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INTEGRACION DE YECf0RES

MODSLO PATENTA£X3

A = 1/2 (A + A ) + 1/2 (A -

Álgebra http://carrascal.net46.net/fisicas/formulas/matematicas/algebra.htmÁlgebra http://carrascal.net46.net/fisicas/formulas/matematicas/algebra.htm

MatricesRango de una matriz Orden del mayor menor complementario no nulo.

Matriz regular det A ¹ 0

Matriz periódicade período pMatriz

Potencias de matrices

Aquella que verifica que Ap+1 = A (p ÎN)

Diagonal principal

Elementos aii de la matriz.Si la matriz es cuadrado son los elementos de la diagonal trazada desde el elemento superior izquierda al elemento inferior derecha.

idempotente A2 = A (matriz períodica de período p =1 )

Matriz nilpotente Ap = (0)

Traza de una matriz cuadrada Suma de los elementos de la diogonal principal

Matriz diagonal.Aquella que tiene nulos los elementos nos situados en la

diagonalprincipal.

Matriz involutiva A2 = I

Aquella que la inversa coincide con la traspuesta: A-1 = At

En una matriz ortogonal, la suma de los cuadrados de los elementos de cualquier fila o

Matriz triangular superior Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz triangular inferior Los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos.

Se obtiene cambiando ordenadamente sus filas por sus columnas.

Matriz ortogonal

columna es la unidad y la suma de los productos de los elementos de una línea por los correspondientes de otra paralela es ceroSu determinante es +1 o -1.

Matriz traspuesta At de una matriz A

Matriz simétrica

Matriz antisimétrica

Propiedades: (At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(A . B)t = Bt . At

Aquella que coindice con su traspuesta

At = A

Aquella que coindice con su traspuesta cambiada de signo

Determinantes

Se llama determinante de una matriz cuadrada A (n x n) a un polinomio cuyos sumandos son todos los posibles productos de n factores (factores que son elementos de A), de tal forma que en todo producto exista uno y solamente un factor de cada fila de A y uno y solamente un factor de cada columna.

El signo de dichos productos es + ó - según que las permutaciones que indican los órdenes de las filas y de las columnas sean de la misma o distinta paridad.

Determinante de una matriz 2x2

At = - A

t t Cualquier matriz cuadrada A puede descomponerse de forma única en suma de una matriz simétrica más otra matriz antisimétrica Determinante de una matriz 3x3

det A = a11 a22 - a12 a21

Matriz adjunta Aa de una Aquella matriz que resulta de sustituir cada uno de sus elementos de la det A = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 - (a13 a22 a31 + a12 a21 a33

matriz cuadrada A

Adjunto del elemento aij

matriz At por sus adjuntos respectivos

Es el determinante que resulta de eliminar la fila y la columna del

elemento en cuestión, anteponiendo el signo (-1)i+j

+ a11

Propiedades de los determinantes

a23

a32)

Matriz inversa de una matriz cuadrada y regular A

Verifica que: A . A-1 = A-1. A = I (matriz identidad)

Cálculo: A-1 = Aa / det A

- El valor de un determinante no varía si se cambian entre sí todas sus filas por sus columnas respectivas.- Si se cambian entre sí dos líneas paralelas el determinante cambia de signo.- Si se multiplican todos los elementos de una línea por un mismo número, el valor del determinante queda

Matriz conjugada de una matriz AMatriz asociada A*

Matrices definidas en el cuerpo de los números complejos

Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo)

multiplicado por dicho número.- Si a una línea le sumamos o restamos una combinación lineal de otras líneas paralelas, el determinante no varía.

Determinante nulo: Si todos los elementos de una línea son nulos el determinante es cero

de una matriz AConjugada de la traspuesta

Matriz hermítica A* = A

Matriz antihermítica A* = - A

Si tiene dos líneas paralelas iguales, el determinante es nulo.

Si los elementos de una línea son múltiplos de otra paralelas el determinante es nulo.

A = 1/2 (A + A*) + 1/2 (A - A*)

Matriz unitaria

Cualquier matriz cuadrada A puede descomponerse de forma única en suma de una matriz hermítica más otra matriz antihermítica

Aquella matriz regular que A* = A-1

A . A* = A* . A = IEn una matriz unitaria, la suma de los elementos de una fila o columna por sus

conjugados es la unidad y la suma de los elementos de una línea por los conjugados de otra paralela es cero.El valor absoluto del determinante es la unidad.

det (A . B) = det A . det B

Ecuación característica de una matriz cuadrada

Si en un determinante una línea es combinación lineal de otras paralelas entonces el determinante es nulo.

Polinomios de matrices

det (A - x I) = 0 siendo I la matriz identidad.Toda matriz cuadrada tiene una sola ecuación característica.

p (x) = det (A - x I)

Álgebra http://carrascal.net46.net/fisicas/formulas/matematicas/algebra.htmÁlgebra http://carrascal.net46.net/fisicas/formulas/matematicas/algebra.htm

Polinomio característico de una matriz cuadrada

Polinomio característico de una matriz cuadrada de orden 2

Toda matriz cuadrada tiene un solo polinomio característico.El polinomio característico de una matriz descompuesta es el producto de los polinomios característicos de sus células diagonales.

p (x) = x2 - (traza A) x + det A

Polinomio característico de una matriz cuadrada de orden 3

p (x) = - x3 + (traza A) x2 - [a11 a22 + a11 a33 + a22 a33 - (a12 a21 + a13 a31 + a23 a32)] x + det A

Teorema de Cayley - HamiltonToda matriz cuadrada A verifica su ecuación característica (sustituyendo x por A)

Polinomio mónico correspondiente a la ecación matricial de grado mínimo que dicha matriz satisface.

Polinomio mínimo de una matriz cuadrada A

El polinomio mínimo de una matriz es único.El polinomio mínimo es un divisor del polinomio característico.El polinomio mínimo de una matriz descompuesta es el mínimo común múltiplo de los polinomios mínimos de sus células diagonales.

Transformaciones elementales

Transformaciones elementales de filas

- Cambiar una fila por otra; multiplicar una fila por un escalar ó sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar (Lo mismo sucede para las columnas)- Estas tranformaciones no varían las dimensiones ni el rango de la matriz

Matriz elemental Toda matriz cuadrada obtenida de la matriz I mediante operaciones elementales

Dos matrices A y B son equivalentes si puede obtenerse una a partir de la otra.

Matrices equivalentes

Matrices semejantes

Matrices congruentes

Tienen que tener igual dimensión y rango.Es suficiente que A y B tengan igual dimensión y rango para que sean equivalentes.

Se dice que la matriz A es semejante a la B si existe una matriz cuadrada y

regular Q tal que B = Q-1 A QTodas las matrices semejantes tienen igual polinomio característico (igual traza y determinante) y mínimo.La condición necesaria y suficiente para que dos matrices sean semejantes es que ambas caractericen al mismo operador lineal en bases distintas.

Se dice que la matriz A es semejante a la B si existe una matriz cuadrada y

regular Q tal que B = Qt A Q

- Las matrices semejantes y congruentes son equivalentes.- Para que dos matrices sean semejantes o congruentes, además de tener igual dimensión y rango, deben ser también matrices cuadradas.

Sistemas de ecuaciones lineales.Discusión de sistemas. Método de Rouché - Fröbenius

Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos (m ecuaciones y n incógnitas:

Autores de este prontuario: Mari P. Hortelano G. e Iñaki Carrascal M.

...am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm

Matriz A de los coeficientes (dimensiones: m x n):A = [ [a11, a12, ...., a1n] , [a21, a22, ...., a2n] , ... , [am1, am2, ...., amn] ]

(cada corchete representa una fila de la

matriz) Matriz ampliada A+ de los coeficientes (dimensiones: m x n+1):A = [ [a11, a12, ...., a1n, b1] , [a21, a22, ...., a2n, b2] , ... , [am1, am2, ...., amn, bm] ]

Si rango (A) ¹ rango (A+) ==> Sistema incompatible (No tiene solución)

Si rango (A) = rango (A+) = r ==> Sistema compatible (Tiene solución)- Si r = n ==> Sistema compatible determinado (existe una única solución)- Si r < n ==> Sistema compatible indeterminado (existen infinitas soluciones que vendrán dadas en función de n - r parámetros)

Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0

...an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = 0

A = A+ ==> rango (A) = rango (A+) = r

- Si r = n ==> Sistema incompatible (sólo existe la solución trivial, en la que todas las incógnitas valen cero)- Si r < n ==> Sistema compatible indeterminado (existen infinitas soluciones que vendrán dadas en función de n - r parámetros)

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

Α α AlfaΓ γ Gamma Ε ε Épsilon Η η EtaΙ ι IotaΛ λ Lambda Ν ν NiΟ ο Ómicron Ρ ρ RoΤ τ Tau Φ φ FiΨ ψ Psi

Β β BetaΔ δ Delta Ζ ζ Dseda Θ θ Zeta Κ κ Kappa Μ μ Mi Ξ ξ XiΠ π PiΣ σ Sigma Υ υ Ípsilon Χ χ JiΩ ω OmegaLetras griegas