redes de optimizacion adr

8/2/2019 REDES DE OPTIMIZACION ADR

http://slidepdf.com/reader/full/redes-de-optimizacion-adr 1/35

UNMSME.A.P INVESTIGACION OPERATIVA

EL PROBLEMA DE LA RUTA OTRAYECTORIA MAS CORTA

AUTOR :

Ricardo Antonio Díaz Roque

REDES DE OPTIMIZACION



INVESTIGACION OPERATIVA

Saludos estimados amigosde Perú.

En esta oportunidad les

presento El Problema de laRuta o Trayectoria masCorta y el Costo Mínimo .

Ingeniería Matemática

equivalente a: Investigación Operativa

UNMSM



Algoritmo de Dijkstra



Edsger Wybe Dijkstra

Nació en Rotterdam, (Holanda) en 1930. Sus padreseran ambos intelectuales y él recibió una excelenteeducación. su facilidad para la química, lasmatemáticas y la física, entró en la Universidad deLeiden, donde decidió estudiar física teórica. Duranteel verano de 1951, asistió a un curso de verano sobreprogramación en la Universidad de Cambridge. A suvuelta empezó a trabajar en el Centro Matemático enÁmsterdam, en marzo de 1952, donde se incrementó

su creciente interés en la programación. Cuandoterminó la carrera se dedicó a problemas relacionadoscon la programación. En 1972 ganó el Premio TuringACM.



Algoritmo de Dijkstra (ruta más corta- árbol mínimo - camino mínimo)

En 1956, Dijkstra anunció su algoritmo de caminosmínimos, después de haber estado trabajando con elARMAC, el ordenador que el Centro Matemáticoposeía.

Una posible definición de algoritmo es un conjunto dereglas que permiten obtener un resultado determinado apartir de ciertas reglas definidas. Otra definición sería,algoritmo es una secuencia finita de instrucciones, cada

una de las cuales tiene un significado preciso y puedeejecutarse con una cantidad finita de esfuerzo en untiempo finito. Ha de tener las siguientes características:legible, correcto, modular, eficiente, estructurado, noambiguo y a ser posible se ha de desarrollar en el

menor tiempo posible.



Edsger Wybe Dijkstra



A principios de la década de los 60, Dijkstraaplicó la idea de la exclusión mutua a lascomunicaciones entre una computadora y suteclado. Su solución de exclusión mutua hasido usada por muchos procesadores modernosy tarjetas de memoria desde 1964.



OBJETIVO DEL ALGORITMO

Un algoritmo de trayectoria más corta, rutea cadavehículo a lo largo de la trayectoria de longitudmínima (ruta más corta) entre los nodos origen ydestino. Hay varias formas posibles de seleccionarla longitud de los enlaces. La forma más simple esque cada enlace tenga una longitud unitaria, en cuyocaso, la trayectoria más corta es simplemente unatrayectoria con el menor número de enlaces. De una

manera más general, la longitud de un enlace puededepender de su capacidad de transmisión y su cargade tráfico.



Sea i=1 el nodo Origen Paso 0: marcar el nodo Origen con [0,0], i=1,

P={1}, T={2,3,…n}.

Paso 1: j marcar [u j,,i]=[ui+cij,i]. Si el nodo j tiene marca temporal [u j,k] y ui+cij< u j

reemplazar [u j,k] por [ui+cij,i].

Paso 2:hallar k T tal que cik=min{c ij, j T},hacer, T=T-{k}, P=P+{k}. Marcar el nodo k enforma permanente. Si T=Ø parar, sino pasar alPaso 1.

ALGORITMO DE DIJKTRA’S



Pasos para desarrollar unalgoritmo de Dijkstra

Rojo: Aristas yvérticespertenecientes a lasoluciónmomentánea.

Azul: Aristas yvértices candidatos.



Paso 1

En este primer paso, podemos

apreciar que hay trescandidatos: Los vértices b, c yd. En este caso, hacemos elcamino desde el vértice a,hasta el vértice d, ya que es elcamino más corto de los tres.

Solución

momentánea:

Camino: AD Distancia:5



Paso 2

Ahora, vemos que seañade un nuevocandidato, el vértice e, yel vértice c, pero esta vez

a través del d. Pero elcamino mínimo surge alañadir el vértice c.

Solución

momentánea:

Camino: ADC

Distancia:9



Paso 3 En este paso no se añade

ningún candidato máspuesto que el últimovértice es el mismo queen el paso anterior. En

este caso el caminomínimo hallado es elsiguiente:

Solución momentánea:

Camino: ADCB

Distancia:11



Paso 4 Como podemos

comprobar, se hanañadido dos candidatosnuevos, los vértices f y g,ambos a través del

vértice b. El mínimocamino hallado en todoel grafo hasta ahora es elsiguiente:


Camino: ADCBF

Distancia:15



Paso 5

En este antepenúltimo paso,se añaden tres vérticescandidatos, los vértices g, zy e. Este último ya estabapero en esta ocasiónaparece a través del vértice

f. En este caso el caminomínimo, que cambia unpoco con respecto alanterior, es:


Camino: ADCBF Distancia:17



Paso 6

En el penúltimo paso,vuelve a aparecer otrocandidato: el vértice z,pero esta vez a través delvértice g. De todasformas, el caminomínimo vuelve a cambiarpara retomar el caminoque venía siguiendo enlos pasos anteriores:

Solución momentánea: Camino: ADCBFE Distancia:18



Paso 7

Por fin, llegamos alúltimo paso, en el quesólo se añade uncandidato, el vértice za través del e. Elcamino mínimo yfinal obtenido es:

Solución Final:

Camino: ADCBFEZ

Distancia:23



Terminología de Redes



La representación de redes

se utiliza en:



Optimización de RedesComponentes

Nodos Rutas Flujos

Aeropuertos Líneas Aéreas Aviones

Bodegas Rutas Mercancias

Puntos decomunicacion

Canales ó cables Mensajes

Estaciones de bombeo Tuberías Fluidos

Centros de Trabajo Rutas de manejo demateriales

Trabajos



FLUJO DE COSTO MÍNIMO



Las variables de decisión son:

xij= flujo a través del arco aj,

y la información dada incluye

cij=costo por unidad de lujo a través del arco i→j,

uij= capacidad del arco i→j, bj= flujo neto generado en el nodo i.

El valor de bi depende de la naturaleza del nodo i, en

donde

bi>0, si i es un nodo fuente,

bi>0, si i es un nodo de demanda,

bi=0, si i es un nodo de trasbordo.



El objetivo es:

Minimizar el costo total de mandar losrecursos disponibles a través de la red parasatisfacer la demanda dada. Usando la

convención de que las sumas se toman sólosobre arcos existentes, la formulación deprogramación lineal de este problema es:



La primera suma en las restricciones de los nodosrepresenta el flujo total que sale del nodo i mientras

que la segunda representa el flujo total que entra al

nodo i; así, la diferencia es el flujo neto generado en

este nodo.



Una condición necesario para que unproblema de flujo de costo mínimo tenga

soluciones factibles es que:El flujo total generado en los nodos origen

es igual al flujo total absorbido por losnodos de destino.



EJEMPLO DE FLUJO DE COSTOMINIMO



Método Simplex



Después de este largo procedimiento obtenemos

que la solución óptima es Z= 490, con X1= 0;X2= 40; X3= 10; X4= 40; X5= 80; X6= 0 yX7 = 20.



USANDO EXEL



MUCHAS GRACIAS POR SUATENCION

AUTOR

RICARDO ANTONIO DIAZ ROQUE

EMAIL

[email protected]



INVESTIGACION OPERATIVA

Saludos estimados amigosde Perú.

En esta oportunidad lespresento El Problema de laRuta o Trayectoria masCorta y el Costo Mínimo .

Ingeniería Matemática

equivalente a:

Investigación Operativa

UNMSM

redes de optimizacion adr

Documents