algebra elemental

Álgebra elemental

ADELFO MORALES LOZANO JAVIER PERALTA FAUSTINO

ANGELINO FELICIANO MORALES

CHILPANCINGO, GRO., JULIO 2012

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO

UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA

CURSO DE HOMOGENIZACIÓN DE ÁLGEBRA

ELEMENTAL

Álgebra elemental

1 SISTEMA NUMÉRICO.................................................................................... 1

1.1 NÚMEROS NATURALES ................................................................................. 1

1.2 NÚMEROS ENTEROS ...................................................................................... 1 1.2.1 NÚMEROS PRIMOS ................................................................................................ 1

1.3 NÚMEROS RACIONALES................................................................................ 2 1.3.1 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES................................................. 2

1.4 NÚMEROS IRRACIONALES .......................................................................... 10

1.5 NÚMEROS REALES ....................................................................................... 11

1.6 NUMEROS COMPLEJOS (C): ....................................................................... 12

2 PROPIEDADES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA ............................................. 15

2.1 VALOR ABSOLUTO........................................................................................ 15 2.1.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE LA RECTA NUMÉRICA .......................16

2.2 RAZONES Y PROPORCIONES ..................................................................... 18

2.3 VARIACIÓN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL ...................................... 20

2.4 VARIACIÓN INVERSAMENTE PROPORCIONAL ...................................... 20

3 OPERACIONES CON POLINOMIOS ......................................................... 23

3.1 REDUCCION DE TÉRMINOS SEMEJANTES .............................................. 24

3.2 ADICIÓN DE POLINOMIOS ........................................................................... 24

3.3 SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS................................................................ 25 3.3.1 LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS Y POSITIVOS ................................25

3.3.1.1 Potencia de otra potencia ...............................................................................26 3.3.1.2 Potencia de un producto ................................................................................26 3.3.1.3 Potencia de una fracción ................................................................................27 3.3.1.4 División de potencias ......................................................................................27

3.3.2 EXPONENTE CERO ...............................................................................................29 3.3.3 EXPONENTE ENTERO NEGATIVO ......................................................................30 3.3.4 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN .........................................................................31

3.3.4.1 RADICACIÓN ..................................................................................................31 3.3.4.2 POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO POSITIVO ......................32 3.3.4.3 POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO NEGATIVO .....................32

3.4 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS ........................................................... 34 3.4.1 RAZONAMIENTO DEDUCTIVO O SILOGISMO ..................................................34 3.4.2 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS ......................................................................35 3.4.3 MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO ............................36 3.4.4 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS....................................................................36 3.4.5 DIVISIÓN DE MONOMIOS .....................................................................................37 3.4.6 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO ...........................................37 3.4.7 DIVISIÓN DE POLINOMIOS ...................................................................................38

3.4.7.1 PARA COMPROBAR LA DIVISIÓN ..............................................................38

4 PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................... 39

Álgebra elemental

4.1 CUADRADO DE UN BINOMIO ...................................................................... 39

4.2 PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS .............................................. 41

4.3 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN 42

4.4 CUBO DE UN BINOMIO ................................................................................. 43

4.5 INTRODUCCIÓN AL TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON ................ 44

4.6 FACTORIZACIÓN ............................................................................................ 46 4.6.1 FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO QUE TIENEN UN FACTOR COMÚN ..46 4.6.2 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN ................................................................47 4.6.3 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.......................48 4.6.4 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS .............................49

4.6.5 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA 2x mx n+ + .................50

4.6.6 FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA 2ax bx c+ + .................51

4.7 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS .............................. 53 4.7.1 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ....................................................................53 4.7.2 REDUCCIÓN DE FRACCIONES A UN COMÚN DENOMINADOR ....................54 4.7.3 REDUCCIÓN DE FRACCIONES A FORMA MIXTA Y VICEVERSA ..................55 4.7.4 FRACCIONES RACIONALES PROPIAS EXPRESADAS EN FRACCIONES PARCIALES SIMPLES..........................................................................................................56

4.7.4.1 TEOREMA FUNDAMENTAL EN LA DESCOMPOSICIÓN DE UNA FRACCIÓN EN FRACCIONES PARCIALES .................................................................57 4.7.4.2 FACTORES LINEALES DISTINTOS.............................................................58 4.7.4.3 FACTORES LINEALES REPETIDOS ...........................................................59 4.7.4.4 FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS ...................................................61 4.7.4.5 FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS .................................................66

5 ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES ..................................... 69

5.1 ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA ..................................... 69

5.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA .... 69

5.3 ALGUNAS APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA .................................................................................................................. 71

5.4 DESIGUALDAD LINEAL CON UNA INCÓGNITA ....................................... 73

5.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CON UNA INCÓGNITA ................ 74

5.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ................................................... 77 5.6.1 EL PLANO CARTESIANO ......................................................................................77 5.6.2 GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES78 5.6.3 MÉTODO GRÁFICO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES ........................................................................................................79 5.6.4 MÉTODO DE SUMA Y RESTA (ELIMINACIÓN) ..................................................79 5.6.5 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN .................................................................................80 5.6.6 MÉTODO DE IGUALACIÓN ...................................................................................81 5.6.7 MÉTODO POR DETERMINANTES .......................................................................81 5.6.8 ALGUNAS APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES .....84

Álgebra elemental

5.7 ECUACIONES CUADRÁTICAS ..................................................................... 85 5.7.1 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA .......................................85 5.7.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS .............................................86 5.7.3 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN .................................................................................................................86 5.7.4 DIFERENCIA DE CUADRADOS ............................................................................87 5.7.5 TRINOMIO DE LA FORMA 02 =++ cbxx ............................................................88 5.7.6 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ...................................................................88 5.7.7 COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ...............................89 5.7.8 FÓRMULA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS ......89

6 LOGARITMOS............................................................................................... 90

6.1 CARACTERISTICAS DE LOS LOGARITMOS VULGARES O DECIMALES ................................................................................................................. 91

6.2 REGLAS PARA LA OBTENCIÓN DE LA CARACTERISTICA .................. 93

6.3 PARA OBTENER EL LOGARITMO DE UN NÚMERO DADO USANDO TABLAS DE BRIGGS .................................................................................................. 93

6.4 PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS............................. 94

6.5 OPERACIONES Y PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS .................... 95

6.6 OPERACIONES CON LOGARITMOS USANDO TABLAS DE BRIGGS PARA OBTENER LA MANTISA ................................................................................ 96

6.7 ALGEBRA CON LOGARITMOS .................................................................. 101

7 RELACIONES ............................................................................................. 107

7.1 PRODUCTO CARTESIANO ......................................................................... 107

7.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA ................................................................... 107

7.3 RELACIONES ................................................................................................ 109 7.3.1 GRÁFICA DE UNA RELACIÓN ............................................................................ 111 7.3.2 DOMINIOS Y RANGOS ........................................................................................ 112 7.3.3 RELACIÓN INVERSA ............................................................................................ 113 7.3.4 COMPOSICIÓN DE RELACIONES...................................................................... 114

Álgebra elemental

PRESENTACIÓN El presente material de Álgebra Elemental tiene como única finalidad

proporcionar a los estudiantes aceptados en la Unidad Académica de

Ingeniería una homogenización académica respecto a los conocimientos y

reglas fundamentales del Álgebra elemental, para coadyuvar en la corrección

de los vicios que se han venido inculcando por parte de los docentes en los

distintos niveles educativos en estos temas, resaltando la utilización de algunas

expresiones verbales como: “si está restando pasa al otro miembro sumando”,

“si está dividiendo pasa al otro miembro multiplicando”, porque, así lo dice la

regla de los signos”, y otras que demeritan el nivel de conocimientos del

profesor - facilitador y el nivel de instrucción del estudiante, lo cual genera a

estas alturas de su formación académica una confusión y conflictos de

aprendizaje de esta herramienta debido a que se ha enseñado con un lenguaje

inadecuado.

Así, desde los conceptos de reducción de términos semejantes se pueden

aplicar las reglas fundamentales del Álgebra, continuando con las operaciones

de multiplicación, división, factorización, y sistemas de ecuaciones e

inecuaciones, pretendiendo adquirir la habilidad natural de usar las

herramientas en los términos matemáticos y concluir que el resultado es la

simplificación de aplicación correcta de las reglas fundamentales, axiomas y

teoremas del Álgebra.

Atentamente

Adelfo Morales Lozano Javier Peralta Faustino

Angelino Feliciano Morales

Chilpancingo, Gro. Julio 2012.

Sistema numérico

1

1 SISTEMA NUMÉRICO La aritmética, es la parte de la matemática donde se enfrentan los estudiantes por primera vez con el estudio de los números y sus propiedades, así como las operaciones definidas; mientras que en el álgebra se estudian en esencia las operaciones matemáticas consideradas formalmente, sin tomar en cuenta los números concretos, que originalmente sus problemas de estudio están relacionados fundamentalmente con las reglas formales para las transformaciones de expresiones y la soluciones de ecuaciones.

1.1 NÚMEROS NATURALES Son aquellos que de manera natural se utilizan para contar y se denotan por

{ }1, 2, 3,...= , también se acostumbra llamarlos enteros positivos, es decir cualquier número natural es una suma de unos, tanto como lo indique el número.

1.2 NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros se denotan por { },... 3, 2, 1,0,1, 2,3,...,= −∞ − − − ∞ , los cuales son: los enteros positivos, los enteros negativos y el cero. En los enteros existen números que pueden expresarse como el producto de otros, de varias maneras, por ejemplo:

50 2 25 5 10 50 1132 2 66 4 33 12 11 6 22 3 44 1 132

= × = × = ×= × = × = × = × = × = ×

Sin embargo, existen otros números cuyos únicos factores son el mismo y la unidad, a estos se les llama, números primos.

1.2.1 NÚMEROS PRIMOS En matemáticas, un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. Los números primos se contraponen a los números compuestos, los cuales tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convención, no se considera ni primo ni compuesto1. Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo

1 http://es.wikipedia.org/wiki/Número_primo#cite_note-0

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuesto

http://es.wikipedia.org/wiki/Uno

http://es.wikipedia.org/wiki/Dos

http://es.wikipedia.org/wiki/Tres

http://es.wikipedia.org/wiki/Cinco

http://es.wikipedia.org/wiki/Siete

http://es.wikipedia.org/wiki/Once

http://es.wikipedia.org/wiki/Trece

http://es.wikipedia.org/wiki/Diecisiete

http://es.wikipedia.org/wiki/Diecinueve

http://es.wikipedia.org/wiki/Veintitr%C3%A9s

http://es.wikipedia.org/wiki/Veintinueve

http://es.wikipedia.org/wiki/Treinta_y_uno

http://es.wikipedia.org/wiki/Treinta_y_siete

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuarenta_y_uno

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuarenta_y_tres

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuarenta_y_siete

http://es.wikipedia.org/wiki/Cincuenta_y_tres

http://es.wikipedia.org/wiki/Cincuenta_y_nueve

http://es.wikipedia.org/wiki/Sesenta_y_uno

http://es.wikipedia.org/wiki/Sesenta_y_siete

http://es.wikipedia.org/wiki/Setenta_y_uno

http://es.wikipedia.org/wiki/Setenta_y_tres

http://es.wikipedia.org/wiki/Setenta_y_nueve

http://es.wikipedia.org/wiki/Ochenta_y_tres

http://es.wikipedia.org/wiki/Ochenta_y_nueve

http://es.wikipedia.org/wiki/Noventa_y_siete

Sistema numérico

2

mayor que 2, ya que éste es el único número primo par2. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por . NOTA: el número primo más grande descubierto (1996) es: 12577872 1− y tiene 378,632 dígitos.

1.3 NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales están construidos por todas las posibles razones (divisiones) de enteros (excepto dividir por cero) y se denotan por:

, 0a a b enteros y bb

= ≠

Los números enteros son racionales, ya que cualquiera de ellos se puede expresar como el cociente de enteros. Algunas divisiones no son exactas y su cociente tendrá una expansión decimal finita, pero otras no. En las últimas divisiones, a partir de cierto número de dígitos (decimales) se empiezan a repetir en el orden en que aparecieron los primeros, es decir, tienen expansión decimal periódica. El denominador de un racional, menos uno, es el número máximo de dígitos que puede constituir el periódo de su expansión decimal3.

a. 7 250.875, 3.1258 8

= = Tienen fracción decimal exacta.

b. 17 2.8333...6

= Aquí, después del 8 se repite indefinidamente el 3.

c. 3 0.428571428571...7

= Hay 6 dígitos que conforman el periódo.

d. 23 1.35294117647058823529411764705882...17

= Hay 16 dígitos que definen

el periódo En general, todos los cocientes de enteros muestran un modelo repetitivo en su expansión decimal, en el caso de que la división sea exacta se pueden agregar ceros y cuando no lo es, se obtiene una expansión decimal periódica

1.3.1 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Para desarrollar con eficiencia las operaciones con números racionales se abordará el tema de mínimo común múltiplo.

3 Álgebra 1, NIVEL SUPERIOR. CINVESTAV DEL IPN.

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

Sistema numérico

3

El Múltiplo común de dos o más números, es el número que contiene exactamente a cada uno de ellos. Por ejemplo, 40 es múltiplo de 20 y 8, porque 40 contiene a 20 dos veces y 8 lo contiene cinco veces de manera exacta. El Mínimo común múltiplo de dos o más números, es el número menor que contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos, y se representa por las iníciales: m.c.m. La teoría del m.c.m. es importante por sus numerosas aplicaciones. Cuando se trata de calcular el m.c.m. de números pequeños, es posible hacerlo por simple inspeccióno por ensayo y error (tanteos). Es decir, se observa, si el mayor de los números dados contiene exactamente a los demás Si esto, ocurre, el número mayor es el m.c.m., pero, si no los contiene, se determina cuál es el menor múltiplo del número mayor que los contiene exactamente4.

Ejemplos

1. Obtener el m. c. m. de 4, 6 y 8. Solución el número 8 contiene a 4, dos veces, pero no a 6. De los múltiplos de 8, se

tiene: , pero no contiene a 6. , contiene 6 y 4.

Por tanto, el número 24 es el m. c. m. de 4, 6 y 8.

2. Determinar el m. c. m. de 10, 12 y 15. Solución El número 15 no contiene a 10 y 12. De los múltiplos de 15, se tiene:

, contiene a 10, pero no contiene a 12. , pero no contiene a ninguno de los números. , contiene a los dos números.

Por tanto, el número 60 es el m. c. m. de 10, 12 y 15.

Nota: Si los números dados son primos entre sí, entonces el m. c. m. es su producto.

3. Determinar el m. c. m. de 15 y 16.

Solución Como son números primos entre sí, entonces se tiene:

, contiene a 15 y 16. Por tanto, el número 240 es el m. c. m. de 15 y 16. 4 Álgebra 1, NIVEL SUPERIOR. CINVESTAV DEL IPN

Sistema numérico

4

Por cuestiones de tiempo, sólo se trabajará con el método de descomposición de factores. Procedimiento Se descomponen los números en sus factores primos y el m. c. m. se obtiene con el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.

Ejemplos

1. Obtener el m. c. m. de 50, 80, 120 y 300.

Solución Descomposición de los números dados en sus factores primos, se obtiene:

50 80 120 300 2 25 40 60 150 2 25 20 30 75 2 25 10 15 75 2 25 5 15 75 3 25 5 5 25 5 5 1 1 5 5 1 1

Por tanto, el m. c. m. está dado por: 4 22 3 5 16 3 25 1200× × = × × =


Solución Como el 48 contiene a 24 y 168 contiene a 56, entonces sólo se hará la descomposición de los números 48 y 168 en sus factores primos o bien se repite el procedimiento del ejemplo 1.

48 168 2 24 84 2 12 42 2 6 21 2 3 21 3 1 7 7 1

Por tanto, el m. c. m. está dado por: 42 3 7 16 3 7 336× × = × × =


Sistema numérico

5

Solución Descomposición de los números dados en sus factores primos, se obtiene:

360 480 500 600 2 180 240 250 300 2 90 120 125 150 2 45 60 125 75 2 45 30 125 75 2 45 15 125 75 3 15 5 125 25 3 5 5 125 25 5 1 1 25 5 5 5 1 5 1

Por tanto, el m. c. m. está dado por: 5 2 32 3 5 32 9 125 3600× × = × × = SUMA A los números racionales como razones de dos enteros también se les llama números fraccionarios. Una fracción puede ser propia (si su valor es menor que uno) o impropia (si su valor es igual o mayor que uno). Dos fracciones son equivalentes si tienen el mismo valor, lo cual equivale a que una fracción se obtenga de otra, multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número. Con la finalidad de no trabajar con cantidades grandes, se recomienda utilizar el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

Sea . .

e ea ca c b de m c m de b y d entoncesb d e

+= + =

Para sumar fracciones con igual denominador, se suman los numeradores, luego se divide por el denominador común y se simplifica el resultado.

Ejemplos

1. Obtener la suma de: 7 10 49 9 9

+ +

Solución

7 10 4 7 10 4 21 7 129 9 9 9 9 3 3

+ ++ + = = = =

Sistema numérico

6

Para sumar fracciones con distinto denominador, si es posible, se simplifican las fracciones, luego se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y se procede a efectuar las operaciones indicadas.

2. Calcular la suma de: 1 1 112 16 18

+ +

Solución Primero se debe calcular el m.c.m. de los denominadores

12 16 18 2 6 8 9 2 3 4 9 2 3 2 9 2 3 1 9 3 1 3 3 1

Por tanto el m.c.m. de 12, 16 y 18 es:16 9 144× = Luego, se obtiene:

1 1 1 12 9 8 2912 16 18 144 420

+ ++ + = =

3. Obtener la suma de: 1 3 234 7 60

+ +


4 7 60 2 2 7 30 2 1 7 15 3 7 5 5 7 1 7 1

Por tanto, el m.c.m. de 4, 7 y 60 es: 4 3 5 7 420× × × = Luego, se obtiene:

1 3 23 105 60(3) 7(23) 105 180 161 446 223 1314 7 60 420 420 420 210 210

+ + + ++ + = = = = =

Sistema numérico

7

RESTA Para restar fracciones de igual denominador, se restan los numeradores, luego la cantidad obtenida se divide por el denominador común y se simplifica el resultado.

Ejemplos

1. Determinar la diferencia de: 7 512 12

−

Solución Efectuando operaciones, se tiene: 7 5 7 5 2 1

12 12 12 12 6−

− = = =

2. Calcular la diferencia de: 7 5 18 8 8

− −

Solución Efectuando operaciones, se tiene: 7 5 1 7 5 1 18 8 8 8 8

− −− − = =

Para restar fracciones con distinto denominador, si es posible, se simplifican las fracciones, luego se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y se procede a efectuar las operaciones indicadas.

3. Obtener la diferencia de: 3 18 12

−


8 12 2 4 6 2 2 3 2 1 3 3 1

Por tanto el m.c.m. de 8 y 12 es:8 3 24× = Luego, se obtiene:

( ) ( )3 3 2 13 1 9 2 78 12 24 24 24

− −− = = =

4. Obtener la diferencia de: 7 1 1 530 8 4 12

− − +

Sistema numérico

8


30 8 4 12 2 15 4 2 6 2 15 2 1 3 2 15 1 3 3 5 1 1 5 1

Por tanto el m.c.m. de 30, 8, 4 y 12 es:8 3 5 120× × = Luego, se obtiene: 7 1 1 5 28 15 30 50 33 1130 8 4 12 120 120 40

− − +− − + = = =

MULTIPLICACIÓN El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, el denominador es el producto de los denominadores y de ser necesario se realiza una simplificación del resultado. La multiplicación se expresa de la siguiente forma:

a c acb d bd

× =

Ejemplos

1. Determinar el producto de: 5 3 177 4 8

× ×

Solución Efectuando operaciones, se tiene: 5 3 17 5 3 17 225 117 4 8 7 3 4 224 224

× ×× × = = =

× ×

2. Calcular el producto de: 4 2 39 8 6

× ×

Solución Efectuando operaciones, se tiene: 4 2 3 4 1 1 4 1 1 4 19 8 6 9 4 2 9 4 2 72 18

× ×× × = × × = = =

× ×

Sistema numérico

9

DIVISIÓN

Para dividir una fracción ab

por otra fracción cd

, se multiplica la fracción ab

por el inverso de cd

, es decir a d a db c b c

× × = × , luego se realizan las

operaciones indicadas y de ser necesario se realiza la simplificación del resultado.

Ejemplos

1. Obtener la división de: 3 65 7

÷

Solución Invirtiendo la segunda fracción, se tiene:

3 6 3 7 3 7 21 35 7 5 6 5 6 30 10

×÷ = × = = =

×

2. Obtener el cociente de: 1 3 1 82 4 8 5

+ − ÷

Solución Primero se debe calcular el m.c.m. de 2, 4, 8 para realizar la suma.

2 4 8 2 1 2 4 2 1 2 2 1

Por tanto el m.c.m. de 2, 4 y8 es:8 Luego, se obtiene: 1 3 1 4 6 1 92 4 8 8 8

+ −+ − = =

Ahora, se obtiene el cociente indicado. 9 8 9 5 9 5 458 5 8 8 8 8 64

×÷ = × = =

×

POTENCIA DE FRACCIONES La potencia de un número fraccionario, es el número de veces que aparece como factor, es decir, se elevan su numerador y denominador a la potencia indicada.

Sistema numérico

10

Ejemplos

1. 2 2

2a a a ab b b b

= × =

2. 3 3

3a a a a ab b b b b

= × × =

En general: n n

na a a a a a a a ab b b b b b b b b

n veces

× × × = × × × = = × ×

Luego: ( )( )

mm m nn nn n n n n n nm

n n n n n n n m nmn

aa a a a a a a a ab b b b b b b b bb

m veces

× × × = = × × × = = = × ×

3. 3 3

32 2 83 273

= =

4. ( )( )

55 33 3(5) 15

5 3(5) 153

22 2 2 327683 143489073 33

= = = =

1.4 NÚMEROS IRRACIONALES

Se ha comentado que los números racionales tienen expansión decimal que puede ser finita o infinita periódica, sin embargo, existen números que no muestran un modelo repetitivo en su expansión decimal y que dicha expansión sea infinita. Mediante técnicas se han obtenido aproximaciones de algunos números como: , , 2, .e etcπ , éste tipo de números no pueden representarse como la razón de dos enteros, se les llama números irracionales y se denotan por:

ai ib

Ι = ≠

para cualquier a y b ∈ . Los números más usuales o

conocidos son: , , 2, 3, 5,eπ se pueden considerar como números irracionales todas raíces de los números primos y sus respectivos múltiplos.

Ejemplos 1. El número 2.71828182845904...e = 2. El número 3.14159265358979...π = razón entre la longitud de una

circunferencia y su diámetro.

Sistema numérico

11

3. Número de oro (Davinci) 1 5 1.6180339887499...2

+Φ = =

4. La raíz de: 2 1.4142135623731...= 5. La raíz de: 3 5 1.7099759466766...=

1.5 NÚMEROS REALES

Los números reales se definen como la unión de los racionales y los irracionales, y se denotan por: = ∪ Ι . Los elementos de este conjunto se pueden poner en correspondencia con los puntos de una recta numérica. Es decir, a cada número real le corresponde un punto, y sólo uno de la recta; y recíprocamente. Por tanto, existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y los puntos de la recta numérica.

Figura1

Los números reales que se han mencionado y los números complejos , respecto a las operaciones de suma (+) y multiplicación (×), cumplen algunas propiedades que conforman las estructuras numérica o algebraicas fundamentales. Estas propiedades se extienden al álgebra y constituyen la base del trabajo algebraico. Aceptando algunos conceptos, sin definir, el lenguaje de la lógica y las palabras del idioma utlizadas comúnmente, constituyen el lenguaje básico de los números reales (ℝ). AXIOMAS (hipótesis): Son postulados que se aceptan sin demostrar. TEOREMAS (tesis): Son postulados o enunciados, los cuales se aceptan después de haberse demostrado y que definen un concepto general. LEMAS: Teoremas que verifican o definen un concepto particular. PROPIEDADES

1. Cerradura, si para todo ,a b ∈ , se tiene ( )a b+ ∈ , y a b+ es único. 2. La suma es conmutativa a b b a+ = + para todo ,a b .

4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4

+∞ −∞

π π− 2 e 7 4− 1 2

Sistema numérico

12

3. La suma es asociativa ( ) ( )a b c a b c+ + = + + para cualquier , ,a b c . 4. Ley de cancelación a c b c+ = + implica a b= . 5. Existe el 0 (cero) elemento neutro para la suma: 0a a+ = para todo a . 6. Todo elemento a tiene su inverso aditivo ( )a− y se cumple:

( ) ( ) 0a a a a+ − = − + = 7. Cerradura, si para todo ,a b ∈ , se tiene ab∈ , y ab es único. 8. La multiplicación es conmutativa ab ba= para cualquier ,a b . 9. La multiplicación es asociativa ( ) ( )a b c a b c× × = × × para todo , ,a b c . 10. Ley de cancelación; si 0ac bc y c= ≠ , entonces a b= para todo. , ,a b c . 11. Existe el (uno) elemento neutro para la multiplicación y se cumple para

cualquier : .1 1.a a a a= = . 12. La multiplicación es distributiva respecto a suma: ( )a b c ab ac+ = + para

cualquier , ,a b c . 13. Para cualquier a , existe el inverso multiplicativo 1a− , tal que: 1 1 1aa a a− −= = . 14. Si a b y b c< < entonces a c< para cualquier , ,a b c . 15. Ley de tricotomía: dados cualesquiera ,a b , se cumple una y sola una de las

siguientes condiciones. i. a b<

ii. a b= iii. a b>

16. Si a b< , entonces a c b c+ < + 17. Si a b< y 0c > , entonces ac bc< para todo , 0a b y c > . 18. Propiedad reflexiva, para toda x A∈ , se tiene x x= 19. Propiedad simétrica, para toda ,x y A∈ , se tiene: si x y= entonces y x= 20. Propiedad transitiva, si x y= y y z= entonces x z= .

A partir de estas propiedades de los números reales se demuestran algunos teoremas que se convierten en propiedades de uso rutinario en las operaciones algebraicas.

1.6 NUMEROS COMPLEJOS (C): Un número complejo se expresa en la forma bia + ; con a y b números reales donde imaginaria parte real parte +=+ bia , siendo imaginaria unidad 1−=i . El número bia − se define como el conjugado complejo de bia +

Ejemplo 2 2 2 0x x+ + = ; tiene por solución

Sistema numérico

13

1 1 donde 11 1 donde 1

x i ax i b

= − + = −= − − =

Si 0=a , 0≠b , entonces el número bi se le denomina imaginario puro. Ejemplo

2 1 0x + = ; tiene por solución.


x i ax i b

= + == − =

Si 0=b , entonces bia + es el número real aia =+ 0 .

Ejemplo 2 4 4 0x x+ + = ; tiene por solución


x i ax i b

= − + = −= − − =

En consecuencia, los números imaginarios y los reales son subconjuntos de los números complejos.

Propiedades básicas del álgebra

15

2 PROPIEDADES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA Para enteder el proceso deductivo de las matemáticas de los números, así como de la geometría, se debe reconocer la existencia el empleo de axiomas (verdades absolutas) y se les conoce con el nombre de Axiomas de Campo de los Números Reales.

1. Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son iguales.

2. Si cantidades iguales se multiplican o se dividen por cantidades iguales, los resultados son iguales.

3. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, o si a ambos se les extrae una misma raíz, los resultados son iguales.

4. Dos cantidades iguales a una tercera lo son entre sí.

2.1 VALOR ABSOLUTO Para cada número real x ( 0≠x ), existe un número x− . Si x es positivo, x− es negativo; pero, si x es negativo, entonces x− es positivo. Estos dos números representan la distancia de 0 a x (hacia la derecha) y de 0 a x− (hacia la izquierda) Esta distancia (magnitud o norma) se denota por x y recibe el nombre de valor absoluto. El valor absoluto de cualquier número real x , es x , si x es positivo, x− , si x es negativo y cero si x es cero, lo cual se expresa como.

<−=

>=

0 ,0 ,0

0 si ,

xsixxsi

xxx

Figura 2

0 1 2 1− 2−

3−

3

4−

4

x x− = x x=


16

2.1.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE LA RECTA NUMÉRICA Si )(nP es un punto de la recta numérica, entonces n es la distancia desde el origen hasta )(nP . Dados cualesquiera dos puntos de la recta numérica, )(aP y

)(bP , la distancia entre ambos es ba − si ba > y es ab − si ab > ; se puede afirmar que la distancia es ba − . Esta herramienta se puede usar para visualizar los conjuntos solución de ecuaciones o desigualdades que contengan valores absolutos.

Ejemplos 1. Determinar el conjunto solución de 4x =

4, porque 4 4 4

4xx

= = − == −

Solución: Dado que 4=x , también se puede escribir como 40 =−x . Esto se interpreta de la siguiente forma: Obtener los puntos )(xP tales que la distancia desde

)(xP hasta el origen sea 4 .

Figura 3

2. Determinar el conjunto solución de 5=x

5=x 5

, porque 5 5 55

xx

= = − == −

Solución: La expresión 5=x , también se puede escribir como: 50 =−x

Esto se puede interpretar del modo siguiente: Determinar los puntos )(xP tales que la distancia desde )(xP hasta el origen sea 5 . Obviamente hay dos: )5(P y )5(−P .

0 4 4x − = − = 0 4 4x − = =

0 2−

4−

4 6−

2


17

Figura 4

3. Determinar la solución de: 1 5x + = Por la definición es equivalente a:

515 =+=− x

Donde 1 5 4, porque

1 5 6x xx x

+ = = + = − = −

Gráficamente, se interpreta 1+x como la distancia entre dos puntos, y se

escribe. )1(1 −−=+ xx .

Así, pues el conjunto solución de 5)1( =−−x debe contener a todos los números reales x tales que la distancia entre )1(−P y )(xP sea igual a 5 , por tanto, puede ser )6(−P , )4(P .

Figura 5

4. Calcular el conjunto solución de 5<x Aplicando la definición se tiene:

55 <<− x Luego

5 55, porque

5 55xx

<< − >> −

Solución: La desigualda 5<x , también se puede escribir como 50 <−x , entonces la distancia entre )(xP y )0(P es menor que 5 , )(xP puede ser cualquier punto a la izquierda de de )5(P y a la derecha )5(−P

)5(P y )5(−P no están incluidos en la solución.

0 5 5x − = − = 0 5 5x − = =

2 2−

4−

4 6−

0 6

6−

1 ( 1) 5 5x x+ = − − = − =

1 ( 1) 5 5x x+ = − − = =

1−

0 2 2−

4−

4


18

Figura 6

4. Calcular el conjunto solución de 25 ≥+x

Por definición puede escribirse como: 252 ≥+≥− x

donde 5 2 3

, porque 5 2 7

x xx x

+ ≥ ≥ − + ≤ − ≤ −

Para interpretar 5+x como la distancia entre dos puntos, se escribe

)5(5 −−=+ xx . Así, pues el conjunto solución de 2)5( ≥−−x debe contener a todos los números reales x tales que la distancia entre )5(−P y )(xP sea mayor o igual a 2 . )(xP , por tanto, puede ser )3(−P , )7(−P o cualquier punto a la derecha de )3(−P o a la izquierda de )7(−P .

Figura 7

2.2 RAZONES Y PROPORCIONES La comparación por cociente entre dos números recibe el nombre de razón geométrica o por cociente (con el divisor distinto de cero). En general, si a y b son dos números ( 0≠b ), la razón entre el par ordenado

de números es ba y se lee “ a es a b ”. La relación se debe establecer entre dos

números, cuyas cantidades estén expresadas en medidas de la misma especie y de la misma unidad de medida.

0 5 5x − < − <

0 5 5x − < <

5 0 2 4−

2−

4 5−

) (

5 ( 5) 2x x+ ≥ − − ≥ 5 ( 5) 2x x+ ≥ − − ≥

[ ]

0 2 2−

3− 4−

7−

6−


19

Ejemplo Un recipiente A tiene una capacidad de 2 litros y otro B tiene una capacidad de 4 litros. Si se compara la capacidad de A con la de B la razón es

42 es decir

21 , lo que

significa que la capacidad de A es 21 de la capacidad de B.

Si se compara la capacidad de B con la de A la razón es 24 , es decir 2, esto

significa que la capacidad de B es el doble de la capacidad de A. Dada una razón, se puede obtener otra equivalente multiplicando o dividiendo sus términos por un mismo número (diferente de cero).

86

2423

43

=××

=

Descomposición de un número en dos partes que estén en una razón dada.

Ejemplo Dos grupos A y B, tienen en total 105 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes tienen cada grupo si la razón de A y B es

87 ?

1587 =+ (Se suman los términos de la razón.)

715105

= (Se divide el número dado entre la suma de los términos de

la razón.)

5649

7877

=×× (Se multiplica cada término de la razón por el cociente

obtenido). Por tanto, el grupo A tiene 49 estudiantes y el grupo B tiene 56. La igualdad de dos razones se llama PROPORCIÓN.

En general, si ba y

dc representan la misma razón, entonces:

dc

ba

=

donde; a , b , c y d son los términos de la proporción. Las cantidades a y d son los extremos, b y c son los medios. La propiedad fundamental de las proporciones establece que: en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

dc

ba

= Si y solo si bcad =

Las proporciones que tienen sus medios o sus extremos iguales, se llaman PROPORCIONES CONTINUAS.

48

816

= , el término que se repite se llama media proporcional.


20

Cálculo de un término en una proporción.

Para obtener el valor de un término desconocido de una proporción, se aplica la propiedad fundamental y se efectúan las operaciones necesarias.

61812

=x

Despejando la variable, queda: )6(12)18( =x

7218 =x 72 418

x = =

2.3 VARIACIÓN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL

Dadas dos cantidades, si a un aumento de una corresponde un aumento para la otra, o a una disminución de una corresponde una disminución de la otra, se dice que tales cantidades son directamente proporcionales. Si por el consumo de 40 m3 se pagan 20.80 unidades de dinero, ¿cuánto se pagará por un consumo de 37 m3.

xmm 80.20

3740

3

3

=

Despejando la variable, se tiene:

)80.20(3740 =x 60.76940 =x

406.769

=x

24.19=x unidades de dinero.

2.4 VARIACIÓN INVERSAMENTE PROPORCIONAL Dadas dos cantidades, puede ocurrir que a todo aumento de una corresponda una disminución de para la otra, o que a toda disminución de una corresponda un aumento para la otra. Cuando esto ocurre se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales.

Ejemplo Para hacer una obra en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 7 días?

obreros 23dias 7dias 42 x

=


21

Despejando la variable, queda:

x7)23(42 = 9667 =x

966 1387

x obreros= =

Operaciones con polinomios

23

3 OPERACIONES CON POLINOMIOS En el álgebra intervienen distintos tipos de signos, los cuales son: signos de operación ( ), , , , radicación y potencia+ − × ÷ ; signos de relación

( ), , , y sus combinaciones< = > ; signos o símbolos de agrupación ( ) [ ] { }, , . Definición: Una expresión algebraica es la combinación de números y literales mediante las cuatro operaciones fundamentales ( ), , radicación y potenciación+ ×

Ejemplo 23

33 3

32 13 7 9, 2 , ,7 3 2

xyzab y yx ax ay y x

− +− + +

+ +.

Los componentes de un término algebraico son: coeficiente, parte literal y exponentes de la parte literal. Cualquier factor de un término algebraico se llama coeficiente de los factores restantes, por ejemplo: en el término

21 1,2 2

xyz es el coeficiente de 2xyz 12

x es el coeficiente de 2yz , 12

xy es el

coeficiente de 2z , en general conviene considerar como coeficiente solamente a un número o letra. TÉRMINOS SEMEJANTES: Son aquellos que tienen los mismos factores literales, cada uno con la misma base y exponente.

m7 y m5 , 28x y 2x 26ab y 22ab , etc. Si las literales de un término algebraico están combinadas solamente por medio de la operación de multiplicación, se dice que el término es racional entero; el grado de un término racional entero es la suma de los exponentes de sus literales. Las expresiones algebraicas se clasifican en: Monomio: si consta de un término Binomio: si consta de dos términos ( )los signos separan los términos .y+ − Trinomio: si consta de tres términos. Polinomio: una suma finita de términos algebraicos El grado de un polinomio respecto a una literal es el mayor de los exponentes que tiene dicha literal. Un polinomio es homogéneo si todos sus términos tienen el mismo grado. Ejemplo

2 2 3 32 ; 3 .x xy y abc b c+ + + −


24

3.1 REDUCCION DE TÉRMINOS SEMEJANTES Dos o más términos semejantes se reducen mediante la adición de sus coeficientes numéricos. En este tipo de problemas aparecen con cierta frecuencia símbolos de agrupación, y antes de hacer la simplificación, se hace necesario suprimir dichos símbolos. Cuando se utilizan varios símbolos de asociación, se simplifican uno a uno empezando por el más interno, antes de proceder a la reducción de términos semejantes. Las expresiones se pueden sumar, restar y multiplicar mediante el uso de sus postulados, teoremas y definiciones, como se expresa en la reducción de términos semejantes: A continuación se presenta un ejemplo en cual se aplican las propiedades fundamentales del Álgebra para obtener el valor de la variable x . (5 8) ( 7 4) [5 ( 8)] ( 7 4)x x x x− + − + = + − + − + Teorema de la resta 5 ([( 8) ( 7 )] 4)x x= + − + − + Ley asociativa 5 ([( 7 ) ( 8)] 4)x x= + − + − + Ley conmutativa [5 ( 7 )] [( 8) 4]x x= + − + − + Ley asociativa [5 ( 7)] [( 8) 4]x= + − + − + Ley distributiva por la derecha 2 ( 4)x= − + − Propiedades de la suma 2 4x= − − Teorema de la resta

3.2 ADICIÓN DE POLINOMIOS La propiedad distributiva para la suma o resta de polinomios. Estas operaciones consisten básicamente en la supresión de paréntesis y en la reducción de términos semejantes. Cuando se disponen en columna, la ordenación de los términos de un polinomio, facilita las operaciones de multiplicación y división. Un polinomio puede ordenarse en:

• Orden decreciente, cuando los exponentes de una literal disminuyen en términos sucesivos.

• Orden creciente, cuando los exponentes de una literal aumentan en términos sucesivos.

Sea el polinomio: 2 32 3 5 8x x x+ − + ordenando se tiene:

• Orden decreciente: 3 23 2 5 8x x x+ − + • Orden creciente: 32 3258 xxx- ++


25

El polinomio 3223 33 yxyyxx +++ se ha ordenado de modo decreciente respecto a la x , y en forma creciente respecto a la y . Sumar ba 53 + , 6 2b a− y 10 25b − . Disponiendo en columnas y sumando, queda:

3 52 6

10 2521 25

a ba b

ba b

+ +− +

+ −+ −

3.3 SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Para restar un término semejante de otro, se tiene: Minuendo Sustraendo Diferencia− = M S D− = donde M S D= + Por ello, al restar términos semejantes se piensa en el término que sumado al sustraendo nos dé el minuendo. Restar 5 2x y − de 8 4x y−

yxyxyx

23)25()48(

−−−−+

O bien ( ) ( ) ( ) ( )8 4 5 2 8 5 4 2x y x y x x y y− − − = − + − + agrupando términos semejantes

( ) ( )3 2x y= + − sumando y restando términos semejantes 3 2x y= − quitando paréntesis

3.3.1 LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS Y POSITIVOS

La potencia de un número es el producto de factores cada uno igual al número. Esta operación de elevar a una potencia se llama involución.

3.2.1.1 Producto de dos potencias de la misma base. En general, si a es un número real distinto de cero y m y n son números enteros no negativos, se tiene:

. . ..... . . .....m factores n factores

m n

m n factores

a a a a a a a a+

=

Es decir: nmnm aaa +=⋅


26

Primera ley: El producto de dos potencias de la misma base (distinta de cero), es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

1. 85353 xxxx ==⋅ +

2. 5144 xxxx ==⋅ +

3. yxyx bbb +=⋅

4. 86262 mmmm ==⋅ +

3.3.1.1 Potencia de otra potencia

En general, si a es un numero real distinto de cero y m y n son números enteros positivos

( ) . . ... .nm m m m m m

n factores

a a a a a a=

( )n sumandos

nm m m m m m ma a + + + + + +=

Es decir: mnnm a)(a =

Segunda ley: la potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero), es igual a la base elevada al producto de los exponentes. ( )4 24 2 8(3 ) 3 3= = ( )2 52 5 10(m ) m m= = ( )x yx y xy(a ) a a= =

3.3.1.2 Potencia de un producto

En general, si a y b son dos números reales distintos de cero y m es un número entero positivo.

( ) ( )( )( ) ( )( )...m

m factores

ab ab ab ab ab ab=

( ) ... ...m

m factores m factores

ab aaa aa bbb bb=

Es decir: mmm ba(ab) =


27

Tercera ley. La potencia de un producto es igual al producto de los dos factores elevados a la misma potencia.

1. ( ) ( ) ( )2 2 2 5 22 5 2 2 5 2 4 10x y (x ) y x y x y == ( ) = =

2. ( ) 13 3 1 1 3 1 1 3 3 1m m m (m ) (m ) m mx y (x ) (y) x (y) x y+ + + + + + += ⋅ = ⋅ =

3.3.1.3 Potencia de una fracción

En general, si a y b son dos números reales distintos de cero y m es un número entero positivo.

...

...

m factoresm

m factores

a aaa aab bbb bb

=

Es decir: m

mm

ba

ba

=

Cuarta ley: Para elevar una fracción a un exponente, el numerador y el denominador se elevan a dicho exponente.

3.3.1.4 División de potencias El cociente de dos potencias de la misma base, presenta tres posibilidades, estas dependen de que el exponente del dividendo sea mayor, igual ó menor que el del divisor.

, si 1 , si

1 , si

m nm

n

n m

a m na m na

m na

−

−

>

= = <

a. Primero: ;m

m nn

a a si m na

−= > .

En general, si a es un número real distinto de cero, y m y n son números enteros positivos siendo m n> , entonces, se tiene:


28

... ...

...

m factoresm n factoresm

n

n factores

a aaa aa aaa aaa aaa aa

−

= =

Es decir: , si m

m nn

a a m na

−= > (Quinta ley, primer caso)

a. 5

5 3 23

7 7 77

−= =

b. 8

8 5 35

m m mm

−= =

c. 4

4 1 3x x xx

−= =

Segundo caso: 1m

naa

= , siendo m n= .

En general, si a es un número real distinto de cero y m un número entero y positivo:

m

m

aa = 1

m factores

m factores

aaa aaaaa aa

=

Es decir, 1m

m

aa

= (Quinta ley)

Ejemplos

a. ( )( )( )( )

3

3

2 2 22 12 2 2 2

= =

b. 4

41x

x=

Tercero: 1m

n m naa a −= , siendo m n<

En general, si a es cualquier número real distinto de cero, ym n números enteros positivos siendo m n< , se tiene que:


29

n

m

aa =

m factores

n factores

aaa aaaaa a

m factores

m factores m factores m factores

m factoresn factore

n factores n factores m factores

aaa aaaaa aa

aaa aa aaa aa aaa aaaaa aa aaa aa aaa aa

aaa aa

= =

1s n m

m factores

a

aaa aa

−=

1n ma −=

Es decir, 1m

n n maa a −= si m n< (Quinta ley, tercer caso)

a. ( )( )

( )( )( )( ) ( )3

5

4 4 44 4 4 4 14 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

= =

( )( ) ( ) 1 1 2 5 3

1 1 1 11 1 14 4 4 4 4+ −

= = = =

b. 2

5 5 2 3

1 1xx x x−

= =

3.3.2 EXPONENTE CERO

Se afirma que todo número real distinto de cero, elevado al exponente cero es igual a la unidad:

0 1a = , siendo 0a ≠ El exponente cero no responde a la definición de potencia (producto de varios factores iguales). Sin embargo, el significado que se le ha dado le permite cumplir con las leyes generales de los exponentes enteros y positivos.

1. 0 0m m ma a a a+= = , de acuerdo con la primera ley de los exponentes, se tiene: 0m ma a a=

2. 0m

m mm

a a aa

−= = , de acuerdo con la quinta ley de los exponentes, se tiene

0 1m

ma aa

= =


30

3.3.3 EXPONENTE ENTERO NEGATIVO En general, si a es un número real positivo distinto de cero y m es un número entero positivo, se tiene:

mm

aa 1

=−

Todo número real distinto de cero elevado a un exponente entero y negativo, es igual a una fracción que tiene por numerador la unidad y por denominador el mismo número racional con el exponente positivo Cuando se dividen potencias de la misma base y el exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor, al efectuar la resta de los exponentes se obtiene un exponente negativo.

5838

3−− == yy

yy 352

5

288

88 −− ==

El exponente negativo, así como el exponente cero, no responde a la definición de potencia, por ello se hace necesario asignarle un significado para que cumpla con las leyes de los enteros positivos.

Así, 35

2−= a

aa y

35

2 1aa

a= , con 0a ≠

Por tanto, se establece que:

33 1

aa =−

El significado de la expresión cumple con las leyes generales de los exponentes. Para la primera ley de los exponentes:

1. Sea a un número racional distinto de cero.

( )4 3 4 ( 3) 4 3a a a a a− + − −= = =

sustituyendo 3a− por 3

1a

, se tiene: 4

4 4 33 3

1 aa a aa a

− = = =

de tal manera que el significado de 3

3 1a

a =− , cumpla con la primera ley de

los exponentes

2. ( )3 3 3 ( 3) 3 3 0 1a a a a a− + − −= = = =

sustituyendo 3a− por 3

1a

, se tiene


31

33 3 3 0

3 3

1 1aa a aa a

− = = = =

de tal manera que el significado de 3

3 1a

a =− , cumpla con la primera ley de

los exponentes.

a. 22

1 133 9

− = =

b. 33

1 155 125

− = =

c. 22

1xx

− =

d. 55

1yy

− =

3.3.4 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Las propiedades generales de la potenciación permiten definir a una de sus operaciones inversas: la radicación.

3.3.4.1 RADICACIÓN La operación inversa de la potenciación se llama radicación. Esta operación inversa se llama extracción de raíz o evolución.

a. Si n es un número entero positivo, ya b son tales que na b= ; entonces por definición, a es la raíz enésima de b .

b. Si b es positivo, solo hay un número positivo tal que na b= . Este número se representa por n b y recibe el nombre de raíz enésima principal de b .

Ejemplo

4 16 es un número positivo que elevado a la cuarta potencia es igual a 16, dicho número es +2 ya que:

( )42 16+ = , por tanto 2164 +=

( )42 16− = , por tanto 2− es una raíz cuarta de 16 pero no es la raíz principal.

c. Si b es negativo no existe una raíz enésima positiva de b , pero si existe una raíz enésima negativa de b siempre que n sea impar. Este número negativo recibe el nombre de de raíz enésima principal de b , y se representa por n b


32

3 27− es un número que elevado al cubo es igual a 27− , dicho número es 3− ya que: ( ) ( )( )( )33 3 3 3 27− = − − − = − , por tanto 3273 −=−

que es la raíz cúbica principal de 27− .

d. Si b es negativo y n es par, por ejemplo 4 16− , la raíz enésima principal no se puede representar por un número real

3.3.4.2 POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO POSITIVO

Si ym n son números enteros positivos, se define:

n mnm

aa =

a. 3

324 4 64 8= = =

b. ( ) ( )( )2 22 3 23 3 327 27 3 3 9= = = =

3.3.4.3 POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO NEGATIVO

Si ym n son números enteros positivos, se define:

nm

a−

= nm

a

1

a. 23

2 3233

1 1 1 1846488

−= = = =

b. 52

5 52

1 1xxx

−= =

Un radical es una expresión de la forma n a la cual representa la raíz enésima principal de a , el número a es el subradical, el entero positivo n es el índice u orden del radical (cuando n es igual a 2 se acostumbra no escribirlo). Las propiedades de los radicales son las mismas que de las potencias, pues:

1n na a= ( si n es par , 0a ≥ )


33

Las propiedades que se usan con mayor frecuencia son:

1. ( )nn a a=

a. ( )33 4 4=

b. ( )22 2 2 2a b a b+ = +

2. n n nab a b=

a. ( )( )45 9 5 9 5 3 5= = =

b. ( ) 3 33 33250 2 125 2 125 5 2= = × =

3. , 0n

nn

a a bb b

= ≠

a. 7 7 7

16 416= =

b. 3

33

8 8 2 164 4 264

= = =

4. ( )mn m na a=

a. ( )44 3 4 433 3(27) 27 (3 ) 3 81= = = =

5. m n mna a=

a. ( )3 23 62 2 2= =

b. ( )4 24 87 7 7= =


34

Algunas de las transformaciones hechas anteriormente se pueden hacer de la siguiente manera:

1. Calculando la raíz enésima de la cantidad subradical: a. ( ) 33 3 33 3108 27 4 3 4 3 4= = =

b. ( )3 5 2 4 2 4 28 4 2 4 2 2 2a b a b ab a b ab ab ab= = =

2. Reduciendo el índice del radical:

a. 6 3

644 4 264 2 2 2= = =

b. ( ) ( ) ( )2 126 36 3 3 3 3 3 36 6 349 7 7 7 7 7 7x x x x x x x= = = = = =

3. Racionalizando el denominador:

a. ( )( )

3 23 3 2 6 62 22 2 42 2

= = = =

3.4 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

3.4.1 RAZONAMIENTO DEDUCTIVO O SILOGISMO

Aristóteles lo define como el raciocinio en el cual, supuestas proposiciones o premisas generan necesariamente una nueva proposición que debe deducirse de las anteriores sin recurrir a un apoyo distinto de los elementos contenidos en las premisas. La estructura del silogismo simple establece que la argumentación en la que, de dos enunciaciones o proposiciones simples, expuestas, debe seguirse necesariamente una tercera en virtud de las dos anteriores. El silogismo simple está constituido por los enunciados que la forman. Las dos primeras son el antecedente (aquello de lo cual se deduce) y reciben el nombre específico de premisas, la tercera se llama consecuente (aquello que se deduce o infiere) o conclusión La forma del silogismo simple consiste en la disposición y orden de los términos y enunciaciones que hagan posible la conclusión. Cuando la conclusión se obtiene por virtud de la materia u objeto se llama silogismo material. Cuando la conclusión se obtiene por virtud de la forma se llama silogismo formal.


35

Dentro de las ocho reglas generales de los silogismos, se puede mencionar los que se aplican al lenguaje algebraico. La quinta regla: “Si cada premisa niega, nada se seguirá de ahí. En caso de que ambas premisas sean negativas, nada se puede establecer respecto de los términos extremos: El medio no resulta un punto de referencia y por consiguiente no hay silogismo”

Ejemplo

Silogismo símbolo algebraico Ningún vegetal es animal ( )− −

Algún árbol no es animal ( )− −

Algún árbol no es vegetal ( )− (ilógico) − La sexta regla: “Ambas premisas afirmativas, no pueden dar una negativa. La conclusión es un efecto necesario de las premisas y todo efecto debe estar contenido en su causa, si ambas premisas son afirmativas, no se ve de donde se pueda llegar a la negación de la conclusión”.

Ejemplo Silogismo símbolo algebraico Todo animal es orgánico (+) + Algún animal es racional (+) + Algún racional no es orgánico ( )− (ilógico) + Finalmente, de los silogismos, surgen las reglas para las operaciones de la multiplicación y su inversa, la división, atendiendo cada factor como una premisa positiva o negativa. Aquí, la segunda premisa valora o califica con la verdad o falsedad a la primera premisa verdadera o falsa para calificar como verdadera o falsa a la conclusión. ( )( )+ + = +

( )( )− − = +

( )( )+ − = −

( )( )− + = −

3.4.2 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Para multiplicar monomios se aplica la regla de los signos de los números reales y las leyes de los exponentes.


36

a. ( )2 4 8x x− = −

b. ( )( )3 5 15m m m− = −

c. ( )( ) ( )( )3 4 3 4 3 4 74 5 4 5 20 20a a a a a a+= = =

d. ( )( )( )4 3 4 35 5x y x y− − − = −

Potencias de monomios.

a. ( ) ( )( )( ) ( )( )( )34 4 4 4 4 4 4 123 3 3 3 3 3 3 27a a a a a a+ += = =

b. ( ) ( )( ) ( )( )23 3 3 3 3 64 4 4 4 4 16x x x x x+− = − − = − − =

c. ( ) ( )( )( ) ( )( )( )32 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 6 32 2 2 2 2 2 2 8ab c ab c ab c ab c a b c a b c+ + + + + += = =

3.4.3 MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica cada término del polinomio por el monomio, luego se aplica la propiedad distributiva. a. ( )5 5 5 5x y z x y z− + = − +

b. ( ) ( ) ( )3 4 2 3 4 3 2 12 6b b b− = − = −

c. ( ) ( ) ( ) 24 5 4 5 4 5x x x x x x x− = − = −

d. ( ) ( ) ( )2 2 37 4 7 7 4 7 28t t t t t t t− = − = −

3.4.4 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Para multiplicar dos polinomios, se ordenan en columna y cada término de un polinomio se multiplica por todos y cada uno de los del otro, disponiendo los productos parciales de manera que queden en columna los términos semejantes.

1. Multiplicar ( )( )2 3 5 2s s+ − =

61110640000

15102532

2

2

−+

−−+

−+

sssss

ss

2. Multiplicar ( )( )2 3 5b c b c− − − =


37

2

2

2 2

23 5

6 3

00000 10 56 7 5

b cb c

b bc

bc cb bc c

− −+ −

− −

+ +− + +

3. Multiplicar ( )( )2 23 4 2x x x x+ − + =

xxxxxxx

xxxxx

xx

82586200

43200

43

234

23

234

2

2

−++

−++

−+

++

−+

3.4.5 DIVISIÓN DE MONOMIOS

Para dividir monomios, se aplica la regla de los signos de la división de números racionales y las leyes de los exponentes. En todos los casos se debe considerar que la expresión que aparece como divisor representa un número racional distinto de cero.

a. 6 32a a=

b. 3

2

12 34

n nn

=

c. 3 2

22

30 56

x y xyx

−= −

d. 3 2

2 2

15 53

m n mm n

−=

−

3.4.6 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio.

a. 4 2 4 2

22 2 2

2 2 2x x x x xx x x+

= + = +

b. 2 3 5 2 3 5

32 2 2 2

2 4 6 2 4 6 1 2 32 2 2 2

c c c c c c c cc c c c

+ −= + − = + −

c. 4 3 2

3 2y y y y y yy

− += − + −

−


38

3.4.7 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Para dividir dos polinomios se sigue, el siguiente procedimiento:

1. El dividendo y el divisor se ordenan en forma decreciente respecto a las potencias de una misma literal.

2. El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor y así se obtiene el primer término del cociente.

3. El primer término del cociente se multiplica por cada término del divisor, y el producto se resta del dividendo. El resultado de dicha resta es el primer dividendo parcial que se complementa bajando uno o más términos del dividendo según se necesite.

4. Se divide el primer término del dividendo parcial entre el primer término del divisor para obtener el segundo término del cociente.

5. Se multiplica el segundo término del cociente por todo el divisor y el producto se resta del primer dividendo parcial. El resultado de la resta es el segundo dividendo parcial que se complementa bajando uno o más términos del dividendo según se necesite.

6. Se continúa el procedimiento en la misma forma, hasta obtener un residuo igual a cero (división exacta) o un dividendo parcial cuyo grado sea inferior al del divisor (división inexacta).

3.4.7.1 PARA COMPROBAR LA DIVISIÓN

1. Si no existe residuo, el divisor se multiplica por el cociente, obteniéndose

como producto el dividendo. 2. Si existe residuo, éste se suma al producto del divisor por el cociente para

obtener el dividendo.

2

2

2 33 2 6 5 6

6 49 69 6

0

xx x x

x xxx

−+ − −

−− −

+

Primer dividendo


39

2

2

2 34 5 8 22 15

8 1012 152 15

0

xx x x

x xxx

−− − +

− +− +

−

Primer dividendo

Productos notables

39

4 PRODUCTOS NOTABLES Son aquellos productos que se obtenen de manera directa sin llevar acabo la multiplicación por un procedimiento general.

4.1 CUADRADO DE UN BINOMIO

Elevar un binomio al cuadrado significa que el binomio se multiplica por sí mismo. Por ejemplo: ( )( ) ( )2a b a b a b+ + = + Efectuando la multiplicación en forma general se tiene:

2

2

2 22

a ba b

a ab

ab ba ab b

++

+

++ +

Representación geométrica:

Figura 8 Por tanto: ( )2 2 22a b a ab b+ = + + Los términos 2a y 2b • son siempre positivos porque el cuadrado de un número, positivo o negativo, es siempre positivo. El término 2ab puede ser positivo o negativo siempre que ya b tengan el mismo signo o bien signos contrarios.

2b ab

2a ab

a b+

b a

b

a

a b+

Productos notables

40

Sea el producto: ( )( ) ( )2a b a b a b− − = −

Efectuando la multiplicación en la forma general se tiene:

22

2

2

2 bababab

abababa

+−

+−

−

−−

Por tanto: ( )2 2 22a b a ab b− = − + Representación geométrica:

Figura 9

Estos resultados se pueden expresar de la siguiente forma: ( )2 2 22a b a ab b± = ± + Esto es; “el cuadrado de un binomio es igual a la suma algebraica del cuadrado del primer término más el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término. El cuadrado de un binomio recibe el nombre de TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. 2 2 2 2 2(2 3 ) (2 ) 2(2 )(3 ) (3 ) 4 12 9a b a a b b a ab b+ = + + = + + 2 2 2 2 2(2 3 ) (2 ) 2(2 )( 3 ) ( 3 ) 4 12 9a b a a b b a ab b− = + − + − = − + 2 2 2 2 2( 3 4 ) ( 3 ) 2( 3 )(4 ) (4 ) 9 24 16x y x x y y x xy y− + = − + − + = − + 2 2 2 2 2( 3 4 ) ( 3 ) 2( 3 )( 4 ) ( 4 ) 9 24 16x y x x y y x xy y− − = − + − − + − = + +

b

a b−

a

b a b−

a

( )b a b−

2( )a b−

2b ( )b a b−

Productos notables

41

4.2 PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS Dos binomios son conjugados cuando tienen un término común y los otros dos términos son simétricos. Por ejemplo:

Los binomios El término común es:

Los términos simétricos

a b+ y b−a a b y b− 3 2b a− y 3 2b a+

3b 2a− y 2a

sx +−5 y 5x s− − 5x− s y s− Sea el producto ( )( )a b a b+ − Efectuando la multiplicación en la forma general se tiene:

22

2

2

babab

abababa

−

−−

+

−+


Figura 10

b a b−

2( )a b−

( )b a b−

2b ( )b a b−

( )b a b− a b−

b

a

a b

Productos notables

42

El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. El producto de dos binomios conjugados recibe el nombre de diferencia de cuadrados.

a. 2 2 2 2(2 3 )(2 3 ) (2 ) (3 ) 4 9x y x y x y x y+ − = − = − b. 2 2 2 2( 5 3 )( 5 3 ) ( 5 ) ( 3 ) 25 9a b a b a b a b− + − − = − − − = −

c.

[ ][ ]( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2 2

( )( ) ( ) ( )

2

2

x y z x y z x y z x y z

x y z

x y yz z

x y yz z

− + + − = − − + −

= − −

= − − +

= − + −

4.3 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN Sean x a+ y x b+ dos binomios que tienen un término común x , en los cuales a y b representan términos algebraicos cualesquiera.

Efectuando la multiplicación en la forma general se tiene:

abxbaxabbx

axxbxax

+++

++

++

)(2

2


Figura 11 Por tanto, ( )( ) 2 2( )x a x b x a b x b+ + = + + +

x

b ab bx

2x ax

a x

Productos notables

43

Esto es; el producto de dos binomios que tienen un término común se obtiene sumando algebraicamente el cuadrado del término común, el producto de este término por la suma algebraica de los términos no comunes y el producto de estos dos últimos términos. En este producto se puede observar que si a es igual a b entonces se trata del cuadrado de un binomio obteniéndose un trinomio cuadrado perfecto. Si ya bson simétricos, entonces se obtiene como producto una diferencia de cuadrados.

• 2( 7)( 3) 4 21 ( 7) ( 3) 4 ( 7)( 3) 21x x x x pues y+ − = + − + + − = + − = −

• 2(5 5)(5 7) 25 60 35 5( ( 5) ( 7)) 60 ( 5)( 7) 35a a a a pues y+ + = + + + + + = + + =

• 2( 9)( 2) 11 18 ( 9) ( 2) 11 ( 9)( 2) 18x x x x pues y− − = − + − + − = − − − =

4.4 CUBO DE UN BINOMIO Sea el binomio a b+ donde ya b a representan términos algebraicos que pueden ser positivos o negativos. El cubo del binomio a b+ puede escribirse como:

3 2( ) ( )( )( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b+ = + + + = + + Substituyendo 2)( ba + por su producto 22 2 baba ++ se obtiene:

2 2

3 2 2

2 2 3

3 2 2 3

2

2

23 3

a ab ba b

a a b ab

a b ab ba a b ab b

+ ++

+ +

+ ++ + +

Por tanto:

32233 33)( babbaaba +++=+ El cubo de un binomio es igual a la suma algebraica del cubo del primer término, el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo y el cubo del segundo término. Nota: el signo " "+ de los términos del producto, indica que cada término se considera con el signo que le corresponde de acuerdo con las leyes de los signos para la multiplicación.

Productos notables

44

Ejemplos 3 3 2 2 3

3 2 2 3

1. ( ) 3( ) ( ) 3( )( ) ( )

3 3

a b a a b a b b

a a b ab b

− = + − + − + −

= − + −

3 3 2 2 3

3 2

2. ( 2) 3( ) (2) 3( )(2) (2)

6 12 8

x x x x

x x x

+ = + + +

= + + +

3 3 2 2 3

3 2 2 3

3. ( 3 2 ) ( 3 ) 3( 3 ) (2 ) 3( 3 )(2 ) (2 )

27 54 36 8

x y x x y x y y

x x y xy y

− + = − + − + − +

= − + − +

4.5 INTRODUCCIÓN AL TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON

La fórmula del binomio permite escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Por multiplicación directa se puede obtener el desarrollo de las potencias sucesivas del binomio para: a b+

543223455

4322334

32233

222

1

510105b)(a

464b)(a

33b)(a

2b)(a

b)(a

babbababaa

babbabaa

babbaa

baba

ba

+++++=+

++++=+

+++=+

++=+

+=+

De acuerdo con estos desarrollos se puede generar una idea acerca de la ley que siguen en su formación:

1. Si el exponente del binomio es n , hay 1n + términos en el desarrollo. 2. Para cada valor de n , el desarrollo de ( )na b+ empieza con na y termina

con nb . En cada término los exponentes de ya b suman n . 3. Las potencias de a disminuyen en 1 al pasar de cada término al siguiente.

La b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término.

4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en ese término, el coeficiente anterior por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

Productos notables

45

Así, Newton propuso la expresión

n 1 2 2 3 3

4 4 1 1

( 1) ( 1)( 2)(a )1! 2! 3!

( 1)( 2)( 3) ( 1)...( 2)... ...4! ( 1)!

n n n n

n n r r n

n n n n n nb a a b a b a b

n n n n n n n ra b a b br

− − −

− − + −

− − −+ = + + + +

− − − − − ++ + + +

−

Cierta simetría en los coeficientes de los términos constituye otra característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como Triangulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de ( )na b+ .

1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 1

nnnnnnn

=======

A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que en cada renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último término son iguales a 1. Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos de 5 y 10 del renglón superior y así sucesivamente.

Ejemplos 4 4 3 1 2 2 1 3 41. ( 2 ) (1)( ) (4)( ) (2 ) (6)( ) (2 ) (4)( ) (2 ) (1)(2 )a b a a b a b a b b+ = + + + +

desarrollando las potencias, se tiene: 4322344 1618446241)2( bbababaaba ⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=+

efectuando los productos: 4322344 1632248)2( babbabaaba ++++=+

Productos notables

46

2 7 2 7 2 6 2 5 2 2 4 3

2 3 4 2 2 5

2 6 7

1 7 1 7 6 1 7 6 5 12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 3

7 6 5 4 1 7 6 5 4 3 1( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4 57 6 5 4 3 2 1 1( )( ) ( )1 2 3 4 5 6

m m m m mm m m m

m mm m

mm m

⋅ ⋅ ⋅− = − − + − − − +

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− − + − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ − − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 7 14 11 8 5 24 7

1 21 7 1( ) 7 21 35 35m m m m m mm m m m

− = − + − + − + −

4.6 FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores

4.6.1 FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO QUE TIENEN UN FACTOR COMÚN Sea el polinomio ax bx+ en el cual x es el factor común de sus términos. Al dividir entre el factor común, se tiene

bax

bxax+=

+

Por tanto: b)x(abxax +=+

1. Factorizar 3 24 6a a b+ : Se observa que 2 y 2a son comunes en todos los términos.

( ) ( ) ( )3 2 2 2 24 6 2 2 2 3 2 2 3a a b a a a b a a b+ = + = + 2. Factorizar 2 4 2 3 3 45 15 20a bx ab x ab x− + : Se observa que 35, ,a b y x son

comunes en todos los términos. ( ) ( ) ( )

( )

2 4 2 3 3 4 3 3 3 2

3 2

5 15 20 5 5 3 5 4

5 3 4

a bx ab x ab x abx ax abx b abx b x

abx ax b b x

− + = − +

= − +

El factor común se puede obtener localizando el máximo común divisor (m.c.d.)de los coeficientes de todos los términos del polinomio, el cual será el coeficiente del factor común que tendrá como literales comunes de todos los términos del polinomio con su menor exponente. Así en:

yxyxyx 22334 4812 +− El m.c.d. de los coeficientes es 4, las literales comunes con su menor exponente son 2x y .

Productos notables

47

Dividiendo el polinomio entre el factor común:

1234

4812 222

22334+−=

+− xyyxyx

yxyxyx

Por tanto:

( )4 3 3 2 2 2 2 212 8 4 4 3 2 1x y x y x y x y x y xy− + = − +

En la práctica, la obtención del m.c.d. de un polinomio como factor común facilita el proceso de simplificación de fracciones algebraicas.

4.6.2 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN Sea el polinomio

bdbcadac +++ Se observa que los dos primeros términos tienen como factor común a a y los dos últimos términos tienen como factor común a b . Agrupando los términos que tienen factor común se obtiene:

)()( bdbcadac +++ factorizando cada grupo, queda:

)()( dcbdca +++ por tanto:

)()()()( dcbdcabdbcadac +++=+++ tomando c d+ como factor común resulta: ( ) ( ) ( )( )ac ad bc bd c d a b+ + + = + + es decir:

))(( dcbabdbcadac ++=+++ Si el polinomio ac ad bc bd+ + + , se reordena, puede escribir como:

bdadbcac +++ o bien: )()( bdadbcac +++ de donde se obtiene: dbacba )()( +++ que se puede expresar como: ))(( dcba ++ De modo que: ))(( dcbabdbcadac ++=+++

En ambos casos se puede efectuar la comprobación mediante la multiplicación de los factores indicados, o bien, dando valores a las letras.

Productos notables

48

Ejemplos 1. Factorizar 3 4 3 4mx my nx ny+ + +

3 4 3 4 (3 4 ) (3 4 )

(3 4 )( )mx my nx ny m x y n x y

x y m n+ + + = + + +

= + +

2. Factorizar ax ay bx by+ − − ( ) ( )

( )( )ax ay bx by a x y b x y

x y a b+ − − = + − +

= + −

3. Factorizar 3 218 12 15 10x x x+ − − 3 2 2

2

18 12 15 10 6 (3 2) 5(3 2)

(3 2)(6 5)

x x x x x x

x x

+ − − = + − +

= + −

4. Factorizar 2 2 2 2m x n x m n+ + + 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

( ) ( )

( )( 1)

m x n x m n x m n m n

m n x

+ + + = + + +

= + +

4.6.3 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se llama trinomio cuadrado perfecto al producto que se obtiene al elevar un binomio al cuadrado. En consecuencia, factorizar un trinomio cuadrado perfecto significa obtener el binomio que multiplicado por si mismo dé como producto el trinomio cuadrado perfecto. Es decir, si ( ) 222 2 bababa ++=+ entonces ( )222 2 bababa +=++ Sea el trinomio 22 4129 yxyx +− examínese si es cuadrado perfecto. El primer termino 29x es el cuadrado de 3x , el tercer término 24y es el cuadrado de 2y , y el segundo termino 12xy− es el doble producto de 3x por 2y donde uno de estos términos es negativo. Por tanto

222 )23(4129 yxyxyx −=+−

Ejemplos 1. Factorizar el trinomio 962 ++ xx

El cuadrado de x es 2x . El cuadrado de 3 es 9 2(3) 6x x= Por tanto: 22 )3(96 +=++ xxx

2. Factorizar el trinomio 42025 2 +− xx El cuadrado de 5x es 225x .

Productos notables

49

El cuadrado de 2− es 4 xx 20)2)(5(2 −=− Por tanto: 22 )25(42025 −=+− xxx

3. Factorizar el trinomio 412 ++ xx

El cuadrado de x es 2x .

El cuadrado de 12

es 14

xx =)21)((2

Por tanto: 22 )21(

41

+=++ xxx

4.6.4 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Una diferencia de cuadrados se puede obtener a través del producto de dos binomios conjugados, es decir

))((22 bababa −+=− Luego, para factorizar una diferencia de cuadrados se obtiene dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cuadrados dada.

Ejemplos 1. Factorizar 2 29 16x y− El primer término 29x es el cuadrado de 3x término común de los dos binomios conjugados que se necesitan. El segundo término 216y− es el producto de 4y, por 4y− términos simétricos de los binomios conjugados que se requieren. Por tanto:

)43)(43(169 22 yxyxyx −+=− Otra manera de obtener los binomios conjugados: a. Se obtiene la principal raíz cuadrada(positiva) de los términos

cuadráticos: 4y 16y 39 22 =+=+ xx Los binomios conjugados se forman con la suma y la diferencia de las raíces, esto es: 3 4x y− entonces )43)(43(169 22 yxyxyx −+=− Los casos especiales de la factorización de una diferencia de cuadrados son: b. Cuando uno de los binomios conjugados es una diferencia de cuadrados

por lo que se hace necesario continuar la factorización. Así, en la factorización de 88 yx − se obtiene:

Productos notables

50

))()()((

))()((

))((

2244

222244

444488

yxyxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

−+++=

−++=

−+=−

c. Cuando los cuadrados son polinomios, como en 24 )( nmx −− . Considerando ( )m n− como un monomio, se factoriza de la siguiente forma:

[ ][ ]))((

)()()(22

2224

nmxnmx

nmxnmxnmx

+−−+=

−−−+=−−

d. Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados reordenando y arreglando sus términos como en el siguiente caso:

[ ][ ]

2 2 2 2 22 25 ( ) 25 ( ) 5 ) ( ) 5 ) ( 5 )( 5 )

x xy y z x y zx y z x y z

x y z x y z

+ + − = + −

= + + + −

= + + + −

e. Cuando un polinomio se expresa como una diferencia de cuadrados

mediante la técnica de sumar y restar el mismo termino. En 4224 yyxx ++ se observa que si el segundo termino fuera 222 yx se tendría un trinomio cuadrado perfecto factorizado por 222 )( yx + .Si se suma y se resta al polinomio el termino 22 yx , la igualdad subsiste, se obtiene:

4 2 2 4 4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

( )

( )( )

x x y y x x y y x y

x y x y

x y xy x y xy

+ + = + + −

= + −

= + + + −

4.6.5 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA 2x mx n+ +

Se sabe que dos binomios que tienen un término común: tales como

))(( bxax ++ da como producto abxbaxbxax +++=++ )())(( 2 si se sustituye a b+ por m y ab por n , se puede escribir

))((2 bxaxnmxx ++=++ esto significa que el trinomio nmxx ++2 se puede factorizar como el producto de dos factores, tales que: el primer término sea x , el segundo, dos números cuya suma algebraica sea m y cuyo producto resulte n .

Productos notables

51

1. Factorizar la expresión 1582 ++ xx El producto +15 indica que los factores tienen el mismo signo y como la suma es +8, entonces los números son positivos. Los factores de 15 son (15)(1), y (3)(5). Los últimos son los términos solicitados, porque la suma es 3+5=8 Por tanto: )5)(3(1582 ++=++ xxxx

2. Factorizar la expresión 1582 +− xx Como el producto es positivo, entonces los factores tienen el mismo signo. Para que la suma sea negativa, los dos deben ser negativos. Factores de 15 son ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )15 1 , 15 1 , 3 5 3 5y− − − − . Los factores de +15 deben sumar 8− , : 3 y 5los cuales son − − . Por tanto: )5)(3(1582 −−=+− xxxx

3. Factorizar la expresión 1032 −+ xx El producto es negativo, por tanto los factores tienen signo diferente. Los factores de 10− que sumados den +3 son +5 y 2− . Por tanto:

)3)(5(1032 −+=−+ xxxx

4. Factorizar la expresión 1032 −− xx El producto es negativo, por tanto los factores tienen diferente signo. Los factores de 10− que sumados den 3− son 5− y +2. Por tanto:

)2)(5(1032 +−=−− xxxx

4.6.6 FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA 2ax bx c+ +

La forma general del trinomio de segundo grado es 2ax bx c+ + . Para factorizar esta expresión se recurre a dos tipos de procedimiento. a. Primero: consiste en ensayar con diferentes pares de binomios, lo cual a

veces resulta laborioso al comparar el resultado de la multiplicación de los factores binomiales.

Ejemplos 1. Factorizar la expresión .384 2 ++ xx

El procedimiento consiste en determinar dos números cuyo producto sea 12 y cuya suma sea 8 . Como el producto y la suma son positivos, entonces los dos números solicitados son positivos. Los factores de 12 son 1, 2 3 4 6 12+ + + + + + . Los únicos factores cuya suma es 8 son 6 y 2. Con estos números, el polinomio se puede escribir como:

Productos notables

52

( )( )( )( )

2 2

2

2

4 8 3 4 6 2 3

(4 6 ) (2 3) 2 (2 3) (2 3)

2 3 2 1

4 8 3 2 3 2 1

x x x x x

x x xx x xx x

x x x x

+ + = + + +

= + + += + + +

= + +

+ + = + +

Comprobación: 2 2(2 3)(2 1) 4 2 6 3 4 8 3x x x x x x x+ + = + + + = + +

2. Factorizar la expresión .456 2 −+ xx Determinando dos números cuyo producto sea 24− y cuya suma sea +5. El que su producto sea negativo, significa que sus factores tienen signo diferente y para que la suma sea positiva se requiere que el factor con mayor valor absoluto sea positivo.

Los factores de 24− son 1, 2 3, 4, 6, 8 12, 24± ± ± ± ± ± ± ± . Los únicos factores cuya suma es +5 son 8 y 3− . Con estos números, el polinomio se puede escribir, como:

( )( )

2 2

2

6 5 4 6 8 3 4

(6 8 ) (3 4) 2 (3 4) (3 4)

3 4 2 1

x x x x x

x x xx x x

x x

+ − = + − −

= + − += + − +

= + −

2 2(3 4)(2 1) 6 3 8 4 6 5 4x x x x x x x+ − = − + − = + − b) Segundo. Este procedimiento consiste en multiplicar por la unidad 1=

aa

toda la expresión y transformarla a la forma 2x mx n+ +

1. Factorizar la expresión .456 2 −+ xx Se observa que no es factorizable directamente debido a que el segundo término no es factor lineal correspondiente al término cuadrático, por lo cual se multiplicará y dividirá por: 1

66

=

Iniciando el procedimiento para convertirla a la forma 2x mx n+ + , se tiene: ( ) ( )26 5 6 24 (6 8)(6 3)

6 6x x x x+ − + −

=

utilizando los factores de 6 (usando los factores 2 y 3), queda:

( ) ( )( )(6 8)(6 3) 2(3 4) 3(2 1) 3 4 2 12 3 2 3

x x x x x x+ − + −= = + −

)12)(43(456 2 −+=−+ xxxx

Productos notables

53

2. Factorizar La expresión .112 2 −− xx Multiplicando y dividiendo por 12, queda:

22 (12 ) (12 ) 1212 1

12x xx x − −

− − =

3. Obtener dos números cuya suma sea 1− y su producto sea 12− .

2 (12 4)(12 3)12 112

12 4 12 3 4 3

3 1 4 14 34 3

(3 1)(4 1)

x xx x

x x

x x

x x

− +− − =

− + =

− + =

= − +

4.7 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es toda expresión de la forma ) ( bentrea

ba en que a o

b o ambas son expresiones literales. Por ejemplo; .3

, ,5 yxnmnm

a+

−+

La simplificación de fracciones algebraicas comprende las siguientes transformaciones: a. Simplificación de fracciones. b. Reducción de fracciones a un común denominador. c. Reducción de fracciones a forma mixta y viceversa.

4.7.1 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

El valor de una fracción no se altera, si tanto el numerador como el denominador se multiplica o se divide por el mismo factor. Por ejemplo:

babababa

baba

bnan

nbna

ba

−=

−++

=−

+

=⋅⋅

=

1))((22

Las fracciones así obtenidas reciben el nombre de equivalentes porque representan el mismo valor. Una fracción se reduce a su más simple expresión cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, esto se logra dividiéndolos entre sus factores comunes o bien entre su máximo común divisor (m.c.d).

Productos notables

54

Si la reducción se hace por factorización, los factores comunes se van cancelando hasta que el numerador y el denominador de la fracción sean primos entre sí. A este proceso se le llama “simplificación”.

Simplificar 2 3 4

4 3 28

12a b ca b c

Expresando el numerador y el denominador de la fracción en sus factores comunes, se tiene:

2322

2232

4342

cbaaccba

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

Cancelando los términos comunes, queda como resultado:2

2

32ac

4.7.2 REDUCCIÓN DE FRACCIONES A UN COMÚN DENOMINADOR

Dos o más fracciones tienen un común denominador cuando éste, es el mismo para todas ellas. Así:

mr

mq

mp − , ,

Tienen a m como común denominador. El menor común denominador de dos o más fracciones es el común denominador de menor grado posible. Las fracciones:

2 2 2

2 2 2 2( ) 3 2 x y x xy yyx y x y

+ + +− −

tienen como común denominador )( 22 yx − que no es el menor, ya que las dos fracciones se pueden simplificar en las fracciones equivalentes:

yxyxy

yxyx

−+

−+ 2

Por lo que x y− es el menor común denominador. Cuando dos o más fracciones están simplificadas y se quiere determinar el menor común denominador, se hace necesario multiplicar al numerador y denominador de cada una de ellas por una misma cantidad. Dicha cantidad debe ser múltiplo común de los denominadores primitivos de las fracciones, esto significa que el menor común denominador de varias fracciones es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de las fracciones. Así, para reducir:

yx

sr

qp ,,

Al menor común denominador, se multiplica el numerador y denominador de la primera por sy , de la segunda por qy y de la tercera por qs , con lo cual se transforma en:

Productos notables

55

yqsxqs

sqyrqy

qsypsy ,,

Donde el numerador y el denominador de cada fracción original se ha multiplicado por el producto de los denominadores de las demás fracciones. Antes de obtener el menor común denominador de varias fracciones es conveniente que primero se simplifiquen. Así, en:

2222 32

23 yxyxxy

yxyxyx

++++

−

los denominadores se pueden escribir:

)2)((32

)2)((2322

22

yxyxyxyx

yxyxyxyx

++=++

++=++

por lo que el denominador común es: )2)(2)(( yxyxyx +++

entonces el numerador y el denominador de la primera fracción se debe multiplicar por ( )2x y+ y en la segunda por ( )2x y+ con lo cual las fracciones nos quedan de la siguiente forma:

)2)(2)(()2(

)2)((

)2)(2)(()2)((

23 22

yxyxyxyxx

yxyxx

yxyxyxyxyx

yxyxyx

++++

=++

++++−

=++

−

Si se trata de dos fracciones simplificadas con diferente denominador el menor común denominador es el producto de sus denominadores.

4.7.3 REDUCCIÓN DE FRACCIONES A FORMA MIXTA Y VICEVERSA

Se llama expresión mixta a la suma algebraica de una expresión entera y una fraccionaria. Por ejemplo:

qpnmxy

nmx

−−

++

Este tipo de fracciones se obtienen a partir de divisiones en que el dividendo no es múltiplo del divisor, es decir, queda un residuo, por lo que el resultado es de forma mixta.

Ejemplo

1. Reducir a forma mixta la fracción 43

5186 2

−+−

xxx

Productos notables

56

La división da como cociente 32 −x y un residuo 7−−x por lo que el resultado es:

43732

−−−

+−xxx

o bien

43732

−+

−−xxx

donde la última expresión es la común. El procedimiento inverso para transformar una expresión mixta en fraccionaria consiste en multiplicar el denominador de la fracción por la parte entera, después se suma algebraicamente el producto obtenido con el numerador de la fracción y a esta suma se le agrega como denominador el de la fracción.

Ejemplo

1. Reducir 22ax xa x

a x−

+ −+

2 2

2 2 2

2 2

2 ( )( ) (2 )

2 2

2

ax x a x a x ax xa xa x a x

a ax x ax xa x

a xa x

− + + − −+ − =

+ ++ + − +

=+

+=

+

4.7.4 FRACCIONES RACIONALES PROPIAS EXPRESADAS EN FRACCIONES

PARCIALES SIMPLES

Considerando el problema para determinar la suma de dos o más fracciones algebraicas simples. Por ejemplo:

( )( )3

2 2 2

2 4 4 2 10 2 41 1 1 1 1

x x xx x x x x

− + ++ + =

+ − + − + (A)

Esta suma resultó ser una sola fracción cuyo denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas. Ahora, considérese el problema inverso, esto es, el de descomponer una fracción dada en una suma de fracciones sencillas que se denominan fracciones parciales. Así, en la igualdad (A), las tres fracciones del primer miembro son las fracciones parciales correspondientes a la fracción del segundo miembro. El problema de la descomposición de una fracción en fracciones parciales, se requiere para comprender algunos tópicos de cálculo integral. Recuérdese que una fracción impropia puede expresarse como la suma de un polinomio y una fracción propia. Aquí, sólo se considerará la descomposición de fracciones propias simplificadas. Además, estas fracciones tendrán como numerador y denominador polinomios con coeficientes reales. Debido a que los denominadores de las fracciones parciales que se van a determinar son

Productos notables

57

factores del denominador de la fracción dada, entonces, este denominador debe tener factores lineales o cuadráticos irreducibles con coeficientes reales.

4.7.4.1 TEOREMA FUNDAMENTAL EN LA DESCOMPOSICIÓN DE UNA FRACCIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

TEOREMA: Cualquier fracción propia, reducida a su mínima expresión, puede expresarse como una suma de fracciones parciales de los siguientes tipos:

1. A cada factor lineal ax b+ que aparezca una sola vez como factor del

denominador, corresponde una fracción parcial de la forma Aax b+

, en

donde 0A ≠ . 2. A cada factor lineal ax b+ que aparezca k veces como factor del

denominador, corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma:

( ) ( )1 2

2k

kAA A

ax b ax b ax b+ + +

+ + +

Donde 1 2, , , kA A A son constantes y 0kA ≠ . 3. A cada factor cuadrático 2ax bx c+ + (irreducible en el campo de los

números reales) que aparezca una sola vez como factor del denominador,

corresponde una fracción parcial de la forma 2

Ax Bax bx c

++ +

, donde yA B

son constantes no simultáneamente nulas. 4. A cada factor cuadrático 2ax bx c+ + (irreducible en el campo de los

números reales) que aparezca k veces como factor del denominador, corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma:

( ) ( )1 1 2 2

22 2 2

k kk

A x BA x B A x Bax bx c ax bx c ax bx c

++ ++ + +

+ + + + + +

Donde 1 1 2 2, , , , , , ,k kA B A B A B son constantes y yk kA B no son simultáneamente nulas.

Nota:

a. Si una fracción dada es impropia, primero debe expresarse como la suma de un polinomio y una fracción propia, luego, aplicándose el teorema a la fracción propia.

b. Los tipos de fracciones mencionados en el teorema se llaman fracciones parciales simples.

Productos notables

58

c. En las fracciones parciales de la forma 2

3 2

Ax Bx Cax bx cx d

+ ++ + +

. El denominador

cúbico puede expresarse como producto de tres factores lineales o como producto de un factor lineal por un factor cuadrático. Entonces, la fracción mencionada puede expresarse como la suma de dos o tres fracciones simples.

4.7.4.2 FACTORES LINEALES DISTINTOS Ahora, se van a considerar las fracciones parciales de tipo 1 del Teorema inmediato anterior.

Ejemplo

Descomponer ( )( )

3 62 4x

x x+

− + en fracciones parciales simples.

Como los factores del denominador son todos lineales y diferentes, se puede escribir la identidad:

( )( )3 62 4 2 4x A B

x x x x+

= +− + − +

(1)

Donde yA B son constantes que deben determinarse. La identidad (1) es válida para todos los valores de x exceptuando 2 y 4− , ya que para cada uno de estos valores el denominador se anula. Simplificando denominadores de (1) y realizando operaciones, se obtiene:

( )( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

3 6 2 4 2 4 2 42 4 2 4

x x x A x x B x xx x x x

+ − + − + − += +

− + − +

( )3 6 4 2x A B x A B+ = + + − (2) Para determinar las constantes yA B , se igualan los coeficientes de la variable x , luego se repite el procedimiento con las constantes para formar un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, posteriormente, se procede a resolverse por los métodos ya trabajados en este material.

( )( )

3

4 2 6

A B a

A B b

+ =

− =:

De la ecuación ( )a , se tiene:

Sustituyendo en la ecuación ( )b , queda:

( )4 3 2 6B B− − = 12 4 2 6B B− − =

12 6 6B− =

Productos notables

59

12 12 6 6 12B− − = − 6 6B− = −

66

1

B

B

−=

−=

Calculando el valor de A 33 12

A BAA

= −= −=

Sustituyendo valores en (1), queda:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 6 2 12 4 2 4 2 4x A B

x x x x x x+

= + = +− + − + − +

4.7.4.3 FACTORES LINEALES REPETIDOS

Considérense las fracciones parciales de tipo 2 del Teorema inmediato anterior.

Ejemplos

1. Descomponer la fracción ( )23 1

1x

x−

+ en sus fracciones parciales simples.

Como los factores del denominador son lineales y se repiten, se puede escribir la siguiente identidad, como:

( ) ( )2 23 1

11 1x A B

xx x−

= +++ +

(1)

Simplificando denominadores de (1) y realizando operaciones, se obtiene la identidad:

( )( )( )( )

( ) ( )( )

2 2 2

2 2

1 3 1 1 111 1

x x A x B xxx x

+ − + += +

++ +

( )3 1 1x A x B Ax A B− = + + = + + (2) De igual forma se procede a formar el sistema de ecuaciones y se aplican los métodos ya trabajados. Igualando los coeficientes de potencias correspondientes de x , se obtiene:

31

AA B

=+ = −

Determinando el valor de ;

3 13 3 1 3

4

BB

B

+ = −− + = − −= −

Productos notables

60


( ) ( ) ( )2 2 23 1 3 4

1 11 1 1x A B

x xx x x−

= + = −+ ++ + +

2. Descomponer en fracciones parciales simples la expresión:

( )( )( )

23 5 522 3 5x x

x x x− −

+ − +

La fracción debe tomar la forma:

( )( )( ) ( ) ( ) ( )23 5 52

2 3 5 2 3 5x x A B C

x x x x x x− −

= + ++ − + + − +

(1)

Simplificando denominadores de (1) y realizando operaciones, queda la identidad: ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )

23 5 52 2 3 5 2 3 52 3 5 2

2 3 5 2 3 53 5

x x x x x A x x xx x x x

B x x x C x x xx x

− − + − + + − += +

+ − + +

+ − + + − ++ +

− +

( )( ) ( )( ) ( )( )23 5 52 3 5 2 5 2 3x x A x x B x x C x x− − = − + + + + + + − (2) Haciendo operaciones en el segundo miembro de (2), se obtiene el polinomio de x :

( ) ( ) ( )2 2 2 23 5 52 5 3 15 5 2 10 3 2 6x x A x x x B x x x C x x x− − = + − − + + + + + − + −

( ) ( ) ( )2 2 2 23 5 52 2 15 7 10 6x x A x x B x x C x x− − = + − + + + + − − 2 2 2 23 5 52 2 15 7 10 6x x Ax Ax A Bx Bx B Cx Cx C− − = + − + + + + − −

( ) ( )2 23 5 52 2 7 15 10 6x x A B C x A B C x A B C− − = + + + + − − + − (3) Igualando los coeficientes de potencias correspondientes de x :

( )3 ( )

2 7 515 10 6 52 ( )

A B C aA B C b

A B C c

+ + =

+ − = −

− + − = −

De la ecuación (a) se obtiene: 3 ( )A B C d= − −

Sustituyendo (d) en (b), queda: ( )2 3 7 5

6 2 2 7 5B C B C

B C B C− − + − = −

− − + − = −

5 3 11B C− = − (e)

Productos notables

61

Sustituyendo (d) en la ecuación (c), se obtiene: ( )15 3 10 6 52

45 15 15 10 6 52B C B CB C B C

− − − + − = −

− + + + − = −

25 9 7 ( )B C f+ = − De la ecuación (e) se obtiene:

11 3 ( )5

CB g− +=

Sustituyendo ecuación (g) en la ecuación (f) se obtiene:

( )

11 325 9 75

5 11 3 9 755 15 9 7

24 4848 224

C C

C CC C

C

C

− + + = − − + + = −

− + + = −=

= =

Sustituyendo este valor en la ecuación (g), se obtiene: 11 3(2) 11 6 5

5 5 51

B

B

− + − + −= = = =

= −

Sustituyendo los valores 1B = − y 2C = en la ecuación (d) se obtiene: 3 3 ( 1) 2 3 1 22

A B CA

= − − = − − − = + −=


( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 5 52 2 1 2

2 3 5 2 3 5 2 3 5x x A B C

x x x x x x x x x− −

= + + = − ++ − + + − + + − +

4.7.4.4 FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS

Considerando fracciones de tipo 3 del Teorema inmediato anterior.

Ejemplos 1. Descomponer en fracciones parciales simples la expresión:

( )( )2

2

3 4 51 1

x xx x

− +− +

Ambos factores del denominador de la fracción son irreducibles en el campo de los números reales, entonces la descomposición es de la forma:

( )( )2

22

3 4 51 11 1

x x A Bx Cx xx x

− + += +

− +− + (1)

Productos notables

62

Simplificando denominadores de (1) y efectuando operaciones, se obtiene: ( )( )( )

( )( )( )( ) ( )( )( )2 2 2 2

22

3 4 5 1 1 1 1 1 11 11 1

x x x x A x x Bx C x xx xx x

− + − + − + + − += +

− +− +

( ) ( )( )2 23 4 5 1 1x x A x Bx C x− + = + + + − (2) Efectuando operaciones en el segundo miembro de (2) queda:

( ) ( )

2 2 2

2 2

3 4 53 4 5

x x Ax A Bx Bx Cx Cx x A B x B C A C

− + = + + − + −

− + = + + − + + −

Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de x , se obtiene:

( )3 ( )

45 ( )

A B aB C b

A C c

+ =

− + = −

− =

De la ecuación (a), se tiene: ( )3A B d= −

Sustituyendo (d) en la ecuación (c): 3 5

5 3B C

B C− − =

− − = −

2 ( )B C e− − = De la ecuación (b), se tiene:

4 ( )C B f= − + Sustituyendo (f) en la ecuación (e):

( 4 ) 24 2

2 4 22 2

2 12

B BB BBB

B

− − − + =− + − =− = − +− = −

−= =

−

Calculando el valor de : 44 13

C BCC

= − += − += −

Determinando el valor de : 33 12

A BAA

= −= −=

Productos notables

63


( )( )( ) ( )2

2 2 22

1 33 4 5 2 2 31 1 1 1 1 11 1

xx x A Bx C xx x x x x xx x

+ −− + + −= + = + = +

− + − + − +− + 2. Descomponer en fracciones parciales simples la expresión:

2

4 2

2 35 6

x xx x

+ ++ +

Factorizando el denominador se obtiene:

( )( ) ( ) ( )2 2

4 2 2 2 2 2

2 3 2 35 6 2 3 2 3

x x x x Ax B Cx Dx x x x x x

+ + + + + += + +

+ + + + + + (1)

Simplificando denominadores de (1) y haciendo operaciones, se obtiene: ( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

( )2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2

2 3 2 3 2 3 2 35 6 2 3

x x x x Ax B x x Cx D x xx x x x

+ + + + + + + + + += +

+ + + +

( )( ) ( )( )2 2 22 3 3 2x x Ax B x Cx D x+ + = + + + + + (2) Efectuando operaciones en el segundo miembro de (2), se obtiene:

2 3 2 3 22 3 3 3 2 2x x Ax Ax Bx B Cx Cx Dx D+ + = + + + + + + + ( ) ( ) ( )2 3 22 3 3 2 3 2x x A C x B D x A C x B D+ + = + + + + + + +

Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de x en la ecuación (3), queda:

( )0 ( )2

3 2 1 ( )3 2 3 ( )

A C aB D b

A C cB D d

+ =

+ =

+ =+ =

De la ecuación (a), se obtiene: ( )A C e= − Sustituyendo (e) en la ecuación (c), queda:

( )3 2 13 2 1

3 2 11 1

A CC C

C CC C

+ =

− + =

− + =− = → = −

Calculando el valor de :

( 1) 1

A CA A

= −= − − → =

De la ecuación (b), se obtiene: 2 ( )B D f= −

Sustituyendo (f) en la ecuación (d), se obtiene:

Productos notables

64

( )3 2 2 36 3 2 36 3

3 63 3

D DD D

DDD D

− + =

− + =− =

− = −− = − → =

Calculando el valor de :

22 3

1

B DBB

= −= −= −


( ) ( ) ( ) ( )2

4 2 2 2 2 2

2 3 1 35 6 2 3 2 3

x x Ax B Cx D x xx x x x x x

+ + + + − − += + = +

+ + + + + +


( ) ( )( )22

44 1

F ss s s

=+ +

( )( ) ( )2 2 22

41 44 1 1

A B C Ds Es s ss s s s

+= + + +

+ ++ + + (1)

simplificando denominadores de (1) y efectuando operaciones, se obtiene: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )22 2 2 24 4 2 1 4 1 4 1As A s s Bs s s Cs s s Ds E s= + + + + + + + + + + +

4 3 2 2 4 3 2 3

4 3 2 3 2

4 2 4 8 4 4 4 42 2

As As As As As A Bs Bs Bs Bs Cs CsDs Ds Ds Es Es Es

= + + + + + + + + + + +

+ + + + + +

( ) ( ) ( )( )

4 3 24 2 2 5 4 2

8 4 4 4

A B D s A B C D E s A B D E s

A B C E s A

= + + + + + + + + + + + +

+ + + + +

Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de s , queda: 0 ( )

2 2 0 ( )5 4 2 0 ( )8 4 4 0 ( )4 4 ( )

A B D aA B C D E bA B D E cA B C E dA e

+ + =+ + + + =+ + + =+ + + ==

Productos notables

65

Resolviendo el sistema se tiene: 3125

28 825 2545

A D

B E

C

= =

= − = −

= −


( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 22

2 2 22

28 4 3 284 1 25 5 25 25

1 44 1 1

28 4 3 284 1 25 5 25 25

1 44 1 1

s

s s ss s s s

s

s s ss s s s

− − −= + + +

+ ++ + +

−= − − +

+ ++ + +


( ) ( )( )2

2 2

2 32 5 2 2

s sF ss s s s

+ +=

+ + + +

( )( ) ( ) ( )

2

2 2 2 2

2 32 5 2 2 2 5 2 2

s s As B Cs Ds s s s s s s s

+ + + += +

+ + + + + + + + (1)

Simplificando denominadores de (1) y efectuando operaciones, queda: ( )( ) ( )( )2 2 22 3 2 2 2 5s s As B s s Cs D s s+ + = + + + + + + +

2 3 2 2 3 2 22 3 2 2 2 2 2 5 2 5s s As As As Bs Bs B Cs Cs Cs Ds Ds D+ + = + + + + + + + + + + +

( ) ( ) ( )2 3 22 3 2 2 2 2 5 2 2 5s s A C s A B C D s A B C D s B D+ + = + + + + + + + + + + + Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de s , queda:

0 ( )2 2 1 ( )2 2 5 2 2 ( )2 5 3 ( )

A C aA B C D bA B C D cB D d

+ =+ + + =+ + + =+ =

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene:

2 10; ; 03 3

A B C y D= = = =

Productos notables

66


( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 1(0) 02 3 3 32 5 2 2 2 5 2 2

2 3 2 12 5 2 2 3 2 5 3 2 2

s ss ss s s s s s s s

s ss s s s s s s s

+ ++ += +

+ + + + + + + +

+ += +

+ + + + + + + +

4.7.4.5 FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS

Considerando las fracciones tipo 4 del Teorema inmediato anterior.

Ejemplos 1. Descomponer en fracciones parciales simples la expresión:

( )3 2

22

2 3

1

x x x

x x

+ +

+ +

El denominador contiene factores cuadráticos repetidos, entonces se tiene:

( ) ( )3 2

2 222 2

2 311 1

x x x Ax B Cx Dx xx x x x

+ + + += +

+ ++ + + + (1)

Simplificando denominadores de (1), se obtiene: ( )( )3 2 22 3 1x x x Ax B x x Cx D+ + = + + + + + (2)

Efectuando operaciones, queda: 3 2 3 2 22 3x x x Ax Ax Ax Bx Bx B Cx D+ + = + + + + + + +

( ) ( )3 2 3 22 3x x x Ax A B x A B C x B D+ + = + + + + + + + (3) Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de x , en la ecuación (3), se obtiene:

1 ( )2 ( )

3 ( )0 ( )

A aA B bA B C cB D d

=+ =+ + =+ =

Sustituyendo la ecuación (a) en (b), queda: 1 2; 1B B+ = = Sustituyendo (a), (b) en (c), se tiene: 1 1 3; 1C C+ + = = Sustituyendo (b) en (d), queda: 1 0; 1D D+ = = −

Productos notables

67

Sustituyendo en (1), queda:

( )( ) ( ) ( )

( )3 2

2 222 2

1 1 1 12 311 1

x xx x xx xx x x x

+ + −+ += +

+ ++ + + +

( ) ( )3 2

2 222 2

2 3 1 111 1

x x x x xx xx x x x

+ + + −= +

+ ++ + + +

2. Descomponer en fracciones parciales la expresión:

( )5 4 3 2

23 2

5 13 19 22 11 4x x x x x

x x x

− + − + −

− +

El denominador contiene factores lineales y factores cuadráticos repetidos, entonces, la descomposición es:

( ) ( )5 4 3 2

2 22 23 2 2

5 13 19 22 11 41 1

x x x x x A B Cx D Ex Fx x x xx x x x x

− + − + − + += + + +

− +− + − + (1)

Simplificando denominadores de (1), se obtiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 25 4 3 2 2 2

2 2 2

5 13 19 22 11 4 1 1

1

x x x x x Ax x x B x x

Cx D x x x Ex F x

− + − + − = − + + − + +

+ + − + + + (2)

Efectuando operaciones, se obtiene:

( ) ( )( )( ) ( )

5 4 3 2 5 4

3

2

5 13 19 22 11 4 2

3 2

2 3 2

x x x x x A C x A B C D x

A B C D E x

A B D F x A B x B

− + − + − = + + − + − + +

+ − + − + +

+ − + + + + − +

(3)

Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de x , en la ecuación (3), se obtiene:

5 ( )2 13 ( )

3 2 19 ( )2 3 22 ( )

2 11 ( )4 ( )

A C aA B C D b

A B C D E cA B D F d

A B eB f

+ =− + − + = −

− + − + =− + + + = −

− == −

Productos notables

68

Resolviendo el sistema se obtiene: 3; 4; 2

1; 1; 3A B CD E F

= = − == − = − = −


( )( ) ( ) ( ) ( )

( )5 4 3 2

2 22 23 2 2

4 2 1 1 35 13 19 22 11 4 31 1

x xx x x x xx x x xx x x x x

− + − − + −− + − + −= + + +

− +− + − +

( ) ( )5 4 3 2

2 22 23 2 2

5 13 19 22 11 4 3 4 2 1 31 1

x x x x x x xx x x xx x x x x

− + − + − − += − + −

− +− + − +

Ecuaciones y desigualdades lineales

69

5 ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES

5.1 ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA La ecuación es una igualdad que se verifica para un determinado valor de la variable o variables desconocidas que reciben el nombre de incógnitas.

Ejemplos 1. 3 8x + = es una igualdad que sólo es cierta cuando x es igual a 5 ; por tanto

3 8x + = es una ecuación en la que la variable x recibe el nombre de incógnita, cuyo valor 5 es la raíz o solución de la ecuación.

2. 2 3 15y + = es una igualdad que sólo es cierto cuando y es igual a 6 ; por

tanto 2 3 15y + = es una ecuación, la variable o incógnita es y , y la raíz o solución de la ecuación es 6 .

Toda ecuación consta de dos miembros, el primero está formado por todos los términos escritos antes del signo igual y el segundo está compuesto por todos los términos escritos después del signo igual.

3. En la ecuación : 12365 +=+ yy 65 +y es el primer miembro y 123 +y es el segundo miembro

5.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Una ecuación lineal con una incógnita, también llamada ecuación de primer grado con una incógnita es aquella que una vez simplificada sólo contiene una incógnita cuyo exponente es la unidad. Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se hace uso de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva de la igualdad. PROPIEDADES:

1. Propiedad de IDENTIDAD o REFLEXIVA. Todo número es igual a sí mismo.

2. Propiedad SIMÉTRICA. Si un número es igual a otro, éste es igual al primero. O bien; Los miembros de una igualdad pueden permutar sus lugares.

3. Propiedad TRANSITIVA.


70

Si un número es igual a otro y éste a su vez es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero. O bien; Si dos igualdades tienen un miembro común, los otros dos miembros son iguales.

Criterio general para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita: Toda igualdad se conserva siempre que se realice la misma y con los mismos números en ambos miembros de la misma, con excepción de la división entre cero que carece de sentido.

Ejemplos Calcular el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones:

1. 4 3x + = 4344 −=−+x inverso aditivo

10 −=+x idéntico aditivo 1−=x

Conjunto solución { }1−

2. 2 7 13x − = 2 7 7 13 7x − + = + distributiva

2002 =+x inverso aditivo 202 =x

220

22

=x inverso multiplicativo

10=x Conjunto solución { }10

3. 6 6 4 165 5

z z− +=

6 6 4 16z z− = + 61646 +=− zz

222 =z 11

222

==z

Conjunto solución { }11 .

4. Calcular el conjunto solución de la siguiente ecuación literal: tPA Pr+= para la variable t. AtP =+ Pr Propiedad a=b ↔ b=a

PrP P t A P− + = − inverso aditivo PAt −=+ Pr0 idéntico aditivo

PAt −=Pr


71

PrPrPr PAt −

= inverso multiplicativo

PrPAt −

=

Conjunto solución Pr

A Pt t − =

5.3 ALGUNAS APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Una de las aplicaciones importantes del álgebra es la descripción matemática de situaciones concretas de la vida cotidiana utilizando expresiones algebraicas como modelos para representar el hecho o fenómeno de estudio.

Ejemplos 1. El largo de un terreno de forma rectangular mide el doble de su ancho más

tres metros. Si el perímetro mide 5010 m, determinar las dimensiones del terreno.

Planteamiento Los lados opuestos del rectángulo son iguales y el perímetro de la figura se obtiene sumando la medida de sus cuatro lados. Si x representa el ancho del rectángulo entonces el largo se expresa por 32 +x .

Figura 12

Por tanto: 5010)32()32( =+++++ xxxx o bien 501066 =+x

Esta última expresión es el modelo matemático que describe el problema.

2. Para escribir a máquina un informe de investigación se distribuyó el trabajo a tres mecanógrafas (A, B y C). A escribió x cuartillas, B escribió el triple 3x y C escribió 6 cuartillas más que el doble de A ( )2 6x + . Si el informe se escribió en 5010 cuartillas, ¿cuántas escribió cada mecanógrafa?

2 3x +

x


72

Planteamiento El trabajo realizado por las mecanógrafas A, B y C fué de 5010 cuartillas, es decir: A+B+C=5010 De donde 5010)62()3( =+++ xxx o bien 501066 =+x La solución del modelo matemático permite dar la respuesta a la pregunta.

3. Calcular cuatro números enteros consecutivos cuya suma aumentada en el doble del primero sea 5010.

Planteamiento Si x representa a un entero cualesquiera, entonces 1x + , 2x + y 3x + son los tres enteros consecutivos siguientes, de tal manera que:

50102)3()2()1( =+++++++ xxxxx ó 501066 =+x En los tres problemas planteados el modelo matemático que los describe es el mismo, sin embargo, los valores que toma la variable son específicos para cada problema. La mayor dificultad que se tiene para resolver un problema, consiste en el planteamiento mediante una expresión algebraica (modelo matemático).

4. Determinar tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 228. Planteamiento La forma de representar un número par es: nx 2= . El primer número par es n2 El segundo número par es ( )2 1 2 2n n+ = +

El tercer número par es ( )2 2 2 4n n+ = + La ecuación que satisface al problema es: 2 2 2 2 4 228n n n+ + + + =

5. Obtener tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea 135. Planteamiento Un número x es impar si y sólo si se puede expresar de la forma 12 += nx . Su primer consecutivo es 2+x es 32 +n Su segundo consecutivo 4+x es 52 +n Entonces, la ecuación que proporciona la solución del problema es:

135)52()32()12( =+++++ nnn obien 13596 =+n 6. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro, la de Juan el triple de la de

Enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años. ¿Qué edad tiene cada uno?


73

Planteamiento Sea x la edad de Enrique 2x la edad de Pedro 3x la edad de Juan ( )2 2x la edad de Eugenio La ecuación que proporciona la solución es:

132632 =+++ xxxx

7. Determinar tres números consecutivos tales que: si el menor se divide entre 20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41, la suma de los cocientes es 9

Planteamiento Sean , 1, 2x x x+ + , los números consecutivos, entonces:

20x : el menor se divide entre 20.

271+x : el mediano se divide entre 27

412+x : el mayor se divide entre 41

Una ecuación que proporciona la solución es el modelo matemático 9

412

271

20=

++

++

xxx

5.4 DESIGUALDAD LINEAL CON UNA INCÓGNITA

Una desigualdad expresa que una cantidad real o una expresión, es mayor o menor que otra. Desigualdad absoluta: es aquella que es cierta para todos los valores reales de las variables que intervienen en ella. Véase a ( )2 1x y− > − es cierta para todos los valores de x e y , pues el cuadrado de todo número real es un numero positivo o cero. Desigualdad condicional: es aquella que solo es cierta para determinados valores de las variables. Se tiene a 5 3x − > solo es cierta para x mayor que 8 . Una desigualdad lineal con una incógnita, es aquella en la que el mayor grado de su única incógnita es uno.


74

5.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CON UNA INCÓGNITA La resolución de una desigualdad lineal con una incógnita es semejante a la resolución de una ecuación lineal con una incógnita, solo que ahora, en lugar de utilizar las propiedades de la igualdad, se utilizan los postulados de orden y algunos teoremas basados en ellos.

1. Sumar un número cualquiera a ambos miembros de una desigualdad, se obtiene una desigualdad equivalente.

x y< ⇒ x z y z+ < + sumando z a ambos miembros

y x y>

⇒ x z y z+ < + sumando z a ambos miembros

2. Multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número indeterminado, también da una desigualdad equivalente.

Si 0z > x y< ↔ xz yz< x y> ↔ xz yz> Si 0z < x y< ↔ xz yz> x y> ↔ xz yz< Nota: al multiplicar a ambos miembros de la desigualdad por un número negativo se invierte el orden de la misma, es decir, cambia un < por un > y viceversa. 1. Resolver 2 7 5 8x x+ < −

2 5 7 5 5 8x x x x− + < − − Inverso aditivo (simplificando 5x del 2° miembro) 3 7 0 8x− + < − Idéntico aditivo (Existencia del elemento identidad

en 2° miembro) 3 7 7 8 7x− + − < − − Inverso aditivo (simplificando +7 del 1° miembro)

3 0 15x− + < − Idéntico aditivo (Existencia del elemento identidad en 1° miembro) 3 15x− < − Simplificando

1 13 153 3

x − < −

Inverso multiplicativo (simplificando 3 del 1°

miembro) 5x− < − Simplificando

( )( ) ( )( )1 1 5x− − < − − Multiplicando ambos miembros por ( )1− , queda:


75

5x > se invierte el orden Conjunto solución { }5x x∈ > 2. Resolver 5 1 2 6x x+ > −

5 1 2 6x x+ > − 5 2 1 2 2 6x x x x− + > − − Inverso aditivo (simplificando 2x del 2° miembro 3 1 0 6x + > − Idéntico aditivo (Existencia del elemento identidad en 2° miembro) 3 1 1 6 1x + − > − − Inverso aditivo (simplificando +1 del 1° miembro) 3 0 6 1x + > − − Idéntico aditivo (Existencia del elemento identidad en 1° miembro) 3 7x > − Simplificando

1 13 73 3

x > −

Inverso multiplicativo (simplificando 3 del 1°

miembro)

73

x > −

Conjunto solución 73

x x ∈ > −

3. Resolver ( )3 2 7 5x − <

6 21 5x − < 6 21 21 5 21x − + < + 6 0 26x + < 6 26x <

1 16 266 6

x <

26 136 3

x < =


x x ∈ <

4. Resolver: ( ) ( )5 2 7 2 9x x− ≤ − 10 35 16 72x x− ≤ −

10 16 35 16 16 72x x x x− − ≤ − − 6 35 0 72x− − ≤ −

6 35 35 72 35x− − + ≤ − + 6 72 35x− ≤ − + 6 37x− ≤ −


76

( ) ( )1 16 376 6

x − − ≤ − −

376

x ≥


x x ∈ ≥

5. Resolver: ( )2 7 6 10x x+ ≥ −

( ) ( )

2 14 6 102 6 14 6 6 10

4 14 104 14 14 10 144 24

1 14 244 424 64

x xx x x x

xxx

x

x

+ ≥ −− + ≥ − −

− + ≥ −− + − ≥ − −− ≥ −

− − ≥ − −

≤ =

Conjunto solución { }6x x∈ ≤

6. Resolver la desigualdad:53

203

433

≤−−− x

La desigualdad anterior es equivalente a:(por la definición de valor absoluto)

3 3 3 3 35 4 20 5

x− −− ≤ − ≤

Multiplicando por (20) toda la desigualdad 3 3 3 3 3(20) (20) (20) (20)5 4 20 5

x− −− ≤ − ≤

( ) ( ) ( )3 4 ) 5 3 3 3 3 4x− ≤ − − − ≤

12 15 15 3 12x− ≤ − − − ≤

12 15 18 12x− ≤ − − ≤

12 18 15 18 18 12 18x− + ≤ − − + ≤ +

6 15 30x≤ − ≤

Multiplicando por 151

−

( )1 1 16 15 3015 15 15

x − ≤ − − ≤ −


77

6 3015 15

x− ≥ ≥ −

Esta desigualdad es equivalente a

522 −≤≤− x


x x ∈ − ≤ ≤ −

5.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

5.6.1 EL PLANO CARTESIANO

El “sistema de coordenadas rectangulares”, llamado también “sistema de coordenadas cartesianas”, consiste en dos rectas numéricas que se intersecan perpendicularmente en un punto llamado “origen del sistema” y que se denota por “0” (cero). Las rectas perpendiculares se llaman “ejes coordenados”. El eje horizontal se le llama “eje X ”, “eje de las X ” o “eje de las abscisas”; el eje vertical se le llama “eje Y , “eje de las Y ” o “eje de las ordenadas”. Los puntos del eje X a la derecha del origen se consideran positivos y a la izquierda, negativos. Los puntos del eje Y arriba del origen son positivos y los que están abajo del origen son negativos. Los ejes X y Y dividen al plano en cuatro regiones llamadas “cuadrantes”, las cuales se numeran en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura.

Figura 13

Un punto ( ),P x y se lee: punto P de coordenadas equis ye, se localizan sobre el

eje de las X a la primera componente ( )x y sobre el eje de las ( )Y a la

segunda componente ( )y ; después se trazan líneas perpendiculares a los ejes en los puntos localizados y en donde éstas se cortan se interceptan el punto P.


78

Ejemplo Localizar los puntos ( ) ( ) ( ) ( )3,4 ; 2,5 ; 3, 2 5, 3A B C y D− − − −

Figura 14

5.6.2 GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

Una ecuación de primer grado con dos variables tiene infinitos pares de valores que la satisfacen, cada uno de los cuales se puede representar por un punto. Como los puntos resultantes están alineados, se unen mediante una recta, siendo ésta la gráfica de la ecuación dada; debido a ello reciben el nombre de ecuaciones lineales. Para obtener dicha recta basta con obtener dos puntos de ella, es decir, dos pares de valores correspondientes a ex y ; pero en la práctica conviene obtener un tercer punto para su comprobación.

Ejemplo

Representar gráficamente la ecuación 52 =+ yx . Despejando la variable dependiente, se tiene: xy 25 −= Dando valores a x se obtienen los de y . Estos pares de valores se ordenan en una tabla; cada par de valores es solución de la ecuación.

x y Puntos

2 1 A(2,1) 0 5 B(0,5) 1 3 (1,3)

Figura 15


79

5.6.3 MÉTODO GRÁFICO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

La solución del sistema de ecuaciones, es el par de coordenadas que corresponde al punto común de las dos rectas, o sea, su punto de intersección.

Ejemplo 1. Resolver gráficamente el sistema, formado por las ecuaciones

.12 ,72 −=−=+ yxyx Despejando la variable dependiente de ambas ecuaciones, queda:

x 7

2xy −

= Puntos x 2 1y x= + Puntos

1 3 ( )1,3A 1− 1− ( )1, 1D − − 3 2 ( )3,2B 0 1 ( )0,1E 5 1 ( )5,1C 1 3 ( )1,3F

Figura 16

Por tanto, la solución es: 1; 3x y= =

5.6.4 MÉTODO DE SUMA Y RESTA (ELIMINACIÓN) Consiste en realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas para obtener una sola ecuación con una variable. A este proceso se le llama eliminación y en este caso, mediante multiplicaciones adecuadas, se iguala el valor absoluto de los coeficientes de una misma variable en ambas ecuaciones y después se suman o se restan miembro a miembro para eliminar dicha variable.

12 += xy

2

7 xy −=


80

Ejemplo Resolver el sistema anterior 72 =+ yx (1) 12 −=− yx (2) Multiplicando la ecuación (1) por ( )2− y sumando el resultado con la ecuación (2), se obtiene:

2 4 14 2 1

0 5 15

x yx y

x y

− − = −− = −− = −

15 15 35 5

y −= = =

−

Sustituyendo en ecuación (1), se tiene: 7)3(2 =+x

76 =+x 7 6 1x = − =

Por tanto, la solución del sistema es: 1; 3x y= =

5.6.5 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Este método consiste en despejar a una de las variables ( x ó y ) de cualquiera de las ecuaciones y se sustituye este valor en la otra ecuación.

Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones: 72 =+ yx (1) 12 −=− yx (2) Despejando la variable x de la ecuación (1), queda:

yx 27 −= (3) Sustituyendo la ecuación (3) en (2):

1)27(2 −=−− yy 1414 −=−− yy

1415 −−=− y 15 15 35 5

y −= = =

−

Sustituyendo este resultado en ecuación (3): )3(27 −=x

7 6 1x = − = Finalmente, la solución del sistema es: 1; 3x y= =


81

5.6.6 MÉTODO DE IGUALACIÓN Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones e igualar el resultado obtenido en el despeje y posteriormente se determina el valor al reducir la igualación.

Ejemplo Resolver el sistema del ejemplo anterior:

72 =+ yx (1) 12 −=− yx (2)

Despejando la variable dependeiente de las dos ecuaciones, queda:

27 xy −

= (3)

12 += xy (4) Igualando las ecuaciones (3) y (4): 7 2 1

27 2(2 1)7 4 27 2 45 55 5

5 15

x x

x xx x

x xx

x

x

−= +

− = +− = +− = +=

=

= =

Sustituyendo este último valor en la ecuación (3) se tiene:

7 12

6 32

y

y

−=

= =

Finalmente, la solución del sistema es: 1; 3x y= =

5.6.7 MÉTODO POR DETERMINANTES

El símbolo 22

11

baba , formado por los cuatro números 2211 , , , baba ,

ordenados en una matriz de dos filas y dos columnas representa una determinante de segundo orden o determinante de orden dos. Los cuatro números anteriores se denominan elementos de la matriz o del determinante.


82

Por el Teorema de Sarrus el determinante de una matriz de segundo orden se da por el desarrollo del siguiente polinomio:

212122

11

abbababa

−=

Ejemplo

( )( ) ( )( )3 5

3 1 2 5 3 10 132 1

= − − = − − = −−

Los elementos 3 y 5 constituyen la primera fila y los elementos 2 y 1− la segunda fila. Los elementos 3 y 2 forman la primera columna y los elementos 5 y 1− la segunda columna. Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden resolver empleando el concepto de determinante de una matriz de segundo orden. El método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes se llama regla de Cramer

Ejemplo

a. Resolver el sistema: 12

72−=−

=+yxyx

Para calcular el valor de la variable x se escribe mediante el siguiente arreglo denominado regla de Cramer:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) 7 2

7 1 1 2 7 21 1 7 2 5 1 1 2 1 1 2 2 1 4 5 5 2 1

x− − − − − −− − − + −

= = = = = =− − − − − −

−

Para calcular el valor de la variable y se escribe:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

1 71 1 2 7 2 1 1 14 15 3

1 2 1 1 2 2 1 4 5 2 1

y− −− − − −

= = = = =− − − − −

−

Finalmente la solución del sistema es: 1; 3x y= = La ventaja de este método es su simplicidad para la resolución de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables. La resolución de un determinante de tercer orden por definición viene dado por el desarrollo del polinomio.


83

1 1 1

2 2 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3

3 3 3

a b ca b c a b c a b c a b c a b c a b c a b ca b c

= + + − − −

El cual puede hacerse por el Teorema de Sarrus. a. Agregando los dos primeros renglones de coeficientes

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

a b ca b ca b ca b ca b c

Arreglar la matriz

b. Agregando las dos primeras columnas de coeficientes

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

a b c a ba b c a ba b c a b

c. Resolver el sistema

2 3

3 42 6

x y zx y z

x y z

+ − = −+ + =

− + =

El determinante de coeficientes del sistema, es:

1 2 13 1 1

2 3 2 1 1 12 31 1 21 2 13 1 1

−

∆ = = + + + + − = −−−

+ + +

− − −

+ + +

− − −


84

Por Cramer, se tiene 3 2 1

4 1 16 1 23 2 1

4 1 1 6 4 12 6 3 16 3 13 3

x

− −

−− −

− + + + − − −= = = =

∆ − −

1 3 13 4 11 6 21 3 13 4 1 8 18 3 4 6 18 3 1

3 3y

− −

− −

− − + − += = = = −

∆ − −

1 2 33 1 41 1 61 2 33 1 4 6 9 8 3 4 36 6 2

3 3z

−

−−

+ + + + − −= = = =

∆ − −

5.6.8 ALGUNAS APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Planteamiento de algunos problemas de matematicas que se resuelven a través de un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplos 1. La suma de dos números es 50 y su diferencia es 14. ¿Cuáles son estos

números? Planteamiento del problema Datos Suma de los números es 50 Diferencia de los dos números es 14 Incógnitas Número mayor Número menor


85

Representación algebraica Número mayor x Número menor y Suma de los números x y+ Diferencia de los números x y− Sistema de ecuaciones:

50x y+ = 14x y− =

2. En un corral hay 15 animales entre gallinas y conejos. La suma de sus

patas es 44, ¿cuántas gallinas y conejos son? Planteamiento del problema Datos: Número de gallinas+ número de conejos=15 Número de patas de gallinas+número de patas de conejo=44 Incógnitas: Número de gallinas Número de conejos Representación algebraica: Número de gallinas x Número de conejos y Número de patas de gallina 2x Número de patas de conejo 4y Sistema de ecuaciones:

152 4 44x y

x y+ =

+ =

5.7 ECUACIONES CUADRÁTICAS

5.7.1 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Una ecuación de segundo grado es aquella en la que el mayor grado de su única incógnita es dos. Una ecuación de este tipo se expresa por:

2 0; 0ax bx c a+ + = ≠ , donde a , b y c son los coeficientes conocidos y x la incógnita a despejar; 2ax es el término cuadrático, bx es el término lineal y c es el término independiente o constante.


86

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es incompleta si le falta el término lineal ( 02 =+ cax ) o el término independiente ( 02 =+ bxax ).

5.7.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS Al resolver una ecuación cuadrática se debe considerar que: a. Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces o soluciones. b. Si el producto de dos factores es cero, al menos uno de ellos debe ser

nulo. La ecuación cuadrática se expresa en forma general como:

2 0; 0ax bx c a+ + = ≠ , y su solución general es:

aacbbx

242 −±−

=

El término ubicado bajo el subradical recibe el nombre de discriminante acb 42 − , este permite conocer la naturaleza de las raíces de la ecuación con

base al siguiente criterio: Si 2 4 0b ac− > las raíces son reales y diferentes. Si 2 4 0b ac− = las raíces son reales e iguales. Si 2 4 0b ac− < las raíces son complejas. Así, en base a la naturaleza de las raíces, se puede escoger el método más práctico y rápido de solución. Las ecuaciones el discriminante: acb 42 − naturaleza de la raíz 01072 =+− xx ( ) ( )( )27 4 1 10 9 0− − = > raíces reales distintas

0962 =++ xx ( ) ( )( )26 4 1 9 0− = raíces reales repetidas

0842 =+− xx ( ) ( )( )24 4 1 8 16 0− − = − < raíces complejas 5.7.3 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO POR

FACTORIZACIÓN Un producto, es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Una ecuación cuadrática se puede expresar como el producto de dos factores. Cada factor al igualarse a cero permite determinar las dos raíces.


87

Ejemplo 1. Factor común

Resolver: xx 183 2 =

0183 2 =− xx se escribe en la forma 2 0ax abx+ = 0)6(3 =−xx descomponer en factores ( ) 0ax x b+ =

03 =x 06 =−x igualar cada factor a cero 01 =x 62 =x resolver cada ecuación

20, : 3(0) 18(0)0 0

6, : 3(36) 18(6)108 108

Para x se tiene

Para x se tiene

= ==

= ==

Una ecuación de segundo grado con una incógnita que carece del término independiente, tiene la propiedad de que una de sus raíces o soluciones sea cero.

5.7.4 DIFERENCIA DE CUADRADOS

))((22 yxyxyx −+=− La expresión 22 yx − es la diferencia de dos cuadrados, 22 y , yx . La raíz cuadrada principal (positiva) de 22 y , yx son:

,2 xx =+ yy =+ 2 Un factor es la suma de las raíces y el otro es la diferencia de las mismas.

Ejemplo Resolver 362 =x

0362 =−x escribir en la forma: 022 =− yx . xx =2 obtener la raíz cuadrada principal de cada cuadrado

636 = )6)(6(362 −+=− xxx un factor es la suma de las raíces y el otro es la

diferencia. 6 0, 6 0x x+ = − = igualar cada factor a cero .

1 26, 6x x= − = resolver cada ecuación. 36)6( 36)6( 22 ==− comprobando en la ecuación original

36 36 36 36= =

Comprobando en la ecuación original, se verifica la compatibilidad de la solución.


88

5.7.5 TRINOMIO DE LA FORMA 02 =++ cbxx

Ejemplo Resolver 01452 =−− xx Obtener los factores x y de 2x . Cada uno se toma como primer término de los binomios. Se calculan dos factores de 14− cuya suma sea 5− . Cada uno de ellos se toma como segundo término de los binomios. Factores o divisores de 14− son: 1; 2; 7; 14± ± ± . Se elige 2 7y − porque la suma es 5− y se descartan las demás combinaciones. Entonces los factores binomios de 01452 =−− xx son )2( +x y )7( −x , es decir:

)7)(2(1452 −+=−− xxxx Igualando a cero cada factor y resolviendo cada ecuación se obtiene la solución:

7 2 07 02

21 =−==−=+

xxxx

5.7.6 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

El cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado perfecto:

222

222

2))(()(

2))(()(

yxyxyxyxyx

yxyxyxyxyx

+−=−−=−

++=++=+

De manera que los factores o divisores de un trinomio cuadrado perfecto son dos binomios iguales y para obtenerlos se procede como en el caso anterior.

Ejemplo Resolver 049142 =+− xx Factores de xxx ,:2 Factores o divisores de 49 son: 1; 7; 49± ± ± , como el producto es (+49), significa que los factores tienen el mismo signo y la suma es 14− , entonces se elige el producto de ( )( )7 7− − y cuya suma es 14− .

7 7 07 07

)7()7)(7(4914

21

22

===−=−

−=−−=+−

xxxx

xxxxx

Para saber si 049142 =+− xx es un trinomio cuadrado perfecto, se debe tomar en cuenta que el primer y tercer término son el cuadrado de algún número y que el término central ( )14x− es el doble producto de las raíces de los términos cuadráticos.


89

5.7.7 COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Trinomio de la forma 02 =++ cbxx , también se pueden complementar para transformarlos en trinomios cuadrados perfectos, los cuales se resuelven con los criterios ya vistos en incisos anteriores. A continuación se presentan varias expresiones a las que les falta un término para ser trinomios cuadrados perfectos; en cada expresión el coeficiente del término cuadrático es 1. a. 2 6 ...x x+ +

El tercer término es el cuadrado de la mitad de 6; cuadrado de 93)6(21 2 ==

entonces el trinomio cuadrado perfecto es 2 6 9 0x x+ + = b. 2 12 ...x x− +

cuadrado de 36)6()12(21 2 =−=−

Trinomio cuadrado perfecto: 36122 +− xx

5.7.8 FÓRMULA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS Si se aplica el procedimiento de complementación de cuadrados a la expresión general de la ecuación de segundo grado con una incógnita, se obtiene una expresión para resolver ecuaciones cuadráticas. Dada la ecuación 02 =++ cbxax

2 0b cx xa a

+ + = Multiplicando toda la ecuación por a1

2 b cx xa a

+ = − Sumando ac

− a los dos miembros

2 22

2 2b b c bx xa a a a

+ + = − +

Sumando 2

2ba

a los dos miembros para

completar el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro. 2 2

24

2 4b b acxa a

− + =

Factorizando el primer miembro y sumando términos

en el segundo. 2 4

2 2b b acxa a

± −+ = Extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros de la

igualdad.

aacb

abx

24

2

2 −±−=

Sumando

ab

2− a los dos miembros.


90

aacbbx

242 −±−

= Sumando términos del segundo miembro.

Esta última expresión se conoce como fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Una solución esta dada por:

aacbbx

242 −+−

=

y la otra por:

aacbbx

242 −−−

=

Ejemplo Resolver 01032 =−− xx

103

1

−=−=

=

cba

Sustituyendo ,a b y c en la fórmula general:

( ) ( ) ( )( )( )

23 3 4 1 102 1

x− − ± − − −

=

3 9 40 3 49 3 72 2 2

x ± + ± ±= = =

52

731 =

+=x

2

273

2 −=−

=x

La comprobación se deja al estudiante. 6 LOGARITMOS

LOGARITMO DE UN NÚMERO DADO: Es el exponente de la potencia a que debe elevarse cierto número llamado base, para obtener el número dado. Forma exponencial es equivalente a forma logarítmica.

4972 = 249log7 = 1

29 9 3= = 213log9 =

515 1 =− 5

1log 15

= −

Forma logarítmica es equivalente a forma exponencial.

Logaritmos

91

38log2 = 823 =

215log25 = 52525 2

1==

241log2 −=

412 2 =−

Se deduce:

1. Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmos.

2. Solo los números positivos tienen logaritmos (supuesta la base positiva). 3. Todo logaritmo negativo corresponde a un numero comprendido entre 0

y 1. 4. El logaritmo de la base es 1, y el logaritmo de 1 es 0 .

Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmos. Los logaritmos fueron introducidos por NEPPER, pero no llegaron a popularizarse, debido a la dificultad de su manejo, cuya base el el número

2.71828182845...e = Correspondió a BRIGGS realizar tablas de logaritmos, tomando como base el número 10 , y se les denomina decimales, vulgares o de Briggs.

6.1 CARACTERISTICAS DE LOS LOGARITMOS VULGARES O DECIMALES La forma exponencial es equivalente a la forma logarítmica.

0001.010000

110

110 44 ===−

_

440001.0log =−=

001.01000

110110 3

3 ===− _

33001.0log =−=

01.0100

110110 2

2 ===− _

2201.0log =−=

1.0101

10110 1

1 ===− _

111.0log =−=

1100 = 01log = 37.210 3748.0 = 3748.037.2log =

Logaritmos

92

510 6990.0 = 6990.05log = 10101 = 110log =

4510 6532.1 = 6532.145log = 100102 = 2100log = 1000103 = 31000log =

546810 7278.3 = 7278.35468log = Se observa que los números comprendidos entre 1 y 10 deben tener su logaritmo comprendido entre 0 y 1; y los números entre 10 y 100 entre 1 y 2 ; etc. Todo logaritmo consta de una parte entera: CARACTERISTICA, y una parte decimal: MANTISA. La característica del logaritmo de un número mayor que 1 es positiva; y consta de tantas unidades como cifras tenga en la parte entera del número menos 1.

37.210 3748.0 = 3748.037.2log = 510 6990.0 = 6990.05log = 4510 6532.1 = 6532.145log =

La característica del logaritmo de un número menor que 1 es negativa, y numéricamente excede en 1 al número de ceros que siguen inmediatamente al punto decimal.

000034.010 465.4 =−

4685.44685.4000034.0log_

=−= Ahora, considérese:

546810 7378.3 = 7378.35468log = Dividiendo ambos miembros por 10 , 100 , 1000 ,10000 , etc. Se obtiene:

105468

1010 7378.3

= o sea 8.54610 7378.2 = 7378.28.546log =

1005468

1010

2

7378.3

= o sea 68.5410 7378.1 = 7378.168.54log =

10005468

1010

3

7378.3

= o sea 468.510 7378.0 = 7378.0468.5log =

100005468

1010

4

7378.3

= o sea 5468.010 7378.1 =− 7378.15468.0log_

=

Logaritmos

93

Luego las mantisas de los logaritmos son iguales y solo varía la característica. Es decir en tablas de Briggs las mantisas de los logaritmos siguientes son 5

4771.* . 4771.03log =

4771.2300log =

4771.203.0log_

= Estos valores fueron calculados y tabulados por Briggs para todos los números.

6.2 REGLAS PARA LA OBTENCIÓN DE LA CARACTERISTICA

1. Característica de un entero (puro): se contará el número de cifras y se le restará la unidad.

****.125log = ****.0072.2log = ****.02log = 2. Característica de un número mixto: Para este caso no se toma en cuenta la

parte decimal, y se hace como si fuese entero (puro). ****.2927.651log = ; ****.0072.2log = ; ****.16732.13log =

3. Característica de un decimal puro: se cuenta el número de ceros que hay inmediatamente después del punto y se agrega la unidad negativa y se le coloca un símbolo negativo sobre el número.

****.30024.0log_

= ; ****.172645.0log_

= ; ****.5000060.0log_

=

6.3 PARA OBTENER EL LOGARITMO DE UN NÚMERO DADO USANDO TABLAS DE BRIGGS

1. Escríbase la característica del logaritmo de dicho número. 2. Obtenga en las tablas Briggs, la mantisa del logaritmo del número formado

por las tres primeras cifras del número propuesto, considerado como entero.

3. Si el número consta de cuatro cifras, agregarse a la mantisa correspondiente al logaritmo del número formado por las tres primeras cifras, y sumando el aumento para la cuarta cifra dado por la parte proporcional.

4. Si el número consta de cinco cifras, agréguese a al mantisa del logaritmo del número formado por las cuatro primeras cifras, igual al paso anterior , y para la cifra restante ajustando al décimo el aumento, dado por las partes proporcionales, y así sucesivamente.

5 El * representa el espacio que deben ocupar los elementos que van a determinarse.

Logaritmos

94

6.4 PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS

1. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa. 2. Los números negativos no tienen logaritmos (siendo la base positiva, ya

sean pares o impares, son positivas y nunca negativas). 3. En un sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1, siendo b la base.

1log b1 =⇒= bbb ; 110log1010 10

1 =⇒= 4. En todo sistema el logaritmo de 1 es cero.

Siendo b la base 01log 1 b

0 =⇒=b ; 01log 110 100 =⇒=

5. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo, siendo 01log10 = ; los logaritmos de los números mayores que 1 serán mayores que cero, luego serán positivos.

6. Los números menores que 1 tienen el logaritmo negativo, siendo 01log10 = , los logaritmos de los números menores que 1 serán menores

que cero. Luego serán negativos. ANTILOGARITMO: Si un número es el logaritmo de otro, el segundo se denomina antilogaritmo del primero. Antilogaritmo de un logaritmo es el número correspondiente a dicho logaritmo.

7574.2572log = , así 572 es antilog de 2.7574, es decir: 5727574.2log =anti Usando tablas de Briggs, determinar el número cuyo logaritmo es 5978.3 ó

5978.3loganti Procedimiento para obtener el antilogaritmo de un logaritmo dado.

1. Buscar en las tablas de Briggs de antilogaritmos, el número correspondiente a las tres primeras cifras de la mantisa dada.

2. Añádase a este número el aumento dado por las partes proporcionales correspondientes a la cuarta cifra de la mantisa.

3. Determínese el número de conformidad, a la cuarta cifra. 4. Si la parte entera del número, debe tener más de cuatro cifras, completar

con ceros. 5. *Si la característica es positiva, al valor obtenido se debe agregar la

unidad; y este será la posición del punto decimal del número entero buscado.

6. *Si la característica es negativa, al valor obtenido restar la unidad; y esta indica la primera cifra significativa después del punto, este será el número buscado.

Logaritmos

95

Determinar el número cuyo logaritmo es 5978.3 ó 5978.3loganti log3.597 3954aumento p.p. 0.0008 7

log3.5978 3961

anti

anti

==

=

Obtener el número cuyo logaritmo es 9276.2 ó 9276.2loganti

08465.09276.2log 12 0.0006 p.p. aumento

08453.0 927.2log

=

==

anti

anti

6.5 OPERACIONES Y PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. Logaritmo de un producto

Sea ybb

xaay

x

=∴=

=∴=

log ;10

log ;10

Para el producto ab ( )( ) yxabab yxyx +=∴== + log ;101010

En consecuencia el logaritmo de un producto es: baab logloglog +=

2. Logaritmo de un cociente

Sea ybb

xaay

x

=∴=

=∴=

log ;10

log ;10

Para el cociente

yxba

ba yx

y

x

−=

∴== − log ;10

1010

En consecuencia el logaritmo de un cociente es:

baba logloglog −=

3. Logaritmo de una potencia. Sea la potencia ) número al iguales factores ....().........)()()(( amaaaaam = Tomando logaritmos a ambos miembros

)log a iguales sumandos ...(..........logloglogloglog amaaaaam +++= En consecuencia el logaritmo de una potencia es:

amam loglog = 4. Logaritmo de una raíz

Sea la raíz nn aa1

=

Logaritmos

96

Tomando logaritmos a ambos miembros.

an

an log1log =

Así el logaritmo de una potencia es

naan loglog =

6.6 OPERACIONES CON LOGARITMOS USANDO TABLAS DE BRIGGS PARA

OBTENER LA MANTISA PRODUCTO

1. ( )( )42 19 *=

( )log (42)(19)log 42 1.6232log19 1.2788

2.9020

=

=+ =

tomando a la mantisa 7980902.0log =anti la característica indica tres cifras enteras significativas del producto,

por lo que 0.7989020.2log =anti

en consecuencia: ( )( ) 7981942 = 2. ( )( )( )0.62 0.19 7.20 *=

( ) 20.7log19.0log62.0log)20.7)(19.0)(62.0(log ++= ;

+

.92851 8573.020.7log2788.119.0log7924.162.0log

1

==

=;

tomando a la mantisa 8482

10 0.0005 p.p.8472 928.0log

==anti

la característica indica primera cifra significativa está después del punto decimal, por lo que el producto:

8482. 9285.0log =anti

Logaritmos

97

Así. ( )( )( ) 8482.020.719.062.0 =

3. ( )( )( )( )6.092 0.0073 0.091 1.721 *=

( ) 721.1log091.0log0073.0log092.6log)721.1)(091.0)(0073.0)(092.6(log +++=

+

_

log6.092 0.7846

1 0.7847

log0.0073 3.8633

log0.091 3.9590log1.721 2.2355

=

=

==

_

2

0.2357

4.8427


11 0.0007 p.p.6950 842.0log

==anti

la característica indica después del punto decimal, tres ceros y luego la primera cifra; por lo que el producto:

( )( )( )( )6.092 0.0073 0.091 1.721 0.0006961=

4. ( )( )( )5914 8946 1939 *=

( ) 1939log8946log5914log)1939)(8946)(5914(log ++=

+

0111.11 2876.3

20 2856.3 1939log

.95163 3

9513.38946log.77193

3 7716.35914log

=

=

=

Logaritmos

98

tomando a la mantisa 1026 0111.0log =anti la característica indica doce cifras enteras; por lo que el producto ( )( )( )5914 8946 1939 102600000000=

DIVISIÓN

1. 4361 12.9 *÷ =

log 43.61 1 .6395 1 1.6396

log12.9 1.1106 0.5290

=

− = −

tomando a la mantisa 3381 529.0log =anti la característica indica una cifra entera; por lo que el cociente

381.39.124361 =÷

2. 12.61 0.0072 *÷ =

log12.61 1.1004 3 1.1007

log 0.0072 3.8573 3.2434

=

− =


2 0.0004 p.p.1750 243.0log

==anti

la característica indica cuatro cifras enteras; por lo que el cociente 17520072.061.12 =÷

3. 0.967 0.00062 *÷ =

3.1930 7924.4 00062.0log9854.1 967.0log

=−

=

tomando a la mantisa 1560 193.0log =anti

Logaritmos

99

la característica indica cuatro cifras enteras; por lo que el cociente 156000062.0967.0 =÷

POTENCIA

1. 3(732) *=

5935.8 3

8645.2732log×

=


5 0.0005 p.p.3917 593.0log

==anti

la característica indica nueve cifras enteras; por lo que la potencia 53 103922392200000)732( ×==

2. 5(0.0721) *=

2895.6 5

8579.20721.0log×

=


2 0.0005 p.p.1945 289.0log

==anti

la característica indica después del punto decimal, cinco ceros y luego la primera cifra; ; por lo que la potencia

95 101947000001947.0)0721.0( −×==

3. 2(93) *=

9370.3 2

9685.193log×

=

tomando a la mantisa 8650 937.0log =anti la característica indica cuatro cifras enteras; por lo que la potencia

8650)93( 2 =

4. 4(0.007727) *=

Logaritmos

100

5520.9 4

8880.3 4 p.p.

8876.3007727.0log

×

=

tomando a la mantisa 3565 552.0log =anti la característica indica después del punto decimal, ocho ceros y luego la primera cifra; ; por lo que la potencia

124 103565470000000019.0)007727.0( −×== RAIZ

1. 728 *=

4310.12

8621.22728log

8621.2728log

==

=

tomando a la mantisa 2698 431.0log =anti la característica indica dos cifras enteras; por lo que la raíz

98.26728 =

2. 4 6.432 *=

2020.04

8030.04

432.6log8030.0432.6log

==

=

tomando a la mantisa 1592 202.0log =anti la característica indica una cifra entera; por lo que la raíz

592.1432.64 =

3. 3 0.031 *=

4971.13

4914.23

031.0log4914.2031.0log

==

=

4 21

29

4971. 14914.1334914.23 +=

Logaritmos

101


1 0.0001 p.p.3141 497.0log

==anti

la característica indica primera cifra significativa está después del punto decimal; por lo que la raíz

3142.0031.03 =

4. 5 0.0037 *=

5136.15

5682.350037.0log

5682.30037.0log

==

=

2 32

18 6

5136. 15682.2555682.15 +=


5 0.0006 p.p.3258 513.0log

==anti

la característica indica primera cifra significativa está después del punto decimal; por lo que la raíz

3263.00037.05 =

6.7 ALGEBRA CON LOGARITMOS

Teorema del cambio de base Si , , ea b x y son números positivos con 0≠a , 0≠b , entonces

bxx

a

ab log

loglog =

Demostración: Dada Lxb =log ; su forma exponencial es Lbx = Tomando logaritmo de base a a ambos miembros, queda:

)(loglog Laa bx =

por propiedades de logaritmos bLx aa loglog =

en consecuencia

Logaritmos

102

xbxL b

a

a logloglog

== l.q.d.

Si la base se hace ea = y 10=b ; lnlog =e

xxxx ln4343.03026.2ln

10lnlnlog10 ==

Así xx ln4343.0log = xx log3.2ln =∴

Recuérdese que: La forma exponencial es equivalente a la forma logarítmica.

xy 2= xy =2log

Ejemplos

Obtener la variable x de las expresiones .

1. 3)8(loglog 22 =−− xx

Por propiedades de logaritmos 38

log2 =

−xx

por notación exponencial 32

8=

−xx

( 8)88 648 64

7 64647

x xx xx x

x

x

= −= −− = −

− = −

=

2. 3)2(log7 =−x

es equivalente 372 =−x 3432 =−x

345=∴ x

3. 2532log =x

es equivalente a la notación exponencial 322

5=x

Logaritmos

103

( )525

2

25

32=

x

( ) 4232 225 ===∴ x

4. x3271log9 =

es equivalente a x3)3(log 39 =−

y en forma exponencial x39271

=

poniendo la misma base x323 )3(3 =−

x63 33 =− como la base es la misma, igualando exponentes, resulta x63 =−

21

63

−=−=∴ x

5. 085459 =−+ xx )854log()5log()9log( =+ xx )854log()5log()9log( =+ xx )854log())5log()9(log( =+x

)854log())5)(9log(( =x

)45log()854log(

=∴ x

6. 52 −= xey

52lnln −= xey ( )ln 2 5 ln

ln 2 55 ln 2

5 ln2

y x ey x

y xyx

= −

= −+ =

+=

7. 2)3ln( =+x

es equivalente

( )ln 3 2

2

2

3

3

xe e

x e

x e

+ =

+ =

= −

8. 54 =xe

Logaritmos

104

tomando ln a ambos miembros 5lnln 4 =xe

5ln4 =x

45ln

=∴ x

Relaciones

107

7 RELACIONES A partir de la Geometría Analítica, es común representar geométricamente las ecuaciones algebraicas. Con este desarrollo, se pretende aprovechar las posibilidades de está rama de la matemática para obtener formas objetivas de interpretación de proposiciones algebraicas e ideas para deducir nuevos resultados. Existen pocas áreas de la ciencia o de la vida cotidiana donde las gráficas no puedan tener aplicación. Por ejemplo, se han visto gráficas que muestran la estadística de producción o registro de fenómenos naturales, tales como la variación diaria o anual de la temperatura, la presión atmosférica, etcétera. Esto quiere decir que si conoce la tabla de datos, no es difícil construir la gráfica. Para poder introducir el concepto de relación binaria se necesita precisar lo que significa un par ordenado de objetos y definir el producto cartesiano de dos conjuntos.

7.1 PRODUCTO CARTESIANO Se puede dar un tratamiento formal a estas ideas con la definición de producto cartesiano. Se llama par ordenado ( )yx, , al par, cuya primera componente pertenece al conjunto y cuya segunda componente pertenece al conjunto . Las parejas ordenadas se representan entre paréntesis, lo cual significa, que además de los elementos, también importa su orden. Definición: El conjunto, cuyos elementos son las parejas ordenadas que se forman al elegir como primera componente a los elementos del conjunto y como segunda componente a los elementos del conjunto B ; se llama conjunto producto o producto cartesiano de ; se representa por y se lee “A cruz B ;aentonces:

. Es decir: .

7.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA El producto cartesiano se puede representar gráficamente utilizando diagramas de Venn o mediante un sistema de ejes coordenados.

Relaciones

108

1. Graficar el conjunto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 1 ; 1, 2 ; 1, 3 ; 2, 1 ; 2, 2 ; 2, 3 ; 3, 1 ; 3, 2 ; 3, 3 ; 4, 1 ; 4, 2 ; 4, 3A B× =

Utilizando los diagramas de Venn o sagital, al contar las líneas que unen los elementos de ambos conjuntos, se verifica que son 12.

Figura 17

Utilizando los ejes coordenados, se representan en el eje horizontal los elementos del primer conjunto y en el eje vertical los elementos del segundo conjunto. Cada pareja estará representado por el punto donde se intersectan las rectas paralelas a los ejes.

Figura 18 2. Si { }4,2−=D y ; calcúlese ED × y representarlo

gráficamente. 3. Sí { }2,1,3−=A , determina el producto cartesiano de AA× y representarlo

geométricamente. La definición de producto cartesiano, también es aplicable al conjunto de los números reales R ; esto es RR × o bien 2R . Cada elemento de RR × corresponde a un punto del plano y cada punto del plano le corresponde una pareja de 2R .

4. Si { }31;: ≤≤−∈= xxxA R y { }2=B ; obténgase BA× .

Solución ( ){ } ( ){ }R∈≤≤−=∈∈=× xxxByAxyxBA ,31:2,,:,

Relaciones

109

Gráficamente, se tiene:

Figura 19

5. Dado y ; Obténgase AB × . 6. Sea { }32;: ≤≤−∈= xxxA R y { }21;: ≤≤−∈= yyyB R .

7.3 RELACIONES

Para determinar una relación, se necesitan dos conjuntos A y B y una proposición abierta en dos variables, esta proposición es la regla que permite determinar el conjunto R de las parejas que se forman en BA× . Formalmente las relaciones binarias se definen como: Definición: Sean BA y dos conjuntos diferentes del conjunto vacío. Una relación de BA en es un conjunto de pares ( )yx, : . Si

( ),x y ∈ R ; se dice que x está relacionado con y : Para expresar que R es una relación de BA en ; se representa como: . Al conjunto A , se le llama dominio de R , sus elementos se representan por "" x, el conjunto B , es el codominio de R y sus elementos que son la segunda componente se llama imagen y los elementos se representan por "" y .Una relación, es un subconjunto del producto cartesiano ( )A B⊆ ×R . De hecho

BA× es en sí mismo una relación. La relación universal contiene todos los pares posibles. El opuesto de la relación universal es la relación vacía, que no contiene ningún par. Todas las demás relaciones deben estar entre estos dos casos extremos.

Relaciones

110

Ejemplos 1. Sea A el conjunto de proveedores y B el conjunto de productos. Supóngase

que los proveedores son 21 SyS y los productos son 321, PyPP . Sean { }21, SSA = y { }321 ,, PPPB =

El producto cartesiano de BA y es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }322212312111 ,;,;,;,;,;, PSPSPSPSPSPSBA =×

Ahora defínase una relación R como los pares ( )yx, , donde "" x es un suministrador, "" y es un producto; luego "" x tiene en existencia al producto

"" y Sea: 1S tiene 31 PyP

2S tiene 32 PyP

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 1 3 2 2 2 3, ; , ; , ; ,S P S P S P S P=R ∴ A B⊂ ×R ( ) RyxxRy ∈≡ , ; es decir; 11RPS ; 31RPS ; 22RPS 32RPS

2. Sean { }LauraAugustoVicenteRosaSusanaA ,,,,= { }PérezJuárezMuñozEstradaGilContrerasDíazB ,,,,,,=

Obténgase una relación con la siguiente característica: que el número de letras del nombre sea igual al número de letras de apellido.

3. Una línea aérea proporciona servicio a cinco ciudades C1, C2, C3, C4, C5 la tabla muestra el costo (en dólares) del viaje de iC a jC .

ADe /

C1 C2 C3 C4 C5

C1 140 100 150 200 C2 190 200 160 220 C3 110 180 190 250 C4 190 200 120 150 C5 200 100 200 150

Defina la relación R sobre { }54321 ,,,, CCCCCA = tal que jiRCC si y sólo si el costo de ir de ji CaC es menor o igual a 150 dólares.

4. Sea: { }5,4,3,2,1=A . Defina la relación R (menor que) en el conjunto A . 5. Si { }6,5,4,3=A y { }6,5,4=B . Obténgase ( ){ }yxyxR >= :, 6. Sea . Obténgase una relación R , de modo que a divide a b.

Relaciones

111

7. Sea , defina una relación R ,de modo que:

. 8. ( ){ }32:, >+= yxyxR con R∈yx, . 9. ( ){ }1:, 22 =+= yxyxR con R∈yx, . 10. ( ){ }3649:, 22 =+= yxyxR con R∈yx, .

7.3.1 GRÁFICA DE UNA RELACIÓN

De forma similar que el producto cartesiano de dos conjuntos, una relación puede representarse geométricamente con diagramas de Venn o en un sistema de ejes coordenados. La gráfica de una relación BAR →: es el conjunto G de todos los puntos del plano que representan los pares ordenados del producto cartesiano BA× , con la propiedad de que el punto de coordenadas ( )yx, pertenece a la gráfica si y sólo si el par ordenado es un elemento de la relación; es decir, la gráfica de una relación es el conjunto. ( ){ }G = x, y R R∈ × En la práctica, la relación se utiliza especificando únicamente la regla que la define, admitiendo de forma implícita que son relaciones de RR en .

Ejemplos Graficar las siguientes relaciones

1. 132 =+ yx

Despejando la variable "" y y construyendo la tabla con algunos valores, se

obtiene: 1 2

3xy −

=

x y

4− 3

1− 1 2 1− 5 3−

Figura 20

Relaciones

112

2. 122 =− yx .

x y

3−

2− 1−

0

1 2 3

Figura 21

7.3.2 DOMINIOS Y RANGOS

Sea BAR ×⊆ una relación de BA en , al conjunto A se le llama dominio y B se le denomina rango. El dominio de R (relación) es el conjunto de elementos de A que están relacionados con algún elemento de B . De modo similar, el rango de R es el conjunto de todos los elementos de B que están relacionados con algún elemento de A , formalmente se expresa en la siguiente definición.

Definición: Sea R una relación de BA en . El dominio de R se denota por domR , es el conjunto de todos los elementos de Ax ∈ , que aparecen en, al menos, un par ( ),x y ∈ R . El cual se expresa como: ( ){ }: ,dom x y x y= ∃ ∈ RR Definición: El rango de R , denotado por ranR , es el conjunto de todos los elementos By ∈ que aparecen, en al menos un par ( ),x y ∈ R . Esto se expresa

simbólicamente como: ( ){ }: ,ran y x x y= ∃ ∈ RR

Relaciones

113

Ejemplos Calcular el dominio, el rango y graficar las siguientes relaciones.

1. ( ) ( ) ( ) ( ){ }addcR ,2,,3,,1,,2=

Solución

{ }3,2,1=domR

{ }dcaranR ,,=

Figura 22

2. ( ) ( )( ){ }rsrR ,3,2,,1= 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,4,5,3,4,3,5,2,4,2,3,2,5,1,4,1,3,1,2,1=R 4. ( ){ }yxsisóloysixRyyxR == :, con R∈x y R∈y . 5. ( ){ }yadividexsisóloysixRyyxR :,= con +∈ Zx y +∈ Zy . 6. { }039220:),( 2 =−++= yxyyxR

7.

=+= 194

22 y xo si y si y sól(x, y): xRR

8. { }011385449:),( 22 =++−−= yxyxyxR

7.3.3 RELACIÓN INVERSA Toda relación R de BA en , se puede asociar una relación inversa -1R de

AB en . Esencialmente, la relación inversa tiene el par ( )xy, , donde la relación original tiene el par ( )yx, , tal como se indica en la siguiente definición. Definición: Si : A B→R es una relación, entonces la relación inversa

1 : B A− →R , se define como ( ) ( ){ }, : ,y x x y ∈ R . Por tanto se puede expresar como: 1, ,Si xRy entonces yR x− .

Relaciones

114

Ejemplos Determinar la relación inversa en cada uno de los siguientes ejercicios.

1.

Solución

2. ( ){ }yxsisóloysixRyyxR <= :,

Solución ( ){ }yxsisóloysiyRxxyR >=− :,1

3. ( ){ }ydepadreesxsisóloysixRyyxS :,=

7.3.4 COMPOSICIÓN DE RELACIONES Matemáticamente la composición de dos relaciones está dada por: Definición: Sea : A B→R y : B C→R dos relaciones. La composición de

yR S , se denotan como R S , contiene los pares ( )zx, si y sólo si existe un objeto intermedio "" y tal que: ( )yx, está en R y ( )zy, está en S . Simbólicamente se expresa como: ( ) ( )x z y xRy yRz= ∃ ∧R S . Esta definición implica que ( )zx, está en la composición de las relaciones hermana y padre, si existe un individuo "" y tal que "" x es hermana de "" y e

"" y es padre de "" z . A esta relación se le denomina “relación tía”. Por tanto la relación tía es la composición de la relación hermana y padre. En general, para determinar si el par ( )zx, está en la relación SR , se necesita siempre un intermediario (hermana), como en el caso de la relación tía: tal que sea válida

ySzexRy . La composición de dos relaciones se puede representar mediante un gráfico. Sean las : X Y→R y :Y Z→S . Se dibujan todos los nodos X a la izquierda, todos los nodos de Z a la derecha, y todos los nodos del conjunto intermedio Y en el medio. Se asume que los elementos de X van desde 1x hasta 4x , los elementos de Y van desde 1y hasta 4y , y los elementos de Z van desde 1zhasta 5z .

Relaciones

115

Gráficamente se muestra en la siguiente figura

Figura 23

De acuerdo con lo que ha visto, el par ( )ki zx , está en R S si y sólo si existe un intermediario jy tal que existe un arco que va desde ix a jy , y de jy hasta kz . Por ejemplo ( )41, zx está en R S , porque existe un arco desde 1x a 2y y de 2y a 4z . Por otra parte ( )31, zx no está en la relación R S por que no existe jy a través del cual 1x pueda acceder a 3z . Por tanto la relación resultante es: ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 1 2 1 4 4 3, , , , , , ,x z x z x z x z=R o S La composición es una operación asociativa, esto es, si yR, S P son tres relaciones, entonces se cumple que: ( ) ( )o o o oR S P = R S P . Cuando se trate de la composición de varias relaciones, los paréntesis pueden suprimirse. Si y1 2 3S , S S son tres relaciones, entonces ( )x y1 2 3S o S o S es verdadera si y sólo si existen exactamente dos intermediarios, a través de los cuales x tiene acceso a y Por tanto, la composición de tres relaciones es el conjunto de todos los pares ( )yx, tales que x puede alcanzar al objeto y en exactamente tres pasos. En general, la composición de n relaciones nSSS ;;; 21 contiene el conjunto de todos los pares ( )yx, tales que x puede alcanzar a y en, exactamente n pasos.

Si : A A→R es una relación, entonces R R es el par ( )yx, tal que x puede alcanzar a y en exactamente dos pasos. Normalmente, se abrevia R R en la forma 2R , o oR R R por 3R , y así sucesivamente. Obviamente nR es el conjunto de todos los pares ( )yx, tales que x puede alcanzar a y en exactamente n pasos.

Relaciones

116

Ejemplos 1. Se tienen cinco personas EDCBA y;;; ; C es el dueño del camión llamado

aventurero y E es el dueño del camión llamado imperioso. A es amigo de DB y . B es amigo de C y C es amigo de E . Sea R la relación “ x es amigo

de y ” y sea S la relación “ y es dueño del camión z ”. Calcular la relación SR . Solución

( ) ( ) ( ) ( ){ }ECCBDABAR ,;,;,;,=

( ) ( ){ }imperiosoEaventureroCS ,;,=

( ) ( ){ }imperiosoCaventureroBSR ,;,=

2. Sean: ( ) ( ) ( ){ }2,2;4,3;2,1=R ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,1;1,3;5,2;2,4=R

Calcular: SR ; RS ; ( )RSR ; ( ) RSR ; RR ; SS ; RRR .

Relaciones

117

REFERENCIAS 1 ÁLGEBRA Paul K. Ress, Fred W. Sparks, Charles Sparks

Rees. McGraw Hill

2 ÁLGEBRA Florence M. Lovaglia, Merrit A,.Elmore, Donald Conway Harla

3 ÁLGEBRA MODERNA

Mary P. Dolciani, Simom M. Berman, Julios Freilich Cultural

4 MATEMÀTICAS PRIMERO

Marcelo Santaló, Vicente Carbonell Universitarios

5 ÁLGEBRA Agustin Anfossi Progreso

6 MATEMÁTICAS 3 René Benítez Trillas

7 MATEMÁTICAS 1 Francisco José Ortiz Campos Cultural

8 MATEMÁTICAS 2 Francisco José Ortiz Campos Cultural

9 ÁLGEBRA Aurelio Baldor Cultural

10 ÁLGEBRA Raymond A. Barnett Limusa

11 PRECÁLCULO Raymond A. Barnett Limusa

12 ÁLGEBRA H. Lehmann Limusa

13 ÁLGEBRA ELEMENTAL

G. Fuller CECSA

algebra elemental

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