Medidas de errores

Experimentos Electromagnéticos – curso 2010

Consideraciones preliminares

• Habitualmente las teorías sobre errores derivan de consideraciones sobre sistemas ideales y son desarrolladas desde una perspectiva como la de una rama abstracta de la matemática. De esta forma, en general, resulta difícil su aplicación a problemas experimentales concretos, no satisfaciendo la necesidades concretas del campo experimental.

• Concretamente, cualquier medida de una cantidad física no sólo no es un procedimiento abstracto sino que además involucra procedimientos específicos, concretamente implementados a través de instrumentos de medición bajo ciertas condiciones de medida (temperatura, presión, etc).

• De esta forma resulta indispensable que aquellos procedimientos ideales originados en las consideraciones abstractas sean implementados de manera concreta teniendo en cuenta los datos, las propiedades y características de los instrumentos de medición y las condiciones bajo las cuales se realizan los experimentos.

Importancia

• La determinación de los errores o márgenes de incerteza presenta un alto interés desde diferentes perspectivas:

– La magnitud de la incerteza determina la calidad de la determinación experimental

– Conocer el error en una determinación permite comparar resultados entre diferentes experimentos

– Es posible establecer la capacidad de un procedimiento o metodología, evaluando la conveniencia o incluso el costo de una determinación.

Objetivo

• Análisis de las cuestiones pertinentes a la determinación de errores experimentales.

• Establecer un conjunto de recomendaciones prácticas que deben ser considerados en la resolución de determinaciones experimentales concretas.

• Se presentan los procedimientos para calcular errores durante determinaciones con instrumentos de medida.

Conceptos básicos y terminología

• Las teorías acerca de las determinaciones de los errores es una rama de la “metrología”, ciencia de las medidas.

• Una medida cuantitativa de una magnitud medible (observable) es una propiedad de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser descripto cualitativamente y expresado cuantitativamente.

• Las cantidades medibles son designadas como cantidades o magnitudes físicas (cuya principal característica es justamente que pueden ser medidas).

• El término cantidad es usado tanto en un sentido general (propiedad como peso, longitud, volumen, etc) como específico (cuando se refiere a un objeto determinado).

• Medida: es el proceso de determinación del valor de una cantidad física. Con la ayuda de un instrumento se denomina medida instrumental.

• El valor de una cantidad física: es el producto entre un número y la unidad que identifica a la cantidad (magnitud) correspondiente. El valor de la cantidad física es lo que se obtiene en una medida.

La terminología oficial está presentada en: International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology,

2nd ed., ISO (1993).

Características de una medida

• El propósito de una medida es el de representar la propiedad de un objeto concreto mediante un número.

• Una medida siempre está realizada con al ayuda de un instrumento, sin el que la medida resulta imposible.

• La medida es siempre un procedimiento experimental.

Valor real de una medida

• Es el valor de una cantidad física medible que, pudiendo ser conocida, refleja cuali y cuantitativamente la propiedad de un sistema.

Medida del error:error relativo y absoluto

La medida de un error es la determinación del apartamiento del valor de la medida respecto del valor real de la magnitud física medida, expresada de manera relativa o absoluta.

• Si A es el valor real de la medida y à es el resultado de la medida, entonces el error absoluto de la medida es ζ = à − A.

– El error absoluto es una cantidad física y puede ser positivo o negativo y es expresado en las mismas unidades que la cantidad medida.

– El error relativo es expresado como una fracción del error verdadero de una cantidad medida como ε = (Ã − A)/A. Está normalmente dado un valor porcentual (%) y a veces en veces por mil (expresado como ‰). Los errores muy pequeños (en medidas muy precisas) son habitualmente expresados en fracciones de la cantidad medida.

Límites de error o incerteza

Los instrumentos de medida no son ideales, y cada una de las medidas realizadas sobre la totalidad del experimento consiste en un procedimiento experimental.

Esta inevitable “imperfección” de la medida es expresada a través su error o incerteza. Esta noción de incerteza es caracterizada cuantitativamente a través de las nociones de límites de error o incerteza:

• Identifica la imprecisión del resultado de una medida

Incerteza (incertidumbre)

• Es el intervalo de dentro del cual el valor verdadero de una medida se encuentra con una dada probabilidad.

• Está definida por sus límites, que resultan de la medida y su mencionada probabilidad.

• Puede ser especificada en términos absolutos o relativos.

• OBVIEDAD: No se puede calcular a partir del valor real!

Errores estadísticos y sistemáticos: precisión y exactitud.

a) Baja dispersiónb) Baja dispersión + errores sistemáticosc) Alta dispersiónd) Alta dispersión + errores sistemáticos

El centro del blanco representa el valor real

a) Es una medida con alta precisión y exactitudb) Es una medida con alta precisión y baja exactitudc) Es una medida con baja precisión y buena

exactitudd) Es una medida con baja precisión y baja exactitud

Imprecisión (uncertainty) dada por INCERTEZA (dispersión estadística)Inexactitud (inaccuracy) dada por el apartamiento del valor real (imperfección)

Cálculo de errores

• Estrictamente, el error TOTAL de una determinación está dado por:

ζ = ζm + ζi + ζp,

Donde: ζm es el error estadístico, ζi es el error instrumental y ζp es el error de estimación.

• El tratamiento estadístico es aplicable para valores cuya dispersión es al azar (random), no permite estimar errores sistemáticos.

Definiremos a la apreciación del instrumento (instrumental) como la menor división en la escalao la diferencia entre dos mediciones consecutivas. Por ejemplo la apreciación de una cintamétrica es de 1 mm y la de un calibre puede ser de 0.1 mm.

Error de apreciación

el valor de la medición en la figura sería:

3.25 cm ± 0.05 cm

Aquí como el valor se encuentra entre 3.2 cm y 3.3 cm se estima el valor x=3.25 cm; además la apreciación del instrumento es 1 mm = 0.1 cm y se asigna la mitad del valor a su incertidumbre, Δx = 0.05 cm.

Cálculo de errores (estadísticos)

Requerimientos:

Los valores medidos deben representar un conjunto de datos consistentes, independientesy adquiridos mediante los mismos procedimientos experimentales. Cuando el conjunto de valores es consistente, el valor estimado se aproxima al valor verdadero a medida que el número de registros se incrementa.

A),...,(A~ 1 →∞→n

nxx

Para el caso de que existan varios valores estimados se considera como mejor aquel quepresenta la menor varianza (dispersión). Cuanto menor es la varianza, más eficiente (precisa) esla determinación.

Los métodos para hallar la estimación de una cantidad medida y los indicadores de la calidad de la medida dependen de la forma de la distribución de la función que caracterzia la observación.

Cálculo de errores (estadísticos)A),...,(A~ 1 →

∞→nnxxPara el caso de un conjunto de datos que verifica que , la distribución de lecturas

se debe a una fluctuación estadística. Para un conjunto de medidas así obtenido se definen:

Promedio o valor medio:

Para un conjunto de n mediciones se define el valor medio de la magnitud x como ∑=

≡n

iin xx

1

1

Desviación estardard:

Si la dispersión de valores es pequeña la desviación estandard también lo es, y la precisión de la medida esalta. Es siempre positiva y posee las mismas unidades que las del valor medido.

∑=

− −≡n

iin xxs

1

21

1 )(

Error o incerteza del valor medio:

De acuerdo a la definición de la desviación standard, la desviación del valor medio sm es:n

ssm =

De esta forma, para un conjunto de datos que verifique las condiciones propuestas, el resultado de el valor esperado de determina como:

msx ±=A~

Cálculo de errores (estadísticos)Distribución Gaussianas (o Normal):

Se trata de un tipo de distribución que permite describir numerosos fenómenos*, su expresión analítica estadada por:

−−= 2

2

1/2 2)(

exp)2(

)(σσπ

xxnxN

* Por ejemplo, muchos parámetros en el campo de la salud, morfológicos, fisiológicos, etc, pueden ser descritos mediante una distribución normal.

N(x) representa la frecuencia (para el caso de valores discretos de la variable) con que el valor medido

adquiere el valor x, mientras que σ representa el ancho de la distribución del valor medio de x.

Para un valor “grande” de mediciones, la probabilidad de que el valor medido tome el valor x viene dado por:

−−= 2

2

1/2 2)(

exp)2(1

)(σσπ

xxxP

Cálculo de errores (estadísticos)Distribución Gaussianas (o Normal):

Características relevantes:

De acuerdo a su definición analítica, el 68% de los valores están comprendidos en el rango

],[ σσ +− xx

Mientras que el 95% de las medidas se encuentran entre los valores

]2,2[ σσ +− xxResumen:

- Repetir la medida n veces

- Calcular el valor promedio , la desviación estandard s. El resultado debe ser reportado como:

- Para el límite de n muy grande, el valor promedio tiende al valor verdadero y la desviaciónestandard al valor

xmsx ±

nσ

Recursos relacionados en Internet

• Normal Density Plotter (UCLA Department of Statistic)

Página que permite obtener la representación gráfica de la densidad de una distribución normal de media y desviaciónestándar dados por el usuario.

• SurfStat Statistical Tables - Standard Normal Distribution (University of Newcastle)

Página que permite calcular, a partir de una distribución normal estándar, la probabilidad acumulada hasta un cierto valor, o la probabilidad de tomar un valor en un intervalo. Así mismo,permite realizar los cálculos inversos, es decir, obtener el p-cuantil de una distribución normal estándar.

• Normal Density Calculator (UCLA Department of Statistic)

Permite obtener, bajo una distribución normal, la probabilidad de observar un valor mayor o igual que uno dado. La ventajaes que permite hacerlo no sólo para la distribución normal estándar, sino para valores de la media y desviación estándardados por el usuario.

• Matt's spiffy normal plot maker (UCLA Department of Statistic)

Se introducen los datos de la variable de interes y produce el gráfico Q-Q de probabilidad normal correspondiente, quepuede ser fácilmente exportado a otros programas.

• Calculation of 95% Confidence Interval on a Sample Mean (Arizona State University)

A partir del valor de la media y la desviación estándar muestral, calcula el 95% intervalo de confianza para la media poblacional.

Medidas directas e indirectas

En general, la medición de un fenómeno es indirecta, es decir quese conoce el valor de una magnitud por medio de la medición de otras que están relacionadas con la primera a través de unaexpresión matemática de vínculo. En este caso, es necesarioconocer la forma en que el grado de incerteza se refleja en el resultado final de las mediciones, es decir cómo se propagan lasincertezas individuales de cada medición en el resultado final de la medición. Para esto contamos con el concepto matemático de diferencial total de una función que, con algunas consideraciones, nos ayuda a expresar la incerteza de la medición indirecta.

Propagación de errores

• Se trata de un método simple para determinar el error en una determinaciónindirecta, en donde deben considerarse los errores de las magnitudes medidaspara establecer el error de la magnitud que interesa determinar (indirectamente).

Sean x, y y z las magnitudes medidas cuyos errores estimados son: δx, δy y δz respectivamente.

Sea w la magnitud que se desea determinar, que es además una función de x, y y z.

Para calcular el error de la determinación en la magnitud w, δw, podemos calcular la diferencial dw:

dzz

wdy

y

wdx

x

wdw

∂∂+

∂∂+

∂∂=

Si asumimos que los errores en x, y y z son errores estadísticos, la teoría de errores indica que el error δw está dado por:

222

∂∂+

∂∂+

∂∂= z

z

wy

y

wx

x

ww δδδδ

Propagación de errores

( ) ( ) ( )222 zcybxaw δδδδ ++=

Ejemplo:

Si: czbyaxw ++=

Resulta,

Si uno de los errores (por ejemplpo en y) es mucho mayor que el resto, es posible considerar la aproximación:

( ) ybybw δδδ =≅ 2

Redondeo (cifras significativas)

Los errores deben expresarse con una única cifra significativa. Solo en casos excepcionales puede aparecer una segunda cifra 5 o 0.

La última cifra significativa en el valor de una medición debe corresponder al mismo orden de magnitud que su incerteza (décimas, centésimas, etc.), expresadas en las mismas unidades.

Expresiones incorrectas:

23.463 cm ± 0.165 cm 43.1267 m ± 0.06 m 345.2 m ± 3 m

Expresiones correctas:

23.5 cm ± 0.2 cm 43.13 m ± 0.06 m345 m ± 3 m

Aspectos que no han sido analizados -Bibliografía

• Otras distribuciones estadísticas

• Measurement Errors and Uncertainties. Theory and Practice. Semyon G. Rabinovich. 2005, 2000, 1995 Springer Science and Media, Inc. USA.