sistema anterior con este método:

Sumemos ambas ecuaciones.

De esta manera obtenemos una tercera ecuación que también es verdadera para los mismos valores de x y y. Por lo tanto resolviendo esta ecuación podremos encontrar los resultados.

Para encontrar el valor de y basta reemplazar x = 1 en cualquiera de las ecuaciones originales.

Resolvamos otro ejemplo con el método de reducción:

En este ejemplo no nos sería útil sumar o restar las ecuaciones tal como están ya que obtendríamos una tercera ecuación que contendría ambas incógnitas, por lo que antes debemos “arreglarlas". Podemos

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multiplicar la segunda ecuación por 3, de ésta forma el sistema quedará de la forma:

Ahora podemos sumar ambas ecuaciones obteniendo:

De ésta manera obtenemos una simple ecuación de primer grado con una incógnita:

Para encontrar el valor de y se puede hacer un proceso similar, o simplemente reemplazar el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales. 4.2. ECUACIONES DE TRES INCOGNITAS

Los sistemas de 3 incógnitas deben tener a lo menos 3 ecuaciones para ser resolubles, y la manera de resolverlos es “transformarlos" en un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas que ya sabemos resolver. Generalmente la forma más fácil de hacerlo es utilizando el método de sustitución. Veamos un ejemplo.

En este caso podemos despejar de la ecuación (2) la variable z y luego reemplazarla en las ecuaciones (1) y (3).

Luego, al reemplazar en las ecuaciones (1) y (3) resulta:

Así con las nuevas ecuaciones (4) y (5), formamos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas que ya sabemos resolver:

Las podemos restar entre ellas para obtener una sexta ecuación de solo una incógnita:

12

Ahora reemplazamos en la ecuación (4):

Y con los valores de y y de x obtenidos reemplazamos en alguna de las ecuaciones originales para obtener z:

De esta manera finalmente logramos obtener todos los valores del sistema original.

RESUELVE

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando los métodos de resolución que te parezcan más convenientes:

1.

2.

3.

4.

5.

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Arquímedes, Newton y Gauss son tres hombres que constituyen una clase especial entre los grandes

matemáticos y no corresponde a los mortales ordinarios colocarlos en orden a sus méritos. Los tres iniciaron nuevas oleadas

en la Matemática pura y aplicada: Arquímedes estimaba su Matemática pura mucho más que sus aplicaciones; Newton parece haber encontrado la principal justificación para sus invenciones matemáticas en el uso científico que de ellas estableció, mientras Gauss declaraba que para él tenía el mismo valor la parte pura y la aplicada. De todos modos, Gauss elevó la Aritmética superior a la categoría de reina de la Matemática.

El origen de Gauss, Príncipe de la Matemática, no era en verdad real. Hijo de padres pobres; había nacido en una miserable casucha en Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777. Su abuelo paterno era un pobre campesino. En 1740 su abuelo se estableció en Brunswick, donde arrastró una precaria existencia dedicado a la jardinería. El segundo de sus tres hijos, Gerhard Diederich, nacido en 1744, fue el padre de Gauss. Aparte de este gran honor, la Vida de Gerhard, dedicada los trabajos pesados de jardinero, constructor de canales y albañil, no se

distingue por ningún motivo.

Sus últimos años están colmados de honores, pero no fue tan feliz como tenía el derecho a ser. Un hombre de una

mente tan poderosa y de una inventiva tan prolífica no se resignaba con el reposo cuando aparecieron los

primeros síntomas de su última enfermedad, algunos meses antes de su muerte. En una ocasión pudo escapar felizmente de una muerte violenta, y esto le hizo aún más reservado de lo que antes había sido. Por primera vez en más de veinte años abandonó Göttingen el 16 de junio de 1854, para ver el ferrocarril que se estaba construyendo entre su ciudad y Cassel. Gauss siempre había tenido gran interés por la construcción de los ferrocarriles, y ahora podía satisfacer su curiosidad. Los caballos de su coche se desbocaron, y al ser despedido del carruaje sufrió una fuerte conmoción. Se restableció, y tuvo el placer de ser testigo de las ceremonias de la inauguración, cuando el ferrocarril llegó a Göttingen el 31 de julio de 1854. Este fue su último día de tranquilidad. Al iniciarse el nuevo año comenzó a sufrir de dilatación cardíaca y disnea, apareciendo síntomas de hidropesía. A pesar de ello continuó trabajando cuanto pudo, aunque sus manos se acalambraban y su bella y clara escritura se deformaba. Su última carta fue dirigida a Sir David Brewster, comentando el descubrimiento del telégrafo eléctrico. Completamente consciente de su fin murió pacíficamente, después de una grave lucha para vivir, en la madrugada del 23 de febrero de 1855, teniendo 78 años. Su nombre perdurará en la Matemática.

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5. MATRICES Y DETERMINANTES

5.1. MATRICES

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ...,m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

5.1.1. Tipos de matrices. Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

5.1.1.1. Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.

Ejemplo:

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.

Ejemplo:

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n . En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Ejemplo:

En la matriz la diagonal principal está formada por (1, 1, 9) y la diagonal secundaria por (0, 1, 3).

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n ´ m.

Ejemplo:

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.

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Ejemplo:

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.

Ejemplo:

5.1.1.2. Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Ejemplo:

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Ejemplo:

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Ejemplo:

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Ejemplo:

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 "j<i.

Ejemplos:

5.1.2. Operaciones con matrices

5.1.2.1. Trasposición de matrices. Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:

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Propiedades de la trasposición de matrices

1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2. (At)t = A.

5.1.2.2. Suma y diferencia de matrices. La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo:

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

2. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 3. A + 0 = A (0 es la matriz nula) 4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de

signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

5.1.2.3. Producto de una matriz por un número. El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.

Ejemplo:

El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)

2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)

3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta) 4. 1·A = A (elemento unidad)

5.1.2.4. Propiedades simplificativas

1. A + C = B + C ⇔ A = B.

2. k A = k B ⇔ A = B si k es distinto de 0.

3. k A = h A ⇔ h = k si A es distinto de 0.

5.2. DETERMINANTES

Dada una matriz cuadrada

Se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:

, con

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(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1,

2,.. n}, e i(σ) es la signatura de la permutación). También se suele escribir:

5.2.1. Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3. Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:

En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:

5.2.2. Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea. Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij.

Dada la matriz

La matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:

Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz

complementaria del elemento aij , y se representa por aij

Se llama adjunto de aij , y se representa por Aij, al número (–1)i+jaij.

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.

Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:

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La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad.

Nota Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros

Ejemplo :

5.2.3. Propiedades de los determinantes. Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.

det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + d et (L'1, L2, L3...)

Ejemplo:

Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)

Ejemplo:

Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:

det (A·B) = det (A) · det (B)

Ejemplo:

Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:

det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...)

Ejemplo:

Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.

19

det (0, L2, L3...) = 0

Ejemplo:

Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.

det (L1, L1, L3...) = 0

Ejemplo:

Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.

det (L1, k·L1, L3...) = 0

Ejemplo:

Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.

det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0

Ejemplo:

Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.

det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3)

Ejemplo:

Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.

det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0

Ejemplo:

5.2.4. Cálculo de determinantes por el método de Gauss. Se conoce cómo método de Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes.

Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:

• Permutar 2 filas ó 2 columnas. • Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo. • Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.

20

Ejemplo:

6. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS SISTE MAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Hallar dos números cuyo cociente sea 4/5 y su producto 80. 2. Hallar dos números tales que su producto sea 245 y uno es el quíntuplo del otro. 3. Hallar dos números cuya suma es 40 y su producto 256. 4. Encontrar dos números cuya suma sea 12 y la suma de sus cuadrados 104. 5. Encontrar dos números cuya diferencia es 8 y la suma de sus cuadrados 104. 6. Encontrar dos números cuyo producto sea 184 y al dividirlos da 2 de cociente y 7 de resto. 7. Hallar un número de dos cifras cuya suma de las mismas es 7 y el número es 2 unidades menor que el triplo del producto de sus cifras. 8. Hallar dos números enteros tales que su suma sea 7 y la suma de sus cuadrados sea 25. 9. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el doble de las decenas más las unidades es 8 y el producto del número con el que resulta de invertir sus cifras es 736. 10. El perímetro de un rectángulo es 28 m y la diagonal excede en 2 m al lado mayor. Hallar el área del rectángulo.

7. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS CON DATOS AGRUPADOS

Es aquella distribución en la que la disposición tabular de los datos estadísticos se encuentran ordenados en clases y con la frecuencia de cada clase; es decir, los datos originales de varios valores adyacentes del conjunto se combinan para formar un intervalo de clase. No existen normas establecidas para determinar cuándo es apropiado utilizar datos agrupados o datos no agrupados; sin embargo, se sugiere que cuando el número total de datos (N) es igual o superior a 50 y además el rango o recorrido de la serie de datos es mayor de 20, entonces, se utilizará la distribución de frecuencia para datos agrupados, también se utilizará este tipo de distribución cuando se requiera elaborar gráficos lineales como el histograma, el polígono de frecuencia o la ojiva.

La razón fundamental para utilizar la distribución de frecuencia de clases es proporcionar mejor comunicación acerca del patrón establecido en los datos y facilitar la manipulación de los mismos. Los

datos se agrupan en clases con el fin de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la información obtenida de una investigación sea manejable con mayor facilidad.

Ejemplo: Ejemplo, la siguiente tabla muestra las notas que se sacaron 45 alumnos de un curso en su última prueba: Observa que en este caso las clases son las notas y las frecuencias de clase son la cantidad de alumnos.

8. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS ESTADÍSTICOS

Las tablas estadísticas representan toda la información de modo esquemático y están preparadas para los cálculos posteriores. Los gráficos estadísticos nos transmiten esa información de modo más expresivo, nos van a permitir, con un sólo golpe de vista, entender de que se nos habla, observar sus características más importantes, incluso sacar alguna conclusión sobre el comportamiento de la muestra donde se realizando el estudio. Los gráficos estadísticos son muy útiles para comparar distintas tablas de frecuencia.estadísticos más usuales son: 8.1. DIAGRAMA DE BARRAS Se utiliza para la representación decuantitativas discretas , cada valor de la variable se representa por un punto sobre el eje OX y sobre él se dibuja una barra de longitud igual o su frecuencia absoluta. Si la frecuencia absoluta que se utiliza es la acumulativa, el diagrama de barras que se obtiene es: diagrama de barras acumulativo.

8.2. HISTOGRAMA Se utiliza para la representación de variables cuantitativas continuas, cada intervalo se representa sobre el eje OX, este será la base del rectángulo que se dibuja sobre él con altura igual o frecuencia absoluta. Como los intervalos son consecutivos, los rectángulos quedan adosados. Si

21

8. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS

Las tablas estadísticas representan toda la información de modo esquemático y están preparadas para los cálculos posteriores. Los gráficos estadísticos nos transmiten esa información de modo más expresivo, nos van a permitir, con un

tender de que se nos habla, más importantes,

incluso sacar alguna conclusión sobre el comportamiento de la muestra donde se está realizando el estudio.

Los gráficos estadísticos son muy útiles para frecuencia. Los gráficos

Se utiliza para la representación de variables , cada valor de la variable se

representa por un punto sobre el eje OX y sobre él se dibuja una barra de longitud igual o proporcional a

frecuencia absoluta. Si la frecuencia absoluta que se utiliza es la acumulativa, el diagrama de barras

diagrama de barras

Se utiliza para la representación de variables cuantitativas continuas, cada intervalo se representa sobre el eje OX, este será la base del rectángulo que se dibuja sobre él con altura igual o proporcional a su frecuencia absoluta. Como los intervalos son consecutivos, los rectángulos quedan adosados. Si

se utilizaran rectángulos de amplitud diferente, el área del rectángulo es la que tendría que ser proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente a ese intervalo. Se utiliza el histograma acumulativo, si se utiliza la frecuencia absoluta acumulativa.

8.3. POLÍGONO DE FRECUENCIAS Se utilizan para variables estadísticas cuantitativas, discretas o continuas. el polígono de frecuencias se obtiene uniendo por una poligonal, los extremos superiores de las barras. Para una variable continuafrecuencias se obtiene uniendo por una poligonal los puntos medios de la base superior de los polígdel histograma. Las escalas utilizadas para representar los polígonos de frecuencias influyen mucho por el impacto visual de los mismos.

8.4. DIAGRAMA DE SECTORES Se utiliza para todo tipo de variable estadística, cuantitativa o cualitativa. sectores sobre un círculo, siendo la amplitud de los

se utilizaran rectángulos de amplitud diferente, el área del rectángulo es la que tendría que ser proporcional a la frecuencia absoluta

ondiente a ese intervalo. Se utiliza el histograma acumulativo, si se utiliza la frecuencia

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

utilizan para variables estadísticas cuantitativas, discretas o continuas. Para una variable discreta , el polígono de frecuencias se obtiene uniendo por una poligonal, los extremos superiores de las barras. Para una variable continua , el polígono de frecuencias se obtiene uniendo por una poligonal los puntos medios de la base superior de los polígonos del histograma. Las escalas utilizadas para representar los polígonos de frecuencias influyen mucho por el impacto visual de los mismos.

DIAGRAMA DE SECTORES

Se utiliza para todo tipo de variable estadística, cuantitativa o cualitativa. Consiste en dibujar sectores sobre un círculo, siendo la amplitud de los

22

sectores proporcional a su frecuencia absoluta, cada sector se rellena con un color diferente. El cálculo de la amplitud en grados sexagesimales del sector correspondiente se realiza así: ángulo = frecuencia relativa * 360.

EJERCICIO………….. Hemos preguntado a 20 personas por el número medio de días que practican deporte a la semana y hemos obtenido las siguientes respuestas:

Nº días (xi) fr. absoluta (ni)

0 1

1 2

2 4

3 7

4 1

5 1

6 3

7 1

Total 20

Realiza el diagrama de barras, el polígono de frecuencias y el diagrama de sectores correspondiente.

23

EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS

ECUACIONES ALGEBRAICAS

1. La edad de Cristina es un tercio de la edad de su padre y dentro de 16 años será la mitad, entonces la edad de Cristina es:

a) 16 b) 24 c) 32 d) 48 e) 64

2. Sea x = 2y + 5, si x = 3 entonces y =

a) 1 b) - 1 c) 3/2 d) 4 e) 11

3. De una torta Gonzalo se come la mitad, Cristian la sexta parte y Paola la tercera parte, ¿qué parte de la torta quedó?

a) 13

e) Nada

b) 16

c) 19

d) 118

4. La edad de una persona es (12a + 8) años, ¿hace cuántos años tenía la cuarta parte de su edad actual?

a) 3a + 2 b) 12a + 4 c) 3a + 4 d) 9a + 8 e) 9a + 6

5. El valor de x en la ecuación 7(5x + 5) = 5(6x + 4) es:

a) 10 b) 3 c) 3 d) 10 e) 11

6. Si al quíntuplo de un cierto número se le restan 16, se obtiene el triple del mismo número, ¿cuál es el número?

a) 2 b) - 2 c) 8 d) – 8

e) 195

7. Gonzalo tiene el doble de dinero que Cristian, si entre ambos se quieren comprar una pelota de $1.000 Gonzalo deberá tener el doble de dinero que tiene. ¿cuánto dinero tiene Cristian?

a) $100 b) $200 c) $300 d) $400 e) $500

8. Si x + z = y, 2y = 3x y x + y + z = 18, entonces el valor de z es:

a) 9 b) 6 c) 4,5 d) 4 e) 3

9. Dada la ecuación (x + 1) 2 = 1, la suma de sus dos soluciones es igual a:

a) 0 b) 2 c) - 2 d) - 1 e) 1

10. Si m 2 = 4nh entonces la ecuación x(nx + m) = - h tiene:

a) Dos soluciones. b) Una solución. c) No tiene soluciones. d) Infinitas soluciones. e) No se puede determinar la cantidad de

soluciones.

24

11. Si y es el sucesor de x, y x es el triple del antecesor de y, entonces los valores de x y y son respectivamente:

a) 0 y 1 b) - 1 y 0 c) 1 y 0 d) 0 y – 1 e) 0 y 0

12. El producto de las raíces de la ecuación x2 + x = 12 es:

a) 12 b) - 12 c) 3 d) – 4 e) – 1

13. La semi suma de dos números es 10, y su semi diferencia es 5, ¿cuál es el Mínimo común múltiplo entre dichos números?

a) 25 b) 20 c) 15 d) 10 e) 5

14. Cuál debe ser el valor de k para que una de las soluciones de la ecuación x 2 = 2x – k +10 sea 1.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

15. La diferencia entre un número y su cuarta parte es 9, entonces el doble del número es:

a) 12 b) 18 c) 24 d) 36 e) 90

16. Cristian es 3 años mayor que Gonzalo, en 5 años mas sus edades sumarán 35 años, ¿Qué edad tiene Gonzalo?

a) 11 b) 14 c) 16 d) 19 e) 20

17. Si 3

1 9Si entonces xx

− = =

a) 92

−

b) 29

−

c) 92

d) 83

e) 38

−

18. La suma de las soluciones del sistema,

es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 0

25

UNIDAD 2

1. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES Y PROPIEDADES

Esencialmente una potencia nos representa una multiplicación por sigo mismo de un número que llamamos “base", tantas veces como lo indique otro número que llamamos “exponente".

Propiedades:

Consideremos a, b ∈ ℝ - {0} y m, n, ∈ ℤ

RESUELVE

1.

214

= 4. ( )22 6i

=

2.

223

= 5.

42

15

=

3.

32 13 5

− i = 6.

32

43

=

2. DEFINICIÓN DE RADICACIÓN Y REGLAS DE CÁLCULO CON RADICALES

Las raíces son casos más generales de las potencias, ya que corresponden a una potencia, pero de índice racional. Decimos que una raíz n- ésima de un número a es b, si y solo si la n- ésima potencia de b es 0, es decir:

Propiedades:

Consideremos a, b ∈ ℝ - {0} y m, n, ∈ ℤ

26

RESUELVE

1. 4 16i = 4. 327

125=

2. 9 16 25i i = 5. 31 27

8 1−i =

3. 3 8 64i =

3. EXPONENTES RACIONALES

Se utilizan como exponentes números racionales, o como comúnmente se conocen, fracciones. Su operación se hace basándose en las reglas de exponentes. Si hay que sumar o restar exponentes, se deberá hallar el denominador común. Además, se colocará la respuesta de acuerdo a las leyes de los signos, siempre comparando las fracciones. Se convertirán exponentes negativos a positivos. Se debe recordar que al elevar una expresión a la cero el resultado es 1.

Ejemplos:

Simplificar cada expresión:

( )6

634

34

184

92

:

m

Solución

m

m

m

=

=

=

5 13 4

2

5 13 4

2

232312 212

2

112

112

:

1

x xx

Solución

xx

xx

x

x

x

+

−

−

=

= =

= =

RESUELVE

Simplifique cada expresión:

a)

13

56

2

2

−

−=

b) ( ) 389x

−− =

c)

172812

56

x x

x

−

=

4. NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es una herramienta que ocupamos para poder escribir números demasiado pequeños o demasiado grandes con el fin de reducir espacio en su escritura. Por ejemplo, 5.000.000.000.000.000.000.000, es un número bastante grande, por lo que aprenderemos que podemos escribir éste número como 5 x 1021, cuya notación es claramente más eficiente. 4.1. POTENCIAS DE 10 Potencias de 10 Son aquellas potencias que tienen base igual a 10, y exponente entero. Son potencias de la forma:

10n n∀ ∈ℤ Estas potencias cuando el exponente es positivo, nos indica la cantidad de ceros que vamos a poner a la derecha del número 1. De la misma forma para los enteros negativos nos indicará la cantidad de ceros que vamos a poner a la izquierda del 1. Es decir:

27

De esta forma podemos expresar las unidades, decenas, centenas, milésimas, decenas de

milésimas, etc… Reemplazando por éstas potencias de 10. Se tiene por ejemplo:

Así podemos ver que este tipo de escritura nos puede ser de mucha utilidad cuando deseemos expresar números excesivamente grandes. Pero también utilizando exponentes negativos podemos obtener el mismo resultado, esta vez con números pequeños. Por ejemplo:

4.1.1. Descomposición de números con potencias de 1 0. También podemos ocupar a las potencias de diez para descomponer números, ya que como cuando lo hacíamos en enseñanza básica, los números los podemos separar en una suma de unidades, decenas, centenas, etc…, y las potencias de base diez son precisamente eso. Por ejemplo:

Ahora; llamamos específicamente notación científica cuando escribimos cualquier número representado por un número, con un solo dígito antes de la coma, multiplicado por una potencia de diez. Este dígito es el primero del valor original, por ejemplo: Escribamos el número 65.300.000 con notación científica, entonces tenemos que escribir un número de un solo dígito antes de la coma que multiplicado por alguna potencia de diez resulte 65.300.000. Dicha potencia de diez resulta tener el exponente igual a la cantidad de espacios que vamos a correr la coma.

28

Entonces:

RESUELVE

1. Escribe los siguiente valores con notación científica: a) 0,00001= b) 0,0000000000235= c) 125.230= d) 1.235.300= e) 85.325.000.000= f) 0,00000639= g) 0,000000001001= h) 123.200.000= i) 998.000.000.000.000.000.000= j) 0,0000000000000000009=

2. Escribe los siguientes números como decimales sin

notación científica: a) 1,2 x 102= b) 3,456 x 106= c) 1,56 x 10-3 = d) 9,99 x 109= e) 6,022 x 1023 = f) 2,99 x 108= g) 5,99 x 10-28 =

29

5. UNIDAD IMAGINARIA Y POTENCIA DE i

Existen ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales, por ejemplo x2 + 9= 0 no tiene solución en R ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado dé -9. Para solucionar problemas en los que aparezcan raíces cuadradas de números negativos, es preciso ampliar el conjunto de los números reales R, construyendo un nuevo conjunto, C, de manera que R sea un subconjunto de C y de modo que en ese nuevo conjunto se conserven las propiedades de las operaciones y todos los números tengan raíz cuadrada. Para ello se define la unidad imaginaria.

Un número imaginario se denota por bi, donde:

b es un número real

i es la unidad imaginaria

Unidad imaginaria i, es aquel número que elevado al cuadrado da -1: i2 = - 1; i = √-1

La ecuación x2 + 9 = 0 tiene que cumplir x2 = - 9, entonces: x = √-9 = √9 ∙ √-1 = ±3 i

La ecuación x2 – 2x + 5 = 0 no tiene raíces reales ya que el discriminante es negativo.

x2 – 2x + 5 = 0 ⇒ (x – 1)2 + 4 = 0 ⇒ (x – 1)2 = - 4 ⇒ x – 1 = ± 2 i ⇒ x = 1 ± 2 i

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo. x2 + 9 = 0

31

2

239 9

x i

x ix x=

=−= − = ± −

5.1. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

i0 = 1 i3 = - i

i1 = i i 4 = 1

i2 = -1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

27i i= −

6. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 6.1. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

Una expresión de la forma a+bi en la que a y b son dos números reales cualesquiera e i es la unidad imaginaria, se denomina número complejo.

a+bi es la forma binómica del número complejo; a es la parte real y b es la parte imaginaria.

6.2. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d) i

(a + bi ) - (c + di ) = (a - c) + (b - d) i

(5 + 2 i ) + (- 8 + 3 i ) – (4 – 2i ) =

= (5 – 8 – 4) + (2 + 3 + 2)I = - 7 + 7 i

6.3. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

30

(a + bi ) ∙ (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc) i

(5 + 2 i ) ∙ (2 – 3 i ) =

= 10 – 15 i + 4 i – 6 i2 = 10 – 11 i + 6 = 16 – 11 i.

6.4. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

a bi a bi c di ac bd bc ad i ac bd bc adi

c di c di c di c d c d c d+ + − + + − + −= = = ++ + − + + +

i

i

2

2

3 2 (3 2 ) (1 2 ) 3 6 2 4 3 8 4 1 81 2 (1 2 ) (1 2 ) 1 (2 ) 1 4 5 5

i i i i i i ii

i i i i+ + + + + + + −= = = = +− − + − +

i

i

7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

7.1. LA MODA En un conjunto de datos estadísticos el valor del elemento que se repite más veces es conocido como moda, la moda puede no existir en el caso de que no haya repeticiones de algún dato o que todos se repitan la misma cantidad de veces. En el caso de que la moda exista puede no ser única pues puede haber una cantidad menor de elementos del total que se repitan la misma cantidad de veces. Ejemplo 1 En el conjunto {a; f; c; d; e; b; a; d; a} la moda es a, pues se repite 3 veces. Ejemplo 2 En el conjunto { , , , , , , , } las modas son y , pues ambas se repiten 2 veces.

Ejemplo 3 En el conjunto {1;1;2;2;3;3;4;4;5;5;6;6} no existen modas.

7.2. LA MEDIANA En un conjunto ordenado (en el caso de que un conjunto no esté ordenado, debes ordenarlo para encontrar la mediana) de datos estadísticos el elemento que se encuentra en la posición central es conocido como mediana, en el caso que no exista una posición central (cuando hay una cantidad par de elementos), la mediana será el promedio entre los dos valores centrales. Ejemplo 1 En el conjunto ordenado {0, 1, 1, 2, 3, 6, 8} la mediana es 2, pues ocupa la posición central. Ejemplo 2 En el conjunto ordenado {1, 2, 3, 4, 5, 6} no existe posición central pues hay 6 elementos, en este caso la mediana será el promedio entre 3 y 4, es decir 3 4

3,5.2+ =

7.3. LA MEDIA ARITMÉTICA En un conjunto de datos estadísticos la media aritmética (lo abreviamos como x), es el promedio entre todos los datos, es decir. Sea un conjunto {a1, a2, a3, a4,…, an} de n elementos, el promedio será:

1 2 3 4 ...a a a a anx

n+ + + + +=

31

Ejemplo 1 En el conjunto {5, 4, 8, 3, 1, 1, 6} el promedio será:

5 4 8 3 1 1 6 284

7 7x

+ + + + + += = =

Ejemplo 2 En el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} el promedio será:

1 2 3 4 5 153

5 5x

+ + + += = =

8. MEDIDAS DE POSICIÓN: DECILES, CUARTILES Y PERCEN TILES

8.1. DECILES

Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en diez partes porcentualmente iguales. Son los nueve valores que dividen al conjunto de datos ordenados en diez partes iguales, son también un caso particular de los percentiles. Los deciles se denotan D1, D2,..., D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc.

Los deciles, al igual que los cuartiles, son ampliamente utilizados para fijar el aprovechamiento académico.

8.1.1. Datos Agrupados. Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la fórmula.

k= 1,2,3,... 9

Donde:

Lk = Límite real inferior de la clase del decil k

n = Número de datos

Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k.

fk = Frecuencia de la clase del decil k

c = Longitud del intervalo de la clase del decil k

Otra fórmula para calcular los deciles:

• El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al 40%, de las observaciones y es superado por el 60% de las observaciones.

• El quinto decil corresponde a la mediana.

• El noveno decil supera al 90% y es superado por el 10% restante.

Donde (para todos):

L1 = límite inferior de la clase que lo contiene

P = valor que representa la posición de la medida

f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.

Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.

Ic = intervalo de clase.

8.1.2. Fórmulas Datos No Agrupados. Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

Cuando n es par:

32

Cuando n es impar:

Siendo A el número del decil.

8.2. CUARTILES

Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales.

Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.

8.2.1. Datos Agrupados.

Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente:

k= 1,2,3

Donde:

Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k


Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k.

fk = Frecuencia de la clase del cuartil k

c = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k

Si se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante otra fórmula se tiene lo siguiente:

• El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor que una cuarta parte de los datos; es decir, aquel valor de la variable que supera 25% de las observaciones y es superado por el 75% de las observaciones.

Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:

Donde:





Ic = intervalo de clase

• El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico o similar a la mediana, Q2 = Md), es el menor valor que es mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las observaciones son mayores que la mediana y el 50% son menores.


Donde:





Ic = intervalo de clase

• El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones.

33


Donde:





Ic = intervalo de clase.

Otra manera de verlo es partir de que todas las medidas no son sino casos particulares del percentil, ya que el primer cuartil es el 25% percentil y el tercer cuartil 75% percentil.

8.2.2. Para Datos No Agrupados. Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

- El primer cuartil:

Cuando n es par:

Cuando n es impar:

• Para el tercer cuartil

Cuando n es par:

Cuando n es impar:

8.3. CENTILES O PERCENTILES

Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso, estatura, etc.

Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99), leídos primer percentil,..., percentil 99.

8.3.1. Datos Agrupados. Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante la fórmula:

k= 1,2,3,... 99

Donde:

Lk = Límite real inferior de la clase del decil k


Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k.

fk = Frecuencia de la clase del decil k

c = Longitud del intervalo de la clase del decil k

Otra forma para calcular los percentiles es:

• Primer percentil, que supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante.

• El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones.

34

• El percentil 99 supera 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante.

8.3.2. Fórmulas Datos No Agrupados. Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

Para los percentiles, cuando n es par:

Cuando n es impar:

Siendo A, el número del percentil.

Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75.

EJEMPLO:

Determinación del primer cuartil, el séptimo decil y el 30 percentil, de la siguiente tabla:

Salarios No. De fa

(I. De Clases) Empleados (f1)

200-299 85 85

300-299 90 175

400-499 120 295

500-599 70 365

600-699 62 427

700-800 36 463

Como son datos agrupados, se utiliza la fórmula

Siendo,

La posición del primer cuartil.

La posición del 7 decil.

La posición del percentil 30.

Entonces,

El primer cuartil:

115.5 – 85 = 30.75

Li = 300, Ic = 100 , fi = 90

El 7 decil:

35


Las preguntas 1 y 2 se responden a partir de la siguiente información. Una prueba de hemoglobina, que se aplica a las personas con diabetes durante sus exámenes rutinarios de control, indica el nivel de azúcar en la sangre durante los dos o tres meses anteriores a la prueba. Los siguientes datos se obtuvieron de 40 personas con diabetes en la clínica: 6.5 5.0 5.6 7.6 4.8 8.0 7.5 7.9 8.0 9.2 6.4 6.0 5.6 6.0 5.7 9.2 8.1 8.0 6.5 6.6 5.0 8.0 6.5 6.1 6.4 6.6 7.2 5.9 4.0 5.7 7.9 6.0 5.6 6.0 6.2 7.7 6.7 7.7 8.2 9.0 1. Cuál es la distribución de frecuencia utilizando seis intervalos de clase: a) Niv. azúcar Freq. c) Niv. azúcar Freq. 4.0 – 4.8 24 4.0 – 4.8 3 4.9 – 5.7 36 4.9 – 5.7 4 5.8 – 6.6 22 5.8 – 6.6 4 6.7 – 7.5 12 6.7 – 7.5 6 7.6 – 8.4 4 7.6 – 8.4 5 8.5 – 9.3 2 8.5 – 9.3 2 b) Niv. azúcar Freq. d) Niv. azúcar Freq. 4.0 – 4.8 12 4.0 – 4.8 45 4.9 – 5.7 18 4.9 – 5.7 5 5.8 – 6.6 11 5.8 – 6.6 25 6.7 – 7.5 6 6.7 – 7.5 3 7.6 – 8.4 2 7.6 – 8.4 34 8.5 – 9.3 1 8.5 – 9.3 23 2. Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función que da la distribución de frecuencia utilizando seis intervalos de clase. a)

b) c) d)

36

Las preguntas 3 a 5 se responden de acuerdo con la siguiente información. Yaneth, Constanza, Andrea y Nidia son cuatro hermanas que decidieron rifar entre ellas una muñeca que les regalaron, para ello utilizan dos dados que serán lanzados hasta que la suma de los puntos obtenidos en cada lanzamiento coincida con los números que eligió cada una. Los números elegidos fueron los siguientes: Yaneth: 2 y 4, Constanza: 3 y 12, Andrea: 6 y 8, Nidia: 5 y 10. 3. La niña que tiene la mayor probabilidad de ganar la muñeca es:

a) Yaneth. c) Andrea. b) Constanza. d) Nidia.

4. De acuerdo con la posibilidad que ofrecen los dados para obtener cada número elegido, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) La probabilidad de obtener el número 2 es mayor que la probabilidad de obtener el 10.

b) El número que tiene la mayor probabilidad de obtenerse es el 4.

c) La probabilidad de obtener el número 5 es igual a la probabilidad de obtener el 10.

d) El número que tiene la menor probabilidad de obtenerse es el 6.

5. La posibilidad más alta de ganar en escoger el 7. Si Constanza escoge el 7 y el 12, ¿cuál es la posibilidad total de ganarle a Andrea?.

a) 2/36 c) 19/36 b) 7/36 d) no es posible que le gane

6. Un comerciante invirtió $25.000.000 en dos negocios. El año pasado obtuvo 15% de utilidades de un negocio, pero perdió 5% en el segundo. Si los ingresos del año pasado de las dos inversiones fueron equivalentes a un crédito de 8% sobre el capital total invertido, ¿cuánto dinero invirtió en cada negocio?.

a) En el primer negocio invirtió $20.000.000 y en el segundo $5.000.000.

b) En el primer negocio invirtió $10.000.000 y en el segundo $15.000.000.

c) En el primer negocio invirtió $15.650.000 y en el segundo $9.350.000.

d) En el primer negocio invirtió $21.500.000 y en el segundo $3.750.000.

Las preguntas 7 a 11 se responden a partir de la siguiente gráfica. 7. Las gráfica determina que el triángulo que se encuentra al interior del paralelepípedo es completamente adyacente al vértice D. ¿cuál es la distancia entre el plano y el vértice D?

a) 3,3. c) 4,1. b) 2,9. d) 2,8.

8. ¿Cuál es la longitud de la diagonal que establece el tercer lado del triángulo?

a) √9 c) √57 b) √43 d) 2√34

9. El volumen del paralelepípedo y el área del triángulo en el interior de este es:

a) 48 y 10. c) 48 y 10√2. b) 16 y 10√2. d) 28 y 10.

10. Si los lados del paralelepípedo se duplican, el volumen de éste se:

a) Duplica. c) Triplica. b) Cuadruplica. d) Octuplica.

11. Al duplicar los lados del sólido, el área del triángulo se:

a) Duplica. c) Triplica. b) Cuadruplica. d) Octuplica.

37

UNIDAD 3

1. DEFINICIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Y SU GRÁFIC A

Las funciones cuadráticas son todas aquellas que están determinadas por una ecuación de segundo grado, de la forma:

Con a, b y c ∈ ℝ, y por supuesto con a ≠ 0, de lo contrario estaríamos en presencia de una función afín. La representación gráfica de una función cuadrática se denomina parábola.

1.1. CARACTERÍSTICAS DE LA PARÁBOLA La forma de la parábola está totalmente determinada por los coeficientes de la función cuadrática a, b y c. El coeficiente a, que acompaña al x2, determinara si las ramas de la parábola van hacia arriba o hacia abajo, es decir:

El coeficiente c, el que no tiene x, cumple la misma labor que n en la función afín, es conocido como intercepto, pues es el valor por donde la parábola atraviesa el eje y, es decir:

Los lugares por donde la parábola atravesará el eje de las abscisas o eje x, serán los puntos donde la función sea 0, pues recordemos que los puntos sobre el eje x tienen coordenada y igual a cero, por lo tanto debemos encontrar que valores de x cumplen que:

O lo que es igual:

Y esos valores de x son precisamente las raíces de la ecuación de segundo grado que determina a la función. Sin embargo estas raíces no siempre existen, o a veces solo existe una, en el primer caso la parábola nunca corta el

38

eje x, y en el segundo lo toca una sola vez. Recordemos que la cantidad de raíces de una ecuación de segundo grado viene dado por su discriminante, por lo tanto se tiene que:

39

Otra parte importante de la parábola es el punto donde cambia de dirección, conocido como vértice, para encontrarlo podemos aprovechar el hecho de que la parábola es simétrica, por lo tanto podemos encontrar la componente x del vértice (llamémosla xv) fácilmente ya que esta está justo entre las raíces de la ecuación cuadrática. Por lo tanto podemos encontrarla promediando las raíces:

Luego para encontrar la componente y del vértice (llamémosla yv) reemplazamos xv en la función:

Así, las coordenadas del vértice de una parábola de ecuación f(x) = ax2 + bx + c serán:

( )2

, ,2 4v v

b bx y c

a a

= − −

Lo que se vería gráficamente:

40

Ejemplo 1: Grafiquemos la función y = x2; debemos dar valores a x, para calcular los valores de y para poder ubicarlos en el plano cartesiano.

Ejemplo 2: Grafiquemos la función y = - x2; de la misma manera debemos asignar arbitrariamente valores convenientes de x para encontrar los correspondientes de y y luego grafiarlos en el plano cartesiano:

41

RESUELVE

Representa gráficamente las siguientes funciones, determinando la concavidad, el intercepto con el eje y, el vértice y los cortes sobre el eje x.

1. f(x) = x2 + 3x - 4 2. f(x) = x2 + 3x + 2 3. f(x) = x2 - 5x + 6

2. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y SU GRÁFICA

La función exponencial se define de la forma:

También la podemos escribir como expa(x). Es una función inyectiva. El valor de a determinará por completo la forma de la gráfica de la función.

42

EJERCICIOS

Grafíca las siguientes funciones exponenciales.

3. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y SU GRÁFICA

Una función logaritmo es una función definida de la forma:

f(x) = loga(x) siendo a un número fijo, positivo y distinto de 1 Recordemos que los logaritmos NO están definidos para los números negativos, por lo que el dominio de ésta función no debe ser ℝ, mas bien, debe ser ℝ+.

Observa que… Si consideramos a la función exponencial una función de expa(x): ℝ → ℝ+ entonces podemos decir que la función loga(x): ℝ+ → ℝ es su inversa, pues:

Su composición genera la identidad. El gráfico de la función logaritmo va a ser muy distinto según el valor de la base, pues:

43

4. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

4.1. ECUACIONES EXPONENCIALES

Las ecuaciones exponenciales son aquellas ecuaciones en que la incógnita está presente en el exponente de una cantidad.

13 1 2x + + = , Si es una ecuación exponencial.

23 8 8x x+ = , NO es una ecuación exponencial.

4.1.1. Resolución de ecuaciones exponenciales. Para resolver las ecuaciones exponenciales principalmente ocupamos las siguientes propiedades:

1. ab = ac ⇔ b = c

2. ab = ac ⇔ a = c

44

Es decir, debemos lograr igualar las bases de las potencias de éstas ecuaciones para de ésta manera poder “trasformar" una ecuación exponencial en una ecuación algebraica.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

RESUELVE

1. 52 1X − =

2. 3 6 2 74 2 0X X+ −− =

3. 3 5 18 4X X+ −=

4. ( 1)10 1X X + =

5. 2 5256 2 2X X X+ − =

4.2. ECUACIONES LOGARÍTMICAS. El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número en cuestión.

Por ejemplo, veamos las potencias del número 3.

Así, el logaritmo en base 3 de 1 es 0, ya que 0 es el exponente al que hay que elevar 3 para dar por resultado 1; de la misma manera el logaritmo de base 3 de 3 es 1, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, el logaritmo en base 3 de 27 es 3, etc. La notación que ocupamos para representar los logaritmos es la siguiente: loga b = c Y se lee el logaritmo en base a de b es c.

La notación anterior del logaritmo, la podemos explicar de la siguiente manera:

Logab = c ⇔ ac = b

Cuando no se escribe la base de un logaritmo se asume que esta es 10, es decir:

log a = log10 a

45

4.2.1. Propiedades de los Logaritmos. 1. La base de un logaritmo no puede ser negativa, ya que si lo fuera sus potencias pares serán positivas y las impares negativas, y tendríamos una serie de números alternadamente positivos y negativos, resultando números positivos que no tendrían logaritmo. 2. Los números negativos no tienen logaritmo, ya que siendo la base positiva, cualquiera de sus potencias es siempre un número positivo. 3. Para cualquier logaritmo, el logaritmo de la base es siempre 1, pues siendo una base a, entonces a1 = a, es decir:

log 1a a a= ∀

4. Para cualquier logaritmo, el logaritmo de 1 es 0, pues para todo a ≠ 0 se tiene que a0 = 1, es decir:

log 1 0a a= ∀

5. El logaritmo de un producto , es la suma de sus logaritmos, es decir:

log ( ) log loga a ab c b c= +i

6. El logaritmo de un cociente , es la diferencia de sus logaritmos, es decir:

log log loga a a

bb c

c = −

7. El logaritmo de una potencia, es el producto entre el exponente y el logaritmo de la base, es decir:

log logna ab n b= i

8. El logaritmo de una raíz, es el cociente entre el logaritmo de la cantidad sub-radical y el índice de la

raíz, pues 1n b bn

= y ocupamos la propiedad

anterior para las potencias, es decir:

1log logn

a ab bn

= i .

9. El cambio de base ; se cumple siempre para el logaritmo en cualquier base de cualquier número que:

loglog

logc

ac

bb c

a= ∀

4.2.2. Resolución de Ecuaciones Logarítmicas. Para resolver las ecuaciones logarítmicas principalmente ocupamos la siguiente propiedad:

Por lo tanto para lograr resolverlas, la idea es lograr dejar la ecuación en cuestión de la forma: log(algo)=log(algo mas). Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

46

Fíjate que en el último ejemplo al sustituir el valor – 3 en la ecuación original esta queda: log(- 6) = log(2) + log(- 3), sin embargo el logaritmo de números negativos NO existe, por lo tanto la única solución es x = 1. Recuerda siempre comprobar tus resultados.

RESUELVE

1. log(x + 1) = log(2x – 5)

2. log 5 + log(x + 4) = log(x – 8)

3. log(x + 7) + log(x – 3) = log(x2 + 3)

4. log(x + 8) - log(x) = log(3x + 9)

5. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Con las medidas de centralización y posición podemos conocer los valores centrales de un conjunto de datos y la distribución de éstos. Uno de los objetivos de las medidas de tendencia central es la de sintetizar la información de los datos, pero estas medidas por sí solas no bastan para ver su grado de significación, veámoslo con un ejemplo. Consideremos las notas de dos grupos de 50 alumnos, en el primero 25 alumnos obtienen un 10 y 25 un 4, en el segundo los 50 alumnos obtienen un 7. Si calculamos la media en ambos conjuntos es la misma (7), si sólo nos fijamos en la media podemos afirmar que los dos grupos de alumnos son bastantes buenos, pero lo cierto es que en el primer grupo hay 25 alumnos que han obtenido una nota excelente y 25 con mala nota, mientras que en el segundo todos los alumnos han sacado una buena nota.

La media para el primer grupo es menos representativa que para el segundo. Hemos visto un ejemplo, bastante exagerado para comprobar que las medidas de tendencia central necesitan un complemento, una medida que nos permita otorgar mayor o menor representatividad estas medidas.

5.1. DESVIACIÓN MEDIA

En teoría, la desviación puede referirse a cada una de las medidas de tendencia central: media, mediana o moda; pero el interés se suele centrar en la medida

de la desviación con respecto a la media, que llamaremos desviación media.

Puede definirse como la media aritmética de las desviaciones de cada uno de los valores con respecto a la media aritmética de la distribución, y de indica así:

Nótese que se toman las desviaciones en valor absoluto, es decir, que la fórmula no distingue si la diferencia de cada valor de la variable con la media es en más o en menos.

Ya se habrá advertido que esta expresión sirve para calcular la desviación media en el caso de datos sin agrupar.

Veamos un ejemplo: Se tiene los valores 2, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8. Averiguar la desviación media de estos valores.

x xx − x

2 -3 3 2 3 3 4 -1 1 4 -1 1 4 -1 1 5 0 0 6 1 1 7 2 2 8 3 3 8 3 3

DM = 1,8

47

Veamos ahora cómo se calcula la desviación media en el caso de datos agrupados en intervalos.

Donde observamos que ahora las desviaciones van multiplicadas por las frecuencias de los intervalos correspondientes. Además, las desviaciones son de cada centro, o marca de clase, a la media aritmética. Es decir,

Ejemplo:

Para hallar la desviación media de la siguiente tabla referida a las edades de los 100 empleados de una cierta empresa:

Clase ni

16-20 2 20-24 8 24-28 8 28-32 18 32-36 20 36-40 18 40-44 15 44-48 8 48-52 3

Veamos cómo se procede:

Clase ni xm ni ⋅ xm xx − ni ⋅ xx −

16-20 2 18 36 16,72 33,44 20-24 8 22 176 24-28 8 28-32 18 32-36 20 36-40 18 40-44 18 44-48 8 48-52 3 100

DM = 6,09

La desviación media viene a indicar el grado de concentración o de dispersión de los valores de la variable. Si es muy alta, indica gran dispersión; si es muy baja refleja un buen agrupamiento y que los valores son parecidos entre sí.

La desviación media se puede utilizar como medida de dispersión en todas aquellas distribuciones en las que la medida de tendencia central más significativas haya sido la media.

Propiedades

� Nos da la media de la dispersión de los datos.

� Intervienen para su cálculo todos los datos. � Cada vez que insertemos un dato nuevo se

modificará. � Al intervenir un valor absoluto los cálculos

son complicados. � A mayor concentración de los datos entorno

a la media menor será su valor. � DM es no negativa � DM=0 si y sólo si todos los valores son

coincidentes.

48

5.2. DESVIACIÓN TÍPICA

Con la varianza se elevan al cuadrado las unidades de medida, sería interesante tener una medida de dispersión con las mismas unidades de la media y los datos, esto lo podemos conseguir haciendo la raíz cuadrada positiva de la varianza, a la que llamaremos desviación típica.

Es sin duda la medida de dispersión más importante, ya que además sirve como medida previa al cálculo de otros valores estadísticos.

La desviación típica se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media de la distribución. Es decir,

Para datos sin agrupar

Para datos agrupados

5.2.1. Cálculo de la desviación típica para datos no agrupados en clases. Veamos la fórmula anterior aplicada a un caso concreto. Hallar la desviación típica de la serie: 5, 8, 10, 12, 16.

x xx − xx − 2

5 -5,2 27,04 8 -2,2 4,84 10 -0,2 0,04 12 1,8 3,24 16 5,8 33,64

Primero hallamos x = 10,2

Luego S = 71,376,13 =

5.2.2. Cálculo de la desviación típica para datos agrupados en clases y agrupados por frecuencias. Método largo: Se aplica la siguiente fórmula

N

fxS ∑=

2

Donde xxx m −= y f es la frecuencia absoluta de

cada intervalo.

Método abreviado o corto: La fórmula a utilizar es:

22

−= ∑∑

N

fd

N

fdIS

Donde:

I: amplitud de la clase

D: distancia en clases desde cada una en concreto a la clase que contiene a la media supuesta A.

Ejemplo:

Las alturas en cm de un grupo de 103 personas se distribuyen así:

Clases f 150 – 155 155 – 160 160 – 165 165 – 170 170 – 175 175 – 180 180 – 185 185 – 190 190 – 195 195 – 200

3 6 12 18 25 17 10 7 4 1 103

Resp: S = 9,56

Propiedades

� Tiene la misma unidad que los datos y que la media.

� Siempre es positiva, será cero si y sólo si todos los datos son coincidentes.

� Es la medida de dispersión más usada.� Es invariante ante cambios de origen.

5.3. VARIANZA

La desviación media es una medida de dispersión de datos correcta pero presenta un inconveniente y es la complejidad de manipulación al intervenir valores absolutos. Sería conveniente encontrar otra medida que no presente el problema inicial (que no se compensen las dispersiones negativas con las positivas) y cuyo manejo se hace más sencillo. Otra forma de evitar la compensación de dispersiones es elevar al cuadrado la diferencia y es más sencillo trabajar con cuadrados que con valores absolutos, teniendo en cuenta esta consideración introduciremos el concepto de varianza.cuadrado de las desviaciones respecto a la media

La varianza se representa por

Varianza para datos agrupados

Para simplif icar el cálculo de la varianzaequivalentes a las anteriores.

Varianza para datos NO agrupados

49

Siempre es positiva, será cero si y sólo si todos los datos son coincidentes. Es la medida de dispersión más usada. Es invariante ante cambios de origen.

� Si se produce un cambio de escala la nueva desviación típica es igual a la anterior multiplicada por el cambio.

� Si se produce simultáneamente un cambio de origen y escala en los datos, sólo el cambio de escala afectará a la desviación típica.

es una medida de dispersión de datos correcta pero presenta un inconveniente y es la complejidad de manipulación al intervenir valores absolutos. Sería conveniente encontrar otra medida que

el problema inicial (que no se compensen las dispersiones negativas con las positivas) y cuyo Otra forma de evitar la compensación de dispersiones es elevar al cuadrado la

y es más sencillo trabajar con cuadrados que con valores absolutos, teniendo en cuenta esta consideración introduciremos el concepto de varianza. La varianza es lacuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadíst ica.

.

Varianza para datos agrupados

cálculo de la varianza vamos o util izar las siguientes expresiones que son

Varianza para datos NO agrupados

un cambio de escala la nueva

típica es igual a la anterior multiplicada por el cambio. Si se produce simultáneamente un cambio de origen y escala en los datos, sólo el cambio de escala afectará a la desviación típica.

es una medida de dispersión de datos correcta pero presenta un inconveniente y es la complejidad de manipulación al intervenir valores absolutos. Sería conveniente encontrar otra medida que

el problema inicial (que no se compensen las dispersiones negativas con las positivas) y cuyo Otra forma de evitar la compensación de dispersiones es elevar al cuadrado la

y es más sencillo trabajar con cuadrados que con valores absolutos, teniendo en cuenta esta es la media aritmética del

de una distribución estadística.

s iguientes expresiones que son

Ejemplo:

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Propiedades

� Como sumamos cuadrados la varianza siempre es positiva y variable sean coincidentes y por tanto iguales a la varianza.

� Al elevar al cuadrado elevamos la unidad de medida de las observaciones al cuadrado.� Al elevarse al cuadrado las desviaciones aquellos valores más alejad

varianza. � Es invariante ante cambios de origen.� Si se produce un cambio de escala la nueva varianza es igual a la anterior multiplicada por el cuadrado

del cambio. � Si se produce simultáneamente un cambio de origen y esc

afectará a la varianza.

EJERCICIOS

1) Calcular todas las medidas de dispersión para la siguiente distribución

2) Calcular todas las medidas de dispersión para los datos de la

3) Una empresa de fabricación de productos cerámicos dispone de tres centros demás grande y moderno, se hace un estudio de los m² de azulejo producidos al mes durante el año pasado,

obteniéndose una media de producción mensual sabe que el centro B, por tener maquinaria más anticuada que A, produce cada mes un tercio de la producción de A, y que el centro C, por tener un horno menos que B, produce cada mes 25.000 m² menos que B ¿Cual es la media y la varianza de la producción mensual de C?

50

de la distribución:

Como sumamos cuadrados la varianza siempre es positiva y será nula cuando todos los valores de la variable sean coincidentes y por tanto iguales a la varianza. Al elevar al cuadrado elevamos la unidad de medida de las observaciones al cuadrado.Al elevarse al cuadrado las desviaciones aquellos valores más alejados de la media afectarán mucho a la

Es invariante ante cambios de origen. un cambio de escala la nueva varianza es igual a la anterior multiplicada por el cuadrado

Si se produce simultáneamente un cambio de origen y escala en los datos, sólo el cambio de escala

1) Calcular todas las medidas de dispersión para la siguiente distribución Xi 5 10 15 20 25 ni 3 7 5 3 2

2) Calcular todas las medidas de dispersión para los datos de la siguiente distribuciónx 0–

100 100–200

200–300

300-800

n 90 140 150 120

3) Una empresa de fabricación de productos cerámicos dispone de tres centros de más grande y moderno, se hace un estudio de los m² de azulejo producidos al mes durante el año pasado,

obteniéndose una media de producción mensual 000.250====Ax m² , con una desviación típica Squinaria más anticuada que A, produce cada mes un tercio de la producción de

A, y que el centro C, por tener un horno menos que B, produce cada mes 25.000 m² menos que B ¿Cual es la media y la varianza de la producción mensual de C?

será nula cuando todos los valores de la

Al elevar al cuadrado elevamos la unidad de medida de las observaciones al cuadrado. os de la media afectarán mucho a la

un cambio de escala la nueva varianza es igual a la anterior multiplicada por el cuadrado

ala en los datos, sólo el cambio de escala

siguiente distribución

producción. En el centro A, el más grande y moderno, se hace un estudio de los m² de azulejo producidos al mes durante el año pasado,

m² , con una desviación típica SA = 15.000 m² . Se quinaria más anticuada que A, produce cada mes un tercio de la producción de

A, y que el centro C, por tener un horno menos que B, produce cada mes 25.000 m² menos que B ¿Cual es la

51


ECUACIONES

1. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación: 5x + 5x+1 + 5x+2 = 155?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/3 e) 3

2. Determine el valor de log 3 (0; 1)

a) 1/3 b) 2 c) 1/3 d) 2

e) 3 9 3. ¿Al antecesor de que número debe elevarse 2 para obtener 32?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

4. La expresión loglog

a

a

bc

es equivalente a:

a) loga a b) loga b c) loga c d) loga (b + c) e) loga (b ∙ c)

5. Si log √a = 0,7186, entonces log a 2 =

a) (0,7186)4 b) 4,7186 c) 2 log(0,7186) d) 4 ∙ 0,7186 e) 4 log 0,7186

6. En la expresión:

3log ( ) 3, 1m n m si m entonces n= > =i

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) No se puede determinar

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

a) El logaritmo de 1 en cualquier base, siempre es 0.

b) x loga ax = x2 c) La base de un logaritmo no puede ser

negativa d) El logaritmo de una suma es el producto de

los logaritmos e) El logaritmo de un cociente es la diferencia

de los logaritmos 8. El valor de x en la ecuación 10 x = 2 es:

a) log2 10 b) log 5 – 1 c) 1 – log 5 d) - log2 10 e) log 2,01

9. 1

464

xSi = entonces x =

a) - 3 b) 3 c) - 2 d) 2 e) log4 64

10. Si 2x - 5 = 1, entonces el valor de log x 5 es:

a) 0 b) - 1 c) - 5 d) 5 e) 1

11. Dada la ecuación log(x + 1) = - 1 el valor x corresponde a:

a) 1,1 b) 0,9 c) 0 d) - 0,9 e) – 2

52

UNIDAD 4

1. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Y GRÁFICA

La función valor absoluto (se abrevia utilizando el signo ∣x∣ y se lee “valor absoluto de x"), es aquella que a cada número real le asigna su mismo valor pero sin considerar su signo, de esta manera al 1 lo lleva al 1, al 5 lo lleva al 5, pero al número – 3 lo llevará al 3 y al – 100 lo llevará al 100. Dicho de otra manera, a todos los números positivos más el 0 los deja igual, y a los negativos les cambia el signo.

Dicho matemáticamente:

Representemos gráficamente esta función, para hacerlo, démosle valores a x y asignémosle los valores correspondientes de y.

Esta función no es inyectiva, ya que por ejemplo al número 5 del recorrido llegan los números 5 y – 5 del dominio. Tampoco es sobreyectiva pues todos los valores negativos del codominio quedan sin preimagen.

EJERCICIOS Representa gráficamente las siguientes funciones:

2. SUCESIONES Y SERIES

2.1. ¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN? Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden. Una sucesión es Finita o infinita. Si la sucesión sigue para siempre, es una

Ejemplos {1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás, y es finita

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión finita de las 5 primeras letras

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión finita

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión infinita

alternativo).

53

Representa gráficamente las siguientes funciones:

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden. Una

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita , si no es una sucesión finita

...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión finita

hacia atrás, y es finita.

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

de las 5 primeras letras en orden alfabético

finita de las letras en el nombre "alfredo"

infinita que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden. Una

sucesión finita

sucesión finita)

0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden

54

En orden. Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden!. Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!. Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces). Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1} La regla. Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término. Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula! Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

• 10º término, • 100º término, o • n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término). Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, .. .}? Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo: Probamos la regla: 2n

n Término Prueba 1 3 2n = 2×1 = 2

2 5 2n = 2×2 = 4

3 7 2n = 2×3 = 6 Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco: Probamos la regla: 2n+1

n Término Regla 1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3

2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5

3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7 ¡Funciona! Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como:

55

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1 Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º : 2 × 100 + 1 = 201 Notación. Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así: xn = 2n+1 Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir: x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21 ¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º? Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas: 2.1.1. Tipos de Sucesiones 2.1.1.1. Sucesiones aritméticas. El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante. Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. La regla es xn = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos. La regla es xn = 5n-2

56

2.1.1.2. Sucesiones geométricas. En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo. Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos. La regla es xn = 2n

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos. La regla es xn = 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos. La regla es xn = 4 × 2-n 2.1.1.3. Sucesiones especiales - Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla xn = n(n+1)/2 Ejemplo:

• El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15, • y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

- Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. La regla es xn = n2 - Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ... El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.

57

La regla es xn = n3 - Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él. El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1) El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13) La regla es xn = xn-1 + xn-2 Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores. Por ejemplo el 6º término se calcularía así: x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8 2.2. SERIES "Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión. Sucesión: {1,2,3,4} Serie: 1+2+3+4 = 10 Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1" Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

3. PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y SUMA DE LOS n PRIMEROS T ÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

3.1. PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Observa con atención lo que sucede con la suma de los términos de una progresión aritmética. Supongamos la progresión: 2. 5. 8. 11. 14. 17. 20. 23. 26. 29. 32. 35. 38 Sumamos todos los términos y veo que S (la suma de todos los términos) vale 260

(1) S = 2+ 5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35+38= 260

58

Si sumo el valor de dichos términos comenzando por el último, la suma será la misma:

(2) S= 38+35+32+29+26+23+20+17+14+11+8+5+2+= 260

Ahora sumas las igualdades de las notas (1) y (2). La suma la haces verticalmente y te encontrarás con (2+38), (5+35), (8+32).......

Estás sumando el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, y así, sucesivamente como tienes a continuación, verás que todas las sumas son iguales:

Hemos sumado los términos a la izquierda y la derecha del signo ‘=’ por ello: ¿Cuántas veces se repite la misma suma? Si cuentas bien verás que 40 se repite 13 veces lo que equivale a 40x13= 520

puedes escribir:

Si a los términos los escribimos como:

Los puntos suspensivos se refieren a otros términos, dependiendo del número de éstos.

Siendo n el número de términos serán los cuatro últimos términos. En una progresión de 7 términos tendrías, sustituyendo n por 7:

59

La suma de todos los términos será:

El valor de la suma no varía si los sumamos comenzando del último al primero:

Ahora sumamos ambas igualdades:

Todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el mismo valor por lo que podríamos escribir:

Como todos los sumandos entre paréntesis valen lo mismo, tomamos uno de ellos, los que se refieren al primero y último términos y nos resulta lo que tienes más arriba...

En lugar de sumar: 23+23+23+23+23+23, es más fácil, contar cuantas veces se repite este número y multiplicarlo por 23: 23+23+23+23+23+23 es lo mismo que 23x6.

¿Cuántas veces se nos repite ?

Tantas veces como términos tenga la progresión, en este caso, n. Por lo que se nos transformaría todo lo anterior en:

60

Despejamos el valor de S y obtenemos:

La fórmula que nos sirve para calcular el valor de la suma de los términos de una progresión aritmética es igual:

A la suma del primero y último términos, dividido por 2 y multiplicado por el número de términos.

Si una progresión aritmética tiene un número impar de términos, como: 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18 La suma del primero y último, es igual a la suma del segundo y penúltimo,…. y me quedará el término CENTRAL sólo. Si a éste le multiplico por 2, es decir, hallo el doble de su valor, veré que coincide con las sumas anteriores:

RESUELVE

- Calcula la suma de los 20 primeros términos de la progresión 2. 4. 6. 8.

- En una progresión aritmética el primer término vale 1, el segundo 3. …….La suma de todos los términos 196. ¿Cuántos términos tiene?

3.2. SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRES IÓN GEOMÉTRICA

Una progresión geométrica es una sucesión de números o términos de modo que uno cualquiera es igual al anterior por una cantidad constante que llamamos razón de la progresión, la representamos por r y la obtenemos dividiendo el valor de un término cualquiera por el valor del término anterior:

Observa una sucesión:

2: 4: 8: 16: 32: 64:.………..

Cuando veas puntos suspensivos quiere decir que en ellos, se incluyen o pueden incluirse más términos. Vemos que el segundo término o número de la sucesión es igual al valor del primer término por 2.

El tercer término de la sucesión es igual al valor del segundo término por 2: 4 x 2 = 8

61

El cuarto término de la sucesión es igual al valor del tercer término por 2: 8 x 2 = 16.

El valor de d obtenemos dividiendo el valor del tercer término entre el valor del 2º término: o bien, el del

5º entre el valor del 4º: .

SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. Cuando delante de una sucesión de números veas el

símbolo se refiere a una progresión geométrica.

Ejemplo:

Si pones este símbolo te ahorras escribir las palabras: progresión geométrica.

RESUELVE

1. ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica: 2: 20: 200: 2000.…?

2. En una progresión geométrica conocemos y conocemos r = 5. ¿Cuánto vale el tercer término?

3. En una progresión geométrica el 2º término vale 6 y r = 2 ¿Cuánto vale el primer término?

4. PROBABILIDAD, ESPACIO MUESTRAL, EVENTOS

4.1. PROBABILIDAD

La probabilidad nos sirve para medir la frecuencia con que ocurre un resultado de entre todos los posibles en algún experimento. 4.1.1. Espacio Muestral. El espacio muestral (lo abreviamos simplemente como S) es un conjunto formado por todos los resultados posibles de algún experimento, por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire (a esto llamamos experimento), existen solo 2 posibilidades, que salga cara o que salga sello. Por lo tanto el espacio muestral en este caso es un conjunto de dos elementos.

Smoneda = {que salga cara, que salga sello} Si en lugar de una moneda, lanzamos un dado entonces el espacio muestral tendrá seis elementos, uno correspondiente a cada cara del dado: Sdado = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Y si lanzamos el dado y la moneda al mismo tiempo el espacio muestral estará conformado por pares ordenados de la forma:

62

Smoneda+dado = (cara; 1); (cara; 2); (cara; 3); (cara; 4); (cara; 5); (cara; 6); (sello; 1); (sello; 2); (sello; 3); (sello; 4); (sello; 5); (sello; 6) Notemos que: #Smoneda+dado = #Smoneda _ #Sdado Esto no es una casualidad, ya que cada vez que llevamos a cabo más de un experimento la cardinalidad del nuevo espacio muestral es igual al producto de las cardinalidades de los espacios muestrales de los experimento por separado, siempre que éstos sean independientes. 4.1.2. Evento o Suceso. Cuando realizamos un experimento puede que exista más de un caso favorable para mis objetivos, por ejemplo en un juego de dado para sacar una pieza de la cárcel, necesito obtener del lanzamiento de un dado un 6 o un 1, en este caso el conjunto formado por el 1 y el 6, es decir {1,6} es el llamado evento o suceso (lo abreviamos simplemente como E). Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Veamos algunos ejemplos de eventos al lanzar un dado: 1. Que no salga un número par, en este caso E = {1; 3; 5} 2. Que no salga 2, en este caso E = {1; 3; 4; 5; 6}

3. Que salga un número primo, en este caso E = {2; 3; 5} Existen relaciones entre los sucesos: 4.1.2.1. Sucesos Excluyentes. Dos o más sucesos serán excluyentes si solo uno de ellos puede ocurrir en un experimento, por ejemplo al lanzar una moneda, si sale cara entonces no puede salir sello y viceversa, por lo tanto estos sucesos son excluyentes. 4.1.2.2. Sucesos Independientes. Dos o más sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno, no afecta la ocurrencia del o los otros. Por ejemplo en el lanzamiento del dado y la moneda si sale cara o sale sello, no afecta en ninguna medida el número que salga en el dado, por lo tanto estos sucesos son independientes. 4.1.2.3. Sucesos Dependientes. Dos o más sucesos son dependientes cuando la ocurrencia de alguno de ellos sí afecta la ocurrencia de los otros. Por ejemplo si tengo un saco con 2 bolas negras y una bola roja, el suceso de sacar la bola roja me impedirá sacar una bola roja en el siguiente intento pues en el saco solo hay 2 bolas negras, en este caso esos sucesos son dependientes.

5. DIAGRAMAS DE ÁRBOL, TÉNICAS DE CONTEO

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplo:

1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?

63

Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar; MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.

EJERCICIO

Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo.,

6. COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

6.1. PERMUTACIONES. Las permutaciones consisten en cambiar el orden de un conjunto, y poder determinar cuántas posibilidades de ver de distinta forma ordenado el conjunto existen, por ejemplo; Sea M = {m1, m2, m3, m4,…, mn} un conjunto de n elementos, entonces las posibilidades que tengo para poner en cada casillero será: en la primera posición puedo colocar cualquiera de los n elementos, en la segunda puedo colocar cualquiera de los que me quedan (que son n - 1), en la tercera posición puedo colocar solo n - 2 elementos y así voy quedándome con un elemento menos a medida que avanzo en los casilleros, hasta que me quedo solo con un elemento en la última posición, es decir:

64

De manera que cuando tengo un conjunto de n elementos la cantidad de permutaciones que puedo hacer sobre éste será: Pn elementos = n ∙ (n - 1) ∙ (n - 2) ∙ (n - 3) ∙ … ∙ 2 ∙ 1 A éste número lo conocemos como factorial de n, lo simbolizamos como n!, por lo tanto las permutaciones que puedo hacer sobre un conjunto de n elementos será:

Pn elementos = n!

Ejemplo: Determinemos la cantidad de ordenamientos distintos del conjunto de las vocales V= {a, e, i, o, u}

P5vovales = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 posibilidades distintas

6.2. COMBINACIONES. Las combinaciones son muy parecidas a los arreglos, con la diferencia de que en los conjuntos que se forman no importa el orden de manera que {�, �, �} y {�, �, �}. El número de combinaciones de an elementos que puedo hacer de un total de m elementos será:

( )!

! !mn

mC

n m n=

−i

Ejemplo Javier, Gonzalo, Manuel, Pamela y Paola se han postulado a la directiva de su curso, pero solo 3 de ellos pueden quedar, ¿cuántas directivas posibles hay?. Respuesta En éste caso se trata de formar combinaciones entre los postulantes, pues si por ejemplo se elije a Javier, Gonzalo y Paola es lo mismo que se elija a Paola, Gonzalo y a Javier, lo que corresponde a una combinación de 3 elementos de un total de 5, por lo tanto:

( )53

5!3! 5 3 !

5 4 3!3! 2!

5 42

10 posibles directivas distintas

C =−

=

=

=

i

i i

i

i

65

RESUELVE

1. Un pastelero dispone de 7 ingredientes para armar sus tortas, ¿cuántas tortas distintas de 3 ingredientes (sin que se repitan los ingredientes), podrá hacer?.

2. De cuantas formas distintas puedes ordenar tu repisa de 8 libros. 3. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con la palabra matemática (no importa que no signifiquen

nada)? 4. Si un presidente dispone de 10 políticos para designar a sus 7 senadores, ¿cuántos posibles senados

pueden haber?.

66


1. Cristian fue al hipódromo y le gustaron dos caballos, el primero tiene una probabilidad de perder de 5/8 y el segundo una probabilidad de ganar de 1/3. ¿Qué probabilidad tiene Cristian de ganar si apuesta a los dos caballos?

a) 17/24 b) 1/8 c) 31/24 d) 5/12 e) No se puede determinar.

2. La mediana entre los valores 5, 8, 13, 8, 6, 8, 10, 12, 8, corresponde a:

a) 5 b) 6 c) 8 d) 8, e) Ninguna de las anteriores.

3. En la serie de números 2, 4, 4, 5, 5, 5, 17, el valor de la moda es (son):

a) 2 y 17 b) 4 c) 5 d) 4 y 5 e) 6

4. Queremos construir un gráfico circular que indique la cantidad de veces que ha salido cada vocal en la página de un libro. ¿Cuántos grados del gráfico circular le corresponden a la letra “a"?

a) 10º b) 12º c) 60º d) 120º e) 150º

5. En una muestra aleatoria de 120 pacientes, se encontró que 30 de ellos tienen diabetes. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar no tenga diabetes?

a) 25% b) 45% c) 60% d) 75% e) 85%

6. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzarse dos dados se obtenga una suma que no supere a 10?

a) 11/12 b) 7/15 c) 11/15 d) 9/17 e) 11/17

7. En una bolsa se colocan 10 fichas numeradas del 1 al 10. Si se extrae sin mirar al interior de la bolsa una ficha, ¿cuál es la probabilidad de que ella indique un número primo?

a) 2/5 b) 1/2 c) 9/10 d) 4/5 e) 3/5

8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números unos al lanzar tres dados?

a)

118

b)

318

c)

1216

d)

3216

e) Ninguna de las anteriores.

9. Se lanza una moneda 3 veces, ¿cuántos elementos tiene el espacio muestral?

a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 27

10. Un saco tiene dos bolitas rojas y tres verdes, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja y luego, sin reponerla, sacar una verde?

a) 100% d) 40% b) 10% e) 30 % c) 24%

67

11. De acuerdo con el gráfico adjunto, la moda y la mediana son respectivamente:

a) C y D b) D y C c) C y C d) D y D e) D y E

12. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado 4 veces, no se obtenga ningún 6?

a) 0 b) 1/1296 c) 10/3 d) 2/3 e) 625/1296

13. En la tabla adjunta se muestran las notas obtenidas por un curso en un examen de matemática.

Según ésta información, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correctas? I. El curso tienen 45 alumnos II. La moda es 12 III. La mediana es 4

a) Solo I b) Solo II c) Solo I y II d) Solo I y III e) I, II y III

14. Se sabe que las estaturas de dos personas son, 1,70 m y 1,80 m, respectivamente, entonces es correcto señalar que: I. El promedio entre las estaturas es 1,75 m II. La mediana es igual al promedio III. No existe moda

a) Solo I b) Solo III c) Solo I y II d) Solo II y III e) I, II y III

15. ¿Cuál de las siguientes alternativas presenta la cantidad de bolitas blancas y rojas que deben haber en una caja para que la probabilidad de

extraer una bolita roja sea 25

?

a) 10 blancas y 50 rojas b) 20 blancas y 50 rojas c) 20 blancas y 30 rojas d) 30 blancas y 20 rojas e) 50 blancas y 20 rojas

68

BIBLIOGRAFÍA http://es.wikipedia.org/wiki/Tecnolog%C3%ADa http://html.rincondelvago.com/sistemas-digitales.html http://www.seguridad-e-higiene.com.ar/normas-de-higiene-y-seguridad.php http://es.wikipedia.org/wiki/Tecnolog%C3%ADa_de_montaje_superficial http://es.wikipedia.org/wiki/Tridimensional http://tdd.elisava.net/coleccion/12/cross-es http://www.desarrolloweb.com/articulos/332.php http://www.aulaclic.es/dreamweaver-cs5/t_2_2.htm#ap_02_02 http://www.marcas.com.mx/intro/Introderechos.htm http://www.interempresas.net/Reciclaje/Articulos/47972-Ekorrepara-centro-para-la-reutilizacion-de-electrodomesticos.html http://es.wikipedia.org/wiki/Red_de_computadoras http://es.wikipedia.org/wiki/Internet http://es.wikipedia.org/wiki/Correo_electr%C3%B3nico http://es.wikipedia.org/wiki/Blog http://www.pupr.edu/cpu-old/Math0106/Exponentes_Racionales.pdf http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html http://web.educastur.princast.es/ies/aramo/departamentos/mate/complejos/complejos%20_1.htm http://www.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-agrupados.shtml#centiles http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Numeros%20complejos.pdf http://www.ematematicas.net/estadistica/medidas/index.php?tipo=ej_dispersion http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html http://www.ematematicas.net/parit.php http://www.aulafacil.com/matematicas-progresiones-aritmeticas/curso/Lecc-3.htm http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm PAREDES NUÑEZ, Pamela; RAMÍREZ PANATT Manuel. Apuntes de Preparación para la Prueba de Selección Universitaria Matemática.Chile. 2009.

modulo matemÁtica y estadÍstica ciclo iv...

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