modulo matemÁtica v grado decimo

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I.E.

CÁRDENAS CENTRO

MÓDULO DE MATEMÁTICA

CICLO V

GRADO DÉCIMO

3

TABLA DE CONTENIDO

pág.

UNIDAD 1 1. ÁNGULOS Y MEDIDAS DE ÁNGULOS 6 1.1. DE ACUERDO CON SU AMPLITUD 6 1.2. EN FUNCIÓN DE SU POSICIÓN 7 1.2.1. Ángulos consecutivos. Los que tienen un lado y el vértice común. 7 1.2.2. Ángulos opuestos por el vértice 8 1.2.3. Ángulos formados por dos paralelas y una transversal 9 2. SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS 13 2.1. EL RADIÁN 13 2.2. EL GRADO SEXAGESIMAL 13 2.3. EL GRADO CENTESIMAL 14 3. APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE THALES Y DE PITÁGORAS 18 3.1. TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS (TEOREMA DE THALES) 18 3.2. TEOREMA DE PITÁGORAS 18

PRUEBA TIPO ICFES 21

UNIDAD 2

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 25 1.1. EXISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS 25 1.1.1. El seno 26 1.1.2. El coseno 26 1.1.3. La tangente 27 1.1.4. La cotangente 27 1.1.5. La secante 27 1.1.6. La cosecante 27 2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS ESPECIALES 28 2.1. ÁNGULO DE 45º 28 2.2. ÁNGULOS DE 30º Y 60º 28 3. SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN LOS CUADRANTES 30 3.1. PRIMER CUADRANTE 30 3.2. SEGUNDO CUADRANTE 30 3.3. TERCER CUADRANTE 31 3.4. CUARTO CUADRANTE 31 4. CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 31 4.1. APLICACIÓN GEOMÉTRICA 33 4.2. APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN INGENIERÍA 34 4.3. APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TOPOGRAFÍA 35 4.4. APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN NAVEGACIÓN 36

4

4.5. APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN METEOROLOGÍA 37 5. DOMINIO Y RANGO DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA 39 5.1. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN 39 5.2. RANGO DE UNA FUNCIÓN 39 5.3. ELABORACIÓN DE LA GRÁFICA DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA 40 5.3.1. La función seno 40 5.3.2. La función cosecante 40 5.3.3. La función coseno 40 5.3.4. La función secante 40 5.3.5. La función tangente 40 5.3.6. La función cotangente 41 5.3.7. Propiedades de las funciones trigonométricas 41 5.3.8. Funciones circulares recíprocas 41 PRUEBA TIPO ICFES 42 UNIDAD 3

1. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 45 1.1. TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO 45 1.1.1. Teorema del seno 45 1.1.2. Teorema del coseno 48 2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 51 2.1. COMPROBACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 52 2.1.1. Por similitud con alguna fórmula 53 2.1.2. Pasando a senos y cosenos 54 2.1.3. Despejando las formulas 54 2.1.4. Binomios conjugados 55 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 57 4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS, ÁNGULOS

DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS 59 4.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS 59 4.2. ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS 60 4.2.1. Ángulos dobles 60 4.2.2. Ángulos medios 60 PRUEBA TIPO ICFES 62 UNIDAD 4

1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 66

1.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO 66 1.2. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 67 2. LA LINEA RECTA, PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA RECTA 69 2.1. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA 69

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2.1.1. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 70 2.1.2. Ecuación de la recta dados punto–pendiente 71 2.2. ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA 71 2.3. PENDIENTE DE UNA RECTA 73 3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES 75 4. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA 75 5. ESTUDIO DE LAS SECCIONES CÓNICAS: PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA 78 5.1. PARÁBOLA 78 5.1.1. Ecuaciones de la parábola 78 5.1.2. Ecuación involucrando la distancia focal 79 5.1.3. Ecuación general de una parábola 81 5.1.4. Aplicaciones 81 5.2. ELIPSE 82 5.2.1. Elementos de una elipse 82 5.2.1.1. Puntos de una elipse 82 5.2.1.2. Ejes de una elipse 82 5.2.1.3. Excentricidad de una elipse 83 5.2.1.4. Excentricidad angular de una elipse 83 5.2.1.5. Constante de la elipse 83 5.2.1.6. Directrices de la elipse 84 5.2.2. Ecuaciones de la elipse 84 5.2.2.1. En coordenadas cartesianas 84 5.2.2.2. En coordenadas polares 85 5.2.3. Aplicaciones 86 5.3. HIPÉRBOLA 87 5.3.1. Ecuaciones de la hipérbola 87 5.3.1.1. Ecuaciones en coordenadas cartesianas 87 5.3.1.2. Ecuaciones en coordenadas polares 88 5.3.1.3. Ecuaciones paramétricas 89 5.3.2. Aplicaciones en el mundo real 89 PRUEBA TIPO ICFES 90 BIBLIOGRAFÍA 96

1. ÁNGULOS Y MEDIDAS DE ÁNGULOS

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre doso vértice. Suelen medirse en unidades tales como el 1.1. DE ACUERDO CON SU AMPLITUD

Tipo

Ángulo nulo

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo

Es el ángulo formado por dos

de Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (100g

Ángulo recto

Un ángulo recto es dEs equivalente a 90°Los dos lados de un ángulo recto sonLa proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor aMayor a 90° y menor a 180°200g

Ángulo llano, extendido o colineal

El ángulo llano tiene una amplitud deEquivalente a 180°

Ángulo oblicuo

Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Ángulo completo o perigonal

Un ángulo completo o perigonal, tiene uEquivalente a 360°

6

UNIDAD 1

1. ÁNGULOS Y MEDIDAS DE ÁNGULOS

comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el

1.1. DE ACUERDO CON SU AMPLITUD

Descripción

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0

rad. Es decir, mayor de 0° y menor de 90° ( grados sexagesimales

(grados centesimales).

Un ángulo recto es de amplitud igual a rad Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimalesLos dos lados de un ángulo recto son perpendicularesLa proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100

centesimales).

El ángulo llano tiene una amplitud de rad Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales

Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud deEquivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales

que tienen el mismo punto de origen o el grado centesimal.

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es

semirrectas con amplitud mayor de 0 rady menor

agesimales), o menor de

centesimales). perpendiculares entre sí.

La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

rad y menor a rad (o más de 100g y menos de

centesimales).

Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.

na amplitud de rad centesimales).

Ángulo convexo o saliente

Es el que mide menos deEquivale a más de 0° y menos de 180°200g

Ángulo cóncavo, reflejo o entrante

Es el que mide más deEsto es, más de 180° y menos de 360°400g

1.2. EN FUNCIÓN DE SU POSICIÓ 1.2.1. Ángulos consecutivos. Los que ti

7

Es el que mide menos de rad. Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales

centesimales).

Es el que mide más de rad y menos de rad. Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales

centesimales).

1.2. EN FUNCIÓN DE SU POSICIÓN

os que tienen un lado y el vértice común. Se dividen en:

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90° α + β son complementarios α + β= 90°

Dos ángulos son suplementariossus medidas es 180° α + β son suplementariosα + β = 180°

sexagesimales (o más de 0g y menos de

sexagesimales (o más de 200g y menos de

enen un lado y el vértice común. Se dividen en:

si la suma de sus medidas es 90°

Dos ángulos son suplementarios si la suma de

son suplementarios

1.2.2. Ángulos opuestos por el vérticedefinición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas quemismo punto. Fijando nuestra atención en lascortan) o paralelas (que no se cortan nunca) Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. Cada ángulo tiene dos lad

Esta construcción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así formados.

Son los ángulos formados por dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice (V) . α es opuesto por el vértice con γ es opuesto por el vértice conComo podemos verificar en la figura:vértice son iguales

8

Dos ángulos son adyacentescomún y los otros dos están en la misma recta. a es adyacente con b Û A, B, C son colineales (están en la misma recta), BD lado común para a y b Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos conjugadosdos ángulos cuyas medidas suman 360º (sexagesimales). Dos ángulos conjugados con vértices coincidentes, tendrán sus lados comunes.Así, para obtener el ángulo conjugado detiene una amplitud de 250°, se restará

β = 360° – 250º = 110ºEl ángulo β (beta) es el conjugado de360 grados sexagesimales2π radianes, o 400 grados centesimales

ngulos opuestos por el vértice . Aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas que

Fijando nuestra atención en las rectas , sabemos que estas pueden paralelas (que no se cortan nunca).

Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. Cada ángulo tiene dos lad


Son los ángulos formados por dos rectas que se cortan en un punto

es opuesto por el vértice con β es opuesto por el vértice con δ

Como podemos verificar en la figura: Los ángulos opuestos por el

Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos están en la misma recta.

dyacente con b Û A, B, C son colineales (están en la misma recta), BD lado común para a y

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos conjugados se denomina a medidas suman 360º (grados

Dos ángulos conjugados con vértices coincidentes, tendrán sus lados comunes. Así, para obtener el ángulo conjugado de α que tiene una amplitud de 250°, se restará α de 360°:

250º = 110º (beta) es el conjugado de α (alfa).

grados sexagesimales equivalen a grados centesimales.

quellos cuyos lados son semirrectas opuestas. Como ya vimos, por definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas que parten de un

, sabemos que estas pueden ser secantes (que se

Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. Cada ángulo tiene dos lados y un vértice.


9

1.2.3. Ángulos formados por dos paralelas y una tra nsversal. Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante.

Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho ángulos: Esta distribución numérica nos permite carecterizar parejas de ángulos según su posición, haciendo notar que los ángulos 3, 4, 5 y 6 son interiores (o internos) y que los ángulos 1, 2, 7 y 8 son exteriores (o externos) respecto a las rectas:

Ángulos internos (3, 4, 5 y 6). Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios (suman 180º)

Ángulos 3 y 5 son suplementarios (suman 180º) Ángulos 4 y 6 son suplementarios (suman 180º) Ángulos externos (1, 2, 7 y 8). Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios .

Ángulos 1 y 7 son suplementa rios (suman 190º) Ángulos 2 y 8 son suplementarios (suman º80º)

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Ángulos correspondientes . Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

1 y 5 son ángulos correspondientes (iguales), ∠∠∠∠ 1 = ∠∠∠∠ 5

2 y 6 son ángulos correspondientes (iguales) ∠∠∠∠ 2 = ∠∠∠∠ 6



Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos correspon dientes es congruente entre sí.

Ángulos alternos internos . Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

3 y 6 son ángulos alternos internos ∠∠∠∠ 3 = ∠∠∠∠ 6 4 y 5 son ángulos alternos internos ∠∠∠∠ 4 = ∠∠∠∠ 5 Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos internos es congruente entre sí.

Ángulos alternos externos. Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

11

1 y 8 son ángulos alternos externos ∠∠∠∠ 1 = ∠∠∠∠ 8 2 y 7 son ángulos alternos externos ∠∠∠∠ 2 = ∠∠∠∠ 7 Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos externos es congruente entre sí.

EJERCICIOS…… Ejercicio 1

Si

calcular:

12

Ejercicio 2

Si bisectriz

del , calcular

Ejercicio 3)

Si

encuentre la medida de

Ejercicio 4)

En la figura, , entonces cuál(es) de las siguientes relaciones son siempre verdaderas:

Alternativas

a) solo I b) solo II c) solo III d) I, II y III e) I y II

2. SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS

Los sistemas de medidas de ángulos son:

2.1. EL RADIÁN

El radiánRepresenta el ángulo central en unaigual a la del r

Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con elpresente, ambas unidades figuran en a la categoría de

Esta unidad se utiliza primordialmente entrigonometría, goniometría, etc.

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir,la longitud del arco, y r es el radio. Por tanto, elsustiende una circunferencia de radio

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de

2.2. EL GRADO SEXAGESIMAL

13

2. SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS

Los sistemas de medidas de ángulos son: el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal

radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de UnidadesRepresenta el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad .

Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hapresente, ambas unidades figuran en a la categoría de unidades derivadas

Esta unidad se utiliza primordialmente en Física, cálculo infinitesimal

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s /r, donde θ es ángulo, s

es el radio. Por tanto, el ángulo completo, , que de radio r, medido en radianes, es:

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.

Un grado sexagesimal es el ángulo centrallongitud es igual a 1/360 de la circunferenciaparte de un ángulo recto.

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de quegrados sexagesimales), y sus divisores: elel segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:

� 1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).� 1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).� 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

grado centesimal.

Sistema Internacional de Unidades. y abarca un arco cuya longitud es

Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de . A partir de ese año, y hasta el momento

unidades derivadas.

cálculo infinitesimal,

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a s es

, que

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más

es el ángulo central subtendido por un arco cuya circunferencia. Es la nonagésima (1/90)

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y

, están definidos del siguiente modo:

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales). (minutos sexagesimales).

(segundos sexagesimales).

Notación decimal. Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la fraccionaria con la coma decimal, se divbusca es transformar en minuto y el segundo números decimales, por ejemplo.

23,2345° 12,32° -50,265° 123,696°

Notación sexagesimal. Podemos expresar una cantidad en grados minutos y inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:

12°34 ′34″ 13°3 ′23,8″ 124°45 ′34,70″ -2°34 ′10″

Teniendo cuidado como norma de notación, no dejar espacio entre las cifras, es decir:

escribir 12°34 ′34″ y no 12° 34 ′ 34″

Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexen cuenta que:

1’ = (1/60)° = 0,01666667° (redondeando a ocho dígi tos)

1” = (1/60)′ = (1/3600)° = 0,00027778°

Así 12°15 ′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)°

2.3. EL GRADO CENTESIMAL

Un grado centesimal es el ángulo centralcircunferencia.

El grado centesimal , grado centígradogradianes), resulta de dividir un ángulo rectocircunferencia se divide, así, en 400 grados centesimales. Un grado centesimal equivale a nueve décimos decalculadoras suele usarse la abreviaturauna "g" minúscula en superíndice colocada tras la cifra. Por ejemplo: 12,4574g

Sus divisores son:

� 1 grado centesimal = 100 minutos centesi� 1 minuto centesimal = 100 segundos centesimales (100

El grado centesimal surge de la división del plano cartesiano en cuatrocientos ángulos iguales, conposee una amplitud 100 grados centesimales, y la suma de los cuatro cuadrantes mide 400 grados centesimales.

14

Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la fraccionaria con la coma decimal, se divide en 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales, lo que se busca es transformar en minuto y el segundo números decimales, por ejemplo.

Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:


Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sex

1’ = (1/60)° = 0,01666667° (redondeando a ocho dígi tos)

= (1/3600)° = 0,00027778°

= 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12,25639°

Un grado centesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de la

grado centígrado o gradián (plural: ángulo recto en cien unidades. La

circunferencia se divide, así, en 400 grados centesimales. Un grado centesimal equivale a nueve décimos de grado sexagesimal. En las calculadoras suele usarse la abreviatura grad. Se representa como una "g" minúscula en superíndice colocada tras la cifra. Por ejemplo:

1 grado centesimal = 100 minutos centesimales (100m o 100c) 1 minuto centesimal = 100 segundos centesimales (100s o 100cc)

El grado centesimal surge de la división del plano cartesiano en cuatrocientos ángulos iguales, con vértice común. Cada cuadrante posee una amplitud 100 grados centesimales, y la suma de los cuatro cuadrantes mide 400 grados centesimales.

Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la

ide en 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales, lo que se

segundos, las partes de grado


Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal teniendo

por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de la

Equivalencia entre grados sexagesimales y centesima les

0° = 0 g

90° = 100 g

180° = 200 g

270° = 300 g

360° = 400 g

Ejemplo

Los siguientes valores angulares son equivalentes:

23° 47' 35" grados sexagesimales 23,7931 grados sexagesimales con fracción decimal26g 43c 67cc gonios con minutos y segundos centesimales26,4367 gonios o grados centesimales

Los minutos y segundos de gonio los grados sexagesimales. No deben confundirse los grados centesiexpresar ángulos en grados sexagesimales.

Conversión de ángulos comunes

Unidades

Revolución

Degrad ianes

Radiánes

Grados

� La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es:

� La equivalencia entre grados centesimales y radianes es:

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados 0° 30° 45° 60° 90°

Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2

15

Equivalencia entre grados sexagesimales y centesima les

Los siguientes valores angulares son equivalentes:

23,7931 grados sexagesimales con fracción decimal gonios con minutos y segundos centesimales

26,4367 gonios o grados centesimales

se corresponden con la fracción decimal de gonio. No deben confundirse los grados centesimales con el uso de fracciones decimales para

expresar ángulos en grados sexagesimales.

Valores

0

0° 30° 45° 60° 90° 180°

0

0g

50g

100g 200g

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°

lencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270°

/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 7π/6 5π/4 4π/3 3π

gonio, cosa que no ocurre con males con el uso de fracciones decimales para

270° 360°

300g 400g

270° 300° 315° 330° 360°

3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π

TABLA DE CONVERSIÓN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RA DIANES

EJEMPLOS:

Ejemplo A

Convertir 38° a radianes.

16


Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

Despejamos x, también simplificamos.


Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

x, también simplificamos.

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 0,6632 radianes.

Ejemplo B:

Convierte 17º47´13´´ a notación decimal.

Como 1º = 60´, entonces 1

1́60 =

También:

´ º1 1

1́ ´60 3600 = =

Entonces tenemos que:

17º47´13´´ = 17º + 47´+ 13´´

=

º ºº 1 1

17 47 1360 3600 + +

= 17º + 0,7833º + 0,0036º

= 17,7869º

17

Por último obtenemos el equivalente decimal:

Convierte 17º47´13´´ a notación decimal.

º

º º1 1

17 47 1360 3600 + +

= 17º + 0,7833º + 0,0036º

EJERCICIOS DE APLICACIÓN……

1. Expresa los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos:

a) 25,36º b) 46, 78º c) 123,41º d) 75,08º 2. Expresa en s istema decimal los siguientes ángulos: a) 45º36´28´´ b) 125º45´78´´ c) 95º55´78´´ d) 179º59´36´´ 3. Halla el suplemento de 100º36´48´´ 4. Convierta 2,4 radianes a grados. 5. Expresa en grados los siguientes ángulos medidos en radianes:

a) 2π

b) 83π− c)

6. Expresa en radianes los a) – 180º b) 45º c)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN……

1. Expresa los siguientes ángulos en grados,

istema decimal los siguientes

3. Halla el suplemento de 100º36´48´´

Convierta 2,4 radianes a grados.

5. Expresa en grados los siguientes ángulos medidos en radianes:

c) 32π

d) 23π−

6. Expresa en radianes los siguientes ángulos:

180º b) 45º c) – 360º d) – 60º

18

3. APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE THALES Y DE PITÁ GORAS

3.1. TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS (TEO REMA DE THALES) Si tenemos dos rectas r y s de un plano, y en una de ellas r , tomamos dos segmentos cualesquiera AB ,BC , al trazar por los extremos de estos segmentos rectas paralelas entre sí , que corten a la segunda recta s , determinarán en esta otros dos segmentos , proporcionales a los primeros, o sea que se verifica: Si dos rectas de un plano son cortadas por varias paralelas , los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus homólogos de la otra , es decir , la razón entre un segmento y su homólogo es constante.

3.2. TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2 En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la

suma de los cuadrados de los otros dos lados más el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Para calcular un cateto en un triángulo rectángulo se sigue la siguiente fórmula b2 + c2 = a2

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EJERCICIOS………. Teorema de Thales

Calcula la longitud de A’B’ en la figura adjunta

Calcula AB en la figura adjunta

Un árbol proyecta una sombra de 6 m y, a la misma hora y en el mismo sitio, un palo de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. Calcula la altura del árbol.

Teorema de Pitágoras

Calcula la hipotenusa en el triángulo de la figura

Calcula el cateto de C en el triángulo de la figura

Calcula la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6,6 cm y 8,8 cm Calcula la longitud de un cateto en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m, y el otro cateto 16 m

21

PRUEBA TIPO ICFES

RESPUESTA (TIPO I) Responda las preguntas 1 y 2 de acuerdo a lo siguiente: Con motivo de su aniversario un hipermercado ofrece rebajas de los productos que vende así: 1/3 en carnes, 2/7 en electrodomésticos, 3/5 en frutas y 1/8 en productos de aseo. Además, por cada $35.000 en compras regala una boleta para participar en la rifa de una motocicleta. 1. De acuerdo con la información se puede decir que :

a) La mayor rebaja está en frutas puesto que 3/5 es el racional con mayor numerador.

b) La mayor rebaja está en frutas puesto que 3/5 es el mayor de los racionales.

c) La mayor rebaja está en productos de aseo puesto que el racional 1/8 es el que tiene mayor denominador.

d) La mayor rebaja está en carnes puesto que 1/3 es mayor que 2/7.

2. Si al pagar el mercado, un cliente recibe 17 bol etas se puede establecer que:

a) Sus compras fueron mayores a $600.000. b) Sus compras estuvieron entre $450.000 y

$590.000. c) Sus compras fueron superiores a $600.000. d) Sus compras estuvieron entre $550.000 y

$600.000. Responda las preguntas 3 y 4 de acuerdo a lo siguiente: En un juego de computador que tiene seis niveles de dificultad, se obtienen 2000 puntos adicionales cuando al pasar de un nivel a otro no se han cometido fallas. Sólo se puede pasar a un nivel superior cuando se ha obtenido un puntaje a favor. En cada nivel se presentan cierto número de pruebas y se ganan o pierden puntos dependiendo de las fallas o aciertos así: Nivel Puntaje

obtenido por cada acierto

Puntaje perdido por cada error

Máximo puntaje por

nivel 1 50 10 1000 2 100 25 2000 3 150 75 3000 4 200 150 4000 5 250 250 5000 6 300 375 6000

3. Teniendo en cuenta la información anterior se pu ede decir que el número de pruebas por nivel:

a) Va aumentando a medida que se pasa a un nivel superior.

b) Va disminuyendo a medida que se avanza en el juego.

c) Es el mismo para todos los niveles. d) Varía dependiendo del número de aciertos o

errores que se obtienen al finalizar un nivel. 4. Si una persona dice a su amigo que en el juego obtuvo un puntaje de 1595 puntos antes de pasar al tercer nivel, entonces, eso quiere decir que:

a) Obtuvo el máximo puntaje en los dos primeros niveles y no obtuvo puntos en el tercer nivel.

b) Tuvo 7 aciertos en el primer nivel y 15 aciertos en el segundo nivel.

c) Tuvo 13 aciertos en el primer nivel y 5 aciertos en el segundo nivel.

d) Tuvo 15 aciertos en el primer nivel y 7 aciertos en el segundo nivel.

Responda las preguntas 5 a 8 de acuerdo a lo siguiente: El dueño de una fábrica de tanques de agua desea lanzar un nuevo modelo de tanques para el mercado. Pide a varios diseñadores que le presenten propuestas con el fin de poder ofrecer un tanque que cumpla con las necesidades de la industria “ capacidad máxima y volumen mínimo". Los modelos que presentan los diseñadores son:

5. Al comparar los volúmenes de los tanques 2 y 4 s e puede decir que:

a) Ambos volúmenes son iguales ya que las medidas de los radios de las bases y las alturas son iguales.

b) Es mayor el volumen del tanque 2 porque el volumen del cilindro es 4 veces el volumen del cono cuando ambos tienen bases de igual radio.

c) El volumen del tanque 2 es mayor, ya que corresponde a tres veces el volumen del cono.

d) El volumen del tanque 4 es mayor puesto que el volumen del cilindro es la tercera parte del volumen del cono.

22

6. La relación que se puede establecer entre el volumen de los tanques 2 y 3 es:

a) V2 = (4/3) V3. c) V3 = (3/4)V2. b) V2 = V3. d) V3 = (4/3) V2.

7. De los tanques 3 y 4 se puede decir que: a) V3 = 4 V4. b) V3 = V4. c) V4 = V3. D) V4 = (1/3) V3. 8. Teniendo en cuenta que el número = 3,1416 es un a constante, se puede afirmar que el volumen del tanq ue con forma de cono es:

a) Equivalente al volumen del tanque con forma de cubo.

b) Equivalente a /3 del volumen del tanque con forma de cubo.

c) Equivalente a 4 /3 del volumen del tanque con forma de cubo.

d) Equivalente a veces el volumen del tanque con forma de cubo.

Responda las preguntas 9 a 12 de acuerdo a lo siguiente: Para almacenar aceite se utiliza un tanque de forma cilíndrica que tiene las siguientes dimensiones:

9. Si el volumen de un cilindro se obtiene multiplicando el área de la base por la medida de la altura, entonces se puede afirmar que la expresión que representa el volumen del tanque de aceite es:

a) y2 + 3 c) y(y + 3) b) y3 + 3y d) y2 (y

+ 3) 10. Si el radio de la base es igual a 4 m entonces, el volumen del cilindro es:

a) 28 m3 b) 19 m3 c) 76 m3 d) 112 m3

11. Si el volumen permanece constante y el radio de la base se triplica, entonces se puede afirmar que la altura del cilindro es igual a:

a) c)

b) d)

12. Si se considera el volumen del cilindro constan te y dado por la siguiente expresión: V = Abase xh, a medida que aumenta el radio de la base del cilindro, su al tura h:

a) Aumenta puesto que en la expresión que representa la altura, el radio está en el denominador y es directamente proporcional a la altura.

b) Disminuye puesto que en la expresión que representa la altura, el radio está en el denominador y es inversamente proporcional a la altura.

c) Aumenta puesto que la expresión que representa la altura, el radio está en el numerador y es directamente proporcional a la altura.

d) Disminuye puesto que en la expresión que representa la altura, el radio está en el numerador y es inversamente proporcional a la altura.

Responda las preguntas 13 a 16 de acuerdo a lo siguiente: Se puede decir en términos generales en dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y diferente tamaño y dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño. Para los triángulos se tienen unos criterios con el fin de poder identificar cuando dos de ellos con semejantes o cuando son congruentes. Se dice que dos triángulos son congruentes cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones:

- Tienen sus lados correspondientes congruentes. - Uno de los ángulos y los lados que forman dicho

ángulo son congruentes. - Dos ángulos son congruentes y el lado común a

dichos ángulos en los triángulos también son congruentes.

Se dice que dos triángulos son semejantes si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

- Tienen dos ángulos congruentes. - Los lados correspondientes de los triángulos son

proporcionales. - Tienen dos lados proporcionales y los ángulos

formados por los lados proporcionales son congruentes.

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El concepto de semejanza de triángulos se puede extender a polígonos de más de tres lados. Podemos decir que dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. 13. De acuerdo con la información presentada en el texto no se puede deducir que:

a) Dos pentágonos cualesquiera son semejantes. b) Dos cuadrados cualesquiera son semejantes

entre sí. c) Se pueden encontrar triángulos equiláteros que

no son semejantes. d) Dos polígonos regulares cualesquiera son

semejantes. 14. De la afirmación "Dos pentágonos regulares son semejantes entre sí" se puede decir que:

a) Es cierta puesto que los cocientes entre los lados correspondientes de los dos pentágonos no son iguales.

b) Es falsa puesto que los ángulos de los polígonos no son iguales.

c) Es falsa puesto que al ser regulares los lados y ángulos de los dos pentágonos son iguales.

d) Es cierta puesto que los ángulos son iguales y al calcular los cocientes de las medidas de lados correspondientes se obtiene el mismo resultado.

15. Si se tienen dos triángulos equilátero entonces se puede decir que:

a) son semejantes puesto que cumplen con cualquiera de las tres condiciones que se deben cumplir para que dos triángulos sean semejantes.

b) Son congruentes puesto que en un triángulo equilátero todos los lados tienen igual medida.

c) No son semejantes puesto que sólo se debe cumplir una de las condiciones para que se pueda decir que lo sean.

d) No son congruentes puesto que los tres ángulos son congruentes.

16. Si dos triángulos rectángulos tienen uno de sus ángulos agudos iguales entonces se puede decir que son:

a) Congruentes. b) Semejantes. c) Son congruentes y semejantes a la vez. d) No son congruentes ni semejantes.

Responda las preguntas 17 a 19 de acuerdo a lo siguiente:

Los 1000 estudiantes de básica secundaria en un colegio se distribuyen de la siguiente manera: 130 en grado sexto 275 en grado séptimo 328 en grado octavo y 267 en grado noveno. 17. La gráfica que representa correctamente la distribución de estudiantes de básica secundaria en el colegio es: a) b) c) d) 18. El grupo más representativo de los estudiantes de secundaria en el colegio es:

a) Octavo grado por ser el grupo más numeroso. b) Sexto grado por ser el grupo menos numeroso. c) Séptimo grado por ser el segundo grupo más

numeroso. d) Noveno grado por ser el segundo grupo menos

numeroso. 19. Si el departamento de matemáticas el colegio es tá conformado por 6 hombres y 4 mujeres y las edades promedio son respectivamente 40 y 20 entonces se puede afirmar que la edad promedio de los integrant es del departamento de matemáticas del colegio es:

a) 26 años b) 30 años c) 24 años 20. El siguiente gráfico muestra el número de multa s de tránsito tuvieron que p asar vehículos particulares por infringir la medida del “ pico y placa" en Bogo tá, durante una semana del mes de agosto de 2006.

El número de multas impuestas en la semana fue:

a) 200 b) 260 c) 250

Responda las preguntas 21 a 23 siguiente:

24

c) 24 años d) 32 años

20. El siguiente gráfico muestra el número de multa s asar vehículos particulares

por infringir la medida del “ pico y placa" en Bogo tá, durante una semana del mes de agosto de 2006.

El número de multas impuestas en la semana fue:

d) 245

de acuerdo a lo

En una empresa existen tres departamentos: dirección, administración y ventas. En dirección hay cinco mujeres y 15 hombres, en administración 20 mujeres y 30 hombres y en ventas hay 15 hombres y 15 mujeres. 21. Si se desea escoger un representante de todos los empleados para leer las palabras de bienvenida al nuevo presidente de la empresa, la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre es:

a) 4/10 b) 2/106/10

22. La cantidad de hombres y de mujereen la empresa es respectivamente:

a) 40 y 60 b) 60 y 40 d) 45 y 65

23. Para determinar la probabilidad que al selecciona r un empleado sea escogida una mujer que trabaje en e l departamento de ventas se debe:

a) Dividir 15 entre 30de ventas de los 30 empleados 5 son mujeres.

b) Dividir 30 entre 100 puesto que de los 100 empleados de la empresa 30 están en el departamento de ventas.

c) Dividir 15 entre 100 puesto que en ventas hay 15 mujeres del total de 100 empresa.

d) Dividir 15 entre 70 puesto que hay 15 mujeres en el departamento de ventas y 70 empleados que no pertenecen al mismo.

En una empresa existen tres departamentos: dirección, administración y ventas. En dirección hay cinco mujeres y 15 hombres, en administración 20 mujeres y 30 hombres y en ventas hay 15 hombres y 15 mujeres.

escoger un representante de todos los empleados para leer las palabras de bienvenida al nuevo presidente de la empresa, la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre es:

b) 2/10 c) 5/10 d)

. La cantidad de hombres y de mujere s que trabajan en la empresa es respectivamente:

b) 60 y 40 c) 50 y 50 d) 45 y 65

. Para determinar la probabilidad que al selecciona r un empleado sea escogida una mujer que trabaje en e l departamento de ventas se debe:

Dividir 15 entre 30 puesto que en el departamento de ventas de los 30 empleados 5 son mujeres. Dividir 30 entre 100 puesto que de los 100 empleados de la empresa 30 están en el departamento de ventas. Dividir 15 entre 100 puesto que en ventas hay 15 mujeres del total de 100 empleados de la

Dividir 15 entre 70 puesto que hay 15 mujeres en el departamento de ventas y 70 empleados que no pertenecen al mismo.

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

En matemáticas, Las funciones trigonométricaslas razones trigonométricas a todos los números reales.

Dado cualquier triángulo rectángulo ABC, se pueden considerar las siguientes razones entre los lados del triángulo:

Por lo que podemos afirmar:

Las razones dadas en el primer triángse las llama razones trigonométricas

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de unrectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en unaunidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

1.1. EXISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el

Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)

Seno sin (sen)

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UNIDAD 2

TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición de a todos los números reales.

Dado cualquier triángulo rectángulo ABC, se pueden considerar las siguientes razones entre los lados del

el primer triángulo, no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y razones trigonométricas .

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de unasociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones

del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitariaunidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones

do su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

1.1. EXISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir edio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en

las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos

Equivalencias (en radianes)

TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

son las funciones que se definen a fin de extender la definición de

Dado cualquier triángulo rectángulo ABC, se pueden considerar las siguientes razones entre los lados del

, no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones

circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones

do su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir edio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en

− cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Coseno cos

Tangente tan

Cotangente ctg (cot)

Secante sec

Cosecante csc (cosec)

Para definir las razones trigonométricas del ángulo:parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

� La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

� El cateto opuesto (a) es el lado opue� El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es iEn consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1.1.1. El seno: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectmismo ángulo , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

1.1.2. El coseno: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

26

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se arbitrario que contiene a este ángulo. El

nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los

) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

) es el lado opuesto al ángulo . ) es el lado adyacente al ángulo .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se

/2 radianes. Las definiciones que se dan a ictamente las funciones trigonométricas para

de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

ángulo que elijamos, siempre que tenga el

de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

1.1.3. La tangente: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

1.1.4. La cotangente: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

1.1.5. La secante: de un ángulo es la relación entre la longitud d

1.1.6. La cosecante: de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

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gulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto

gulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

e la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto

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EJERCICIOS……

1. Calcular las razones trigonométricas del triángulo rectángulo de lados 7 cm; 7,4 cm y 2,4 cm. para el ángulo de 19º.

2. Si los rayos del sol forman un ángulo de 65º con el suelo y, la sombra de un mástil es de 86 cm. ¿Cuál es la altura del mástil medido en metros?

3. Sea el triángulo ACB, rectángulo en C, y sean a, b y c los lados opuestos a los ángulos A, B y C; con b= 12 y c= 13, calcula las razones trigonométricas de los ángulos A y B.

2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS ESPEC IALES

A veces, necesitamos y podemos calcular algunas razones trigonométricas para unos determinados ángulos:

2.1. ÁNGULO DE 45º

Tenemos un triángulo rectángulo e isósceles (es una de los dos escuadras clásicas). Se calcula la hipotenusa suponiendo los lados iguales b = c y se pueden suponer, sin pérdida de generalidad, de valor 1.

2.2. ÁNGULOS DE 30º Y 60º

Esta es la otra escuadra clásica. Usando esta escuadra, se le adosa otra escuadra, como lo muestra la figura siguiente, y obtenemos un triángulo equilátero, ya que todos sus ángulos miden 60º.

Como el tamaño no afecta a los cálculos, podemos suponer que cada lado mide 2 unidades.

La altura h del triángulo es:

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Observación: Los valores obtenidos pueden sintetiza rse en la siguiente tabla:

EJERCICIOS……

1. Si nos alejamos en la línea recta 30 m, sólo hay que levantar la vista 30º para ver la punta de la antena. ¿Cuál es la altura de la antena?.

2. Aplicando los valores para ángulos de 30º, 45º y 60º, calcula:

a. sen 30º + tan 45º. b. sen 60º + cos 60º - cot 45º c. sen 30º - cos 45º + tan 45º.

3. Comprueba si las siguientes proposiciones son ve rdaderas o falsas:

a. sen245º + cos245º = sen260º + cos260º b. 1 – 2 sen230º = cos 60º (sugerencia: sen2A= (sen A)2)

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3. SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN LO S CUADRANTES

En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos "r".

3.1. PRIMER CUADRANTE Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.

3.2. SEGUNDO CUADRANTE

En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.

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3.3. TERCER CUADRANTE

En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : - = +).

3.4. CUARTO CUADRANTE

En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.

4. CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁN GULOS RECTÁNGULOS

Son muchas las situaciones donde se presentan problemas cuya solución se realiza mediante la resolución de triángulos rectángulos.

Sugerencias para resolver triángulos rectángulos

- Todo triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos interiores. Resolver un triángulo es conocer estos seis elementos fundamentales.

32

- Por geometría, sabemos que en todo triángulo se pueden trazar líneas

notables: tres alturas, tres bisectrices, tres medianas y tres mediatrices.

- En todo triángulo rectángulo siempre es conocido uno de sus ángulos interiores, es decir, el ángulo recto. Luego, un triángulo rectángulo puede resolverse si, además del ángulo recto, se conocen dos de sus lados o un lado, y uno de sus ángulos agudos.

- Cuando en un triángulo rectángulo se

conoce uno de sus ángulos agudos, basta restar este valor de 90º (ángulo recto), para obtener el otro ángulo agudo del triángulo en mención.

- Para hallar un elemento desconocido del triángulo rectángulo, ya sea la longitud de uno de sus lados o el valor de uno de sus ángulos agudos, escogemos una de las razones trigonométricas que contenga dicho elemento y otros dos elementos fundamentales conocidos para despejar el elemento en cuestión.

- Si el triángulo por resolver no es rectángulo, pero es isósceles o equilátero, entonces se traza la altura correspondiente a la

base (perpendicular bajada desde el vértice opuesto a la base) y este quedará dividido en dos triángulos rectángulos congruentes. La resolución de uno de estos dos triángulos rectángulos nos permitirá resolver el triángulo.

También es importante conocer, entender y aplicar los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión. Estos conceptos se refieren al ángulo entre el horizontal y la línea visual del observador y la posición del objeto.

Ángulo de elevación. Si la línea visual del observador al objeto está por encima de la línea horizontal imaginaria.

Ángulo de depresión. Si la línea visual del observador al objeto está por debajo de la línea horizontal imaginaria.

Observa y analiza estos conceptos en la siguiente gráfica:

El ∢ CAB es un ángulo de elevación; el punto B está elevado con respecto al observador en A y la línea horizontal AC que pasa por A.

El ∢ DBA es un ángulo de depresión; el punto A queda en la parte de abajo del observador que está en B y de la línea horizontal DB que pasa por B.

Una de las mayores dificultades que se encuentra en el estudio y la comprensión de conceptos matemáticos es la aplicación de estos en la solución de problemas.

En trigonometría, por ejemplo, son muy comunes los problemas en los que se necesita aplicar las razones trigonométricas en la

solución de triángulos.

Veamos el siguiente caso:

Desde lo alto de una colina, una persona observa un venadodistancia entre el observador y el venado es de 100 m, ¿qué altura tiene la colina?.

Para resolverlo, sugerimos los siguientes pasos:

1. Determina el significado de los siguientes términos que aparecen endepresión, etc.

2. Realiza un esquema gráfico de figuras geométricas y donde representes solamente las magnitudes relevantes. (No es necesario dibujar los objetos como tales).

3. Identifica en ese esquema las magnitudes que pued4. Escribe las relaciones y las fórmulas necesarias para desarrollar el problema.5. Reemplaza los valores de las magnitudes conocidas con los datos del problema.6. Realiza los procedimientos aritméticos y alg

4.1. APLICACIÓN GEOMÉTRICA

Dado el triángulo rectángulo ABC que se muestra en la figura, calcula:

a) Su área b) Su perímetro

Solución

a) Como el área de un triángulo se defi8ne como A= bh/2, debemosde la base y el valor de la altura.

En el gráfico se observa que la hipotenusa (AC) vale 6cm y el ángulo agudo C= 40º.

33

Desde lo alto de una colina, una persona observa un venado en la sima, bajo un ángulo de depresión de 30º. Si la distancia entre el observador y el venado es de 100 m, ¿qué altura tiene la colina?.

Para resolverlo, sugerimos los siguientes pasos:

Determina el significado de los siguientes términos que aparecen en el problema: sima, ángulo de

Realiza un esquema gráfico de figuras geométricas y donde representes solamente las magnitudes relevantes. (No es necesario dibujar los objetos como tales).

Identifica en ese esquema las magnitudes que puedes relacionar para encontrar el valor de la incógnita.Escribe las relaciones y las fórmulas necesarias para desarrollar el problema. Reemplaza los valores de las magnitudes conocidas con los datos del problema.Realiza los procedimientos aritméticos y algebraicos necesarios para despejar el valor de la incógnita.

Dado el triángulo rectángulo ABC que se muestra en la figura, calcula:

b) Su perímetro

a) Como el área de un triángulo se defi8ne como A= bh/2, debemos conocer el valor


en la sima, bajo un ángulo de depresión de 30º. Si la

el problema: sima, ángulo de

Realiza un esquema gráfico de figuras geométricas y donde representes solamente las magnitudes

es relacionar para encontrar el valor de la incógnita.

Reemplaza los valores de las magnitudes conocidas con los datos del problema.

ebraicos necesarios para despejar el valor de la incógnita.

conocer el valor


34

Debemos entonces hallar el valor de la altura (AB) y el valor de la base (BC).

Como AB es el cateto opuesto al ángulo C, tenemos que:

Definición de sen C: 40ºAB

senAC

=

Hallamos el valor de AB: AB = AC sen 40º

Solucionamos: AB = (6 cm) (0,643)

AB= 3,858 cm

Usando la definición de cos C, tenemos: cos40ºBCAC

=

Hallamos el valor de BC: BC= AC cos 40º

Solucionamos: BC= (6 cm) (0,766)

BC= 4,596 cm

Por tanto: 2

bhA =

(4,596 )(3,858 )

2cm cm

A =

A= 8,866 cm2

b) Como el perímetro se define como la suma de los lados de la figura, entonces:

Perímetro = AB + BC + AC

P= 3,858 cm + 4,596 cm + 6 cm

P= 14, 454 cm

4.2. APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN INGENIERÍA

David es un estudiante de ingeniería civil que desea medir la altura de una torre. Para ello, ubica el teodolito (instrumento que mide los ángulos de un terreno) en el punto P a una distancia x de la torre, mide el ángulo de elevación y obtiene un valor de 75º. Luego se aleja 100 m en línea recta del punto P hasta el punto Q, mide nuevamente el ángulo de elevación y obtiene 37º. ¿Cuánto mide la torre si el teodolito tiene una altura de 1,5 m?

35

Solución

Grafiquemos la situación descrita

La gráfica muestra dos triángulos rectángulos que tienen un lado común, denotado por h1.

Como no conocemos el valor de ninguna de las hipotenusas, debemos usar la razón tangente del ángulo. Entonces:

Para el triángulo rectángulo ABP:

1tan 75ºhx

=

Para el triángulo rectángulo ABQ:

1tan 37º100

hx

=+

Hallamos el valor de h1 en las dos ecuaciones:

h1 = x tan 75º

h1 = (x + 100) tan 37º

Obtenemos: x tan 75º = (x + 100) tan 37º

Efectuamos operaciones: x tan 75º = x tan 37º + 100 tan 37º

3,73 x = 0,75 x + 75,36

2,98 x = 75,36

75,362,98

x =

X = 25,29 m

4.3. APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TOPOGRAFÍA

Un topógrafo necesita medir el largo de un túnel que debe atravesar una montaña para unir dos ciudades; para ello se ubica en la ciudad A y utiliza un teodolito, instrumento con el cual encuentra las medidas que indica la figura. Cuál es el ángulo de elevación en el otro extremo del túnel?.

los cálculos:

El largo del túnel está representado por la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, o sea, es el valor de b.

cos 60º = cb

, entonces b= cos60º

c

El largo del túnel es 4 km.

b) Para hallar el valor del ángulo de elevación

∢ A + ∢ B + ∢ C = 180º

60º + 90º + = 180º

= 180º - 150º

= 30º

4.4. APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN NAVEGACIÓN

Una embarcación parte desde un faro que tiene una altura de 50m. Cuando se encuentra a 2 km del faro sufre fallas en sus equipos de comunicación y envía una señal mediante un reflector.

a. ¿Cuál debe ser el ángulo de elevación que forma el reflector con la torre donde está el observador para visualizar la señal?.

b. ¿Cuál es el valor del ángulo

Solución

Se bosqueja la situación descrita en el problema

36

Solución

a) El topógrafo apunta en su libreta los datos obtenidos de la siguiente forma y procede a realizar

El largo del túnel está representado por la hipotenusa del ABC, o sea, es el valor de b.

cos60º. Por tanto,

2, 4

0,5km

b b km= = .

b) Para hallar el valor del ángulo de elevación , tenemos que:

4.4. APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN NAVEGACIÓN

Una embarcación parte desde un faro que tiene una altura de 50m. Cuando se encuentra a 2 km del faro sufre fallas en sus equipos de comunicación y envía una señal mediante un reflector.

¿Cuál debe ser el ángulo de elevación que forma el reflector con la torre donde está el observador para

¿Cuál es el valor del ángulo de depresión que se forma en el faro?.

Se bosqueja la situación descrita en el problema

El topógrafo apunta en su libreta los datos obtenidos de la siguiente forma y procede a realizar

Una embarcación parte desde un faro que tiene una altura de 50m. Cuando se encuentra a 2 km del faro sufre

¿Cuál debe ser el ángulo de elevación que forma el reflector con la torre donde está el observador para

Por tanto, usando la calculadora tenemos:

b) El ángulo de depresión es el mismo ángulo de elevación

=1,432º

4.5. APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN METEOROLOGÍA

Un meteorólogo quiere saber la altura a la que se encuentra una nube. Para ello ubica un punto fijo P sobre el suelo y se ubica en el punto Q separado 2m del punto P. Ubica un teodolito de 1,5 m de altura en el punto Q y mide un ángulo de elevación de 80,5º.

a) ¿A qué altura se encuentra la nube?.b) ¿Qué distancia separa la nube del punto

B?.

Solución

Se grafica la situación descrita en el problema

a) En la gráfica se observa que se forma el triángulo rectángulo ADB, donde el cateto BD es la horizontal que se forma con la visual del observador.

También vemos que la nube está a una altura h del piso, donde h= AD + DP. Por tanto, hallando el valor de AD podemos conocer la altura.

37

a) El ángulo de elevación está representado por el ángulo . Como se conoce la altura del faro (cateto opuesto a

) y la distancia del faro al yate (cateto adyacente a ) podemos emplear la razón tan

tancateto opuesto

cateto adyacenteα =

50 50

tan2 2000

km mkm m

α = =

1

tan ; tan 0,02540

α α= =

usando la calculadora tenemos: 1tan 0,025 1,432º 1º25´55´´α −= = =

es el mismo ángulo de elevación por ser alternos internos paralelas. Por tanto,

4.5. APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN METEOROLOGÍA

la altura a la que se encuentra una nube. Para ello ubica un punto fijo P sobre el suelo y se ubica en el punto Q separado 2m del punto P. Ubica un teodolito de 1,5 m de altura en el punto Q y mide un ángulo de elevación de 80,5º.

ra la nube?. ¿Qué distancia separa la nube del punto

Se grafica la situación descrita en el problema.

a) En la gráfica se observa que se forma el triángulo rectángulo ADB, donde el cateto BD es la horizontal

rvador.

a una altura h del piso, donde h= AD + DP. Por tanto, hallando el valor de AD podemos conocer la altura.

El ángulo de elevación está representado

Como se conoce la altura del faro (cateto opuesto a ) y la distancia del faro al yate (cateto adyacente a ) podemos emplear la razón tan . Entonces:

cateto opuestocateto adyacente

50 502 2000

km mkm m

= =

1tan ; tan 0,025

40α α= =

tan 0,025 1,432º 1º25´55´´

ternos internos paralelas. Por tanto,

la altura a la que se encuentra una nube. Para ello ubica un punto fijo P sobre el suelo y se ubica en el punto Q separado 2m del punto P. Ubica un teodolito de 1,5 m de altura en el punto Q y

Como conocemos el ángulo 80,5 y su lado adyacente, y además tenemos que calcular el cateto opuesto, entonces:

tan 80,5º =

Por tanto: tan 80,5º =

Entonces: AD = (2m) tan 80,5º

AD = (2m) (5,976)

AD = 11,95 m

Como h = AD + DP, y DP = 1,5m, entonces h= 13,45m

EJERCICIOS…… 1. Un topógrafo que se encuentra en el fondo de una zanja determina que el ángulo de elevación a uno de los bordes de dicha zanja es de 25º30´. Si la zanja tiene 4 m de ancho, ¿cuál es la profundidad de la zanja?

2. Desde un faro puesto a 40 m sobre el nivel delmar se observa un barco con un ángulo de depresión de 55º. ¿A qué distancia se halla el faro del barco?.

38

Como conocemos el ángulo 80,5 y su lado adyacente, y además tenemos que calcular el cateto opuesto,

ADBD

. Pero BD = QP

2AD ADQP m

=

AD = (2m) tan 80,5º

AD = (2m) (5,976)

AD = 11,95 m

Como h = AD + DP, y DP = 1,5m, entonces h= 13,45m.

grafo que se encuentra en el fondo de una zanja determina que el ángulo de elevación a uno de los bordes de dicha zanja es de 25º30´. Si la zanja tiene 4 m de ancho, ¿cuál es la profundidad de la

2. Desde un faro puesto a 40 m sobre el nivel del mar se observa un barco con un ángulo de depresión de 55º. ¿A qué distancia se halla el faro del barco?.

3. El piloto de un avión que vuela a 2000 m de altura divisa la ciudad de destino con un ángulo de depresión de 15º. A qué distancia está esa ciudad

Como conocemos el ángulo 80,5 y su lado adyacente, y además tenemos que calcular el cateto opuesto,

3. El piloto de un avión que vuela a 2000 m de altura divisa la ciudad de destino con un ángulo de depresión de 15º. A qué distancia está esa ciudad?.

39

5. DOMINIO Y RANGO DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que a cada número del conjunto de partida le corresponde una sola imagen del conjunto de llegada. Así, en la figura siguiente podemos observar gráficamente el comportamiento de la función raíz cuadrada de un número. Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida (representado por los valores que le asignemos a la variable independiente “X”), del lado derecho observamos el conjunto de llegada (representado por los valores que toma la variable dependiente “Y” una vez que se extrae la raíz cuadrada del valor que se le asignó a “X”) y sobre la flecha está indicada la

relación matemática (función) que transforma los valores del conjunto de partida en los valores del conjunto de llegada (imagen). 5.1. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” (variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha. El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x). En la gráfica anterior notamos que si le asignamos los valores “-2” y “-1” a la “X” estos no tienen imagen, por lo tanto no pertenecen al dominio de la función estudiada. Esto es lógico ya que los números negativos no tienen raíces reales sino raíces imaginarias. 5.2. RANGO DE UNA FUNCIÓN Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba. El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función.

40

La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba.

5.3. ELABORACIÓN DE LA GRÁFICA DE CADA FUNCIÓN TRIG ONOMÉTRICA

Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas : arco seno, arco coseno, etcétera.

5.3.1. La función seno. Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

5.3.2. La función cosecante. Puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.

5.3.3. La función coseno. Se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

5.3.4. La función secante. Se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

5.3.5. La función tangente. Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

41

5.3.6. La función cotangente. Es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.

5.3.7. Propiedades de las funciones trigonométricas . Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

• Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.

• Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).

• Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.

• Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

5.3.8. Funciones circulares recíprocas. Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente:

• La función recíproca del seno es arco seno , simbolizada por f (x) = = arc sen x. • La función recíproca del coseno es arco coseno , expresada por f (x) == arc cos x. • La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x.

42

PRUEBA TIPO ICFES

Responda las preguntas 1 a 4 teniendo como referencia la siguiente figura:

1. Teniendo en cuenta que el área de un cuadrado se obtiene elevando la medida del lado al cuadrado, entonces el área de la figura es:

a) (x + y)2 c) x2 b) (x – y)2 d) y2

2. Si el área de un rectángulo corresponde al producto de las medidas de la base y la altura, entonces se puede afirmar que el área del rectángulo 2 es:

a) (y – x)y c) (x – y)y b) (x + y)y d) (y – x)x

3. Si x = 12 cm y y = 4 cm entonces, las áreas de las figuras 1, 2, 3 y 4 son respectivamente:

a) 24cm2, 16cm2, 16cm2 y 8cm2. b) 48cm2, 32cm2, 32cm2 y 16cm2. c) 144cm2, 16cm2, 16cm2 y 4cm2. d) 64cm2, 32cm2, 32cm2 y 16 cm.

4. Si x = 10 y y=3 entonces, el perímetro del rectángulo 3 es:

a) 13 cm b) 26 cm c) 16 cm d) 23 cm

Responda las preguntas 5 a 9 teniendo en cuenta la siguiente información. El siguiente gráfico muestra la manera como crecieron las ganancias de dos empresas diferentes durante 12 años. En el eje x se representa el tiempo en años y en el eje y se representan las ganancias en millones.

5. Del gráfico se puede deducir que:

a) Durante los 2 primeros años las dos empresas tuvieron el mismo crecimiento puesto que ambas obtuvieron las mismas ganancias.

b) Durante los 2 primeros años la empresa 1 fue la que tuvo un mayor crecimiento puesto que la recta que representa sus ganancias crece más rápido que la que representa las ganancias de la empresa 2.

c) Durante los 2 primeros años la empresa 2 tuvo un mayor crecimiento puesto que la recta que representa sus ganancias crece más rápido que la que representa las ganancias de la empresa 1.

d) Durante los dos primeros años las empresas tuvieron el mismo crecimiento puesto que las rectas que representan las ganancias son ambas crecientes.

6. Las ganancias de la empresa 1 fueron constantes durante los años.

a) 4 y 8 b) 4 y 10 c) 6 y 12 d) 6 y 10 7. La empresa 2 obtuvo mayores ganancias que la empresa 1 en el año.

a) 4 b) 6 c) 12 d) 2 8. En la recta que representa las ganancias de la empresa 1 durante los dos primeros años se pueden identificar los puntos (0,0) y (2,20). Si

43

para encontrar la pendiente de una recta se utiliza la expresión:

entonces, se puede afirmar que la pendiente de dicha recta es:

a) 10 b) – 10 c) No se puede determinar d) 0.

9. Teniendo en cuenta que la forma general de la ecuación de la recta es y = mx + b donde m es la pendiente y b es el intercepto o valor donde la recta corta al eje y se puede afirmar que la ecuación que representa el crecimiento de la empresa 2 durante los años 2 y 4 es:

a) y = 4x – 10 c) y = 10x – 10 b) y = 2x + 16 d) y = 8x – 8

Para responder las preguntas 10 a 13 tenga en cuenta la siguiente información: El gerente de una fábrica hizo un estudio con el fin de determinar el nivel de rendimiento de los empleados teniendo en cuenta el número de horas trabajadas en el día. La expresión que resultó fue:

x representa el número de horas trabajadas.

y representa el nivel de rendimiento.

10. Para determinar el máximo nivel rendimiento de un empleado se debe:

a) Determinar la ecuación de la recta directriz y reemplazar x por 4.

b) Encontrar el valor de la coordenada del foco en el eje x.

c) Establecer cuál es el valor de la coordenada del foco en el eje y.

d) Determinar el valor de la coordenada en y del vértice.

11. De la gráfica se puede deducir que:

a) Durante las 4 primeras horas el nivel de rendimiento va disminuyendo puesto que la parábola en ese intervalo es creciente.

b) Durante las 4 últimas horas el nivel de rendimiento va disminuyendo puesto que en ese intervalo la parábola es decreciente.

c) Durante las 4 primeras horas el nivel de rendimiento va aumentando puesto que la parábola en ese intervalo es decreciente.

d) Durante las 4 últimas horas el nivel de rendimiento va aumentando puesto que la parábola en ese intervalo es creciente.

12. Teniendo en cuenta que el vértice de la parábola tiene como coordenadas (4,8) y que los puntos en los cuales la parábola corta al eje x son (0,0) y (8,0), se puede decir que el tiempo en el cual un empleado alcanza su máximo nivel de rendimiento es:

a) 0 horas c) 4 horas b) 8 horas d) 12 horas

13. El rendimiento de un empleado cuando ha trabajado 3 horas es:

a) 7 b) 15 c) 8 d) 7,5 Para las preguntas 14 a 17 tenga en cuenta lo siguiente Una empresa determina el salario de sus vendedores dependiendo del número de unidades vendidas a partir de un sueldo fijo de $420.000 mensuales más $3.000 por unidad vendida. 14. El salario mensual de un vendedor que ha vendido x unidades en un mes se puede expresar con la ecuación y(x) dada por:

a) y = 420.000x + 3.000 c) y = 3.000x – 420.000

b) y = 3.000x + 420.000 d) y = x + 420.000 / 3.000

44

15. El salario que gana un vendedor que al final del mes tiene un total de 80 unidades vendidas es:

a) $ 660.000 c) $ 500.000 b) $ 380.000 d) $ 1.300.000

16. La gráfica que representa el salario de un vendedor teniendo en cuenta el número de unidades vendidas es:

a) Una función creciente puesto que entre menos unidades venda el salario será mayor.

b) Una recta constante puesto que el sueldo fijo del que se parte es siempre el mismo.

c) Una función creciente puesto que a mayor unidades vendidas, el vendedor tendrá mayor salario.

d) Una recta decreciente puesto que entre menos unidades venda obtendrá un mayor salario.

17. La gráfica que representa en forma más aproximada la relación entre el número de unidades vendidas por mes y el salario recibido es: a) b) c) d)

Responda las preguntas 18 a 20 teniendo en cuenta la siguiente información: Para almacenar aceite se utiliza un tanque de forma cilíndrica que tiene las siguientes dimensiones:

18. Si el volumen de un cilindro se obtiene multiplicando el área de la base por la medida de la altura, entonces se puede afirmar que la expresión que representa el volumen del tanque de aceite es:

a) y2 + 3 b) y3 + 3y c) y (y + 3) d) �y2 (y+3)

19. Si el radio de la base es igual a 4 m entonces, el volumen del cilindro es:

a) 28 m3 b) 19 m3 c) 76m3 d) 112 � m3

20. Si el volumen permanece constante y el radio de la base se triplica, entonces se puede afirmar que la altura del cilindro es igual a:

a) c)

b) d)

45

UNIDAD 3

1. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Los triángulos que no sean rectángulos se llaman oblicuángulos.

Como ves en la figura anterior, los dos triángulos son oblicuángulos, no tienen ningún ángulo interior de 90º.

Lógicamente, si sus ángulos son diferentes también lo serán sus lados, pero la suma de los grados de sus ángulos siempre ha de ser de 180º.

Cómo calcular los distintos valores de un triángulo oblicuángulo. Tienes que estudiar dos sencillos teoremas para resolver los problemas referidos a estos triángulos.

1.1. TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO

1.1.1. Teorema del seno. El siguiente triángulo es oblicuángulo:

Trazamos la altura desde C hasta c:

Tomando como referencia el ángulo B podemos escribir

y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen B

Tomamos ahora el ángulo A:

46

y haciendo operaciones tendremos: h = b x sen A

Observamos:

h = a x sen B

h = b x sen A

podemos decir que : a x sen B = b x sen A

Esta última igualdad podemos escribirla:

Recuerda que en toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios.

Si trazamos la altura desde el vértice B tenemos:

El cateto opuesto al ángulo C es la altura (h) que partiendo del vértice B es perpendicular al lado b (90º en amarillo) , la hipotenusa es el lado a. El triángulo en azul claro BDC es rectángulo en D.

El sen C será igual al cateto opuesto (h) partido por la hipotenusa (a).

y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen C

Si calculamos el sen A en el triángulo color naranja escribiremos:

( h y b son los catetos y c la hipotenusa), luego haciendo operaciones: h = c x sen A.

Luego, a x sen C y c x sen A son iguales. a x sen C

=c x sen A

Esta última igualdad podemos escribirla:

El recuadro último representa el teorema del seno.

Lo definimos: En todo triángulo la relación de un lado entre el valor del seno del ángulo opuesto se mantiene constante.

Ejemplo:

Los tres datos conocidos de un triángulo los tienes en la figura siguiente. Halla los tres datos que faltan por conocer:

47

Respuesta: C = 30º; a = 5,8 m; b = 10,28 m.

Solución

El ángulo C = 180º – (121º+29º) = 30º

Haces uso del teorema del seno. Calculamos el valor de b:

Calculamos el valor de a:

EJERCICIOS…… 1. En el dibujo siguiente tenemos un triángulo con tres datos conocidos, halla los otros tres:

2. En el siguiente triángulo aparecen 3 datos, calcula los otros 3:

3. Los ángulos interiores de un triángulo miden 30º y 55º. Si el lado opuesto al menor de esos ángulos mide 11,5 cm, determina la longitud del lado mayor del triángulo.

4. Dos personas A y B se encuentran a una distancia de 400m una de la otra. Cuando un avión pasa or el plano vertical de las mencionadas personas, estas lo ven simultáneamente con ángulos de elevación de 35º y 48º, respectivamente. Calcula la altura del avión en ese instante.

5. Se desea cercar un terreno que tiene forma de paralelogramo con tres hiladas de alambre. Si la diagonal mayor de la mencionada figura tiene una longitud de 230 m y forma con los lados adyacentes ángulos de 38º y 40º, ¿qué cantidad de alambre se necesita para llevar a cabo dicha labor?.

48

1.1.2. Teorema del coseno. Se trata de otro sencillo teorema también para la resolución de triángulos. Partimos del triángulo siguiente:

Trazamos la altura desde el vértice C sobre el lado c y fijamos las proyecciones m y n de los lados a y b sobre el lado c:

Puedes comprobar que los dos triángulos (amarillo y verde) en los que la altura ha formado son rectángulos (H = 90º). Timando el triángulo amarillo podemos escribir, según el teorema de Pitágoras:

49

Según lo que has estudiado podemos decir que:

Ejemplo: Conocemos los tres lados de un triángulo:

¿Cuánto vale el ángulo A?

Respuesta: 23º

Solución

50

EJERCICIOS……

1. ¿Cuánto valen los ángulos A y B de la siguiente figura?

2. El ángulo entre los lados de un paralelogramo es de 60º. Si las longitudes de los lados son 8 cm y 12 cm, calcula la longitud de la diagonal mayor.

3. Dado el triángulo ABC, aplica el teorema del coseno para resolver cada uno de los casos siguientes:

a) ∢ A= 60º; b= 14 cm; c= 10 cm. b) a= 12 cm; b= 8cm; ∢ C= 36º. c) a= 20 cm; b= 30cm; ∢ C = 45º. d) a= 7 cm; b= 6 cm; ∢ C = 30º. e) b= 8 cm; c= 5 cm; ∢ A = 60º. f) a= 4 cm; c= 5 cm; ∢ B = 120º. g) a= 8 cm; b= 10 cm; c = 12 cm. h) a= 3 cm; b= 6 cm; c= 12 cm. i) a= 9 cm; b= 3 cm; c= 7 cm.

51

2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Ejemplo 1. Expresar una función trigonométrica en términos de otra.

Expresa sen θθθθ en términos de cos θθθθ.

Solución

Identidad fundamental: 2 2cos 1sen θ θ+ =

Despejamos sen θ: 2 21 cossen θ θ= −

Por tanto:

21 cossen θ θ= ± −

Ejemplo 2. Calcular funciones trigonométricas de un ángulo agudo

Dado: 4

tan , 03 2

conπθ θ= ≤ ≤ ,aplica las

identidades fundamentales para determinar:

a) sec θ b) cos θ

Solución

a) Identidad fundamental: 2 2sec 1 tanθ θ= +

Despejamos sec θ: 2sec 1 tanθ θ= ± +

Reemplazamos tan θ:

24

sec 13

θ = ± +

Efectuamos las operaciones: 16

sec 19

θ = ± +

25

sec9

θ = ±

5

sec3

θ = ±

Por ser θ un ángulo del primer cuadrante, entonces

el sen θ es positivo. Por tanto, 5

sec3

θ = .

b) Identidad fundamental: sec θ = 1/cos θ

De donde: 1

cossec

θθ

=

52

Reemplazamos sec θ y obtenemos: 1

cos53

θ =

Efectuamos las operaciones: 3

cos5

θ =

EJERCICIOS……

Escribe cada expresión en términos de la que se indique.

1. tan θ en términos de sen θ 2. sen θ en términos de sec2 θ 3. tan θ en términos de cos θ 4. cos θ en términos de cot θ 5. cot θ en términos de csc θ

2.1. COMPROBACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Dada una proposición trigonométrica, demostrarla consiste en transformarla hasta convertirla en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas. Esas transformaciones deben apegarse a ciertas reglas obvias de la Lógica, como el hecho de que "de algo dudoso se obtiene algo dudoso" o que "de algo falso se obtiene algo falso". Por ejemplo, si se establece el siguiente razonamiento: - Donde hay vida, hay muerte. - En la Galaxia Andrómeda hay vida. - Por lo tanto, la muerte existe en la Galaxia Andrómeda. Alguien que haya razonado de la manera anterior puede afirmar que ha demostrado que en la Galaxia Andrómeda se da la muerte; sin embargo, su procedimiento se basó en una premisa dudosa: En la Galaxia Andrómeda hay vida , por lo que su conclusión es dudosa. Es decir, en este momento no se sabe con certeza si realmente existe vida o no por esos lugares, como pueda ser que sí, pueda ser que no, por lo tanto es dudosa su conclusión de que la muerte existe en la Galaxia Andrómeda.

Las demostraciones trigonométricas se hacen de tal manera que no utilicen nada dudoso ni nada falso para que la conclusión no sea dudosa o falsa. Todo debe ser cierto sin lugar a dudas para que la demostración sea válida. ¿Y qué es cierto sin lugar a dudas?: Por una parte, las fórmulas anteriores lo son, pues por eso se dedujeron paso a paso para verificar su validez y veracidad; por otra parte, toda identidad es cierta sin lugar a dudas por ser axiomática. Una identidad es cualquier cosa igual a sí misma. Axiomático es aquello tan evidente que no requiere demostración. De tal manera que las anteriores fórmulas son la base de las demostraciones que a continuación se estudiarán. Para demostrar una proposición trigonométrica debe transformarse, ya sea por sustituciones de cualquiera de las fórmulas o por pasos algebraicos válidos, de manera que se llegue a una igualdad que sin duda alguna sea cierta, es decir, que lo escrito del lado izquierdo sea realmente igual a lo escrito del lado derecho.

53

En resumen las identidades pitagóricas son:

Las identidades de cociente son:

Las identidades recíprocas son:

Para facilitar la comprensión y aprendizaje de los procesos de demostración de igualdades trigonométricas, conviene clasificarlas o agruparlas, según la forma que tengan:

2.1.1. Por similitud con alguna fórmula. Se compara la igualdad que debe demostrarse con la fórmula a la que se “parece”. Entonces el término que es diferente de la fórmula es el que se transforma hasta convertirlo en el correspondiente de la fórmula. Ejemplo. Demostrar que sen2x + cos2x = tan x cot x Demostración: La igualdad propuesta se "parece" a la fórmula (1) de los cuadrados (identidades pitagóricas). De manera que, por comparación, se debe transformar el lado derecho para convertirlo en 1. El siguiente esquema muestra la forma de hacer la comparación:

Como 1

tancot

xx

= , según la fórmula 3 de los

recíprocos, sustituyendo en la igualdad propuesta se

llega a: ( )2 2 1cos cot

cotsen x x x

x+ =

Simplificando el lado derecho:

2 2cos 1sen x x+ = Con lo que queda demostrado, ya que esta igualdad es cierta sin lugar a dudas por tratarse de la fórmula 1 de los cuadrados.

EJERCICIOS…… Demostrar las siguientes igualdades trigonométricas por similitud con alguna de las once fórmulas:

1. 2 2cos cscsen x x senx x+ =

2. 22

1cos 1

cscx

x+ =

3. 2 2tan csc secx senx x x+ =

54

2.1.2. Pasando a senos y cosenos. Un recurso muy útil en la demostración de igualdades trigonométricas, es pasar todas las funciones a senos y/o cosenos, en virtud de que las seis pueden expresarse en términos de éstas, ya que la tangente es igual a seno entre coseno ; la cotangente es igual a coseno entre seno ; la secante es igual a uno entre coseno y la cosecante es igual a uno entre seno. Una vez pasadas todas las funciones a senos y/o cosenos, se hacen las simplificaciones algebraicas posibles y, en caso necesario, se emplean nuevamente cualesquiera de las once fórmulas para transformar la igualdad propuesta en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas.

Ejemplo. Demostrar que sec 1csc cot

xx x

=

Demostración: Pasando a senos y /o cosenos todas

las funciones, sabiendo que: 1

seccos

xx

= ,

1csc x

senx= y

coscot

xx

senx=

Sustituyendo en la igualdad original se obtiene que:

1

1cos1 cos

xx

senx senx

=

aplicando la ley de la herradura:

cos cossenx senx

x x=

Igualdad que es cierta sin lugar a dudas, ya que cualquier cosa es igual a sí mismo. Por lo tanto, ha quedado demostrada.

EJERCICIOS…… Demostrar las siguientes igualdades trigonométricas pasando a senos y/o cosenos:

1. 22

1csc

secsen x senx x

x+ =

2. 22

1cos 1

cx

cs x+ =

3. 2 2tan csc secx senx x x+ =

4. 2

22

costan cot csc

xx x x

sen x+ =

2.1.3. Despejando las formulas. De cada una de las once fórmulas es posible realizar dos despejes, con los cuales pueden hacerse sustituciones de la misma manera que con las fórmulas originales, ya que, aunque despejadas, son en realidad las mismas fórmulas.

55

Los dos despejes posibles en las seis fórmulas de los inversos o recíprocos son las que se muestran el anterior cuadro al lado derecho. Obsérvese que en todos los casos, por la misma definición de inverso dada (Un número es el inverso de otro, respecto de cierta operación, si al operar ambos entre sí dan como resultado el elemento neutro de esa operación), el producto de las funciones que son inversas entre sí debe dar el elemento neutro de la multiplicación, o sea 1, es lo que se obtiene al hacer uno de los despejes posibles; y al hacer el segundo despeje posible se obtienen las inversas entre sí. Los dos despejes respectivos de las fórmulas de los cocientes son:

Los dos despejes respectivos de las fórmulas de los cuadrados (pitagóricas) son:

2.1.4. Binomios conjugados. De los 2 despejes que es posible hacer en cada una de las tres fórmulas de los cuadrados (pitagóricas) , se obtiene en cada caso una diferencia de cuadrados, que por las reglas del Álgebra se pueden factorizar en dos binomios conjugados, como se muestran a continuación:

Cuando aparece una fracción cuyo denominador es uno de esos binomios conjugados, suele resultar muy práctico, aplicando la propiedad de las fracciones si se multiplica el numerador y el denominador por la misma cantidad, la fracción no se altera, multiplicar numerador y denominador por el binomio conjugado del que apareció originalmente para obtener la diferencia de cuadrados que a su vez

56

es igual a una función al cuadrado (ó a 1), conforme al cuadro anterior leído de derecha a izquierda. La ventaja que a veces se obtiene es que dicho denominador puede transformarse en otro de un solo término, el cual así puede dividirse en varias fracciones o simplemente pasarse a senos y/o cosenos y/o aplicar alguna de las técnicas antes descritas. O bien, la presencia de uno de esos binomios conjugados puede sugerir que debe buscarse el otro binomio en alguna parte de la igualdad para juntarlos y multiplicarlos con el objeto de obtener finalmente su equivalente cuadrado de un término, conforme al cuadro anterior.

Ejemplo. Demostrar que 2cos 1

11 csc

xsenx x

= −+

Demostración: Método 1. El denominador (1 + sen x) es uno de los dos binomios conjugadps que aparecen en el cuadro anterior, en la fórmula (1.2.), por lo que es conveniente intentar localizar el otro binomio conjugado. Como

1

cscsenx

x=

Entonces:

2cos

11

xsenx

senx= −

+

Y efectivamente, ¡ya apreció el otro binomio!. Entonces, juntándolos, o sea, multiplicándolos, para obtener (ver el cuadro anterior):

2cos (1 )(1 )x senx senx= − + Como la multiplicación de dos binomios conjugados da una diferencia de cuadrados, en el lado derecho se obtiene:

2 2

2 2

cos 1

cos 1

x sen x

sen x x

= −+ =

Con lo que queda demostrada.

Método 2. El denominador (1 + sen x) es uno de los dos binomios conjugados que aparecen en el cuadro anterior, en la fórmula (2.2), por lo que es conveniente, aplicando la propiedad de las fracciones si se multiplica el numerador y el denominador por la misma cantidad, la fracción no se altera , multiplicar numerador y denominador por 1- sen x , o sea su binomio conjugado respectivo para obtener la diferencia de cuadrados que, a su vez, es igual a cos2x , según la fórmula (2.2), leída de derecha a izquierda en el cuadro anterior. Haciéndolo se obtiene:

Efectuando solamente las multiplicaciones del denominador, puesto que son los dos binomios conjugados que interesan:

Por la fórmula (2.2), sustituyendo en el denominador el valor de 1 - sen2x por su equivalente cos2x:

Simplificando:

Como

Entonces:

Igualdad que es cierta sin lugar a dudas, ya que cualquier cosa es igual a sí misma, por lo que ha quedado demostrada.

57

EJERCICIOS GENERALES…… Demostrar las siguientes igualdades trigonométricas empleando cualquiera de todas las técnicas estudiadas.

3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que aparece una o más razones trigonométricas. Para resolver una ecuación trigonométrica es conveniente expresar todos los términos de la ecuación con el mismo arco (ángulo) y después reducirlo a una razón trigonométrica, o bien, factorizar la ecuación si es posible. Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones que pueden expresarse en grados o en radianes. Ejemplos de ecuaciones trigonométricas: sen(x)=1 Es muy sencilla, no hay que dar los pasos indicados, sólo recordar la circunferencia goniométrica y observar que 90º es el primer ángulo cuyo seno es 1. El seno no vuelve a valer uno hasta que el ángulo no

valga 90º+360º=540º, tras otra vuelta volverá a valer uno y así sucesivamente. Luego hay muchas soluciones, todos los ángulos x de la forma x=90º+k.360º, donde k es cualquier número entero. Si queremos expresar la solución en radianes x=p/2+2.k.p radianes. sen(2x)=2sen(x) Necesita que apliquemos el primer paso. Como sen(2x)= 2sen(x).cos(x), podemos escribir la ecuación en la forma 2sen(x).cos(x)= 2sen(x). Ahora si dividimos por 2 nos queda sen(x).cos(x)= sen(x).Y si además dividimos por sen(x) queda cos(x)=1. Cuidado porque esta división supone que sen(x) es distinto de 0. Las soluciones de cos(x)=1 son x=0º+k.360º o bien x=2.k.p radianes. Obtenidas razonando sobre la circunferencia goniométrica, como anteriormente.

58

Cuando sen(x)=0 no podemos dividir, esto ocurre para x=0º, 180º, 360º,... es decir x=k.180º. Pero estos valores son soluciones de la ecuación puesto que cuando sen(x)=0 también sen(x).cos(x)= sen(x), ya que queda 0=0. Ahora bien las soluciones de sen(x)=0 incluyen a las de cos(x)=1, por tanto las soluciones de la ecuación pedida son x=k.180º o bien x=k.p radianes. cos2(x)-3sen(x)=3 Se convertirá en una ecuación con una sóla razón trigonométrica si tenemos en cuenta la fórmula fundamental de la trigonometría. Pasaremos de cos2(x)-3sen(x)=3 a la ecuación 1-sen2(x)-3sen(x)=3, ordenando y agrupando queda sen2(x)+3sen(x)+2=0. Ya está en función de una sóla razón y de un sólo ángulo. Cambiamos ahora sen(x) por z y nos quedará z2+3z+2=0. esta ecuación tiene las soluciones z=-1 y z=-2, que nos proporcionan sen(x)=-1 y sen(x)=-2. sen(x)=-1 tiene como soluciones x=270º+k.360º o bien x=3p/2+2.k.p radianes. sen(x)=-2 no tiene solución alguna. Recurrimos continuamente a la circunferencia goniométrica.

Luego las soluciones son: x=270º+k.360º o bien x=3p/2+2.k.p radianes.

EJERCICIOS…… 1. Encuentra las soluciones para θ, comprendidas entre 0 y 4π, de las siguientes ecuaciones trigonométricas. Expresa el resultado en radianes.

a. 2 1sen θ = −

b. 2 2sen θ =

c. 3

cos2

θ =

d. 3 csc 2θ = 2. Encuentra las soluciones para θ comprendidas entre 0º y 360º, de las siguientes ecuaciones trigonométricas. Expresa los resultados en grados.

a. cot 1 0θ − =

b. 2 cos 1 0θ − =

c. 2

cos 02

θ + =

d. 2 12cos 0

4sen θ θ− + =

59

4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA D E ÁNGULOS, ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS

4.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS

Observemos la siguiente figura donde la zona gris corresponde al ángulo central "a" y la roja al ángulo central "b":

Se tiene que:

sen a = DC

cos a = OD

sen b = BA

cos b = OB

sen (a+b) =EA

cos (a+b) = OE

Entonces:

sen (a+b) =EA=GF=GB+BF=OB sen a +AB cos a = sen a cos b +cos a sen b

Por otro lado:

cos (a+b) =OE=OG-EG=OB cos a - AB sen a = cos a cos b – sen a sen b .

Además, recordando las ecuaciones fundamentales:

En resumen, las fórmulas de la adición de ángulos son:

60

Sustituyendo en esas expresiones "b" por "-b" y, recordando que sen (-b) =-sen b ; cos (-b) = cos b y tg (-b) = -tg b, queda para las fórmulas de la diferencia de ángulos:

4.2. ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS 4.2.1. Ángulos dobles. Si suponemos conocidas las razones trigonométricas de un ángulo "a" y queremos conocer las del ángulo "2a", podemos recurrir a las fórmulas del ángulo suma vistas en el apartado anterior haciendo b=a para obtener:

4.2.2. Ángulos medios. Supongamos ahora que conocemos las razones trigonométricas del ángulo "a" y queremos, basándonos en ellas, conocer las del ángulo "a/2". Si en las fórmulas del ángulo doble haciendo 2a=A y por tanto a=A/2 tenemos:

Y sumando y restando miembro a miembro esta última con la ecuación fundamental de la trigonometría:

Nos queda:

61

De la primera despejando obtenemos:

Y de la segunda:

Finalmente dividiendo estas dos últimas:

Ejemplo: Calcula seno y coseno de 22º30' Se cumple que:

EJERCICIOS…… 1. Utilizando la fórmula a propiada del seno o del coseno de la suma o de la diferencia de ángulos, comprueba que:

a) sen(θ + π) = - sen θ b) sen(π - θ) = - sen θ c) cos (π - θ) = - cos θ d) cos (π + θ) = - cos θ

2. Si 3 2 135 13

sen y senθ ϕ= = , calcula:

a) sen (θ + φ) b) sen (θ - φ)

3. Utiliza las fórmulas de ángulos dobles::

a) 2tan 2 2sen senθ θ θ=

b) 33 3 4sen sen senθ θ θ= −

c) 2

2cot tan

sen θθ θ

=+

4. Utiliza las fórmulas de ángulo medio para calcular: (sin calculadora)

a) sen de 120º. b) tan de 15º. c) cos de 105º. d) tan de 150º

e) 56

senπ

62

PRUEBA TIPO ICFES 1. A partir de las siguientes gráficas responde: ¿cuál de las afirmaciones es correcta:

a) En la figura 2 puede asegurarse que A es un subconjunto de B.

b) En la figura 2 puede asegurarse que (∀ x) (x

∊ A ➱ x ∊ B).

c) En la figura 1 puede asegurarse que (A ⊂ B)

: (∃x) (x ∊ A ۸ x ∉ B).

d) De la figura 2 podemos asegurar que: (A ⊄

B) : (∃x) (x ∊ A ۸ x ∉ B).

2. Sean A = {x / x ∊ ℝℝℝℝ ۸ (x (x (x (x –––– 5) (x 5) (x 5) (x 5) (x –––– 2) > 0 }; B = {1, 2) > 0 }; B = {1, 2) > 0 }; B = {1, 2) > 0 }; B = {1,

A} se puede afirmar que:A} se puede afirmar que:A} se puede afirmar que:A} se puede afirmar que: a) X es una solución si y solo si los factores son

ambos positivos.

b) Las soluciones para el conjunto A son todos los números reales que se encuentran en el intervalo ( - ∞, 5).

c) Para el conjunto A ambos factores son positivos si x está en el intervalo (5, ∞) y ambos son negativos si x está en (- ∞, 2).

d) Las soluciones para el conjunto B son todos los números reales en la unión (- ∞, 2) U (5, ∞).

3. Determina cuál de estas afirmaciones es falsa:

a) Los números irracionales son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas.

b) El conjunto Z es un conjunto infinito, donde cada número entero tiene un antecesor y un sucesor.

c) El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales infinitos periódicos o no periódicos.

d) El conjunto de los números racionales es un conjunto denso; es decir, que entre dos números racionales hay infinitos números racionales, además cada número tiene un sucesor y un antecesor.

4. Para cada número entero x definimos el valor absoluto de x, que indicamos |x|, como sigue: si el número x es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número y es su opuesto, -x, si el número es negativo. Determina:

a)

b)

c)

d) 5. Una embarcación ha navegado río abajo 8 km y ha vuelto, invirtiendo en todo el recorrido 5 h. La velocidad de la corriente del río es de 3 km/h. ¿Cuál es la velocidad propia de la embarcación? Si la velocidad propia de la embarcación se denota con la letra x, entonces se puede plantear la siguiente ecuación:

a) 2,5 (x + 3) + 2,5 ( x – 3) = 8

b)

63

c)

d) 6. Todos los valores de x, para los cuales la función cuadrática, dada por la gráfica es negativa, forman el siguiente conjunto:

a) (- ∞, 0) porque para todo valor de y, x es

negativo. b) (2, ∞) porque es la única forma en que los

valores de la función se hacen negativos. c) (-∞, -1) U (2, ∞) porque en este intervalo los

valores de x son negativos. d) ( -1, 2) porque únicamente la función es

negativa entre estos valores. 7. De la expresión se puede afirm ar que:

a) x ≠ 0 porque la expresión se convertiría en una indeterminación.

b) x debe ser para que se cumpla la

desigualdad. c) En esta expresión x> - 2/3, siempre y cuando x

≠ 0. d) La desigualdad siempre se cumple cuando x> -

3/2. 8. Se presentan dos casos para poder encontrar la solución de (x + 2) (x – 1) < 0:

a) Como el producto es menor que cero, entonces x + 2 < 0 x – 1 < 0.

b) Como el producto es menor que cero, x + 2 < 0 x – 1 < 0 y la solución es ( - ∞, 1).

c) Como el producto es menor que cero, entonces x + 2 < 0 x – 1 > 0 y la solución es (1,2).

d) Como el producto es menor que cero, entonces x + 2 < 0 x – 1 >0, además, x + 2 >0 x – 1 < 0 y la solución es (- 2, 1).

9. Para un conjunto C= x ∊∊∊∊ ℝℝℝℝ/ - 2 < x ≤ 3 podemos asegurar que:

a) Una cota inferior es -1,9, porque se encuentra dentro del rango definido por el conjunto.

b) Una cota superior es 3,1 porque es un número mayor a los elementos del conjunto.

c) Una cota superior es 2,9 porque se encuentra dentro del rango definido por el conjunto.

d) Todo número menor a – 2 es una cota inferior y todo número mayor o igual a – 3 es una cota superior.

10. Lee el siguiente texto y analiza la gráfica que lo acompaña: Willebrord Snell y René Descartes lograron describir el cambio de dirección de la luz en el momento en que pasa de un medio a otro. Si i es el ángulo que forma el rayo incidente con la perpendicular a la superficie que separa a los dos medios, y r es el ángulo formado por el rayo refractado con la perpendicular a la superficie y además, v1 es la velocidad de la luz en el medio 1 y v2 la velocidad de la luz en el segundo medio, tenemos la conocida Ley de Snell:

64

Si tenemos que i = 30º y los medios son el aire y el agua donde la razón de v1 a v2 es 4:3 De acuerdo con lo anterior, podemos afirmar que el ángulo refractado es:

a) 28º 30’ 45`` c)

b) 22º 1` 28`` d)

11. Lee el siguiente texto y analiza la gráfica qu e lo acompaña: Una caja tiene una base cuadrada de 80 cm de lado y 1,2 m de altura. Guardo una varilla de tal forma que se ubica siguiendo la diagonal principal de la caja, podemos afirmar que:

a) d es la longitud de la varilla y tiene un valor de 113,137 cm.

b) d es la longitud de la varilla y tiene un valor de 144,22 cm.

c) d es la longitud de la diagonal de la base y mide 113,137 cm. y p es la longitud de la varilla, la cual mide 113,143 cm.

d) d es la longitud de la diagonal de la base y mide 113,14 cm y p es la longitud de la varilla, la cual mide 164,92 cm.

12. Del punto anterior podemos afirmar que:

a) Para hallar el ángulo que la varilla forma con el piso utilizamos el triángulo rectángulo determinado por la varilla y la diagonal de la base de la caja.

b) Para hallar el ángulo que la varilla forma con el piso utilizamos el triángulo rectángulo determinado por la varilla y la diagonal de la base de la caja y la altura de la misma. El ángulo mide 90º.

c) Si elegimos una función trigonométrica adecuada para relacionar la altura de la caja con la longitud de la varilla obtenemos 46º95´.

d) Para hallar el ángulo que la varilla forma con el piso utilizamos el triángulo rectángulo determinado por la varilla y la diagonal de la base de la caja y la altura de la misma. El ángulo mide 46º41´10,12”.

13. Lee el siguiente texto y analiza la gráfica que lo acompaña: La velocidad lineal (v) de un punto P es la distancia que recorre P por unidad de tiempo donde t es el tiempo transcurrido. En una rueda que gira con velocidad constante, la velocidad angular (w) se define como el ángulo barrido en una unidad de tiempo, para un ángulo en posición normal cuyo lado final se encuentra con un punto P sobre la circunferencia de radio r, se define la velocidad angular como donde θ es el ángulo de rotación (medido en revoluciones) y donde t es el tiempo (medido en minutos). (Una revolución equivale 2πrad). Si la rueda de un carro tiene un radio de 24 cm y gira con una velocidad angular de 2.300 rpm (revoluciones por minuto), podemos afirmar que:

a) Como el ángulo de rotación se define como Ѳ = wt entonces el ángulo equivale a 2.300 rpm.

b) Como una revolución equivale 2πrad, si dividimos las rpm por 2πrad obtenemos el ángulo de rotación Ѳ que equivale a 2300 π rpm.

c) Como una revolución equivale a 2πrad, si multiplicamos las rpm por 2πrad obtenemos el ángulo de rotación Ѳ que equivale a 4.600 πrad.

65

d) El ángulo de rotación no puede ser hallado porque no hay datos suficientes (falta el tiempo de rotación).

14. De la información del punto anterior se puede afirmar que:

a) La distancia que recorre la rueda es de 24 cm por unidad de tiempo.

b) La longitud de arco es de 110.400 π cm debido a que el arco es igual a s = r Ѳ.

c) Como la velocidad lineal es no puede

hallarse debido a que no tengo el tiempo que tarda girando.

d) La velocidad lineal está definida como por lo tanto la velocidad es

Con la siguiente información responde las preguntas de la 15 a 18. El voltaje en un campo eléctrico, es el trabajo o energía necesaria para mover una carga eléctrica de un punto a otro en contra o a favor de las fuerzas del

campo donde esta se encuentra. Si el voltaje de un circuito de corriente alterna está dado por la expresión V (t)= 170 sen (120 π t), donde t es el tiempo medido en segundos y V (t) es el voltaje medido en voltios. 15. De acuerdo con lo anterior, puede afirmarse que:

a) La amplitud de la función es 1 porque esa es la amplitud de la función seno.

b) El período de la función es 120π. c) La amplitud de la función es 170/2π. d) El período es 1/60 segundos.

16. El voltaje promedio de un circuito de corriente alterna está dado por |a|/ √ 2. El voltaje promedio aproximadamente es:

a) 240 voltios. c) 0,7 voltios. b) 120 voltios. d) 85 voltios.

17. El número de ciclos por segundo es la frecuencia de la corriente; es decir, es el inverso del periodo de la función. La frecuencia es:

a) 1/60 segundos. c) 60 s -1. b) 60 segundos. d) 60 π s -1.

66

UNIDAD 4

1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Y COORDENAD AS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

1.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano coordenado:

Ejemplo:

67

1.2. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Si un segmernto de línea tiene puntos , entonces las coordenadas del punto medio son:

Ejemplo:

68

EJERCICIOS…… 1. Encontrar la distancia entre (-3,-5) y (2, -6)

2.

3. Punto medio de línea. Si un segmento de líne a tiene puntos , e ntonces las Coordenadas del punto medio son?. Grafíquelas.

4. Usando . Encontrar el punto medio del segmento de línea con puntos (1,6) y

(9,8). Mostrarlo gráficamente.

69

2. LA LINEA RECTA, PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA REC TA

La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha). La línea podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para

B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.

El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta .

Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado.

Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta.

2.1. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).

Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación

Ax + By + C = 0 Que también puede escribirse como

ax + by + c = 0 y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:

Teorema La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los

números reales ( ); y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

70

La ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0) , en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) quedan determinados por:

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0?

2.1.1. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos . Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x, y) , también perteneciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

y Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

que también se puede expresar como

Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

71

2.1.2. Ecuación de la recta dados punto–pendiente ( se conoce un punto y se conoce la pendiente). Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por

pero

Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos

despejando, llegamos a:

y – y1 = m(x – x 1) Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, –3)

y – y1 = m(x – x 1) y – (–3) = –4(x – 5)

y + 4 = –4x + 20 Luego la ecuación pedida es 4x + y – 16 = 0 . 2.2. ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA

Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:

Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa y (y) el valor de la ordenada.

(x, y) = (Abscisa , Ordenada) Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.

Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda

2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.

72

Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula: y = mx + n

que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).

Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).

Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinaci ón (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).

2.2.1. Forma simplificada de la ecuación de la rect a. Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación ) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7).

Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto.

Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y ).

Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10 . Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b . Usamos la información que tenemos: m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x + 10 .

La ecuación que se pide es y = 3x + 10 .

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general: y – 3x – 10 = 0 ,

la cual amplificamos por –1, quedando como

– y + 3x + 10 = 0 , que luego ordenamos, para quedar

3x – y + 10 = 0

2.3. PENDIENTE DE UNA RECTA

Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si una recta tiene pendiente m = – otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3. Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.

Si una recta tiene pendiente m = perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5.

Además: Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si recta pasa por el origen. Determinar la pendiente. Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría:

3 = 2 · 1 + n,

y despejando n, queda n = 1.

Por lo tanto, la ecuación de esa recta será:

73

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una

1, quedando como

, que luego ordenamos, para

Con respecto a la pendiente es necesario conocer

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. 3 y es paralela a

ambién tiene pendiente m =

Las rectas perpendiculares tienen pendientes

Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene

la recta es horizontal (paralela al , la recta es perpendicular. Si n = 0 la

Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la

recta que pasa por dos puntos.

Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una y que pasa por el punto (1, 3), sólo

tenemos que sustituir estos valores en la ecuación

Por lo tanto, la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1 .

Si nos dicen que la recta pasa por el punto ((2, 5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y ocon dos incógnitas:

3 = m · 1 + n,5 = m · 2 + n.

Ahora, observemos el gráficopuntos de una recta pendiente, que es siempre constantedeterminada por el cocienteordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Entonces, a partir de esta se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula:

y – y Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos.Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1, y1) y tiene la pendiente dada establece de la siguiente manera:

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y

), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones

3 = m · 1 + n, 5 = m · 2 + n.

Ahora, observemos el gráfico: Cuando se tienen dos puntos de una recta P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), la

que es siempre constante , queda cociente entre la diferencia de las

ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta,

y1 = m(x – x 1)

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos. Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el

y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera: y – y1 = m(x – x 1)

74

EJERCICIOS…… 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5. 2. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La pendiente de y de no es un número real.

II) La pendiente de es cero.

III) La pendiente de es positiva. Alternativas A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

3. En la figura anterior las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces ¿cuál de las siguientes opciones representa a la ecuación de la recta L1 ?

Ejercicios para obtener la ecuación general de la recta dados un punto y la pendiente

Recuerde que la fórmula inicial es y – y1 = m(x – x 1)

4. m = –1; punto (–2, 3)

y – 3 = –1(x + 2) y – 3 = –x – 2 x + y – 1 = 0

5. m = 2; punto (–3/2, –1)

y + 1 = 2(x + 3/2) y + 1 = 2x + 3 – 2x + y – 2 = 0 2x – y + 2 = 0

6. m = 0; punto (–3, 0)

y – 0 = 0(x + 3) y = 0

75

3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Las rectas paralelas no se cruzan ni se juntan aunque se alarguen

Dos rectas que al juntarse en un punto forman ángulo recto, se llaman perpendiculares.

4. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).

Determinación de una circunferencia. Una circunferencia queda determinada cuando conocemos: Tres puntos de la misma, equidistantes del centro. El centro y el radio. El centro y un punto en ella.

76

El centro y una recta tangente a la circunferencia. También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro . Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia ). Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica , (dentro del Plano Cartesiano ) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y) , de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 ¿Qué significa esto? En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.

Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b).

Nota importante:

Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.

Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia , a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el valor de su radio para graficarla o dibujarla.

Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación de la misma circunferencia.

77

Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 (que en forma matemática representa una circunferencia).

De la ecuación ordinaria a la ecuación general. Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:

x2 ─ 2ax + a2 + y2 ─ 2by + b 2 ─ r2 = 0 ecuación que ordenada sería

x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a 2 + b2 ─ r2 = 0

Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:

─ 2a = D,

─ 2b = E,

a2 + b2 ─ r2 = F

la ecuación quedaría expresada de la forma:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:

No existe término en xy

Los coeficientes de x 2 e y2 son iguales.

Si D = ─ 2a entonces

Si E = ─ 2b entonces

Si F = a2 + b2 ─ r2 entonces

Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:

a2 + b2 ─ F > 0 (a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)

Nota:

Para simplificar la ecuación general de la circunferencia:

(x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a 2 + b2 ─ r2 = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen:

─ 2a = A,

─ 2b = B,

a2 + b2 ─ r2 = C para tener finalmente

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

A modo de recapitulación

Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.

Ecuación reducida de la circunferencia. Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 , debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

(x ─ 0)2 + (y ─ 0)2 = r2

x2 + y2 = r2

Halla el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

a) x 2 + y2 + 4y -13 = 0 b) x 2 + y2 - 6x + 4y + 11 = 0 c) 9x 2+ 9y2 +18x -108y + 329 = 0 d) 2x2 + 2y 2 - 3x + 2y + 75 = 0

5. ESTUDIO DE LAS SECCIONES CÓNICAS: PARÁBOLA, ELIP SE E HIPÉRBOLA

Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos de la escuela GrieMenaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base.

Menaechmus realizó sus descubrimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de resolver un problema de duplicar un cubo.

Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las matemáhasta hoy son conocidos como parábola, hipérbola y elipse.

5.1. PARÁBOLA

analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa porobtenemos H, K paralelos a B y C.

Por el teorema de potencia de un punto

.

Al ser PM paralela a AC, los triángulossemejantes y así:

.

Usando nuevamente los paralelismos:

.

78


Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega hace mucho tiempo. Se dice que Menaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base.

brimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de resolver un problema de

Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las matemáticas. Apollonius escribió libros que introdujeron términos que hasta hoy son conocidos como parábola, hipérbola y elipse.

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una rectdirectriz.

5.1.1. Ecuaciones de la parábola. Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetrode la parábola, incorrectamente descrita como laya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, seasea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor

). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono,

punto:

, los triángulos HVP, HKA y BCA son

Usando nuevamente los paralelismos:


ga hace mucho tiempo. Se dice que Menaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base.

brimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de resolver un problema de

Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo ticas. Apollonius escribió libros que introdujeron términos que

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una

onde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y

do es negativo se abre «hacia abajo».

Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y

corresponde al valor x en la versión y es paralela a la base del cono,

Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de

Pero el valor de es una constante pues no depende de

arroja la expresión moderna y=ax².

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.

La ecuación de una parábola cuyo eje vértice es (u,v) tiene la forma (

agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es

de la forma

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuacionesintercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:

La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es

de la forma

5.1.2. Ecuación involucrando la distancia focal(variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa mi

79

para sustituir en la fórmula de QV² resulta en

es una constante pues no depende de la posición de

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su ) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,

agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es

.

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero y viceversa. Así tendríamos:

La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es

.

Ecuación involucrando la distancia focal . Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice ) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola

que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último.

.

la posición de V, por lo que haciendo

Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice ) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola

que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,la distancia entre el vértice y el foco se le llamaque en este caso la distancia focal es igual ase tiene:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco

en (0,p) es .

De forma alterna:


en (0,p) es .

Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.

Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En est

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,

Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (

obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.

Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene

La ecuación de una parábola con vértice en (

es

mientras que para la parábola horizontal se intercambia

La ecuación de una parábola con vértice en (

es

80

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es ). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A

la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración



es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.

Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es

Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles

parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es


Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (

,

mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:.

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (

.

es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.

Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola e caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:

.

Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles

,


Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso

) y foco en (h, k+p)

) y foco en (h+p, k)

5.1.3. Ecuación general de una parábolade los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas sonsu eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

si y sólo si

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma

, donde a

5.1.4. Aplicaciones

- Las trayectorias que siguen los proyectiles son parábolas. Newton lo demostró considerando a la Tierra como un plano y sin tomar en cuenta la fricción del aire.

- Concentrador parabólico, el método que se emplea eenergía solar.

- Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de

EJERCICIOS……

1. Un faro de un automovil tiene un reflector parabólico de 6 pulgadasdistancia del vértice debe ponerse el bulbo luminosrepresenta esta parábola en un plano cartesiano y coloca el vértice en el origen).

2. Un cometa procedente del espacio profundo se acerca al sol siguiendo una órbita parabólica. Cuando está a 10millas del sol, la línea que une al sol con el cometa forma un ángulo de 60º con el eje de la parábola. ¿A qué distancia del sol se acercará el cometa? (sugerncia: el punto de la parabóla más cercano al foco es su vértice).

3. Demuestra que la longitud de la cuerda focal (lado recto) de la parábola y

4. Demuestra que la longitud del lado recto de la parábola x

81

Ecuación general de una parábola . Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.


no pueden ser simultáneamente nulos

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma

es distinto de cero.

Las trayectorias que siguen los proyectiles son parábolas. Newton lo demostró considerando a la Tierra como un plano y sin tomar en cuenta la fricción del aire.

oncentrador parabólico, el método que se emplea en las grandes centrales captadoras de

Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. una antena de radar.

utomovil tiene un reflector parabólico de 6 pulgadas de diámetro y 3 de profundidad. ¿A qué distancia del vértice debe ponerse el bulbo luminoso, si se supone que este debe ir en el foco? (sugerencia: representa esta parábola en un plano cartesiano y coloca el vértice en el origen).

2. Un cometa procedente del espacio profundo se acerca al sol siguiendo una órbita parabólica. Cuando está a 10llas del sol, la línea que une al sol con el cometa forma un ángulo de 60º con el eje de la parábola. ¿A qué

distancia del sol se acercará el cometa? (sugerncia: el punto de la parabóla más cercano al foco es su vértice).

cuerda focal (lado recto) de la parábola y2 = 4cx está dado por

4. Demuestra que la longitud del lado recto de la parábola x2 = 4cy está dado por |4c

Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno

de x ó de y. Pero una parábola puede tener


Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se

Las trayectorias que siguen los proyectiles son parábolas. Newton lo demostró

n las grandes centrales captadoras de

Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco.

de diámetro y 3 de profundidad. ¿A qué o, si se supone que este debe ir en el foco? (sugerencia:

2. Un cometa procedente del espacio profundo se acerca al sol siguiendo una órbita parabólica. Cuando está a 108 llas del sol, la línea que une al sol con el cometa forma un ángulo de 60º con el eje de la parábola. ¿A qué

distancia del sol se acercará el cometa? (sugerncia: el punto de la parabóla más cercano al foco es su vértice).

= 4cx está dado por |4c|.

4c|.

5.2. ELIPSE

La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:

La elipse es el lugar geométricodistancias a otros dos puntos fijos llamados

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de unde simetría –con ángulo mayor que el de laalrededor de su eje menor genera unprincipal genera un esferoide alargado.

5.2.1. Elementos de una elipse.perpendiculares entre sí:

� El semieje mayor (el segmento � el semieje menor (el segmento

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

5.2.1.1. Puntos de una elipse. Los

elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 +

Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, yuna constante mayor que la distanciapunto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

donde es la medida del semieje mayor de la elipse. 5.2.1.2. Ejes de una elipse. El eje mayor 2resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse sonsi.

82

curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:

lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un conocon ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Elementos de una elipse. La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes

C-a de la figura), y C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

focos de la

elipse son dos puntos equidistantes del en el eje mayor. La suma de las

de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la

PF2 = 2a).

son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un

pertenecerá a la elipse si se cumple la

es la medida del semieje mayor de la

El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al

, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son

, tales que la suma de las

cono por un plano oblicuo al eje respecto del eje de revolución. Una elipse que gira

pse que gira alrededor de su eje

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes

, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor

, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre

5.2.1.3. Excentricidad de una elipseexcentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con

Dado que , también vale la relación:

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero. La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega

(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos.

5.2.1.4. Excentricidad angular de una elipsefunción trigonométrica seno concuerda con la

5.2.1.5. Constante de la elipse . muestran los dos radio vectores correspondientes auna elipse, los vectores que van de los focoslongitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo)

Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntoslongitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

PF1

83

Excentricidad de una elipse . La ) de una elipse es la razón

tancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada

, y su semieje mayor. Su valor se

, también vale la

forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega

para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o

Excentricidad angular de una elipse . La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la concuerda con la excentricidad , esto es:

. En la figura de la derecha se correspondientes a cada punto P de

que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno

(color rojo).

Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual

+ PF2 = 2a

forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o

es el ángulo para el cual el valor de la

5.2.1.6. Directrices de la elipse. Cada focoasociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha)cualquier punto P de la elipse hasta el fococonstante de la distancia perpendicular de ese puntodirectriz que resulta en la igualdad:

La relación entre estas dos distancias es la excentricidadla elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre

sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco

y es igual a la excentricidad de la misma.

Además de la bien conocida relación .

Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del focodistancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior.

5.2.2. Ecuaciones de la elipse

5.2.2.1. En coordenadas cartesianas

Forma cartesiana centrada en origenorigen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde silas ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mi[FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y valesiendo e la excentricidad y a el semieje mayor

84

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor

(ver ilustración de la derecha). La distancia de de la elipse hasta el foco F es una fracción

constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la

) puede ser tomada como otra

es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre

que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz

y es igual a la excentricidad de la misma.

Además de la bien conocida relación , también es cierto que , también es útil la fórmula

Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya , la cual además es paralela a la directriz anterior.

En coordenadas cartesianas

Forma cartesiana centrada en origen . La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas

> 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje dla elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mi

[FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y valesemieje mayor.

es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre

llamada directriz– permanece constante

, también es útil la fórmula

derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya

coordenadas cartesianas, con centro en el

corresponde al eje de las abscisas y b al eje de la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento

[FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea,

Forma cartesiana centrada fuera del origenes:

5.2.2.2. En coordenadas polares

Forma polar centrada en origen. En

(epc 1)

Una ecuación más elegante que la anterior (

(epc 2)

Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor,(epc 2) ε es la excentricidad.

Si no se quiere pre-calcular la excentricidadutilizar la ecuación (epc 2).

Formas polares centradas en un focode la elipse es:

(501)

Para el otro foco:

(502)

En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angularla forma polar es:

85

Forma cartesiana centrada fuera del origen . Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:

a ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad

es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse,

calcular la excentricidad convendrá utilizar la ecuación (

Formas polares centradas en un foco . En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuación

En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación

, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:

calcular la excentricidad ), es:

es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la

convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario

, con el origen en uno de sus focos, la ecuación

En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular φ,

(503)

El ángulo de las ecuaciones (llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las

mismas es el llamadonormalmente denotado . El semi-latus rectumun foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

5.2.3. Aplicaciones

• Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.

• Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas.

• En arquitectura se utilizan con may

EJERCICIOS……

1. Comprobación. Demuestra que la ecuación de la elipse cuyos focos están sobre el eje Y y el centro en el

origen, tiene la forma 2 2

2 2 1x yb a

+ =

2. Argumentación. ¿Puede afirmarse

3. Comunicación. ¿Cuál es la excentricidad de una circunferencia?.

4. La tierra se mueve en órbita elíptica alrededor del sol, y este está en uno de los focos de la elipse. Las distancias mínima y máxima de la tierra al sol son 91446000 millas y 94560000 millas, respectivamente. ¿Cuál es la excentricidad de la elipse? ¿Qué longitud tiene el eje mayor y el menor?.

5. La distancia desde el centro de la luna al centro de la tierra varía desde 221463 millas haCalcula la excentricidad de la órbita lunar y la longitud del eje mayor y el menor.

86

}

ciones (501),(502) y (503) es la del punto y el numerador de las

es el llamado semi-latus rectum de la elipse, latus rectum es la distancia entre

foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde ites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de

Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se

En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.

Demuestra que la ecuación de la elipse cuyos focos están sobre el eje Y y el centro en el

1 donde b>a.

¿Puede afirmarse que una circunferencia es una elipse?. ¿Por qué?.

¿Cuál es la excentricidad de una circunferencia?.

4. La tierra se mueve en órbita elíptica alrededor del sol, y este está en uno de los focos de la elipse. Las e la tierra al sol son 91446000 millas y 94560000 millas, respectivamente. ¿Cuál es

? ¿Qué longitud tiene el eje mayor y el menor?.

5. La distancia desde el centro de la luna al centro de la tierra varía desde 221463 millas haCalcula la excentricidad de la órbita lunar y la longitud del eje mayor y el menor.

foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde ites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de

Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se

Demuestra que la ecuación de la elipse cuyos focos están sobre el eje Y y el centro en el

que una circunferencia es una elipse?. ¿Por qué?.

4. La tierra se mueve en órbita elíptica alrededor del sol, y este está en uno de los focos de la elipse. Las e la tierra al sol son 91446000 millas y 94560000 millas, respectivamente. ¿Cuál es

5. La distancia desde el centro de la luna al centro de la tierra varía desde 221463 millas hasta 252710 millas.

5.3. HIPÉRBOLA

Una hipérbola es una sección cónicaplano oblicuo al eje de simetría con ángulo meno

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto

de la diferencia de sus distancias

entre los vértices, la cual es una constante positiva.

5.3.1. Ecuaciones de la hipérbola.

5.3.1.1. Ecuaciones en coordenadas cartesianas

una hipérbola con centro en el origen de coordenadasecuación de la hipérbola en su forma

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

87

sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar unplano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto

de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos


Las asíntotas de la hipérbola se muestran como línediscontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominanla línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidadcociente entre las distancias (en verde) desde un puntohipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centro.

5.3.1. Ecuaciones de la hipérbola.

coordenadas cartesianas . Ecuación de

una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un respecto del eje de revolución.

es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto

focos, es igual a la distancia


Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola

. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje

jugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las

. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un puntoP de la

bola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia

Ejemplos:

a)

b)

Si el semieje transverso a se encuentra en el ejeconjugado b, en el eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si erevés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

Ecuación de la hipérbola en su forma complejael plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la

diferencia de sus distancias fijos llamados focos y , es una constante poside la distancia (o sea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuación queda:

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

5.3.1.2. Ecuaciones en coordenadas polares

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

88

se encuentra en el eje x, y el semieje , entonces la hipérbola es horizontal; si es al

revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja . Una hipérbola en r geométrico formado por un conjunto de

; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la

, a dos puntos , es una constante positiva igual al doble

) que existe entre su centro y cualesquiera de

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de

Ecuaciones en coordenadas polares


Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

noroeste a sureste:

5.3.1.3. Ecuaciones paramétricas



En todas las formulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayormenor.

5.3.2. Aplicaciones en el mundo realpuente.

Para explicar la teoría que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra.

Estadios deportivos, cuya finalidad es acomodar personas para poder presenciar algún deporte.

89



) son las coordenadas del centro de la semieje mayor, b es la longitud del semieje

plicaciones en el mundo real . Para diseño de Puentes, ya que se puede distribuir el peso de todo el

Para explicar la teoría que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra.


ue se puede distribuir el peso de todo el


90

PRUEBA TIPO ICFES

1. Los triángulos ∆QNP y ∆NQM son rectángulos en P y en M respectivamente. Si además se sabe que son isósceles y congruentes, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas (s)?

I) MT + PQ = QM + QT

II) PM QN

III) QPM = PMN

a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III

2. El triángulo tiene por vértices los puntos A (3,5), B (–3, 5) y C (– 3, – 3). ¿Cuál (es) de las afirmaciones siguientes es (son)? I) II) BA < BC III) ∆ CBA es rectángulo en B.

a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo III. d) Sólo II y

III e) Ninguna

de ellas.

3. Si la parábola corresponde a la función cuadrática y = x 2 + 4x – 5, ¿cuál (es) de las proposiciones siguientes es (son) verdadera (s)

I) La parábola intercepta al eje y en el punto (0, – 5).

II) El vértice de la parábola es el punto (2, – 1).

III) El eje de simetría es y = – 2.

a) Ninguna. b) Sólo I. c) Sólo I y II. d) Sólo I y III. e) I, II y III.

4. O es el centro de la simicircunferencia. Si OC = CB y CD OB, ¿cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera (s) si AO = r?

I) BD = r II) III) CBD = 2 CDB

a) Sólo I. b) Sólo III. c) Sólo I y II. d) Sólo I y III. e) I, II y III.

91

5. La gráfica que corresponde a la función y = – x2 – 3x – 3 es: a) b) c) d) e) 6. ¿Cuál(es) gráfico(s) representa(n) una función constante? I) II)

III)

a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo III. d) Sólo I y II. e) Ninguno.

7. La siguiente expresión representa un número real

I) a ≠≠≠≠ 1 II) a ≤ 1 III) a < 1

a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo III. d) Ninguna de las anteriores.

e) Falta información. 8. Tres triángulos escalenos son semejantes y sus áreas están en la razón a 2 : b2 : c 2. Las alturas que parten desde el mismo ángulo en cada triángulo están en la razón:

a) a2 : b2 : c2. b) a : b: c:. c) √a : √b : √ c.

d) Falta información. e) Ninguna de las anteriores. 9. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a : y2 = – x2 + 16 y y2 = – x2 + 4? a) b)

92

c) d) e) 10. Si p representa un número par y q representa un número impar, ¿cuál (es) es de las siguientes expresiones es(son)? I) q + q = p + p. II) pq = 3q + 2. III) 3p – q = pq.

a) Sólo I. b) Sólo III. c) I y III. d) I, II y III. e) Ninguna de las anteriores.

11. Si a = 3,333… es correcto: I) II) a es racional. III) IV) 3a es número par

a) Sólo II. b) I y III. c) III y IV. d) II y IV. e) I, II, III y IV.

12. Al trazar la diagonal PR en el rombo PQRS, se cumple que: I) EG = EF II) ES = EQ

III) ∡∡∡∡ SPR = ∡∡∡∡QPR es correcta y está en buen estado. a) Sólo I. b) II y III. c) I y III. d) I, II y III. e) Falta información. 13. En la figura, se tiene un sistema de ejes coordenados con los puntos P, Q, R y S. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) corresta(s)?.

I) Si se unen P, Q y S se forma un triángulo rectángulo en S.

II) P, Q, R y S son vértices de un trapecio. III) PR > PQ.

a) Sólo I. b) I y II. c) I y III. d) II y III. e) I, II y III.

14. Dos rectángulos Q y R tienen igual área, entonces:

I) Q y R tienen siempre igual ancho e igual largo.

II) La diagonal de Q es igual a la diagonal de R.

III) Q y R tienen igual perímetro. Es (son) verdades(s): a) Sólo I. b) Sólo III. c) I y III. d) I, II y III. e) Ninguna de ellas.

93

15. La resultante de dos vectores de módulos 3 y 4 unidades:

a) Nunca puede ser igual a 7 unidades. b) Es, con seguridad, menor que 7 unidades. c) Nunca es menor que 1 unidad. d) Es siempre dada por √32 + 42 e) Puede ser nula.

16. En la figura se tiene que ACDF es un rectángulo. Si, ∆ AGF y ∆ DGC son isósceles en G y ∆ DEG ≅≅≅≅ ∆ BGC, el valor de α es:

a) 35º b) 50º c) 70º d)

140º e) No se puede determinar.

17. O es el centro de una circunferencia de radio 8cm, AD = 4 cm y CD AB. Se puede decir que:

I) CD2 = AD (BO + DO)

II) AC = 8 cm.

III) CB = 8 √√√√3 cm.

a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo III. d) I y II. e) Todas.

18. En la figura se tiene que tan θ = 1/3, entonces x=

a) 8 b) 8√2 c) 12 d) 4 √10 e) Otro valor

19. Se tiene una esfera de volumen V cm 3 y área A cm 2. Determina el radio de dicha esfera en función del área A y el volumen V.

a) b) c)

d) e) 20. En el rectángulo ABCD, se han unido los puntos medios de sus lados y luego se unen los puntos medios del nuevo cuadrilátero. Determina el perímetro de la zona sombreada de la figura.

a) 4 √a2 + b2 b) c) d)

e) Ninguna de las anteriores 21. ∆ ABE rectángulo, entonces la suma x + α es: a) 90º + α b) 180º - β c) 360º - β d) 180º - 2β e) Ninguna de las anteriores

94

22. A y B son centros de dos circunferencias, β = 300º, radio a y el área sombreada es: a) b) c) d) 3π – √3 e) Ninguna de las anteriores 23. Si los vectores definen la s tres aristas de un paralelepípedo, ¿qué representa ?.

a) La proyección de sobre el plano determinado por .

b) La superficie total del paralelepípedo. c) El volumen del paralelepípedo. d) La mitad de la superficie total del

paralelepípedo. e) Ninguna de las anteriores.

24. Dados los vectores Se cumple que:

a) La proyección de sobre el eje x es – 7.

b) El vector es paralelo al vector .

c) El producto vectorial

d) Los vectores a y c son paralelos.

e) Ninguna de las anteriores. 25. Cuando la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo modulo, entonces se cumple que:

a) Son paralelos. b) Forman un ángulo de 30º. c) Forman un ángulo de 60º d) Son perpendiculares. e) Ninguna de las anteriores. 26. Se tiene el siguiente triángulo rectángulo: para calcular la longitud del cateto x se puede utilizar: a) La función sen30º. b) La función cos30º. c) La función tan30º. d) El teorema de Pitágoras

27. El teorema de Pitágoras permite hallar longitudes de catetos en triángulos:

a) Oblicuángulos. b) Rectángulos y oblicuángulos. c) Rectángulos. d) Donde sólo conozcamos los ángulos

internos. 28. El teorema del seno está descrito por la siguiente expresión:

a) b)

c)

d) 29. El teorema de coseno está descrito por la siguiente expresión:

a) a2 + b2 = c2. b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α. c)

d) cos2 a = 1 – sin2 a.

30. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. La anterior afirmación se cumple en:

a) Triángulos rectángulos. b) Triángulos rectángulos y oblicuángulos. c) Triángulos oblicuángulos. d) Ningún triángulo.

95

31. La identidad trigonométrica para el seno de ángulos dobles está descrita por la siguiente expresión: a) Sin2 a= 1 – cos2 a. b) sin 2a = 2sin a cos a. c) sin 2a = 2 cos2 a – 1. d) cos 2a = 2 sin a cos a. 32. Para trazar la gráfica de una función lineal basta conocer la información de sólo dos puntos (parejas ordenadas). La pendiente de esa recta se halla de la siguiente forma:

a) b) c) d) 33. En la gráfica de una función lineal la pendiente mayor que cero indica que la función es:

a) Creciente. b) Decreciente. c) Constante. d) No es función.

34. En la gráfica de una función lineal la pendiente menor que cero indica que la función es:

a) Creciente. b) Decreciente. c) Constante. d) No es función.

35. Una función lineal se caracteriza por tener: a) Dos puntos de corte con el eje x. b) Ningún punto de corte con el eje x. c) Un punto de corte con el eje x. d) Tres puntos de corte con el eje x.

36. Para empacar artículos, una empresa construye cajas de forma cúbica, de cartón con tapa y de arista x, usando el siguiente diseño:

La expresión que permite determinar la mínima cantidad de material requerido para la construcción de cada caja es:

a) 6x2 + 7x b) 6x2 + 7 c) 3x (x + 2)2 + 3x2 d) 3 (x + 2)2 + 3x2

37. Para empacar dos artículos en la misma caja se requiere dividirla en dos compartimentos

iguales con una lámina de cartón, como se indica en la figura: El área de la lámina divisoria, en unidades cuadradas está

representada por la expresión: a) x2 b) 2x2 c) √2x2 d) 2√2x2. 38. Para empacar y proteger un artículo, la empresa coloca una lámina delgada de forma triangular dentro de la caja como se ilustra a continuación: El siguiente dibujo representa el diseño de una piscina para niños que se quiere construir en un centro vacacional:

39. Para recubrir el interior de la piscina con tel a asfáltica, el constructor pide 30m 2. Esta cantidad de material:

a) No es suficiente porque faltaría aproximadamente 7 m2.

b) Es suficiente porque son aproximadamente 25 m2.

c) No es suficiente porque faltarían aproximadamente 14 m2.

d) Es suficiente y sobrarían aproximadamente 25 m2.

96

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modulo matemÁtica v grado decimo

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