I

I CONCURSODE MEJORAMIENTO DE CAPACIDADES MATEMTICAS

Unidad de Medicin de laCalidad Educativa

SOLUCIONARIO DEL SEGUNDO MDULODE RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Estimado equipo de docentes:

Les presentamos a continuacin el SOLUCIONARIO del SEGUNDO MDULO DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS, el cual forma parte de un conjunto de actividades que debern realizar para continuar participando enel CONCURSO. Los docentes que conforman el equipo de la I.E. que participa en el concurso debern reunirse para revisarlo y verificar las soluciones que Uds. enviaron.

Solucionario del Segundo Mdulo1Esperamos que les sea til no solo para continuar concursando sino para seguirse preparando en el rea de lgico matemtica y as mejorar los aprendizajes de nuestros queridos alumnos.

Buena suerte!

I.PENSAMIENTO NUMRICO:

Solucionario del Segundo Mdulo2

1.Familiarizacin y comprensin:

917

19x3

15

En el cuadrado mgico de 9 casillas, hay 3 casillas vacas y en la casilla del centro figura laincgnita x que debemos hallar.

Ntese que no nos piden el valor de los nmeros que deben ir en las tres casillas vacas;nos piden el valor de x.

Como el cuadrado es mgico, por definicin, la suma de los tres nmeros de cada una delas tres filas, de cada una de las tres columnas, y de cada una de las dos diagonales debe dar el mismo resultado.

Diseo de un plan

Teniendo en cuenta lo anterior, consideramos que una estrategia plausible puede serescoger dos de las ocho sumas mencionadas para plantear una ecuacin en la que intervenga la incgnita x, de all podremos despejarla.

Ejecucin del Plan

Si llamamos a al nmero que va en la casilla que est debajo del 19, se tiene:

917

19x3

a15

La suma de los tres nmeros de la 1 columna =(9 + 19 + a)

debe ser igual a:la suma de los tres nmeros de la diagonal =(a + x + 17). Igualando tenemos:9 + 19 + a = a + x + 17

Cancelando a y efectuando :

28 = x + 17

De donde:x = 11

RESPUESTA:x = 11

2.Primera Forma:

Familiarizacin y comprensin:

9x

Sabemos que un dgito es un nmero de una sola cifra.

La incgnita es el dgito que debe ir en lugar de la incgnita x

La nica relacin que nos dan como dato (adems de los dgitos 9 y 7) es que la suma de los dgitos que ocupen tres casillas consecutivas cualesquiera, debe ser igual a 20.

Diseo del plan

Una estrategia posible ser buscar grupos de tres casillas consecutivas, en las queintervengan los datos 9; 7 y la incgnita x; para que al igualar sus sumas se puedan (de alguna manera) despejar x.

Ejecucin del Plan:

Representaremos por a; b; c; d; e y f a los dgitos que ocupan las casillas que estn entre 9y x y entre x y 7, como se muestra:

2020

9abcxdef

2020

Como los dgitos que ocupan tres casillas consecutivas deben sumar siempre lo mismo (20)

Se tendr que:9 + a + b = a + b + cde donde:c = 9.

Igualmente:d + e + f = e + f + 7de donde:d = 7.

Luego:como c, x y d tambin son nmeros de tres casillas consecutivas, se debe cumplirque:c + x + d = 20

y reemplazando c por 9 y d por 7:9 + x + 7 = 20

De donde :x = 4

RESPUESTA:x = 4

Segunda Forma:

Ejecucin del plan

Como la suma de los nmeros que ocupan tres casillas consecutivas es 20, se tendra:

En el diagrama anterior se observa que:

x = (20 + 20 + 20) (20 + 20) (9 + 7)

y efectuandox = 4

RESPUESTA:x = 4

3.Por dato, la tasa mxima terica de un atleta se calcula restando la edad del atleta en aos,de 220.

Luego si el atleta tiene 26 aos de edad, su tasa mxima terica es:

220 - 26 = 194

Tambin por dato, se sabe que el atleta procura tener una tasa coronaria, en latidos por minuto, igual al 80% de la tasa mxima terica.

El atleta de 26 aos procurar tener una tasa coronaria igual a:

80% de 194 =

80100

x 194 = 155,2 latidos por minuto

Y redondeando al entero ms prximo, la tasa coronaria que procurara tener este atleta es:

155 latidos por minuto.

RESPUESTA:155 latidos por minuto

4.Recordar que cada jarra tiene una capacidad de 600 mililitros cada una.

Por dato:

La primera jarra contiene:

1de 600 = 200 mililitros de jugo de naranja.3

2La segunda jarra contiene:5

de 600 = 240 mililitros de jugo de naranja

AguaAgua

Jugo

200 ml240 ml

Jugo

1 Jarra2 Jarra

Si el contenido de las dos jarras, se vaca en una vasija grande, se tendr:

600 + 600 = 1200 ml de mezcla, que contiene: 200 + 240 = 440 ml de jugo de naranja. Como nos piden qu fraccin del lquido en la vasija grande es jugo de naranja?Calculamos:

Fraccin pedida =

cantidad de jugo de naranjacantidad de la mezcla en la vasija grande

4401200

De donde simplificando:

: 40Fraccin pedida 440 1200

: 40

1130

11RESPUESTA: Los30

del contenido en la vasija grande, es jugo de naranja.

5.Familiarizacin y comprensin:

Como cada uno de los cinco amigos lanz dos dardos, en total fueron lanzados diez dardosy por dato cada uno lleg a una regin de diferente valor del 1 al 10. Es decir que hay que repartir los diez nmeros en parejas para cada uno de los cinco amigos.

Diseo del plan

Habr que hacer un examen de las posibilidades buscando entre los puntajes obtenidos a aquellos que tengan menos combinacin de parejas, por ejemplo 4 solo puede descomponerse en 1+3.

Ejecucin del plan:

Los puntajes alcanzados por los dardos son nmeros diferentes del 1 al 10.

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Como Benjamn obtuvo 4 puntos con sus dos dardos, se deduce que los puntos alcanzados por sus dardos fueron y ya que sta es la nica pareja de nmeros diferentes de la lista que suman 4.

Como Carla obtuvo 7 puntos, entonces los puntos obtenidos por sus dardos podran haber sido: (1+6)(2+5) (3+4).

Pero como ninguno de sus dardos podran alcanzar las zonas de puntajes 1 y 3, porque estas zonas ya fueron ocupadas por los dardos de Benjamn, resulta que los dardos lanzados por Carla solo pueden ser los que llegaron a las zonas 2 y 5.

Como David obtuvo 10 puntos, con sus dos dardos y ninguno de sus dardos alcanz las zonas de puntajes 1, 2, 3 y 5, (porque los dardos de Benjamn y Carla ya ocuparon estas zonas), solo quedaran dos nmeros diferentes de la lista que sumen 10.

La nica combinacin posible sera: 4 + 6 = 10.

RESPUESTA: David alcanz el dardo que lleg a la regin que vale 6 puntos.

6.

Primera forma:

Debemos darnos cuenta que si el auto recorriera los 300 km. usando solo cuatro llantas,cada una de estas cuatro llantas recorrera estos 300 km, y entre las cuatro llantas habra un recorrido total de: 4 x 300 = 1200 km.

Ahora como por dato, no se usaron cuatro, sino cinco llantas en este recorrido (intercambindolas adecuadamente para que se desgasten igualmente) se deduce que en promedio cada llanta recorri:1200 240 kilmetros5

RESPUESTA: Cada llanta recorri en promedio 240 km.

Segunda forma:

Numerando las 5 llantas por: 1, 2, 3, 4 y 5 y notando que hay 5 combinaciones posibles de 4

llantas para usarlas en el auto; (1, 2, 3, 4); (1, 2, 3, 5); (1, 2, 4, 5); (1, 3, 4, 5); (2, 3, 4, 5).

Dividiendo entonces los 300 km entre 5:300 = 60 kmnos dar la cantidad de kilmetros5recorrido hecho con cada grupo de 4 llantas.

Sera ste un ejemplo:

1, 2, 3, 41, 2, 3, 51, 2, 4, 51, 3, 4, 52, 3, 4, 5

60 km60 km60 km60 km60 km

Notaremos que cada llanta es usada en cuatro de estos tramos, o sea en: 4 x 60 = 240 km.

7.DS +DS T R E SS I E T E

Estamos representando la letraOporparano confundirnos con el valor posible cero.

dm um cdu

Al sumar los dgitos de la columna de centenas (c) se debe llevar algo (1 2) a la columna

de unidades de millar (um) para que, al sumar a la cifra T pueda obtenerse el nmero de 2cifras. SI .(1 2) + T = SIDe esta ltima expresin, como el valor mximo de T es 9, y por condicin S es diferente de cero se deduce que: S= 1 .eI = 0 pues las cifras tienen que ser diferentes.

Adems T puede ser 8 9()

De la columna de unidades, como S = 1, se obtiene;E= 3

En la columna de decenas:

+ E

termina en T

ReemplazandoE = 3tenemos:2 3

termina en T

()

Se observa que como 2 siempre es nmero par, entonces (2 3)

siempre es impar y de

() se deduce que T tambin debe ser impar y por ():T = 9

Ahora en () :2 3

termina en 9

y2 tendra que terminar en 6.

Luego debe ser una cifra que multiplicada por 2 termina en 6.

sea podra ser: 3 8, pero como E ya es 3 solo quedara que = 8

En la columna de decenas, se tendra al sumar: 8 + 8 + 3 = 19

Dejamos 9 (T) y llevamos 1 a la columna de centenas

En centenas:1 2D + R = 1E

Como E = 31 2D + R = 13

De donde2D + R = 12de esta ltima expresin se deduce que R es par y el nico valor posible de R que produce

un valor de D adecuado es: R = 2. y por lo tanto D = 5

RESPUESTA:S =1; I = 0;E = 3; T = 9; D = 5; = 8; R = 2

8.Primera forma: Por falsa suposicin

Como tanto las bicicletas como los triciclos tienen 2 pedales cada uno, al haber 38 pedales

se deduce que hay:

38= 19 mviles entre bicicletas y triciclos.2

Ahora, aplicando el procedimiento de falsa suposicin, diramos:

Si todos los 19 mviles fueran bicicletas, habran 19 x 2 = 38 ruedas.

Pero como en verdad hay 45 ruedas, nos faltan 45 38 = 7 ruedas, que debemos aumentar

a nuestra suposicin:

Cmo?Cambiando una bicicleta (de nuestra suposicin) por un triciclo, la cantidad de mviles no vara pero el nmero de ruedas aumentara en 1.

Luego, para aumentar 7 debemos cambiar; 7 71

bicicletas (de nuestra suposicin) por 7

triciclos, quedando la situacin as:

7 triciclos (que entraron por 7 bicicletas de nuestra suposicin) y (19-7) = 12 bicicletas.

Comprobacin

7triciclos tienen:7 x 3 = 21 ruedas 12 triciclos tienen : 12 x 2 = 24 ruedasTotal:19 mviles con45 ruedas

RESPUESTA:Hay 7 triciclos

Segunda Forma: Por ensayo y error

Confeccionaremos un cuadro colocando las diferentes posibilidades que podra tomar elnmero de bicicletas y de triciclos. (recordando siempre que la suma de los nmeros de bicicletas y de triciclos es 19)

NNmero de bicicletasNmero deruedas de las bicicletasNmero de triciclosNmero deruedas de los triciclosTotal de Ruedas

119380038 + 0 = 38

218361336 + 3 = 39

317342634 + 6 = 40

..

Notaremos que al disminuir una bicicleta y aumentar un triciclo el nmero total de ruedasaumenta en uno. Luego para que el nmero total de ruedas pase de 38 a 45 debemos llegaral rengln nmero 8 de nuestro cuadro y donde el nmero de bicicletas ser: 19 7 = 12 y el nmero de triciclos ser 0 + 7 = 7.

9.Sea x el nmero de paltas que llev la vendedora.

Lo primero que debemos darnos cuenta es que, para que al vender la mitad de x, ms media palta y no se corte ninguna palta, x debe ser un nmero impar.

Por ejemplo: si tengo 13 paltas y vendo la mitad (seis y media palta) ms media palta se habran vendido 7 paltas y quedaran 6 paltas, no habiendo sido necesario partir ninguna palta.

Puedes hacer las pruebas necesarias para comprobar sto y hasta es probable que encuentres la respuesta a este problema por ensayo y error debido a que los datos son pequeos.

Tambin debe saberse, que cuando vendo la mitad de alguna cantidad me queda la otra mitad de dicha cantidad. Por ejemplo:

Si tengo x y vendo

112 , me quedar 2 x

Como por dato nos dicen que al final a la vendedora le qued 1 palta, entonces nosconviene emplear el mtodo de regresin.

Primera Forma:Aplicando Pensamiento Regresivo

En este procedimiento, hallar lo que me va quedando despus de cada operacin (ojo: loque me va quedando, no lo que se ha vendido).

Tena?

VendiMitad+

Vendi

Mitad+

Qued

Mitad-

Qued

Mitad-

Final

=1

Ahora:

El problema se ha transformado en el siguiente:En hallar un nmero de tal forma que si le quito la mitad menos un medio y luego otra vez le quito la mitad menos un medio me da cmo resultado 1.

Y para hallar este nmero es que emplearemos el mtodo de Pensamiento Regresivo empezando en 1 y aplicndole las operaciones inversas correspondientes hasta llegar al nmero inicial

Aplicando el pensamiento regresivo, obtenemos:

VendiMitad+

?

Qued

Mitad-

=3

Vendi

Mitad+

Empezando por el FINAL

Mitad = 34

Qued

Mitad-=1

3Mitad = 1

21

RESPUESTA:La vendedora haba llevado al mercado 7 paltas

Segunda Forma:Una forma ms especializada, cuando se repite un mismo procesoen cada etapa es deducir una frmula de regresin as:

Si llamamos A, a lo que se tiene antes de la etapa y D a lo que quedara despus de dicha etapa, se tendra:ETAPAAntesDespusVender la mitadAde lo que hayDms 1 palta2

Si vendo la mitad de A ms 1 palta, quedar la otra mitad de A menos 1

palta, o sea:

22D = 1 A - 122

Y despejando A de esta ecuacin obtenemos que:

A = 2D + 1Frmula de regresin

Esta frmula servir para determinar lo que haba antes de una etapa (A) conociendo lo quequed despus de sta etapa (D)

Para nuestro problema:

Al final de la 2 venta qued segn dato:1 palta (D)

Luego antes de la 2 venta haba (aplicando la frmula):A = 2(1) + 1 = 3 paltas

Ahora:

Al final de la 1 venta qued segn hemos hallado en el paso anterior: 3 paltas (ahora estosera el nuevo valor de D)Luego: antes de la 1 venta haba (aplicando la frmula):A = 2(3) + 1 = 7 paltas

10.

Primera Forma:

El precio del televisor, incluido el IGV es:S/. 1 666

Si V es el valor de venta y el IGV es: 19% de V,

entonces el precio del televisor incluyendo el IGV, es decir el valor facturado, es:

V + 19% V = S/. 1 666

119% V = 1666

Pues V = 100% de V

Usando nociones de proporcionalidad (regla de tres simple directa) diramos:

Si el119% Ves1666

entonces el19%Vsera x (el impuesto)

Como la relacin proporcional es directa despejamos x de la siguiente manera:

x 19% V 1666 19 1666 266119% V119

RESPUESTA: El valor del I.G.V. de este televisor es: 266 soles.

Segunda Forma:Cuando hay proporcionalidad entre los datos y el resultado, se puedeaplicar el mtodo de suposicin de la siguiente forma:

Sea el valor de venta del televisor:V = S/. 100 (valor supuesto)

Ahora por dato el I.G.V. ser el 19% de 100 que es: S/. 19

Luego: El valor total facturado sera: 100 + 19 = S/. 119

Hemos escogido 100,por que es ms fcil calcular porcentajesde 100.

Ahora aplicando nociones de proporcionalidad (regla de tres simple directa) tenemos que:

Si V fuera S/. 100 el total facturado sera: S/. 119

Entonces para S/. x el total facturado ser 1666

De donde despejando x =

1666 100 1400119

(valor de venta verdadero)

Y el I.G.V. sera: 1666 1400 = S/. 266

II.RAZONAMIENTO LGICO:

11.Las afirmaciones hechas por Arturo y Bertha son CONDICIONALES:

El condicional es de la forma: Si p, entonces q y tiene como tabla deverdad:pqpq

VVV

VFF

FVV

FFV

Esto significa que si el antecedente p es verdadero, para que el condicional (si p entonces q)sea verdadero, el consecuente, q, tambin debe ser verdadero.

Y si el antecedente p es falso, el condicional (p q) siempre es verdadero, sin importar si elconsecuente q es verdadero o falso.

Ahora: segn dato, son verdaderas las dos afirmaciones siguientes:

Arturo dijo: si me ponen quince, entonces le pondrn quince a Bertha (Verdadero)

Bertha dijo: Si me ponen quince, entonces le pondrn quince a Diana (Verdadero)

1 Posibilidad:Si a Arturo le pusieron 15, sera verdadero el antecedente de la afirmacinde Arturo; luego tambin debe ser verdadero el consecuente: le pondrn15 a Bertha.

Y si a Bertha le ponen 15, sera verdadero el antecedente de la afirmacinde Bertha; luego tambin debe ser verdadero el consecuente: le pondrn15 a Diana.

Si se cumple esta posibilidad, entonces a los tres le habran puesto 15, lo que contradice el dato de que slo a dos le pusieron 15.Luego: Esta posibilidad no se cumple!.

2 Posibilidad:Si a Arturo no le pusieron 15, sera falso el antecedente de la afirmacinde Arturo; luego el consecuente (le pondrn 15 a Bertha) puede serverdadero o falso, y la afirmacin de Arturo seguir siendo verdadera.

Y si a Bertha le ponen 15, sera verdadero el antecedente de la afirmacin de Bertha; luego el consecuente (le pondrn 15 a Diana) tambin debe ser verdadero.

Luego: Le pusieron 15 a Bertha y a Diana

RESPUESTA: Las dos que recibieron 15 fueron Bertha y Diana

12.Por dato, los asientos estn numerados as:

1234

y Bernardo est en el asiento N 3

Bernardo

1234

La 1 afirmacin de Jos: Bernardo est al lado de Carlos, por dato es falsa, luego sunegacin Bernardo no est al lado de Carlos ser verdadera y por lo tanto Carlos debeocupar el asiento N 1.

CarlosBernardo

1234

La 2 afirmacin de Jos Ana est entre Bernardo y Carlos es falsa, lo que significa que enverdad: Ana no est entre Bernardo y Carlos y por lo tanto Ana ocupar el asiento N 4.

CarlosBernardoAna

1234

Por ltimo, el nico asiento que queda vaco: el N 2 ser ocupado por Diana.

RESPUESTA: Diana est sentada en el asiento N 2

13.Cuando se quiere determinar la correspondencia uno a uno entre los elementos de un conjunto de n objetos (personas, animales; etc.) con n caractersticas de esos objetos, es conveniente usar una TABLA DE DECISIONES como la mostrada abajo.

FlautaSaxofn

Ana

Emma

Lidia

Las casillas sern llenadas por SI o por NO segn sea correcta o no la relacin existenteentre el nombre de la persona de la fila con la caracterstica de la columna donde se encuentra la casilla.Aplicaremos esto, a nuestro problema:

De la afirmacin: Ana y la saxofonista practican despus del colegio, se deduce que Anano es la saxofonista (De la oracin se deduce que la saxofonista es otra persona).Igualmente, de la afirmacin: Emma y la flautista se deduce que Emma no es flautista; ycomo nos dicen que Ana est en 4 grado y la flautista esta en 5 grado, se deduce que Anano puede ser flautista.Luego, la tabla quedara as:

FlautaSaxofn

AnaNONO

EmmaNO

Lidia

Si Ana no toca la flauta ni el saxofn, lo nico que queda es que toque los tambores, por loque colocaremos si en la casilla correspondiente:

FlautaSaxofn

AnaNONOSI

EmmaNO

Lidia

Ahora, si ya se determin que Ana toca los tambores, las dems personas NO pueden tocar los tambores, por lo que las dems casillas debajo del SI deben ser llenadas con NO.

FlautaSaxofn

AnaNONOSI

EmmaNONO

LidiaNO

De esta ltima tabla se deduce que como Emma no toca la flauta ni los tambores, debe tocarel saxofn y por ltimo Lidia tocar la flauta.

FlautaSaxofn

AnaNONOSI

EmmaNOSINO

LidiaSINONO

RESPUESTA: Ana toca los tambores

14.La condicin principal que debe cumplirse es que: De las dos afirmaciones que hizo cadapersona, una debe ser verdadera y la otra debe ser falsa.Para darnos cuenta de la verdad (V) o falsedad (F) de las afirmaciones tomaremos lo que dijo una persona y probaremos los dos casos posibles: que una de sus afirmaciones es (V) yque la otra es (F); y luego de debemos verificar como correcto, el caso que no producecontradiccin.

1 caso: Supongamos que la 1 afirmacin de Karim es falsa y la segunda es verdadera:

Karim:Liliana fue primera (F) y Ursula fue segunda (V).Como es verdadero que Ursula fue segunda, Karim ya no puede ser segunda. Cuando Liliana dijo que Karim fue segunda, sta afirmacin ser la falsa de Liliana

Liliana:Tania fue ltima (V) y Karim fue segunda (F)Como es verdadero que Tania fue ltima, entonces lo que dijo Ursula:Tania fue tercera ser la afirmacin falsa de Ursula.

Ursula:Liliana fue segunda (V) y Tania fue tercera (F).

Pero en este caso la afirmacin de Ursula: Liliana fue segunda, tendra que ser verdadera yesto contradice nuestro resultado de que Ursula fue segunda.

Luego este 1er caso conduce a contradiccin y por lo tanto no se cumplir.

2 caso:Se cumplir entonces que:

Karim:Liliana fue primera (V) y Ursula fue segunda (F).Como es verdadero que Liliana fue primera, entonces cuando Ursula dijo que Liliana fue segunda, sta era la Falsa de sus afirmaciones y la otra afirmacin de Ursula debe ser verdadera.

Ursula:Liliana fue segunda (F) y Tania fue tercera (V)Como es verdadero que Tania fue tercera, y Liliana dijo que Tania fue ltima esta era la falsa de sus afirmaciones y la otra tiene que ser verdadera.

Liliana:Tania fue ltima (F) y Karim fue segunda (V).

Como no hay contradiccin, ste caso sera el correcto y el orden sera:

1) Liliana

2) Karim

3) Tania

4) Ursula

RESPUESTA:Liliana, Karim, Tania y Ursula.

15.Del dato La seora Arvalo lleg quinta, justo despus de su esposo se deduce lasiguiente disposicin:

Sr.

Sra.

Arevlo Arevlo

123456

Como por dato la Sra. Gutirrez, lleg antes que el Sr. Arvalo, pero por condicin la Sra.Gutirrez lleg despus de su esposo se deduce que la Sra. Gutirrez lleg en el segundo o tercer lugar.Adems el Sr. Castillo no puede ocupar el 6 puesto, porque por lo menos debe superar a suesposa y como el Sr. Castillo fue superado por una dama que no puede ser ni su esposa, nila Sra. Arvalo, se deduce que el Sr. Castillo fue superado por la Sra. Gutirrez, quedando sta entonces en el segundo lugar.

Luego la situacin final ser:

Sr.

Sra.

Sr.

Sr.

Sra.

Sra.

Gutierrez

Gutierrez

Castillo Arevlo Arevlo Castillo

123456

RESPUESTA:El Seor y la Sra. Castillo quedaron en el 3 y 6 puestorespectivamente.

16.La condicin principal que debe cumplirse es que de las cuatro afirmaciones: tres deben ser falsas (F) y slo una debe ser verdadera (V).

Entonces se pueden presentar los siguientes 4 casos segn cual de los 4afirmaciones es la verdadera:

Seor Carpintero: Yo soy el lechero Seor Ingeniero: Yo soy el carpintero Seor Mayordomo: Yo no soy el lechero

1o caso2o caso3o caso4o casoVF F FFV F FFF V FFF F VSeor Lechero: Yo no soy el mayordomo

Si se cumpliera el 1 caso:

Por la 1 afirmacin que es Verdadera, el Sr. Carpintero sera lecheroY por la 3 afirmacin, que es falsa, el Sr. Mayordomo sera lechero (habra contradiccin)

Si se cumpliera el 2 caso:

Por la 2 afirmacin que es verdadera, el Sr. Ingeniero es carpintero;Por la 3 afirmacin que es falsa, el Sr. Mayordomo es lecheroPor la 4 afirmacin que es falsa, el Sr. Lechero es mayordomoLuego, quedara que el Sr. Carpintero es Ingeniero (Y esto es COMPATIBLE).

Luego:Sr. Carpintero:Ingeniero

Sr. Ingeniero:Carpintero

Sr. Mayordomo:Lechero

Sr. Lechero:Mayordomo

Si se cumpliera el 3 caso:

Por la 4 afirmacin que es falsa, el Sr. Lechero es mayordomoPor la 2 afirmacin que es falsa el Sr. Ingeniero no es carpintero y como tampoco puede serIngeniero ni mayordomo, se deduce que es: lechero.Por la 1 afirmacin que es falsa, el Sr. Carpintero no es lechero; y como tampoco puede ser mayordomo, ni carpintero, entonces debe ser ingeniero.Por ltimo quedara que el Sr. Mayordomo sera el carpintero (que es COMPATIBLE).

Luego:Sr. Carpintero:Ingeniero

Sr. Ingeniero:Lechero

Sr. Mayordomo:Carpintero

Sr. Lechero:Mayordomo

Si se cumpliera el 4 caso:

Por la 3 afirmacin que es falsa, el Sr. Mayordomo es lechero,

Por la 2 afirmacin que es falsa el Sr. Ingeniero no es carpintero, y como tampoco puede ser ingeniero ni lechero, luego el Sr. Ingeniero sera: mayordomo.Por la 1 afirmacin que es falsa, el Sr. Carpintero no es lechero; y como tampoco puede ser

carpintero, ni mayordomo, tendr que ser ingeniero.

Entonces quedara que el Sr. Lechero es carpintero (COMPATIBLE con la 4 afirmacin quees verdadera).Sr. Carpintero:Ingeniero

Sr. Ingeniero:Mayordomo

Sr. Mayordomo:Lechero

Sr. Lechero:Carpintero

Como podemos notar, hay tres casos posibles que cumplen las condiciones, (2, 3 y 4casos) pero en los tres casos, el Ingeniero es el Sr. Carpintero.

RESPUESTA: El ingeniero es el Sr. Carpintero.

17.Como todas las afirmaciones son verdaderas, se deduce:

1) El castillo de Alicia es ms bajo queel de Susana.S

A

2) El castillo de Susana es ms alto que el de Katy:

S

K

3) El castillo de Eva es ms bajo que el de Alicia:

4) El castillo de Eva no es el ms bajode todos.

Uniendo el primer y tercer diagrama, tenemos que:

S

A

E

Del 2 diagrama se sabe que K est debajo de S, pero para que E no sea el ms bajo de todos, K debe estar debajo de E.

Luego, la situacin final sera:S

A

AE

K

E

RESPUESTA:El orden de los nombres de los que construyeron los castillosde menor a mayor altura son: Katy; Eva; Alicia y Susana.

18.Colocando (V) en los das que Ernesto dice la verdad y (F) en los das en que miente, se tendr el siguiente cuadro:

DomLunesMartesMircolesJuevesViernesSbado

FVFVFVF

Un da, Ernesto dijo: Maana yo dir la verdad

Casos posibles que se puedan presentar:

i. Si el da en que hizo la afirmacin, Ernesto dice la verdad entonces al da siguiente tambin debe decir la verdad, o sea tendr que haber dos das seguidos en los cuales Ernesto dice la verdad, pero como observamos en el cuadro, sta situacin no se presenta; por lo tanto ese da Ernesto menta.

ii. Ya que el da en que hizo la afirmacin Ernesto miente; y como lo que dijo: Maana yo dir la verdad debe ser falso, entonces se deduce que el da de maana tambin mentir.

Por lo tanto, Ernesto hizo la afirmacin en un da en que miente y tal que al siguiente da tambin miente.

Observando el cuadro, notamos que esto slo pudo ocurrir en el da: Sbado.

RESPUESTA: Cuando Ernesto dijo eso era da SBADO.

19.Familiarizacin:

El texto hay que comprenderlo estrictamente, es decir primero se nos dice que los tres dadosson idnticos, en segundo lugar se nos dice que al lanzar su dado se observa tres colores.Si hacemos la experiencia fsica concluiremos que cuando observamos un dado podemos, como mximo, ver tres caras:

David vio:Flix vio:Gustavo vio:

Blanco

Blanco

Anaranjado

Notaremos que los lados opuestos de un dado no se pueden ver a la vez.

Diseo del planNos conviene hacer un diagrama para organizar los colores en el dado, podemos hacernosun dado fsico, pero tambin podemos utilizar un dibujo del dado en el plano, para esto usemos el desarrollo de un cubo.

Ejecucin del plan:

Si desdoblamos el dado y llamamos 1, 2, 3, 4, 5, 6 a las caras, tendremos la malla:4

1236

5

Empecemos considerando las 3 caras que vi David: Azul; Blanco y Amarillo, y digamos queestn en la posicin: Azul (5); Blanco (2) y Amarillo (3).4

1Blanco Amarillo6

Azul

Como Flix vio las caras: Blanco; Verde y Anaranjado se deduce que el Verde y Anaranjadoson las caras (1) y (4) (4) y (1), pero como Gustavo vio las caras Anaranjado, Azul y Rojo,se deduce que el Anaranjado debe ocupar la cara (1); y la Verde debe ser la cara (4), y porlo tanto la cara (6) debe ser del color que queda, o sea Rojo.

La cara 6 opuesta a la cara Blanca (2) es la cara de color Rojo.

RESPUESTA: El color de la cara opuesta a la de Blanco es Rojo

20.Considerando un calendario de 31 das como se muestra ms abajo (todava no sabemosque da corresponde a cada columna, pero son das consecutivos en orden).

123456712345678910111213141516171819202122232425262728293031Da

Si Estornudo y Grun slo barrieron cuatro veces en el mes, significa que el da en quebarrieron debe estar en la 4, 5, 6 7 columna del calendario mostrado.

Como Estornudo barre los lunes y Grun barre los viernes, para que el lunes y el viernes encajen en las columnas de la 4 a la 7, solo podra cumplirse cuando la 4 columna es VIERNES, la 5 sera sbado, la 6 sera domingo y la 7 sera LUNES.

Luego, el calendario quedara as:

ViernesSbadoDomingoLunes

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

293031

Y aqu notamos que el primer da de la semana sera Martes y segn dato los Martes barreDormiln.

RESPUESTA: El primer da de este mes barri Dormiln.

III. MODELACIN ALGEBRAICA:

21.Llamaremos g al precio de un gato.

Por dato:

Un conejo vale el doble de lo que vale un gato sea:2g

Un perro vale el doble de lo que vale un conejo sea: 2(2g) = 4g

Luego los totales de cada persona se pueden colocar en funcin de lo que vale un gato o sea en funcin de g

Cuenta de Sergio:Compr: (3 gatos + 5 conejos + 7 perros), lo que equivale a:

3g + 5 (2g) + 7 (4g) = 41 g = 41 gatos.

Cuenta de Rosa:Compr (5gatos + 7 conejos + 3 perros), lo que equivale a:5g + 7(2g) + 3(4g) = 31 g = 31gatos. Pero por dato:

la cuenta de Rosa (31 gatos) es 400 soles menos que la cuenta de Sergio (41 gatos)

de donde deducimos que los 400 soles equivalen al valor de (41 31): 10 gatos

y por lo tanto cada gato vale: 400 40 soles10

RESPUESTA: Un gato vale 40 soles.

22.

Primera forma:

Sea x la longitud de la vela ms larga.

Como dura 7 horas en gastarse, se deduce que en 1 hora se gasta

1 de x7.

4 1 x 4 xDespus de estar prendida durante 4 horas se gastar: 77;

y le quedar una longitud de:

x 4 x 3 x

77

Anlogamente si y es la longitud de la vela ms corta:

Como dura 10 horas en gastarse, se deduce que un 1 hora se gasta: 1 y ;10

=4 1

y = 2 y

Despus de estar prendida durante 4 horas se gastar:

105.

y le quedar una longitud de: y -

2 y 3 y55

Pero, por dato, las longitudes que quedaron despus de las 4 horas son iguales:Luego, igualando las longitudes que quedaron:3 x = 3 y75

De donde:

x 7y5

y 5x7

RESPUESTA:La razn entre el largo original de la vela ms corta y y de lay5vela ms larga x es: x 7

Segunda forma:

Como no nos piden las longitudes reales de las velas sino la relacin entre estas longitudes,podemos aplicar suposicin y proporcionalidad, as:

Como la primera vela dur 7 horas y la segunda vela dur 10 horas, despus de estar prendidas 4 horas las longitudes que quedan de ambas velas son iguales y sta longitud debe consumirse en 3 horas para el caso de la primera y en 6 horas para el caso de la segunda

Supongamos que despus de estar prendidas 4 horas, las longitudes que quedan de ambas velas son iguales a: 6 cm (que es el MCM de 3 y 6).

4 horas

4 horas

3 horas6 cm

6 horas

6 cm

1a2a

Del diagrama se observa que los 6 cm que quedaran de la 1 vela se consumiran en 3 horaso sea 6 2cm por hora , y como por dato sta vela dur en total 7 horas, su longitud sera:3

(7horas) 2

cmhoras

14cm

Igualmente los 6 cm que quedaran de la 2 vela se consumiran en 6 horas o sea 6 1 cm6

por hora y como sta vela dur en total 10 horas, su longitud sera (10horas) 1

cmhoras

10cm

Luego: La vela ms larga medira 14 cm y la ms corta medira 10 cm.

Por nociones de proporcionalidad sabemos que las proporciones se mantienen

La relacin entre el largo de la vela ms corta y el de la vela ms larga es de: 10 cm 514 cm7

23. Primera forma:

Sean x nios e y nias en la familia Quiroz.

Cuando se considera un nio, ste tendr (x-1) hermanos e y hermanas.

Pero por dato estas cantidades son iguales: x 1 = y(1)

Cuando se considera una nia, sta tendr: x hermanos e (y 1) hermanas

y por dato el nmero de sus hermanos es doble que el de sus hermanas:

x = 2 (y 1)(2)

Reemplazando (2) en (1)2 (y 1) 1 = y

2y 2 1 = y

De donde:y = 3 n

Y en (1):xx = 3 + 1 = 4 n

Luego, en la familia Quiroz hay: x = 4 nios, e y = 3 nias

Lo que da un total de: 4 + 3 = 7 hijos.

RESPUESTA: El nmero de hijos de la Familia Quiroz es 7.

Segunda forma:

Como cada nio tiene igual nmero de hermanos que de hermanas, se deduce que elnmero de nios es 1 ms que el nmero de nias, lo que es lo mismo: la diferencia entre los nios y las nias es 1.

Ahora, cuando se considera una nia, (o sea se excluye esta nia del anlisis) la diferencia entre sus hermanos y hermanas aumentar en 1 y ser ahora 2 y como por dato en este caso los hermanos son el doble que las hermanas, tenemos que buscar dos nmeros, uno el doble del otro, y tal que su diferencia sea 2.

Los nmeros naturales ms pequeos, tal que uno sea el doble del otro son 2 y 1; pero en ste caso la diferencia sera 1; luego para que la diferencia sea 2, hay que multiplicar a stos nmeros (2 y 1) por 2 y daran: 2 x 2 = 4 y 1 x 2 = 2.

Los nmeros adecuados seran entonces: 4 y 2.

Hermanos: x 2 = 4

Para una nia

Hermanas: x 2 = 2Diferencia:12x 2

sea una nia tendr 4 hermanos y 2 hermanas.Entonces contndose esa nia habrn: 4 nios y 3 nias, lo que da un total de: 4 + 3 = 7hijos en la Familia Quiroz.

24.Primera forma:

Sea x el nmero de personas e y el nmero de sillas.

Por dato:Los 2 x3

personas ocupan: 3 y4

sillas.

Como la cantidad de personas sentadas debe ser igual al nmero de sillasocupadas:

2 x 3 y34

De donde: x

3 3 9

x 9

(1)

y2 48y8

Pero las sillas desocupadas son: y -

3 y 1 y ; y por dato estas deben ser 6.44

Luego:1 y = 6 , de dondey = 24 m4

Y en la relacin (1) reemplazando y por 24, se obtiene x

= 9 , de donde x = 249 = 27

2488

RESPUESTA: En el saln hay 27 personas

Segunda forma:

Como se ocuparon las 34

del nmero de sillas, entonces quedaron sin ocupar: 14

del nmero

de sillas, y segn dato esta cantidad equivale a 6.

Luego,

1 del nmerode s illas 64

De donde, el nmero de sillas es: 4 x 6 = 24

Ahora: Segn dato fueron ocupadas las 34

del nmero de sillas o sea: 34

de 24 = 18 sillas

Y estas sillas fueron ocupadas por 23

de las personas.

Luego: 23

del nmero de personas = 18

De donde N personas = 18 3 = 272

25.Primera forma:Forma algebraica

Sea x el nmero de pginas del libro.

El 1 da Ruth ley:

1 x + 5 pginas.Quedaron por leer: 1 x - 5 pginas

2

2

El 2 da Ruth ley:

1 1 x - 5 5

Quedaron por leer: 1 1 x - 5 5

pginas

2 2

2 2

El 3 da Ruth ley:

1 1 1 x - 5 5 5

1 1 1Quedaron por leer:x - 5 5 5 pginas

2 2 2

2 2 2

El 4 da Ruth ley:1 1 1 1 x - 5 5 5 +5

Quedaron por leer: 1 1 1 1 x - 5 5 5 5

2 2 2 2

2 2 2 2

Y este ltimo nmero de pginas que qued por leer despus del 4 da debe ser igual acero.

Igualando:1 1 1 1 x - 5 5 5 5 = 0

2 2 2 2

Notaremos que para despejar x, del nmero de la derecha (0) se le debe sumar 5 y luegomultiplicar por 2, y luego hacer lo mismo con el resultado y as sucesivamente, dando:

x = 0 5 2 5

2 5 2+5 2 = 150 pginas

Este procedimiento es muy complicado y sera muy engorroso aplicarlo si se tiene msetapas.

Respuesta: 150 pginas

Segunda forma:Por Pensamiento regresivo

Como despus del 4 da quedaron 0 pginas por leer (dato final) y en cada etapa ocurre lomismo lee la mitad de las pginas que quedan + 5 se puede encontrar una FRMULA DE REGRESIN (frmula para regresar) de la siguiente manera.

Sea A la cantidad de pginas que haba antes de empezar un da y D la cantidad de pginas que quedaron despus de ese da:

ETAPA (Da)

AntesA

lee:

12A + 5

DespusD

D = A - 1 2

A + 5 =

1 A 52

Despejando A:

A = (D + 5) x 2Frmula de regresin

Esta frmula nos servir para regresar.

Conociendo el dato D que qued despus de una etapa, se obtiene lo que haba antes de dicha etapa (A)

Para los datos del problema:

1 Da2 Da3 Da4 Da

1507030100

(70+5)2=150(30+5)2=70(10+5)2=30(0+5)2=10

Como hemos calculado, antes de empezar el primer da haban: 150 pginas.

RESPUESTA: El libro tena 150 pginas

26.Podemos notar que en cada factor, el resultado es un nmero predecible:

1 1 2 1 1222

1 1 3 1 2333

1 1 4 1 3444

En general:

1 1 n 1nn

Reemplazando en la expresin dada el resultado de cada factor:

1 1 1 1 1 1 x .x

1

1 1

1 1 x 23

2004

2005

2

3 4

2005

2006 2

xx.x34

x2005

2006

Como el segundo miembro es un producto de fracciones, se pueden simplificar los factorescomunes del numerador y del denominador.

Notaremos que el denominador de una fraccin cualquiera es igual al numerador de la fraccin siguiente, por lo tanto, se simplificarn.

Simplificando los denominadores con los numeradores de las siguientes fracciones quedar: 1 x 2 x 3 x..........x 2004 x 2005 1

234

2005

20062006

RESPUESTA: El producto como una fraccin simplificada es12006

27.Digamos que cuando la novela se dividi en 3 volmenes con igual nmero de pginas, encada volumen hubieron x pginas.

El Libro tena en total 3x pginas.En el 1 volumen estn las pginas desde la pgina:1hasta la pgina:xEn el 2 volumen estn las pginas desde la pgina:(x+1)hasta la pgina:2x

En el 3 volumen estn las pginas desde la pgina:(2x+1)hasta la pgina:3x

Pero por dato la suma de los nmeros que estn en la 1 pgina de cada volumen es 1 353.

sea:1+ (x+1) + (2x+1) = 1 353

de donde:3x = 1 350

y:x = 450

RESPUESTA:Cada volumen tiene 450 pginas

28.Primera forma:

Representaremos un apretn como un segmento.

Para dos personas:ABhay 1 apretn= 1

Para tres personas:hay 3 apretones = 2 + 1AB

C

Para cuatro personas:hay 6 apretones = 3 + 2 + 1AB

DC

Para cinco personas:hay 10 apretones = 4 + 3 + 2 + 1AB

EC

D

Luego podemos inducir que:Para 20 personas, el nmero de apretones ser: 19 + 18 + 17 ++ 3 + 2 +1y esta suma se puede hallar aplicando la Ley asociativa, as:

19 + 18 + 17 + 16 +...+ 3 + 2 + 1 = 19 + 9 (19) = 10x 19 = 190

191919

RESPUESTA: En dicha reunin hubieron 190 apretones de mano.

Segunda forma:

Como cada una de las 20 personas le da la mano a las otras 19, se producirn tericamente (20x19) apretones, pero como cada uno de estos apretones se han contado 2 veces cada uno (por ejemplo el apretn entre A y B, se cont cuando se contaron los apretones de A y cuando se contaron los apretones de B ).

Luego, tambin el nmero real de apretones fue:

20 19 190 apretones .2

Este procedimiento se puede generalizar para n personas.

El nmero de apretones de mano ( de abrazos, etc.) entre n personas es:

n(n-1)2

IV. COMBINATORIA, INCERTIDUMBRE:

29.Los nmeros de 4 cifras que son capicas (o palndromos) son de la forma: abba

Donde a y b son cifrasque pueden valer como mximo hasta 9.

Primera forma:

Los nmeros capicas de 4 cifras son: 1001; 1111; . , 9889; 9999

Los capicas de 4 cifras que comienzan y terminan en 1 son {1001; 1111;, 1991}: 10 nmeros. Igualmente, los capicas de 4 cifras que comienzan y terminan en 2 son: {2002; 2112;2992}: 10 nmeros.Anlogamente, tambin habrn 10 nmeros capicas de 4 cifras que acaban y terminan en 3y 10 que acaban y terminan en 4, etc., hasta 10 que acaban y terminan en 9, lo que dar un total de 9 veces 10 = 9 x 10 = 90 nmeros capicas de 4 cifras.

RESPUESTA: Hay 90 nmeros de 4 dgitos que son capicas palindromos.

Segunda forma:

Notaremos que en los nmeros de la forma abba , la parte independiente (o sea que puedevariar libremente) es ab y que la parte ba , no puede variar independientemente pues los valores de ab ba dependen de los valores de a y b nicamente.

Luego:Podemos afirmar que habrn tantos capicas de la forma abba como nmerosde 2 cifras ab podamos formar libremente.

sea que la respuesta a nuestro problema viene dada por la cantidad de nmeros de 2cifras que se pueden escribir en base diez.

{10; 11; 12,. ; 98; 99}

Son99 9 = 90 nmeros.

Tercera forma: (Usando combinatorias)Podemos considerar que escribir un nmero de la forma abba es un proceso de 2 etapas:

1 Etapa: Escoger a:Ntese que a no puede ser cero (por que si lo fuera el nmero sera slo de trescifras).Luego:a puede ser:1; 2; 3; 4; 5 ; 6; 7; 8 9 9 valores

2 Etapa: Escoger b:b puede ser: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 910 valores

Aplicando el principio de la multiplicacin:Tendremos que hay:9 x 10 = 90 combinaciones posibles abNtese, que cada una de las 90 combinaciones ab , producir un nmero capica de la forma abba , que se formar agregando a la derecha los valores correspondientes de b ya.Luego: Habrn 90 nmeros capicas de 4 cifras.

30. Sean a, b y c la cantidad de lpices que recibe cada amigo A, B y C respectivamente.

Por condiciones: a, b y c deben ser nmeros naturales mayores que 0 y como mximo alguno de ellos puede valer hasta 4, porque si alguno de los amigos recibiera 5 lpices de todas maneras uno de los otros dos recibira 0 lpices.

Para responder a este problema, realizaremos una LISTA SISTEMTICA.

Empezaremos colocando 4 lpices para a y los valores de b los variaremos desde el mayor hasta el menor posible y por diferencia obtendremos c.

Luego colocaremos a a 3 lpices y haremos lo mismo con b, La lista que se obtiene nos dar todas las posibilidades de repartir 6 lpices entre A, B y C.

abc433222111112132143211121231234Recuerden quea + b + c = 6

Contando: hay 10 maneras diferentes en que A, B y C pueden tener un total de 6 lpices ydonde cada uno de los tres tiene al menos un lpiz.

RESPUESTA:Hay 10 formas diferentes.

31.Los puntajes que aparecen en las caras de un dado son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 (6 valores).Luego, las combinaciones posibles de puntajes que se pueden obtener al lanzar dos dadosson: 6 x 6 = 36 casos.

Estas formas son:

(1; 1); (1; 2), .. (1; 5); (1; 6) (2; 1), (2; 6):(6; 1); (6; 2), . (6; 6)

De estas casos las que tienen como suma de puntos igual a 5 son:

(1; 4); (2; 3); (3; 2) y (4; 1)son 4 casos

Como sabemos la probabilidad de un evento es.

p= Nmero de casos favorablesNmero total de casos posibles

Luego: La probabilidad de obtener 5 como suma de puntos al arrojar 2 dados es: 4 1

Ahora, las combinaciones que producen 9 como suma de puntos son:(3; 6); (4; 5); (5; 4); (6; 3)tambin 4 casos

y la probabilidad de obtener 9 como suma de puntos al tener 2 dados es:

4 1369

369

Luego: Hay igual probabilidad de obtener 5 que 9, como suma de puntos al arrojar 2 dados.

RESPUESTA: Al arrojar dos dados, es igualmente probable obtener 5 que 9como suma de puntos.

32.Consideraremos que a la fiesta asistieron: X mujeres solteras eY hombres casados con sus Y esposas respectivamente.

Luego, la probabilidad de que una mujer, seleccionada al azar, sea soltera es:

p Nmerode mujeress olteras Nmero total de mujeres

xx y

Y como por dato esta probabilidad es

2 , se tendr que cumplir que:5

x 2x y5

Despejando, multiplicando en aspa, tenemos:5x = 2x + 2y 3x = 2y

De donde:x = 2y3

Las mujeres solteras (x), son proporcionales a: 2

Las mujeres casadas (y), son proporcionales a: 3

Los hombres casados (y), son proporcionales a: 3

Luego la fraccin de las personas que son hombres casados viene dada por:

f = Nmero de hombres casados =3= 3Nmero de personas2 + 3 + 38

Ntese que la fraccin f no variar si escogemos cualquier grupo detres nmeros que sean entre s como 2; 3 y 3 como por ejemplo: 2k; 3k y3k.

RESPUESTA: Los 38

de las personas en la fiesta son hombres casados.

33.Para viajar de A a C, hay dos posibilidades que son excluyentes: pasar por (A B C) pasar por (A D C).

En la 1 posibilidad:(pasando por B)

ABC

Para viajar de A a B hay dos caminos y para viajar de B a C hay tres caminos, luego: elnmero de formas diferentes de viajar de A a C por el principio de la multiplicacin en combinatoria es:2 x 3 = 6 formas

En la 2 posibilidad:(pasando por D)

ADC

Anlogamente, el nmero de formas diferentes de viajar de A a C es:

3 x 4 = 12 formas.

Luego, el nmero total de formas diferentes en que se puede viajar de A a C sera, sumando:6 + 12 = 18 formas.

RESPUESTA:Se puede viajar de A a C, de 18 formas diferentes.

34.El caso ms desfavorable que se podra presentar para que no haya dos personas con elmismo mes de nacimiento es que al escoger a las personas, stas tengan, todos, mesesdiferentes de nacimiento, pero esto podra ocurrir como mximo hasta 12 (ya que hay 12 meses diferentes), por lo que la 13 persona tendra obligatoriamente un mes de nacimiento repetido (igual a alguno de las 12 personas anteriores).

Igualmente podramos decir que el caso ms desfavorable que podra presentarse para queno hayan 7 personas que tengan el mismo mes de nacimiento es que hayan 6 x 12 = 72 personas, donde en cada mes del ao, hayan nacido 6 de estas personas o sea con 72 personas tendramos exactamente 6 personas que cumplen aos en cada uno de los 12 meses.

Luego, si consideramos una persona ms (73 personas en total), sta obligatoriamente producir un grupo de 7 personas con igual mes de nacimiento.

RESPUESTA: El grupo deber tener como mnimo 73 personas.

35.Por dato en el saco hay 6 fichas azules.Digamos tambin que el nmero de fichas verdes es x.El total de fichas en el saco ser:(6 + x) Por frmula:La probabilidad de extraer al azar una ficha azul del saco es N de fichas azules en el sacoTotal de fichas en el saco

Al reemplazar los valores se tendr:

p 66 x

1Pero por dato esta probabilidad es,4Luego:6 16 x4

Despejando x multiplicando en aspa se tiene:

24 = 6 + x

De donde:x = 18

RESPUESTA: El nmero de fichas verdes en el saco es 18.

36.De acuerdo a las condiciones, el no puede contener a P; ni Q; ni R porque estn en su misma fila, ni tampoco puede contener a S, porque estn en la misma diagonal.

PQRST

Luego en

1 debe estar T

1PQR2

y en 2

debe estar S.

PQRST

Ahora 3

no puede contener a P ni a Q

4por estar en la misma columna,

3ni T, ni S, por estar en la misma diagonal

TPQRS

Luego

3 debe contener a: R.

Y en 4

estar P. (pues hay un Q en su columna)

PQRST

6P

R

TPQRS

5

En el crculo 5 no puede estar P ni Q ni R, por estar en la misma columna, ni T porestar en la misma diagonal. Luego en 5 est: S.Y en 6 estar T.

PQRST

TP

R7TPQRS S8

En7 no puede estar P, ni Q, ni R, por estar en la misma columna, ni T por estar en lamisma diagonal.

Luego en 7 est: S; y en 8 estar T.

PQRST

TPRS

TPQRS

ST

En la casilla sombreada no puede estar R; ni S.;

por estar en la misma fila, ni P ni T (por estar en la misma columna).Luego, la casilla sombreada debe contener a Q.

RESPUESTA: En la casilla sombreada debe colocarse el smbolo Q.

37.Primera forma:

Si hay 25 tarjetas numeradas del 1 al 25, el nmero total de casos posibles que se pueden presentar al tomar una tarjeta al azar es 25.

Para que la tarjeta contenga un mltiplo de 2 de 5, los casos favorables posibles son: 2; 4;5; 6; 8; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 22; 24; 25 en total: 15 casos.

Luego, la probabilidad de que al tomar una tarjeta al azar se obtenga un mltiplo de 2 de 5es:

P =casos favorables

= 15 = 3

total casos desfavorables255

RESPUESTA:La probabilidad de que el nmero sobre la tarjeta de Sara seaun mltiplo de 2 de 5 es: 3 .5

Segunda forma: Sea el espacio muestral: = {1; 2; 3,;24; 25}que tiene 25 elementos

Sea A el conjunto de mltiplos de 2 del 1 al 25

A = 2;4;; 22;242x12x22x112x12

El nmero de elementos de A es: 12.Si B es el conjunto de mltiplos de 5 del 1 al 25. B = 5;10;15;20;25

El nmero de elementos de B es: 5

Luego la interseccin de A y B ser:

B=10;A20 y tiene dos elementos.

Anotaremos estos resultados en el siguiente diagrama de Venn:

AB

1023

La probabilidad de que al escoger una tarjeta al azar, sea mltiplo de 2 de 5, se puedeexpresar as:

B)P(A

Y como los eventos A y B no son excluyentes

B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A

P(A

B)=12

5 2

P(A

252525

B)=15 3255

38.El caso ms desfavorable que se podra presentar, en el cual no se tenga certeza de quehaya 10 bolitas del mismo color, ser cuando saquemos:

Negras y blancas

9 rojas + 9 verdes + 9 amarillas + 10 = 37 bolitas

Pero la siguiente bolita que saquemos ( sea la 38) ser: roja o verde o amarilla y completar con certeza 10 bolitas del mismo color.

RESPUESTA:Debemos sacar 38 bolitas del saco para tener la certeza deque habrn 10 bolitas del mismo color.

V.IMAGINACIN GEOMTRICA:

39.Cada una de las 10 zonas sombreadas de la bandera, son tringulos:Nosotros sabemos que el rea de un tringulo es igual a la mitad de la base por su alturacorrespondiente.

50cm

Podemos notar que los 6 tringulos sombreadoscuyas bases estn en los largos de la banderatienen igual rea, Porqu?.

30cm

Porque tienen igual base 50

= 10 cm

5

e igual altura la mitad del ancho:

30 = 15 cm

2

Primera forma: bh

Luego, la suma de estas 6 reas sombreadas ser:

6 10 15 6 75 450 cm2

2Tambin podemos observar que los 4 tringulos sombreados que tienen sus bases en los 30

anchos de la bandera tienen igual rea, porque sus bases son iguales

6 cm

y sus

5

alturas tambin son iguales.

50La mitad del largo: 25 cm .

5

bh

Luego, la suma de stas 4 reas sombreadas ser:

4 6 25 4 75 300 cm2

2Luego, El rea total de la regin sombreada ser: 450 + 300 = 750 cm2.

RESPUESTA: El rea de la regin sombreada es: 750 cm2

Segunda forma:

Podemos notar (haciendo los clculos) que los 10 tringulos sombreados tienen igual rea:Los tringulos cuya base estn en los largos de la bandera (arriba y abajo), tienen como

base:

largo 50 10 cm55

y como altura:

ancho = 30 =15 cm22.

10 15El rea de cada uno de estos tringulos ser entonces: 75cm 2 .2

Igualmente los tringulos cuya base estn en los anchos (a la izquierda y a la derecha)

tienen como base: ancho

= 30

= 6 cm y como altura: largo

= 50

= 25 cm

55

El rea de cada uno de estos tringulos ser:

22

6 25 75cm 22

Luego, entonces todos los 10 tringulos sombreados tienen igual rea.

y como son 10 tringulos, el rea sombreada total ser:10 x 75 = 750 cm2.

40.Como BCD es un tringulo equiltero, sus tres lados tendrn la misma medida.

DC = DB = BC = 68 m.

ED

C

AB

Como ABDE es un rectngulo, sus lados opuestos sern paralelos y congruentes.

Luego:

EA DB 68 m.

y tambin

ED AB

y como por dato: El permetro del polgono ABCDE es 456 m, se tendr que

AB + BC + CD + ED + EA = 456

Reemplazando los valores hallados previamente

AB + 68 + 68 + AB + 68 = 456

Despejando, obtenemos que:

AB medir:

456 3(68) 126 m.2

RESPUESTA: La longitud de AB es 126 m.

41.Dividiremos la figura en secto.res.; c.olo.ca.nd.o le.tra.s a.lo.s p.untos clave como indica la figura:.i...e .......c

4......3.....

5a....f .......

2....d.......

bgh..1.........

Se puede considerar que el rea encerrada por el cuadriltero abcda es:por diferencia igual al rea del cuadrado (ghci) [las reas de las zonas (1); (2); (3); (4) y (5)]

A sombreada = AT [A1 + A2 + A3 +A4 + A5] ( )ic

Aplicando Las frmulas:Como gich es un rectngulo10su rea es: base por altura.

AT = 10 x 10 = 100

gh10

Para el rea de A1: Como agb es un tringulo rectngulo en g, su rea ser:

5A1 =

5 42

10

4

Para el rea de A2: Como bhc es un tringulo rectngulo en h su rea ser:

c

10A2 =

6 102

30

b6h

Para el rea de A3: Como el rea dec es tringulo rectngulo en e, su rea ser:

e7c

6

d

A3 =

7 62

21

Para el rea de A4 : Como el aief es un rectngulo se rea ser:

Error! ie

5A4 = 3 5 = 15

a3f

Para el rea de A5: Como afd es un tringulo rectngulo en f, su rea ser:

a3f1d

A 5 =

3 12

=1,5

Reemplazando en ( ):

A sombreada = 100 10 30 21 15 1,5 = 100 77,5 = 22,5 unidades cuadradas.

RESPUESTA: El rea cuadrada encerrada por el cuadriltero es: 22,5 u2.

42.Como por dato el tringulo ABC tiene un rea de 50 cm2, y como por dato tambin la baseAB de ste tringulo es 12,5 cm, aplicando la frmula del rea del tringulo, se puede determinar la longitud de la altura BC.C

Drea de ABC AB BC 50 cm22

AB(12,5 cm) BC = 50 cm2C2

De donde:

BC 2 50 = 8 cm12, 5

50 cm2

AB12,5 cm.

Ahora como el rea del tringulo ABD (sombreado) es la mitad del rea del tringulo ABC ,

ya que tiene la misma base, pero su altura es la mitad, se tendra que:

rea del tringulo

ABD =

50 25 cm22

Faltara calcular el rea sombreada de la zona circular, que es igual a:

Area del semi crculo de radio

BC Area del semi crculo de radio

CD

2 2

8

22

4 2 2

164

Por frmula:

6

2222

Luego, el rea circular sombreada es aproximadamente:

6 6(3,14) 18, 84 cm2

El rea total sombreada es: 25 + 18,84 = 43,84 cm2.

RESPUESTA: El rea de la zona sombreada es 43,84 cm2 (aproximadamente).

Nota:Como es un nmero irracional su valor es un nmero cuya parte decimal esilimitada pero no peridica. = 3,141592 ...

Para los clculos hemos tomado el valor de pi redondeando hasta los centsimos = 3,14

por eso el valor del rea que hemos obtenido es aproximada.

43.Haciendo un anlisis inductivo, contaremos cuntos cuadrados en total se pueden ver enun cuadriculado de 2 x 2; luego en uno de 3 x 3; y en el de 4 x 4:

Error!

Cuadradosde 1x1

Cuadradosde 2x2

Cuadradosde 3x3

Cuadradosde 4x4

Total

414 + 1 = 22 + 12 = 5

9419 + 4 + 1 = 32 + 22 + 12 = 14

1694116 + 9 + 4 + 1 = 42 + 32 + 22 + 12 = 30

Podemos inducir entonces que cuando se tiene un cuadriculado de 20 x 20 cuadraditos, elnmero total de cuadrados que se puedan contar ser:

202 + 192 + .+ 32 + 22 + 12

y sta suma, por frmula de la suma de los primeros cuadrados perfectos es:

20 21 41 2870 cuadrados6

RESPUESTA: En un cuadrado de 20 x 20 se podrn contar 2870 cuadrados

En general: La suma de los n primeros nmeros enteros cuadradosperfectos positivos es:

12 22 32 ..... (n-1)2 n 2 n (n 1) (2n+1)6

44.BC

Como por dato los tres rectngulos son congruentes, el rea de cada uno de los tres rectngulos es la tercera parte del rea del rectngulo ABCD.

Luego: El rea de un rectngulo pequeo ser:AD1350 450 cm23

Pero de acuerdo a la disposicin de los tres rectngulos pequeos se observa que el largode cada uno es el doble de su ancho.

Si llamamos x al ancho de cada rectngulo pequeo, su largo ser 2x

Bx2xC

xx2x

xx

Ax2xD

Y el rea del rectngulo pequeo ser:(2x) (x) = 450cm2.

De donde:2x2 = 450

y:x2 = 225

Aunque hay dos valores de x que elevados al cuadrado dan 225 y son:

x1= 225y

x2 = -225

Pero como x representa el ancho de cada rectngulo pequeo, debe tener unvalor positivo.

Y por lo tanto ser:x =225 x = 15 cmm

Luego, El permetro (p) del rectngulo ABCD ser:

Bx2xC

xx2x

xx

Ax2xD

p = 2x + (x + 2x) + (x + x) + (2x + x)

p = 10 x

reemplazando el valor de x = 15, se obtiene:

p = 10 x 15 = 150 cm.

RESPUESTA: El permetro del rectngulo ABCD es 150 cm.

45.En un cuadrado, las medidas de sus 4 lados son iguales.

Luego, como (4x 15) metros es la medida de uno de los lados del cuadrado y (20 3x) es

la medida de otro de sus lados, estos valores deben ser iguales.

4x 15 = 20 3x

Trasponiendo trminos:7x = 35

Dividiendo entre 7:x = 5 metros m

Luego, el lado del cuadrado medir:

4x 15 = 4(5) 15 = 5 metros. Y su rea ser: A = (5 m)2 = 25 m2.RESPUESTA: El rea del terreno en metros cuadrados es 25.

46.

M e d i d a d e lc u a d ra n t e

Recordar que un cuadrante de un meridiano terrestre es la cuarta parte de la longitud de todo el meridiano. Por lo tanto la medida del cuadrante ser el arco de la circunferencia terrestre que corresponde a un ngulo de 90

Como el metro es la diez millonsima parte de la medida del cuadrante de un meridianoterrestre se deduce que la medida del cuadrante es: diez millones de metros, y por lotanto la circunferencia de la tierra (suponindola una esfera) tendra una longitud igual a 4veces la del cuadrante.

Luego, Longitud de la circunferencia de la tierra = 4 x 10 000 000 = 40 000 000 metros.

Pero por frmula, esta longitud es igual a 2 multiplicado por el radio de la tierra.

2 rTierra = 40 000 000 metros 2

y despejando:rTierra =

40 000 0002

40 000 0002 (3,1416)

Efectuando:rTierra = 6 366 182,83 metros

Y dividindolo entre 1 000 para obtener esta medida en Kilmetros

rTierra =6 366 Kilmetros (aproximadamente)

RESPUESTA: El radio de la Tierra mide aproximadamente 6366 Kilmetros.

47.Sea el segmento AB:

A B

Como AB tiene una longitud de 12 centmetros

Y por dato:

y:

AC = 1 de AB = 1 de 12 = 3 centmetros44

AD = 7 de AB = 7 de 12 = 10,5 centmetros88

CE = 3 de AB = 3 de 12 = 6 centmetros66

Ubicando en el segmento los puntos C, E y D de acuerdo a las medidas encontradas:

12

3 cm7,5

ACEB6 cm

10,5

Obtenemos el orden de los puntos, que sera: A; C; E; D y B.

RESPUESTA: De izquierda a derecha el orden de los 5 puntos es: A; C; E; D y B.

48.Si llamamos P al punto de interseccin de las diagonales del cuadrado ABCD, P tambin

sera el centro del crculo.

BC. P

AD

Entonces podemos observar en la figura, las siguientes formas geomtricas:

a.CIRCULO de centro P.

b.CUADRADO ABCD porque por las condiciones, se sabe que los 4 lados tienen igual longitud y sus 4 ngulos interiores son rectos.

c.RECTNGULO ABCD, ya que todo cuadrado, tambin es rectngulo.

d.TRINGULO RECTNGULO: Hay varios, por ejemplo el tringulo ABC, con ngulo recto en B. (pues BD y AC son perpendiculares).

e.TRINGULO ISOSCELES: Hay varios, por ejemplo, el tringulo APB, ya que AP tiene la misma medida que BP (son mitades de las diagonales de un mismo cuadrado).

Pero, la forma geomtrica que no se observa en la figura es el TRINGULO EQUILTERO, porque no hay ningn tringulo con tres lados de la misma longitud. Adems ningn tringulo tiene ngulos de 60 como deberan ser cada uno de los tres ngulos de un tringulo equiltero.

RESPUESTA: La figura que no aparece en la figura es el TRINGULOEQUILTERO.

INVESTIGACIN N 1 : BILLAR DE PAPEL

Investigacin N 1

Despus de realizar la experiencia para distintos tableros de m x n casillas cuadradas, obtener los valores pedidos para cada caso:

Caso (1): 2 x 33

42

15Nmero de Toques en los lados: 5Nmero de casilleros que cruza: 6

Caso (2)Tablero de 6 x 873

Caso (3)Tablero de 3 x 538

24

24

7

65

1165

Nmero de Toques en los lados:7Nmero de Toques en los lados: 8

Nmero de casilleros que cruza:24Nmero de casilleros que cruza: 15

Caso (4) Tablero de 4 x 63

42

15

Nmero de Toques en los lados: 5Nmero de casilleros que cruza: 12

Caso (5) Tablero de 6 x 93

42

15Nmero de Toques en los lados: 5Nmero de casilleros que cruza: 18

Caso (6) Tablero de 10 x 153

42

15Nmero de Toques en los lados: 5Nmero de casilleros que cruza: 30

Despus de realizar las experiencias anteriores llevamos los resultados al siguiente cuadro:

CasoTablero dem x nToques en losladosCasilleros quecruzan

12356

268724

335815

446512

569518

61015530

Podemos luego darnos cuenta que el nmero de toques en los lados y el nmero decasilleros que cruza la bola, depende de m y n; y tambin del mayor factor comn Mximo Comn Divisor de m y n.

El cuadro de valores podramos escribirlo as:

CasoTablero dem x nMayor factorcomnToques en losladosCasilleros quecruzan

12312 35 =12 36 =1

26826 87 =26 824 =2

33513 58 =13 515 =1

44624 65 =24 612 =2

56936 95 =36 918 =3

61015510 155 =510 1530 =5

Luego:

(b) La frmula sera:

Para un tablero de m x n casillas:

El nmero de toques en los lados sera:

Y el nmero de los casilleros que cruza la bola sera:

m nMCD ( m ; n)

m nMCD ( m ; n)

(c) Si en un tablero de m x n la bola toca 8 veces los lados,

Este ltimo valorequivale tambin al Mnimo Comn Mltiplo de m y n

entonces:

m nMCD ( m ; n)

= 8 (1)

y si la bola cruza 30 cuadrados,

entonces:

m nMCD ( m ; n)

= 30 . (2)

si m y n tuvieran como Mximo Factor Comn: D, entonces, se podra escribir que:

m = D x p n = D x q

Siendo p y q nmeros enteros que son primos entre si ( sea nmeros que tienen como nico divisor comn a la unidad).

Luego, en (1):

D p D q 8D

De donde:p + q = 8

en (2):

D p D q 30D

de donde:

D p q 30

Probando las dos posibilidades:

( i )Sip = 5y q = 3,entonces: D 5 3 30 D 2

m 2 5 10ym y nseran yn 2 3 6

Solucin: El tablero es de 10 x 6 casillas

( ii ) Sip = 7 y q = 1,entonces: D 7 1 30 D 307

(no hay solucin entera)

RESPUESTA: Las dimensiones del tablero seran: 10 x 6.

INVESTIGACIN N 2: EL TUNEL

Teniendo en cuenta que cuando cruzan dos personas que caminan a diferentevelocidad deben viajar a la velocidad de la persona ms lenta se tiene la siguiente secuencia:

Pasan las personasque emplean (minutos)

Tiempo queemplean

IdaRegresa

Se queda lapersona queemplea

5 y 10105 y 10

20 y 25

510

Regresa el ms rpidopara llevar

(Se queda 5)2520, 25 y 10

la linterna

1020 y 25

5 y 10105, 10, 20 y 25

Emplean en elrecorrido45+15= 60 minutos