MECANICA RACIONAL

INGENIERO INDUSTRIAL. Segundo Curso.

(1999/2000)

BOLETIN DE PROBLEMAS 2: Dinamica de Sistemas de Partıculas y del Solido Rıgido.

1. Se dispone de un tubo OM infinitamente delgado que gira alrededor de su extremo O sobre un plano horizontalfijo �, con velocidad angular constante, !. Un punto material A de masa m, puede moverse dentro de dichotubo, y otro punto material B, de masa 3m, puede moverse sobre el plano �. Ambas partıculas A y B estanunidas mediante un hilo AOB, flexible, inextensible y sin masa, de longitud a (vease la figura). Se supone que

no existe rozamiento y que en el instante inicial: j�!OAj = j��!OBj = a

2; partıcula B en reposo respecto del plano

�; partıcula A en reposo respecto del tubo.

(a) Determinar completamente el movimiento de las partıculas A y B.

(b) Calcular la tension del hilo en funcion del tiempo.

(c) Calcular, en funcion del tiempo, la fuerza que el tubo ejerce sobre la partıcula A.

2. Dos partıculas A y B, ambas de masa M , estan unidas por un resorte de longitud natural nula y constanterecuperadora k = M!2

0=2. Las dos partıculas se mueven sobre una circunferencia de radio R fija en un plano

horizontal, a partir del estado inicial dado por: �(0) = 0, '(0) = �=3; _�(0) = !0, _'(0) = �!0 (ver figura).

(a) Valores de _� y _' cuando A y B se encuentran.

(b) Reacciones vinculares en A y B en funcion de '.

3. En el sistema representado en la figura, las partıculas A, B (demasas m1), y C (de masa m2), junto con el punto O, formanun rombo cuyos lados tienen una longitud a. En todo instante,dicho rombo esta contenido en un plano vertical que puede giraralrededor del eje OZ , moviendose la partıcula C a lo largo dedicho eje. Determinar las ecuaciones de movimiento en las dossituaciones siguientes:

(a) El sistema evoluciona libremente a partir del estado inicialcaracterizado por: �(0) = �=2; _�(0) = 0; _'(0) = !0.

(b) El sistema esta obligado a girar alrededor del eje OZ convelocidad angular constante _' = .

4. Un punto material P de masa m, puede deslizar sin rozamiento sobre una varilla de longitud 2a y masa m que,estando contenida en un plano horizontal, gira alrededor de su centro O. Sobre la partıcula actua una fuerzade repulsion respecto de O, proporcional a la distancia que la separa de dicho punto, siendo la constante deproporcionalidad k = m!2

0. En el instante inicial j��!OP j = a=

p3, la velocidad angular de la varilla es !0 y

el modulo de la velocidad relativa de la partıcula es vP20(0) =

p2=3a!0. Utilizando el teorema del momento

cinetico y la conservacion de la energıa mecanica, determinar la velocidad angular de la varilla y la velocidadrelativa de la partıcula ~v P

20, en funcion de la distancia al eje del giro.

5. Una varilla AB de masa m y longitud 2a, apoya su extremo A en un plano horizontal sin rozamiento, mientrasque el B descansa, tambien sin rozamiento, sobre una pared vertical. En el instante t = 0 la varilla parte delreposo y forma un angulo �0 = 60o con la vertical. Si a partir de este instante inicial la varilla empieza adeslizar, moviendose en un plano vertical:

(a) ¿Cual sera la inclinacion cuando el extremo B se separa de la pared?

(b) Aceleracion angular de la varilla cuando el extremo B toca el suelo.

6. La chimenea de una fabrica, fija al suelo en O, se puede modelar para pequenos movimientos en torno a suposicion de equilibrio � = � por una varilla homogenea OA de masa m, longitud L y articulada en O. Se pide:

(a) Calcular la fuerza de reaccion vincular en O, como una fun-cion del angulo �, expresando las componentes en los ejesOX2Y2.

(b) Calcular los esfuerzos (fuerza vincular y momento flector),ejercidos por la porcion PA sobre la OP , en funcion de � y dela distancia r a que se halla el punto P respecto del extremoO.

(c) A partir de la expresion del momento flector, determinar elpunto de la chimenea donde, preferentemente, se producirıauna eventual rotura.

7. Un sistema material esta formado por dos varillas homogeneas, ambas de masam y longitud 2a que, articuladasen un extremo comun A, se mueven en un plano vertical fijo. Los dos extremos libres deslizan sin rozamientosobre una recta horizontal con velocidades ~v y �~v. Aplicando los teoremas de Koning, calcular la energıacinetica y el momento cinetico respecto del punto A.

8. El sistema biela–manivela–piston elastico representado en la figura esta contenido en todo instante en un planohorizontal OX1Y1. Dicho sistema esta constituido por dos varillas homogeneas identicas (OA y AB), delongitud a y masa m, y articuladas en A; y por un piston (supuesto sin masa), sobre el que actua un resorte delongitud natural a y constante elastica k. La varilla OA puede girar alrededor del punto fijo O, mientras que elextremo B de la otra varilla desliza sin rozamiento sobre el eje OX1, permaneciendo siempre entre los puntosO y C de dicho eje (

��!OC = 2a~{1). Se pide:

(a) Calcular las energıas cinetica y potencial del sistema en todo el rango de valores de � (0 � � � 2�).

(b) Utilizando el teorema de las fuerzas vivas, calcular el par motor ~� = �(�)~k que ha de aplicarse en O para

que la varilla OA gire con velocidad angular constante ~! =q2k=m ~k1.

9. Los ejes cartesianos OX0Y0, contenidos en todo instante en el plano horizontal fijo OX1Y1, constituyen elsolido sin masa “0” que, accionado por el par motor ~� = � ~k1, gira sin rozamiento alrededor del eje verticalOZ1. Los extremos A y B de una varilla homogenea pesada, de longitud 2a y masa m (solido “2”), puedendeslizar sin rozamiento por los ejes OX0 y OY0, respectivamente. En el instante inicial (t = 0), el estado del

sistema esta definido por _�0 = _'0 = 0; �0 = '0 =�

4. Utilizando los metodos de la Dinamica Vectorial,

calcular las reacciones vinculares en A y B, ası como los valores de las aceleraciones angulares�� y �' en elinstante inicial.

10. Un aro homogeneo de masa m y radio a (solido “2”), se mueve en un plano vertical fijoOX1Y1 (solido “1”), demanera que en todo instante esta obligado a deslizar sin rozamiento por el pasador fijo situado en O. El puntoA del aro esta unido a un deslizador sin masa que se mueve siempre sobre el eje horizontal OX1 (tambien sinrozamiento), comprimiendo un muelle elastico de longitud natural 2a y constante recuperadora k =Mg

2a. El

extremo fijo del resorte esta unido a un punto B del eje OX1, situado a una distancia 2a de O. Se pide:

(a) Ecuaciones diferenciales del movimiento:

i. Aplicando el teorema del momento cinetico en el C.I.R.ii. Aplicando el teorema de conservacion de la energıa mecanica.

(b) ¿Que condicion debe cumplir la energıa mecanica del sistema para que este pueda acceder a todas lasposiciones correspondientes al intervalo 0 � � � �=2?

(c) Suponiendo que la posicion inicial del sistema viene dada por �(0) = 0, ¿cual debe ser el valor mınimode la condicion cinematica inicial _�0 = _�(0) para que el sistema pueda moverse en el intervalo antesmencionado?

11. Un disco homogeneo de masam y radio R esta obligado a moverse en un plano vertical, manteniendose siempreen contacto con el eje horizontal OX . Sustituir vınculos por fuerzas de reaccion vincular y fuerzas directamente,aplicadas en los siguientes casos:

(a) Rueda sin deslizar.

(b) Desliza sin rodar.

(c) Existe resistencia al deslizamiento.

(d) Existe resistencia a la rodadura.

12. El disco homogeneo de la figura (solido “2”), de radio R, masa m y con baricentro en G, se mueve en elplano vertical fijo O1X1Y1 (solido “1”), rodando sin deslizar sobre el eje OX1. Un vastago horizontal de masadespreciable (solido “0”), situado a una distancia R=2 del eje OX1 y cuyo extremo P recorre sin rozamientouna acanaladura diametral del disco (AB), tiene aplicada una fuerza constante ~F = F~{1. El extremo P delvastago debe estar siempre en la acanaladura AB, de manera que el movimiento de rotacion del disco se limitaal intervalo �=6 � � � 5�=6.

(a) Desvincular el sistema.

(b) Determinar las reacciones vinculares en P y en el punto de contacto entre el disco y el eje OX1.

(c) Aplicar razonadamente el teorema del momento cinetico en P .

13. Una recta OB (sin masa) que se mueve en un plano vertical OXY con su extremo O fijo, pasa por el centroC de un disco de radio R y masa m que, en todo instante, permanece perpendicular a OB. El centro del discodesliza sin rozamiento sobre esta recta, a la vez que puede girar alrededor de ella. En el instante inicial, la rectase halla colocada verticalmente, el disco gira con velocidad angular ! alrededor de OB y la velocidad de sucentro es vc (0) = !a, dirigida en la direccion perpendicular a dicha recta.

(a) Determinar la energıa cinetica del sistema y el momento cinetico respecto de O, en el movimiento abso-luto.

(b) Ecuaciones de movimiento

(c) Resultante y momento resultante respecto de C de las acciones que la recta OB ejerce sobre el disco, enterminos de los parametros utilizados para la descripcion del sistema y de sus derivadas.

14. Un solido “2” esta constituido por un disco de radio a y masa m, y una varilla de longitud a y sin masa (solido“0”), ortogonal al disco en su centro C . En todo momento el disco se halla en uno de los extremos de la varilla,girando alrededor de esta. El otro extremo de la varilla se articula a un punto fijo O de coordenadas (0,0,a) enel sistema de referencia “1”. Bajo la hipotesis de que la velocidad de rotacion propia del disco _ , es muchomayor que las restantes velocidades angulares, determinar la velocidad del punto C .

15. Una placa cuadrada OABC de lado a y masa m (solido “2”), esta obligada a moverse de forma que el verticeO esta fijado al origen del sistema de referencia inercial OX1Y1Z1, mientras que la diagonal OB se mueveestando siempre contenida en el plano z1 = 0. Se pide:

(a) Desvincular el solido “2” en el punto O.

(b) Ecuaciones diferenciales e integrales primeras del movimiento.

16. Una circunferencia de radio R y masa m (solido “2”), esta obligada a moverse de forma que su centro O

permanece fijado al origen del sistema de referencia inercial OX1Y1Z1, mientras que el diametro AB se mue-ve manteniendose siempre contenido en el plano horizontal OX1Y1. Utilizando los metodos de la DinamicaVectorial, se pide:

(a) Obtener dos integrales primeras del movimiento, sabiendo que en el instante inicial (t=0), el estado delsistema esta caracterizado por los valores: �(0) = �=4 ; _�(0) = !=

p3 ; (0) = 0 ; _(0) = (2=3)!.

(b) Calcular el momento vincular en O.

(c) Dibujar la traza dejada por el eje OZ2 sobre una esfera de radio unidad y centro O, al moverse aquelsolidariamente con la circunferencia material (Sugerencia: Utilizar los resultados del primer apartado yefectuar el cambio de variables cos � = u).