métodos con series de potencias carlos ruz leiva

Métodos con series de potencias

CARLOS RUZ LEIVA

Métodos con series de potencias

Universidad Diego Portales Instituto de Ciencias Básicas 2

Introducción Corrientemente ha sido posible expresar la solución de las ecuaciones diferenciales hasta ahora consideradas en términos de funciones elementales como exponenciales, senos, cosenos, etc. Sin embargo, en muchos problemas de la ciencia y la ingeniería las ecuaciones diferenciales son de tal forma que esto no es posible y el objeto del presente capítulo es indicar métodos para obtener soluciones en series infinitas convergentes de las cuales se pueda, s i es necesario, calcular valores numéricos. El fundamento del método para obtener una solución en serie puede observarse considerando, por ejemplo, la ecuación diferencial lineal de segundo orden


Se supone que la solución está dada por 20 1 2 ...y a a x a x y que la serie

es convergente y derivable término a término para valores de x suficientemente pequeños. Con estas hipótesis

21 2 32 3 ...

dya a x a x

dx

y

2

2

2 3 422 2 3 3 4 ...

d ya a x a x

dx

sustituyendo la serie en vez de y y 2

2

d y

dx en la ecuación diferencial dada y

asociando las potencias semejantes de x nos da la identidad.

22 0 3 1 4 2(2 ) (2 3 ) (3 4 ) ... 0a a a a x a a x


Puesto que una serie de potencias es idénticamente igual a cero si todos sus coeficientes son cero, igualando a cero el término independiente de x y los

coeficientes de x , 2x , … , se obtiene:

2 02 0a a

3 12 3 0a a

4 23 4 0a a

5 34 5 0a a ..............

2 ( 1)( 2)n

n

aa

n n

, 0n .

Se concluye que

02 2

aa , 1 1

3 2 3 3!

a aa

, 02

4 3 4 4!

aaa

, 3 1

5 4 5 5!

a aa

.. .

De aquí se deduce la relación de recurrencia


En consecuencia, la solución requerida puede escribirse como

2 4 6 3 5

0 11 ... ...2! 4! 6! 3! 5!

x x x x xy a a x

que es, equivalente a

0 1cos siny a x a x , siendo 0a y 1a constantes arbitrarias.


Algunas representaciones en serie de potencias, que debemos recordar son:

2 3

0

1 ...! 2! 3!

nx

n

x x xe x

n

2 2 4

0

( 1)cos 1 ...

(2 )! 2! 4!

n n

n

x x xx

n

2 1 3 5

0

( 1)sin ...

(2 1)! 3! 5!

n n

n

x x xx x

n

1 2 3

1

( 1)ln(1 ) ...

2 3

n n

n

x x xx x

n

2 3

0

11 ...

1n

n

x x x xx


En el tratamiento de la serie de potencias, es conveniente conocer donde es convergente.

Teorema 1: Radio de convergencia.

Dada la serie de potencias nna x , suponga que el límite

1

lim n

nn

a

a

existe ( es finita) o es infinita ( en este caso escribiremos ) .

Entonces:

(a) Si 0 , entonces la serie diverge para toda 0x .

(b) Si 0 , entonces nna x converge si x y diverge s i

x .

(c) Si , entonces la serie converge para toda x .

El número es el radio de convergencia de la serie de potencias nna x


Ejemplo 1 Resolver la ecuación ( 3) 2 0x y y .

Solución:

Sustituimos 0

nn

n

y a x

y 1

1

nn

n

y na x

, para obtener

1

1 0

( 3) 2 0n nn n

n n

x na x a x

,

de modo que

1

1 1 0

3 2 0n n nn n n

n n n

na x na x a x

.

En la primera suma podemos reemplazar 1n con 0n sin alterar la suma. En la segunda suma desplazamos el índice de la suma en +1. Esto da como resultado

10 0 0

3 ( 1) 2 0n n nn n n

n n n

na x n a x a x

;


Aplicamos esta fórmula con 0n , 1n y 2n , en forma sucesiva, para obtener

1 0

2

3a a , 2 1 02

3 3

3 2 3a a a

y 3 2 03

4 4

3 3 3a a a

.

es decir,

10

3( 1) 2 0nn n n

n

na n a a x

.

De aquí se obtiene: 13( 1) 2 0n n nna n a a ,

y obtenemos la relación de recurrencia

1

2

3( 1)n n

na a

n

para 0n


Se prueba, mediante inducción sobre n que

0

1

3n n

na a

si 1n .

La solución en serie de potencias es

0

0

1( )

3n

nn

ny x a x

.

Su radio de convergencia es

1

3 3lim lim 3

2n

n nn

a n

a n

.

Así, la serie es convergente si 3 3x y diverge si 3x .


Ejercicios

1. Resolver la ecuación diferencial 2 1x y y x .

Solución: 2

( ) 1 ( 1)! n

n

y x x n x

, con radio de convergencia

( 1)! 1lim lim 0

!x x

n

n n

. La serie converge sólo si 0x .

2. Resolver la ecuación 0y y .

Solución: 2 4 3 5

0 1 0 1( ) (1 ...) ( ...) cos sin2! 4! 3! 5!

x x x xy x a a x a x a x .


Soluciones en series cerca de puntos ordinarios En esta sección analizaremos la ecuación diferencial de segundo orden

( ) ( ) 0y P x y Q x y Definición: Se dice que x a es un punto ordinario de la ecuación diferencial dada s i las funciones ( )P x y ( )Q x son ambas analít icas en x a .(Se dice que las

funciones ( )P x y ( )Q x son analít icas en x a , si las series de Taylor correspondientes a ( )P x y ( )Q x , convergen en un cierto intervalo abierto

que contenga a x a ). En caso contrario, x a es un punto singular.

Ejemplo 1: El punto 0x es un punto ordinario de la ecuación 2(sin ) 0xy x y x y ,

ya que 3 5 2 4sin 1

( ) ... 1 ...3! 5! 3! 5!

x x x x xP x x

x x

y

2

( )x

Q x xx

, son

analít icas en 0x .


Ejemplo 2: El punto 0x no es un punto ordinario de la ecuación

1

22 0y x y x y

Ya que aunque 2( )P x x es analít ica en 0x , 1

2( )Q x x no lo es. La razón es que ( )Q x no es derivable en 0x y por lo tanto no es analít ica en ese

punto. Ejemplo 3: El punto 0x es un punto ordinario de la ecuación 3 2 5 4(1 ) (7 3 ) (5 13 ) 0x y x x y x x y

Ya que 2 5

3

7 3( )

1

x xP x

x

y

4

3

5 13( )

1

x xQ x

x

son analít icas en 0x (no se

indeterminan en 0x y son divis iones de funciones analíticas).


Teorema 1: Suponga que x a es un punto ordinario de la ecuación ( ) ( ) 0y P x y Q x y ; es decir, las funciones ( )P x y ( )Q x son analít icas en x a . Entonces la ecuación diferencial dada tiene dos soluciones linealmente independientes, cada una de la forma

0

( ) ( )nnn

y x a x a

.

El radio de convergencia de cualquiera de estas series es al menos tan grande como la distancia de a al punto singular más cercano (real o complejo) de la ecuación diferencial dada.


Ejemplo 4: Determine la solución general en potencias de x de la ecuación diferencial 2( 4) 3 0x y xy y . Determine a continuación la solución particular con (0) 4y , (0) 1y . Solución: Los únicos puntos singulares de la ecuación dada son 2 , de modo que la serie tendrá un radio de convergencia mayor o igual a 2 . Separamos la ecuación diferencial por peso:

2 3 4 0x y xy y y

El peso del los términos en el primer paréntesis es n y para el segundo, es

2n .


Reemplazamos nna x , en el primer paréntesis y 2

2n

na x en el segundo. Se

obtiene: 2( 1) 3 4( 2)( 1) 0n n

n n n nn n a na a x n n a x

2( 1) 3 1 4( 2)( 1) 0n nn nn n n a x n n a x

De aquí obtenemos la relación de recurrencia

2

1

4( 2)n n

na a

n

, 0n

Para

0n : 2 0

1

4(2)a a

1n : 3 1

2

4(3)a a

2n : 4 2 0

3 3 1

4(4) 4(4) 4(2)a a a

3n : 5 3 1

4 4 2

4(5) 4(5) 4(3)a a a


4n : 6 4 0

5 5 3 1

4(6) 4(6) 4(4) 4(2)a a a

5n : 7 5 1

6 6 4 2

4(7) 4(7) 4(5) 4(3)a a a

.... ... ... .. La solución general, es:

2 4 3 5 70 1

1 3 5 1 1 1( ) (1 ...) ( ...)

8 128 1024 6 30 140y x a x x a x x x x .

Como 0(0) 4y a y 1(0) 1y a , se tiene:

2 4 3 5 71 3 5 1 1 1( ) 4 1 ... ...

8 128 1024 6 30 140y x x x x x x x

.


Ejemplo 5: Resuelva el problema con valores iniciales

2

22

( 2 3) 3( 1) 0d y dy

t t t ydt dt

; (1) 4y , (1) 1y .

Solución: Este problema se puede transformar en el problema del ejemplo anterior, con la sustitución 1x t . Esta serie converge si 1 3t .


Puntos singulares regulares Definición: El punto singular 0x de la ecuación ( ) ( ) 0y P x y Q x y es un punto

singular regular si las funciones ( ) ( )p x xP x y 2( ) ( )q x x Q x son ambas

analít icas en 0x . En caso contrario, es un punto singular irregular. Ejemplo 1: La ecuación diferencial 2 2(1 ) (4 ) (2 3 ) 0x x y x x y x y , tiene un punto

singular regular en 0x , ya que

2

2

(4 ) 2 3(1 ) 1 0

x x xx x xy y yx x

2

2

4 2 31 1 0

x xx xy y yx x

24

( )1

xp x

x

y

2 3( )

1

xq x

x

son analít icas en 0x .


Ejemplo 2: La ecuación diferencial 4 2( sin ) (1 cos ) 0x y x x y x y , t iene un punto

singular regular en 0x , ya que

2

4 4

sin 1 cos0

x x xy y y

x x

2

2

sin 1 cos

0

x xx xy y yx x

sin

( )x

p xx

y 2

1 cos( )

xq x

x

son analít icas en 0x . Esto es:

3 5sin 1

( ) ...3! 5!

x x xp x x

x x

y

2 4 2 4

2 2

1 cos 1 1( ) 1 1 ... ...

2! 4! 2! 4! 6!

x x x x xq x

x x

Estas series de potencias son convergentes, lo que demuestra que son analít icas en 0x .


El Método de Frobenius En esta sección veremos cómo hallar las soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden cerca del punto singular regular 0x . La ecuación más sencilla de este tipo es la ecuación equidimensional con coeficientes constantes 2

0 0 0x y p xy q y

a la cual queda reducida la ecuación 2

( ) ( )0

p x q xy y y

x x cuando

0( )p x p y 0( )q x q son constantes. En este caso se puede verificar

mediante una sustitución directa que la función ( ) ry x x es una soluci{on

de la ecuación 20 0 0x y p xy q y si y sólo si r es una raíz de la ecuación

cuadrática, denominada ecuación indicial 0 0( 1) 0r r p r q .


En el caso general, cuando ( )p x y ( )q x son series de potencias en vez de

constantes, una conjetura razonable es que nuestra ecuación diferencial tenga una solución de la forma

1 20 1 2

0 0

( ) ...r n n r r r rn n

n n

y x x a x a x a x a x a x

denominada serie de Frobenius. El teorema siguiente verifica esta conjetura.


Teorema 1: Soluciones en serie de Frobenius Suponga que 0x es un punto singular regular de la ecuación 2 ( ) ( ) 0x y xp x y q x y . Sea 0 el mínimo de los radios de convergencia de las series de potencias

0

( ) nn

n

p x p x

y 0

( ) nn

n

q x q x

.

Sean 1r y 2r las raíces, 1 2r r , de la ecuación indicial 0 0( 1) 0r r p r q .

Entonces:

(a) Para 0x , existe una solución de la ecuación diferencial dada, de la forma

11

0

( ) r nn

n

y x x a x

, ( 0 0a )

correspondiente a la raíz mayor 1r .

(b) Si 1 2r r no se anula ni es un entero positivo, entonces para 0x

existe una segunda solución linealmente independiente de la forma

22

0

( ) r nn

n

y x x b x

, ( 0 0b )

correspondiente a la raíz menor 2r .


Los radios de convergencia de las series de potencias en las soluciones, son cada uno de al menos . Los coeficientes de estas series se pueden

determinar sustituyendo las series en la ecuación diferencial

2 ( ) ( ) 0x y xp x y q x y .

Si 1 2r r , solo puede haber una solución en serie de Frobenius. También

puede verse que si es un entero positivo, puede no haber una segunda solución en serie de Frobenius correspondiente a la raíz menor . Los coeficientes se pueden determinar como se muestra en el siguiente ejemplo.


Ejemplo 1: Determine las soluciones en serie de Frobenius de 2 22 3 ( 1) 0x y xy x y .

Solución: 2 4

1/ 21 0( ) 1 ...

14 616

x xy x a x

,

2 41

2 0( ) 1 ...2 40

x xy x b x

.

Ejemplo 2: Determine una solución de Frobenius para la ecuación de Bessel de orden cero, 2 2 0x y xy x y .

Solución: 2 2 4 6

0 02 20

( 1)( ) 1 ...

2 ( !) 4 64 2304

n n

nn

x x x xy x a a

n

.


Cuando es un entero El ejemplo siguiente muestra un caso excepcional, en que a pesar de que el teorema 1 asegura la existencia de una solución, es posible en este caso, encontrar una segunda solución. Ejemplo 3: Determine las soluciones en serie de Frobenius de .

Solución: 2 4 3 5

0 10 1

1( ) 1 ... ... ( cos sin )

2! 4! 3! 5!

a ax x x xy x x a x a x

x x x

.


Ejercicios

Determine dos soluciones en serie de Frobenius linealmente independiente (para 0x ) para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes:

1. 4 2 0xy y y 2. 2 3 0xy y y 3. 3 2 2 0xy y y

4. 2 22 (1 2 ) 0x y xy x y

En los problemas siguientes, determine los tres primeros términos no nulos de cada una de las dos soluciones en serie de Frobenius linealmente independientes.

1. 22 ( 1) (2 1) 0x y x x y x y

2. 2 3 2(2 5 ) (3 ) (1 ) 0x x y x x y x y


Ejemplo, usando la calculadora ClassPad 300 Ejemplo 1: Halle la solución general da le ecuación 4 2 0xy y y . Solución: Esta ecuación puede escribirse, como:

2 1 10

2 4x y xy xy ,

donde 1

( )2

p x y 1

( )4

q x x son analíticos en 0x . Entonces , la ecuación

dada tiene un punto singular regular en 0x . La solución general, es de la forma

0

r nn

n

y a x

, 0( 0)a


Cálculo de r : Separamos la ecuación diferencial por peso.

4 2 0xy y y

El primer paréntesis tiene peso 1r n y el segundo r n . Esto se deduce al reemplazar el término general r n

na x , en la ecuación diferencial dada.

El térm ino que contiene la menor potencia de x se obtiene reemplazando

0y a x en la primera expresión entre llaves. Puesto que el coeficiente de la

menor potencia de x debe ser cero y como por hipótesis 0a no es cero, se

tiene:

104 ( 1) 2 0rr r r a x , 0( 0)a

Entonces: 4 ( 1) 2 0r r r Ésta es la ecuación indicial y sus raíces son 0r y 1/ 2r .


El término que contiene a r nx se obtiene haciendo 11r n

ny a x en la

primera expresión entre llaves e r nny a x en la segunda. De esta forma,

ambas expresiones tienen el mismo peso. Igualando a cero el coeficiente del término obtenido de esta manera, resulta: 14( 1)( ) 2( 1) 0n nr n r n r n a a ,

de donde,

1 2( 1)(2 2 1)n

n

aa

r n r n

, 0n , 1, 2 , . . .

Ésta es la relación de recurrencia de los coeficientes. Para la primera raíz, 0r , la relación de recurrencia se escribe como

1 2( 1)(2 1)n

n

aa

n n

,

y por lo tanto,

01 2

aa , 01

2 12 4!

aaa , 02

3 30 6!

aaa , ...


Así pues, una solución de la ecuación diferencial es la serie

2 3 4 5

0 1 ...2! 4! 6! 8! 10!

x x x x xy a

.


Con la segunda raíz de la ecuación indicial, 1/ 2r , la relación de recurrencia queda

1 (2 3)(2 2)n

n

aa

n n

.

Cambiando 0a por 0b , ésta da

0 01 3 2 3!

b ba

, 01

2 5 4 5!

baa

, 02

3 7 6 7!

baa

, . . .

Luego, una segunda solución es

2 3 4 51/ 2

0 1 ...3! 5! 7! 9! 11!

x x x x xy b x

.

La solución general de la ecuación diferencial se obtiene sumando estas dos soluciones.


Ecuación de Bessel La ecuación de Bessel de orden 0p , t iene la forma

2 2 2( ) 0x y xy x p y . Sus soluciones son llamadas funciones de Bessel de orden p .

La ecuación de Bessel tiene la ecuación indicial 2 2 0r p , con las raíces

r p . S i sustituimos 0

n rn

n

y a x

en la ecuación dada, hallamos de la

manera usual que 1 0a y que

2 22( ) 0n nn r p a a , para 2n .


Caso 0r p :

Si sustituimos r p , obtenemos la fórmula de recurs ión

2

(2 )n

n

aa

n p n

.

Como 1 0a , tenemos que 0na para todos los valores impares de n . Los

primeros coeficientes pares son

0 02 22(2 2) 2 ( 1)

a aa

p p

,

024 44(2 4) 2 2( 1)( 2)

aaa

p p p

,

046 66(2 6) 2 2 3( 1)( 2)( 3)

aaa

p p p p

.


En general, se t iene

02 2

( 1)

2 !( 1)( 2) ( )

n

n n

aa

n p p p n

,

de donde obtenemos la solución, para 0r p

2

1 0 20

( 1)( )

2 !( 1)( 2) ( )

n n p

nn

xy x a

n p p p n

.

Si 0p , ésta es la única solución en serie de Frobenius; en este caso, si

1 0a , es la función de Bessel de orden cero, 0 ( )J x .


Caso 0r p :

Si usamos r p en la fórmula de recurrencia, obtenemos 2( 2 ) 0n nn n p a a

para 2n , 1 0a .

De aquí se deduce que s i p no es un entero positivo, hacemos 0na para n

impar y

2

( 2 )n

n

aa

n n p

, 2n , para n par .

De la m isma forma que obtuvimos la primera solución, se tiene la segunda solución

2

2 0 20

( 1)( )

2 !( 1)( 2) ( )

n n p

nn

xy x b

n p p p n

.


Ambas soluciones en serie, son convergentes para toda 0x , pues 0x es el único punto singular de la ecuación de Bessel. S i 0p , entonces el término principal en 1y es 0

pa x , mientras que el término principal en 2y es

0pb x . Por tanto, 1(0) 0y , pero 2 ( )y x cuando 0x , de modo que es

claro que 1y y 2y son soluciones linealmente independientes de la ecuación

de Bessel de orden 0p .


La función gamma Las series soluciones de la ecuación de Bessel de orden p , se pueden simplificar al usar la función gamma ( )x , definida para 0x por

1

0

( ) t xx e t dt

.

Esta integral impropia converge para cada 0x . La función gamma ( )x ,

es una generalización de !n . Para ver esto, primero escribamos

0

0

(1) lim 1bt t

b

e dt e

.


Luego integramos por partes, con xu t y tdv e dt :

1

00 0 0

( 1) lim limb b

bt x t x t x t x

b bx e t dt e t dt e t xe t dt

1

0

limb

t x

b

x e t dt

;

es decir, ( 1) ( )x x x .

Ésta es la propiedad más importante de la función de gamma. De aquí se tiene:

(2) 1 (1) 1! , (3) 2 (2) 2! , (4) 3 (3) 3! , en general, ( 1) !n n para 0n entero.


Un valor particular e importante de la función gamma es

21/ 21

20 0

( ) 2t ue t dt e du

,

donde hemos sustituido 2u en vez de t en la primera integral. Observe que

2 2 2 2 2 2( ) ( )

0 0 0 0

x y x y x ye dA e dxdy e dx e dy

2

2

0

ue du

y 2 2 2 2

/ 2( ) 1

2 20

0 0 4x ye dA e d d e

De donde

2

0 2ue du

.


Aunque ( )x se define sólo para 0x , podemos usar la fórmula recursiva

( 1) ( )x x x para definir ( )x cuando x no es igual a cero o a un entero

negativo.

En la figura se muestra el gráfico de la función gamma en el intervalo 2 5x


Funciones de Bessel del primer tipo

Si hacemos 0

1

2 ( 1)pa

p

en

2

1 0 20

( 1)( )

2 !( 1)( 2) ( )

n n p

nn

xy x a

n p p p n

, donde

0p , y observamos que ( 1) ( )( 1) ( 2)( 1) ( 1)p n p n p n p p p Podemos escribir la función de Bessel del primer tipo de orden p en la forma

2

0

( 1)( )

! ( 1) 2

n pn

pn

xJ x

n p n

.


En forma análoga, si p no es un entero, elegimos 0

1

2 ( 1)pb

p

en

2

2 0 20

( 1)( )

2 !( 1)( 2) ( )

n n p

nn

xy x b

n p p p n

para obtener la segunda solución

linealmente independiente

2

0

( 1)( )

! ( 1) 2

n pn

pn

xJ x

n p n

de la ecuación de Bessel de orden p . Si p no es un entero, tenemos la

solución general 1 2( ) ( ) ( )p py x C J x C J x

para 0x ; debemos reemplazar px con px en las ecuaciones anteriores,

para obtener las soluciones correctas para 0x .


Si p m , un entero no negativo, la función de Bessel del primer t ipo de

orden entero m , está definida como

2

0

( 1)( )

!( ) 2

n pn

mn

xJ x

n m n

.

Las gráficas de

2 2 4 6

0 2 2 2 2 2 2 2 20

( 1)( ) 1

2 ( !) 2 2 4 2 4 6

n n

nn

x x x xJ x

n

y

3 52 1

1 2 10

( 1) 1 1( )

2 !( 1)! 2 2! 2 2! 3! 2

n n

nn

x x x xJ x

n n

Se muestran en las figuras siguientes, con ventana de visualización

20 20x , 1 1y .

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