“Educación Matemática1”

Este material está destinado para que tú como Monitor Ayudante de Sala puedas apoyar el proceso de aprendizajes de los niños en primer año básico con los que trabajas.

Para esto es necesario centrarnos en la obtención de aprendizajes significativos, o sea, en que los propios estudiantes construyan a través de sus experiencias nuevos conocimientos, sobre la base de sus conocimientos previos.

Nos centraremos en la resolución de problemas, generando de esta manera lo que denominaremos matematización, concepto que se refiere a la capacidad de trasladar los problemas cotidianos al mundo matemático, y de esta manera aplicar modelos matemáticos apropiados para el problema, una vez obtenida la respuesta matemática será necesario trasladar ésta al mundo real, ya que la respuesta matemática no es necesariamente la respuesta correcta para el problema cotidiano. Con este proceso, se comenzarán a desarrollar las competencias matemáticas de los estudiantes, y de esta manera les estaremos entregando la oportunidad de utilizar la matemática y construir sus propios conocimientos de manera adecuada.

Resolución de Problemas.

Todo lo que ha planteado en los ejes anteriores, debe ser aplicado a través de la resolución de problemas. Tal como se plantea en el currículum nacional el eje de resolución de problemas debe ser considerado como la base de todos los ejes anteriores, es transversal y es sobre el cual los estudiantes desarrollan de mejor manera las competencias matemáticas que luego les servirán para desenvolverse de manera optima en el mundo de hoy. Para esto debemos plantear a los estudiantes problemas contextualizados dependiendo del lugar geográfico, la cultura reinante en el lugar y por sobre todas las cosas las experiencias previas que estos han tenido o tienen fuera de la escuela. De esta manera, los estudiantes podrán generar aprendizajes ligados a sus experiencias de vida, lo cual los harán significativos y duraderos en el tiempo, y no sólo memorizaciones sin sentido. Los guías de dicho aprendizaje deben enfocarse en desarrollar en los estudiantes diferentes competencias matemáticas que pueden resumiese de la siguiente manera:

Competencias cognitivas de carácter general:

1 Documento elaborado para jornadas de capacitación ayudantes de Sala por Francisca Muñoz Tralma

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1. La competencia de pensar y razonar.2. La competencia de argumentar. 3. La competencia de comunicar.

Competencias matemáticas específicas:4. La competencia de modelar.5. Plantear y resolver problemas. 6. La competencia de representar.7. La competencia de utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico en las operaciones.8. La última competencia es el empleo de soportes y herramientas.

Y cada una de ellos puede ser desarrollada en los siguientes niveles: Reproducción: se encuentran principalmente los ejercicios que son relativamente familiares a los estudiantes y que implican básicamente repetir los conocimientos ya practicados.Conexión: lo que se busca es que se resuelvan problemas no rutinarios, adecuando el conocimiento antes adquirido.Reflexión: los estudiantes requieren mayor capacidad de interpretación y requieren establecer relaciones entre distintas representaciones de una misma situación, o enlazar diferentes aspectos con el fin de alcanzar una solución, en situaciones que no se apreciaban en el primer nivel.

La manera apropiada planteada por estudios como “Proyecto PISA”, de desarrollar dichas competencias en los estudiantes es a través de la resolución de problemas, planteados en un contexto cercano y pertinente para los estudiantes. Cuando una persona se enfrenta un problema existe una prima instancia en la que ella debe notar que está frente a un problema, cualquier desafío podría ser considerado como uno. En este punto es en donde muchos educadores fallan a la hora de enfrentar este proceso, porque no plantean desafíos, muchas veces las actividades se sitúan tan cerca de las capacidades de los estudiantes que se tornan aburridas y poco atractivas para ellas, en otras ocasiones están tan lejos de sus capacidades que ellos no logran ni un acercamiento frustrándose con facilidad. Es necesario entonces, encontrar el punto medio a la hora de plantear un problema, no muy fácil que sea aburrido, y no muy difícil que sea inalcanzable, generalmente ocurre que si se hace una buena pregunta se obtiene una buena respuesta.Una vez enfrentados a un desafío, el estudiante identificará el problema, lo comprenderá, ubicando la incógnita, elaborará una manera de solucionarlo, encontrando un modelo matemático apropiado, durante esta etapa el estudiante desarrollará su sentido de la heurística, ya que deberá prever con cual logrará un mejor resultado, lo aplicará y verificará, para finalmente responder dicho problema en la realidad. De esta manera, los estudiantes aprenderán a trasladar problemas cotidianos al mundo de las matemáticas, y esto implica pensar en cual es el mejor modelo para solucionarlos y trasladar la respuesta matemática a una respuesta para el mundo real.La matemática se transforma, de un subsector sin sentido, obligatorio y poco atractivo, a un conocimiento indispensable, útil y al servicio del estudiante, relacionado de manera directa con la realidad.

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A la hora de resolver un problema, los estudiantes deben realizar diferentes acciones que les permitan llegar a una solución, existen muchas sugerencias sobre las etapas que debería seguir cada persona para lograrlo, pero nos centraremos en las que tienen mayores puntos en común.En esta primera etapa nos centramos principalmente en el desarrollo del concepto de número, el sistema decimal, las operaciones de adición y sustracción, la ubicación y orientación, y la distinción de figuras en el mundo real relacionándolas con formas geométricas, es necesaria la utilización de material concreto y una clara formulación de los problemas. Situación que podrá observarse al momento de avanzar en cada uno de los ejes.

Construcción del concepto de número.

Para esto es importante comenzar con las experiencias previas que han tenido los estudiantes, ¿Dónde los han visto? ¿Por qué los utilizaron? Etc.Que comiencen a ligar la simbología con las cantidades, ubicaciones o identificaciones, dependiendo de la situación en la cual se encuentren. Los números naturales deberán ser trabajados tomando sus cualidades principales, son infinitos, su orden les da un antecesor y sucesor, menos el “0”, existen pares e impares y el valor de posición.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Decenas= 20 Unidad= 4 El valor de posición y el sistema de numeración con base 10, son conceptos que deben estar constantemente trabajando. En donde la descomposición es un buen método. Con los pequeños trabajar con bloques concretos este concepto es una buena manera de que comprendan la formación de nuestro sistema decimal.

Las nociones base para la construcción del concepto número son; “…la conservación de cantidad, la correspondencia, la clasificación, la seriación, la inclusión de la parte en el todo y la reversibilidad”2

Conservación de cantidad

2 L. Dallura, La Matemática y su didáctica en el Primero y el Segundo Ciclos de la E.G.B., Pág. 40.

2 4D U

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En este caso es necesario que el niño comprenda que lo único que puede variar la cantidad de elementos es, si se le quita o se le agrega al conjunto, ejemplo:

¿Dónde hay más estrellas?

4 4

En este ejemplo lo principal es mostrar a los estudiantes que la cantidad no se relaciona con la posición de los objetos, su longitud, etc. Y la cantidad sólo puede ser modificada con la acción de agregar o quitar, acción que es reversible.

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Ambas actividades son posibles desarrollar con material concreto como cubos, balones, con los mismos estudiantes, etc. Ejemplo;

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Juego de agrupamiento:

Los estudiantes se dispersan por la sala o el patio sin dirección laguna, pueden ir realizando imitaciones de animales como condición que pueden ir variando según lo pida el educador (saltando como conejo- como rana- como perro- como pato, etc.) y cada cierto tiempo, un par de minutos, le les dirá grupos de cinco, y los estudiantes que queden fuera de los grupos irán retirándose y podrán fiscalizar el actuar de los que siguen en competencia, y dar números para que se agrupen sus compañeros. La correspondenciaSe refiere a comparar término a término y de esta manera podemos compara dos colecciones y saber así sin la necesidad de contar la cantidad de un conjunto.

Clasificación y seriaciónSe clasifican objetos por sus similitudes o diferencias, y se unen o se separan según sea el caso.

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Estas actividades se pueden realizar, con material concreto o con fichas que contengan los dibujos, de esta manera los niños podrán manipular y jugar con sus compañeros, compartiendo opiniones. Ejemplo:

Memorice:

Reversibilidad del pensamientoSe refiere a la capacidad de resolver un problema de diferentes formas.La reversibilidad por inversión, es la capacidad de distinguir acciones u operaciones inversas (adición-sustracción).

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En este caso el estudiante debe juntar las láminas por su cantidad y por su relación. Ganará el niño con mayor cantidad de pares cuando ya no quede ninguno.

La reversibilidad por reciprocidad, se refiere a concluir a partir de información conocida, como por ejemplo;

Si Ana es mayor que Silvia, entonces Silvia es menor que Ana.

Transitividad: las relaciones anteriores dan origen a esta propiedad que se puede ejemplificar como:

A B; B C A C.

Los números nos permiten: saber cantidades y recordarlas, comparar diferentes conjuntos y relacionarlos, asignar posiciones (1º, 2º, 3º, etc.), distinguir objetos, personas, etc. (rut.- patente- número de casa- número de teléfono, etc.), y saber que ocurrirá si se realiza una acción, antes de hacerla, si no es posible hacer la acción se opera con números y modelos matemáticos (desarrollo de la heurística). De esta manera los niños podrán plantear hipótesis sobre que ocurre si se le da o se le quita un objeto a un conjunto.

El conteo.

Podemos plantear que la técnica de contar ha dado origen al concepto de número y a la Aritmética. Surge ligada a la necesidad de:

• Comunicar información sobre el tamaño, o sea, la cantidad de objetos (cardinal).• Indicar el lugar que ocupa o debe ocupar un objeto dentro de un conjunto ordenado de objetos (ordinal).En el caso de la técnica de contar para obtener cardinales los principios son los siguientes:• Orden estable, las palabras numéricas uno, dos, tres,...Deben recitarse siempre en el mismo orden, sin saltarse ninguna.• Correspondencia uno a uno, a cada elemento del conjunto sometido a recuento se le debe asignar una palabra numérica distinta y sólo una.• Irrelevancia del orden, el orden en que se cuentan los elementos del conjunto es irrelevante para obtener el cardinal del conjunto.• Cardinal, la palabra adjudicada al último elemento contado del conjunto representa, no sólo el ordinal de ese elemento, sino también el cardinal del conjunto.

1º árbol 2º árbol 3º árbol

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¿Cuántas manzanas ha comido la ardilla en cada árbol?

1º árbol 2º árbol 3º árbol

¿Cuántas manzanas quedan en cada árbol?

1º árbol 2º árbol 3º árbol

¿Es posible saber cuántas manzanas había antes de que la ardillita comiera? Explique ¿Cómo llegó al resultado? ¿Por qué ese es el resultado? ¿Existe otra manera de obtener la respuesta?

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1º árbol 2º árbol 3º árbol

El dominó es una buena actividad para que los estudiantes comiencen a comparar y relacionar cantidades, y esto se puede desarrollar con diferentes cantidades y figuras.

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? En el caso de la técnica de contar para obtener ordinales los principios que la dirigen son el del orden estable y el de la correspondencia uno a uno referido únicamente al propio elemento y a los anteriores a él. Aquí, el orden en que sean elegidos los elementos del conjunto para adjudicarles las palabras numéricas ya no es irrelevante de cara a la obtención del ordinal correspondiente.

…………. Cuarto 4º ………… ………….

¿En qué lugar llegará el perro café?.................................................................................

¿Qué perro obtendrá el primer lugar? ………………………………………………………..

¿Cuántos lugares tiene que avanzar el perro con manchas café para llegar primero?.....................................................................................................................

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¿Qué perro llegará en último lugar?......................................................................

¿Qué debe hacer para ganar?...........……………………………………………….

¿Qué lugar sacará el perrito blanco?....................................................................

Operaciones Aritméticas.

Dentro de los modelos matemáticos (operaciones aritméticas), la adición o suma es la primera que se asocia a la acción de contar, o sea unir, reunir, agregar, buscar un total. La expresión simbólica es:

a + b = s Total.

Sumando.

Debemos saber que siempre que se suman números Naturales, obtenemos como total, un número Natural.Es importante que los niños comiencen desde un comienzo asocien la adición y sustracción como operaciones inversas, en donde el punto en común es, que a un conjunto de elementos es posible agregar elementos o quitárselos, dependiendo de la necesidad. La expresión simbólica de la sustracción es:

m – s = d Diferencia

Minuendo. - Sustraendo.

De esta manera es posible realizar la siguiente relación entre ambas operaciones:

m – s= d siempre que d + s = m

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Gráficamente es posible apreciarlo de la siguiente manera:

Lo anterior sería igual a decir que:

6 + 7= 13 y por lo tanto 13 – 7= 6.

En este caso las acciones de los niños serían agregar y quitar, si lo observan en la recta numérica se aprecia claramente como avanzar y retroceder.

Adición 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 56 7 8 9 1

011

12 13

1415

16

17

18

19

20

Sustracción 7 6 5 4 3 2 1

La relación entre conteo, adición y sustracción es evidente, por este motivo los primeros problemas que resuelvan los estudiantes será a través del conteo y no del algoritmo o la representación simbólica de cada operación. Podemos plantear entonces que para obtener el resultado de una operación contamos con el conteo, el cálculo escrito, el cálculo mental y el uso de la calculadora.

Es importante que los niños jueguen con la relación inversa que existe entre estas dos operaciones, y por este motivo en los problemas que propongamos para el proceso de aprendizaje, la incógnita debe ir variando de ubicación.

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+ 6 = 18 18 - = 6

8 + = 24 24 - = 8

7 + 13 = 20 - 13 =

Para comprender de mejor manera que rol cumple el número en cada momento distinguiremos 3 situaciones aditivas de manera amplia, estado, transformación, comparación.

En la situación de estado los elementos en el problema son parte de un todo, ejemplo:Si pedro tiene en su bolso 5 bolitas y tiene 4 bolitas en la mano ¿Cuántas bolita

tiene en total?

En la situación de transformación el conjunto en el problema varía, ejemplo:

Si Pedro perdió 8 bolitas y tenía 16 ¿Cuántas bolitas le quedan?

En la situación de comparación es necesario compara entre dos conjuntos para obtener el resultado, ejemplo:Si yo tengo veinte años y mi hermana tiene cinco años menos, ¿Cuántos años

tiene mi hermana?

El rol que juega el número en un problema no ayudará a distinguir entre diferentes problemas que les presentemos a los estudiantes, debido a esto podemos distinguir 6 situaciones:

1. Estado – estado- estado. En este caso la incógnita (número) del problema es el total de un todo, o parte del total, ejemplo:

Ana tiene 7 muñecas de porcelana y 5 muñecas de trapo¿Cuántas muñecas tiene en Ana?

Camila tiene 18 dulces, 12 son chocolate y el resto de menta¿Cuántos dulces de menta tiene Camila?

En ambos casos los tres números (dos datos y una incógnita), pertenecen a un todo, como conjunto de muñecas y conjunto de dulces.

2. Estado- transformación- estado. En esta situación la cantidad inicial se transforma hacia un estado final, ejemplo:

Si mi papá está tercero en una fila para comprar entradas para el cine y dejó pasar adelante a cuatro amigos

¿En que lugar quedó?

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Mi mamá compró 10 chocolate me dio uno a mi, uno a mi hermano, uno a cada uno de mis amigo que eran tres

¿Cuántos chocolates le quedaron a mi mamá?

3. Estado- comparación- estado. En esta situación se compara dos estados totales, ejemplo:

Si Fernanda tiene 10 dulces, y Valeria tiene ocho dulces más que Fernanda ¿Cuántos dulces tiene Valeria?

Si Carlos tiene doce bolitas, tres más de las que tiene Diego¿Cuántas bolitas tiene Diego?

4. Transformación- transformación- transformación. En este caso todas las cantidades han sufrido un cambio, ejemplo:

José ganó cinco tarjetas, después perdió tres, ¿cuatas tarjetas ganó o perdió en total?

El equipo de fútbol de Marcelo anotó siete goles y después les anotaron nueve goles

¿Cuál fue el marcador del partido y quién ganó al término?

5. Comparación- transformación- comparación. En este caso existe una comparación inicial, una transformación de esa situación y una comparación final, ejemplo:

Pablo tiene ocho juguetes más que Emilio, luego le regalan a Emilio algunos más y ahora tiene 2 más que Pablo

¿Cuántos juguetes le regalaron a Emilio?

Andrea tiene cinco galletas más que José, a José le dan ocho más¿Quién tiene menos galletas ahora? ¿Cuántas galletas menos?

6. Comparación- comparación- comparación. En este caso existen comparaciones entre totales, ejemplo:

Carlos tiene cinco bolitas más que Camila, y Camila tiene dos bolitas más que Andrea

¿Quién tiene más bolitas Carlos o Andrea? ¿Cuántas más?

Fernanda tiene diez chocolates más que Juan, Juan tiene 12 chocolates menos que Francisca

¿Quién tiene más chocolates Fernanda o Francisca? ¿Cuántos más?

Entonces, podemos concluir que dependiendo del tipo de problema que le demos a los estudiantes, el número cumplirá diferentes funciones y por ende, los estudiantes realizará diferentes procesos para resolverlos.

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Forma y Espacio.

En primera instancia los niños deben construir el concepto de espacio, y este concepto se construye en tres etapas:

1. Exploración. En esta etapa guiamos a los niños hacia nociones espaciales simples, como la orientación (arriba, encima, abajo, debajo, delante de, al fondo, antes de, después de, izquierda, derecha, al centro, etc.) el lugar (dentro, perímetro, contorno, exterior, etc.) la distancia (cerca, aquí, allí, lejos, etc.) la longitud (largo, corto, alto, ancho, etc.) las formas geométricas (redondo, cuadrado, etc.)

En esta etapa, las actividades que se pueden realizar para fortalecer estas nociones en los estudiantes pueden variadas y divertidas, ejemplo:Se establece una frontera (una línea que cruce el suelo, pude ser con cinta adhesiva) y se les pide a los estudiantes que en fila se coloquen detrás de la frontera, entonces donde los estudiantes estén será dentro, la línea será la frontera, y al otro lado de la línea será afuera. , entonces los estudiantes deben saltar a la zona que la educadora diga, puede ir diciéndolo en el orden que ella desee y a la velocidad que ella estime conveniente. Los estudiantes que se equivoquen o que se retracen deberán ir saliendo y podrán colaborar ya sea con las instrucciones o con al fiscalización de sus otros compañeros. Esta actividad puede variarse dependiendo de lo necesitemos conseguir. Arriba.

Dentro. Frontera. Fuera. Abajo.

Atrás. Perímetro. Adelante.

Cerca. Lejos.

Cerca de la pelota….lejos de la pelota

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Lo mismo podemos lograr con las figuras geométricas, pedirle a los estudiantes que se trasladen de una a otra, y el último en llegar a cada una de ellas deberá salir del juego. En este caso podemos combinar las indicaciones como; al perímetro del triángulo, dentro del cuadrado, cerca del círculo, etc. Para jugar con diferentes indicaciones y que los estudiantes sean los que comiencen a realizarlas, una buena alternativa es colocarlos en pareja, uno de los que componen la pareja deberá cubrir sus ojos y el otro compañero deberá guiarlo con indicaciones verbalizadas, hasta cumplir un circuito, las parejas que lleguen primero serán las ganadoras, luego deben turnar los roles.

2. Organización. En esta etapa, los estudiantes deben comenzar a relacionar las figuras y los cuerpos geométricos con lo que observan en la realidad, estableciendo patrones entre ellos. Se comienza observando cuerpos con los cuales interactuamos cotidianamente, como el armario, la mesa, etc. Los cuerpos geométricos tiene tres dimensiones: largo, ancho y espesor, las fronteras de estos serían sus caras y es posible hacer una primera y gran diferencia, los cuerpos con superficie plana y los cuerpos con superficie curva.

Cuerpos poliedros: Cuerpos redondos:

Podemos entregarles a los estudiantes diferentes cuerpos geométricos para que los manipulen, de esta manera que observen sus similitudes, sus diferencias, sus características, que los agrupen según cierta característica y que los comparen con objetos con los cuales tienen contacto generalmente.

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De esta manera comenzamos a mostrar a los niños las caras, vértices y las aristas o lados.

Vértice. Lados o aristas. Caras.

Los niños pueden colorear e indicar las caras, vértices y aristas. Una buena forma de que distingan entre ellas es trabara en su creación, ya sea con papel, palitos de fósforo, pajitas, etc. Por ejemplo, en las figuras geométricas se les puede dar los niños un papel con una forma no definida y pedirles mediante pliegues que desarrollen diferentes figuras que se les pidan.

Y con los cuerpos geométricos podemos trabajar a partir de redes, en primera instancias se la podemos entregar hechas y que los niños descubran que cuerpo representan y las armen, y después ellos pueden crear sus propias redes.

Tetraedro. Cubo. Octaedro. Dodecaedro. A medida que se trabaja con este material concreto es posible ir interiorizando en el estudiantes el concepto de ángulo, cuando describan su trabajo, y de esta manera seguir ampliando el lenguaje matemático.

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3. Sistematización. Esta etapa se desarrolla cuando los niños son más grandes, entre los 11 y los 12 años aproximadamente, ya que en el se necesita una capacidad de abstracción mayor, las representaciones se logran realizar sólo gráficamente y se desarrolla el concepto de proporcionalidad, el espacio es completamente abstracto y el lenguaje matemático es más amplio y preciso.

Sugerencias: Debo señalar que los ejes temáticos expuestos en este texto, pueden ser trabajados en forma conjunta, de esta manera el niños comprenderá que cada uno de ellos forma parte de un todo “La Matemática”, y además es necesario recordar que esta área de conocimiento está ligada a las demás, como son el subsector de “Comprensión del medio natural y social”, “Lenguaje y Comunicación”, “Arte”, etc. y de esta manera contribuiremos a un desarrollo integral en el estudiantes.Existen diferentes formas de ligar estas áreas, ya sea en una dramatización o cuento que posea características de todas ellas, pero para esto es necesario tener un conocimiento acabado de los procesos por los cuales los estudiantes pasan en cada uno de ellos, que aprendizajes se están promoviendo en cada subsector, y como contribuiremos a fortalecerlos o guiarlos en las diferentes actividades. Por ejemplo, en el aprendizaje de la música es necesario comprender conceptos matemáticos como las fracciones y la división para poder leer partituras, o podemos promover estos aprendizajes a partir de esta área. Lo mismo ocurre en comprensión del medio natural, a la hora de estudiar la densidad de un elemento, o las características de la materia. En el caso de lenguaje y comunicación tenemos una dependencia a la hora de comprender los problemas que se pueden plantear, la comprensión oral y de lectura, así como la expresión escrita y oral, son una parte esencial para llevar a cabo esta actividad. Por estas razones y muchas otras, es que debemos hacer de las matemáticas un subsector útil, ligado a los demás subsectores y cercano a la realidad de los estudiantes, la matemática se convertirá de esta manera en lago más que las horas de clases para los estudiantes y los educadores podrán lograr mejor aprendizajes y más significativos en los niños.

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