módulo matemáticas-grado séptimo

Módulo Matemáticas-grado Séptimo Docente: María Offir Marulanda Hoyos

ÁREA DE MATEMÁTICAS

GRADO SÉPTIMO

DOCENTE: MARÍA OFFIR MARULANDA HOYOS

PARA LEVANTAR EL TROFEO NECESITAMOS: DISCIPLINA + DEDICACIÓN + DESEO

€.

MÓDULO DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS

INSTITUCIÓN EDUCATIVA AQUILINO BEDOYA

ESTUDIANTE

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MÓDULO DE ENSEÑANZA DE MATEMÁTICASENERO09 DE 2008

Rev. Nº 4

1. ESTÁNDARES.

1.1. ESTÁNDARES DE LA ASIGNATURA.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medidas.

Justifico procedimientos aritméticos, utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones.

Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o la radicación. Establezco el valor absoluto de un número.

Pensamiento espacial y sistemas geométricos

Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación

cartesiana y geográfica. Clasifico polígonos en relación con sus propiedades.

Pensamiento métrico y sistemas de medidas

Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con medidas dadas.

Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos. Identifico relaciones entre unidades para medir diferentes magnitudes.

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos estadísticos

Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación. Uso representaciones gráficas adecuadas para representar diversos tipos de datos

(diagramas de barras, diagramas circulares). Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar el

comportamiento de un conjunto de datos.

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Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas, diagramas de barras, diagramas circulares.

1.2. ESTÁNDARES DE COMPETENCIAS CIUDADANAS.

1.2. ESTÁNDARES DE COMPETENCIAS CIUDADANAS. Es atento y respetuoso ante la intervención de las demás personas. Solicita con respeto atención y colaboración por parte de los demás miembros de la

comunidad. Se reconoce como una persona de bien, de comportamientos y decisiones racionales. Es solidario y prestante con sus compañeros y demás miembros de la comunidad.

1.3. ESTANDARES LABORALES

Establece juicios argumentados y define acciones adecuadas para resolver una situación determinada.

Cambia y transforma procesos con métodos y enfoques innovadores. Observa, descubre y analiza críticamente deficiencias en distintas situaciones para definir

alternativas e implementar soluciones acertadas y oportunas.

2. COMPETENCIAS.

2.1 COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA.

2.1.1. Interpretativa

Reconocer los diferentes métodos usados para solucionar situaciones algorítmicas. Comprender los conceptos estudiados en cada conjunto numérico y relacionarlos con

situaciones reales. Determinar si las soluciones que resultan al resolver algoritmos y problemas tienen sentido

en los contextos cotidianos que han sido planteados.

: 2.1.2. Argumentativa

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Justificar, utilizando modelos matemáticos, las soluciones planteadas a diferentes problemas.

Escribir en forma coherente, clara y concreta las conclusiones de un hecho real en el cual se han usado algoritmos y conceptos matemáticos

2.1.3. Propositiva

Utilizar los conceptos matemáticos para plantear y resolver problemas en contextos cotidianos.

Inventar situaciones en las cuales tiene sentido proponer y solucionar conceptos matemáticos.

Aplicar los conceptos, algoritmos y representaciones aprendidos en estadística y probabilidad en la solución de de situaciones de contexto real.

2.2. COMPETENCIAS CIUDADANAS.

Participar de manera activa y racional frente a las decisiones de carácter grupal e individual. Resolver conflictos de manera pacifica y constructiva. Comunicar sus ideas de manera abierta al cambio y asertiva.

2.3. COMPETENCIAS LABORALES.

Identificar las situaciones cercanas a su entorno (casa, barrio, colegio) que tienen diferentes modos de resolverse.

Escuchar la información, opinión y argumentos de otros sobre una situación. Reconocer las posibles formas de enfrentar una situación. Seleccionar una de las formas de actuar posibles. Asumir las consecuencias de sus decisiones. Observar una situación cercana a mi entorno (casa, barrio, colegio) y registrar información

para describirla. Analizar las situaciones desde distintos puntos de vista (padres, amigos, personas

conocidas, entre otras). Identificar los elementos que pueden mejorar una situación dada.

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Inventar nuevas formas de hacer cosas cotidianas. Analizar los cambios que se producen al hacer las cosas de manera diferente.

3. LOGROS

COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES*identifica las características del conjunto de los números enteros

* Reconoce las características de los números racionales.

*reconoce las características generales de los polígonos

*Relaciona diferentes tipos de gráficos

*Resuelve situaciones que involucren operaciones básicas con números enteros

*Resuelve situaciones que involucren operaciones básicas con números racionales

* Realiza problemas donde se involucren las unidades de medida con las figuras geométricas

*Realiza estudios estadísticos a una determinada situación problema

*Demuestra una adecuada actitud de escucha durante las explicaciones.

*cumple a cabalidad con las actividades propuestas.

*Trae los materiales necesarios para trabajar en clase

*Participa activamente en el desarrollo de la clase

El camión de basura (reflexionemos)

¿Con qué frecuencia permites que la estupidez y la insensatez de otras personas cambien tu estado de ánimo? ¿Te enfadas cuando otro conductor comete un error de transito, un empleado te trata

Pienso en lo grande que puedo ser, como resultado de un creador perfecto, que

todo lo que hace es a su imagen y semejanza.

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irrespetuosamente, cuando alguien se burla de ti, o un jefe te exige injustificadamente más trabajo de lo que te corresponde hacer?Hace varios años, como de costumbre subí a un taxi para ir a mi trabajo, habíamos entablado una conversación con el conductor y de repente, sin saber por qué otro automóvil, se cruzó tan bruscamente, que para no causar una tragedia, el conductor del taxi tuvo que girar el auto y frenar súbitamente.Milagrosamente no ocurrió nada, pero el conductor del vehículo que había cometido la imprudencia, se bajo bruscamente de su auto y comenzó a gritar e insultar al taxista.El taxista, a pesar de lo injusto de la situación, sonrió, levantó su mano y lo saludo muy amablemente diciéndole lo siento, que Dios le bendiga y que tenga un buen día y luego sin decir nada más retomó la marcha.Sorprendido por esta actitud, le pregunte: -Porque le ha respondido así, esa persona por poco destruye su automóvil y además casi nos envía a los dos al hospital.Entonces el taxista me dio una lección que jamás olvidaré, me dijo: -Muchas personas son como el camión de la basura. Están cargados de enojo, odio, frustración, resentimiento... y ante cualquier situación aprovechan para descargarla.-Pero, porque lo hacen ante una situación como esta, si usted no le ofendió y solo fue su culpa.-Lo hacen ante la primera oportunidad, porque necesitan eliminar de su interior toda la basura acumulada, porque ya no hay lugar para más.Desde aquel día no he vuelto a permitir que los camiones de basura, tomen el control de mis sentimientos y mucho menos de mis reacciones.Aprendí, que sonreírles a los insatisfechos, malhumorados y frustrados es la mejor medicina que puede ayudarles a cambiar su perspectiva de la vida.“Sé amable con las personas alteradas y entiende que están librando su propia batalla. Pero asegúrate de no ser tú, el lugar en el que descargan toda su basura. Tú no eres un basurero”

4. PRUEBA DIAGNÓSTICA

Fecha Propuesta De La Actividad : Día ____ Mes ____ Año ____ Hora ____Fecha De Entrega De La Actividad : Día ____ Mes ____ Año ____ Hora ____

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5. UNIDAD DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE Y EVALUACION Nº 1

5.1. NÚMEROS ENTEROS

Duración: Entre __________________ Y __________________

5.2 TABLA DE LOGROS

COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALESResuelve operaciones de adición y sustracción entre números enteros.

Comprende los pasos del proceso de resolución de problemas.

Resuelve situaciones problemáticas con números enteros.

Aplica propiedades de las operaciones y relaciones entre números enteros.

Cumple a cabalidad con las actividades propuestas.

Manifiesta sentido de pertenencia por la institución.

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5.3 CONTENIDOS:

5.3.1 Conceptos de número entero5.3.2 El conjunto de los números enteros5.3.3 Representación de los números enteros en la recta5.3.4 Valor absoluto de un número5.3.5 Orden en el conjunto de los números enteros5.3.6 Adición y sustracción de números enteros 5.3.7 Multiplicación de números enteros 5.3.8 División de números enteros5.3.9 Polinomios con números enteros5.3.10 Potenciación de números enteros; propiedades5.3.11 Radicación de números enteros; propiedades

NÚMEROS ENTEROS

Los números no positivos aparecieron por primera vez en la India; en el libro de Brahmagupta (matemático hindú), en el año 628 de nuestra era. En él, se distingue entre “bienes”, “deudas” y la “nada”. Es decir, los números positivos, los números negativos y el cero. Los hindúes representaban los números negativos poniendo un punto encima de las cifras.

Más tarde; los chinos utilizaron los números negativos pero los diferenciaban de los positivos escribiéndolos de otra forma. Por ejemplo; escribían los números negativos de color rojo en contraposición a los positivos que aparecían de color rojo. De ahí viene la expresión “estar en números rojos”, es decir, tener deudas..

En cursos anteriores se hizo un estudio detallado del conjunto de los números naturales, sus elementos, las diferentes relaciones y las operaciones que se definen entre ellas.Esta unidad estará dedicada a trabajar en torno a otro de los conjuntos numéricos, el de los números enteros.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Los números positivos {+1 ,+2 ,+3 ,+4 ,+5 ,…. }, se llaman enteros positivos y se representan con el símbolo Z+¿¿.

Z+¿={+1 ,+2 ,+3 ,+4 ,+5 ,…. }¿

Los números negativos {…,−5 ,−4 ,−3 ,−2 ,−1 } son llamados enteros negativos y se representan con el símbolo Z−¿¿.

Z−¿={…,−5 ,−4 ,−3 ,−2 ,−1}¿

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El número 0 pertenece al conjunto de los números enteros y es el único que no se considera ni positivo ni negativo.

…,−5 ,−4 ,−3 ,−2 ,−1

…,−5 ,−4 ,−3 ,−2 ,−1

Los números negativos se usan en muchas situaciones cotidianas. Usted seguramente habrá oído expresiones como 3 grados centígrados bajo cero cuando se habla de temperatura, 200 metros bajo el nivel del mar cuando se habla de la profundidad de una mina, o números rojos cuando se habla de contabilidad.

Todas esas expresiones hacen referencia a números negativos.Un número natural y su correspondiente negativo son simétricos con respecto al cero: están a la misma distancia del cero.

A esa distancia le llamamos valor absoluto del número y la representamos poniendo el número entre barras. Por ejemplo: |–384| = 384 y |384| = 384Estas expresiones se leen: “el valor absoluto de menos 384 es 384” y “el valor absoluto de 384 es 384”. Observe que el valor absoluto siempre es positivo porque es una distancia.

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

En una rec ta hor izon ta l , se toma un punto cua lqu ie ra que se seña la como cero .

A su derecha y a d is tanc ias igua les se van seña lando los números pos i t i vos : 1 , 2 , 3 , . . .

A la i zqu ie rda de l cero y a d is tanc ias igua les que las an ter io res , se van seña lando los números negat ivos : − 1 , −2 , −3 , . . .

El conjunto de los números enteros está formado por los enteros negativos, el cero y los enteros positivos.Así, se tiene que

Z={…,−5 ,−4 ,−3 ,−2 ,−1,0 ,1,2 ,3 ,4 ,5 ,…. }

Z=Z−¿∪ {0 }∪ Z+¿¿ ¿

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ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS

Los números en teros es tán ordenados. De dos números representados grá f i camente , es mayor a l que é l es tá s i tuado más a la derecha , y menor e l s i tuado más a la i zqu ie rda .

CRITERIOS PARA ORDENAR LOS NÚMEROS ENTEROS

1. Todo número negat ivo es menor que cero .

−7 < 0

2. Todo número pos i t i vo es mayor que cero .

7 > 0

3. De dos en teros negat ivos es mayor e l que t iene menor va lo r abso lu to .

−7 > −10 |−7 | < |−10 |

4. De los en teros pos i t i vos , es mayor e l que t iene mayor va lo r abso lu to .

10 > 7 |10 | > |7 |

Actividad de apropiación

1. Escribe mayor o menor según corresponda

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7 ----- 5 4 ----- 3

8 ----- 5

2001 ----- 1987

2485 ----- 1254

2. Dibuje sobre la línea una recta numérica y represente el valor absoluto de –3 y el valor absoluto de 3:

Recuerde que: |–3|=3 y |3|=3

3. En cada inciso ordene los números de menor a mayor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda:

a) 2 1 4 –1 –8 –2

b) 63 47 89, –83 –85 –64

c) 286 884 –572 –433 102 -45

d) 7525 2996 6477 –6214 –8357 –3234

4. En cada inciso ordene los números de mayor a menor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda:

a) 40 –32 28 –15 77 0

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b) 3 5 –9 –2 7 18

c) 3241 –5008 2116 999 –8, 76 5,3

5. Encuentre el valor absoluto de los siguientes números:

a) |186| b) |– 30| c) |60| d)|−289|

e) |– 724| f) |320| g)|– 109| i)|5|

6. Encuentre todos los números enteros que son:

a) mayores o iguales que 23 y menores que 32

b) mayores que 0 y menores o iguales que 13

c) mayores que –2 y menores que 3

d) mayores que –7 y menores que –1

7. Ubique los siguientes valores en la recta numérica

a) los números 0, 10, –10, 20, –20, 30 y –30

b) los números –27, –28, –29, –30, –31

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c) Los números 0, –1, –2, –3, –4, 1, 2, 3, 4

8. Resuelve las siguientes situaciones utilizando el concepto de número entero.

a) El lunes, Salomé debía en la tienda de la esquina $4500, El viernes siguiente debía $3450. ¿Mejoró o empeoró su situación?

b) En Bogotá, el día 19 de enero estaban a 5º bajo cero, y el 20 del mismo mes estaban a 7º bajo cero. ¿Qué día fue más alta la temperatura?

c) El buzo A baja a 70 metros bajo el nivel del mar, y el buzo B baja a 81 metros bajo el nivel del mar. ¿Cuál de los dos está más cerca de la superficie?

d) El saldo de la empresa “LEYMA, S.A.” es de $12 807 en números rojos, y el de la empresa “Marulo, S.A.” es de 6 014 en números negros. ¿Cuál de las dos está en mejor situación? (utilizando el concepto de ganancia y pérdida)

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Valoración Firma Del(a) Estudiante

¡EXPRÉSATE! Pinta sobre la madera un grafiti

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Si los sumandos son del mismo s igno, se suman los va lores absolutos y a l resul tado se le pone e l s igno común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = −8

Si los sumandos son de d ist in to s igno, se restan los va lores absolutos (a l mayor le restamos e l menor) y a l resul tado se le pone e l s igno del número de mayor va lor absoluto .

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = −2

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PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

1. In terna :

E l resu l tado de sumar dos números en teros es o t ro número en tero .

a + b

3 + (−5)

2. Asociat iva :

E l modo de agrupar los sumandos no var ía e l resu l tado.

(a + b) + c = a + (b + c )

(2 + 3 ) + (−5) = 2 + [3 + (−5) ]

5 − 5 = 2 + (−2)

0 = 0

3. Conmutat iva :

E l o rden de los sumandos no var ía la suma.

a + b = b + a

2 + (−5) = (−5) + 2

−3 = −3

4. E lemento neutro :

E l 0 es e l e lemento neut ro de la suma porque todo número sumado con é l da e l m ismo número .

a + 0 = a

(−5) + 0 = −5

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5. E lemento opuesto

Dos números son opues tos s i a l sumar los ob tenemos como resu l tado e l cero .

a + ( -a ) = 0

5 + (−5) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual a l mismo número.

−(−5) = 5

La resta de números enteros se obt iene sumando a l minuendo e l opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

PROPIEDADES DE LA RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

1. In terna :

La resta dos números enteros es o t ro número entero .

a − b

10 − (−5)

2. No es Conmutat iva :

a − b ≠ b − a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Actividades de aplicación

1. Resuelva las siguientes operaciones

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13 – 386 = 103 – 505 =

265 – 1571 = 168 – 925 =

1397 – 6998 = 635 – 661 =

287 – 740 = 4481 – 6248 =

561 – 870 = 81 – 99 =

50 – 566 = 4366 – 73637 =

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2. Utiliza la ley de signos para resolver los siguientes ejercicios

a) –32 + (–4) = b) –60 + (–42) + (–71)

c) –906 + (–826) + (–672) + (–217) = d) –784 + (–64) + (–4101) + (–149) =

3. Haga las siguientes sumas de números enteros: RECUERDE QUE NÚMEROS CON IGUAL SIGNO SE SUMAN; Y AL RESULTADO SE LE COLOCA EL MISMO SIGNO

- 6291 - 15847 - 6874+ + + - 8497 - 65841 - 5412

6780 - 64587 - 32657+ + + 5845 25487 10201

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- 587 - 698 - 695 + + - 658 - 658 - 987

g) +527 + (–261) = i) +825 + (–67) =

h) –504 + (+480) = j) –658 + (+861) =

4. Desarrolla las siguientes sumas de números enteros:

a) –27 + (–19) + (+31) + (12) b) +82 + (–7) + (+5) + (–2) + (–13)

c) –608 + (+102) + (–327) + (+14) + (–1006) d) –248 + (–624) + (–26) + (+879)

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Realiza un mapa conceptual de lo que has aprendido hasta el momento

Escribe en el recuadro cuales han sido tus aportes al desarrollo de la clase

PROFUNDIZACIÓN

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EFECTOS DE LA AUSENCIA DE CARICIAS

El hambre de caricias no espera. El niño que somos durante toda la vida, necesita sentir y saber satisfecha, razonable y establemente, su insaciable HAMBRE DE CARICIAS. Entre los efectos

más frecuentes de la privación de caricias encontramos:

1) Disminución de oxígeno en la sangre.2) Disminución o aumento exagerados del apetito.3) Debilitamiento del sistema inmunológico.4) Lentitud del tono muscular.

5) Tendencia a sufrir accidentes.6) Enfermedades de diversa índole.7) Desnutrición general.8) Abulia depresión e ideas de suicidio.9) Anemia y falta de capacidad para rechazar infecciones orgánicas.10) Juegos psicológicos mortales.11) Depresión o psicosis agudas.12) La muerte.


1. Hacer las siguientes restas de números enteros:

- 12321 - 2345 - 556

- 15487 - 9422 - 353

- 15487 - 9422 - 353

- 15321 - 2945 - 956

g) +119 – (–749) = i) +983 – (–54) =

h) –7702 – (+837) = j) –714 – (+608) =

Actividad de aplicación

2. Santiago le debe $12 500 a Camila y $13 000 a Miguel. La próxima quincena recibirá $78 000 y piensa pagarles.

a) ¿Cuánto debe pagar por sus deudas?

b) ¿Con cuánto dinero se quedará Santiago la próxima quincena?

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3. Camilo registra cada noche los ingresos y egresos que tuvo ese día en su tiendita. En la tabla que se muestra a continuación aparecen los datos que anotó la última semana.

4. Resuelve los siguientes ítems:

a) Complete la tabla anotando el saldo correspondiente a cada día y el que se va acumulando al agregárselo al del día anterior.

b) ¿Con qué saldo quedó Camilo el martes por la noche?

c) ¿Qué día doña Camilo comenzó a tener un saldo positivo?

d) ¿Cuánto pagó Camilo esa semana?

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e) Según Camilo, la semana anterior a la que se muestra obtuvo $150 más de saldo, aunque tuvo que pagar 85 pesos más. ¿Cuáles fueron en total la entrada y la salida de esa semana?

5. En la siguiente tabla se muestran las temperaturas observadas en algunas ciudades a las 7, 15 y 22 horas del 11 día de enero de este año. Considere la información de la tabla para responder las preguntas que se hacen a continuación.

Ciudad 7 horas 15 horas 22 horasBogotá -3o 7o -2o

Pasto -4o 0o -1o

Pereira 6o 20o 9o

Manizales 2o 13o 4o

Cali 18o 29o 21o

a) ¿En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a las 7 de la mañana?

b) ¿En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a las 10 de la noche?

c) ¿Cuánto aumentó la temperatura en cada ciudad entre las 7 de la mañana y las 3 de la tarde?

d) ¿Cuánto disminuyó la temperatura en cada ciudad entre las 3 de la tarde y las 10 de la noche?

6. Realice las siguientes sumas

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………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7. Realice las siguientes operaciones

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Actividades de apropiación

8. Para cada una de las siguientes situaciones, resuelva el problema y represente la solución en una recta numérica.

a) El submarino amarillo llegó a -134 metros en su primera inmersión y después se desplazó -75 metros más. ¿Cuántos metros debe subir para volver a la superficie?

b) Raúl le pagó al tendero $34 500 y éste le dijo que ahora su cuenta quedaba en $78 800 ¿Cuál era el saldo de Raúl antes de hacer el pago?

c) El lunes, la temperatura en Bogotá era de 15º C, el martes descendió seis grados, el miércoles descendió otros seis grados y el jueves otros seis. Si el viernes aumentó un grado, ¿qué temperatura registraba el termómetro en Bogotá ese día?

d) Un caracol asciende por una pared de 10 metros de altura, durante el día sube tres metros y en las noches se duerme se resbala y desciende 2 metros, ¿al cabo de cuantos días logra llegar a la cima.

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La siguiente frase tiene poco sentido pero si reordenan las letras de las palabras subrayadas aparecen las capitales de cuatro países.

“SOLO SE LIBREN DE PISAR LA MORA”

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Multiplicación de enteros

Como los números naturales, los números enteros también se pueden multiplicar.

Esta operación se realiza como si se tratara de una multiplicación de naturales y el signo del resultado o producto se pone de acuerdo a la siguiente regla:

Esta regla nos dice que:

• Si se multiplican dos enteros positivos, el resultado es positivo.• Si se multiplican dos enteros negativos, el resultado también es positivo.• Si se multiplican un entero positivo y uno negativo, el resultado es negativo.

Esta regla es llamada LA LEY DE SIGNOS PARA LA MULTIPLICACION

REALIZA CON LOS SIGNOS RESPECTIVOS EL ENUNCIADO DE LA LEY DE LOS SIGNOS

ESCRIBE UNA REFLEXION PARA TU FAMILIA.

• El producto de dos números de igual signo siempre es positivo;• El producto de dos números de distinto signo siempre es negativo.

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Veamos unos ejemplos:

8 x 20 = +360 12 x (-8) = -96

Nota: En los ejemplos anteriores hemos utilizado el signo + para denotar a los enteros positivos pero en general no se escribe el signo +. Cuando un número no tiene escrito ningún signo, se entiende que se trata de un número positivo. Así, por ejemplo, podemos escribir también

(-11) x (-15) = 165.

JUEGO

PUEDES ADIVINAR EL DÍA EN QUE NACIÓ TU MEJOR AMIGO!!

VOY ADIVINAR EL DIA DE TU NACIMENTO

TIENES QUE CONCENTRARTE Y REALIZAR LAS SIGUIENTES OPERACIONES

PRIMERO MULTLIPICA POR DOS (2) EL DIA EN QUE NACISTE

Escribe una anécdota que te haga sonreír cuando la recuerdas

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AHORA SUMALE CINCO (5) AL RESULTADO ANTERIOR

LO QUE TE DÉ MULTIPLICALO POR 50

RESTALE 250 AL RESULTADO

SUMALE EL NUMERO QUE INDICA EL MES EN TUS CUMPLEAÑOS

PREGUNTALE CUANTO LE DIO?

AHORA MIRA BIEN LO QUE DICE TU COMPAÑERO

EJEMPLO SI EL TE CONTESTA 2007

PUES EL DIA DE TU CUMPLEAÑOS ES EL

20 DE JULIO, ES DECIR DIA 20 DEL MES 7

PRACTICALO ES DIVERTIDO

EL PRÍNCIPE DE LAS MATEMÁTICAS

Carl Friederich Gauss, llamado “Príncipe de las Matemáticas”, domino en el siglo XIX en matemáticas, física y astronomía. Desde niño mostró una prodigiosa habilidad con los números. A los tres años de edad, corrigió un error que su padre había cometido en el cálculo de los salarios de unos albañiles que trabajaban para él.

A los diez años, su maestro de escuela, que quería paz en clase, ordeno a los niños que sumaran todos los números del 1 al 100. El pequeño Gauss, casi inmediatamente, escribió el resultado en el tablero 5050Luego explico con mucha sabiduría como lo hizo.

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División de enteros

A partir de los ejemplos anteriores encontramos las siguientes relaciones:

Como 18 x 20 = 360, sabemos que 360 ÷ 20 = 18 y 360 ÷ 18 = 20

Como (-11) x (-15) = 165, sabemos que 165 ÷ (-15) = -11 y 165 ÷ (-11) = -15

Como 12 x (-8) = -96, sabemos que -96 ÷ (-8) = 12 y -96 ÷ 12 = -8

Como (-5) x 14 = -70, sabemos que -70 ÷ 14 = -5 y -70 ÷ (-5) = 14

Observa en estos ejemplos de divisiones, cómo son los signos del dividendo, el divisor y el cociente (o resultado de la división). La relación entre estos signos se puede expresar como sigue:

Ahora veamos otros ejemplos de división de enteros:

-105 ÷ 7 = -15 144 ÷ (-12) = -12

-256 ÷ -8 = + 32 (+320) ÷ (+32) = +10

Actividades de apropiación1. Resuelva las siguientes operaciones:

a) 10 x (-14) i) -160 ÷ 10

b) (-5) x (-8) j) -56 ÷ (-8)

c) +12 x (+3) k) 420 ÷ (-7)

• Si el dividendo tiene el mismo signo que el divisor, el cociente es positivo;• Si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo.

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d) (-11) x (+7) l) -99 ÷ (+11)

e) -360 x (-12) m) -2800 ÷ 14

f) 1278 x (-556) n) 4032 ÷ (+56)

g) -1356 x (-12) o) -2992 ÷ (-88)

h) -521 x (+15) p) 624 ÷ (-13)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. En cada uno de los siguientes incisos, indique si la operación se puede efectuar o no. Cuando se pueda efectuar, resuélvala.

a) 16 x 0 g) 0 ÷ 18

b) -1587 x 0 h) 0 ÷ (-76)

c) 0 x (-51) i) 1 ÷ 0

38


d) 0 x 1642 j) -567 ÷ 0

e) 1 x 0 k) 0 ÷ 0

f) 1 x 1 l) 1 ÷ 1

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. María se quedó sin dinero el día 22 y cobraba su próxima quincena el día 30. Cuatro amigos le prestaron $12500 cada uno, y María se terminó de gastar ese dinero el día 29.

a) ¿Cuál era el saldo de María el día 30, antes de cobrar la quincena?

b) Si el día 30 cobró $143000, ¿cuál fue su saldo después de pagar la deuda

39



ORDEN EN LAS OPERACIONES

1º . E fec tuar las operac iones en t re paréntesis , corchetes y l laves.

2º . Ca lcu la r las potencias y ra íces .

3º . E fec tuar los productos y cocientes .

4º . Rea l i zar las sumas y restas .

Operaciones combinadas

1. Sin parén tes is

1.1 Sumas y d i ferencias .

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la i zqu ie rda , vamos e fec tuando las operac iones según

aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Sumas, restas y productos .

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

Rea l izamos pr imero los productos por tener mayor pr ior idad .

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

40


Efec tuamos las sumas y restas .

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Sumas, restas , productos y d iv is iones.

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =

Rea l izamos los productos y cocientes en e l o rden en e l que los

encont ramos porque las dos operac iones t ienen la misma pr ior idad .

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

E fec tuamos las sumas y restas .

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Sumas, restas , productos , d iv is iones y potencias .

2 3 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 2 − 16 : 4 =

Rea l izamos en pr imer lugar las potencias por tener mayor pr ior idad .

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =

Segu imos con los productos y cocientes .

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

E fec tuamos las sumas y restas .

= 26

41


2. Con paréntesis

(15 − 4 ) + 3 − (12 − 5 · 2 ) + (5 + 16 : 4 ) −5 + (10 − 2 3 )=

Rea l i zamos en pr imer lugar las operaciones contenidas en e l los .

= (15 − 4 ) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4 ) − 5 + (10 − 8 )=

Quitamos paréntesis rea l i zando las operac iones .

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3 . Con paréntesis y corchetes

[15 − (2 3 − 10 : 2 ) ] · [5 + (3 ·2 − 4 ) ] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =

Pr imero operamos con las potencias , productos y cocientes de los

paréntesis .

= [15 − (8 − 5 ) ] · [5 + (6 − 4 ) ] − 3 + (8 − 6 ) =

Rea l i zamos las sumas y restas de los paréntesis .

= [15 − 3 ] · [5 + 2 ] − 3 + 2=

En vez de poner corchetes pondremos parén tes is d i rec tamente :

= (15 − 3 ) · (5 + 2 ) − 3 + 2=

Operamos en los paréntesis .

= 12 · 7 − 3 + 2

42


Mult ip l icamos .

= 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos .

= 83


Resuelva las siguientes operaciones:a) (6 - 18) ÷ 3 g) 15 - (-20) x (-5) + 2

b) 6 - 18 ÷ 3 h) [15 - (-20)] x [(-5) + 2]

c) 2 + 3 x 4 i) -264 ÷ [(-11) -(-3)]

d) (2 + 3) x 4 j) -264 ÷ (-11) - (-3)

e) (12 + 8) ÷ (4 - 9) k) 301 + (-301) x 49 - (-17)

43


f) 12 + 8 ÷ 4 – 9 l) [301 + (-301)] x [49 - (-17)]


POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Una potencia es una fo rma abrev iada de escr ib i r un producto fo rmado por

var ios factores iguales .

6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 6 5

Base de una potencia

La base de una potencia es e l número que mult ip l icamos por s í m ismo, en

es te caso e l 6 .

Exponente de una potencia

El exponente de una potencia ind ica e l número de veces que mult ip l icamos la base , en e l e jemplo es e l 5 .

La potencia de exponente natura l de un número entero es o t ro número entero , cuyo va lo r absoluto es e l va lor absoluto de la potencia y cuyo signo es e l que se deduce de la ap l i cac ión de las s igu ien tes reglas :

1 . Las po tenc ias de exponente par son s iempre pos i t i vas .

44


2. Las po tenc ias de exponente impar t ienen e l m ismo s igno de la base.

Propiedades

1. a 0 = 1

2 . a 1 = a

3. Producto de potencias con la misma base :

Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes .

a m · a n = a m + n

(−2) 5 · (−2) 2 = (−2) 5 + 2 = (−2) 7 = −128

4 . D iv is ión de potencias con la misma base :

Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es la di ferencia de los exponentes .

a m : a n = a m — n

(−2) 5 : (−2) 2 = (−2) 5 — 2 = (−2) 3 = −8

5. Potencia de una potencia :

Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es e l producto de los exponentes .

(a m ) n = a m · n

[ (−2) 3 ] 2 = (−2) 6 = 64

6. Producto de potencias con e l mismo exponente :

45


Es o t ra po tenc ia con e l mismo exponente y cuya base es e l producto de las bases

a n · b n = (a · b ) n

(−2) 3 · (3 ) 3 = (−6) 3 = −216

7. Cociente de potencias con e l mismo exponente :

Es o t ra po tenc ia con e l m ismo exponente y cuya base es e l coc ien te de las bases .

a n : b n = (a : b ) n

(−6) 3 : 3 3 = (−2) 3 = −8

Un número e levado a −1 , es e l inverso de d icho número .

46


Ejerc ic ios de potencias

Escr ibe en fo rma de una so la po tenc ia :

1 3 3 · 3 4 · 3 =

2 5 7 : 5 3 =

3 (5 3 ) 4 =

4 (5 · 2 · 3 ) 4 =

5 (3 4 ) 4 =

6 [ (5 3 ) 4 ] 2 =

7 (8 2 ) 3

8 (9 3 ) 2

9 2 5 · 2 4 · 2 =

10 2 7 : 2 6 =

11 (2 2 ) 4 =

12 (4 · 2 · 3 ) 4 =

13 (2 5 ) 4 =

14 [ (2 3 ) 4 ] 0 =

15 (27 2 ) 5 =

16 (4 3 ) 2 =

47


Real izar las s igu ien tes operac iones con po tenc ias :

1 (−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 =

2 (−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) =

3 (−2) − 2 · (−2) 3 · (−2) 4 =

4 2 − 2 · 2 − 3 · 2 4 =

5 2 2 : 2 3 =

6 2 − 2 : 2 3 =

7 2 2 : 2 − 3 =

8 2 − 2 : 2 − 3 = 2

9 [ (−2) − 2 ] 3 · (−2) 3 · (−2) 4 =

10 [ (−2) 6 : (−2) 3 ] 3 · (−2) · (−2) − 4 =

Real izar las s igu ien tes operac iones con po tenc ias :

1 (−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4 =

2 (−27) · (−3) · (−3) 2 · (−3) 0 =

3 (−3) 2 · (−3) 3 · (−3) − 4 =

4 3 − 2 · 3 − 4 · 3 4 =

5 5 2 : 5 3 =

6 5 − 2 : 5 3 =

7 5 2 : 5 − 3 =

8 5 − 2 : 5 − 3 =

9 (−3) 1 · [ (−3) 3 ] 2 · (−3) − 4 =

48


10 [ (−3) 6 : (−3) 3 ] 3 · (−3) 0 · (−3) − 4 =


RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Recordemos que la radicación es la operación inversa de la

potenciación y se representa con el símbolo de la figura

siguiente. Es la operación mediante la cual se busca un número

que multiplicado por sí mismo 2, 3, 4 o más veces nos da el

número propuesto. El signo de la radicación se llama radical.

Raíz de un Numero

La raíz de un número es otro número que multiplicado

por sí mismo dos o más veces es igual al número dado. Si

el número se multiplica por sí mismo 2 veces se llama

raíz cuadrada, si se multiplica 3 veces, raíz cúbica; 4

veces, raíz cuarta, etc.

Los términos que intervienen en la radicación son: el índice, la

cantidad subradical, el radical(símbolo de la radicación y la raíz

(el resultado buscado).

La potenciación y la radicación son operaciones

respectivamente opuestas. En el cuadro de la parte inferior

encontrarás la relación entre la potenciación y la radicación

49


Ejerc ic ios

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RECAPITULACION

Realice un mapa mental acerca del tema: OPERACIONES CON ENTEROS Socialícelo con su equipo de trabajo y entre todos realicen un mapa conceptual grupal para exponer ante el grupo.

AUTOEVALUACION

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- Debes tener en cuenta los conocimientos previos.- Valora el grado de participación que tuviste en las actividades.- Será objeto de evaluación la presentación ordenada y limpia del PORTAFOLIOS, así como la búsqueda de información y el aporte de materiales.- Valora el grado de adquisición de nuevos conocimientos.

ITEM A EVALUAR VALORACIONCONOCIMIENTOS PREVIOSACTITUD EN CLASEPREPARACION DE LAS EVALUACIONESESTUDIO EN CASADESARROLLO DEL MODULOPORTAFOLIOASISTENCIA Y PARTICIPACIONCOMPETENCIAS DESARROLLADAS

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PREPARATE PARA PRUEBAS TIPO ICFES

Selecciona entre las opciones dadas solo una, la que consideres relaciona de manera más estructurada los conceptos matemáticos con las condiciones particulares de la situación problema.

Núcleo común

Los puntajes de un juego de vídeo aparecen en la pantalla como números positivos para los aciertos y números negativos para los errores.

1. En una serie de cuatro juegos los puntajes de Luís fueron, en su orden: -18, -15, -7, 2. Al mirarlos, podemos decir:

A. Luís fue mejorando, porque los puntajes están ordenados de menor a mayor.B. El primer puntaje fue el mejor, porque ese es el mayor de los cuatro números.C. Cada vez que Luís jugo, tuvo un puntaje mejor que el anterior, porque 2 es el mayor de los cuatro números.

TRASCENDAMOS EL CONOCIMIENTO

Este un espacio para reflexionar sobre la importancia que tiene el cuidado del agua en nosotros como seres humanos, nuestra familia, nuestra comunidad, nuestra ciudad, nuestro país y nuestro planeta,………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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D. Se ve que el puntaje solo depende de la suerte, porque los cuatro números no están en ningún orden.

2. En su primer juego Andrés y José tuvieron, respectivamente, -7 y -8 puntos. Decidieron entonces apostar un helado; ganaría el que, en cualquiera de los tres juegos siguientes, elevara mas su puntaje inicial. Sus puntajes fueron:

Para saber quién ganó el helado:

A. Miramos quién tuvo el puntaje mayor. Andrés ganó el helado porque en su mejor juego tuvo 9.B. Miramos en cuantos puntos mejoró cada uno. Como José mejoró hasta 7 y Andrés mejoró hasta 9, Andrés ganó el helado.C. Comparamos, para cada uno, el puntaje mayor con el de su primer juego. Como José elevo su puntaje en 15 puntos y Andrés en 16, Andrés ganó el helado.D. Revisamos cuál de ellos comenzó con un puntaje menor. Andrés ganó porque comenzó con un puntaje menor que el de José.

3. El valor absoluto de un número puede interpretarse como la distancia que separa a cero en la recta numérica del punto que representa dicho número. Según lo anterior, el valor absoluto de un número negativo es:

A. Negativo, porque este es el signo del número y el valor absoluto indica la posición respecto a cero.b. Positivo, porque el valor absoluto indica una distancia y las distancias siempre son positivas.C. Positivo, porque el valor absoluto siempre es positivo.D. No se puede saber; depende de cuál sea el número entero negativo.

Núcleo de profundización

El sábado 3 de febrero del año 2001, el diario El Tiempo publico la siguiente tabla, con algunas cifras referidas al número de muertes por accidentes de tránsito en Bogotá.Muertes por accidentes de tránsito en Bogotá Enero a diciembre 1999 – 2000

1999 2000 Diferencia entre 1999 y 2000

Condición de la víctima Casos % Casos % Casos % de variación

Peatón 603 69 569 69 -34 -6%

Pasajero 76 9 64 8 -12 - 1 6%

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Conductor 36 4 33 4 -3 -8%

Motociclista 90 10 57 7 -33 -37%

Ciclista 59 7 95 11 + 36 + 61%

Otros 8 1 10 1 + 2 + 25%

Total 872 100 828 100 -44 -5%

4. Los signos de las cifras de la penúltima columna indican que:

A. Aunque en la mayoría de los casos el número de muertos disminuyó, en el año 2000 se presentaren más víctimas entre los ciclistas que en el año 1999.B. En el año 2000 murieron menos conductores y pasajeros que en el año anterior, pero murieron más peatones y motociclistas.C. La diferencia entre los valores de 1999 y los del año 2000 es negativa si murió menos gente en el 2000 y positiva si murió más gente por causa de los accidentes de tránsito.D. La diferencia entre los valores de 1999 y los del año 2000 es negativa si murió menos gente en 1999 y positiva si murió más gente por causa de los accidentes de tránsito.

5. Los valores correspondientes al porcentaje de variación son útiles para concluir que:A. Las campañas para controlar el exceso de velocidad en motocicleta han surtido efecto, pero el estimulo al uso de la bicicleta debe ir unido a mas controles de seguridad.B. Pese a las campañas educativas de la alcaldía, durante los dos años han muerto más ciclistas y motociclistas que peatones y conductores.C. Los ciclistas y conductores de motos son los más imprudentes y por eso se ha incrementado el porcentaje de víctimas en los dos casos.D. El menor porcentaje de variación se obtuvo entre los peatones y conductores.

6. En los siguientes frascos de salsa se ha indicado, con un número entero negativo, cuántos meses faltan para la fecha de vencimiento y, con un número entero positivo, cuántos meses hace que el producto venció.

Según las etiquetas:

A B C D E

+ 4 -3 + 2 0 - 7

A. Conviene comprar el frasco E porque su fecha de vencimiento es la mas lejana.B. Conviene comprar el frasco B porque como - 3 es mayor que - 7 su fecha de vencimiento es la más lejana.C. Conviene comprar el frasco E porque - 7 es el que tiene mayor valor absoluto.

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D. Conviene comprar el frasco D porque su fecha de vencimiento coincide con la de compra.

Selecciona entre las opciones dadas solo una, la que consideres relaciona de manera mas estructurada los conceptos matemáticos con las condiciones particulares de la situación problema.

Núcleo común

El nivel de una represa ha descendido 12 cm diarios durante 5 días y luego descendió 8 cm diarios durante 4 días.

1. Para encontrar la modificación total:

A. Adicionamos los dos descensos:(-12) • 5 + (-8) • 4 = (-92). El nivel descendió 92 cm.B. Buscamos la diferencia entre el primer descenso y el segundo:(- 60) - (- 32) = (- 28). El nivel descendió 28 cm.C. Como el descenso duro 9 días, multiplicamos cada valor por 9:(- 12) • 9 + (- 8) • 9 = (- 180). El nivel descendió 180 cm.D. Adicionamos lo que bajó los primeros 5 días con lo que bajó los últimos 4 días:(-12) • 5 + (-8) • 4 = 60-32 = 28. El nivel ascendió 28 cm.

2. A partir del décimo día el nivel de la represa comenzó a subir 2 cm diarios. ¿En cuántos días habrá recuperado el nivel inicial?A. Como había bajado 12 cm diarios durante 5 días, subiendo 2 cm diarios recupera el nivel en 30 días.B. Como el descenso duro 9 días, se necesitan otros 9 días para recuperar el nivel.C. Como el nivel bajó primero 60 cm y luego 32, cuento de 2 en 2 , hasta 92: 2+ 2+ 2+ 2+ ….. + 2 = 92. El ascenso dura 46 días.D. Como el descenso total fue 60 cm + 32 cm = 92 cm, divido 92 por 2:92-5-2 = 46. El ascenso dura 46 días.

2. Un jugador de tiro al blanco recibe $ 500 por cada acierto y paga $ 450 cada vez que no acierta. Si de 30 tiros acierta 13, ¿en qué situación queda después del juego?

A. No gana ni pierde porque el dinero perdido es exactamente igual al dinero ganado.B. Le quedan $ 14 150 porque:13- 500+ (-17) • (-450) = 14 150C. Gana $ 650 porque el número de aciertos es mayor que el número de pérdidas.D. Queda debiendo $ 1150 porque: 13 • 500 + 17 • (-450) = -11 50

Núcleo de profundización

4. Juan Pablo observa detenidamente las siguientes series de operaciones:

3x2 = 6 (- 3) x 2 = (- 6)3x1 = 3 (- 3) x 1 = (- 3)3x0 = 0 (- 3) x o = o

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3 x (- 1) =-3 (- 3) x (- 1) = 33 x (-2) = (-6) (-3) x (-2) =63 x (- 3) = (- 9) (- 3) x (- 3) = 9

Al identificar un patrón de variación, concluye:A. Para conservar la regularidad que se observa en las tablas, el producto de dos números negativos debe ser positivo.B. Al multiplicar respectivamente 3 y (- 3) por la misma serie de números, se obtienen series ordenadas en forma descendente.C. El producto de números enteros cumple la propiedad conmutativa.D. Cada vez que se multiplican dos números enteros, el producto será mayor que cualquiera de los factores.

5. La ciudad de Campo verde está situada a orillas del río Iguanas. Durante varios años se ha medido la temperatura del agua del río a lo largo de los meses, y se ha construido esta gráfica que muestra los promedios:

Se conoce también que la temperatura máxima de supervivencia para distintas especies de peces es:

Trucha 15 °C

Lucio 24 °C

Carpa 32 °C

Bagre 34 °C

6. ¿Cómo puede encontrarse la temperatura media del río en el mes de diciembre?

A. Calculando la diferencia 15 - 7 = 8. La temperatura es 8 °C.B. Resolviendo el polinomio15 + 12 + (-17)+ 7 = 17. La temperatura es 17 °C.C. Restando 17-7 = 10. La temperatura es 10 °C.

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D. Calculando la diferencia entre los ascensos y los descensos:(1 5 + 1 7) - (12 + 7) = 13. La temperatura es 13 °C.

7. En el mes de junio se celebra en Campo verde el torneo de pesca. ¿Qué especies de peces encontrarán los pescadores?

A. Encontrarán solamente truchas porque en junio la temperatura del agua es 12 °C y las truchas sobreviven a temperaturas menores de 15 °C.B. Encontrarán solo carpas y bagres porque la temperatura del agua en junio no sobrepasa los 32°C.C Encontrarán truchas y lucios, ya que las temperaturas máximas que estás especies soportan son menores que la temperatura del río en el mes de junio.D. Encontrarán carpas y bagres, porque son los peces que soportan temperaturas altas y junio es el mes en que el agua está más caliente.

8. Por un comportamiento anormal del clima, en el año 1994 hubo una variación de la temperatura del agua del río, así:En marzo fue 3 grados más alta que el promedio para ese mes. En junio fue 5 grados más baja que el promedio para ese mes.En octubre fue 2 grados más baja que el promedio para ese mes.En diciembre fue 1 grado más alto que el promedio para ese mes. ¿Cuál fue la temperatura del río en diciembre de 1994?

La expresión correcta para la pregunta es:

A. 1 5 + 12 + 1 7 + 7 + (- 5) + (- 2) + 1 B. 15 + 12 + (-17) + 7 + 3 + (-5) + (-2) + 1 C. 15+(-12)+ 17+ (-7)+ 3 + 5 + 2 + 1 D. 15 + 12 + (-17) + 7 + (-3) + 5 + 2 + (-1)


REFLEXIONEMOS……………………… ¿Existe el mal?

Donde hubo fuego cenizas quedaron.

Es difícil olvidar los hechos cuando la persona se involucró profundamente.

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Ocurrió en Alemania al inicio del siglo 20. Durante una conferencia con varios universitarios, un profesor de la Universidad de Berlín, propuso un desafío a sus alumnos con la siguiente pregunta: -¿Creó Dios todo lo que existe? Un alumno respondió valientemente: -Sí, Él creó todo lo que existe… Preguntó nuevamente el maestro: -¿Dios realmente creó todo lo que existe? -Sí señor, respondió el joven.El profesor, dijo: -Si Dios creó todo lo que existe, ¡entonces Dios hizo el mal, ya que el mal existe! Y si decimos que nuestras obras son un reflejo de nosotros mismos, entonces Dios es malo, porque el creo el mal.El joven se calló frente a la respuesta del maestro, que se regocijaba de haber probado, una vez más, que la fe era un mito.Otro estudiante levantó la mano y dijo: -¿Puedo hacerle una pregunta, profesor? -Claro que sí, fue la respuesta del profesor. El joven se puso en pie y preguntó: -Profesor, ¿el frío existe?

-¿Pero que pregunta es esa?… Lógico que existe, ¿o acaso nunca sentiste frío? El muchacho respondió: -En realidad, señor, el frío no existe. Según las leyes de la Física, lo que consideramos frío, en verdad es la ausencia de calor. Todo cuerpo u objeto es factible de estudio cuando posee o transmite energía; el calor es lo que hace que este cuerpo tenga o transmita energía.El cero absoluto es la ausencia total de calor; todos los cuerpos quedan inertes, incapaces de reaccionar, pero el frío no existe. Nosotros creamos esa definición para describir de qué manera nos sentimos cuando no tenemos calor. -Y, ¿existe la oscuridad? Continuó el estudiante. -Por supuesto que existe: Dijo el profesor.-La oscuridad tampoco existe. La oscuridad, en realidad, es la ausencia de luz. Respondió el estudiante respondió.La luz la podemos estudiar, pero la oscuridad, no. A través del prisma de Nichols, se puede descomponer la luz blanca en sus varios colores, con sus diferentes longitudes de ondas, pero eso es imposible con la oscuridad.¿Cómo podemos saber cuán oscuro está un espacio determinado? Solo con base a la cantidad de luz presente en ese espacio. Porque la oscuridad es una definición utilizada por el hombre para describir qué ocurre cuando hay ausencia de luz.Finalmente, el joven pregunto nuevamente al profesor: -Señor ¿El mal existe? El profesor respondió: -Por supuesto, como afirmé al inicio, vemos robos, crímenes, violencia en todo el mundo. Esas cosas son del mal.El estudiante, dijo: “-No Señor, el mal no existe o por lo menos no existe por sí mismo. El mal es simplemente la ausencia del bien… De conformidad con los anteriores casos, el mal es una definición que el hombre inventó para describir la ausencia de Dios”Dios no creó el mal. El mal es el resultado de la ausencia de Dios en el corazón de los seres humanos.Es igual a lo que ocurre con el frío cuando no hay calor, o con la oscuridad cuando no hay luz.El joven fue aplaudido de pie por los demás alumnos y el maestro, moviendo la cabeza, permaneció en silencio.El director de la Universidad, se dirigió al joven estudiante y le preguntó: -¿Cuál es tu nombre? -Me llamo, ALBERT EINSTEIN


6.1. FRACCIONES DECIMALES

59


Duración: Entre __________________ Y __________________

6.2 TABLA DE LOGROS

COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALESReconoce los números decimales.

Realiza conversiones de fracción a decimal.

Utiliza la representación decimal de un número.

Plantea y resuelve situaciones aditivas y multiplicativas con números decimales

Termina a tiempo la actividad en clase, optimizando su tiempo en el colegio.

Es responsable con sus compromisos académicos

6.3 CONTENIDOS:6.3.1 Sistema de numeración6.3.2 Clasificación de números decimales6.3.3 Orden en los números decimales6.3.4 Adición y sustracción de números decimales6.3.5 Multiplicación de números decimales6.3.6 División de números decimales 6.3.7 Ecuaciones que involucran números decimales

PRECONCEPTUALIZACIONSistema de numeración

No siempre podemos trabajar con unidades enteras. Con frecuencia tenemos que partir lo que tenemos para usarlo. En esta lección veremos una manera de expresar partes de una unidad a través del sistema de numeración decimal, que ya hemos empezado a estudiar.

Recuerde que nuestro sistema de numeración es decimal porque agrupa de diez en diez las unidades, decenas, etc.; y es posicional porque el lugar que ocupa una cifra nos dice de qué tamaño son los grupos que estamos contando. Para contar cuántos grupos de cada tamaño tenemos, este sistema utiliza diez símbolos, que son los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

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Para escribir partes de una unidad con el sistema decimal vamos a partir la unidad en diez partes iguales; cada una de esas partes se llama décima. Si con una primera partición no podemos todavía expresar la cantidad que tenemos, partimos los pedacitos en diez partes, etc.

Veamos un ejemplo. Queremos expresar la cantidad de área que tenemos sombreada en la anterior figura, utilizando como unidad el cuadrado R. El área sombreada es una unidad y un trozo. Para saber qué parte de la unidad es ese trozo, o sea lo que queda en el segundo rectángulo, partimos el rectángulo en diez partes. Cada una de esas “rebanadas” es un décimo del área. Tenemos 3 décimos sombreados y hay un pedazo sombreado que sobra, que es más chico que un décimo.

Para saber de qué tamaño es el pedazo que nos falta medir, partimos los décimos en diez partes cada uno. El rectángulo nos queda partido en 10 x 10 = 100 pedazos iguales, y cada uno de estos pedacitos es un centésimo. Con siete de ellos, ahora sí abarcamos exactamente el área sombreada. Sabemos entonces que toda esa área es: 1 unidad, 3 décimos y 7 centésimos.Para expresar en el sistema decimal una cantidad como la que acabamos de obtener vamos a usar posiciones como en el caso de los enteros. Primero ponemos un punto que sirve para separar los enteros de las fracciones y que se llama punto decimal. A la izquierda del punto escribimos los enteros como siempre. A la derecha del punto escribimos la cantidad de pedazos que tenemos de cada tamaño empezando con los pedazos más grandes, los décimos, y luego los centésimos.En nuestro ejemplo tenemos un entero, tres décimos y siete centésimos: entonces escribimos 1.37. Este número lo podemos leer también como un entero treinta y siete centésimos.

Observe en el último dibujo que los tres décimos que contamos inicialmente quedaron partidos en 30 centésimos.

Por ejemplo, trescientas cuarenta y dos unidades, 4 décimos, 6 centésimos y 9 milésimos se escriben 342.469 y se lee trescientas cuarenta y dos unidades cuatrocientos sesenta y nueve milésimos.

Se puede seguir partiendo tanto como se necesite; el nombre del orden dice en cuántas partes se divide el entero.

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Observe que cada vez que partimos en diez, obtenemos la cantidad de pedacitos multiplicando por diez. Aquí vamos a multiplicar muchas veces por diez; conviene entonces detenernos un momento para hacer un acuerdo de notación.

Aunque no sepamos cómo se llaman las partes en que se divide el entero, podemos dividir todas las veces que queramos en diez partecitas. Se pueden escribir decimales con cualquier cantidad de cifras.

Por ejemplo, 890.3049586732, 1.22223349939392223, etc. Todo lo que va a la derecha del punto decimal de un número se llama la expansión decimal del número. Hay números que tienen una expansión decimal que no termina; se dice que tienen expansión decimal infinita.

Por ejemplo: 2.333.... Los puntos suspensivos en este número significan que sigue 3 un número infinito de veces. Cuando la expansión decimal de un número se acaba, aunque sea muy larga, se dice que tiene expansión decimal finita.

Por ejemplo: 2.33, 5.9833, 84.55555888883939222939, 29888.9393939222929399932221929292475751. Esto último no incluye a los ceros que se pueden agregar a la derecha de la última cifra; por ejemplo, 6.7705000000… es un número con expansión decimal finita, porque es igual a 6.7705.


1. Escriba con notación decimal los números según la escritura:

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a) doce unidades doce centésimos

b) cuarenta y siete décimos

c) doscientos treinta y cinco milésimos

d) dos unidades quince milésimos

e) ciento seis milésimos

f) diecinueve milésimo

g) cinco centésimos

h) cinco décimos

i) dos diezmilésimos

j) ciento treinta centésimos

k) diez mil doscientas unidades, ochocientos veintisiete mil quinientos trece millonésimos

l) seis millones setecientas unidades, un millón veintisiete mil once diezmillonésimos

2. Escriba la lectura correcta de los siguientes números:

a) 354.7 e) 123.321 I) .00315b) 32.007 f) 4702.0934 j) .772c) 302.07 g) 2791.579 k) .039d) 9.777 h) 0.550 l) .630038…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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Desde el avenimiento de la civilización las pirámides han cautivado la imaginación de los arquitectos y de los sacerdotes. Sin embargo, unos y otros pudieron erigir estos monumentos religiosos y/o fúnebres gracias al concurso de los calculistas, es decir, de los matemáticos.

¿En qué consiste? Hay que estudiar el "ejemplo", pues allí se encuentra la clave. El 136 de la cúspide es la suma de 50 y 86; a su vez, 50 es la suma de sus dos números inmediatos inferiores: 18 y 32; y 32 es también la suma de sus dos números inmediatos inferiores: 7 y 25.Esa es la fórmula, y ahora llene usted todos los vacíos, pero no tarde más de 15 minutos en cada pirámide.

EJEMPLO

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Orden en los números decimales

Para saber si un número decimal es mayor que otro comparamos primero los enteros. Si la parte entera es mayor, el número es mayor. Por ejemplo, 134.123 es mayor que 67.987 porque 134 es mayor que 67; escribimos 134.123 > 67.987. Otro ejemplo: 56.87954 es menor que 108.13 porque 56 es menor que 108; escribimos 56.87954 < 108.13.

Si las partes enteras de dos decimales son iguales, nos fijamos en los décimos, que son las fracciones decimales más grandes.

El número que tiene más décimos es más grande. Por ejemplo:

43.75 es mayor que 43.69; escribimos 43.75 > 43.69.


52.103 es menor que 52.4; escribimos 52.103 < 52.4.

Si tanto la parte entera como los décimos de dos números son iguales, nos fijamos en los centésimos. El número que tiene más centésimos es más grande. Por ejemplo:

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47.547 es menor que 47.06; escribimos 47.0547 < 47.06.

16.28 es mayor que 16.2, porque 16.2 = 16.20; escribimos 16.28 > 16.2.

Este proceso de comparación se puede seguir siempre.

A continuación lo planteamos para todos los números decimales: Para saber si un decimal es mayor que otro, cuando sus partes enteras son iguales, nos fijamos en la primera cifra de izquierda a derecha en la que son distintos y el número que tiene esa cifra más grande es el mayor de los dos.

Recuerde que si faltan cifras decimales para poder hacer esta comparación, siempre se pueden agregar ceros a la derecha sin alterar el número, como en el último ejemplo.

También los números decimales se representan en la recta numérica, partiendo cada unidad del dibujo en diez, cada décimo en diez, etc. Por ejemplo: para representar en la recta el número 3.7, dividimos la unidad que va de 3 a 4 en diez partes iguales y en la séptima división estará 3.7.

Si queremos representar en la recta el número 12.43, dividimos en diez partes el segmento que Va de 12 a 13, localizamos 12.4 y la siguiente División, 12.5; dividimos en diez partes el segmentoQue va de 12.4 a 12.5 y en la tercera división estará 12.43.

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Como antes, en la recta numérica los números son más grandes mientras más se alejan del cero en la dirección del uno. Con el dibujo en esta posición, los números son más grandes si están más a la derecha.

En algunas ocasiones la recta numérica no se coloca en posición horizontal sino en posición vertical, y la dirección del cero hacia el uno es de abajo hacia arriba. En estos casos los números son más grandes si están más arriba del cero y meros si están abajo del cero.

Actividad1. Realiza una recta en forma vertical y enumérala según lo que acabas de leer

2. En cada par de números indique cuál es el mayor:

a) 14.27 y 12.98 g) 126.44 y 126.4491

b) 364.846 y 325.787 h) 8.66 y 8.656

c) 90.13 y 90.95 i) 7.02 y 7.002

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d) 6.328 y 6.32 j) 0.00637 y 0.0063

e) 51.1 y 51.01 k) 4.49 y 4.5

f) 0.014 y 0.14 l) 87.3 y 87.03

3. En cada par de números indique cuál es el menor:

a) 50.4 y 30.43 g) 71.9 y 71.900

b) 46.793 y 46.79326 h) 0.0016 y 0.001

c) 518.628 y 192.475 i) 55.55 y 55.555

d) 6.57 y 4.75 j) 6.14 y 6.104

e) 59 y 59.9 k) 3.87 y 3.087

f) 28.2 y 28.02 l) 9.34 y 9.3040

4. Entre cada par de números coloque el símbolo =, el símbolo > o el símbolo < según corresponda:

68


5. Escriba un número:

a) Mayor que 2.1 b) mayor que 17.53

c) menor que 12.33 d) menor que 0.01

e) mayor que 0.2194 y menor que 1 f) dos décimos mayor que 2.5

g) un centésimo menor que 0.068 h) tres unidades y un décimo mayor que 1.42

i) dos décimos y un centésimo mayor que 9.73 j) un décimo y un milésimo menor que 9.614

6. Dibuje en rectas numéricas los números:

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a) 1.5, 1.7, 1 y 2 b) 1.190, 1.195 y 1.2

c) 100, 50, 70 y 60 d) 8.88, 8.882 y 8.885

e) 22.43, 22.44 y 22.435 f 0.1, 0.01 y 0.05

7. Resuelve las situaciones problema

a) En una tienda de Estados Unidos cuesta US 2.50 un carrete de hilo y en otra cuesta US 2.05. ¿En cuál tienda es más barato el hilo?

b) En una casa de cambio venden el dólar en US 10.49 y lo compran seis centavos más bajo. ¿En cuánto compran el dólar?

c) Para ir a trabajar, Don Luis puede usar dos rutas distintas. En la primera ruta el recorrido es de 17.7 Km. y la segunda es dos kilómetros y cinco décimos más corta.

d) ¿De cuánto es el recorrido en la segunda ruta?

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e) Don Pedro repartió un terreno entre sus dos hijos. El terreno que le tocó a Lupercio mide de frente 18 m. y 8 décimos, y el que le tocó a Gumesindo tiene un frente de 18 m. y 55 centésimos.

Exprese con números decimales las medidas de los frentes de los dos terrenos

¿A quién le tocó el terreno de mayor frente?

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OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Las operaciones con números decimales son casi idénticas a las operaciones con números naturales.

En esta lección veremos cómo se hacen.

Suma y resta con decimalesPara sumar o restar números decimales debemos fijarnos en sumar o restar las cifras con el mismo valor posicional, es decir los números del mismo orden. Para hacer esto, alineamos los números por el punto decimal, sumamos o restamos como si fueran enteros y ponemos el punto en el mismo lugar que está en los sumandos o en el mismo lugar que está en el sustraendo y en el minuendo.

Por ejemplo, si queremos sumar 111.1, 123.45 y 87.76, los alineamos por elpunto decimal y los sumamos como si fueran enteros. El punto decimal queda abajo de los puntos decimales de los sumandos en el resultado.

Restemos ahora estos mismos números, es decir, restemos 123.45 menos 87.76.

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Alineamos los números por el punto decimal, los restamos como si fueran enteros y ponemos el punto decimal enel resultado abajo del punto decimal del minuendo y del sustraendo.


Resuelva las siguientes operaciones con números decimales.

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Multiplicación con decimales

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Para multiplicar números decimales multiplicamos como si fueran números naturales pero, para colocar el punto decimal en el resultado, contamos las cifras decimales de cada factor y en el producto ponemos tantos decimales como la suma de los que tienen los factores.

Por ejemplo, si multiplicamos 32.5 por 2.14 vamos a multiplicar como si tuviéramos 325 por 214 y al resultado le ponemos el punto para que queden tres cifras decimales porque en el primer factor tenemos una cifra decimal y en el segundo factor tenemos dos cifras decimales:

En realidad lo que estamos haciendo en esta multiplicación, cuando la hacemos como si fueran enteros, es multiplicar por múltiplos de 10. Para considerar a 32.5 como 325 estamos multiplicando por 10, para considerar a 2.14 como 214 estamos multiplicando por 100, en total hemos multiplicado por 1000.

Para que el resultado no nos quede multiplicado por 1000, tenemos que dividirlo entre 1000. Ésa es la razón por la que pusimos las 3 cifras decimales en el producto.


Haga las siguientes multiplicaciones con números decimales.

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En esta operación sí vamos a encontrar una diferencia con lo que hemos hecho hasta ahora porque aquí sí veremos las situaciones en las que tenemos que partir la unidad. Veremos sucesivamente diferentes casos.

Para dividir un número decimal entre un número natural, trabajamos como si los dos fueran enteros y en la “casita” de la división ponemos el punto decimal arriba del punto del dividendo.

Por ejemplo, si queremos dividir 54.72 entre 3, empezamos, como siempre, por el mayor orden, que aquí son las decenas, seguimos con las unidades, colocamos el punto decimal en el cociente y seguimos con los décimos y los centésimos:

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Observe que al hacer esta división repartimos las 5 decenas que tenemos en el dividendo entre 3 y nos sobraron 2 decenas.Éstas las agregamos a las cuatro unidades que ya teníamos. Dividimos las 24 unidades entre 3y no nos sobró nada. Repartimos los 7 décimos que tenemos en el dividendo entre 3 y nos sobró un décimo. Éste se lo agregamos a los 2 centésimos que teníamos.Dividimos los 12 centésimos entre 3 y no nos sobró nada.

Veamos otro ejemplo un poco distinto. Si queremos dividir 13.5 entre 4, repartimos 13 entre 4 y nos sobra una unidad que le agregamos a los décimos que tenemos. Dividimos los 15 décimos entre 4 y nos sobran 3 décimos. Como queremos seguir con el reparto, partimos los 3 décimos que sobraron en centésimos (frecuentemente decimos que bajamos el cero) y dividimos esos 30 centésimos entre 4; nos sobran 2 centésimos que partimos enmilésimos. Quedan 20 milésimos que repartimos entre 4 y ya no sobra nada.

Al dividir 4 entre 3 obtuvimos un número en el que se repite una cifra decimal hasta el infinito; en ese caso se repite el tres. En 1.333..., tenemos 3 décimos, 3 centésimos, 3 milésimos, etc. Este número que se repite se llama período y para indicar su repetición hasta el infinito podemos escribirlo tres veces y poner puntos suspensivos o bien poner una pequeña línea sobre él que indica lo mismo:

1 .333 . ..=1. 3̄No siempre tenemos períodos con una sola cifra decimal.

Por ejemplo, si dividimos dos entre siete, tenemos que partir los dos enteros en décimos; nos que -dan 20 décimos. Al repartir van a tocar dos décimos a cada uno de los 7 y sobran 6 décimos. En el cociente tenemos que poner un punto decimal para indicar que el resultado empieza en décimos y, si queremos podemos poner cero enteros. Para repartir los 6 décimos que sobran, los tenemos que partir en centésimos, tenemos así 60 centésimos entre 7, toca a 8 y sobran 4 centésimos, que son 40 milésimos. Seguimos el proceso como se ve enseguida. Observe que a partir de un cierto lugar empiezan a repetirse los residuos y también empiezan a repetirse las cifras del cociente. Por más que sigamos haciendo la división, se seguirán repitiendo los residuos y en el cociente se repetirán las cifras 285714, este es ahora el período. Podemos escribir el resultado de esta división repitiendo 3 veces el período y poniendo puntos suspensivos o podemos poner sobre el período una línea para indicar esta repetición hasta el infinito:

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2 ÷ 7 = 0 . 285714285714285714 . ..= 0 . 285714 Si queremos dividir por un número con más de una cifra se procede como con los números naturales. Por ejemplo, si queremos dividir 435.98 por 12 tomamos las dos cifras del mayor orden del dividendo, que aquí forman 43 decenas, y vemos que sí se puede dividir ese número entre 12. Como 12 x 3 = 36, nos toca a 3 y sobran 43 - 36 = 7 decenas.Escribimos el 3 sobre el 3 de 43 y el residuo abajo de este mismo número. Las 7 decenas que sobran se las agregamos a las 5 unidades del dividendo y dividimos las 75 unidades entre 12. Nos toca a 6 unidades y sobran 3 porque 12 x 6 = 72 y 75 - 72 = 3. Ponemos en el resultado las 6 unidades y el punto decimal y el residuo bajo el 5 del 75. Las 3 unidades que sobraron, convertidas a 30 décimos, se las agregamos a los 9 décimos del dividendo y dividimos los 39 décimos entre 12, nos toca a 3 y sobran 3 décimos. Agregamos los 3 décimos sobrantes a los 8 centésimos que tenemos y dividimos los 38 centésimos entre 12. Nos toca a 3 centésimos y sobran 2 centésimos. Si queremos seguir la división partimos esos 2centésimos sobrantes en 20 milésimos y los dividimos entre 12. Nos toca a 1 y sobran 8 milésimo. Se puede seguir la división hasta donde queramos; aquí vamos a parar en el milésimo.

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El mismo procedimiento se sigue si queremos dividir un número decimal entre cualquier número natural. Para dividir un número decimal entre otro número decimal el procedimiento es un poco distinto y lo presentaremos después de hacer una pequeña observación.

Observe que si dividimos un número entre otro obtenemos lo mismo que si dividimos el primer número multiplicado por una potencia de diez entre el segundo número multiplicado por la misma potencia de diez. Por ejemplo, obtenemos el mismo resultado si dividimos 2.5 entre 3 que si dividimos 25 = 2.5 x 10 entre 30, o que si dividimos 250 entre 300, etc.

Veamos ahora cómo se divide un número decimal entre otro, por ejemplo 67.46 entre 2.3. Antes que nada observamos que el divisor tiene una cifra decimal. Multiplicamos tanto el divisor como el dividendo por diez para tener un número natural como divisor y dividimos como antes. En este ejemplo tenemos que 2.3 x 10 = 23 y que 67.46 x 10 = 674.6, así que la división será 674.6 entre 23:

Realiza la división

674.6÷23

El cociente de estas dos divisiones es el mismo porque en la segunda división el divisor y el dividendo son los de la primera división multiplicada por diez.

Si queremos dividir entre un número con más cifras decimales, multiplicamos el divisor y el dividendo por un uno y tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor para obtener en el divisor un número natural.

Por ejemplo, para dividir 46.75 entre 5.517 multiplicamos por 1000 los dos números, 5.517 x 1000 = 5517 y 46.75 x 1000 = 46750, y dividimos 46750 entre 5517. Podemos hacer la división con la cantidad de cifras decimales que queramos; aquí la hacemos hasta décimos.Realiza la división:

46750÷5517


1. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones con números decimales.

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2. Rea l izar las s igu ien tes operac iones con números decimales :

3 .6669 · 1000 =

3 .6669 : 1000 =

0 .036 · 10 =

0 .036 : 10 =

0 .000012 · 10 000 =

123.005 : 10 000 =

26 .36 · 10 000 =

2 .36 : 1000 =

0 .261 · 100 =

5 .036 : 10 =

3 . Resue lve las s igu ien tes d iv is iones de números dec ima les :

324 : 0 .018

12.96 : 6

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http://www.vitutor.com/di/d/a_6.html



RECAPITULACIÓN

Realice un mapa conceptual acerca del tema: números decimales, Socialícelo con su equipo de trabajo y entre todos realicen un mapa conceptual grupal para exponer.

¡Una píldora de entretenimiento!

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REFLEXIONEMOS………………….. Aborto

El padre es asmático, la madre tuberculosa. Tienen cuatro hijos, el primero es ciego, el segundo es sordo, el tercero murió y el cuarto tiene tuberculosis. La madre está embarazada de nuevo. ¿Recomendarías el aborto en esta situación?

Si tu decisión es afirmativa, hubieras evitado que el mundo conociera a Ludwig Van Beethoven.

Un hombre blanco viola a una niña negra de 13 años y ésta queda embarazada. Si fueras el padre de esta joven. ¿Le recomendarías el aborto?

Si tu decisión es afirmativa, jamás hubiera nacido Ethel Walters, una de las cantantes negras más famosas de toda la historia.

Un predicador y su esposa con graves problemas económicos (son realmente pobres) ya tienen 14 hijos. Considerando su extrema pobreza.¿Recomendarías que la esposa abortara su decimoquinto hijo?

Si tu decisión es afirmativa, el mundo no hubiera podido escuchar a John Wesley, uno de los predicadores más grandes de todos los tiempos.

Una joven está embarazada; no está casada y su prometido no es el papá del niño que está esperando. ¿Le recomendarías que abortara?

Si tu decisión es afirmativa, hubieras impedido que María trajera al mundo el regalo más precioso de toda la humanidad: “JESÚS”

“Las leyes de los hombres te amparan, puedes ir a un hospital a practicarte un aborto, es muy simple y además nadie te va a preguntar nada, quizás ni tu nombre. Pero considera: Dios sabe perfectamente que llevas vida dentro de tu vientre.No mates a quien puede ser un regalo para toda la humanidad”

Verde como el campo, campo no es, habla como hombre, hombre no es.

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7.1. NÚMEROS RACIONALES

Duración: Entre __________________ Y __________________

7.2 TABLA DE LOGROS

COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALESResuelve operaciones de adición y sustracción entre números racionales.

Comprende los pasos del proceso de resolución de problemas.

Resuelve situaciones problemáticas con números racionales.

Utiliza las propiedades de las operaciones y relaciones entre números racionales.

Demuestra una actitud de respeto a compañeros y docentes

Su disposición en el aula permite apreciar interés y voluntad de trabajo.

7.3 CONTENIDOS:7.3.1 Concepto de número racional7.3.2 Representación fraccionaria de un número racional7.3.3 Fracciones equivalentes7.3.4 Representación de los números racionales en la recta numérica7.3.5 Expresión racional de un número racional7.3.6 Adición y sustracción de números racionales7.3.7 Multiplicación de números racionales7.3.8 División de racionales en forma de fracción7.3.9 Potenciación de números racionales7.3.10 Radicación de números racionales7.3.11 Polinomios aritméticos con números racionales

Fracciones equivalentes

No siempre podemos trabajar con números decimales; con frecuencia nos conviene partir de otra manera lo que tenemos para usarlo. Cuando partimos de distintas maneras a veces necesitamos saber cuánto tenemos en total. En esta lección vamos a trabajar sobre estos conceptos.

Observe las siguientes figuras. En ellas la unidad es el rectángulo A. Hemos partido la unidad en diversas formas pero siempre en partes iguales. Cuando partimos la unidad que tenemos en 2 partes iguales cada pedazo se llama mitad o medio y la unidad queda partida en 2 mitades Esto lo

expresamos como 1=2

2 .Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda partida en 3

tercios. Eso se expresa como 1=3

3

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En el dibujo de abajo también hemos partido la unidad en sextos y en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda partida la unidad y el nombre de las partes.

En la forma en que estamos expresando estas particiones el número de abajo sirve para decir en cuántas partes iguales se fraccionaron la unidad y el número de arriba para decir cuántas partes tomamos. De estos números, el de arriba se llama numerador (el que numera o cuenta), y el de abajo denominador (el que da nombre), y la expresión se llama completa fracción o quebrado. En las figuras de arriba son iguales el numerador y el denominador porque tomamos todas las partes que forman la unidad.

Para decir de qué tamaño es un trozo de la unidad con respecto al entero usamos la misma notación. Por ejemplo, en la figura siguiente tenemos las mismas particiones que antes pero hemos marcado en G un medio, en H un tercio, en I dos sextos, en J un medio y en K dos cuartos. Al pie de cada dibujo hemos anotado cómo se escribe la parte sombreada.

Observe que en las figuras G, J y K se marcó la misma cantidad de área aunque la manera de partir es distinta. En este caso se dice que tenemos fracciones equivalentes y eso significa que expresan la misma cantidad. Lo mismo sucede con las figuras H e I.

En las figuras G y J tenemos dos maneras de partir la unidad en dos partes iguales y en cada figura marcamos un medio. En K tenemos la unidad partida en cuatro partes iguales pero hemos tomado

dos de ellas y juntas también son la mitad del rectángulo; esto se expresa como

12=2

4

83


En las figuras H e I tenemos

13=2

6 pero hay muchas otras maneras de tener esa misma cantidad. Observe las siguientes figuras en las que el rectángulo U es la unidad; en ellas se ha marcado la misma cantidad de área de muchas maneras:

84


En las figuras anteriores se ha marcado la tercera parte del área del rectángulo U con diversas fracciones.Estas fracciones son equivalentes porque expresan la misma cantidad, un tercio:

Observe que podemos obtener todas estas fracciones de un tercio multiplicando numerador y denominador por el mismo número:

13

=1x 23 x2

=26

13

=1x 43 x4

=412

13

=1x 83 x8

=824

Estas operaciones corresponden a obtener una partición más fina, de partes más pequeñas.

85


De esta manera es posible obtener todas las fracciones equivalentes que se quiera. Tomamos una fracción y multiplicamos numerador y denominador por el mismo número natural. Por ejemplo, dos diecisieteavos es equivalente a dieciséis ciento-treinta-y-seis-avos porque

2 x 8 = 16 y 17 x 8 = 136

Observe también que si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, entonces al realizar estas divisiones obtenemos una fracción equivalente.

Lo que se hace con esto es agrupar partes pequeñas en una mayor. Por ejemplo:

412

= 4÷212÷2

=26

Si se obtienen fracciones equivalentes con este proceso se dice que se simplifica o que se reduce una fracción. Cuando el numerador y el denominador de una fracción no tienen divisores en común se dice que la fracción es irreducible, es decir que no se puede reducir. Por ejemplo, podemos

86


simplificar la fracción cuarenta y ocho sesenta-avos dividiendo entre dos, dos veces, y luego entre tres, una vez. Obtenemos una fracción que ya no se puede simplificar más:

4860

=48÷260÷2

=2430

=24÷230÷2

=1215

=12÷315÷3

=45

Saber encontrar fracciones equivalentes es muy útil, sobre todo para comparar fracciones y para hacer operaciones con ellas. Por ejemplo, si queremos saber qué es más grande, tres quintos o cuatro séptimos, buscamos una manera de dividir la unidad que permita expresar tanto séptimos como quintos y vemos cuál es mayor directamente. Veamos cómo hacer esto.

Si queremos tener quintos debemos partir en 5 o en un múltiplo de 5, y si queremos tener séptimos debemos partir en 7 o en un múltiplo de 7. Necesitamos entonces un múltiplo común de 7 y 5; puede ser cualquiera de sus múltiplos en común pero, si no queremos acabar trabajando con números muy grandes, conviene que sea el mínimo común múltiplo de estos números, m.c.m {5, 7}. Como 5 y 7 son números primos, no tienen divisores en común, y entonces m.c.m {5, 7} = 5 x 7 = 35. Debemos entonces escribir los dos quebrados con denominador 35:

47=4 x5

7x 5=20

35

35=3 x 7

5 x 7=21

35

Cuando tenemos un quebrado con el numerador más chico que el denominador, tenemos menos

que una unidad y decimos que es una fracción propia. Por ejemplo,

47,1120,32360 , y son fracciones

propias. Sin embargo podemos tener un quebrado con el numerador mayor que el denominador; en

ese caso tenemos más que una unidad y decimos que es una fracción impropia. Por ejemplo, 43,2310,13225 y son fracciones impropias. También podemos escribir las fracciones impropias como

los enteros que forman y una fracción propia. Por ejemplo, en siete quintos tenemos un entero y dos

quintos; esto se acostumbra escribir como

75=1

25 y se lee un entero dos quintos. Cuando tenemos

87


enteros y fracciones en esta forma decimos que es una fracción mixta. Por ejemplo,

57

25y 14

38 son fracciones mixtas.

Actividades de apropiación1. En las siguientes figuras el rectángulo R es la unidad. Diga qué parte de la unidad es la parte sombreada de cada uno de los otros rectángulos. Encuentre todas las fracciones equivalentes en las siguientes figuras.

2. En las siguientes figuras cada rectángulo es la unidad de referencia. Escriba qué parte del entero es la parte sombreada en cada caso y encuentre tres fracciones equivalentes a la que dio.

3. Simplifique las siguientes fracciones hasta tener una fracción irreducible:

88


4. De las siguientes parejas de fracciones diga cuál es más grande:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


89


Para expresar partes de una unidad hemos trabajado con números fraccionarios en el sistema de numeración decimal posicional y también con quebrados con cualquier denominador. Es conveniente ver la relación entre estas dos maneras de escritura.

Observe que podemos escribir las fracciones decimales como quebrados o como números decimales, por ejemplo:

En general, si tenemos cualquier número decimal, con leerlo basta para saber cómo se puede escribir como un quebrado.

Por ejemplo, el número 0.23 se lee veintitrés centésimos. Sabemos entonces que se puede escribir

como 23 partes de un entero partido en cien pedazos iguales. Es decir: 0 .23=23

100 Observe que el denominador de la fracción que construimos tiene dos ceros y 0.23 tiene dos cifras decimales.

Este procedimiento para escribir un número decimal como quebrado se puede usar siempre que el número tenga expansión decimal finita. Se pone como numerador la parte decimal del número y como denominador un uno con tantos ceros como decimales tenga nuestro número.

Veamos un par de ejemplos:

90


Veamos ahora el procedimiento inverso: escribir un quebrado como un número decimal. Si tenemos un quebrado con denominador distinto de una potencia de diez, por ejemplo cuatro quintos, quiere decir que partimos la unidad en cinco partes iguales y de ellas tomamos cuatro. Si queremos expresar esta misma cantidad con una fracción decimal podemos buscar una fracción equivalente con denominador 10, que es la potencia de 10 inmediatamente más grande que 5. En este ejemplo, si multiplicamos el numerador y el denominador por dos, obtenemos ocho décimos que es una fracción con denominador 10, y la podemos expresar como quebrado o como decimal.

45=4 x2

5x 2= 8

10=0 . 8

Observe que, para encontrar la fracción decimal que necesitábamos, usamos el 10 que divide a 8.

Cuando tenemos un quebrado con denominador a una potencia de 10, podemos usar el procedimiento anterior.

Por ejemplo, si queremos expresar siete veinticincoavos como un decimal, multiplicamos numerador y denominador por 4 y obtenemos veintiocho centésimos. Este número se puede escribir directamente como quebrado o como decimal:

725

= 7 x 425 x 4

=28100

=0. 28

El procedimiento anterior se puede usar si tenemos un quebrado con denominador que divide a una potencia de diez pero puede ser complicado. Observe que si en los ejemplos anteriores dividimos 4 entre 5, obtenemos 0.8 y si dividimos 7 entre 25, obtenemos 0.28. Esta es otra manera de encontrar un número decimal equivalente al quebrado que tenemos y se puede usar aunque el denominador no divida a una potencia de diez.

Por ejemplo, si queremos expresar tres octavos como un número decimal no podemos encontrar una fracción equivalente con denominador que sea una potencia de diez.

Pero podemos dividir tres entre ocho sin problema para encontrar su equivalente en notación decimal que es 0.375.Con este procedimiento es posible encontrar el número decimal equivalente a cualquier quebrado. Desde luego encontraremos distintas expansiones decimales, algunas de ellas finitas y algunas de ellas periódicas.


1. Encuentre un quebrado equivalente a cada uno de los siguientes números decimales:

91


2. José y Fermín tienen que pintar dos paredes del mismo tamaño y decidieron que cada uno

pintara una pared. En 3 horas José pintó

35 de la pared que le correspondía y Fermín

23 .

a) Represente gráficamente las paredes y la parte de cada una que ya está pintada.

b) Exprese las porciones de pared pintadas por cada uno con fracciones de igual denominador.

c) ¿Quién pintó más, José o Fermín?

d) ¿Terminarán de pintar en 2 horas más de trabajo al mismo ritmo? ¿Por qué?

3. De un depósito de agua que estaba lleno se sacaron 25

a) Represente gráficamente el depósito y la parte de agua que se extrajo.

b) Exprese con un quebrado la parte del contenido que quedó en el depósito.

92


c) ¿La cantidad de agua que quedó en el depósito ocupa más o menos de la mitad de su capacidad?


93


SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Suma y resta de fracciones con el mismo denominador

Para sumar o restar quebrados con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y, si podemos, simplificamos el resultado. Por ejemplo:

94


Suma y resta de fracciones con distinto denominador

Si los quebrados que queremos sumar o restar tienen distinto denominador, entonces tenemos distintas particiones de la unidad y para hacer las operaciones necesitamos una partición en común.

Por ejemplo, si queremos sumar un medio y un tercio tenemos la unidad partida en mitades y en tercios. Para tener medios necesitamos que la unidad esté partida en 2 o en un múltiplo de 2. Para tener tercios necesitamos que la unidad esté partida en 3 o en un múltiplo de 3. Para tener una partición común tomamos un múltiplo común de 2 y 3, por ejemplo 6 que es el más chico: 6 = mcm {2, 3}. Luego encontramos fracciones equivalentes a un medio y a un tercio con denominador 6; decimos que 6 es el denominador común o el común denominador. Y después sumamos.

Es decir

12=1 x3

2 x3=3

6y

13=1x 2

3x 2=2

6Entonces la suma queda como sigue:

Si ahora queremos sumar dos quintos y dos tercios, como 3 y 5 son números primos, mcm {3, 5} = 3 x 5 = 15. Debemos ahora expresar dos quintos y dos tercios con fracciones equivalentes a ellas que tengan 15 como común denominador.

Es decir:

25=2 x3

5 x 3= 6

15y

23=2x 5

3x 5=10

15

Entonces la suma queda como sigue:

95


Veamos otro ejemplo. Si queremos sumar tres cuartos y dos sextos, como 4 = 2 x 2 y 6 = 2 x 3, m c m {4, 6} = 2 x 2 x 3 = 1 2 , entonces el denominador común es 12 y la suma queda:

34+ 2

6=3 x3

4 x 3+ 2 x 2

6 x 2= 9

12+ 4

12=13

12=1

112

Si queremos restarle un octavo a cuatro novenos, encontramos un común denominador de las dos fracciones que es m.c.m {8, 9} = 72. Encontramos las fracciones equivalentes a las que tenemos con denominador 72 y restamos:

49−1

8= 4 x8

9x 8−1 x9

8 x 9=32

72− 9

72=23

72Si queremos sumar más de dos fracciones, buscamos el mínimo común múltiplo de todos los denominadores; encontramos las fracciones equivalentes a las que tenemos con ese denominador; sumamos y simplificamos el resultado.Por ejemplo, si queremos sumar cinco octavos, dos tercios y un cuarto, buscamos el mínimo común múltiplo de 3, 4 = 2 x´ 2 y 8 = 2 x 2 x 2, que es m.c.m {3, 4, 8} = 3 x 2 x 2 x 2 = 24. Encontramos las fracciones equivalentes a cinco octavos, dos tercios y un cuarto con denominador 24:

58=5x 3

8x 3=15

24

23=2 x 8

3 x 8=16

24

14=1x 6

4 x6= 6

24 y sumamos:

1524

+1624

+ 624

=15+16+624

=3724

=11324

Suma y resta de fracciones mixtas

Si sumamos fracciones mixtas podemos sumar primero los enteros y luego las fracciones o convertir los enteros en fracciones, sumar y simplificar el resultado.

Por ejemplo, si queremos sumar tres enteros un medio y cinco enteros un tercio, se puede hacer de las dos maneras siguientes:

96


a) Sumamos primero los enteros:

b) O bien, primero convertimos los enteros a fracciones impropias

312=3 x2

2+ 1

2=6

2+ 1

2=7

2 5

13=5 x3

3+ 1

3=15

3+ 1

3=16

3

Y luego sumamos:

72+16

3=21+32

6=53

6=8

56

Si restamos fracciones mixtas hay que ver si se pueden restar por separado los enteros y las fracciones.

Si la fracción del sustraendo es menor que la del minuendo, restamos enteros de enteros y fracciones de fracciones.

Por ejemplo, si queremos restar tres enteros un medio menos un entero un tercio, como 1 es menor que 3 y un tercio, es menor que un medio, primero restamos enteros de enteros y luego las fracciones. Al final sumamos los resultados. La resta queda:

Si la fracción del sustraendo es mayor que la del minuendo, tenemos que convertir una unidad del minuendo en fracciones y después usar el procedimiento anterior.

Por ejemplo, si queremos restar dos enteros un tercio menos un entero un medio, tenemos que un tercio es menor que un medio. Convertimos uno de los dos enteros del minuendo en tercios para tener una fracción mayor que la del sustraendo:

97


Y ahora restamos:


1. Sume las siguientes Fracciones:

2. Haga las siguientes restas de fracciones:

98


3. Según el diseño elegido para embaldosar un patio se requieren 28

de losetas negras, 14

de losetas

blancas y el resto de losetas verdes.

a) ¿Qué parte de la superficie del patio quedará cubierta con losetas verdes?

b) ¿De qué color habrá más losetas en el patio cuando quede terminado?

99


4 . Ca lcu la qué f racc ión de l a un idad rep resen ta :

1La mi tad de la mi tad .

2La mi tad de la te rcera par te .

3La te rcera par te de la mi tad .

4La mi tad de la cuar ta par te .

5 . E lena va de compras con 180 € . Se gas ta 3 /5 de esa can t i dad . ¿Cuán to l e

queda?

100


6 . Dos au tomóv i l es A y B hacen un m ismo t rayec to de 572 km. E l au tomóv i l A

l l eva reco r r i dos l os 5 /11 de l t r ayec to cuando e l B ha reco r r i do l os 8 /13 de l

m ismo . ¿Cuá l de l os dos va p r imero? ¿Cuán tos k i l óme t ros l l eva reco r r i dos

cada uno?

7 . Hace unos años Pedro ten ía 24 años , que rep resen tan l os 2 /3 de su edad

ac tua l . ¿Qué edad t i ene Pedro?

8 . En l as e lecc iones l oca les ce leb radas en un pueb lo , 3 /11 de l os vo tos

fue ron pa ra e l pa r t i do A , 5 /10 pa ra e l pa r t i do B , 5 /14 pa ra C y e l r es to pa ra

e l pa r t i do D . E l t o ta l de vo tos ha s ido de 15 400 . Ca lcu la r :

El número de vo tos ob ten idos po r cada pa r t i do .

El número de abs tenc iones sab iendo que e l número de vo tan tes rep resen ta

5 /8 de l censo e lec to ra l .

9 . Un pad re repa r te en t re sus h i j os 1 800 € . A l mayo r l e da 4 /9 de esa

can t i dad , a l med iano 1 /3 y a l menor e l r es to . ¿Qué can t i dad rec ib ió cada

uno? ¿Qué f racc ión de l d ine ro rec ib ió e l t e r ce ro?


MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

101


En esta lección se verá cómo multiplicar y dividir números racionales. Usted ya sabe realizar estas operaciones con números enteros y decimales.

Multiplicación de fracciones

En esta lección se están estudiando los algoritmos para multiplicar y dividir racionales. Ya vimos que los racionales se pueden representar con fracciones o con decimales. En los apartados anteriores tratamos los casos en que los números se representan con decimales. Ahora vamos a presentar la manera en que se multiplican dos fracciones.

Al multiplicar dos fracciones se obtiene una fracción. Entonces, para efectuar la multiplicación necesitamos saber cuál es el numerador y cuál el denominador del resultado. La regla es la siguiente:

• El numerador del producto de dos fracciones es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los denominadores, de las fracciones que se están multiplicando.

Veamos un ejemplo: multipliquemos las fracciones y

25

y74

Obtenemos el resultado

1420 . Pero como 14 y 20 tienen divisores comunes, podemos simplificar el

resultado, encontrando una fracción equivalente que tenga un denominador más pequeño:

dividiendo arriba y abajo entre 2 se obtiene

710

Ya se ha dicho que los enteros son racionales que se pueden expresar como fracciones poniéndoles como denominador el 1. Así podemos realizar multiplicaciones como la que se muestra a continuación.25x7=2

5x

71=14

5

ACTIVIDADES

1. Resuelva las siguientes multiplicaciones y si es posible simplifique el resultado:

A)

815x

3518

= B)

23x

916

= C)

89x

57=

102


D)

46x

1525

= E)

85x 3=

F)

12x

54x

73=

División de fracciones

Para dividir dos fracciones es conveniente hablar de algunas propiedades de la multiplicación de números racionales, que son importantes para la división de fracciones.

La primera de ellas es la propiedad del neutro multiplicativo, propiedad que ya conocíamos para los naturales y para los enteros:

• Al multiplicar por 1 cualquier número racional, el resultado es ese mismo número.

Por ejemplo:

38x 1=3

8

La segunda propiedad es la del inverso multiplicativo:

• Para todo número racional distinto de cero, se puede encontrar otro número racional que multiplicado por el primero dé como resultado 1. El número encontrado es el inverso multiplicativo del primero.

Por ejemplo,

En general, para fracciones podemos decir que el inverso multiplicativo de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera, y por denominador el numerador de

la primera. Si estos números son a y b, el inverso multiplicativo de la fracción

ab es la fracción

ba ,

ya que al multiplicar las dos, siempre se obtiene una fracción que tiene como numerador y denominador el mismo número, por lo que es una fracción equivalente al entero 1.

103


Otra propiedad que debemos recordar es que la división y la multiplicación son operaciones inversas, esto es, que el efecto de una queda anulado por el de la otra. Por ejemplo:

328 x 271 ÷ 271 = 328 1672 ÷ 19 x 19 = 1672

El efecto de multiplicar por 271 se “deshace” al dividir entre 271. El efecto de dividir entre 19 se “deshace” al multiplicar por 19. Usted puede convencerse de este hecho, usando una calculadora. Pruebe con varios ejemplos y varios números, sólo asegúrese de que multiplica y divide siempre por el mismo número.Al relacionar estos hechos con el inverso multiplicativo podemos notar que:

49 x 28 ÷ 28 = 49 = 49 x 1 = 49 x (28 x 1 / 28)

También

1672 ÷ 19 x 19 = 1672 = 1672 x 1 = 1672 x ( 1 / 19 x 19 )

Con esto lo que se quiere decir es que es lo mismo dividir entre 28 que multiplicar por. Y que es lo mismo dividir entre 19 que multiplicar por. En general:

• Es lo mismo dividir un número entre una fracción que multiplicarlo por el inverso multiplicativo del divisor.

Estas ideas nos permiten efectuar una división de fracciones, una vez que se sabe cómo multiplicarlas. Porque se puede transformar una división en multiplicación, usando el inverso multiplicativo.

Por ejemplo, si queremos hacer la división

53÷7

4 , en lugar de dividir

53 entre

74 se multiplica por

su inverso multiplicativo, o sea, por

47 :

53÷7

4=5

3⋅4

7=20

21

Podemos simplificar todo esto con el siguiente procedimiento para dividir fracciones: 1. Se multiplica el numerador de la primera, por el denominador de la segunda. El resultado es el numerador del cociente. 2. Se multiplica el denominador del primero por el numerador del segundo. El resultado es el denominador del cociente.

104


Ejemplos:

Con este mismo procedimiento podemos dividir una fracción entre un entero, o un entero entre una fracción, ya que podemos expresar el entero como una fracción con denominador igual a 1. Por ejemplo:


1. Encuentre el inverso multiplicativo de los siguientes números:


105


Multiplicación y división con números racionales negativos

En esta lección se vieron todos los casos para multiplicar y dividir racionales pero no se ha hablado de racionales negativos. Para estos números los algoritmos se realizan considerando los valores positivos de los racionales con los que se está operando, el único cuidado extra que hay que tener es colocar el signo al resultado de acuerdo a la regla de los signos que es la misma que para los números enteros:

• Al multiplicar o dividir dos números con el mismo signo, el resultado es positivo;• Al multiplicar o dividir dos números con signos distintos, el resultado es negativo.

Veamos unos ejemplos:

Simplificación de fracciones

Frecuentemente tenemos fracciones que se pueden simplificar para obtener otras con un denominador más chico. Estas fracciones pueden presentarse o bien solas o bien como resultado de operaciones realizadas con otras fracciones.

106


Por ejemplo, la fracción

3036 puede expresar que una unidad se parte en 36 porciones de las que se

toman 30, o puede ser el resultado de una operación, como alguna de las siguientes:

Hemos mencionado que en esos casos conviene encontrar una fracción equivalente más sencilla. ¿Cómo hacer eso? Ahora veremos cómo:

Lo primero que se hace es descomponer el numerador y el denominador de la fracción en factores primos, tenemos:

Después expresamos la fracción poniendo en el numerador y en el denominador esta descomposición en factores primos:

Esto significa, en nuestro ejemplo, que si dividimos tanto el numerador como el denominador entre 2 ó entre 3, seguiremos encontrando números enteros en cada parte:

107


Esto lo podemos hacer porque el 2 y 3 son factores comunes a 30 y a 36. No podríamos dividir entre 5, porque aunque es factor de 30 no lo es de 36, ni podríamos dividir entre 3 x 3, o sea entre 9, porque 9 no es factor de 30 aunque sí lo sea de 36.

Una manera usual de hacer estas divisiones de los factores comunes es tachando, en la descomposición en factores primos del numerador y del numerador, los factores comunes a los dos, y luego multiplicando los números restantes, así:

La fracción resultante, que en este caso es

56 , es una fracción equivalente a la primera, y lo más

simplificada que es posible, ya no se puede dividir el numerador y el denominador entre otro número.

Veamos otro ejemplo: simplifiquemos la fracción

1590 . Primero descomponemos en factores primos

el 15 y el 90:

Después expresamos la fracción utilizando estas descomposiciones:

Después tachamos arriba y abajo los factores comunes:

Y finalmente multiplicamos los factores que quedan:

108


Observe que en este caso quedaron tachados todos los factores del numerador, y que lo que queda es 1: esto es porque la expresión tachada es equivalente a 1

Actividades de apropiación y aplicación

1. Simplifique las siguientes fracciones:

2. Resuelva los problemas

a) Por cada peso que se queda a deber en una tarjeta de crédito, el banco cobra $0.0625 de intereses. Si Olivia quedó a deber $158400.50 en su tarjeta de crédito; ¿cuánto debe pagar de intereses?

109


b) ¿Cuántos metros cuadrados mide el área de un terreno rectangular que tiene 14.5 m de ancho y 72.7 m de largo?

110



RECAPITULACIÓN

Realice un mapa conceptual acerca del tema, Socialícelo con su equipo de trabajo y entre todos realicen un mapa conceptual grupal para exponer en el aula.

PENSANDO…………………. PENSANDO

Muchos me rechazan

Había una iglesia en un barrio, a la que asistían personas muy cultas y refinadas. Existía una especie de derecho de admisión, es decir los líderes de la iglesia se fijaban en los asistentes, en como vestían, su status, su formación y de donde provenían.Un borracho arrepentido de su situación y con deseos de cambiar su vida, intentó entrar a una de sus reuniones pero no pudo, porque los encargados de recibir a las visitas, le impidieron la entrada al templo. El borracho se retiró con tristeza y sin entender lo que ocurría.Pasado unos minutos, se presentó la prostituta del barrio que, cansada de la clase de vida que llevaba, intentó entrar a la iglesia, buscando que alguien le aconsejara como podía dejar de usar su

111


cuerpo de esa manera y cambiar su estilo de vida para poder estar más cerca de Dios. Lamentablemente fue reconocida por los recepcionistas del templo y no la dejaron entrar.Más tarde se acercó un hombre que había tenido muchos problemas; había perdido su empresa, sus bienes, su esposa se había ido con sus hijos y estaba solo, abandonado y viviendo en la calle. Ese día sintió la necesidad de ir a pedirle a Dios, que le quitara su amargura y le ayudara a resolver sus problemas.Su aspecto era deplorable, sus ropas gastadas y sucias. Nuevamente, los que estaban en la puerta del templo, entraron en acción y al verlo venir, ni lo dejaron acercar.Horas más tarde los tres personajes, se encontraron en la plaza que estaba junto al templo y sentados en un banco conversaban entre ellos y comentaban lo que les había sucedido. No podían entender como había personas que impedían a otras acercase al Señor, cuando el mismo Jesús, derramó amor, sanidad y salvación, entre los pobres, los enfermos y las prostitutas.De pronto y ante su asombro se incorporó a la conversación una nueva persona. Por alguna razón todos supieron que era Jesús que los miraba con ternura. Entonces les habló y les dijo:-No estén tristes, ni se angustien, a mí también me rechazaron.-¿Cómo es posible Señor? preguntó uno de ellos.-Ellos piensan que viniendo al templo con sus mejores ropas, cantar algunos himnos y escuchar historias de la Biblia, tendrán mi favor.Todo lo hacen por costumbre, porque todos lo hacen, pero no se dan cuenta que no permiten mi presencia en sus vidas.Y peor aún, no se dan cuenta que rechazándoles a ustedes, también me rechazan a mí.El otro, preguntó:-Señor, ¿Cómo una persona puede venir a un templo y una vez dentro no dejar pasar a otra?-Es muy sencillo, contestó el Señor: ellos vienen porque son religiosos. No vienen porque me buscan a mí, sólo vienen para quedar bien y para que los demás los vean. En cambio ustedes quisieron entrar, porque me necesitan y tienen su corazón abierto para escuchar mi palabra. Porque quieren ser transformados a través de mi presencia en sus vidas.Piensa en esta historia y aprovéchala para examinar tu corazón y permitir que Dios te revele el motivo por el que vas a la iglesia.Si sólo vamos por costumbre, por el qué dirán, o por religiosidad, jamás podremos encontrar y conocer a único y verdadero Dios.Él desea tener un encuentro personal contigo, no quiere que vayas a la iglesia por costumbre, por el que dirán o por religiosidad. Hay mucho más que Dios quiere que entendamos y experimentemos.“Muchos por ver a los hombres jamás llegan a conocer al único y verdadero Dios”Jesús te dice:“No todos los que dicen que yo soy su Señor y dueño entrarán en el Reino de Dios. Eso no es suficiente; antes que nada deben obedecer los mandamientos de mi Padre, que está en el cielo…” Mateo 7: 21 - 22 - 23


112


8.1. RAZONES Y PROPORCIONES

Duración: Entre __________________ Y __________________

8.2 TABLA DE LOGROS

COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALESIdentifica razones y proporciones.

Comprende el proceso de regla de tres.

Plantea reglas de tres a partir de una situación dada.

Aplica la propiedad fundamental de las proporciones en la solución de problemas.

Cumple con los talleres y demás actividades propuestas para su aprendizaje.

Participa en el desarrollo de la clase realizando aportes significativos

8.3 CONTENIDOS:

8.3.1 Razones8.3.2 Proporciones8.3.3 Proporcionalidad directa8.3.4 Proporcionalidad inversa8.3.5 Regla de tres simple8.3.6 Porcentaje

PROPORCIONALIDAD Y ALGUNOS PORCENTAJES

Una magn i tud es cua lqu ie r p rop iedad que se puede med i r numér icamente .

La long i tud de l lado un cuadrado.La capac idad de una bo te l la de agua.E l número de go les marcados en un par t ido .E l número de go les marcados por e l equ ipo A .

Razón

113


Razón es e l coc ien te en t re dos números o dos cant idades comparab les en t re s í , expresado como f racc ión .

Los té rminos de una razón se l laman: antecedente y consecuente . E l antecedente es e l d iv idendo y e l consecuente es e l d iv isor .

Di fe renc ia en t re razón y f racc ión

La razón en los lados de un rec tángu lo de 5 cm de a l tu ra y 10 cm de base

es :

No hay que confundir razón con f racción.

Si es una f racción , en tonces a y b son números enteros con

b≠0, mien t ras que en la razón los números a y b pueden ser decimales

Def in ic ión de proporc ión

Proporc ión es una igua ldad en t re dos razones .

Constante de proporc ional idad

Propiedades de las proporc iones

En una proporc ión de l p roduc to de los med ios es igua l a l p roduc to de los ex t remos .

114


En una proporc ión o en una ser ie de razones igua les , la suma de los an tecedentes d iv id ida en t re la suma de los consecuentes es igua l a una cua lqu ie ra de las razones .

Si en una proporc ión cambian en t re s í los med ios o ex t remos la p roporc ión no var ía .

Dos magni tudes son d i rectamente proporc ionales cuando, a l mult ip l icar o d iv id i r una de e l las por un número cua lqu ie ra , l a ot ra queda mul t ip l icada o d iv id ida por e l m ismo número .

Se es tab lece una re lac ión de proporc iona l idad d i rec ta en t re dos magn i tudes cuando:

A más co r responde más .

A menos co r responde menos .

Son magn i tudes directamente proporc ionales , e l peso de un produc to y su p rec io .

S i 1 kg de tomates cues ta 1 € , 2 kg cos ta rán 2 € y ½ kg cos ta rá 50 cént imos.

Es dec i r :

A más k i lógramos de tomate más euros .

A menos k i lógramos de tomate menos euros .

115


También son directamente proporc ionales :

E l espac io recor r ido por un móv i l y e l t iempo empleado.

E l vo lumen de un cuerpo y su peso.

La long i tud de los lados de un po l ígono y su á rea .

Cons is te en que dadas dos cant idades cor respond ien tes a magn i tudes directamente proporc ionales , ca lcu la r la can t idad de una de es tas magn i tudes cor respond ien te a una cant idad dada de la o t ra magn i tud .

REGLA DE TRES

La regla de t res d i recta la ap l i caremos cuando en t re las magn i tudes se es tab lecen las re lac iones :

A más más .

A menos menos .

Ejemplos

Un automóv i l recor re 240 km en 3 horas . ¿Cuántos k i lómet ros habrá recor r ido en 2 horas?

Son magn i tudes directamente proporc ionales , ya que a menos horas recor re rá menos k i lómet ros .

240 km 3 h

x km 2 h

116


Ana compra 5 kg de pa ta tas , s i 2 kg cues tan 0 .80 € , ¿cuánto pagará Ana?

Son magn i tudes directamente proporc ionales , ya que a más k i los , más euros .

2 kg 0 .80 €

5 kg x €

Un porcenta je es un t ipo de regla de t res d i recta en e l que una de las cant idades es 100.

Ejemplos de porcenta jes…………………………………………

Una moto cuyo prec io e ra de 5 .000 € , cues ta en la ac tua l idad 250 € más. ¿Cuá l es e l porcenta je de aumento?

5000 € 250 €

100 € x €

E l 5%.

Al adqu i r i r un vehícu lo cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen un descuento de l 7 .5%. ¿Cuánto hay que pagar por e l veh ícu lo?

100 € 7 .5 €

8800 € x €

117


8800 € − 660 € = 8140 €

También se puede ca lcu la r d i rec tamente de l s igu ien te modo:

100 € 92 .5 €

8800 € x €

E l p rec io de un ordenador es de 1200 € s in IVA. ¿Cuánto hay que pagar por é l s i e l IVA es de l 16%?

100 € 116 €

1200 € x €

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPOCIONALES

Dos magn i tudes son inversamente p roporc iona les cuando, a l mu l t ip l i ca r o d iv id i r una de e l las por un número cua lqu ie ra , la o t ra queda d iv id ida o mu l t ip l i cada por e l m ismo número .

118


Se es tab lece una re lac ión de proporc ional idad inversa en t re dos magn i tudes cuando:

A más co r responde menos .

A menos co r responde más .

Son magni tudes inversamente proporc ionales , la ve loc idad y e l t iempo:

A más ve loc idad cor responde menos t iempo.

A menos ve loc idad cor responde más t iempo .

Un vehícu lo ta rda en rea l i zar un t rayec to 6 horas s i su ve loc idad es de 60 km/h , pero s i dob lamos la ve loc idad e l t iempo d isminu i rá a la mi tad . Es dec i r , s i la ve loc idad es de 120 km/h e l t iempo de l t rayec to será de 3 horas .

REGLA DE TRES INVERSA

Cons is te en que dadas dos cant idades cor respond ien tes a magn i tudes inversamente p roporc iona les , ca lcu la r la can t idad de una de es tas magn i tudes cor respond ien te a una cant idad dada de la o t ra magn i tud .

La regla de t res inversa la ap l i caremos cuando en t re las magn i tudes se es tab lecen las re lac iones :

A más menos .

A menos más .

E jemplo

Un gr i fo que mana 18 l de agua por minu to ta rda 14 horas en l lenar un depós i to . ¿Cuánto ta rdar ía s i su cauda l fuera de 7 l por minu to?

119


Son magn i tudes inversamente proporc ionales , ya que a menos l i t ros por minu to ta rdará más en l lenar e l depós i to .

18 l /m in 14 h

7 l /m in x h

3 obreros cons t ruyen un muro en 12 horas , ¿cuánto ta rdarán en cons t ru i r lo 6 obreros?

Son magn i tudes inversamente proporc ionales , ya que a más obreros ta rdarán menos horas .

3 obreros 12 h

6 obreros x h

EJERCICIOS

Calcu la r e l té rmino desconoc ido de las s igu ien tes p roporc iones :

1

2

3

4

120


5

2Dos ruedas es tán un idas por una cor rea t ransmisora . La p r imera t iene un rad io de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la p r imera ha dado 300 vue l tas , ¿cuántas vue l tas habrá dado la segunda?

3Seis personas pueden v iv i r en un ho te l duran te 12 d ías por 792 € . ¿Cuánto cos ta rá e l ho te l de 15 personas duran te ocho d ías?

4Con 12 bo tes conten iendo cada uno ½ kg de p in tu ra se han p in tado 90 m de ver ja de 80 cm de a l tu ra . Ca lcu la r cuántos bo tes de 2 kg de p in tu ra serán necesar ios para p in ta r una ver ja s im i la r de 120 cm de a l tu ra y 200 met ros de long i tud .

511 obreros labran un campo rec tangu la r de 220 m de la rgo y 48 de ancho en 6 d ías . ¿Cuántos obreros serán necesar ios para labrar o t ro campo aná logo de 300 m de la rgo por 56 m de ancho en c inco d ías?

6 Se is g r i fos , ta rdan 10 horas en l lenar un depós i to de 400 m³ de capac idad. ¿Cuántas horas ta rdarán cuat ro g r i fos en l lenar 2 depós i tos de 500 m³ cada uno?

7De los 800 a lumnos de un co leg io , han ido de v ia je 600. ¿Qué porcenta je de a lumnos ha ido de v ia je?

8Una moto cuyo prec io e ra de 5 .000 € , cues ta en la ac tua l idad 250 € más. ¿Cuá l es e l porcenta je de aumento?

9Al adqu i r i r un vehícu lo cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen un descuento de l 7 .5%. ¿Cuánto hay que pagar por e l veh ícu lo?

10Al comprar un mon i to r que cues ta 450 € nos hacen un descuento de l 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

11 Se vende un ar t ícu lo con una gananc ia de l 15% sobre e l p rec io de cos to . S i se ha comprado en 80 € . Ha l la e l p rec io de venta .

12 Cuá l será e l p rec io que hemos de marcar en un ar t ícu lo cuya compra ha ascend ido a 180 € para ganar a l vender lo e l 10%.

13 ¿Qué prec io de venta hemos de poner a un ar t ícu lo comparado a 280 € , para perder e l 12% sobre e l p rec io de venta?

121


14Se vende un ob je to perd iendo e l 20% sobre e l p rec io de compra . Ha l la r e l p rec io de venta de l c i tado ar t ícu lo cuyo va lo r de compra fue de 150 € .

2. ¿Cuánto es ...

a) el 10% de 75? l) el 25% de 9876.40?b) el 10% de 750? m) el 25% de 1000?c) el 10% de 2354? n) el 25% de 100?d) el 10% de 100? o) el 50% de 40?e) el 20% de 45? p) el 50% de 125?f) el 20% de 2897? q) el 50% de 896?g) el 20% de 5.6? r) el 50% de 4536?h) el 20% de 543.80? s) el 50% de 543.80?i) el 20% de 100? t) el 50% de 100?j) el 25% de 12? u) el 50% de 1000?k) el 25% de 786? v) el 100% de 300

3. ¿Qué porcentaje esa) 100 de 200? e) 30 de 150?b) 100 de 1000? f) 175 de 350? c) 50 de 200? g) 3 de 6?d) 25 de 250? h) 3 de 12?i) 3 de 15?

4.Para realizar cierto trabajo, Tomás pasó el siguiente presupuesto: $95 400 de materiales y $12 000 más IVA (16%) de mano de obra. Pidió el 40% del total como anticipo.a) ¿A cuánto asciende el importe total del presupuesto?b) ¿Cuánto deberá cobrar Tomás al terminar el trabajo?

5. Josefa aprovecha el 20% de descuento para comprar una plancha cuyo precio con IVA incluido es de $23800 y una licuadora en cuya etiqueta dice $32500 más IVA.

a) ¿Cuánto deberá pagar Josefa por los dos artículos?b) ¿Cuánto dinero le descontaron?

122



El mago y el ratón

Era un extraordinario y famoso mago. Un día, mientras paseaba vio a un ratoncito y se le ocurrió hacer algo realmente importante con él.

Se dirigió entonces al frágil ratoncito y le dijo:

-Has pasado por mi camino y me ha cautivado tu fragilidad, así que ya no serás más un ratón, te voy a convertir en la más bella de las mujeres, la más habilidosa y la más llena de todas las virtudes.

Y al instante se convirtió, en una bella doncella. -Ahora ¿qué deseas?, pídeme lo que quieras. Le dijo el mago.

La doncella, le respondió:-Quiero casarme con el ser más poderoso del mundo.

Muy bien, dijo el mago:-Te casarás con el Sol, él es quién da luz y calor a todo el planeta.

Pero entonces intervino el Sol y dijo:-No soy tan poderoso, piensa que unas cuantas nubes pueden cubrirme y ocultar mi luz y mi calor.

124


EL mago reflexionó y dijo:-Es cierto, entonces, te casaras con las Nubes que son capaces de dejar sin luz y calor al Sol y que

nos dan la lluvia tan indispensable para la vida.Pero las Nubes respondieron:

-No es tanta nuestra fuerza o importancia, ya que el viento nos lleva de un lado al otro, a su antojo. Nuevamente el mago, dijo:

-Es cierto, te casaremos con el Viento. Pero el Viento que estaba oyendo la conversación, dijo:

-Yo no tengo tanto poder como pensáis. Una montaña puede detenerme e impedirme que pase al otro lado y solo puedo quedarme donde ella decida.

El mago se quedó razonando nuevamente:-Entonces te casarás con la Montaña, nadie la podrá mover.

Pero la montaña, respondió:-Yo no soy la más poderosa de la tierra. Date cuenta que un simple ratoncito puede excavar y roer

donde más le gusta y hacer su madriguera dentro de mí. Después de escuchar al Sol, las Nubes, el Viento y la Montaña el mago sin decir ni una sola palabra

convirtió a la bella mujer nuevamente en un ratoncito.El ratoncito viendo el mago alejarse comprendió que:

"Nadie es más fuerte y nadie es mejor, Dios creó todo lo que existe de acuerdo a un plan divino desde la eternidad y ordenó todas las cosas en su lugar. Cada uno de nosotros somos

parte de un plan estratégicamente diseñado, tanto el ratoncito, como tu y yo somos sumamente importantes para que todo se cumpla según su propósito”


9.1. GEOMETRÍA

Duración: Entre __________________ Y __________________

9.2

COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALESIdentifica las partes de un polígono.

Clasifica polígonos según el número de lados

Determina la medida de los ángulos internos de un polígono.

Construye y clasifica cuadriláteros

Participa activamente en el desarrollo de la clase.

Mantiene el adecuado porte del uniforme dentro y fuera del salón

9.3 CONTENIDOS:9.3.1 Conceptos básicos9.3.2 Polígonos9.3.3 Clasificación de polígonos9.3.4 Clasificación de triángulos9.3.5 Propiedades de los triángulos 9.3.6 Clasificación de cuadriláteros convexos

125


PRECONCEPTUALIZACIONEn esta lección revisaremos algunos conceptos que usted muy probablemente conoce bien. Líneas y ángulosUna línea puede ser curva, como la de la izquierda, o recta, como la de la derecha. En el segundo caso decimos que tenemos una línea recta, o, simplemente, una recta.

Las líneas se extienden por ambos lados indefinidamente. A veces se recuerda esto con flechas en ambos extremos, como se muestra enseguida con la recta m:

Un segmento es una porción de línea recta que está limitada por dos puntos que son sus extremos. Por ejemplo, los extremos del siguiente segmento son los puntos A y B:

Como las líneas se extienden indefinidamente, no se pueden medir. Los segmentos sí se pueden medir. Cuando dos segmentos tienen la misma medida se dice que son congruentes. Por ejemplo, los segmentos CD y EF sonCongruentes:

También puede haber porciones de línea recta que sólo estén limitadas en un extremo. En este caso se habla de semirrectas. Por ejemplo, la siguiente semirrecta está limitada por el punto P y se extiende indefinidamente hacia el otro lado:

126


Dos rectas que están en el mismo plano y nunca se cruzan son paralelas, como las siguientes:

Dos rectas que no son paralelas se cruzan en un punto (también se dice que se cortan en ese punto), y entonces forman cuatro ángulos. Si O es el punto en el que se cortan las rectas, A y B son dos puntos en una de las rectas y C y D son dos puntos en la otra, los ángulos se pueden denotar así: AOC, COB, BOD y DOA.

Se puede entonces considerar a un ángulo como dos semirrectas que parten del mismo punto; a ese punto se le denomina vértice del ángulo. Los ángulos son más grandes o más pequeños, dependiendo de la apertura que guardan entre sí las dos semirrectas. Por ejemplo, en el dibujo de arriba los ángulos AOD y BOC (marcados con dos pequeños arcos) son más grandes que los ángulos COA y DOB (marcados con un solo arco).

Cuando los cuatro ángulos que se forman entre dos rectas son iguales, se dice que las dos rectas son perpendiculares, como en el siguiente ejemplo:

Al ángulo que forman entre sí dos semirrectas perpendiculares se le llama ángulo recto; se suele denotar con un cuadrito junto al vértice:

127


Consideremos ahora una recta y un punto P en ella. El punto P se puede considerar como el vértice de un ángulo entre dos semirrectas, y al ángulo que se forma se le llama ángulo llano:

Un ángulo que es menor que un ángulo recto se denomina ángulo agudo, como el que tiene vértice en el punto A de la siguiente figura. Un ángulo que es mayor que un ángulo recto pero menor que un ángulo llano se denomina ángulo obtuso, como el que tiene vértice en el punto B de la siguiente figura. Un ángulo que es mayor que un ángulo llano se denomina ángulo entrante, como el que tiene vértice en el punto C de la siguiente figura.

¿COMO TE HA PARECIDO LO QUE LLEVAMOS DEL TEMA? ¿QUE PARTE ES LA QUE MÁS TE HA GUSTADO?----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Actividades de apropiación1. Indique cómo son los siguientes ángulos

128


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Medición de ángulos

Las categorías de ángulos agudos, rectos, obtusos y entrantes permiten describir qué tan pequeños o grandes son los ángulos. Sin embargo, con mucha frecuencia es necesario hacer mediciones más finas.

Para hacer esto, se acostumbra dividir el círculo en 360 ángulos iguales, que se denominan grados.

129


Así, un ángulo recto tiene 90 grados, lo que se acostumbra escribir así: 90º.

Análogamente, un ángulo llano mide 180º.

Para medir ángulos se utiliza un transportador, que es un instrumento en forma de semicírculo con la graduación de grados de 0 a 180 y a veces también en sentido inverso.

Algunos transportadores son circulares y tienen la graduación de 0 a 360.

Observe que el transportador tiene en su parte inferior (o en la parte media, si es circular) una línea recta cuyos extremos van a dar a las graduaciones de 0º y 180º, a la mitad de la cual hay una pequeña marca, generalmente en forma de cruz.

Para usar el transportador se hace coincidir el vértice del ángulo que se desea medir con esa marca, y se hace coincidir uno de los lados del ángulo con la línea recta.

Por ejemplo, el ángulo de la derecha mide 120º. Usted puede Comprobarlo utilizando su transportador como se ha indicado. Cuando los lados del ángulo no están marcados suficientemente largos,usted puede alargarlos utilizando su regla: esto no modifica el tamaño del ángulo, puesto que no cambia su apertura.

.

3. Exprese cuántos grados, o bien entre cuántos y cuántos grados, miden:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

130


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------´---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Trace ángulos que midan:

a) 45º b) 60º c) 30º d) 120º

e) 150º f) 270º g) 300º h) 360º

131


Def in ic ión de c i rcunferencia

Es una l ínea curva cerrada cuyos puntos es tán todos a la misma distancia de un punto f i j o l lamado centro .Cent ro de la c i rcun ferenc ia

Punto de l que equid istan todos los puntos de la circunferencia .

Rad io de la c i rcun ferenc ia

Segmento que une e l centro de la circunferencia con un punto cua lqu ie ra de la misma.

Partes de la c i rcunferencia

Cuerda

132


Segmento que une dos puntos de la circunferencia .D iámet ro

Cuerda que pasa por e l cen t ro de la c i rcun ferenc ia .

Arco

Cada una de las partes en que una cuerda d iv ide a la circunferencia . Se sue le asoc ia r a cada cuerda e l menor a rco que de l im i ta .

Semic i rcun ferenc ia

Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro .

Longi tud de una c i rcunferencia

133


Ejemplo

Ca lcu la r la l ong i tud de una rueda de 90 cm de d iámet ro .

Área de un c í rculo

Ejerc ic ios del c í rculo

La longi tud de una circunferencia es 43 .96 cm. ¿Cuá l es e l área de l círculo?

Actividades de apropiación1. a) Si el radio de una circunferencia mide 4 cm., ¿cuánto mide el diámetro?

134


b) En general, ¿cuál es la relación entre la longitud del radio y la del diámetro? Si r es la longitud del radio y d es la longitud del diámetro, exprese esta relación con una fórmula.

2. Trace con un compás una circunferencia y llame r a la longitud de su radio y da la longitud de su diámetro

PROFUNDIZACIÓN

1. Calcule el perímetro de las circunferencias que tienen:• 12 cm. de diámetro.• 5 m. de diámetro.• 7 cm. de radio.• 4 m. de radio.

2. a) ¿Cuánto mide el diámetro de una circunferencia cuyo perímetro mide 6.28 m.?b) ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia cuyo perímetro mide 9.42 cm.?

3. Doña Lupita hizo un mantel para una mesa redonda que mide 120 cm de diámetro. El mantel cuelga 20 cm. del borde de la mesa, todo alrededor. Ahora doña Lupita quiere ponerle tira bordada en la orilla. ¿Cuánto debe comprar de tira bordada?

4. Una llanta de automóvil tiene un diámetro de 56 cm. ¿Cuántas vueltas da la llanta en 1000 metros?

135



Def in ic ión de pol ígono

Un pol ígono es la reg ión de l p lano l im i tada por t res o más segmentos .

E lementos de un po l ígono

Lados: Son los segmentos que lo l im i tan .

Vér t i ces : Son los puntos donde concur ren dos lados .

Ángu los in te r io res de un po l ígono: Son los de terminados por dos lados consecut ivos .

Suma de ángu los in te r io res de un po l ígono: S i n es e l número de lados de un pol ígono :

Suma de ángulos de un pol ígono = (n − 2 ) · 180°

Diagona l : Son los segmentos que de terminan dos vér t i ces no consecut ivos

Número de d iagona les de un po l ígono

Si n es e l número de lados de un po l ígono:

Número de d iagonales = n · (n − 3 ) : 2

4 · (4 − 3 ) : 2 = 2

136


5 · (5 − 3 ) : 2 = 5 6 · (6 − 3 ) : 2 = 9

Per ímetro de un pol ígono

Es la suma de las long i tudes de los lados de un po l ígono

Área de un pol ígono

Es la med ida de la reg ión o super f i c ie encer rada por de un po l ígono .

C lases de pol ígonos según sus ángulosConvexos

Todos sus ángu los menores que 180° .Todas sus d iagona les son in te r io res .

Cóncavos

137


Clases de pol ígonos según sus lados

Tr iángu los

Tienen 3 lados.

Cuadr i lá te ros

Tienen 4 lados.

Pentágonos

Tienen 5 lados.

Hexágonos

138


Tienen 6 lados.

Heptágonos

Tienen 7 lados.

Oc tágonos

Tienen 8 lados.

Eneágono

Tiene los 9 lados.

139


Decágono

Tiene 10 lados.

Endecágono

Tiene 11 lados.

Dodecágono

Tiene 12 lados.

T r idecágono

Tienen 13 lados.

140


Te t radecágono

Tiene 14 lados.

Pentadecágono

Clases de t r iángulos según sus lados

Tr iángu lo equ i lá te ro

Tres lados iguales .

Tr iángu lo i sósce les

141


Dos lados iguales .

Tr iángu lo esca leno

Tres lados desiguales

Clases de t r iángulos según sus ángulos

Tr iángu lo acu tángu lo

Tres ángulos agudos

Tr iángu lo rec tángu lo

142


Un ángulo rectoEl lado mayor es la h ipotenusa.Los lados menores son los catetos.

Tr iángu lo ob tusángu lo

Un ángulo obtuso.

Per ímetro de un t r iangulo

Tr iángulo Equi lá tero

Tr iángulo Isósceles

Tr iángulo Escaleno

Área de un t r iángulo

143


Ejemplo

Hal lar e l área de l s igu ien te t r iángulo :

Á rea de un t r iángu lo rec tángu lo

E l á rea de un t r iángulo rectángulo es igua l a l producto de los catetos par t ido por 2 .

E jemplo

Ha l la r e l área del t r iángulo rectángulo cuyos ca te tos miden 3 y 4 cm.

Teorema de Pi tágoras

144


El teorema de P i tágoras es tab lece que en un t r iángu lo rec tángu lo , e l cuadrado de la h ipo tenusa es igua l a la suma de los cuadrados de los ca te tos .

Empleo de l teorema de P i tágorasConoc iendo los lados de un t r iángu lo , aver iguar s i es rec tángu lo

Para que un t r iángulo sea rectángulo e l cuadrado de lado mayor ha de ser igua l a la suma de los cuadrados de los dos menores .

Determinar s i e l t r iángu lo es rec tángu lo .

Conoc iendo los dos ca te tos ca lcu la r la h ipo tenusa

Los catetos de un t r iángulo rectángulo m iden en 3 m y 4 m respec t ivamente . ¿Cuánto mide la hipotenusa?

145


Conoc iendo la h ipo tenusa y un ca te to , ca lcu la r e l o t ro ca te to

La hipotenusa de un t r iángulo rectángulo m ide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide o t ro cateto?

Ejerc ic ios

Una esca le ra de 10 m de long i tud es tá apoyada sobre la pared . E l p ie de la esca le ra d is ta 6 m de la pared . ¿Qué a l tu ra a lcanza la esca le ra sobre la pared?

146


Hal la r e l á rea de l t r iángu lo equ i lá te ro :

Ha l la r la d iagona l de l cuadrado:

147


Hal la r la d iagona l de l rec tángu lo :

Ha l la r e l per ímet ro y e l á rea de l t rapec io rec tángu lo :

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. Podríamos pensar también que es la longitud de un segmento que se formara con todos sus lados.

Perímetro de algunos polígonos

En un triángulo equilátero, si la longitud de cada lado es l, el perímetro es igual a tres veces el lado: P = 3 ℓ

En un cuadrado, si la longitud de cada lado es l, el igual al cuádruple del lado: P = 4 ℓ

En un rombo, si la longitud de cada lado es l, el perímetro es igual al cuádruple del lado: P = 4 ℓ

En un rectángulo, si la longitud del lado menor es a y la longitud del lado mayor es b, el perímetro es igual al doble de la suma de a más b: P = 2 (a + b)

148


En general, en un paralelogramo, si la longitud del lado menor es a y la longitud del lado mayor es b, el perímetro es igual al doble de la suma de a más b: P = 2 (a + b)

En general, en un polígono regular de n lados, si la longitud de cada lado es l, el perímetro es igual a n veces esa longitud: P = n* l

ACTIVIDADES

1. Calcule los perímetros de cada uno de los polígonos, utilizando las fórmulas respectivas.

2. Un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular y un hexágono regular tienen todos el mismo perímetro: 120 cm. ¿Cuánto mide el lado de cada uno de ellos? Has los dibujos y calcula el perímetro

3. Un terreno rectangular mide 24 m por 45 m., y se desea delimitarlo con cinco vueltas de alambre de púas. El alambre de púas se vende por rollo de 100 m.; y cada rollo cuesta $202.a) ¿Cuánto alambre se necesita

149


comprar?b) ¿Cuántos rollos se necesitacomprar?c) ¿Cuánto alambre sobra?d) ¿Cuánto se debe pagar?

b) El lado mayor de un rectángulo mide 8 cm. Sobre él se traza un triángulo isósceles, de tal forma que el lado mayor del rectángulo es el lado desigual del triángulo y los lados congruentes del triángulo isósceles miden 6 cm. El triángulo y el rectángulo tienen el mismo perímetro. ¿Cuánto mide el lado menor del rectángulo?

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150


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La mariposa azulHabía un hombre que vivía con sus dos hijas. Las niñas eran curiosas e inteligentes y siempre hacían muchas preguntas. A veces el hombre sabía responder pero, otras veces, no tenía ni idea de la respuesta. Como pretendía ofrecerles la mejor educación, mandó las niñas de vacaciones a casa de un sabio que vivía en lo alto de la colina.

El sabio siempre respondía a todas las preguntas sin ningún tipo de duda. Impacientes con el sabio, las niñas decidieron inventar una pregunta que él no pudiera responder.

Así que un día una de ellas capturó una linda mariposa azul con la que pensaba engañar al sabio.

¿Qué vas a hacer?” - le preguntó su hermana.

-Voy a esconder la mariposa entre mis manos y preguntarle al sabio si está viva o muerta. Si él dice que está muerta, abriré mis manos y la dejaré volar. Si dice que está viva, la apretaré y la aplastaré. De esta manera, cualquiera que sea su respuesta, ¡será una respuesta equivocada!

Las dos niñas fueron entonces al encuentro del sabio, que estaba meditando.

-“Tengo aquí una mariposa azul. Dígame, sabio, ¿está viva o muerta?”

Muy calmadamente el sabio sonrió y respondió:

-“Depende de ti... Ella está en tus manos.”

Así es nuestra vida, nuestro presente y nuestro futuro. No debemos culpar a nadie cuando algo falle: somos nosotros los únicos responsables por nuestros errores y malas decisiones.

“Como ocurre con la mariposa azul, nosotros podemos elegir entre la Vida y la Muerte”

Tú decides. . .

151



10.1. ESTADÍSTICA

Duración: Entre __________________ Y __________________

10.2

COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALESIdentifica los conceptos básicos de estadística.

Realiza la caracterización de variables cualitativas y cuantitativas

Elabora tablas de frecuencias en un conjunto de datos.

Determina la población y la muestra en una situación planteada

Mantiene una actitud positiva frente al trabajo en clase, terminando a tiempo la actividad.

Demuestra con su proceso académico, adecuados hábitos de estudio y acompañamiento familiar

10.3 CONTENIDOS:10.3.1 Población y muestra 10.3.2 Caracterización de variables cualitativas10.3.3 Caracterización de variables cuantitativas10.3.4 Probabilidad10.3.5 Permutaciones10.3.6 Combinaciones10.3.7 Experimentos aleatorios10.3.8 Espacios muéstrales10.3.9 Eventos

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ESTADISTICAPRECONCEPTUALIZACIONUtilidad de la estadística

Siempre que hay interés por conocer cierta información, esa información necesariamente se refiere a personas, animales, instituciones, cosas, etc.

Supongamos que alguien nos dice que le interesa tener información sobre la "edad", seguramente le preguntaríamos sobre la edad de quiénes o de qué cosas tiene interés en conocer; podría ser la edad de personas en cuyo caso interesaría saber de cuáles, o podría ser la edad de zonas arqueológicas, de edificios de alguna ciudad, o de los animales de un zoológico, etc. De hecho no tiene sentido referirse a una característica de interés sin decir en quiénes o en qué cosas nos interesa observar esa característica.

Def in ic ión de Es tad ís t i ca

La Estadíst ica t ra ta de l recuento , o rdenac ión y c las i f i cac ión de los da tos ob ten idos por las observac iones , para poder hacer comparac iones y sacar conc lus iones .

Un estudio estadíst ico cons ta de las s igu ien tes fases :

Recog ida de da tos .

Organ izac ión y representac ión de da tos .

Aná l i s is de da tos .

Obtenc ión de conc lus iones .

Conceptos de Estadíst ica

Poblac ión

Una población es e l con jun to de todos los e lementos a los que se somete a un es tud io es tad ís t i co .

Ind iv iduo

Un ind iv iduo o unidad estadíst ica es cada uno de los e lementos que componen la pob lac ión .

Muest ra

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Una muestra es un con jun to representa t i vo de la pob lac ión de re fe renc ia , e l número de ind iv iduos de una muest ra es menor que e l de la pob lac ión .

Muest reo

E l muestreo es la reun ión de da tos que se desea es tud ia r , ob ten idos de una proporc ión reduc ida y representa t i va de la pob lac ión .

Va lo r

Un valor es cada uno de los d is t in tos resu l tados que se pueden ob tener en un es tud io es tad ís t i co . S i lanzamos una moneda a l a i re 5 veces ob tenemos dos va lo res : cara y c ruz .

Dato

Un dato es cada uno de los va lo res que se ha ob ten ido a l rea l i zar un es tud io es tad ís t i co . S i lanzamos una moneda a l a i re 5 veces ob tenemos 5 da tos : cara , cara , c ruz , cara , c ruz .

Algunas veces podemos conocer la información referente a todos los sujetos o cosas específicas que nos interesen, por ejemplo cada diez años, cuando se realiza el censo general de población, se conocen varias características de todos y cada uno de los habitantes del país. En este caso se dice que se tiene la información de toda la población.

Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones es muy difícil o imposible conocer la información de todos y cada uno de los sujetos que nos interesan, en estos casos se observa la característica de interés sólo en una parte de la población; lo que se obtiene de este modo es una muestra.

Por ejemplo, durante las elecciones se hacen los sondeos de salida de casilla, que permiten estimar con buenas aproximaciones los resultados de la elección aún mucho antes del conteo de todos los votos. Estos sondeos consisten en preguntarles a algunas personas que acaban de votar por cuál candidato votaron; la información que se registra en cada caso no es cómo votó cada individuo, sino cuántas personas votaron por cada candidato.Cuando se hace el sondeo se trabaja con una muestra, ya que sólo se conoce el voto de algunos de los votantes. Cuando se tiene el recuento de todos los votos se trabaja con toda la población. En ambos casos nos podemos referir a poblaciones y muestras distintas. Por ejemplo si hablamos de resultados a nivel nacional nos referimos al voto de todos los votantes del país, y esa es nuestra población; pero si nos interesan los resultados de una región, un estado, una ciudad o un municipio, entonces las poblaciones respectivas serán todos los votantes de esa región, de ese estado, ciudad o municipio; y las muestras consideradas para predecir resultados deberán tomarse en cada caso de una parte de esas poblaciones.

Además de permitir la organización de la información, la estadística aporta técnicas que nos indican cómo seleccionar una parte de la población que nos interesa, para obtener una muestra a partir de la cual se puedan sacar ciertas conclusiones sobre la población.

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Hasta aquí nos hemos referido a dos aspectos importantes: a una (o varias) característica(s) de interés y a los sujetos o cosas sobre los que se quiere conocer esa característica. La forma de conocer aquello que nos interesa es variada, por ejemplo si nos interesara conocer la estatura de los niños que entran a séptimo grado en un colegio, usaríamos una cinta métrica o una regla; si nos interesara conocer la opinión de las personas sobre un cierto suceso, se lo preguntaríamos, si nos interesara saber qué tipos de árboles hay en un parque podríamos ir y observar cada uno de ellos.

Aunque la forma de llevar a cabo la obtención de la información sea distinta, nos referimos a este proceso como "proceso de medición de la variable" y a los resultados obtenidos en ese proceso como a "los valores de la variable". Cada vez que midiéramos la estatura de un niño, obtendríamos un valor de la variable estatura; cada vez que una persona nos dijera lo que piensa sobre el suceso en cuestión, obtendríamos un valor de la variable opinión; cada vez que conociéramos a qué clase pertenece un árbol, obtendríamos un valor de la variable clase de árbol.

Cuando hemos recolectado toda la información, tenemos colecciones de datos que pueden ser pequeñas o muy grandes.

Registro y organización de datos

Muchas veces interesa conocer ciertas características de personas, objetos, animales, plantas etc. Cada una de las características que nos interesa conocer recibe el nombre de variable. Por ejemplo, en un municipio del departamento deRisaralda querían conocer algunas características de los alumnos adultos de secundaria y para encontrar la información elaboraron una encuesta. A continuación se presentan las preguntas 4, 15, 17 y 18 de la encuesta:

Para contestar, los alumnos debían escribir las respuestas a las preguntas 4 y 17, y en las preguntas 15 y 18 debían señalar la opción que elegían. A continuación se presentan los datos que se obtuvieron con las respuestas alas preguntas 4 y 15:

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Para organizar la información y poderla describir más fácilmente, se puede construir una tabla de frecuencias.

Frecuencia es la cantidad de veces que se repite un valor o dato; por ejemplo en la primera lista podemos ver que el valor 9 se repite 3 veces. Esto quiere decir que tres alumnos tienen 9 hermanos; decimos que 3 es la frecuencia de 9.

Del mismo modo podemos obtener la frecuencia de cada uno de los valores y construir una tabla con dos columnas; en la primera anotamos los valores y en la segunda las frecuencias.

¿Cuántos alumnos contestaron las preguntas 4 y 15?

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En la tabla siguiente se han escrito algunas frecuencias. Obtenga las frecuencias que faltan y complete la tabla.

Una tabla como la anterior se llama tabla de frecuencias.

Habrá observado que en el último renglón aparece la cantidad de alumnos que respondieron la encuesta. Si hemos construido bien la tabla, la suma de las frecuencias debe ser igual a la cantidad de datos que se tienen.

Cuando tenemos una colección muy grande de datos nos perdemos fácilmente en la lectura y no podemos tener una idea de conjunto. Las tablas nos permiten conocer la información global fácilmente; por eso son tan útiles y se las utiliza mucho.Para el otro conjunto de datos se puede construir una tabla similar. Ahora no habrá números en la primera columna ya que debemos escribir las respuestas que se obtuvieron: nada, poco, regular, mucho; en la segunda columna se registran las frecuencias.

ACTIVIDAD:

Construya la tabla de frecuencias del segundo conjunto de datos (gusto por la lectura) de la tabla del ejercicio anterior

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No todos los alumnos contestaron las preguntas 17:¿Qué canal de televisión prefiere ver? y 18: ¿Le gusta ver televisión? Sin embargo, con los datos obtenidos se construyeron las tablas de frecuencias que se presenta a continuación:

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ACTIVIDAD

Con base en la tabla correspondiente al canal preferido de televisión, conteste las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos alumnos contestaron la pregunta 17?b) ¿Cuántos alumnos prefieren ver el canal 4?c) ¿Cuál es el canal de televisión más popular entre los alumnos que contestaron la pregunta 17?d) ¿Qué canal fue elegido por 5 alumnos?e) ¿Cuál es la frecuencia correspondiente al canal 8?

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Con base en la tabla correspondiente al gusto por la televisión, conteste las siguientes preguntas:a) ¿Cuántos alumnos contestaron la pregunta 18?b) ¿A cuántos alumnos les gusta mucho ver la televisión?c) ¿Cuál fue la respuesta elegidasólo por uno de los alumnos quecontestaron esa pregunta? d) ¿Cuál fue la respuesta elegidapor más alumnos?

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Gráficas de frecuencia

En la lección anterior vimos cómo organizar en una tabla de frecuencias, un conjunto de datos que contiene la información sobre alguna variable. Esas tablas permiten una lectura más rápida que el listado completo. Ahora veremos cómo presentar esos conjuntos de datos gráficamente.Las gráficas nos permiten visualizar globalmente cómo se distribuyen las frecuencias entre los distintos datos.

Hay gráficas de distinto tipo; nosotros podemos ver algunas de ellas en revistas y periódicos. En esta lección aprenderemos a construir y a leer gráficas de barras y circulares.

Vamos a considerar nuevamente las tablas de frecuencias que construimos en la lección anterior. Veamos primero la tabla correspondiente al número de hermanos.

Para construir una gráfica de barras con estos valores tomamos dos ejes perpendiculares; en el eje horizontal señalamos los valores de la variable (número de hermanos) y en el eje vertical señalamos los valores de la frecuencia.

Como en ambos casos trabajamos con números, para ubicar los valores en cada eje tenemos que considerar una unidad, aunque las unidades del eje horizontal pueden ser distintas a las del eje vertical; por ejemplo, como se ilustra a continuación.

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Sobre cada uno de los valores construimos una barra cuya altura coincida con la frecuencia de ese valor.

Esta gráfica nos muestra cómo se distribuyen las 36 respuestas entre los distintos valores obtenidos; dicho de otra manera, nos muestra cómo se distribuyen las frecuencias. Por este motivo a estas gráficas se las conoce también como gráficas de barras de distribución de frecuencias.

Veamos ahora cómo presentar gráficamente los datos correspondientes a la variable “gusto por la lectura”. Para ello consideraremos la tabla de frecuencias construida en la lección anterior.

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Aunque ahora los valores de la variable no son números, vamos a representarlos de manera similar en el eje horizontal, empezando por el valor más bajo.

Ahora veremos cómo presentar ese mismo conjunto de datos en una gráfica circular. Sabemos que todo el círculo mide 360 grados y consideramos que toda el área del círculo representa los 36 datos que tenemos. Entonces vamos a repartir el área en forma proporcional a la frecuencia de cada valor. Esto significa que si un valor tiene el doble de frecuencia que otro, le corresponde el doble de área; si un valor tiene el triple de frecuencia que otro, le corresponde el triple de área y si tiene la mitad de frecuencia le corresponderá la mitad de área. Para repartir de modo fácil el área calculamos primero cuántos grados deben medir el ángulo que representa una frecuencia igual a 1:

360º ÷ 36 = 10º

Con esta información podemos obtener la medida de todos los ángulos que necesitamos y construir una nueva tabla, agregándole una columna a la tabla de frecuencias.

Trazamos un radio cualquieraque consideraremos lado inicialy con vértice en el centro delcírculo construimos un ángulo de

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60º. El área rayada representa lafrecuencia del valor “nada”.

A partir del último radio trazadoconstruimos un ángulo de 70ºpara representar la frecuenciacorrespondiente al valor “poco”.

A partir del último radioconstruimos un ángulo de 110ºque es el que corresponde a lafrecuencia del valor “regular”.

gráfica circular

ACTIVIDADES

1. Construya una gráfica de barras y otra circular que representen los datos obtenidos para la variable “gusto por la televisión”. La tabla de frecuencias correspondiente está al final de la lección anterior.

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2. Construya una gráfica de barras y otra circular que representen los datos obtenidos para la variable “canal de televisión preferido”. La tabla de frecuencias correspondiente está al final de la lección anterior.

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La gráfica siguiente representa las respuestas obtenidas a la pregunta:

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Con base en ella conteste las siguientes preguntas:a) ¿Cuántos alumnos contestaron la pregunta?b) ¿Cuántos alumnos eran solteros al momento de contestar la encuesta?c) ¿Es cierto que entre los alumnos que contestaron la encuesta la cantidad de casados es la mitad de los solteros?d) ¿Cuál es el estado civil que no fue señalado por ningún alumno?e) ¿Cuál es el estado civil que fue señalado por 2 alumnos?

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MODALlamamos moda de un conjunto de datos al valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia, el que se repite más veces. Hay conjuntos de datos que tienen más de una moda.Esta medida describe al conjunto de datos en la siguiente manera: al decir que la moda es "regular" estamos diciendo que la opinión que más personas atrajo, en la que más se concentraron las apreciaciones, en la que más personas están de acuerdo, es que el examen es de una dificultad

La Media Aritmética

La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas. Ejemplo:

Notas de 5 alumnos en una prueba: Alumno Nota 1 6.0 entonces se suman las Notas: 2 5.4 60+54+31+70+62=277 3 3.1 el total se divide por la cantidad de alumnos: 4 7.0 277/5=55.4 5 6.2

·LA MEDIA ARITMÉTICA EN ESTE PROBLEMA SERIA 55.4

.

Mediana

Dentro de la rama de medidas de tendencia central en estadística descriptiva, y considerando los datos de una muestra ordenada en orden creciente (de menor a mayor),

definiremos como mediana al valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y

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después que él. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra.

Matemáticamente hablando la mediana sería: Me = , si n es impar --> Me será la observación central de los valores, una vez que estos han sido ordenados en orden creciente o decreciente.

Me = , si n es par --> Me será el promedio aritmético de las dos observaciones centrales.

Observaciones:

La mediana de un conjunto de datos es única.

El valor de la mediana no es sensible a la presencia de datos extremos.

ANIMATE YA ESTAN CERCA LAS VACACIONES, DALE UN ABRAZO A TODOS LOS INTEGRANTES DE TU FAMILIA Y REGALALE UNA SONRISA A ESA PERSONA CON LA CUAL

TUVISTE ALGUN DIA UN DISGUSTO

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http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Davicrege1.JPG

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Davicrege2.JPG


No es lo mismo - ¡¡Feliz Navidad!!

Santa Claus está muy lejos, en el Polo Norte… Jesús está muy cerca, en el corazón del hombre.

Santa Claus viene una vez al año…

Jesús siempre está ahí, dispuesto a ayudarnos.

Santa Claus nos llena los calcetines colgados en la pared con dulces y regalitos…Jesús quiere llenar tu vida de propósito, paz y amor.

Santa Claus siempre entra a escondidas por la chimenea y sin ser invitado...

Jesús quiere entrar y ser parte de tu vida, pero nunca entrará a no ser que le abras la puerta de tu corazón.

Para poder saludar y ver a Santa Claus tienes que esperar en una larga cola…

Para saludar y ver a Jesús solo tienes que desearlo.

Santa Claus permite que te sientes en su falda mientras te hacen una foto…Jesús desea que descanses en él, en todos los momentos de tu vida.

Santa Claus siempre te pregunta ¿Cómo te llamas?...

Jesús ya conoce tu nombre. Sabe perfectamente quien eres, donde vives y hasta cuantos cabellos

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tienes en la cabeza.

La barriga de Santa Claus está llena de golosinas… El corazón de Jesús está lleno de amor.

Santa Claus siempre dice lo mismo «Jo… Jo... Jo… »

Jesús cada día tiene algo nuevo que decirte y enseñarte. Él tiene para tí palabras de vida.

Santa Claus siempre dice que no debemos llorar…Jesús quiere que le entreguemos nuestras preocupaciones, nuestro dolor y heridas, para que no

tengamos que llorar.

Santa Claus te hace sonreír para la foto… Jesús te da los suficientes motivos para que vivas una vida de gozo.

Sinceramente no sé que hace Santa Claus aquí, porque la Navidad, recuerda y celebra el

nacimiento de Jesús. Y solamente Jesús le da sentido y razón de ser a la Navidad.

Santa Claus supuestamente pone regalos debajo del árbol…

Jesús es el regalo de Dios para la humanidad y fue crucificado sobre un tronco de árbol.

Para qué tener imitaciones, falsificaciones... pudiendo tener el original.Para qué celebrar algo absolutamente falso y que no tiene ningún sentido, pudiendo celebrar el

nacimiento de aquél que cambió el rumbo de la humanidad, de aquél que puede darle verdadero sentido a nuestra vidas y que aún hoy si le invitas, asistirá y presidirá gustosamente la celebración

de su cumpleaños en tu casa, con tu familia y en tu corazón.¡¡Feliz Navidad!!

LISTA DE CHEQUEO

INSTITUCIÓN EDUCATIVA AQUILINO BEDOYALISTA DE CHEQUEO MATEMÁTICAS GRADO SEPTIMO

1. INSTRUCCIONES PARA EL DILIGENCIAMIENTO

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Estudiante: Diligencie la lista de chequeo con letra legible Llene los datos de identificación del estudiante La lista de chequeo está diseñada para recoger evidencias sobre sus conocimientos y

desempeño al realizar el módulo Recuerde que este instrumento debe de tener como referencia el criterio de evaluación

consignado en el módulo de aprendizaje.

2. DATOS GENERALESMódulo: Matemáticas 7°Unidad de aprendizaje: Números enteros, decimales y racionales.Actividad E-A-E: resolver problemas de aplicación que involucren números enteros, decimales y racionales.Criterios de evaluación: Presentación del módulo y evaluaciones escritasNombre del Estudiante: ____________________________________________Grado: ____________ Lugar: _________________________ Fecha: ___________Nombre del docente: MARÍA OFFIR MARULANDA HOYOS

3. LISTA DE VERIFICACION

No. VARIABLES E INDICADORES CUMPLE OBSERVACIONESSI NO

1 Realizo a conciencia las actividades propuestas en el módulo.

2 Los temas estudiados le servirán para afrontar situaciones de la vida diaria.

3 Presenta a tiempo las actividades del módulo4 Participa activamente ene desarrollo de la clase

5 Su nivel de competencia matemático ha mejorado en cada uno de los procesos

______________________ _______________________Firma del estudiante Firma del docente

Angulo Agudo: …………………………………………………………………………………….. Angulo Cóncavo: …………………………………………………………………………………. Angulo Obtuso: ……………………………………………………………………………………. Angulo Recto: ……………………………………………………………………………………… Angulo: …………………………………………………………………………………………….. Área: ………………………………………………………………………………………………...

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Aumentado: ………………………………………………………………………………………... Base: ……………………………………………………………………………………………….. Cuadrado: ………………………………………………………………………………………….. Cuadrilátero: …………………………………………….......................................................... Disminuido: ………………………………………………………………………………………… Exponente: ……………………………………………………………………………….............. Factor: ……………………………………………………………………………………………… Incógnita: …………………………………………………………………………………………... Línea Curva: ……………………………………………………………………………………….. Perímetro: ………………………………………………………………………………………….. Polígono Irregular: ………………………………………………………………………………… Polígono Regular: ………………………………………………………………………………… Potencia: …………………………………………………………………………………………… Potenciación: ……………………………………………………………………………………… Rectángulo: ………………………………………………………………………………………... Triangulo Acutángulo: ………………………………………………………………………….. Triangulo Equilátero: ……………………………………………………………………………… Triangulo Escaleno: ………………………………………………………………………………. Triangulo Isósceles: ………………………………………………………………………… Triangulo Obtusángulo: …………………………………………………………………………... Triangulo Rectángulo: ……………………………………………………………………………. Triangulo: …………………………………………………………………………………………...

OTROS:

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EN MANOS DE DIOS ESTA EL AMOR, POR ESO ESTE MODULO ES UN REFLEJO DE SU INFINITA MISERICORDIA, QUE HA SIDO REALIZADO PARA TI CON LA DIVINA GRACIA DE EL

GRACIAS POR CONFIAR EN TI Y EN NOSOTROS

INSTITUCION EDUCATIVA AQUILINO BEDOYA

7. BIBLIOGRAFIA Y WEBGRAFIA:

Nuevo Pensamiento Matemático 8; Ricardo Díaz D, Marco F. Robayo; Editorial Libros & Libros, 2004.

Matemática Constructiva 8; Gustavo Centeno R., Hollman Centeno R., Nelson Jiménez, Fernando González, Marco F. Robayo; Editorial Libros & Libres S.A.

Algebra De Baldor; Aurelio Baldor; Editorial Cultural Colombana; Vigesimo Octava Edición, 1970.

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módulo matemáticas-grado séptimo

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