clase 2 modelos de optimizacion de redes

7/23/2019 Clase 2 Modelos de Optimizacion de Redes

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MODELOS DE OPTIMIZACION DE REDES

La modelacin de redes permite la resolucin de mltiples problemas

de programacin matemtica mediante la implementacin de

algoritmos especiales creados para tal fin, conocidos

como Algoritmos de optimizacin de redes. Dentro de losproblemas ms comnmente resueltos mediante la modelacin de

redes se encuentran los ya vistos modelos de transporte, transbordoadems de los muy conocidos modelos de determinacin de

cronograma de actividades para proyectos como lo son el PERT y el

CPM.


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CONCEPTOS BSICOS EN TEORA DE REDES

Grfica: Una grfica es una serie de puntos llamados nodos que van unidospor unas lneas llamadas ramales o arcos.

Red:Una red es una grfica que presenta algn tipo de flujo en sus ramales.Por ejemplo una grfica cuyo flujo en sus ramales sea la electricidad es una

red elctrica. En las redes se usa una simbologa especfica para denotar su

tamao y elementos que la constituyen, dicha notacin es la (N, A) donde N

representa el nmero de nodos que contiene la red y A representa el nmero

de arcos o ramales.


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Cadena: Una cadena corresponde a una serie de elementos ramales que vande un nodo a otro. En el siguiente caso se resalta una cadena que va desde el

nodo 1 hasta el nodo 7 y que se compone por los elementos [1-4, 4-7].

Ruta:Una ruta corresponde a los nodos que constituyen una cadena, en elsiguiente caso [1, 4, 7].


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Ciclo: Un ciclo corresponde a la cadena que une a un nodo con sigomismo, en el siguiente ejemplo el ciclo est compuesto por la cadena

[4-2, 2-5, 5-7, 7-4].

Ramal orientado:Un ramal o arco orientado es aquel que tiene unsentido determinado, es decir que posee un nodo fuente y un nodo

destino.


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Grfica orientada: Una grfica orientada es aquella en la cual todossus ramales se encuentran orientados.

rbol: Un rbol es una grfica en la cual no existen ciclos, como elsiguiente ejemplo.

rbol de expansin:Un rbol de expansin es aquel rbol que enlazatodos los nodos de la red, de igual manera no permite la existencia de

ciclos.


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Nodo fuente: El nodo fuente es aquel nodo en el cual todos susramales se encuentran orientados hacia afuera.

Nodo destino: El nodo destino es aquel nodo en el cual todos susramales se encuentran orientados hacia l.


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ALGORITMO DEL RBOL DE EXPANSIN MNIMA

El algoritmo del rbol de expansin mnima es un modelo de optimizacin deredes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o

indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos o ramales sea

mnima.

Sean

N= {1,2,3,...,n} el conjunto de nodos de la red.

Ck= Conjunto de nodos que se han enlazado de forma permanente en la

iteracin k

k= Conjunto de nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente.


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PASO CERO (0): CONCEPTUALIZACIN DEL ALGORITMO:

Definir los conjuntos C0= {} y 0= {N}, es decir que antes del paso 1 no se han

enlazado de forma permanente nodo alguno, y por ende el conjunto que

representa a los nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente esigual a la cantidad de nodos que existen en la red.

PASO 1:Se debe de escoger de manera arbitraria un nodo en el conjunto 0llamado iel

cual ser el primer nodo permanente, a continuacin se debe de actualizar el

conjunto C1 = {i}, que significa que al tiempo en que el conjunto C1 gana elelemento iel conjunto 0pierde el elemento ipor ende ahora ser igual a 1= N

- {i}, adems se debe actualizar el subndice de los conjuntos k, el cual ahora

ser igual a 2.


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PASO 2: PASO GENERAL "K

Se debe de seleccionar un nodo jdel conjunto K-1("k-1" es el subndice

que indica que se est haciendo referencia al conjunto de la iteracininmediatamente anterior) el cual tenga el arco o ramal con menor longitud

con uno de los nodos que se encuentran en el conjunto de nodos de

enlace permanente CK-1. Una vez seleccionado se debe de enlazar de

forma permanente lo cual representa que pasa a formar parte del conjunto

de enlaces permanentes y deja de formar parte del conjunto que todava

se debe conectar para lograr la expansin. Al actualizar el algoritmo en

este paso los conjuntos deben de quedar de la siguiente forma.

CK= CK-1+ {j} mientras que K= K-1- {j}

El paso general que define k que al mismo tiempo representa a las

iteraciones debe de ejecutarse toda vez que el conjunto Kno sea vaco,

cuando este conjunto sea igual a vaco se tendr el rbol de expansin

mnima.


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La ciudad de Monteria cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual

contar con la urbanizacin de ms de 7 proyectos habitacionales que seubicarn a las afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se construir

no se encontraba hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el

acueducto municipal no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer

las necesidades de servicios pblicos en materia de suministro de agua. Cada

uno de los proyectos de vivienda inici la construccin de un nodo de acueducto

madre, el cual cuenta con las conexiones de las unidades de vivienda propias decada proyecto (es decir que cada nodo madre solo necesita estar conectado con

un ducto madre del acueducto municipal para contar con su suministro). El

acueducto municipal al ver la situacin del plan parcial debe de realizar las obras

correspondientes a la instalacin de ductos madres que enlacen todos los nodos

del plan con el nodo Melndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y

que no pertenece al plan parcial de vivienda, adems es el ms cercano almismo), la instalacin de los ductos implica obras de excavacin, mano de obra y

costos de los ductos mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los enlaces

es fundamental. Las distancias existentes (dadas en kilmetros) correspondientes

a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan parcial se presentan a

continuacin. Adems la capacidad de bombeo del nodo Melndez es ms que

suficiente para satisfacer las necesidades de presin que necesita la red madre.

RESOLUCIN DE UN PROBLEMA DE RBOL DEEXPANSIN MNIMA


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El acueducto municipal le

contacta a usted para que

mediante sus conocimientos

en teora de redes construyauna red de expansin que

minimice la longitud total de

ductos y que enlace todos

los nodos del plan parcial de

vivienda.


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PASO 0:Se definen los conjuntos iniciales C0 = {} que corresponde al conjunto de

nodos enlazados de forma permanente en la iteracin indicada en el subndice y

0= {N = 1,2,3,4,5,6,7,8} que corresponde al conjunto de nodos pendientes porenlazar de manera permanente en la iteracin indicada en el subndice.

PASO 1:Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto 0,

en este caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que

algebraicamente se representa con la letra i, se procede a actualizar losconjuntos iniciales, por ende C1 = {i} = {1} y 0 = {N - i} = {2,3,4,5,6,7,8},

actualizamos kpor ende ahora ser igual a 2.

PASO 2:Ahora se debe seleccionar el nodojdel conjunto K-1(es decir del conjunto del

paso 1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentreenlazado con uno de los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1en el

cual ahora solo se encuentra el nodo 1 (es decir que se debe de encontrar un

nodo que tenga el arco de menor longitud enlazado al nodo 1).


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Los arcos o ramales de color

naranja representan los arcosque enlazan el conjunto K-1(es

decir del conjunto del paso 1,

recordemos que K en este

paso es igual a 2, por ende K-

1= 1) con los nodos de enlace

permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se

encuentra el nodo 1, por ende

ahora solo falta escoger el de

menor longitud, que en este

caso es el arco cuya longitud

es 2, que enlaza de formapermanente ahora el nodo 2.


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Al actualizar los conjuntos quedan

as:

C2= {1,2} y 2= {3,4,5,6,7,8}

Ahora se procede a actualizar kya

que se procede a efectuar la

siguiente iteracin. Ahora se

seleccionar un nuevo nodo j del

conjunto 2que presente el enlace

(ramal o arco) de menor longitudcon los nodos que se encuentran

en el conjunto C2.

Los arcos de color naranja

representan los enlaces posibles y

dado que existe empate entre lasmenores longitudes se elige de

manera arbitraria, en este caso se

representa nuestra eleccin con un

arco de color verde, enlazando de

forma permanente ahora el nodo 4.


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Al actualizar los

conjuntos quedan as:

C3 = {1,2,4} y 3 =

{3,5,6,7,8}

Ahora se procede a

actualizar k ya que se

procede a efectuar la

siguiente iteracin.


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Lo que representan los

arcos naranja y verde es ya

conocido, ahora la lnea

azul interrumpida irtrazando nuestro rbol de

expansin final. Dado a que

el arco menor es el de

longitud 3, ahora se

enlazar de manera

permanente el nodo 5.

Al actualizar los conjuntos

quedan as:

C4 = {1,2,4,5} y 4 =

{3,6,7,8}

Ahora se procede a



siguiente iteracin.


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Ahora se enlazar demanera permanente el

nodo 7.

Al actualizar los


C5= {1,2,4,5,7} y 5={3,6,8}

Ahora se procede a



siguiente iteracin.


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Ahora se enlazar de

manera permanente el

nodo 6.

Al actualizar los conjuntos

quedan as:C6 = {1,2,4,5,7,6} y 6 =

{3,8}

Ahora se procede a


procede a efectuar lasiguiente iteracin.


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Se rompen los empates

de forma arbitraria,

ahora se enlazar de

manera permanente el

nodo 3.

Al actualizar los


C7 = {1,2,4,5,7,6,3} y

7= {8}

Ahora se procede a

actualizar k ya que seprocede a efectuar la

ltima iteracin.

.


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Ahora se enlazar

de manerapermanente el nodo

8.

Al actualizar los

conjuntos quedan

as:C8 =

{1,2,4,5,7,6,3,8} =

{N} y 8= {}

Por ende se ha

llegado al rbol deexpansin mnima

rbol que presenta una longitud total minimizada de 21 kilmetros de ductos

METODO DE LA RUTA MAS CORTA


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METODO DE LA RUTA MAS CORTA

Objetivo: Determinar la mejor manera de cruzar una red para encontrar una forma

econmica para dirigirse desde un origen a un destino dado.

Suponga que en una red existen m nodos y n arcos (bordes) y un costoCijasociado con cada arco (i a j) en la red.

El problema del camino ms corto (CC) es encontrar la va ms cercana (menor

costo) desde el nodo de comienzo 1 hasta el nodo final m. El costo del camino es

la suma de los costos de cada arco recorrido


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A continuacin se presentan dos algoritmos para resolver tanto redes cclicas (es decir, que

contienen bucles) como redes acclicas:

1. El algoritmo de Dijkstra para determinar las rutas ms cortas entre el nodo origeny los dems nodos en la red.

2. El algoritmo de Floyd para determinar la ruta ms corta entre dos nodoscualesquiera en la red.

ALGORITMOS PARA SOLUCION DE LA RUTA MAS CORTA

Algoritmo de Dijkstra. Sea ui la distancia ms corta del nodo origen 1 al nodo i, ydefina dij (>= 0) como la longitud del arco (i,j). El algoritmo define la etiqueta para un nodo

j que sigue inmediatamente como

La etiqueta para el nodo de inicio es [0, -], que indica que el nodo no tiene predecesor. Las

etiquetas de nodo en el algoritmo de Dijkstra son de dos tipos: temporales y permanentes.

Una etiqueta temporal en un nodo se modifica si puede hallarse una ruta ms corta al nodo.

De lo contrario, el estado temporal cambia a permanente.

ALGORITMO DE DIJKSTRA


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ALGORITMO DE DIJKSTRA.

Distancia hasta elnodo j, desde elnodo origen.

Nodoinmediatamenteanterior a j.

EJEMPLO


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EJEMPLO

Dada la siguiente red, calcule la ruta mas corta de la ciudad 1 al resto de las ciudades

Sea ui la distancia ms corta del nodo origen 1 al nodo i.Defina dij (>= 0) como la longitud del arco (i,j).El algoritmo define la etiqueta para un nodo j que sigue inmediatamente como:

Distancia hasta elnodo j, desde elnodo origen.

Nodoinmediatamenteanterior a j.

0,-

0+100,1

0+30,1

30+60,3

30+10,3

40+50,4

40+15,4

ALGORITMO DE FLOYD


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ALGORITMO DE FLOYD

ALGORITMO DE FLOYD


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El algoritmo de Floyd es ms general que el de Dijkstra, ya que determina la ruta ms corta entre dos nodos

cualquiera de la red.

El algoritmo representa una red de nnodos como una matriz cuadrada de orden n, la llamaremos matriz C.

De esta forma, el valor Cij representa el coste de ir desde el nodo i al nodo j, inicialmente en caso de no

existir un arco entre ambos, el valor Cij ser infinito.

Definiremos otra matriz D, tambin cuadrada de orden n, cuyos elementos van a ser los nodos predecesores

en el camino hacia el nodo origen, es decir, el valor Dij representar el nodo predecesor a jen el camino

mnimo desde ihastaj. Inicialmente se comienza con caminos de longitud 1, por lo que Dij = i.

Las diagonales de ambas matrices representan el coste y el nodo predecesor para ir de un nodo a si mismo,

por lo que no sirven para nada, estarn bloqueadas.

Los pasos a dar en la aplicacin del algoritmo de Floyd son los siguientes:

Formar las matrices iniciales C y D.1. Se toma k=1.2. Se selecciona la fila y la columna k de la matriz C y entonces, para i y j, con ik,jke ij, hacemos:3. Si (Cik + Ckj) < Cij Dij = Dkj y Cij = Cik + Ckj

En caso contrario, dejamos las matrices como estn.

Si k n, aumentamos k en una unidad y repetimos el paso anterior, en caso contrario paramos lasiteraciones.

La matriz final C contiene los costes ptimos para ir de un vrtice a otro, mientras que la

matriz D contiene los penltimos vrtices de los caminos ptimos que unen dos vrtices, lo cualpermite reconstruir cualquier camino ptimo para ir de un vrtice a otro

ALGORITMO DE FLOYD

EJEMPLO


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EJEMPLO

Aplicar el algoritmo de Floyd sobre el siguiente grafo para obtener las rutas ms cortas entre cada dos nodos.

El arco (3, 5)es direccional, de manera que no est permitido ningn trfico del nodo 5al nodo 3. Todos los

dems arcos permiten el trfico en ambas direcciones.

ALGORITMO DE FLOYD


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MATRIZ C MATRIZ D1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 - 3 10 1 - 1 1 1 12 3 - 5 2 2 - 2 2 2

3 10 - 6 15 3 3 3 - 3 34 5 6 - 4 4 4 4 4 - 45 4 - 5 5 5 5 5 -

MATRICES INICIALES

TOMAMOS K=1

Tomamos i=2 (i k):j=3 (jk,ji): C[2,1]+C[1,3] = 3+10 = 13 < C[2,3] = , por tanto hacemos:

C[2,3] = 13y D[2,3] = 1.

j=4 (jk,ji): C[2,1]+C[1,4] = 3+ = , no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 2a 4a travs de 1.

j=5 (jk,ji): C[2,1]+C[1,5] = 3+ = , no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 2a 5a travs de 1.Tomamos i=3 (i k):j=2 (jk,ji): C[3,1]+C[1,2] = 10+3 = 13 < C[3,2] = , por tanto hacemos:

C[3,2] = 13y D[3,2] = 1.



Tomamos i=4 (i k):j=2 (jk,ji): C[4,1]+C[1,2] = +3 = , no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 4a 2a travs de 1.

j=3 (jk,ji): C[4,1]+C[1,3] = +10 = , no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 4a 3a travs de 1.

j=5 (jk,ji): C[4,1]+C[1,5]= + = , no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 4a 5a travs de 1.

Tomamos i=5 (i k), en este caso ocurre como en el paso anterior, como C[5,1]=, entonces no habr ningn cambio, no puedehaber ningn camino desde 5a travs de 1.

TOMAMOS K=1

MATRIZ C MATRIZ D1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 - 3 10 1 - 1 1 1 12 3 - 13 5 2 2 - 1 2 23 10 13 - 6 15 3 3 1 - 3 3

4 5 6 - 4 4 4 4 4 - 45 4 - 5 5 5 5 5 -

ALGORITMO DE FLOYD


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Tomamosi=1:j=3: C[1,2]+C[2,3] = 3+13 = 16 > C[1,3] = 10 , por tanto no hay que cambiar nada, el camino es

mayor que el existente.

J=4:C[1,2]+C[2,4] = 3+5 = 8 < C[1,4] = , por tanto hacemos:

C[1,4] = 8 y D[1,4] = 2 .

j=5:C[1,2]+C[2,5] = 3+= , no hay que cambiar nada.

Tomamos i=3:J=1: C[3,2]+C[2,1] = 13+3 = 16 > C[3,1] = 10, no hay que cambiar nada.

J=4: C[3,2]+C[2,4] = 13+5 = 18 > C[3,4] = 6, no hay que cambiar nada.

j=5: C[3,2]+C[2,5] = 13+= , no hay que cambiar nada.

Tomamos i=4:j=1: C[4,2]+C[2,1] = 5+3 = 8 < C[4,1] = , por tanto hacemos:

C[4,1] = 8 y D[4,1] = 2.

j=3: C[4,2]+C[2,3] = 5+13 = 18 > C[4,3] = 6, no hay que cambiar nada.

j=5: C[4,2]+C[2,5] = 5+= , no hay que cambiar nada.

Tomamos i=5,como C[5,2]=, entonces no habr ningn cambio.

TOMAMOS K=2

MATRIZ C MATRIZ D1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 - 3 10 8 1 - 1 1 2 12 3 - 13 5 2 2 - 1 2 23 10 13 - 6 15 3 3 1 - 3 34 8 5 6 - 4 4 2 4 4 - 45 4 - 5 5 5 5 5 -

TOMAMOS K=2


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TOMAMOS K=3

Tomamos i=1:

j=2: C[1,3]+C[3,2] = 10+13 = 23 > C[1,2] = 3, no hay que cambiar nada.j=4:C[1,3]+C[3,4] = 10+6 = 16 > C[1,4] = 8, no hay que cambiar nada.

j=5:C[1,3]+C[3,5] = 10+15 = 25 < C[1,5] = , por tanto hacemos:

C[1,5] = 25 y D[1,5] = 3 .

Tomamos i=2:



j=5: C[2,3]+C[3,5] = 13+15 = 28 < C[2,5] = , por tanto hacemos:

C[2,5] = 28y D[2,5] = 3.Tomamos i=4:




Tomamos i=5, como C[5,3]=, entonces no habr ningn cambio.

MATRIZ C MATRIZ D1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 - 3 10 8 25 1 - 2 1 2 32 3 - 13 5 28 2 2 - 1 2 33 10 13 - 6 15 3 3 1 - 3 34 8 5 6 - 4 4 2 4 4 - 4

5 4 - 5 5 5 5 5 -

TOMAMOS K=3

TOMAMOS K=4


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Tomamos i=1:


j=3:C[1,4]+C[4,3] = 8+6 = 14 > C[1,3] = 10, no hay que cambiar nada.

j=5:C[1,4]+C[4,5] = 8+4 = 12 < C[1,5] = 25, por tanto hacemos:

C[1,5] = 12 y D[1,5] = 4.

Tomamos i=2:


j=3: C[2,4]+C[4,3] = 5+6 = 11 < C[2,3] = 13, por tanto hacemos:

C[2,3] = 11 y D[2,3] = 4.


C[2,5] = 9 y D[2,5] = 4.

Tomamos i=3:


j=2: C[3,4]+C[4,2] = 6+5 = 11 < C[3,2] = 13, por tanto hacemos:C[3,2] = 11 y D[3,2] = 4.


C[3,5] = 10 y D[3,5] = 4.

Tomamos i=5:


C[5,1] = 12y D[5,1] = 2 .


C[5,2] = 9 y D[5,2] = 4.


C[5,3] = 10y D[5,3] = 4. MATRIZ C MATRIZ D1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 - 3 10 8 12 1 - 1 1 2 42 3 - 11 5 9 2 2 - 4 2 43 10 11 - 6 15 3 3 4 - 3 3

4 8 5 6 - 4 4 2 4 4 - 45 12 9 10 4 - 5 2 4 4 5 -

TOMAMOS K=4

TOMAMOS K=5


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TOMAMOS K=5

Tomamos i=1:

j=2: C[1,5]+C[5,2] = 12+9 = 21 > C[1,2] = 3 , no hay que cambiar nada.



Tomamos i=2:




Tomamos i=3:




Tomamos i=4:


j=2: C[4,5]+C[5,2] = 4+9 = 13 > C[4,2] = 5 , no hay que cambiar nada.j=3: C[4,5]+C[5,3] = 4+10 = 14 > C[4,3] = 6, no hay que cambiar nada.

MATRIZ C MATRIZ D1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 - 3 10 8 12 1 - 1 1 2 42 3 - 11 5 9 2 2 - 4 4 43 10 11 - 6 15 3 3 4 - 4 3

4 8 5 6 - 4 4 2 4 4 - 45 12 9 10 4 - 5 2 4 4 5 -

Las matrices finales C y D contienen toda la informacin necesaria para determinar la ruta ms corta entredos nodos cualquiera de la red. Por ejemplo, la distancia ms corta del nodo 1 al nodo 5 es C[1,5] = 12.Para determinar la ruta asociada del camino mnimo entre el nodo 1 y el nodo 5haremos lo siguiente:Consultamos D[1,5]=4, por tanto el nodo predecesor al 5 es el 4, es decir,4 5.Consultamos D[1,4]=2, por tanto el nodo predecesor al 4 es el 2, es decir,2 4 5.

Consultamos D[1,2]=1, por tanto el nodo predecesor al 2 es el 1, es decir, 1 2 4 5, y as ya tenemosla ruta completa.

TOMAMOS K 5

FLUJO MAXIMO


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FLUJO MAXIMO

Problema del Flujo Mximo: En una red con flujo de capacidades en los arcos, elproblema es determinar el flujo mximo posible proveniente de los orgenes de forma tal de

ahogar las capacidades de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos

con un flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como X ij. Asociamos cada arcoa una capacidad de flujo, kij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total mximo en la

red, F, del nodo 1 al nodo m.En la formulacin de la programacin lineal, el objetivo es

maximizar F. El monto que parte del origen por varias rutas. Para cada nodo intermedio, lo

que entra debe ser igual a lo sale. En algunas rutas los flujos pueden tomar ambas

direcciones. La capacidad que puede ser enviada a una direccin en particular tambin es

mostrada en cada ruta.

FLUJO MAXIMO


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Existe un flujo que viaja desde un nico lugar de origen hacia un nico lugar de destino a travs de arcos

que conectan nodos intermediarios. Los arcos tienen una capacidad mxima de flujo y se trata de enviar

desde la fuente al destino la mayor cantidad posible de flujo

Hay problemas donde lo importante es la cantidad de flujo que pasa a travs de la red como por ejemplo:

en las lneas de oleoductos, redes elctricas o de transmisin de datos. Por esta razn en dichos

problemas se determina el flujo mximo que pasa a travs de una red.

Definiciones bsicas

Flujo: Circulacin de unidades homogneas de un lugar a otro.Capacidad de flujo:es la capacidad de unidades que pueden entrar por el nodo fuente y salir por elnodo destino.

Origen o fuente de flujo:nodo por el cual el flujo ingresa.Destino o Sumidero de flujo: nodo por el cual el flujo sale.

Capacidades residuales:capacidades restantes unas vez que el flujo pasa el arco

FLUJO MAXIMO

METODO DE SOLUCION FLUJO MAXIMO


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METODO DE SOLUCION FLUJO MAXIMO

Ford Fulkerson: Para la resolucin de problemas de flujo mximo se requiere el usodel mtodo Ford Fulkerson. Este mtodo propone buscar caminos en los que se pueda

aumentar el flujo hasta que se alcance el flujo mximo, la idea es encontrar una ruta de

penetracin con un flujo positivo neto que una los nodos de origen y destino.

1.El flujo es siempre positivo y con unidades enteras.

2.El flujo a travs de un arco es menor o igual que la capacidad.

3.El flujo que entra en un nodo es igual al que sale de l.

Resolucin de problemaPara resolver un problema de flujo mximo se debe seguir los siguientes pasos:

Se identifica el nodo origen y destino.

Se parte desde el nodo de origen y se escoge el arco que posea mayor flujo

Se identifica los nodos de transbordo.

Repetir como si el nodo intermediario fuera el nodo origen.

Se calcula "k" y las capacidades nuevas.

Dado el resultado se cambian las capacidades y se repite el mismo procedimiento desde el

inicio.

FormularioCij,ji =(Ci-K, Cj+K), donde:

C: capacidad

Ij: ndices de los nodos

K: es el minimo flujo que pasa por el nodo, se calcula como k= min(capacidades de la ruta).

METODO FORD FULKERSON


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Hallar el flujo mximo del siguiente problema:

METODO FORD FULKERSON

5

MTODO FORD FULKERSON


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FormularioCij,ji =(Ci-K, Cj+K), donde:

C: capacidad

Ij: ndices de los nodosK: es el minimo flujo que pasa por el nodo, se calcula como k= min(capacidades dela ruta).

El nodo de origen como se puede observar es el numero 1 de color amarillo, y el nodo de

destino es el numero 5 de color azul.



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Se escoge desde el nodo deorigen aquel flujo que sea el

mayor, en este caso es 30, y

va dirigido al nodo numero 3.

Se identifica el nodo de

transbordo como [30,1], 30 es la

capacidad, y 1 es el nodo del

cual proviene la capacidad y

luego repetimos todo el proceso,

como si el nodo intermediariofuese el nodo de origen. Se tiene

como flujo mayor 20 del nodo

numero 3 al nodo numero 5, con

el nodo de transbordo como

[20,5].




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Ahora que hemos llegado

al nodo de destino,procedemos a calcular "k"

y las capacidades nuevas.

K=min(,30,20)K=20

C13,31 =(30-20, 0+20)C13,31 =(10, 20)

C35,53 =(20-20, 0+20)C35,53 =(0, 20)

Luego de haber calculado

las nuevas capacidades, es

necesario reemplazarlas.



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Se realiza el proceso otra vez, haciendo la ruta con los mayores flujos.

K=min(,20,40,10,20)K=10

C12,21 =(20-10, 0+10)

C12,21 =(10, 10)

C23,32 =(40-10, 0+10)C23,32 =(30, 10)

C34,43 =(10-10, 5+10)C34,43 =(0, 15)

C45,54 =(20-10, 0+10)

C45,54 =(10, 10)

Volvemos a hacer el proceso y escogemos el camino

1,2. Como se puede observar si se tomara rumbo del

nodo 2 al nodo 3 terminara trancado, obligndose a

volver al nodo origen, por lo que se toma el camino

2,5.

K=min(,10,20)K=10

C12,21 =(10-10, 10+10)C12,21 =(0, 20)

C25,52 =(20-10, 0+10)

C25,52 =(10, 10)



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Se actualizan las capacidades y procedemos a resolver de

nuevo. Esta vez agarraremos el camino de 1,3.

K=min(,10,10,10)K=10

C13,31 =(10-10, 20+10)C13,31 =(0, 30)

C32,23 =(10-10, 30+10)C32,23 =(0, 40)

C25,52 =(10-10, 10+10)C25,52 =(0, 20)

K=min(,10,10)K=10

C14,41 =(10-10, 0+10)C14,41 =(0, 10)

C45,54 =(10-10, 10+10)

C45,54 =(0, 20)

Y por ultimo escogemos el camino 1,4



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Reemplazando las nuevas capacidades, nos queda de la siguiente forma, las

capacidades del nodo de origen quedan como 0, por lo cual seguimos a sumar a todas las

K y ahi conseguimos el flujo mximo.

Flujo Mximo = KFlujo Mximo = 20+10+10+10+10Flujo Mximo = 60

El flujo mximo que puede pasar del nodo origen 1 hasta el nodo destino es de 60.

Y por ultimo escogemos el camino 1,4

PROBLEMA DE AGENTE VIAJERO TSP


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Traveling Salesman Prob lem

El problema del agente viajero o TSP por sus siglas en ingls (Travelling

Salesmen Problem) es uno de los problemas ms famosos y complejos delas ciencias computacionales y ha sido abordado por varias ramas de la

ingenieray por distintas razones, su principal aplicacin es la de ratear desde

distintasperspectivas, ya sea un proceso que lleva una secuencia especfica o

una distribucin de carcter logstico en la que intervienen elementos del

transporte buscando la mejor ruta posible con criterios de

Economa en distancia o en costo.

Proveer soluciones contribuye a mejorar tareas y procesos en distintos mbitos,

cientficos e industriales, proponiendo alternativas para el mejor uso de los

recursos. Disciplinas que abordan este tema son la investigacin de operaciones

y las ciencias informticas como algoritmia y teora de grafos


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El TSP se describe como: un agente viajero desea programar visitas a sus

clientes en diferentes ciudades, por lo que desea viajar lomnimo posible. As,

se encuentra en el problema de determinaruna ruta que minimice la distancia

total (o bien tiempo o costo)necesaria para visitar todas las ciudades en su

zona.

A las ciudades o a los puntos de partida y llegadas se les llama nodos y los

caminos entre ellos se llama arcos. Existen arcos dirigido y no dirigidos los

arcos dirigidos solo pueden ir desde el arco inicial al arco terminal, es como

una calle con un solo sentido, si el arco es no dirigido significa que se puede

recorrer en doble sentido.

En estos problemas se construye una ruta de costo mnimo en los cuales

cada cliente, ciudades o nodos pasen por lo dems nodos exactamente una

vez, es decir:

Sea Cij el costo del viaje desde la ciudad i hasta la ciudad j.Construir una ruta de costo mnimo que visite a cadaciudad exactamente una vez.

Si Cij =Cj i para todas la ciudades, entonces el problemaes simtrico.

Si Cij Cj i para algn par de ciudades, entonces el problema es asimtrico.

clase 2 modelos de optimizacion de redes

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