LOGRO DE APRENDIZAJEManeja el sustento terico prctico de los componentes temticos del rea curriculares de su especialidad acadmicaCAPACIDADES DE LA DIMENSION PEDAGOGICA4.1. Imprime un manejo educativo cientfico al proceso enseanza y aprendizaje.4.2. Maneja contenidos de las disciplinas relacionadas con su especialidad.SESIONES DE APRENDIZAJE: SESIN 01 Lgica proposicionalSESIN 02 Sistemas numricos.EJES TRANSVERSALES COMPRENSION LECTORA EDUCACIN INCLUSIVA E INTERCULTURALIDAD EDUCACIN INC INCL LUSIVA. USIVA. F FOR ORM MACI ACI N N T TICA ICA Y Y M MO ORA RAL L. .3LGICA PROPOSICIONALla Lgica me salva del aburrimientoCONTENIDOS APRENDIZAJES ESPERADOS INDICADORESCuantificadoresexistencialy universalTablas de verdad de proposiciones compuestas Relacinentrelalgicay los conjuntosLos argumentos y su estructura Analizalastablasdeverdadde proposiciones compuestas. Determina la relacin entre la lgica y los conjuntos Define argumentos y su estructura Aplicalaspropiedadesdelalgica proposicional en situaciones diversas, propuestos en el material impreso. Infiereaplicacionesdelaequivalenciae implicacinlgicaenel tratamientodelos contenidosmatemticospropuestosenun listado de problemas.7 1( p q ) ( p q )p q) ( pq) pppppI. I. S SI IT TU UA AC CI I N N P PR RO OB BL LE EM M T TI IC CA AResuelva cada uno de los siguientes tems:1.Dados los siguientes enunciados:a)La tierra es plana. b) 17 + 38 = 21.3.LGICA DE PROPOSICIONESLalgicadeproposicioneseslapartems elemental de la lgica moderna o matemticaoformal. Estudialas relaciones existentesentreproposicionesconsideradas comountodo,sinpenetrarensuestructura interna.c) x >y 9 .d)AlianzaLimaes campenenlapresente temporada de ftbol profesional.e)Hola como estas?f) Lava la ropa por favor.Cules son proposiciones? Por qu?2.Determine si las expresiones:a)La proposicin es una oracin aseverativadelaquetienesentidodecir que es verdadera o falsa.Ejemplos:a)La ciudad de Trujillo es la capital del departamentodeLaLibertad.(Esuna proposicin verdadera)b)Eltomoesunamolcula.(Esunab)(q )proposicin Falsa)c) q ( pson tautologas, contradicciones o contingencia:II. II. D DE ES SA AR RR ROLL OLLO O DE DE C CO ONT NTE ENIDO NIDO T TE E RICO RICO LGICA1.DEFINICINLa lgica es la disciplina que trata de mtodosderazonamiento.Enunnivel elemental,lalgicaproporcionareglasy tcnicas paradeterminar siesonovlido un argumentodado.Elrazonamientolgicose emplea en matemtica para demostrar teoremas; en ciencias de la computacin paraverificarsisononocorrectoslos programas; en lasciencias fsicay naturales, parasacarconclusionesdeexperimentos;y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana,pararesolverunamultitudde problemas.2.LENGUAJEEl lenguaje, en sentido estricto,es un sistema convencional designos,esdecir,unconjunto desonidos y grafas consentido, sujeto auna determinada articulacininterna.Sirvepara afirmaronegar(oracionesaseverativas o declarativas); expresar deseos (oraciones desiderativas);formularpreguntas(oraciones interrogativas); expresar sorpresa o admiracin (oraciones exclamativas o admirativas) eindicarexhortacin,mandatoo prohibicin(oracionesexhortativas o imperativas).c)2esunnmero primo. (Esunaproposicinverdadera)d)Todas lasavesvuelan.(Esunaproposicin falsa)Expresiones lingsticas que no son proposicionesLas oraciones interrogativas,las exhortativasoimperativas,lasdesiderativas y lasexclamativasoadmirativasnoson proposiciones porque ninguna de ellas afirmaoniegaalgoy,porlotanto,noson verdaderas ni falsas. Asimismo,las oracionesdubitativas,ascomolosjuicios devalornoobstanteafirmaralgosu verdad o falsedad no puede ser establecida.Ejemplos:a)Elcuadrilteroesunpolgonodecuatro lados. (Esproposicin verdadera)b)Qu eslalgica? (No es proposicin porque esunaoracin interrogativa)c)Debemoshonraranuestroshroes. (No esproposicinporqueesunaoracin imperativao exhortativa)d)PorJpiter!Casimesacolalotera!(No esprop osicinporqueesunaoracinexclamativaoadmirativa)e) Quizlluevamaana.(Noesproposicin porque es una oracin dubitativa)f)Valentn es bueno.(No es proposicin porque constituye un juicio de valor).En conclusin:Toda proposicines una oracin aseverativa, pero no toda oracin aseverativa es una proposicin.5EjemplosSon pseudoproposiciones :a)El tringulo es inteligente.b)Alejandro es un nmero racional.Son funciones proposicionales:c)3x + 7 = 16.d)x es la capital del Per.L a s descripciones i n definidas No son proposiciones.e)El principal sospechoso de los atentados del11desetiembrede2001enlosEstadosUnidos.f) ElactualPresidentedelaRepblicadelPer.En conclusindentrodeUunsubconjuntode elementos que hacen verdadera a la proposicin p (abril, junio, setiembreynoviembre) y un subconjunto de elementosquehacenfalsaalaproposicin p (enero, febrero, marzo,mayo,julio,agosto, octubre y diciembre).Encasodequesetrate dedosproposiciones abiertas py q cada una de ellas definir dentro delreferencialunsubconjuntodeelementos que la verifica, definindose as cuatro regiones.UA BIIIProposicinesunaoracinoenunciado declarativo carente deambigedad, quees verdadera ofalsa, pero nunca lasdos cosasDonde:IIIsimultneamente.Laveracidadofalsedaddeunenunciado sellamasuvalordeverdad.Los trminos verdaderoofalsoseconsiderancomo atributos de una proposicin, excluyndose deellostodainterpretacin filosfica.4.LAS PROPOSICIONES Y LOS CONJUNTOSDado unconjunto referencial cualquiera U,una proposicinabiertapdefinirunsubconjunto (eventualmente vaco) de elementos que hacen a la proposicin verdaderayotrosubconjunto(complemento delanterior) de elementos que hacen ala proposicin falsa. Es decir, podemos diferenciar los elementos de Uendosconjuntosdisjuntos,uno formado por loselementos queverificanapyotroporlos que no la verifican.Elementos que noUverifican a pElementos que verifican a pPor ejemplo, siU tiene por elementos los mesesdelaoypeslaproposicinabiertaelmesxtiene30das,podemos distinguirI. Elementos que verifican tanto a p como a q. II.Elementos que verifican solo p.III. Elementos que verifican solo q.IV.Elementosqueno verificannipni q.Las regiones I y II renen a todos los elementos que verifican py las regiones Iy III a todos los que verifican q.Nota:Enadelanteusaremoslanotacinp,q,r,... etc. para referirnos indistintamente a proposicionesabiertasocerradas,quedando claro su significado en el contexto.5.CLASES DE PROPOSICIONESLas proposiciones pueden separarse en simples (o atmicas) y compuestas (o moleculares).A.Lasproposicionesatmicas(simpleso elementales) carecen de conjunciones gramaticales tpicasoconectivas(y,o,si...entonces, si y slo si) o del adverbio de negacin no.Ejemplos:1.San Marcos es la universidad ms antigua de Amrica.2.Llueve.3.7 es un nmero primo.Las proposiciones atmicas pueden clasificarse en predicativas y relacionales.p q p q1 11 00 00 01000a)Las proposiciones predicativas constan de sujeto y predicado. Ejemplos:1.El nmero 2 esprimo.2.Carlos Marx f ue elcreador delMaterialismo Dialctico.3.GregorioMendeleselpadredelaGentica.b)Las proposicionesrelacionales constan de dos o ms sujetos vinculados entre s.Ejemplos:1.MargaritaeshermanadeLuzElena. (relacin de parentesco)2.La seleccin Nacional jug un partido intenso con su similar de Chile.(relacin de accin.)3.Vallejo y Maritegui fueron contemporneos. (relacin de tiempo)B.Proposiciones moleculares,llamadas tambin compuestas o coligativas contienenalgunaconjuncingramatical tpicaoconectivaoeladverbionegativono.Ejemplos:1.Lalgicaylamatemticasonciencias formales.2.El tiempo es absoluto o es relativo.3. Sidosngulosadyacentesformanun par lineal, entonces son suplementarios.4.Estenmeroesparsiyslosies divisible por dos.5.ElIncaGarcilasodelaVeganoesuncronista puneo.6.Hacecalor ytengoganasdeir a laplaya.7.Tengo hambre, fro y no consigo un taxi.8.Siunnmero esdivisiblepor2ypor3,es divisible por 6.Lasproposicionesmoleculares,segnel tipo de conjuncin quellevan, se clasificanen conjuntivas, disyuntivas, condicionalesybicondicionales;sillevan eladverbiodenegacinnosellaman negativas.a)La s p r o p o s i c i o n e s c o n j u n t i v a sll e v a nl ac o n j u n c i n copulativay, o sus expresiones equivalentes comoe, pero, aunque, aun cuando,tanto... como..., sino, ni... ni, sin embargo, adems, etc.Ejemplos:1. Elnmerodosespar,peroelnmero tres es impar.2.Ricardoesinteligente, sinembargoesflojo.3.Tantoelpadrecomoelhijoson melmanos.4.La materia ni se crea ni se destruye.5.Ir a verte aunque llueva.6.Ingresar alauniversidad auncuandono apruebe el examen de admisin.7.Per as como Ecuador son pasesdemcratas.8.El tomo posee neutrones, protonestambin electrones.Nota: Existenalgunostrminos de conjuncin que merecen una mencin particular:Noslolamatemtica esprecisasino tambin universal: p q El ser Leninista es compatible con el serMarxista:p q Lalunaesunsatlitenoobstantegiraalrededor de la tierra: p qUnaproposicinconjuntivaesverdadera cuando todos sus componentes son verdaderos. Esfalsacuandoporlomenos uno de sus componentes es falsop q p qVV F FVF V FVF F Fb)Lasproposicionesdisyuntivas llevan la conjuncin disyuntivao, o sus expresiones equivalentescomou,ya... ya,bien...bien,ora...ora,sea...sea,y/o, etc.Enespaolladisyuncin'o'tienedos sentidos:unoinclusivoo dbil y otro exclusivo o fuerte. La proposicin disyuntivainclusivaadmitequelasdos alternativassedenconjuntamente. La proposicin disyuntiva exclusiva no admitequelasdosalternativasseden conjuntamente.Ejemplos:Son proposiciones disyuntivas inclusivas o dbiles:1.Alfredo es to o es sobrino.2.Rosa est viva o est muerta.8p q p q1 11 00 00 01110p q p q1 11 00 00 00110p q p VV F FVF V FVF V Vq p q p q1 1 11 0 00 0 10 0 13.PeryEcuadorsepondrnde acuerdo salvo que intervenga EE.UU.Nota: Cuando aparece una disyuncin al lado de un conjuntor o viceversa, la frmula lgica ser un Disyuntor dbil. Ejemplo:1.Lasavesposeenpicoexceptoque tambin alas: p v q2.Los nmeros son reales y/ocomplejos: p v q.Una proposicin disyuntiva es falsa cuando todos suscomponentesson falsos. Es verdadera cuando por lo menos uno de sus componentes es verdaderop q p qVV F FVF V FVV V FSon proposiciones disyuntivas ex clusivas o f u er t es1.Jos es profesor o es estudiante.2.Juana es soltera o es casada.3.Eres campen o subcampen.4.O estudias o trabajas.Nota:Algunosdisyuntoresincluyentes puedenvenir acompaados de las palabras:slo,nicamente,solamente. Dando mayor fuerza al inclusor transformndolo en exclusor.Ejemplo:1.Esteaoviajaralextranjerosalvo que slo viaje a Lima: p v q2.A menos que solamente seasIngeniero, sers matemtico: p v qUna proposicin Bidisyuntiva es verdadera cuando sus componentes tienenvaloresdiferentes.Esfalsosisus componentes tienen valores iguales.c)Las proposicionescondicionales llevan laconjuncin condicional compuesta si... entonces...,o sus expresiones equivalentescomo si,siempre que, con tal que, puestoque,yaque,porque,cuando,de,amenosque,anoserque,salvoque, slo si, solamente si.Ejemplos:1.Si es joven, entonces es rebelde.2.Es herbvoro si se alimenta de plantas.3.Elnmerocuatroesparpuestoquees divisible por dos.4.Se llamaisscelessiempreque el tringulo tenga dos lados iguales.5.De salir el sol iremos a la playa.6.La fsica relativista fue posible porque existi la mecnica clsica.Todaproposicincondicionalconstade dos elementos: antecedente y consecuente.Laproposicinquesigue alapalabrasisellamaantecedentey laquesiguealapalabra entoncesse denomina consecuente.Toda proposicin implicativa es condicional,peronotodaproposicin condicionalesimplicativa.Enefecto, slo las proposicionescondicionales que son tautologas son implicativas.Finalmente, en toda proposicin condicional elconsecuente escondicin necesariadel antecedente y el antecedente escondicinsuficientedel consecuente. Por ejemplo, en la proposicincondicionalsiloscuerpos secalientan,entoncessedilatan,el consecuentesedilatanescondicin necesaria del antecedente se calientan y elantecedentese calientanescondicinsuficientedel consecuente se dilatan.Una proposicin condicional solo es falsa cuando el antecedente es verdadero y elconsecuente falso. En los dems casos la proposicin ser verdadera.p q p qVV F FVF V FFV V Fp pVFFVp p1001p q p VV F FVF V FVF F Vp q p q1 11 00 00 01001d)L a s proposiciones bicondicionales llevan la conjuncin compuesta ...sy slo si..., o sus expresiones equivalentes comocuandoyslocuando, si..., entoncesysloentonces...,etc. Ejemplos:1.Esfundamentalistasiyslosies talibn.2.Habr cosecha cuando y slo cuando llueva.3.Siaprueboelexamendeadmisin,entonces y slo entonces ingresar a la universidad.Lasproposicionesbicondicionalesse caracterizan porque establecen dos condicionales, perodesentidoinverso. Por ejemplo, la proposicin bicondicionaleltringuloesequilterosiyslosi tienetresladosiguales establece dos condicionales desentidoinverso:si es tringuloequiltero, entoncestiene tres ladosigualesysieltringulo tiene tresladosiguales,entonceses equiltero.Entodaproposicinbicondicional el antecedente escondicinnecesariay suficiente del consecuente y el consecuente escondicinnecesariay suficiente del antecedente.Una proposicin Bicondicional es verdaderacuandosuscomponentesson iguales.Es falsa si sus componentes tienen valores diferentes.qe)Lasproposiciones negativasllevanel adverbio de negacin no, o sus expresionesequivalentescomonunca, jams, tampoco, no es verdad que, no es cierto que, es falso que, l e falta, carece de, sin, etc. Ejemplos:1.Nunca he odo esa msica.2.Jamshe visto al vecino.3.Es imposible que el tomo sea molcula.4.Es falso que el juez sea fiscal.5. Al pap de Oscar le falta carcter.Si una proposicin es verdadera, su negacin ser falsa y viceversaEn resumenp q p q p q p q p q p q p q p / qV V V V F V V F VV F F V V F F F FF V F V V V F F FF F F F F V V V VRegla prctica:VVVF FFV FFFVFVVV , FFVV VF , F FF6.EL LENGUAJE FORMALIZADO DE LA LGICA PROPOSICIONALExistendostiposfundamentalesdelenguajes: elnatural yelformalizado. El lenguaje natural eselusadoenlavidafamiliar, enlavida cotidiana.Ellenguajeformalizadoesel lenguajeusadoenlaactividadcientfica.Slo sirveparaformularconocimientos.Esun lenguajeespecializado.Pertenecenaeste lenguaje, el lgico y el matemtico.Ellenguajelgicosedenominaformalizado porquesupropiedadmsimportante eslade revelar la forma o estructura de las proposiciones e inferencias.Ellenguajeformalizadoconstadedosclases de signos: variables proposicionales y operadores o conectores lgicos.a)Las variables proposicionales representan a cualquier proposicin atmica.Sonletrasminsculas delalfabeto castellano p, q, r, s, etc.b)Los operadores lgicos adems de enlazar o conectar proposiciones establecen determinadasoperacionesentreellas.Son de dos clases: didicos y el mondico. Los operadores didicos tienen un doblealcance: hacialaizquierda yhacia laderecha,esdecir,afectan ados variables. Y son los siguientes:El conjuntivo: representa a la conjuncin y. Su smbolo es .El disyuntivo: representa a laconjuncino . Puedeserinclusivoyexclusivo. El smbolo del inclusivo es; el del exclusivo es . El condicional: representa a laconjuncin compuesta si... entonces.Su smbolo es . Elbicondicional:representaa laconjuncincompuestasiyslosi. Su smbolo es . Negacinconjunta:representaalaspartculas ni...ni. Su smbolo es . Negacin alterna: representa a laexpresinnoono.Susmbolo es / . Eloperador mondico esel Negativo y tieneunsoloalcance: hacialaderecha, es decir, afecta a una sola variable. Es el operadordelanegacin.Representaal adverbionegativono.Susmboloes , . 7.FORMALIZACIN DE PROPOSICIONESFormalizarunaproposicinsignificaabstraer suformalgica,esdecir,representarla simblicamente.Ejemplo 1. Formalizar laproposicin:YaqueInicialesunniveleducativotanto comolaprimariaosecundaria,porelloes gratuito y no es educacin superiorResolucinPaso 1Identificamosproposicionessimples y le asignamos variables en orden alfabtico.p: Inicial es un nivel educativo.q: La primaria es un nivel educativo.r: La secundaria es un nivel educativo. s: Inicial es gratuito.t: Inicial es educacin superior.Paso 2Identificamos la estructuraformalYaqueptantocomoqor, por ello s y no tPaso 3Escribimos la formula lgica (Formalizacin):[p (q r )] (s t )10Ejemplo 2. Dadas las proposiciones:p: El dos es nmero primoq: Los nmeros pares no son primos.r: Todo nmero elevado al cuadrado es siempre positivo . Encontrar el valor de verdad de:[(p q) r ] [(qr ) p]ResolucinPaso 1Definimoselvalordeverdaddecada proposicin.p: V q: F r: VPaso 2Asignamos el valor de verdad a las variables[(p q) r ] [(qr ) p]V F V F V V Paso 3Aplicamoslasreglasdelosconectoresde acuerdo a su jerarqua.[(p q) r ] [(qr ) p]V F V F V V F VV VVEl valor de verdad es V (verdadero)8.DEFINICIN TABULAR DE FRMULAS MOLECULARES COMPLEJASLas frmulas o esquemas moleculares complejascontienen dosomsoperadores distintos o dos o ms veces el mismo operador.Paradefinirtabularmente frmulasmoleculares complejassedebenobservar lossiguientes pasos:1.Dadalafrmulamolecularcomplejase establecelajerarquaentresusoperadores a travs de los signos de agrupacin:~ [( p q) (~ q ~p)]2.Seconstruyelasmatricessecundarias que correspondenalasdelosoperadoresdep q ~ [(p q) (~q ~p )]V V V V F V FV F V F V F FF V V V F V VF F F F V V Vp q (p q) (p q)1 1 1 1 11 0 0 1 10 1 0 1 10 0 0 1p q (p q) (p q)1 1 1 0 01 0 1 0 00 1 1 0 00 0 0 0p q (p q) (p q)1 1 1 1 11 0 1 0 00 1 1 0 00 0 0 1menorjerarquaaplicandosusrespectivas definiciones:1.TAUTOLOGICOS. Si su matriz principal est conformado solo de valores verdaderos.Ejemplo3. Se construye, finalmente, la matriz principalque corresponde a la del operador demayorjerarquaaplicandoladefinicin correspondiente alasmatricesdelos operadores que la siguen en jerarqua:p q ~ [(p q) (~q ~p )]V V F V V F V FV F V V F V F FF V F V V F V VF F V F F V V V5 3 2 4 3 4La matriz principal(5),se ha obtenido aplicandoladefinicin deloperadornegativoa los valores de la matriz 2. La matriz 2 se obtuvo aplicandoladefinicindeloperadorconjuntivo a losvalores delas matrices 3.La matriz 3del lado izquierdo se ha obtenido aplicando la definicin deloperador disyuntivoinclusivoa losvaloresdepyq.Lamatriz3dellado derecho sehaobtenidoaplicandoladefinicin deloperadorcondicional alosvaloresdelas matrices 4. La matriz 4 del lado izquierdo se ha obtenidoaplicandoladefinicindeloperador negativoalosvaloresdeqylamatriz 4del ladoderecho,aplicandoladefinicin del operador negativo a los valores de p.Ahora es tu oportunidad:Construirlatabladeverdaddelsiguiente esquema molecular:[(pq) (q r)] (p r)Nota: La matriz principal es: VVVVVVVV9.CLASIFICACIN DE LAS FRMULAS MOLECULARES POR SU MATRIZ PRINCIPALLastablasdeverdadnospermitenclasificar0Matriz principalLasfrmulasmolecularestautolgicasson llamadas tambinleyeslgicas.2.CONTRADICTORIOS. Si ensumatriz principal todos los valores son falsos. Ejemplo1Matriz principal3.CONTINGENTES.Siensumatrizprincipal aparece por lo menos unvalorverdadero y un falso.Ejemplo0Matriz principalNota:Unafrmulaproposicionalservlidasi esTautolgicaysedirqueesfalsaentoda interpretacin si es contradictoria.10.IMPLICANCIA Y EQUIVALENCIA LGICASe llama Implicancia lgica (o simplementeIMPLICACIN)atodacondicionalpq que seaunaTAUTOLOGA,yentalcasoa lacondicional se le denota porp q .Ejemploalasfrmulas moleculares,atendiendoasumatrizprincipal,entautolgicas, consistentesEl esquema: (p q ) q1] p es unay contradictorias.implicacin lgica. Verifcalo!11SellamaEquivalencialgica(osimplementeEQUIVALENCIA)atodabicondicional p qqueseaunaTAUTOLOGA, yentalcasoala condicional se le denota porp q .Ejemplo(pq) (pq)(pq)(pq)(p) (pq)(pq) (pq)El esquema:p ( p q ) p es unaEXPORTACIN(pq)rp(qr)equivalencia lgica. Verifcalo!11.LEYES DEL LGEBRA PROPOSICIONAL DOBLE NEGACIONp ( p) p [ ( p)]LEYES DE D`MORGAN (p q) p q (p q) p qp q ( p q)p q ( p q)CONMUTACIN( , , /, , , )(p q) (q p) (pq)(qp)CONTRAPOSICIN (,,, )(pq) ( q p) (p q) ( q p)ASOCIACIN ( , , , )(p q r) [p q] [p (q r)](p q r s) [(p q) (rs)]DISTRIBUCINp (q r) (p q)(p r)p(q r) (p q)(p r)ABSORCINp (p q) p p (p q) p qp (p q) p p (p q) p qIMPLICADORp q pq pq (p q)BIIMPLICADOR(pq) (pq)(pq) (pq) (p q)( p q)DISYUNTOR EXCLUYENTE(pq) ( pq)(pq)( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q )1]( p q ) p qp T ) ( q T )p ( q q ) ) (q( p p ) )p q ) ( pq ) ( q p ) ( q p )q ) ( p q ) (pq ) ( pq )q ) ( p q ) (pq ))))))))))))MUTACINp(qr)q(pr)LEY DE EXPANSINp [p(s s)] pq [p (pq)] p [p(t t)]pq[q(pq)] IDEMPOTENCIApp ppp p COMPLEMENTO pp 0pp 1IDENTIDADESp1 p p00p11p0pEjemploDemostrar queResolucinEn efecto tenemos que: ( ( ( ( p ( pTarea.Justifiquecadaunodelospasos realizadosteniendoencuentalasleyesdel lgebra proposicional.12.CUANTIFICADORESLasexpresiones todoyexiste sedenominancuantificadores.En el lenguaje matemtico:La palabra todo (o sus equivalentes) en unaproposicin indica que cualquier elemento que12p q ( p q )1]]]]]]Usamos laspalabrasPara referirnos a TODOPor ejemploTodoTodos los insectosalados tienen 6 patas.Ninguno Ningn lugar est lejosCualquieraCualquiermltiplode6puede dividirse por 3.No hayNo hay mamferosacuticos.Nadie Nadie es perfecto.Los / LasLas cmaras digitalesutilizan bateras.Usamos laspalabrasPara referirnos a que EXISTEal menos unoPor ejemploExisteExisten hombresdaltnicos.Un / UnosUnos pancitos tienenqueso.Alguno / AlgunosAlgunos mamferos tienen alas.HayHay algunos sitios deacampe donde no se puede hacer fuego..se elija dentro del conjunto posee la propiedad. Elsmboloqueseutilizaparatodoes (se lee para todo ). Lapalabraexiste (osusequivalentes)enunaproposicinindicaquehaydentrodel conjunto almenosunelementoqueposeela propiedad.Puedeseruno,varios,oincluso todos.Elsmboloquese utilizaparaexiste es(selee existe).Por ejemploCmo podemos demostrar que una afirmacin que tieneuncuantificador es verdadera o falsa?Porejemplo:LaafirmacinTodolosperros sonblancos esfalsa.cmolo sabemos? Basta con mostrar un perro que no sea blanco.LaafirmacinTodonmeromltiplode6es paresverdadera.Paramostrar queestoes cierto, dado que no hay posibilidades de revisar uno por uno todos losmltiplos de6, hay que recurrir auna demostracin general, a un razonamiento deductivo que nospermitaevidenciarquelaafirmacines cierta.En este casoes sencillo, porque para que un nmero sea mltiplo de 6, debe ser a la vez mltiplo de3y de2.Alsermltiplode2 espar.Porlotantolaafirmacinesciertaparacualquier mltiplo de 6.C CT TI IV VI ID DA AD DE ES S D DE E A AP PL LI IC CA ACI CI N NEstimado alumno,considerando la parte terica desarrollada, resuelva cada una de los tems propuestos acontinuacin01.Si ( p q ) ( pp )(r s ) q1] esverdadera,culessonlosvaloresdeverdad de las proposiciones s, p, r y q?Redactarlasproposicionesdelcuadroenla forma Todo... o Existe..., porEjemplo: Algunos mamferos tienen alas se escribir como Existe un mamfero que tiene alasEl valor de verdad de las proposicionescategricasComotodaproposicin,lasproposiciones categricas (las que contienen cuantificadores)poseen un valor de verdad (esdecir,puededecirsedeellasqueson Verdaderas o Falsas). En algunos casos decirdeunaproposicinqueesverdaderao falsa es sencillo. Para la proposicinLlueve , basta con mirarporla ventanapara decidir.( p q) ( p q )p q )rq ) rp ))))))))02.Indicarelresultadodelamatrizprincipaldel esquema03.Demostrar que es una equivalencia lgica04.Sabiendo quelaproposicin pesverdadera,enculdelossiguientes casosessuficiente dichainformacinparadeterminarelvalorde verdad de las siguientes proposiciones?a) ( p q) (b) ( q p )c) ( pd) ( p q ) ( r13rq ) q1]p ( q r )1] ( q p ) ( p r )1]q p) ( p q )1]( p q )r )1] {

p ( q r )1]

p ( qqqqqqqqqqqqqqq05.Si

( s p ) r 1] ( p q )es verdadero y a) x A, y A, x2+ 3y< 12( p q ) esfalsa,determinelosvaloresde verdad de p , q y s06.Demostrar que las siguientes proposiciones son leyes lgicas (tautologas)a)( p q ) qb) xA,yA /x2+3y< 12c) xA / yA,x2+ 3y

x1], x < 0] [x / x x]/x 06.Laproposicin:Sihayhumedad,entonceslas plantas crecen, es equivalente a:a)Las plantas crecen y hay humedad.b)Si las plantas no crecen, no hay humedad. c)No hay humedad y las plantas crecen.d)Las plantas no crecen y hay humedad.e)Todas las anteriores.07.Delafalsedad de: ( p , deducir el valor de verdad de los esquemas:a) (p q) qb)

(c) ( p r ) ( p q ) 08.Simplificar:a) b)1.Venero B., J. Armando (2004). MatemticaBsica. Ediciones GEMAR, Lima Per.2. VeneroB.,J.Armando(2004).Introduccinal Anlisis Matemtico. Ediciones GEMAR, Lima Per.3.Moth,KartJ.(1987).IntroduccinalaLgica.Grupo Editorial Iberoamericana.Mxico D.F.4. AsociacinFondodeInvestigadoresyEditores (2006).lgebrayprincipios delanlisis Tomo I yII.SegundaEdicin,Lumbreras editores S.R.L., Lima Per.5. Asociacin FondodeInvestigadores yEditores (2006).Aritmtica:Anlisisdelnmeroysus aplicaciones. Segunda Edicin, Lumbreras editores S.R.L., Lima Per.c)

( p q) ( p q )1] ( p r )09.CuntasFycuntasVtienelamatrizdel esquema despus de simplificarlo?10.Indicar el valor de verdad de:a) x b) x 2c) x ) 0) xy xy > 0d)[x e)[x f)x A AC CT TI IV VI ID DA AD DE ES S D DE E EX EXT TE EN NS SI I N NInvestigue sobre la aplicacin de la Lgica difusa y loscircuitoslgicos enelModelamientoe interpretacin de situaciones de nuestra vida diaria.V VI. I. R RE EF FE ER RE EN NC CI IA AS S BIB BIBL LIO IOG GR RA AF FI IC CA AS S15SISTEMAS NUMRICOSUnavez lepreguntarona Einstein, Culeslavelocidad delsonido?Ysterespondi: Nolos, procuronocargarmi memoriacondatosquepuedo encontrarencualquiermanual, yaqueelgranvalordela educacinsuperiornoconsiste enatiborrarsededatos,sino enprepararelcerebroa pensarporsupropiacuentay as llegar a conocer algo que no figure en los librosA. Einstein.CONTENIDOS APRENDIZAJES ESPERADOS INDICADORESRelaciones entre los sistemasnumricos: N, Z, Q y RInters simple ycompuesto Demuestraaxiomasyteoremas sobre nmeros reales. Identificayaplicaaxiomasy teoremas de nmeros reales Resuelvesituacionesproblemticasentorno aplicando los axiomas y teoremas de losnmeros reales. Resuelveeinterpretaproblemasfinancierosaplicando lasecuacionesdeinterssimple y compuesto.16 OOpopppond d in iiiiiiiiiiiS SI ITU TUA ACI CI N N P PR RO OB BL LE EM M T TI IC CA AAnalizalapropuesta deformacin delsistema de nmerosrealesyfundamentelanecesidadde ampliarcadaconjuntonumricoconargumentos vlidosyconfiables,ysiesposibleconejemplosde la vida cotidiana.Ubicacin de en la recta numricaLosnmerosirracionalesnosonnumerables, es decir,entrecualquierpardeirracionalesexisten infinitos nmeros irracionales.Variosdelosnmerosirracionalesseubican geomtricamente del siguiente modo:Operacin deSustracci-Operacin de2Operacin de1divisin con cifrasdivisin parcial.ecimales iferentes e determinadas.2 -1 01 2-Representacin de una parte de la unidad.-Operacin de divisin con cifras decimales peridicosObservaqueelnmeroirracional 2 resultaserla hipotenusa del tringulo rectngulo cuyos catetos miden 1. Haciendo centro en 0, se traza unIarcocuyoradiocoincideconlalongituddelaHipotenusa.LainterseccindelarcoconlarectanumricapermiteubicarenellaalosnmerosD DE ES SA AR RR ROLL OLLO OD DE EL LC CO ON NT TE ENIDO NIDOT TE E RICO RICO CI CIE EN NT T F FICO ICOEnelsigloVA.C.,losgriegos pitagricos, buscando la longitud de la diagonal de un cuadrado delado uno,descubrieron otraclase denmerosdistintosalosnaturalesya losirracionales 2 y2CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES ( )Es el conjunto de los nmeros racionales e irracionales.Es decir: GRAFICAfraccionarios,lesparecitanpocorazonablelo Q Rque obtuvieron que le llamaron irracional. ZNILas racesque nopueden expresarse exactamente mediante nmeros racionales representan nmeros irracionales y reciben elnombrederadicales.Porejemplo: 3; 5; 11 , son radicales.CONJUNTO DE NMEROS IRRACIONALESAlosnmerosdecimalescuyapartedecimal es infinita no peridica, tales como:LA RECTA NUMRICA REALEsaquellarectageomtrica dondeexisteuna correspondenciabiunvoca(unoauno)entrelos puntosdelarectayelconjuntodelosnmeros reales.(+) POSIT IVOS21,41421356 2..., (pi) 3,141592653 5.. ., se lesdenomina Nmeros Irracionales. Todos los 5-22-1 - 1 0211 2 53+ nmerosirracionalesformalelConjuntodelosNmeros Irracionales.Losmsclebresnmerosirracionalesson identificados mediante smbolos. Algunos deestos son:Pi:3,141592653 5...NmeroNeperiano:e2,718281 8...-3-2 2 2 2(-) NEGAT IVOSSeobservaquelarepresentacin delosnmeros irracionalesenlarectanumrica, determinala completitud, esdecir,queacadanmerorealle correspondeunoyslounpuntodelarectaycada punto de la recta es conjunto es continuo, esNmero ureo: 1 +25 1,61803398...decir, no existe ningn vaco entre sus elementos.17y 0000000000000000SISTEMA DE NMEROS REALESEs elconjunto provisto de dos operaciones: adicin(+)ymultiplicacin ()yunarelacinde orden( y ( x> y) ( x < y)A AC CT TI IV VI ID DA AD DE ES S D DE E A AP PL LI IC CA ACI CI N N5.Sean:x , y, entonces:Estimado colega,x x x y ( x + y) ( x y) 0y ( x + y) ( x y) 0 y ( x + y) ( x y) < 0y ( x + y) ( x y) > 0considerando la parte terica desarrollada, resuelva cada una de los tems propuestos a continuacin6. x , ytriangular)x + y , (Desigualdad01. a, b , demostrar que: ab a + b .2MXIMO ENTERODadounnmerorealx,sellamaelMXIMO ENTERO DEL NMERO REAL x,alnmero enterodenotado por xyqueeselMAYORDETODOSLOENTEROS QUESONMENORESO IGUALES AL NMERO REAL x.02. a, b, c , demostrar que:a2 + b2 + c2 ab + ac + bc .03.Demostrar que:a + bSia < b entoncesa