modelos de primer y segundo orden y optimizacion
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Modelos de Primer y Segundo OrdenTRANSCRIPT
ContenidoModelo de primer y segundo orden
Método del ascenso más pronunciadoAplicación
Diseño de Experimentos. LMA
Unidad 3 Diseños Factoriales 2k
Noviembre 2014
Diseño de Experimentos. LMA Unidad 3 Diseños Factoriales 2k
ContenidoModelo de primer y segundo orden
Método del ascenso más pronunciadoAplicación
Contenido
1 Modelo de primer y segundo orden
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ContenidoModelo de primer y segundo orden
Método del ascenso más pronunciadoAplicación
Contenido
1 Modelo de primer y segundo orden
2 Método del ascenso más pronunciado
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ContenidoModelo de primer y segundo orden
Método del ascenso más pronunciadoAplicación
Contenido
1 Modelo de primer y segundo orden
2 Método del ascenso más pronunciado
3 Aplicación
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ContenidoModelo de primer y segundo orden
Método del ascenso más pronunciadoAplicación
En la mayoría de los problemas de superficies de respuesta, laforma de la relación entre la respuesta y las variablesexplicativas es desconocida.
El primer paso del método de superficies de respuesta esencontrar una aproximación adecuada de la verdadera relaciónfuncional.
Por lo general se emplea un polinomio de orden inferior enalguna región de las variables explicativas.
si la respuesta está bien modelada por un afunción lineal delas variables explicativas, entonces la función apropiada es elmodelo de primer orden
Definición
Consideremos un modelo 22 con r ≥ 2 observaciones portratamiento, cuyo modelo de regresión lineal de primer orden es:
y = β0 + β1x1 + β2x2 + ǫ
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Método del ascenso más pronunciadoAplicación
Si existe curvatura en el sistema, entonces debe usarse un polinomiode orden superior como el modelo de segundo orden.
Definición
El modelo de regresión lineal de segundo orden es:
y = β0 + β1x1 + β2x2 + β11x21 + β22x2
2 + β12x1x2 + ǫ
En casi todos los problemas de modelación con superficies derespuesta se usa uno o ambos de estos modelos.
Se utiliza el Método de Mínimos cuadrados para estimar losparámetros de los modelos.
La Modelación con superficies de respuesta es un procedimientosecuencial, y aveces cuando se está en un punto de la superficie derespuesta que está apartado del óptimo, como en el caso en el casode las condiciones de operacón actuales.
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Método del ascenso más pronunciadoAplicación
El objetivo es guiar al experimentador de manera rápida y eficientepor la trayectoria del mejoramiento hasta la vecindad general delóptimo.
Después de encontrar la región del óptimo, puede emplearse unmodelo más elaborado como el de segundo orden.
Y realizar un análisis para localizar el óptimo.
El objetivo de la Modelación con superficie de respuesta esdeterminar las condiciones de operación óptimas del sistema odeterminar una región del espacio de los factores en la que sesatisfagan los requerimientos de operación.
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Método del ascenso más pronunciadoAplicación
Por lo regular la estimación de las condiciones de operaciónóptimas del sistema estarán lejos del óptimo real.
Para poder llegar rapidamente a la vecindad genereal delóptimo, se utiliza un procedimiento experimental partiendo delsupuesto que el modelo de primer orden es una aproximaciónadecuada de la verdadera superficie en una región pequeña delos factores.
Definición
El método del ascenso más pronunciado es un procedimiento paramoverse secuencialmente sobre la trayectoria de ascenso(maximizar) o descenso (minimizar) más pronunciado, esto es, enla dirección del incremento máximo o decremento máximo de lavariable respuesta.
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Método del ascenso más pronunciadoAplicación
Estimar el modelo de primer orden.
y = β0 + β1x1 + β2x2
La superficie de respuesta de primer orden (contornos de y) esuna serie de líneas paralelas.
La dirección del ascenso más pronunciado es aquella en la quey se incrementa con mayor rapidez.
La dirección del descenso más pronunciado es aquella en laque y disminuye con mayor rapidez.
Por lo general se toma tal dirección como la trayectoria delascenso (descenso) más pronunciado como la recta que pasapor el centro de la región de interés y que es normal a lasuperficie ajustada.
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Luego los pasos sobre la trayectoria son proporcionales a loscoeficientes de regresión estimados βi .
el tamaño real del paso lo determina el experimentador conbase en el conocimiento del proceso u otras consideracinesprácticas.
Se realizan experimentos sobre la trayectoria del ascenso odescenso más pronunciado hasta que deja de observarse unincremento o decremento adicional a la respuesta.
Luego puede ajustarse un nuevo modelo de primer orden,determinar una nueva trayectoria del ascenso o descenso máspronunciado y el procedimiento continúa.
Por último se llega a la vecindad del óptimo.
En general, la falta de ajuste del modelo de primer ordenindica que se ha llegado a ella.
Finalmente, se realizan experimentos adicionales para obteneruna estimación más precisa del óptimo.
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Ejemplo
1 Definir los objetivos de la optimización.- Plantear adecuadamente elPROBLEMA a resolver y seleccionar la RESPUESTA a evaluar
2 Seleccionar los factores que resultan significativos.- Utilizar diseño de selecciónde factores o basarse en conocimientos previos. Incluir de 2 - 4 factoresnuméricos.
3 Establecer la Región de Operabilidad.- Considerar las posibilidadesinstrumentales y la información sobre el sistema.
4 Seleccionar un Entorno Experimental.- Definir la región del espacio de losfactores en donde vamos a planear los experimentos.
5 Construir un Diseño Experimental de Optimización.- Recabar datosexperimentales.
6 Elaborar un Modelo Matemático.- Graficar la SUPERFICIE DE RESPUESTA yevaluar resultados. Repetir de ser necesario los pasos 4 a 6.
7 Localizar el Optimo buscado para la Respuesta.- Utilizar herramientas gráficasy-o matemáticas para predecirlo.
8 Verificar experimentalmente.- Confirmar el valor de la respuesta utilizando losniveles optimos de los factores.
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Ejemplo
Johnson y Leone describen un experimento realizado para investigar la torcedura deplacas de cobre. Los dos factores estudiados fueron la temperatura y el contenido decobre de las placas. La variable de respuesta fue de una medida de la cantidad detorcedura. Los niveles considerados son:
Tratamiento Temperatura contenido de cobre
1 40 502 40 803 125 504 125 80
Y se realizan r = 4 pruebas para cada tratamientoPosteriormente se consideran las condiciones actuales del proceso, es decir los nivelesmedios de los factores 85.7 y 60 respectivamente, y se hacen 4 pruebas.También el experimentador toma otras dos observaciones para la medición de latorcedura de las placas para un nivel de temperatura de 100 y cantidad de cobre 40 yotras dos con temperatura 100 y cobre 80.Los datos están en el archivo Torcedura.csv.
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Ejemplo
1 Elabore y describa las gráficas de interacción entre los factores considerandosólo dos niveles en cada factor.
2 Estime el modelo y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1x2 + ǫ
3 ¿Existe evidencia para afirmar que la tempertatura influye sobre la variablerespuesta?, utilice un nivel de significancia de 5%
4 ¿Existe evidencia para afirmar que la cantidad de cobre no influye sobre lavariable respuesta?, utilice un nivel de significancia de 5%.
5 ¿Existe evidencia para afirmar que los factores no interactúan?, utilice un nivelde significancia de 5%.
6 Interprete los coeficientes del modelo estimado
7 Dado que se quiere minimizar el nivel de torcedura de la placa de cobre, ¿cuálesson los niveles de los factores óptimos?
8 Ahora considerando las condiciones actuales del proceso y las observacionesextra aplique el método de superficie de respueta para encontrar el óptimo.
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