CUADERNO de CATEDRA de la asignaturaMECANICA RACIONAL Ing. Sergio Edgardo Katogu Ing. Jorge Lus Lpez Ing. Rubn Daro Ferreyra Vctor Javier Sommer Ao 2007 Indice Unidad 1:lgebra Tensorial Transformacin de coordenadas2 Propiedades de los tensores3 Diagonalizacin de un tensor5 Operaciones con tensores:5 Tensores simtricos y antisimtricos5 Diagonalizacin de una matriz simtrica real6 Forma cuadrtica asociada7 Operadores lineales8 Tensor de inercia8 Transformacin de coordenadas9 Tensor de inercia9 Unidad 2:Cinemtica de la Partcula . Vector de Posicin, Velocidad y Aceleracin11 Coordenadas cartesianas\12 coordenadas cilndricas13 Coordenadas esfricas15 Coordenadas intrnsecas18 Radio vector o Vector de Posicin20 Sistemas de coordenadas generalizadas20 Sistemas Referenciales20 Base de coordenadas generalizadas21 Coordenadas Cilndricas21 Coordenadas Esfricas23 Coordenadas intrnsecas24 Transformacin de Coordenadas25 Cinemtica Relativa .. Sistemas de Referencia en Movimiento26 Sistemas Rgidos y Deformables26 Sistemas en Traslacin (nicamente)27 Sistemas en Rotacion28 Sistemas en Traslacin y Rotacion Simultanea32 Unidad 3:Cinmatica del Cuerpo Rgido. Condicin de rigidez33 Condicin cinemtica de velocidades34 Condicin cinemtica de aceleraciones35 Movimientos del Slido en el Espacio35 Translacin pura36 Rotacin pura37 Velocidad en la rotacin37 Vector velocidad angular38 Aceleracin en la rotacin39 Campo de velocidades39 Grados de libertad40 Movimiento polar del slido40 Angulo de precesin41 Angulos de Euler41 Angulo de nutacin42 Angulo de rotacin propia42 Movimiento rototraslatorio43 Polo de reduccin43 Teorema de Euler - Chassles43 Invariante escalar44 Invariante vectorial44 Descomposicin impropia46 Descomposicin propia46 Eje central del movimiento47 Ecuacin del eje central48 Axoides49 Movimiento helicoidal tangente49 Movimiento paralelo49 Movimiento polar49 Movimiento Plano50 Centro instantneo de rotacin51 Trayectorias polares52 Centro instantneo de rotacin52 Ecuacin de la base53 Ecuacin de la rodante54 centro instantneo de velocidad55 Estado de aceleracin en el movimiento plano55 Coordenadas del polo de aceleraciones56 Polo de aceleraciones56 Unidad 4:Dinmica de la Partcula.Principio de Accin y Reaccin58 Principio de independencia de accin de fuerzas58 Principio de Inercia58 Principio de Inercia (1 Ley de Newton)58 Principio de masa58 Movimiento unidimensional de la partcula59 Fuerza dependiente del tiempo60 Definicin de energa potencial61 Fuerza dependiente de la Posicin61 Fuerza dependiente de la velocidad61 Curvas de potencial62 Estados de Equilibrio63 Movimiento Curvilneo de la Partcula65 Cantidad de movimiento66 Teorema del momento cintico67 Momento cintico67 Vnculos o Ligaduras. 73 Reacciones de vnculos74 Movimiento sobre una curva lisa75 Vnculos Rugosos75 Dinmica Relativa de la Partcula76 Movimiento sobre una superficie lisa76 Principio de DAlembert77 Unidad 5:Dinmica de los Sistemas de PartculasMasa del sistema78 Cantidad de movimiento79 Conservacin de la cantidad de movimiento80 Momento cintico81 Conservacin del momento cintico81 Trabajo y Energa82 Dinmica Del Slido Rgido . Masa del slido rgido84 Cantidad de movimiento84 Momento cintico85 Momento y productos de inercia86 Conservacin del momento cintico88 Diagonalizacin del tensor de Inercia89 Teorema de los ejes paralelos90 Momento cintico90 Dinmica relativa del slido . Cantidad de movimiento91 Momento cintico92 Reacciones dinmicas de un slido en rotacin93 Equilibrio dinmico95 Movimiento de un slido con un punto fijo95 Movimiento de un Slido por Inercia96 Fuerza recuperadora elstica99 Modelacin dinmica99 Unidad 6:Sistemas vibratorios de un grado de libertad. Deformacin de sistemas elsticos100 Combinacin de constantes elsticas103 Estudio de Vibraciones Mecnicas Armnicas104 Vibraciones armnicas libres no amortiguadas105 Oscilaciones con influencia del peso106 Oscilador Amnico Torsional Libre106 Mtodos energticos107 Vibraciones Armnicas amortiguadas108 Vibraciones Subamrtiguadas109 Vibracin Crticamente Amortiguada110 Vibraciones Sobreamortiguadas110 Decremento Logaritmico111 Factor o grado de amortiguamiento111 Vibraciones Armonicas Forzadas112 Vibraciones Forzadas Sin Amortiguamiento113 Vibraciones Forzadas con Amortiguamiento114 Representacin fasorial118 Vibracin armnica Libre118 Vibracin forzada no amortiguada118 Vibracin Forzada con Amortiguamiento119 Desbalance rotatorio120 Movimiento del soporte121 Aislamiento Vibratorio124 Modos normales de vibracin.126 Unidad 7:Oscilaciones de Dos o Ms Grados de Libertad. Valores y vectores propios130 Vibracin armnica forzada131 Amortiguador de vibraciones132 Unidad 8:Mecnica analtica Principio de los desplazamientos virtuales133 Trabajos virtuales133 Coordenadas generalizadas134 Ecuacin general de la dinmica134 Fuerzas Generalizadas135 Ecuaciones de Lagrange136 Dinmica impulsiva137 1 Unidad 1: lgebra Tensorial Introduccin. Seestudiarenestaunidad,ellgebradelasfuncionesvectorialeslineales,o tensores, instrumentos matemticos que sern utilizados para el estudio de la dinmica de los slidos.Para introducir el concepto de tensor, se partir de un ejemplo: Se sabe que cuando un slidogiraalrededordeunejedesimetra,elvectormomentoangularLtienelamisma direccin que el vector velocidad angular , y la relacin entre ambos est dada por: L = I donde I representa el momento de inercia del slido respecto del eje de rotacin. Porejemplo,consideremoselcasodeunslido cilndrico que rota sobre su eje.Enestecaso,I=Momentodeinerciadelcuerpo respecto del eje de rotacin. Eneldibujo,sedestacalacolinealidadentreel 0momento angular y la velocidad angular.LacolinealidadentrelosvectoresLy nose verificaengeneral,sinoquesetratadeuncaso particular, con las condiciones mencionadas. A continuacin se analiza un caso general.Enlafiguradeladerecha,semuestraunslidono regular que rota sobre un eje cualquiera, y se representa un casogeneralenquenoexistecolinealidadentrelos vectores L y . Sabemossinembargo,lantimarelacinentreestas magnitudes,y por otra parte, se puede verificar que a cada vector ,lecorrespondeunvectorLperfectamente definido. Podemospensarentoncesenunaoperacinlinealtal querealizadasobre daporresultadoL.Estopuede representarse mediante la siguiente ecuacin operacional: L = [I] [I] representa el operador, que transforma a en L. Se ver que [I] se representa por medio de una matriz de 3x3, y cada componente de esamatrizdependedelaformaenqueestdistribuidalamasadelslido,ydelsistema referencial en que se expresa.De la ecuacin operacional L = [I] podemos despejar [I] =L / . Esta operacin (el cociente entre dos vectores) no es factible de realizar,y la indicamos al slo efecto de introducirelsiguienterazonamiento:Elcocienteentredoscantidadespuedeserdetipo diferenteymscomplicadoqueeldeestas;porejemplo,elcocientededosenteros puedeserunnmeroracional.Demodoanlogo,elcocienteentrevectoresnoesun vector.Noesextraoentoncesque[I]seaunamagnituddeunnuevotipo:untensorde segundo orden .Estetensor se denomina tensor de inercia. L L 2 Otroejemplodetensor,eseltensorproductotensorialdedosvectores.Dadoslos vectoresa:[a1,a2,a3],yb:[b1,b2,b3],sedefineelproductotensorialabdelasiguiente manera: ((((

= 3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1b a b a b ab a b a b ab a b a b ab a

Aqu,seharepresentadoeltensorproductotensorialenformamatricial.Nodebe confundirselarepresentacindeltensorconeltensormismo,severqueendistintos sistemas referenciales, el tensor adoptar distintas representaciones. Representacin con subndices Sibiensetrabajarconlarepresentacinmatricial,lostensorestambinse puedenrepresentarutilizandosubndices,as,eltensorproductotensorialsepuede representar como aibj=[a1b1,a1b2,.....,a3b2,a3b3] Paraindicarenformacompactasumatoriasdetrminos,seadoptalasiguiente convencin:"Cuandoenunaexpresinmonomia,figurandosndicesrepetidos,se entender que se trata de una suma en la que los ndices repetidos, van sumados de 1 a la dimensin en que se est trabajando Por ejemplo:aibi ==nii ib a1 = a1b1+a2b2+.....+anbn aibjci==nii j ic b a1=a1bjc1+a2bjc2+...+anbjcn Transformacin de coordenadas Lascomponentesaibjsonlascomponentesdeltensorenelsistemareferencialenel cual se representan los vectores a y b. En un sistema referencial distinto, ligado al primero por la matriz de transformacino de cambio de base [M], las componentes de tensor sern distintas, es decir, la representacin del tensor ser distinta. Con convencin de subndices, la transformacin de un vector se escribe: am = hmiai donde hmi son los elementos de la matriz de transformacin. Los vectores a y b se transforman el nuevo sistema referencial utilizando la matriz de transformacin: a = [M]a b = [M]b Se entiende que en las operaciones indicadas, los vectores se escriben como columnas, para realizar la aplicacin de la matriz de transformacin a los mismos. En la nueva base, se realiza el producto tensorial: 3 ((((

= 3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1b a b a b ab a b a b ab a b a b ab a Los elementos del tensor producto tensorial [ab] se transforman como sigue: [ab] = hmiaihmjbj Utilizando el algebra matricial, puede transformarse el tensor de un sistema referencial a otro utilizando la matriz de cambio de base [M]: ab=[M][ab][M]T donde[M]Tindicalatransposicindelamatrizdecambiodebase,equivalenteala inversin cuando las matrices son ortonormales. Generalizacin del concepto de tensor Lostensoressonentesmatemticosquepuedenrepresentarpropiedadeso caractersticas de cuerpos o materiales. Adems del tensor de inercia, podemos mencionar el tensor de tensiones, cuyos elementos son tensiones normales y tensiones tangenciales, y que representa el estado tensional de un slido. Ante una transformacin de coordenadas, puede cambiar la representacin del tensor, el cual conservar propiedades que no cambian cuando se cambia el sistema referencial. Se puede generalizar el concepto de tensor, diciendo que tmn elementos constituyen un tensor si las componentes del mismo en dos sistemas referenciales distintos estn ligados por: tmn = hmihnjtij Cuya notacin en forma matricial es: [t] =[M][t][M]T Orden de los tensores Lostensoreshastaaqupresentadosamododeejemplo,sontensoresdesegundo orden,ysurepresentacinserealizamediantematrices.Losescalaressontensoresde orden 0, en tanto que los vectores son tensores de orden 1. Elnmerodecomponentesdeuntensorsedeterminaelevandoladimensindel espacioderepresentacindeltensoralordendeltensor.Llamandonaladimensindel espacio, y p al orden del tensor, resulta: n de componentes = np Enestaasignatura,seutilizarantensoresdeorden2,especficamente,eltensorde inercia,pararepresentarcaractersticasdeunslidoligadasalaformaenqueest distribuida su masa. Propiedades de los tensores: Untensorposeepropiedadesindependientesdelsistemaderepresentacin, denominadas invariantes. Ejemplos de invariantes: 1. Dadoeltensordeorden0oescalar,elmismonocambiaendistintossistemas referenciales.2. Dado el tensor de primer orden o vector, a = [a1,a2,a3] 4 El mdulo de a es un invariante ante cambios de coordenadas.Dados los vectores a y b El producto escalar de los mismos es un invariante. El ngulo entre los mismos es un invariante. En general, las operaciones entre invariantes de tensores da nuevos invariantes.3. Para un tensor de segundo orden distinguimos los siguientes invariantes: Dado el tensor [t], y su representacin en dos sistemas referenciales: [t]=;[t]= Podemos distinguir los siguientes invariantes. 1.La suma de los componentes de la diagonal t11+t22+t33 = t11+t22+t33=k 2.Dado un tensor de segundo orden, del mismo se puede deducir un tensor de primer orden o vector: v = [(t23-t32),(t31-t13),(t12-t21)]. Es evidente que en el caso de tensores simtricos, este vector ser nulo. 3.Auntensordesegundoordenlecorrespondeunescalarinvariantedadoporsu determinante,k = Det[T] Ejemplos de invariantes de tensores de segundo orden 1. Tensor producto tensorial Dados los vectores a y b, su producto tensorial es: ab= Los invariantes son: a. Invariante escalar = a1b1 + a2b2+a3b3 = ab (producto escalar entre a y b) b. El vector v = [(a2b3-a3b2),( a3b1-a1b3), ( a1b2-a2b1)] es el producto vectorial a x b. c. El tensor derivado: DadoelcampovectorialB(x,y,z)=[B1(x1,x2,x3),B2(x1,x2,x3),B3(x1,x2,x3)],siendolas Bi(x,y,z)continuasyderivables,lasnuevederivadasparcialesconstituyenuntensor, denominado tensor derivado: = En este tensor los invariantes son: a. Invariante escalar: La suma de los elementos de la diagonal constituyen la divergencia de B: 332211xBxBxBB++= ((((

33 32 3123 22 2113 12 11t t tt t tt t t((((

33 32 3123 22 2113 12 11' ' '' ' '' ' 't t tt t tt t t((((

3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1b a b a b ab a b a b ab a b a b a((((((((

332313322212312111xBxBxBxBxBxBxBxBxB) , , () , , (3 2 13 2 1B B xB B B5 b. Invariante vectorial: Elvectores el rotor de B. Operaciones con tensores: 1. Adicin y sustraccin: Esta operacin esta definida para tensores del mismo orden, dados dos tensores tmn y umn, su suma es otro tensor smn cuyas componentes son las sumas de las componentes del mismo subndice: smn = tmn + umn. En forma matricial: [s] = [t]+[u]. 2.Multiplicacinporunescalar:Sedefinelamultiplicacindeuntensorporun escalar,alnuevotensorqueresultademultiplicarcadacomponentedeltensorpordicho escalar: smn = k tmn, o [s]=k [t] 3. Producto tensorial: El producto de un tensor de orden p por otro de orden q, da por resultado un tensor de orden p+q, cuyas componentes son el producto de las componentes del primero por las componentes del segundo. Tensores simtricos y antisimtricos: Untensordesegundoordenessimtricositij=tji,yesantisimtricositij=-tji.Las propiedadesdesimetrayantisimetrasonindependientesdelsistemareferencial.Todo tensor puede expresarse como la suma de un tensor simtrico y un tensor antisimtrico: tij= (tij+tji)+ 1/2(tij-tji) En forma matricial: [T] = ([T]+[T]T)+1/2([T]-[T]T) Diagonalizacin de un tensor Enestaseccin,setrabajarconladiagonalizacindeuntensor,esdecir,dadoun tensor,sebuscarlamaneradeencontrarunsistemareferencialenelcualsu representacin sea diagonalizada. Esta operacin implica la determinacin de los vectores y valores caractersticos (autovectores y autovalores) de la matriz que representa al tensor. Se considera una transformacin lineal de la forma am=hmi.ai, que en forma matricial se indica [v]T = [H][v]T donde [H] es la matriz de transformacin. Sebuscarnahoravectorestalesquealaplicarleseloperador[H],setransformanen vectores colineales. Significa esto que el vector transformado es mltiplo escalar del vector dado, v = v [H][v]T = [v]T = [1][v]T[1] : Matriz identidad que puede reescribirse : [H][v]T - [1][v]T= ([H] - [1])[v]T = 0 Desarrollando los productos, queda el siguiente sistema de ecuaciones: = + += + += + + 0 ) (0 3 ) (0 ) (3 33 2 32 1 3123 2 22 1 213 13 2 12 1 11v h v h v hv h v h v hv h v h v h ((

|||

\||||

\||||

\|122131132332, ,xBxBxBxBxBxB6 Siendoestesistemahomogneo,tendrsolucionesnotrivialessieldeterminantede los coeficientes es nulo, o sea. 0) () () (33 32 3123 22 2113 12 11=h h hh h hh h h Al resolver el determinante, queda un polinomio de tercer grado: 3 + A2 + C +D = 0 Estaecuacinsedenominaecuacincaractersticaysusraces,1,2,3se denominan valores caractersticos, autovalores o eigenvalues. Reemplazandoenelsistemadeecuacioneslosautovalores(deaunoporvez),se obtienen los vectores v1 (v11,v12,v13), v2 (v21,v22,v23), v3 (v31,v32,v33) denominados vectores caractersticos, vectores propios, autovectores o eigenvectores. Se verifican los siguientes corolarios y teoremas: a. Los autovalores de una matriz de componentes real y simtrica son reales.b. Un autovector no puede corresponder a dos autovalores distintos. c. Si v1, v2, v3 son autovectores que corresponden a valores propios distintos, entonces son linealmente independientes.d.Sivi,vj sonautovectoresquecorrespondenalosautovaloresi,jdeunamatriz simtrica real, entonces son ortogonales. Diagonalizacin de una matriz simtrica real. Sean 1, 2, 3 autovalores de [A], matriz real y simtrica que representa a un tensor en unsistemareferencialortogonalyv1,v2,v3,losautovectorescorrespondientesalos1, 2, 3. Dividiendocadaautovectorporsumdulo,yordenndolosenformaadecuada,se formacon ellos una base ortogonal directa. Seforma la matriz [M], tal que sus filas sean los autovectores divididos por su mdulo: [M]= [M]: Matriz Modal Esta matriz [M] es la matriz de transformacin que liga el referencial original con un sistema referencial cuya base son los autovectores. Premultiplicando[A]por[M],ypostmultiplicandolopor[M]T,resultaunamatriz diagonal, siendo los elementos de la diagonal los autovalores 1, 2, 3. [M][A][M]T=[D] =

Esta matriz diagonal es la representacin del tensor en el referencial cuya base son los autovectores.((((

33 32 3123 22 2113 12 11v v vv v vv v v((((

3210 00 00 07 Casos particulares Lostensoressimtricospuedenponerseenformadiagonalizadamedianteuna transformacinortogonalapropiada.Loselementosdeladiagonalsonnicos,aunque puedennoaparecerenelmismoordenenladiagonaldelamatriz.Losejesdelsistema referencialenelcualeltensortienerepresentacindiagonalizadasedenominanejes principales. Si los autovalores son distintos, estos ejes son nicos y ortogonales. Como casos particulares, pueden aparecer autovalores iguales. Si aparecen dos autovalores iguales,sedicequeelautovaloresdoblementedegenerado,silostresautovaloresson iguales, el mismo es triplemente degenerado. Enelcasodetripledegeneracin,eltensortienelamismarepresentacineltodo sistema referencial, y cualquier eje es eje principal. Como ejemplo, el tensor de inercia de una esfera de densidad uniforme es diagonalizado en todo sistema referencial cuyo origeneselcentrodelaesferaycualquierejequepaseporsucentroesunejeprincipalde inercia. Enelcasodedobledegeneracin,elejeprincipalasociadoalautovalordistintoes nico, y perpendicular a un plano. Cualquier eje que est contenido en este plano y corte al eje principal nico es eje principal. Forma cuadrtica asociada SellamaFormacuadrticaaunaexpresindesegundogradoennvariables.Por ejemplo, para n = 3, Q(x1,x2,x3) = a11x12+a12x1x2+a13x1x3+.+a21x2x1+a33x32. La forma cuadrtica en xi puede ser expresada en forma matricial: Q[x] = [x][A][x]T [x] = [x1, x2, x3], ((((

=33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aA Silamatriz[A]eslarepresentacindeuntensor,Q[x]=[x][A][x]Teslaforma cuadrtica asociada al tensor. Lacuadrticaasociadaauntensoresuninvarianteantecambiosdesistemas referenciales.Enparticular,paraunsistemareferencialcuyabaseasociadasonlos autovectores la representacin del tensor ser diagonal, y la forma cuadrtica se reduce a: Q[x] = 1x12+ 2x22+ 3x32 Definiendo la siguiente operacin: [x][A][x]T=1 y considerando que [A] es un tensor simtrico de segundo orden, se obtiene: a11x12+ 2a12x1x2 + a 22x22+2a13x1x + 2a23x2x3+a33x32 = 1 8 Setratadeunaecuacindesegundogrado,quedefineunasuperficiedesegundo ordenenelespaciotridimensional.Comonotienetrminoslineales,setratadeun elipsoideounhiperboloidedeunaodoshojas.Estasuperficiesedenominasuperficie caracterstica o cudrica caracterstica, y permite representar un tensor en forma grfica. Enelsistemareferencialparaelcualeltensoresdiagonalizado,laformacuadrtica se reduce a: 1x12 + 2x22 + 3x32 = 1 Enelcasodeltensordeinercia,dadoquelosautovaloressonmomentosdeinercia, siemprepositivos,lacudricaessiempreunelipsoide,queenelcasodedoble degeneracinesunelipsoidederevolucin,yenelcasodetripledegeneracinesuna esfera. Operadores lineales Se considera la siguiente operacin:c = [A] b Donde[A]esunamatriz,cybsonvectores.Enestaoperacin,lamatrizpuedeser considerada como una transformacin lineal, o bien como un operador lineal, que al vector b le hace corresponder el vector c. Anexo. El tensor de Inercia Se estudiar un ejemplo de tensor: el tensor de Inercia. Este tensor de segundo orden resumelascaractersticasdeunslido,relativasalacantidaddemasaqueposee,yala formaenqueestaestdistribuida.Suimportanciaparaestaasignaturaradicaenla utilizacin del mismo en el estudio de la dinmica de rotacin de los slidos.Loscomponentesdeltensordeinerciadeunslidoreferidoaunsistemareferencial xyz,sonlosmomentosdeinerciadelslidorespectodelosejes,elementosquese encuentran en la diagonal, y los productos de inercia. Tensor de inercia: [I] = Donde:Ixx,Iyy,Izzsonlosmomentosdeinercia,Ixy=Iyx,Ixz=Izx,Iyz=Izysonlos productos de inercia. Estosmomentosyproductosdeinercia,paradistribucionescontinuasdemasa,se calculan de acuerdo a las siguientes expresiones: Ixx = Iyy = Izz = Ixy=Iyx =((((

zz zy zxyz yy yxxz xy xxI I II I II I I( ) [ ]dV z y x z yV, ,2 2+( ) [ ]dV z y x z xV, ,2 2+( ) [ ]dV z y x y xV, ,2 2+[ ]dV z y x xyV, , 9 Ixz =Izx=

Iyz =Izy= En estas definiciones para los momentos y productos de inercia, se tiene. = densidad de masa V = volumen ocupado por el slido x, y, zson las coordenadas en el sistema xyz del elemento de volumen dV dV es la masa (dm) del elemento de volumen dV Parasistemasformadospormimasaspuntuales,lasdefinicionesparalosmomentosde inercia son las siguientes: Ixx= Iyy= Izz=

Ixy=Iyx =

Ixz =Izx= Iyz =Izy= Donde xi,yi,zi son las coordenadas en el sistema xyz de la masa puntual mi. Enbasealasdefinicionesdeloselementosquecomponeneltensordeinercia,se puede afirmar que el tensor de inercia es simtrico, y sus coeficientes son nmeros reales. El tensor de inercia y la transformacin de coordenadas Sea el tensor de inercia [I], referido a un sistema referencial xyz. Si se considera un sistemareferencialxyz,rotadorespectodelprimero,eltensordeinercia[I]referidoa estesistemareferencialeselmismo,perosurepresentacincambiar.Significaestoque lascomponentesdeltensortendrnvaloresdistintos.Larelacinentreambas representaciones del tensor se obtienen mediante las ecuaciones de transformacin: [I] = [R][I][R]T Donde[R]eslamatrizmodalomatrizdecambiodebase,querelaciona representaciones en xyz con representaciones en xyz. Paracadatensordeinercia,existeporlomenosunsistemareferencialenelcualla representacindelamatrizesdiagonalizada.Paradeterminarestasdirecciones,puede utilizarelprocedimientodescritoenlaseccincorrespondiente,lasdireccionesque coinciden con las de ese sistema referencial, se denominan ejes principales de inercia.Ejemplos: Para un slido cilndrico de densidad de masa uniforme, el tensor de inercia referidoacualquiersistemareferencialdeejesortogonalestalquesuorigenestubicado [ ]dV z y x xzV, , [ ]dV z y x yzV, , [ ] z y x , , [ ] z y x , , +i i im z y ) (2 2+i i im z x ) (2 2+i i im y x ) (2 2i i im y x ) (i i im z x ) (i i im z y ) (10 enelcentrodegravedad,ytengaunejecoincidenteconelejedelcilindro,esdiagonal izado. El tensor de inercia como operador lineal Para un slido en rotacin, el momento angular del mismo puede obtenerse aplicando como un operador lineal el tensor de inercia al vector velocidad angular. L =[ I] Si tiene la direccin de un eje principal de inercia, es un autovector del operador, es decir, para este caso L ser colineal con Segn lovisto en Fsica 1, la variacin del momento angular de un cuerpo, expresada comosuderivadarespectodeltiempo,esigualaltorqueomomentoexternoqueacta sobre el cuerpo. 11 Unidad 2: Cinemtica de la Partcula. Conceptos generales: Lacinemticaestudiaelmovimientodeloscuerposconprescindenciadelascausas queloproducen.Describelaposicin,lavelocidad,laaceleracinylatrayectoriaque puede tener un cuerpo, sin considerar las fuerzas que lo ocasionan. En esta unidad, se describir el movimiento de partculas puntuales, sin dimensiones ni estructurainterna.Partculaopuntoesunaabstraccinquepermitesimplificarelestudio del movimiento y desarrollar sus conceptos fundamentales. En determinadas circunstancias y condiciones algunos sistemas mecnicos se pueden abordar razonable y suficientemente, considerndolos como puntuales. Paraestudiarelmovimiento,resultaindispensableadoptarsistemasdereferencia convenientes.As,setienenlosSistemasdeReferenciaFijosoAbsolutosysistemas de Referencia mviles o Relativos. Vector de Posicin, Velocidad y Aceleracin ElVectordeposicindelapartculaP,respectodelsistemafijoOesr(t),funcin vectorialquedependedeltiempo.ElVectordeposicintendrsiempresuorigen coincidente con el origen del sistema fijo, en tanto que el otro extremo coincidir o seguir la posicin de la partcula. Latrayectoriadeunmvileslacurvaalabeadacdescriptaparamtricamenteporla funcin r(t). Existen muchos tipos de movimientos diferentes, incluso sobre una misma trayectoria. Estos se distinguen por el ritmo con que cambia el vector de posicin al transcurrir el tiempo. Se ve en la figura la partculaen dos instantes diferentes,ty poco tiempo despus,t+t.Duranteeseintervalodetiempo,laposicinpasadeserdescriptaporelvector r[t], al vector r[t+t] En el dibujo se han omitido los ejes del sistema referencial. Elcambiodeposicinqueha experimentadolapartcula,estdadoporel vector desplazamiento r: r = r[t+t] r[t] Generalmente,estevectornocon coincideconlatrayectoria,salvoelcaso particular del movimiento rectilneo. Lavelocidad,oritmoconquecambiao se modifica el vector posicin, es la derivada delvectorposicinrespectodeltiempo,lmitedelcocienteincrementalr/tcuandoel incremento t tiende a cero: v == En el lmite, cuando el intervalo de tiempo se hace cada vez cada vez ms pequeo, el vector r se aproxima a la trayectoria y el vector velocidad queda tangente a la misma. O r[t] r[t+t] r c [ ]dtt dr [ ] [ ]tt r t t rLmt + 012 z(t)y(t)x(t)tzddtyddtxddr(t)v(t) r(t)22tydd22tzdd y(t) z(t)22txdd Este vectorvelocidad dependiente del tiempo se indicar de la siguiente manera: tr rrdtdrt vt t ttt= = = +) ( ) () () (lim ) ( Siendor(t)elvectordeposicinreferidoaunsistemafijo,lavelocidadv(t)definida es la velocidad absoluta, y es independiente del origen O considerado. La aceleracin se define como: tv vrdtr ddtdvt at t ttt t= = = = + ) ( ) () (2) (2) (lim ) ( Podemos entender a la aceleracin como la causa de los cambios en la velocidad. Ms adelanteseverqueelcambioenelmdulodelvectorvelocidadsedebenauna componente de la aceleracin denominada aceleracin tangencial, en tanto que los cambios en la direccin se deben a la aceleracin normal. Interesaanalizarr(t),v(t)ya(t)paralossistemasdecoordenadasmsusualeso prcticos: cartesianas, cilndricas, esfricas, intrnsecas. Para cada uno de estos sistemas de coordenadas,sedefineunabaseenlacualseexpresanlosvectores.Paramsdetalles acercadelossistemasreferencialesylosversoresqueconformansusbases,consultarel Anexo 1, y la bibliografa recomendada. En coordenadas cartesianas: Se toma un sistema de coordenadas xyz, de base ortonormal {i,j,k}, con origen en el puntofijo O. El vector de posicin r(t) tomar la forma: r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k La velocidad es: v(t)== i +j+k=i+j+k La aceleracin resulta: a(t)== =i+j+k =i +j+k Nota:Seconsideraelreferencialdecoordenadascartesianascomofijo,esdecir,que los versores i,j,k no varan en el tiempo y tienen derivada nula. x(t)13 tr(t)ddEn coordenadas cilndricas: Se utilizan las coordenadas (, , z) yla base mvil ortonormal {e,e,k}. El vector de posicin es: r(t)= (t) e+z(t)k Lavelocidadseobtienederivandor(t)respectodeltiempo.Alrealizarestaderivada, se tiene en cuenta que el vector de posicin esta referido a una base mvil, es decir, que los versores que la forman cambian su direccin en el tiempo. v(t)== e + e+ z k Enlaecuacinanterior, erepresentaladerivadadelversorerespectodel tiempo. Siendo: e = Cos () i + Sen() j, ye = -Sen () i + Cos() j e=(-Sen () i + Cos() j) = e Es decir, que la derivada del versor e respecto del tiempo tiene la direccin de e. Utilizando esta relacin se reformula v(t): v(t) = e + e + z k Enladescripcindelavelocidadencoordenadascilndricas,aparecentres componentes: ,componentedelavelocidadenladireccindee,serdistintodecerocuandoel movimiento sea tal que vare en el tiempo.

es la componente de la velocidad en la direccin de e, y z x y z k e e (t)e z(t)k r(t) 14 tv(t)dd z la componente de la velocidad en la direccin de k. Se remarca que, enun casogeneral de movimiento en el espacio, elvector velocidad v(t)siempretieneladireccindelatangentealatrayectoria.{e,e,k}formanuntriedro ortogonal, cuya orientacin cambia acompaando al mvil. Un caso particular es el movimiento circular, si el sistema de coordenadas se elige de manera tal que su origen coincide con el centro de la circunferencia descrita por el mvil, y el eje z tal que resulte perpendicular al plano en que se realice el movimiento, resultarn z=0y =constante=radiodelacircunferencia; =z=0; =(velocidad angular); = velocidad tangencial (vT). La expresin de la velocidad ser: v(t) = e = vT e vT es la conocida velocidad tangencial del movimiento circular. La aceleracin es: a(t) == e + e + e + e + e+ zk Siendo e = -Sen () i + Cos() j, ser e= - ( Cos () i + Sen() j) = - e Agrupando trminos: a = ( - 2) e + ( +2) e + zk Seanalizarnacontinuacinlosdistintoscomponentesdelaexpresindela aceleracin en coordenadas cilndricas: Componentes en e : : Puede interpretarse como una aceleracin radial. 2: Es la causante del cambio de direccin de la componente de velocidad en e. En el caso de un movimiento circular, es la aceleracin centrpeta. Componentes en e : : Es originada por la variacin de la velocidad angular con que rota el radio . Si el movimiento es circular, es la aceleracin tangencial. 2:Eslaaceleracincomplementaria(ac),aparecenicamentecuandotantoel radio como el ngulo varan en el tiempo. Proviene de dos contribuciones simultneas de igual valor pero de diferente origen: 15 t ttvt 1 2 1-Debido al cambio de direccin de. Suponiendo que el movimiento posee 0, y demduloconstante.Si 0,ladireccindelvector cambiacontinuamente,comose muestra en la figura: En la figura, se aprecia que: = 1 = 2 = Formandoelcociente= y en el lmite cuando t0: ()ac= ac = Aceleracin complementaria 2-Debidoaldesplazamientosobreelradio:Suponiendo =constante,si 0,el valor de se modifica, lo que producir un cambio en la componente de la velocidad en la direccin de e v = v2 v1 = (2-1) Formandoelcociente= En el lmite cuando t0 b( 1/2 )ac =. En coordenadas esfricas: Seutilizanlascoordenadasgeneralizadasesfricas,,ylabaseortonormal {er,e,e} El vector de posicin se expresa en la base de coordenadas esfricas como: r = r er 12 v1 v2 1 2 16 Para lascoordenadas esfricas se cumplen las siguientesrelaciones entre los versores de la base: er = Sen()Cos() i + Sen( )Sen() j + Cos ()k = Cos()Cos() i + Cos( )Sen() j - Sen ()k = e = - Sen()Sen() i + Sen( )Cos() j = Sen()e El vector velocidad en coordenadas esfricas resulta: v==r er + r e +r Sen()e En coordenadasesfricas, lascurvas ary constantes se denominan meridianos; las curvas a r y constantes son los paralelos. En la expresin de la velocidad, aparecen tres componentes: r: es la componente en la direccin del radio r. Ser siempre nula en los movimientos conr constantes. r : componente enla direccin de e, tangente a un meridiano. r : componente en la direccin de e, tangente a un paralelo. z x y er e e r.er re redtdr17 La aceleracin resulta: a = dtdv= ( r- r2 r Sen2()2) er + (r + 2r - r Sen()Cos()2) e + +(r Sen() +2r Sen() +2 r Cos())e Las componentes en er: r:Aceleracinenladireccinradial,originadaenelcambiodemdulodela componente de la velocidad en er. r2: Es una aceleracin centrpeta debida a la rotacin sobre el meridiano. rSen2()2:Proyeccinsobreerdelaaceleracincentrpetadebidoalarotacin sobre el paralelo. Componentes en e e e er z x y r Paralelo r Sen2()2 r Sen()2 r Sen2()2 r Sen()Cos()2 18 r : aceleracin tangencial debida a rotacin en meridiano. 2r: Aceleracin complementaria. r Sen()Cos()2: Proyeccin sobre la tangente al meridiano de la aceleracin centrpeta, debida a la rotacin sobre el paralelo. Componentes en e: r Sen() : Aceleracin tangencial debido a rotacin sobre el paralelo. 2r Sen(): Aceleracin complementaria, proyeccin sobre el plano paralelo de lavelocidad radial (r Sen()). 2 r Cos(): Aceleracin complementaria en paralelo debido a la proyeccin sobre elplano paralelo de la velocidad tangencial en el meridiano (r Cos()) En coordenadas intrnsecas Enlascoordenadasintrnsecasodetrayectoria,ladescripcindelmovimientodela partculaserealizaentrminosdecomponentesquesontangentesoperpendicularesala trayectoria.Estoresultaparticularmentetilcuandoseconocelacurvaquesiguela partcula, por ejemplo un automvil que recorre un camino sinuoso. Elmovimientodeunapartculasobreunacurvaenelespaciopuededescribirseen funcin de la coordenada generalizada q1=s, la longitud de arco medida desde un punto de referencia. El vector de posicin se expresa en funcin de esta coordenada generalizada: r(s) = x(s) i + y(s) j + z(s) k r Sen() rSen() r Sen() 19 Enestaexpresin,sesdependedeltiempo(amedidaquetranscurreeltiempo,el mvil se desplaza sobre su trayectoria, y la longitud del arco recorrido aumenta). Para determinar la velocidad, se aplica la regla de la cadena:

v(t) === = si + sj + sk = =s (i+j+k) Siendo(i+j+k)=T,elversortangente(Testangentea la curva) El vector velocidad resulta: v(t) = sT . Estaltimaecuacinreflejaelhechodequeelvectorvelocidadestangenteala trayectoria,porlotanto,tienesolamentecomponenteenelversortangenteT. sesla rapidez o celeridad. La aceleracin se obtiene derivando la velocidad respecto del tiempo. a(t) == sT + s s Siendo= , donde es el radio de curvatura (no debe ser confundido con el radio de coordenadas cilndricas), la aceleracin en coordenadas intrnsecas se puede expresar como: a(t) == sT +N Encoordenadasintrnsecas,aparecendoscomponentesdelaaceleracin:la aceleracin tangencial ( s), responsable del cambio en el valor de la velocidad, y la aceleracinnormal() responsable del cambio de direccin de la velocidad. Eneldibujodela derecha,semuestraun movimientocurvilneo quetienelugarenun plano.Semuestrantres instantesdiferentesdel movimientoyencada Nr Tr Vr Nar Tar tr(s)dddsdr(s)tsdddsdr(s)dsdx(s)dsdy(s)dsdz(s) sdsdx(s)dsdy(s)dsdz(s)dsdx(s)dsdy(s)dsdz(s)tv(s)dddsdTdsdTNtv(s)dd2s2s20 unodeelloselradiodecurvaturaysuscorrespondientescirculoosculador.Tambinse muestranelversornormalytangencialenelprimercrculooscilador.Enelsegundo crculoosciladorsolosemuestralavelocidadyporltimoeneltercercrculoseindican las aceleraciones normal y tangencial. Sibienladescripcindelavelocidadyaceleracinenfuncindelacoordenada intrnsecasessencilla,sedebetenerencuentaquelosversoresTyNcambiande direccinamedidaquelapartculaevolucionaensumovimiento,adems,elradiode curvatura semidedesdeuncentroderotacincuyaposicinsemodifica continuamente. Anexo 1 Sistemas Referenciales 1.Sistemas de coordenadas generalizadas El nmero de coordenadas necesarias para describir un sistema, es igual al nmero de grados de libertad que el mismo posee. As, para determinar la posicin de una partcula en elplano,sonnecesariasdoscoordenadas.Sibienpordefectosepiensaendistancias medidas sobre ejes perpendiculares (Sistema de ejes cartesianos), este par de coordenadas puede tener cualquier dimensionalidad. Sedenominasistemadecoordenadasgeneralizadas,acualquiersistemade coordenadas que permita describir un sistema fsico. Unsistemaqueposeengradosdelibertad,puedeserexpresadoporq1,q2,...,qn coordenadasgeneralizadas.Casosparticularessonlascoordenadascartesianas,las coordenadas cilndricas y las coordenadas esfricas.CartesianasCilndricasEsfricas q1x r q2y q3zz Estascoordenadasgeneralizadasdefinenunespacioalquesedenominaespaciode representacin.Enelcasodelascoordenadascartesianas,elespacioderepresentacines coincidente con el espacio fsico o real. Para los dems sistemas de coordenadas generalizadas, la relacin entre los espacios se establece mediante relaciones, por ejemplo, para el espacio de tres dimensiones: x = x(q1, q2,q3) y = y(q1, q2,q3)[1] z = z(q1, q2,q3) Radio vector o Vector de Posicin: La ubicacin de un punto en el espacio cartesiano viene dado por el radio vectorr = xi + yj + zk donde r es una combinacin lineal de los versores bases. Utilizando las relaciones [1], el radio vector en coordenadas generalizadas queda: r = x(q1, q2,q3)i + y(q1, q2,q3)j + z(q1, q2,q3)k [2] 21 2qr3qr11qrqr Base de coordenadas generalizadas. Partiendodelvectorposicinencoordenadasgeneralizadas,ecuacin[2],derivando este vector posicin respecto de las coordenadas generalizadas, se obtiene otro vector con los cuales se puede formar una base: b1 =,b2=,b3=[3]

Estos vectores no necesariamente son ortogonales, pero siempre cumplen la condicin denocoplanaridad,loqueaseguraquepuedanformarunabaseparaunespacio tridimensional. Dividiendo por el mdulo de cada vector, se obtiene una base de versores: e1 =;e2=;e3= [4] Coordenadas Cilndricas Enestecasoenel espaciodeconfiguracinse adoptancomocoordenadas dos distanciasy un ngulo: q1 = ; q2 = ; q3 = z Lainterpretacindeestas variablessemuestraenla figura de la izquierda. Lastrescoordenadasindependientesquedefinenlaposicindelpuntosonlaproyeccin dersobreelplanohorizontal,elnguloqueformaestaproyeccinconelejex,yla altura z. Las relaciones entre coordenadas cilndricas y cartesianas son: ===z zyx sencos [5] =||

\|=+ =z zxyArcTangy x2 2 Utilizandolabasedecoordenadascartesianas,ylasrelacionesentrelascoordenadas cartesianasycilndricas,Losversoresbasedelsistemareferencialdecoordenadas z r x y z 1qr22qrqr33qrqr22 cilndricassedefinenutilizandolasecuaciones[4].Paraello,seescribelaecuacindel vector posicin utilizando las relaciones [5] r (z , , )= ) cos( i + ) sen( j + z k e== cos () i + sen ()j[6] e==-sen () i + cos ()j[7] ek== k[8] Se verifica que estos versores son perpendiculares entre si, y en la secuencia indicada definen una base directa. Las componentes del vector posicin en la base de coordenadas cilndricas se obtienen realizando los productos escalares: r (z , , ) e = r (z , , ) e = 0 r (z , , ) ek = z El vector posicin en la base de coordenadas cilndricas resulta: r (z , , ) = e + z k[9] Partiendo de las ecuaciones [6],[7] y [8], puede escribirse la matriz de cambio de base decoordenadascartesianasacoordenadascilndricas.Paraello,seescribenlosversores base de coordenadas cilndricas como filas: [M]cart->cil= [10] Aplicando esta matriz a vectores escritos en la base cartesiana, resulta el vector escrito en la base de coordenadas cilndricas. Sisecomparaestamatrizdecambiodebase,secompruebaesigualalamatrizde rotacin alrededor del eje z. rrrrkrkr((((

1 0 00 ) cos( ) sen(0 ) sen( ) cos( 23 Coordenadas Esfricas

Enlasdenominadascoordenadasesfricas,lastrescoordenadasgeneralizadas toman la forma: q1 = r; q2 = ; q3 = Enformasimilaralohechoconlascoordenadascilndricas,caracterizamoslas coordenadas esfricas en base a sus relaciones con un referencial cartesiano: Seobservaqueresladistanciadesdeelpuntohastaelorigendecoordenadas (mdulodelvectordeposicin),eselngulomedidodesdeelejexhastala proyeccin del vector de posicin sobre el plano xy y es el ngulo entre el eje z y el vector de posicin. Las relaciones que ligan las coordenadas esfricas con las cartesianas son: ===) cos() sen( ) sen( y) cos( ) sen( r zrr x[11] ||

\|=|||

\|+=+ + =xyArcTangzy xArcTangz y x r2 22 2 2 En base a las relaciones [11], el vector de posicin tiene la forma: r[r,,] = r sen() cos() i + r sen()sen() j + r cos()k[12] Utilizandoenmecanismodederivacinparcialrespectodelascoordenadas generalizadas, se obtiene la terna de versores base de coordenadas esfricas: er== sen() cos() i + sen()sen ()j + cos()k [13] e==cos()cos () i +cos() sen ()j sen()k[14] rrrrrr r x y z 24 e== -sen()i + cos() j[15] Definidoslosversoresdelabasedecoordenadasesfricas,sedeterminanlas componentes del vector de posicin en esa base: r ( , , r) er =r r ( , , r) e = 0 r ( , , r) e = 0 Quedando entonces, el vector de posicin en coordenadas esfricas: r ( , , r) = r er[16] Delamismamaneraqueencoordenadascilndricas,partiendodelasecuaciones [13],[14]y [15], se puede formar la matriz de cambio de base de cartesianas a esfricas. Coordenadas intrnsecas Sea un movimiento sobre una curva en el espacio. La posicin de una partcula sobre esa curva se establece mediante una coordenada generalizada, la cual puede ser la longitud medida desde un punto arbitrario de la curva, que se toma como origen.q1 = s Partiendo de la ecuacin del vector de posicin r[t] en coordenadas cartesianas: r[t] = x[t] i + y[t] j +z[t]k la longitud de arco (s) se determina mediante la integral: s = ( ) ( ) ( ) dt z y xt+ +02 2 2' ' ' = s[t] Siendo esta funcin siempre creciente, en teora es factible determinar su inversa: t = t[s] Reemplazando en la ecuacin del vector de posicin en funcin del tiempo, resulta: r[s] = x[s] i + y[s] j +z[s]k Se definen los versores T (Tangente), N (Normal) y B (Binormal): T = N == k= curvatura de flexin B = T N Estosversoresformaneltriedrointrnseco,ypuedenutilizarsecomounabasepara expresar los vectores posicin, velocidad y aceleracin. El recproco de la curvatura de flexin es el radio de curvatura : = rr[ ]dss dr[][]dss dTdss dT[]dss dTk125 Anexo 2 Transformacin de Coordenadas EnelAnexo1sedetallanaspectosdelossistemasreferenciales.Conocidoslos componentes de un vector en un sistema de coordenadas, se buscar la manera de conocer las componentes del mismo en otro sistema. Larelacinentresistemasdecoordenadassedanatravsdelasmatricesde transformacin.Severdequemaneradedefinenestasmatricesdetransformacinentre sistemas referenciales ortogonales. Seandossistemasortogonalesxyz,xyzalascualesseasocianlasbasesijk, ijk. Losversoresdelabaseijkpuedenescribirsecomocombinacinlinealdelosversores dados por i j k: i = a11i + a12 j + a13 k j = a21i + a22 j + a 23 k[A2-1] k = a31i+ a32 j + a33 k donde aij son los cosenos directores de los versores i,j,k en el sistema ijk. Dado el vector A, de componentes Ax,Ay,Aj en el sistema xyz, sus componentes en el sistema xyz se determinan mediante los productos escalares: Ax= Ai = A (a11i + a12 j + a13 k) Ay= Aj = A (a21i + a22 j + a 23 k)[A2-2] Az= Ak = A (a31i+ a32 j + a33 k) Utilizando notacin matricial, las relaciones listadas en [A-2] resultan: A = [M]A[A2-3] donde [M] , matriz de transformacin o cambio de base:

[M] = [A2-4] En la ecuacin [A2-3], los vectores A y A se escriben como vectores columnas. Siendo los sistemas xyz y xyz ortogonales, las matriz [M] es una matriz ortonormal, ysumatrizinversaesequivalentealamatriztranspuesta.Premultiplicandoambos miembros de la ecuacin [A2-3] por la inversa de [M]: [M]-1 A = [M]-1[M] A= [1] A = A Reemplazando por la transpuesta, resulta la relacin: A = [M]TA[A2-5] ((((

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a a26 Unidad 2:Cinemtica Relativa. Estecaptulotambinesconocidocomo,"CinemticadelMovimientoCompuesto de la Partcula" o tambin "Cinemtica en Sistemas de Coordenadas Mviles". Tieneimportanciacomoherramientaparafacilitarelanlisisdemovimientos complejos, que provienen de la combinacin o efecto simultaneo de distintos movimientos sencillos, o bien conocidos. Setrabajaconsistemasdereferenciasimultneosunofijoo"absoluto"yalmenos uno mvil o "relativo". Sistemas de Referencia en Movimiento Dado un sistema de referencias fijo Oxyz de centro O diremos que el sistema O'x'y'z' est en movimiento respecto a aquel cuando ocurra alguno de los siguientes casos: 0) (dtt dR, 0 dti d(,0 dtj d(,o bien,0 dtk d( Sistemas Rgidos y Deformables Trabajaremosennuestroestudioconsistemasdereferenciaortogonalesyrgidoses decirqueconservanlamutuaperpendicularidaddesusejes,durantetodoelmovimiento (es decir, para todo t). La condicin de RIGIDEZ es0 . . . = = = i k k j j i(( (( ( (en tal caso Los sistemas que no cumplen la misma se dicen DEFORMABLES R i k j i j k x z y x y z 27 1)Movimientocon Sistemas en Traslacin (nicamente) -El movimiento de P puede describirse tanto desde Oxyz, cmo desde O'x'y'z'. -Oxyz es un SISTEMA FIJO (F) -O'x'y'z' es un SISTEMA MOVIL (M) en TRASLACION. Un sistema mvil evoluciona en Traslacin, respecto de otro, fijo cuando su origen O' se mueve segn una ley cualquiera) (t Rrpero sus ejes se mantienen paralelos a s mismos. (LosejesdeO'x'y'z'sedibujaronparalelosalosOxyznicamentecomocriterio simplificativo. Pueden tener otras direcciones). M Fr R rrrr+ = (1) Aqu Frr:Vector posicin referido al Sistema Fijo Mrr:Vector posicin referido al Sistema Mvil Rr:VectorposicindelOrigendelSistemaMvilrespectodelSistema Fijo Derivando (1), obtenemos la VELOCIDAD M FFdtr ddtR ddtr dvrrrr+ = =(2) En esta ecuacin: dtdR:velocidad de arrastre debida al movimiento del centro O' P MrrFrrx y i j k z i k j x y z ) (t Rr28 MMvdtr drr= : velocidad relativa FFvdtr drr= :velocidad absoluta Derivando (2), obtenemos la aceleracin 2222 2dtr ddtR ddtr ddtdvaM F FFrrr+ = = = (3) donde: Far: aceleracin absoluta 22dtr daMFrr= : aceleracin relativa 22dtR dr:aceleracindearrastre,pormovimientodelorigendelSistemaMvilo, respecto del Sistema Fijo. 2)Movimiento con Sistemas en Rotacin (nicamente) Enlafigurasemuestrandossistemas,elOxyzqueconsideramoscomofijo,yel Oxyz,animadosdeunmovimientoderotacinconvelocidadangular.Los orgenes O y O permanecen siempre coincidentes. La posicin de la partcula P se describemediantelaelvectordeposicinR(t),elcualpuedereferirseaambos sistemas: x R(t) i j k x z y y z j k i 29 (5) (6) Vector de posicin referido al sistema mvil ' ' ' ' ' ' ) ( k z j y i x t RM( ( (r+ + = (4) Vector de posicin referido al sistema fijo k z j y i x t RF( ( (r+ + = ) (Se reescribe la ecuacin (4) indicando que las componentes xyz dependen del tiempo ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' )' ( ) ( ' ) ( t k t z t j t y t i t x t R(( (r+ + = (4') Notese que M Ft R t R ) ( ) (r r= , constituyen el mismo vector, es decir, es vlida la igualdad vectorial, aunque estn expresados en bases diferentes. Evaluamos la derivada de) (t Rr dtt k dzdtt j dydtt i dx k t z j t y i t xdtt R d ) (') (') (' ' ) ( ' ) ( ' ' ) ( ') ((( ((( (r+ + + + + =

Al evaluar las derivadas se ha tomado en cuenta que los versores de la base mvil cambian en el tiempo y tienen por lo tanto derivada no nula. Eltrmino(5),almantener' , ' , ' k j i(( (fijos,osinvariar,constituyeunavelocidad ) , ' , ' ( z y xen el sistema mvil O'x'y'z'. Lo llamaremos, por lo tantoMdtt R d ) (r. Un observador solidario a la base mvil vera a la partcula P animada de esta velocidad. En cuanto a (6) vale lo siguiente: Por condicin de rigidez del sistema O'x'y'z' 0 ' '. = j i( (0''. ' .') ' '. ( = + =dtj di jdti dj idtd(( ((( ( 0 ' '. = k j((0''. ' .') ' '. ( = + =dtk dj kdtj dk jdtd(((((( 0 ' '. = i k((0''. ' .') ' '. ( = + =dti dk idtk di kdtd(((((( Llamaremos dtj di jdti dt wz''. ' .') ( '(( (( = =

dtk dj kdtj dt wx''. ' .') ( '(((( = = dti dk idtk dt wy''. ' .') ( '(((( = = Con) ( ' ), ( ' ), ( ' t w t w t wz y x funciones escales de t. 30 Yporotraparte,recordandoqueladerivadadeunvectordemagnitudconstantees ortogonal al vector: 0 ' .'= jdtj d (( 0 ' .'= kdtk d(( Ahora expresamos dtj ddti d ','( (ydtk d '(en la base' , ' , ' k j i(( ( quedando Sabiendo que los siguientes productos escalares son iguales a cero Volviendo a la ecuacin (6) y definiendo el vector) ; ; (z y x =se tendr [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]MRz y xz y xk j ik x t y y t x j z t x x t z i y t z z t yj t x i t y z k t x i t z y k t y j t z xdtt k dzdtt j dydtt i dx = = + + = + + + = + + (( (( ((((((( (). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). () ( ) ( ) ( ). ( ). ( ). ( ') (') (') (' Finalmente queda MM FRdtR ddtR drr r + ||

\|= ||

\|(7) Admitiendolaexistenciadeunvector) ; ; ( z y x = quedenominaremos VECTORROTACIN,esposibledefinirunoperadoraplicableacualquiervector expresado en sendos sistemas de referencia fijo y mvil. ' . ' .'' . ' .'' . ' .' 'k kdti dj jdti di idti ddti d( ((( ((( (( (||

\|+||

\|+||

\|=' . ' .'' . ' .'' . ' .' 'k kdtj dj jdtj di idtj ddtj d( ((( ((( (( (||

\|+||

\|+||

\|=' . ' .'' . ' .'' . ' .' 'k kdtk dj jdtk di idtk ddtk d( ((( ((( (( (||

\|+ ||

\|+ ||

\|=0 ' . ' .'=||

\|i idti d ( ((0 ' . ' .'=||

\|j jdtj d ( ((0 ' . ' .'= ||

\|k kdtk d( ((31 ( ) ( )( )MM Fdtddtd) ( +||

\|=||

\| AnalizandolaVELOCIDADyACELERACIONenunsistemaquerotarespectode otro fijo se tendr: En el sistema mvil O xyzes k z j y i x rMr( (r + + = . . .y como vectorialmente F Mr rr r=k z j y i x rFr( (r + + = . . . Aplicando el oprerador a esta ltima expresin se tendr ( ) ( )( )MM Frdtr ddtr d) (rr r +||

\|=||

\| Resultando en definitiva la expresin de la velocidad ( ) ( ) ( )M M Fr v v ) (r r r + = dondelavelocidadreferidaalsistemafijooABSOLUTOesigualalavelocidaddel sistemamviloRELATIVOmaslavelocidaddearrastreporefectodelarotacindel sistema mvil dado por ) ; ; ( z y x = La aceleracin se obtiene aplicando el operador a la velocidad absoluta quedando

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )M M MMM MFr vdtr v ddtv d) ) ( () (r rr r r + +||

\| +=||

\| rF = rM i j k x z y y z j i k 32

( ) ( ) ( )( ) ( )MM MMM Fr rdtddtr ddtv ddtv dr rr r r +||

\| +||

\|+||

\|=||

\| ) ( Resultando en definitiva

( ) ( )( ) ( )MMMM Fr rdtdrdtv ddtv d r r rr r + ||

\| + + ||

\|= ||

\| . 2 Donde la aceleracin absoluta referida al sistema fijo es igual a la aceleracin relativa al sistema mvil mas la aceleracin de arrastre debidaa la variacin de (aceleracin de rotacin)maslaaceleracindearrastrecomplementariamaslaaceleracindearrastre centrpeta. 3)Movimiento con Sistemas en Traslacin y Rotacin Simultanea De la ecuacin (1) M Fr R rrrr+ =( ) ( ) ( )dtR dr v vM M Frr r r+ + = ) ( Los dos ltimos trminos del segundo trmino de la ecuacin anterior representan a la velocidad de ARRASTRE de TRANSPORTE. Posee un trmino debido a la ROTACION DEL SISTEMA MOVIL ( )Mr ) (r y otro debido al movimiento del ORIGEN MOVIL O respecto del sistema fijo dtR dr. Para obtener la aceleracin se debe derivar la anterior respecto del tiempo obteniendo ( )( ) ( ) ( )( ) ( )M M MFFFv r rdtR ddtr ddtv dar r rrr r + + + =|||

\|=||

\|= . 22222 Donde los trminos son conocidos. Sedebehacernotarqueeltrmino ( )22dtR drseincorporaaladescripcindel movimientocomoARRASTREoTRANSPORTEoriginadoenelmovimientodelorigen del sistema mvil respecto del sistemafijo. El resto de los trminos son las aceleraciones de arrastre inducidas por larotacin del sistema mvil. IMPORTANTE:Enlaexpresiones(1);(10)y(11)lasigualdadesvectoriales imponen, a los efectos de la resolucin de problemas prcticos, conocer necesariamente la transformacinlineal[A]quepermitarelacionarlasbases(i,j,k)con(i,j,k)delos sistemas fijo y mvil. Unidad 3:Cinemtica del Cuerpo Rgido. Introduccin Enelestudiodelacinemticadelslidosetomanencuentalasdimensionesdelos cuerpos. Se ver que el movimiento general de un cuerpo siempre se puede describir como lacombinacindemovimientossencillosdetraslacinyrotacin.Seanalizarncasos particularesdelmovimientodeslidos,talescomoelmovimientoplano,elmovimiento polar o con un punto fijo. Definicin Cuerporgido:Sedefinecomocuerposlidorgidoaquelelementoconstituidopor partculas que mantienen sus distancias relativas constantes. Cuerpodeformable:esaquelenelcuallasdistanciasrelativasentrepartculaspueden variar. Estudiaremoslacinemticadelslidorgido,osealasposibilidadesymovimientos que puede presentar en el espacio. Elconceptodeslidorgidoesunaidealizacin;enlarealidadfsica,elmismono existe. Nos encontramos en ella con slidos reales: deformables. En general, las deformaciones de los slidos reales son pequeas comparadas con sus dimensionesypodremosaplicarlosconceptosydefinicionesrelativasalslidosrgido ideal. Enloscasosenquelasdeformacionesseanimportantesrespectodelageometradel slido, al mismo no podrn aplicarse los conceptos referidos al slido rgido. Condiciones Cinemticas del Slido Rgido Partiendo de la definicin dada anteriormente, estableceremos relaciones que ligan las distintas variables cinemtica del slido rgido. Condicin analtica de rigidez La condicin de rigidez la podremos expresar por: cte c= Referenciando al slido rgido respeto de un punto de referencia "O" quedar: cte c=distancia entre dos puntos P1 y P2 dos puntos del rgidoP1 P2 C 34 cte P P = 1 2 ) (1 2P P es el vector diferencia entre los vectores posicin de los puntos P1 y P2. Su mdulo es la distancia entre los mismos. Condicin cinemtica de velocidades cte P P = ) (1 2 21 2 1 2 1 2) ( ) ).( ( P P cte P P P P = = Si el slido est en movimiento las posiciones de los puntos P1 y P2 son funciones del tiempo entonces: 0 ) (21 2= P Pdtd 0 ). .( 21 21 2=((

dtdPdtdPP P 0 ) ).( ( 21 2 1 2= v v P Pdonde dtdPvdtdPv1122== 1 1 2 2 1 2). ( ). ( v P P v P Pr r = (1) Dividiendo por el mdulo de ) (1 2P P 11 21 221 21 2.) (.) (vP PP PvP PP Pr r=queda P1 P2 i( j( k( 1rr 2rr cr O 1 21 2 21. . v e v er ( r (=35 Denominada condicin cinemtica para las velocidades. En definitiva la proyeccin de lasvelocidadesdedospuntossobreladireccindelalneaqueunedichospuntoses constante. Condicin cinemtica de aceleraciones Partiendo de la condicin cinemtica de velocidades y realizando las derivadas se tiene 12 211 221 2 22 2. ). ( ). ( . vdtdPdtdPdtv dP Pdtv dP P vdtdPdtdPrr rr||

\| + = + ||

\| 1 1 2 1 21 2 1 2 2 21). ( . ). ( . a P P v v a P P v vr r r r r r + = + 1 1 2 2 1 2 1 2 21). ( ). ( ) .( a P P a P P v v vr r r r r = + 1 21 2 211 2221. . a e a eP Pvr ( r (r= + 21vr: velocidad relativa 2ar: aceleracin de P2 1ar: aceleracin de P1 condicin cinemtica de aceleraciones OseaquelaproyeccindelaaceleracinenelpuntoP2sobreladireccin ) (1 2P Pes igualalaproyeccinde 1arsobrelamismadireccinmenoselcuadradoescalardela velocidad relativa dividido por la distancia que separa los puntos. Movimientos del Slido en el Espacio Elslidorgidonovinculado,enelespaciopuederealizarmovimientososeatener distintas ubicaciones y orientaciones en el espacio a travs del tiempo. Estos movimientos pueden ser puros o compuestos. 1 222121 1 21 2. .P Pve a e a =r( r ( r P1 P2 1vr 2vr 2 21.v er ( 1 21.v er ( 36 Movimientos puros del slido en el espacio Translacin pura Este tipo de movimiento se da cuando la recta que une dos puntos cualquiera, conserva su mdulo y direccin en las distintas posiciones que ocupa el slido a travs del tiempo. En t = t se tiene P1 , P2 en t = t se tiene P1 , P2 Para t = t" se tiene P"1 , P"2 Caractersticas cinemtica del movimiento de traslacin del slido Todos los puntos del rgido tienen idnticas velocidades instantneas: tP Ptlimv =) (01 11r tP Ptlimv =) (02 22r(1) c P P + =1 2 c P P + =1 2 (2) Reemplazando (2) en (1) resulta: 2 1v vr r= Los vectores desplazamiento c y velocidad de traslacin v son vectores libres. Toda lnea del slido se traslada mantenindose paralela a si misma. Supongamos tener las bielas P1 - O1y P2 - O2 que pivotean en O1y O2; la placa que uneP1-P2pasaaocuparlaposicinP1-P2despusdelatraslacinelvectorcse traslada paralelo a si mismo. La velocidad de todos los puntos es idntica. P"1 cr P1 cr P2 cr Trayectoria del punto P1 Trayectoria del punto P2 P2 P1 P"2 37 Las trayectorias de todos los puntos son idnticas y superponibles. Rotacin pura Definicin: Cuando un slido se mueve de tal manera que permanecen fijos dos de sus puntos se dice que est en rotacin. Enrealidadpermanecenfijostodoslospuntosqueseencuentransobrelarecta definida por esos dos puntos. Si O1 y O2 permanecen fijos y O3 se encuentra alineado con ellos se tendr: 1 2 1 3. O O O O = derivando la anterior quedar ) .( ) (1 2 1 3V V V V = Pero 01 2= =V V Entonces se deduce que 03 = V Como O3 es genrico todos los puntos alineados en 2 1O O permanecern fijos. Velocidad en la rotacin El estado de velocidad del slido se estudia partiendo de la condicin de rigidez. Para un punto cualquiera P fuera del eje: cte O Pcte O P= = 2221) () ( Considerando que la posicin del punto es funcin del tiempo se deriva quedando: 0 0 ). .( 2 ) ).( .( 21 1 1 1= = = V pues V O P V V O Pp p 0 ). .( 2 ) ).( .( 22 2 2= = p pV O P V V O P deloanteriorsurgequevpesperpendicularacya ) (2O P ,luegoesperpendicularal plano 2 1, O O P. Laposicindelslidoquedadeterminadoportrespuntos.Luegoelmovimientodel slido queda determinado por el movimiento de un plano del mismo. P1 C C P1 P2 P2 O1O2 O1 O2 O3 P Vp 38 La recta 2 1O O permanece fija en ese plano, luego el movimiento del slido est dado por el movimiento del punto. La velocidad del punto P1 y en general la de todos los puntos, es perpendicular al eje. En un tiempo t, el plano barre un ngulo . Se define la velocidad angular media como tm= y la velocidad angular instantnea como tlimt= 0 Un punto cualquiera del slido por ejemplo Pi

que esta a una distancia ri del eje en elintervalo t describe un arco ABde trayectoria circular de radio ri. = = .ir l AB La velocidad del punto Pi . . .0iti irdtdrtlim rdtdlV = == = La velocidad de un punto, es igual alproducto de la velocidad angular por el radio del punto respecto del eje de rotacin. Vector velocidad angular Es conveniente otorgarle al vector (velocidad angular) carcter vectorial. 1). El mdulo es: dtd= 2) Direccin: ladel eje de rotacin 3) Sentido: segn la regla de la mono derecha 4) Punto de aplicacin: cualquier punto del eje de rotacin (vector deslizantes) ( ) sen . .1O Pi Vpi = Nos queda ( )1O Pi Vpi = Oseaquelavelocidaddeunpuntoeselmomentodelvectorrotacinrespectodeese punto. (por eso se le otorga carcter vectorial). El movimiento se denomina uniforme cuando: ctedtd= = P1 P2 O2 O1 A B O2 O1 ri Vi 39 Aceleracin en la rotacin La aceleracin angular de un punto cualquiera del slido se obtiene derivando: wedtd( = donde we(es el versor en la direccin del eje. Derivando wwwedtddte ddtdedtddtddtd((( r222222. . = + = = = La aceleracin tangencial del mismo punto del slido se obtiene derivando: ( )1O Pi Vpi = Quedando ( )( )( ) ( )iir O PidtO Pi dO PidtdadtdVi + = + = = 111 Dondeelprimertrminodelsumandoeslaaceleracintangencialyelsegundo trmino la aceleracin centrpeta. Campo de velocidades Sicadapuntodelslidolecorrespondeunavelocidad,porlotanto,podemosdecir, queelestadoinstantneodelmovimientodelrgidoquedadefinidoporuncampode velocidades. En el caso de la rotacin pura;el movimiento quedacompletamentedeterminado por el vectorr. La configuracin de las lneas de campo resultan circunferencias. Si adoptamos un sistema referencial fijo. La velocidad instantnea del punto P(x,y,z) es: z y xk j iVpz y x (( (= en este caso 0 = =y x z x y P W=(wx ; wy ; wz ) P V1 V2 40 z y xk j iVpz 0 0(( (=j x i yz z( (. . . . + =

que se encuentra en el plano x-y Grados de libertad del slido Estudiaremos el slido en el espacio. Supongamos tener tres partculas en el espacio. El numero de grados de libertad de las mismas es:3 p x 3 = 9 grados de libertad (GDL) Si rigidizamos las posiciones relativas P1 (x1;x1;x1) de dichas partculas mediante tresvnculos geomtricos. Es decir que las distancia entre ellas se mantenga constanteP2 (x2;x2;x2) cte Zj Zi Yj Yi Xj Xi = + + 2 2 2) ( ) ( ) ( P3 (x3;x3;x3) i,j=1, 2, 3 y teniendo presente que cada vnculo geomtrico restringe un grado de libertad nos queda entonces: 9 grados de libertad - 3 = 6 grados de libertad Siadicionamosuna nuevapartculaPi,agregamos3gradosdelibertad,perotambin adicionamos3nuevosvnculos.Podemosasseguiradicionandoinfinitaspartculashasta constituir un slido rgido. Este slido poseer en el espacio 6 grados de libertad. Estosseisgradosdelibertadpuedenserlostresdesplazamientosdeunpuntodel mismo y tres rotaciones no paralelas 3+3=6; o bien la definicin de dos puntos y un ngulo de rotacin: (3 x 2) - 1 +1= 6 Movimiento polar del slido Es un movimiento en el cual un solo punto (polo) permanece fijo. El vector rotacinr no permanece fijo a travs del tiempo, si no que va cambiando su orientacin en el espacio en funcin del tiempo. ) (t = La expresin de la velocidad instantnea de cada punto es: ) ( O P Vp = P1 (x1 , y1 , z1 ) P2 (x2 , y2 , z2 ) 41 As definido el movimiento polar, el slido posee 3 (tres) grados de libertad ya que le hemos restringido el movimiento a un punto "O" (tres grados de libertad). Orientacin del slido en el espacio en un movimiento polar Paraorientarenelespaciounslidoqueposeeunpuntofijo;adoptaremosdos sistemasreferenciales:unofijo(absoluto);yunsistemasolidarioconelslido(en movimiento);ambosortogonales.Estossistemasestarnrelacionadosmedianteuna transformacin de rotacin expresada por una matriz[ ] A, ortogonal. Estarotacinpuededescomponerseentresrotacionesindependientesdetalmanera queelproductodelasmatricesquerepresentanesasrotacionesdecomoresultadola matriz: [ ] A= [ ][ ][ ] 1 . .2 3A A A Angulos de Euler Definiremos tres rotaciones independientes que compuestas darn como resultado una rotacintotalquenosdarlarelacinentreunsistemafijoyunsistemasolidarioconel slido (que fija la orientacin del slido). 1 rotacin: Angulo de precesin Supongamos un sistema inicial (i,j,k,) y realizamos una rotacin sobre el eje k. El eje k' ser el mismo k original, los versores i, j rotarn sobre un ngulo de precesin . La matriz de transformacin es: [ ]((((

=1 0 00 cos sen0 sen cos A P1 (x1 , y1 , z1 ) (t) k =k x y z j i i i j j 42 La rotacin se provoca en el plano x-y. El eje de rotacin es el eje z. 2 rotacin: Angulo de nutacin El sistema rota sobre el eje i' (lnea de nodo) un ngulo de nutacin . El sistema pasa de i',j',k' a i'',j'',k''. El eje i'i'' o sea se conserva la direccin i'. La matriz de transformacin es: [ ]((((

= cos sen 0sen cos 00 0 1A 3 rotacin: Angulo de rotacin propia El sistema rota sobre el eje k'',la rotacin se denomina rotacin propia del ngulo . El sistema pasa de i'',j'',k'' a i1, j1,k1. La matriz de rotacin es: [ ]((((

=1 0 00 cos sen0 sen cos A La transformacin total resulta: [ ] [ ][ ][ ] A A A A . . = Donde[ ] Aes una matriz ortogonal, o sea que su determinante es 1 y su inversa es igual a su transpuesta. [ ] 1 det = A [ ] [ ]TA A =1

1 =ij i=j ij ij ik a a = . 0 =ij ij Los tres ngulos , y son en general funciones del tiempo. = (t) z j i = i j j kj k = k 43 = (t) = (t) Movimiento rototraslatorio Teorema de Euler - Chassles: Elmovimientomsgeneral deunslidoeseldeuna traslacinseguidadeuna rotacin. Siempreesposible descomponer elmovimiento de un slido en unatraslacin de un punto mas unarotacin respecto de un eje quepasa por dicho punto mas unarotacin respecto de un eje quepasa por dicho punto. Sistema de traslacin y rotaciones Supongamostenerunrgido, cuyo movimiento resultadelasuperposicindevarias traslaciones y rotaciones; podemos considerarqueelestadode movimiento del mismo queda descripto en cada instantes por un sistema de vectores i = vectores velocidad de rotacin en un eje que pasa por Ai Vi = vectores velocidad de traslacin. Polo de reduccin. Segn el teorema de Euler-Chasles es posible describir el movimiento general anterior, mediantelatraslacindeunpunto "O"yunarotacinrespectodeun eje que pasa por "O". Alpunto"O"queelegiremos arbitrariamenteledenominamos polodereduccindelsistema rototraslatorio. Si consideramos la velocidad de unpuntocualquieraP.Elmismo estarsujetoatodaslasvelocidades de traslacin y rotacin. Entonces: - Rotacin C - Traslacin A1 A2 Ai i 2 1 V1 V2 Vi A1 A2 Ai i 2 1 V1 V2 Vi O P 44 ( )( ) O P V VA P V VO Pi i P + = + = Como ( ) ( ) ( ) O P A O A Pi i + = Reemplazando queda ( ) ( ) [ ]( ) ( )( ) = + = + + = + + =iO Pi i i i Pi i i PdondeO P V VO P A O V VO P A O V V Esdecirhemosexpresadolavelocidad de un punto de un slido en funcin de la velocidad de un polo "O" y una rotacin respecto del mismo. Para dos puntos cualquiera P1 y P2 ( )( ) O P V VO P V VO PO P + = + =2 21 1 Proyectando sobre las recta que une ambos puntos ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( )( )2 2 1 1 2 12 2 1 2 1 1 2 12 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 12 1 2 2 1 2 1 1 2 11 2 1 2 1 1 2 10P PO PO PO PO PV e V eO P e V e V eP P e O P e V e V eP P O P e V e V eO P e V e V e = + + = + + = + + = + = Cumpleconlacondicincinemticapara las velocidades. O sea que nuestro sistema queda reducido a: ( ) + ==O A V Vi i ii 0 Invariante vectorial. SielegimosunpoloarbitrarioO,alltambinsetendrque = i .Luego =es un invariante vectorial para los distintos polos elegidos. Invariante escalar. O V0 0 VP1 O P2 P1 VP2 V0 0 45 Suponiendo haber reducido el sistema al polo "O" y conociendo y V0. En O1 se conoce y V0. Respecto de "O" se tendr: ( ) O P V VO P + =

Tomando"O1"comopolodereduccin se tendr: ( )1' O P V VO P + = Sabiendo que Vp = VP y adems( ) ( ) ( ) O O O P O P + = 1 1 igualando: ( ) ( )( ) ( ) ( ) O O O P V O P VO P V O P VO OO O + + = + + = +1 1 11'' ( ) O O V VO + =1 0 Trasladamoselvectortraslacin;paraellosedebeadicionarelmomentodelvector rotacin por la distancia que separa los dos polos. Proyectando sobre r. ( ) [ ]. . .1 0O O V VO + = Como el segundo trmino del segundo miembro es cero queda . .0 OV V = = INVARIANTE ESCALAR La proyeccin de las velocidades de traslacin sobre la direccin del vector rotacin es constante para cualquier polo elegido, en el mismo instante de tiempos: a esta proyeccin se lo denomina invariante escalar. Los invariantes: vectorial y escalar, varan en el tiempo. Los invariantes I.V. e I.E. definen estados instantneos del movimiento. Encadapunto,elestadodemovimientoquedadefinidopor ) , ( w vor r, ) ' , ' ( w vor r, ) ' ' , ' ' ( w vor r y el espacio recorrido por el punto P en dt. ( ) [ ]dt O P dt Vo dt Vp . . . + = O P O1 V0 V0 Vo [t] Vo [t] Vo [t] O O O . P 46 Laproyeccinde ovrsobre wresconstanteparalosdistintospolos,paraunmismo instante de tiempo. Descomposicin Llamamosdescomponerelmovimientodeunslidoaelegirunpolodereducciny establecer los invariantes; o sea definir el movimiento en trminos de wr y ovr. Podemos elegir infinitos polos de reduccin. Descomposicin impropia Se da cuando ovr no se mantiene paralelo a wr en los distintos instantes de tiempo para el polo "O" elegido. Descomposicin propia Sedacuandoparaelpoloelegido, ovrsemantieneparaleloa wrenlosdistintos instantes de tiempo. Ejemplo:supongamosuncilindroqueruedasobreunplanoqueposeeunatraslacin perpendicular la rotacin del cilindro. Descomposicin propia: se logra tomando como polo "O" la generatriz de contacto en el instante(t).Enelinstantesiguientelageneratrizdecontactomantienelacondicinde paralelismo entre ovr y wr. Descomposicin impropia Sielegimoselpolo"O"enotropunto 'ovrnoserparaleloa wrytenemos descomposicin impropia: Ejemplos de composicin de rotaciones Analizaremos los siguientes casos particulares. z x y O Vo V Vo // z x yO Vo V Vo// V x (0- 0) O 47 Cuerpo rgido sometido a dos rotaciones iguales y de sentido contrario La velocidad de un punto genrico( ) ( )( ) P cte O O VpO P O P Vp = = =2 1 11 1 2 1 ( )2 1O O no depende del punto. El movimiento del slido es una traslacin Dos rotaciones concurrentes La velocidad del punto P es: ( ) ( )( ) ( )( ) O P VpO P VpO P O P VpR = + = + = 2 12 1 Donde 1wr y 2wrno estn fijos en elespacio. Se trata de un movimientopolar. Se puede describir el estadoinstantneo del movimiento mediante un nico vector R aplicado en elpunto fijo "O". Eje central del movimiento Para un polo "O" arbitrario elegido tendremos un ovr y el invariante vectorial wr. Buscaremosahoraellugargeomtricodondesecumplequesea wr//ovroseaquede una traslacin paralela a la rotacin. . = Vc El mdulo de cvr ser . 0 V Vc = , invariante escalar. Podemos determinar el punto"C" de su recta deaccin multiplicando vectorialmente por wra la expresin ( ) O C o V c V + = y considerando que cvr se supone paralelo a wr o sea su producto escalar cero. O2 O1 P 1 1 2 1 1 R 1 P 48 ( ) 0 = + = O C o V Vc desarrollando ( ) 0 = O C ( )( ) ( ) [ ] 0 . . . . = O C O C En particular tomando un punto tal que ) ( O C wr nos queda: ( )( )220 . = = + o VO CO C o V nosdalaposicindelpunto"C"delejecentralrespectodel polo arbitrario "O". Larectadefinidaporelpunto"C"yladireccinde wwrsedenominaejecentraldel movimiento y es el lugar de los puntos que tomados como polos de reduccin dan lugar a una traslacin paralela a la rotacin. Lospuntosdelejecentralsondevelocidadmnimayelmovimientosedenomina helicoidal tangente. . o V . c V Ecuacin del eje central Sea(xcyczc)lascoordenadasde"C"referidoaunpoloarbitrario"O"y wrel invariante vectorial; la ecuacin del eje central ser: . = C PEcuacin vectorial = = = Z CY CX Cz zy yx x ...Ecuacin paramtrica ZCYCXCz z y y x x ==Ecuacin del eje central Siconocemosenelpoloarbitrario"O"a ovry wr.Tendremosque Iescalar V V Vo min c= = =rr r r.. El eje central puede o no estar dentro del slido dado. Vc Vo O C V0 Vc P(xyz) C 49 Movimiento helicoidal tangente Observamosqueunmovimientorototraslatoriosepuedereduciraunmovimientode rotacin wr alrededor de un eje y una traslacin ovr paralela a dicho eje, de magnitud igual al invariante escalar. Dicho eje se denomina eje central y el movimiento helicoidal. Si wrsemantieneconstanteeneltiempo,cadapuntodescribearcosdehlices cilndricasysuvelocidadprovienedeladescomposicindeunarotacin wryuna traslacin con la misma direccin. Axoides El eje central va tomando distintas posiciones en el espacio, y describe una superficie reglada que se llama axoide. De acuerdo a cual sea la terna de referencia que se tome se tendr: Axoide fijo: superficie generada por el eje central visto desde una terna fija. Axoidemvil:superficiegeneradaporelejecentral,vistadesdeunsistemasolidarioal slido considerado. Ejemplos Movimiento paralelo Cilindro que rueda sin resbalar sobre un plano: -Visto desde el sistema fijo el eje central se ubica siempre en el plano x-y. El axoide fijo es un plano. -Visto desde el sistema de movimiento el eje central se ubica en un cilindro. -El movimiento en este caso, puede ser descripto como el rodar de un cilindro sobre el plano. Movimiento polar V VC C z y x z y x 123 50 Dos conos con generatriz de contacto El slido rotarespecto de z con rotacin 2r yrespecto de z con rotacin 1r manteniendo fijo elpolo "O". Elejecentralcoincideendireccinconla composicindelasvelocidadesangulares.Los axoides que se generan son: -Vistodesdeunsistemafijounconoconeje z. -Vistodesdeunsistemamvil,solidariocon el slido, el axoide es un cono con eje z. -Losdosaxoidessonconoscircularesque ruedan sin resbalar. Su generatriz de contacto es el eje central. Como"O"permanecefijo,enestecaso 0 =cvr Movimiento Plano Introduccin Cuandounsistemasemuevedetalmaneraquetodossuspuntostienenvelocidades paralelas a un plano fijo, el sistema tiene un movimiento "plano". Es suficiente considerar soloelmovimientodeunaseccinplana,paralelaalplanofijo.Esdecirsereduceal estudio de la cinemtica de una figura plana. Desdeotropuntodevistasepuedeconsiderarelmovimiento,comoelrodardedos axoides cilndricos con invariante escalar nulo. La interseccin del axoide fijo con un plano dar una curva denominada base, y la del axoidemvil,rodante.Luegoelmovimientoplanopuedeserconsideradocomoelrodarde la "ruleta" sobre la "base" x z y z y x 2 1 f O Eje central Axoide mvil Eje central Ruleta Centro instantneode rotacin Base C 51 Centro instantneo de rotacin Elmovimientomsgeneraldeunslido,esel rototraslatorio que se reduce a una rotacin aplicada en un punto O y una traslacin vo. Si el movimiento es plano; rdebeserperpendicularalplano oy ovrparaleloal mismo. Entonces un punto cualquiera Ri, tendr velocidad: ( ) O R V i Vi + = 0(Ec. 1) Siempre existir un punto "C" donde: ( ) 0 0 = + = O C V c V O sea un punto de velocidad nula. Como "C" tiene velocidad nula. Tomando como polo de reduccin "C": ( ) C R V Vii + = 0 Igualando (1) y (2) ( ) ( )( ) ( ) [ ]( ) 00000= += + = +O C VC R O R VC R O R Vi ii i multiplicando por r ( ) ( )( )( ) ) 3 (02000 VO CO C VC R O R Vi i= = = = + ) ( O C da la ubicacin del centro de rotacin "C". Las coordenadas respecto del polo "O" j V i V Vj Y i X O Cko o oc c( (( ((r r. sen . . cos .. . ) (. + =+ = = resolviendo (3) RiVi Vo 52 cos .sen .ococVYVX==

coordenadas del centro instantneo de rotacin Propiedades del Centro instantneo de rotacin

El CIR tiene velocidad nula. El mismo est definidopara un instante determinado. En otro instante la ubicacin del CIR cambia: a)En cada instante las normales de lastrayectorias que describen los puntos dela trayectoria de la figura mvil pasanpor el CIR. b)La velocidad de un punto cualquiera esnormal a la recta que lo une con el CIR. Trayectorias polares Supongamosdosplanossuperpuestos,unodeellossostienelafiguramvil,elotro fijo.Simarcamossobrelosdosplanos,lasubicacionesdelCIR(opolodevelocidades), obtendremos dos curvas: una sobre el plano fijo llamado base; y otra sobre el plano mvil llamada ruleta. Oseaquesepuedereproducirelmovimiento,medianteelrodarsinresbalardela ruleta sobre la "base". Ejemplo Consideremos la barra AB que se mueve de tal manera que el punto A se desliza sobre el eje x y el punto B sobre el eje y.AB=l Trazando por A y por B las normales a las trayectorias, en su interseccin obtenemos elCIR.Sitrazamosparacadaposicinobtendremoslacurva"base",enestecasouna circunferencia de radio "l"= (AB). LasdistintasposicionesdelpuntoCIRrespectodeunsistemasolidarioconlabarra, describe la curva "ruleta" en este caso es una circunferencia de dimetro "l". Trayectoria Vi C.I.R. A B C C 53 Deduccin de la ecuacin de la base a(t) y b(t) son las coordenadas del origen O del sistema xy solidario a la figura mvil. a y b son funciones del tiempo : parmetro La velocidad de un punto Q respecto del sistema fijo ) ( O Q x V VO Q + = rr r Si en particular tomamos el centro instantneo de rotacin "C" 0 =cVr por definicin de centro instantneo de rotacin. 0 ) _ ( = + = O Q x V Vo Qrr r JdtdbIdtdQVo( ( r. . + = k(r.. =

dtd =. J b Y I a X O Cc c( (). ( ). ( ) ( + = donde Xc y Yc son las coordenadas del punto "C" referido al sistema fijo. O sea 00 ) ( ) (0 0 =((((

+ =b Y a XdtdK J IV Vc cc cr r Sus proyecciones son: a(t) b(t) O Q i j Y X x y 54 0 ) .(0 ) .(= += a Xdtddtdbb Ydtddtdacc dtddtdba Xdtddtdab Ycc =+ = Pero

ddadtddtda=; ddbdtddtdb= Nos queda ddba Xddab Ycc =+ =(4) Ecuaciones paramtricas de la base Deduccin de la ecuacin de la rodante La coordenadas vectorial de la rodante respecto del sistema mvil es ) ( O C ) ' ( ) ' ( ) ( O O O C O C = Llamando Xc Yc a las coordenadas de C en el sistema mvil. Tendremos: J b I a J Y I X j y i Xc c c c( ( ( ( ( ( + = + . . . Proyectandosobrelosejesmvilesparalocualmultiplicamosescalarmenteambos miembros de la igualdad anterior: ) . cos sen ( :) . sen . (cos :J jJ I i( (( ( ( + + nos queda: cos ). ( sen ). (sen ). ( cos ). (b Y a X Yb Y a X Xc c cc c c + = + = reemplazando (4) 55 cos . sen .sen . cos .ddaddbYddaddbXcc+ =+ = Ecuaciones paramtricas de la ruleta. Velocidad de alternacin del centro instantneo de velocidad Hemosdefinidoelcentroinstantneodevelocidadopolodevelocidades,aaquel punto que en cada instante se cumple. ) ( C R x Vi i =Esdecirelplanomvilgiraenunmovimientoderotacin pura respecto de "C". Este punto singular est definido para cada instante en un punto del plano fijo. La posicin de este punto vara de instante en instante. Las distintas posiciones de dicho punto referida al sistema fijo constituyen la base. Podemos decir que el Centro instantneo recorre la base. Simultneamente,referidoalsistemasolidarioconelplanomvil,elCIRrecorrela ruleta. La velocidadcon que el polo de velocidadesrecorre la base, se denomina "velocidad de alternacin del polo de velocidades" ) , ( :yc xc cV V V Las componentes de esta velocidad, teniendo presente las ecuaciones de base ddba Yddab Xcc =+ = Nos queda:

..|||

\| = =|||

\|+ = =ddbdtddtdaY VddadtddtdbX VcYcXcc Estado de aceleracin en el movimiento plano La velocidad de un punto cualquiera es: ) ( C Ri xdtdRi =Donde "C" es el centro instantneo de rotacin Derivando respecto del tiempo||

\| + =dtdcdtdRix C Ri xdtddtRi d) (2 o bien 56 [ ]cxV C Ri x x C Ri xdtddtRi d + = ) ( ) (2 cxV C Ri C Ri xdtddtRi d = ) .( ) (222 Donde: cV: velocidad de alternacin del polo. 22dtRi d:aceleracin total del punto Ri dtd: aceleracin angular C: coordenada del polo de velocidades Polo de aceleraciones La expresin de aceleracin para un punto cualquiera cxV C Ri C Ri xdtddtRi d = ) .( ) (222(1) Buscamos un punto de aceleracin nula 0 ) .( ) (222= =c o ooxV C C C C xdtddtC d (2) restando (2) (1) ) .( ) (222o oC Ri C Ri xdtddtRi d = que es la derivada con respecto al tiempo de: ) (22oC Ri xdtddtRi d = respecto de las aceleraciones todo acontece como si la figura mvil tuviese un movimiento de rotacin pura en torno a Co. Este punto Co se denomina polo de las aceleraciones. Coordenadas del polo de aceleraciones Por definicin de polo de aceleraciones 0 ) .( ) (222= =c o ooxV C C C C xdtddtC d 57 kkdtddtd(r(.. ==

j Y i X C Cj V i V Vo o oc Y X cc( (( (+ = + =) ( reemplazando 000 0 ) (00 02=((((

+ ((((

c cX Xo oo oV Vk j ij Y i XY Xdtdk j i (( (( ((( ( Obtenemos: 0 ) . (0 ) . (2.2.= + = + ccX o oY o oV YdtdX jV XdtdY i(( cuya solucin da los valores de Xo y Yo. En particular si la aceleracin 0 =dtd ccXoYoVYVX == 58 Unidad 4: Dinmica de la Partcula. Principio de Inercia (1 Ley de Newton) Todo cuerpo contina en su estado de reposo o de movimiento rectilneo y uniforme, a menos que sea obligado a cambiar de estado por fuerzas que actan sobre l Esequivalenteaexpresarqueesposibleadoptar,porlomenosunsistemade referencia,paraelcualtodapartculaaisladacontinaensuestadodereposoode movimiento rectilneo y uniforme. Recuerdesedenominapartculaatodocuerpocuyasdimensionesyorientacin resultan despreciables en la descripcin de su movimiento. A los sistemas de referencia en reposo o que se desplazan con movimiento rectilneo y uniforme (es decir, no acelerado) se los denomina Sistemas de referencia inerciales. Una partcula aislada es aquella que no interacta con otras o sea, no esta afectada por las acciones (fuerzas) que estas otras pudieran ejercer sobre ella. Principio de masa (2 Ley de Newton) La derivada de la cantidad de movimiento respecto del tiempo es proporcional a la fuerza que acta sobre el cuerpo y tiene su direccin y sentido. Siendo p= mvla cantidad de movimiento o momento lineal F = tpdd= mtvdd=ma Principio de Accin y Reaccin (3 Ley de Newton) Atodaaccinejercidasobreunapartcula,seoponeunareaccinigualyde sentido contrario que ejerce la propia partcula Serefierealainteraccinentredospartculasyenotraspalabrassealaquetoda vez que una partcula ejerce una fuerza sobre otra, sta ejerce sobre la primera una fuerza de igual intensidad y direccin pero de sentido contrario. Principio de independencia de accin de fuerzas Todocuerpo,bajolaaccinconjuntadedosfuerzas,describeladiagonaldel paralelogramo en el mismo tiempo que empleara en describir los lados del mismo, bajo la accin de cada una de las fuerzas Si dos o ms fuerzas actan sobre una partcula, la aceleracin resultante es igual a la suma de las aceleraciones que adquirira si cada una de aquellas actuara aisladamente 59 Esteprincipioexpresaeldesuperposicinde efectos. Movimiento unidimensional de la partcula Enesteapartadoseestudiaelmovimientodeunapartculademasamalolargodeuna recta.Alquedardetalmododefinidaladireccin,eshabitualprescindirdeltratamiento vectorialdelosdistintoselementosqueintervienen.Eltratamientovectorialesdetodos modos, general, y es estrictamente indispensable, en el estudio del movimiento curvilneo, es decir, en dos o en tres dimensiones. Segn el Principio de Masa: v) m (dtddtdp= =||

\|dtdxmdtd=m22dtx d=F =m a Expresionesvlidas para un partcula cuya masa se acepta como constante. Esteprincipio,expresadocomoa m Fdtdp= = constituyelaExpresindiferencialdel Momento Lineal, cuya integracin conduce a: 21ppdp=21ttdt F p2 p1 =21ttdt FQue es la expresin integral del Teorema del momento lineal.21ttdt Fse denomina impulso de F, o impulso suministrado por la fuerza F. La expresin F= m22dtx d es la Ecuacin fundamental de la Dinmica,y es una ecuacin diferencial ordinaria cuya solucin es x = x(t), y en la que F puede ser funcin de t (fuerza variable en el tiempo), x (Fuerza que depende de la posicin) o de v (Fuerza que depende de la velocidad). A partir deF = mdtdv, se puede expresarFv = mvdtdv Fv = dtd(21mv2) QueeslaExpresindiferencialdelTeoremadelaEnerga.Enestaltimaexpresin T=21mv2 se define como Energa Cintica de la partcula. La forma integral del Teorema de la Energa es: dt mvtt||

\| 21221dtd= dtdtdT 21tt T2 T1 = 21ttdt v FEn la expresin recuadrada, los trminos que intervienen representan: F1F2F1F2+ 60 21ttdt v F : Trabajo realizado por la fuerza F entre t1 y t2. F v : Potencia suministrada por la fuerza F. As, T2 T1=2122mv21mv21 =21dx Fxx La Ecuacin General de la Dinmica, m22dtx d= F permite abordar los dos grandes grupos de problemas del estudio del movimiento, a saber: A)Conocidaslasfuerzasoaccionesdeotraspartculasocuerpossobreuna partculadada,obtenerladescripcincompletadelmovimiento,identificandoparatodo instante, la posicin, la velocidad y la aceleracin resultantes (Proceso de integracin) B)Conocidalaleydelmovimiento,osea,x(t),determinar(ademasdela velocidadylaaceleracin)lafuerzaresultanteoaccinqueladetermina(Procesode derivacin). Comosehadicho,lafuerzaFpuedeserfuncindeunaomsvariables,por ejemplo:F(x,x ,t)odeunacombinacindeellas,pudiendoinclusiveexistirrelaciones funcionales que las liguen entre s. Ejemplos:La fuerza de rozamiento es funcin de la velocidad. Lafuerzaejercidasobreuncuerpocargadoporuncampoelectrosttico dependiente del tiempo. Lafuerzaejercidaporelcampogravitatoriosobreunamasaylafuerzade recuperacin elstica son funciones de la posicin. Lafuerza de resistencia del aire, engeneral, es funcin de la posicinyde la velocidad. Finalmente,lasolucindelaecuacinm22dtx d=F(x, x ,t)requierelosconocimientosde condiciones iniciales o de referencia, es decir, conocer los valores que asumen x y xpara un determinado y conocido instante t0. Es decir:= == == 0 00 00v ) t ( x xx ) x(t x t tpara Caso de Fuerza dependiente del tiempo, nicamente La ecuacin m22dtx d=F(x, x ,t)se expresa como m22dtx d=F(t), y siendo 22dtx d=dtdv, Ser mdtdv=F(t),EDOdeprimergrado(requiereelconocimientodeunacondicin inicial, en este caso, v(0). Esta EDO se puede resolver por separacin devariables seguida de un proceso de integracin, o utilizando transformada de Laplace. Por separacin de variables: 61 mdtdv=F(t) mvv0dv =tt0F(t)dtmv mv0 =tt0F(t)dt v(t) = v0 + ||

\|m1tt0F(t)dt Conocido v(t), y siendo v(t) = dtdxdx=v(t)dt(xx0)=tt0v(t)dt ,yreemplazando v(t) serx(t) =x0 +v0(t t0)+ ||

\|m1dt F(t)dttttt0 0 ((

Caso de Fuerza dependiente de la velocidad, nicamente En este caso, es F = F(v), y se supone conocida esta relacin funcional. La ecuacin general se expresa como: mdtdv=F(v), y separando variables: mdtF(v)dv= vv0 F(v)dv=||

\|m1tt0dt =||

\|m1( )0t - tSiendoF(v)conocida, vv0 F(v)dv=(v).Enprincipio,siempreesposibleobtener(v)tde sta, despejar v. Entonces, resultar v(t) = ( v0, mt - t0), y conocidos v0, t0,m es v=(t). Conocida la relacin funcional entre la velocidadyel tiempo, se puede obtener la ley del movimiento. Para esto, se parte de dtdx=v x x0 =tt0(t)dtx(t) = x0 + tt0(t)dt Caso de Fuerza dependiente de la Posicin, nicamente Para este caso, la ecuacin general queda expresada como: mdtdv=F(x) Multiplicando ambos miembros por dx: mdtdvdx=F(x)dx mv dv = F(x)dx. Integrando entre las posiciones x0 y x, y para v0 y v: xx0F(x)dx =vv0dv mv[I] donde x0 , v0 son la coordenada y velocidad en un punto de referencia P0 x y v son la coordenada y velocidad en un punto genrico P. xx0F(x)dx es el trabajo de la fuerza F(x) al pasar de x0 a x, DefinicindeEnergaPotencial:Eseltrabajonecesarioparallevarunapartculadesde un punto genrico hasta el punto que se considera como de referencia.Esto se expresa: V(x) =0xF(x)dx = - x0F(x)dx 62 Utilizando el potencial, la expresin [I] resulta: xx0F(x)dx = 202mv21mv21 = V(x0) V(x)[ II ] Silafuerzaqueactasobrelapartcularealizatrabajopositivo,ellorepresentarenuna disminucin de la funcin V(x) (Energa Potencial). Siendo (1/2)mv2 = T(x), la Energa Cintica, la expresin [ II ] se puede escribir: T(x) + V(x) = T(x0)+V(x0) = Constante = E [ III ] donde E es la Energa mecnica total del sistema. [ III ] expresa la ley (teorema) de la conservacin de la energa mecnica total, y significa que si la fuerza depende slo de la posicin, la totalidad del trabajo se produce a expensas de la energapotencial y da lugar al incremento de la energa cintica. Unsistemadefuerzasquesatisface[III]sediceesconservativo,yescondicinquela fuerza dependa slo de la posicin. Cuandoaparecenfuerzasquenodependensolodelaposicin,aparecenotrasformasde energa, y se dice que intervienen fuerzas disipativas, y el sistema ser no conservativo. De T(x) + V(x) = E (1/2)mv2 + V(x) = E v =( ) V(x) - Em2 y siendo v =dtdx xx0V(x) - Edx2m=tt0dt =(t-t0) La ley de movimiento podra obtenerse resolviendo la integral y despejando x(t). Teniendo presente que V(x) = - xx0dx F resulta: dxdV(x) =F(x) Es decir que la energa potencial es una funcin escalar cuya derivada, cambiada de signo dalafuerza.Deaqusurgequetodopuntocuyacoordenadacumplaque dxdV(x)=0,al hacer F(x) =0, constituye un punto de equilibrio. Nodebeperdersedevistaelcarcterescalardelpotencial,yelcarctervectorialdela fuerza.Laltimaexpresin, dxdV(x)eslacomponenteenx(coordenadaalaquehemos restringidoelmovimientoenesteestudio)delGradientedeV(x).(Sesabequeel gradienteasignaauncampoescalarunvectorcuyadireccinesladireccindemxima variacin, y cuyo mdulo es el valor de la mxima derivada)

Curvas de Potencial Para un movimiento unidimensional, es posible graficar V(x) en funcin de x. 63 Laecuacin xx0V(x) - Edx2m=tt0dt =(t-t0)expresaque,paraunaenergadadaE,la partcula slo puede evolucionar en un intervalo en que V(x)E. El anlisis de la curva, de tal modo, conduce a las siguientes conclusiones: Si la energa inicial es E = E0, la partcula slo podr permanecer en x0. All estar enunpuntodeequilibrio:latangentegeomtricaalacurvaeshorizontal,yello indica que 0x x dxdV(x)= = 0. Lospuntos4,5y6correspondenalascoordenadasx4,x5yx6paralasque igualmente se verifica equilibrio de fuerzas. Si las condiciones iniciales condujeran a un nivel de energa E = E1, el movimiento de la partcula quedara confinado entre x1 y x2.ComoE=V(x)+T(x)setendra,siseadoptacomoniveldereferenciaV(x0)=0, que:enx0,E1=T(x0):Laenergaesenteramentecinticayadems,T(x) alcanza su valor mximo. enlospuntos1y2,E1=V(x1)=V(x2):Laenergaesenteramente potencial, y esta es mxima para el intervalo [x1,x2]. Lavelocidaddisminuyealacercarseax1oax2,puntosderetorno.El movimientocesayseinviertesusentidoalalcanzarlos.Eltrama[x1,x2] suele denominarse valle de potencial. Paraquelapartculapuedaalcanzarlaposicinx4,laenergainicialdebera alcanzaraE=E2.Enx4,lapartculapodrbienregresarhaciaelvalledex0,bien escapar hacia el valle de x6. Estados de Equilibrio Departicularintersresultaelanlisisdelassituacionesdeequilibrio,elcarcter delmismo,ylascondicionesdesuexistencia,parafuerzasactuantesdependientesdela E35046231V(x)V(x)xx4x6x5x3x0x2x1E5E1E0 64 posicin.Sehadichoquelosestadosdeequilibriopresentandondelasfuerzasaplicadas sobre la partcula son nulas, o sea F(x) = 0. Siendo dxdV(x) =F(x),lascondicionesnecesariasysuficientesparaquela partcula se encuentre en un punto de equilibrio, es que dado V(x); dxdV(x)=0. Lospuntos(1),(2)y(3)cumplenconla condicin dxdV(x)=0,ysedenominan puntos de equilibrio. Desarrollando dxdV(x)enseriesde potencias: dxdV(x)=0dxdV(x)||

\|+022dxV(x) d|||

\|x ++033dxV(x) d21|||

\|x2+.... Despreciandolostrminosdeordensuperioryconsiderandoelorigendecoordenadasen el punto donde dxdV(x)=0 queda: - dxdV(x)= - |||

\|22dxV(x) dx = F Enelpuntox0enqueseverifica dxdV(x)=0, |||

\|22dxV(x) dpuedeadoptarunvalor>0,0, la ecuacin general del movimiento es: m22dtx d = F = -022dxV(x) d|||

\|x22dtx d+m1022dxV(x) d|||

\|x = 0 llamando 20 = m1022dxV(x) d|||

\|, se puede rescribir la ecuacin como: 0 x x20= + cuya solucin es del tipo x(t) = A Cos(0 t + ) El movimiento as descrito es armnico y ocurre en torno del punto de equilibrio, A y dependen de las condiciones iniciales.Lacondicin 022dxV(x) d|||

\|>0,enunpuntodonde dxdV(x)=0,implicaqueelpuntoen cuestinesunmnimorelativo.Puedeexpresarseentoncesquesilafuncinpotencial poseeunmnimoenelpuntodeequilibrio,entoncesesteesestable.Implicaquesiuna partcula es alejada del punto de equilibrio, tiende a retornar. V(x)x(1)(2)(3) 65 2.Equilibrio Inestable Si 022dxV(x) d|||

\|< 0, la ecuacin general del movimiento es: m22dtx d = F =022dxV(x) d|||

\|x22dtx d -m1022dxV(x) d|||

\|x = 0 llamando 20 = m1022dxV(x) d|||

\|, se puede rescribir la ecuacin como: 0 x x20= La solucin a esta ecuacin diferencial se puede expresar como: x(t) = t 2t 10 0C C e e +donde C1 y C2 dependen de las condiciones iniciales. En esta expresin, los coeficientes de lasexponencialessonpositivos,loqueseinterpretadelasiguientemanera:apartadala partcula de su posicin de equilibrio, la partcula tiende a alejarse indefinidamente.Las condiciones de equilibrio para un punto de equilibrio inestable son: