INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA MECNICA Y ELECTRICA

ALUMNO:

LUVIANO MOSQUEDA DANIEL

MATERIA: MECANICA

PROF: RIVAS MARTINEZ JUAN DANIEL

GRUPO: 3EM6

SEMESTRE: TERCERO

CARRERA: INGENERIA ELECTRICA

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Mecnica. Es la ciencia que se ocupa de estudiar el conjunto el comportamiento de los

cuerpos sujetos a la accin de fuerzas, ya sea que se encuentran en reposo o en

movimiento. Para su estudio se divide en tres partes

Mecnica de los esttica

cuerpos rgidos dinmica cinemtica

cintica

Mecnica Mecnica de los se estudia en resistencias

cuerpos deformes de los materiales

Mecnica de los incomprensibles (hidrulica)

fluidos comprensibles (termodinmica)

CONCEPTOS BASICOS:

Son el conjunto de elementos ms usuales el estudio y desarrollo de la mecnica, estos

son: espacio relacionamos este concepto con la nocin de posicin con un punto P,

decimos que la posicin de un cuerpo (partcula) est definido con respecto de un sistema

de referencias cuando conocemos sus coordenadas

z z

P(x, y, z) P(r, , y)

Y y

X

Tiempo. Sabemos que se puede medir todo proceso que se repite espordicamente,

estas repeticiones nos pueden servir como medida del tiempo.

Masa. Es la medida de la inercia de su cuerpo, siendo la inercia una propiedad de los

cuerpos de resistir el cambio de movimiento

Fuerza. Es la accin de un cuerpo sobre otro cuerpo que cambia o tiende a cambiar el

estado de movimiento y esta puede ser por contacto directo o distancia.

W planeta

s

CONTACTO DIRECTO A DISTANCIA

Partcula. Es una cantidad muy pequea de material de la cual se supone que ocupa un

solo punto en el espacio. Cuerpo rgido est formado por un gran nmero de partculas

que ocupan posiciones fijas entre si.

Principios fundamentales de la mecnica

1.- Ley del paralelogramo para la suma de fuerza. Si desde un punto se trazan dos

vectores que representan dos fuerzas la lnea que va del origen el vrtice opuesto ser la

resultante de las dos fuerzas.

F1

F2

2.- Ley del triangulo: La resultante puede encontrarse colocando el origen de F2 en el

extremo de fx y luego uniendo el origen de F1 con el extremo de F2

3.- Principio de transmisibilidad. Las condiciones de equilibrio o movimiento de un

cuerpo permanecern inmodificables si una fuerza que acta en una fuerza dado de esta

es reemplazada por otra de la misma magnitud e igual direccin pero que actan en un

punto diferente, con la condicin de que las dos fuerzas tengan la misma lnea de accin

F = F

LEYES DE NEWTON

R

F

Sol

Primera ley Newton. Si la resultante de un sistema de fuerzas que actan sobre una

partcula esta permanecer en reposo o se mover con rapidez constante en lnea recta.

Segunda ley de Newton. Si la resultante de un sistema de fuerzas que actan sobre

una partcula no es cero, la partcula tendr una aceleracin proporcional a la fuerza

resultante y en direcciones de ella

a= F / M por lo tanto F= M a

Tercera ley de Newton. Las acciones entre dos cuerpos en contacto son de igual

magnitud y de sentido contrario

Ley de la gravitacin (Newton): Dos partculas de masa M y m se atraen

mutuamente con fuerzas iguales y opuestas de magnitud F, dada por la formula

Donde:

G: constante de gravitacin

G: 6.67x10-11 Nm2/kg2

Unidades: De los 4 conceptos bsicos vistos anteriormente se asocian las unidades

cinticas. El conjunto de unidades cinticas seleccionadas adecuadamente, conforman un

sistema consistente de unidades y estas son: longitud, tiempo y masa (unidades bsicas

fundamentales).

Sistema internacional de medidas

Longitudmetro (m)

Unidades bsicas masa. Kilogramo (kg)

Tiempo.segundo (s)

Unidad derivada fuerzanewton (N)

M=1 kg m=1 kg a=9.81m/seg2

f=1 n

1N= (1kg) (1m>/s2) w=9.81n

En casos de que se requiera es conveniente trabajar estos unidos en mltiplos o

submltiplos de este

Unidades inglesas

Longitud.pie ()

fuerzalibra (lb)

unidades bsicas tiempo.segundo(s)

masa..slug(slug)

a =1 pie /seg2

1 LB= (1 slug) (1 pie/s2)

Esttica de partculas

Esttica es la parte de la mecnica que se encarga del estudio de los cuerpos en reposo

Fuerza. Es la accin de un cuerpo sobre otro y est caracterizada por su punto de

aplicacin, direccin y sentido

La experiencia nos ha demostrado certeramente que dos fuerzas F1 Y F2 que actan

sobre una partcula P pueden reemplazarlo por una solo fuerza R y sostiene el mismo

efecto sobre la partcula.

F1 F1

p P = R

F2 F2

Vectores

R

m=1 slug

Son definidos como expresiones matemticas que poseen magnitud, direccin, sentido y

que se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Existen 3 tipos de vectores: fijos,

libres y deslizantes

Adicin y sustraccin de vectores

Sea A, B, C, D, E vectores

B R=A+B+C+D

A A+B C E

A+C+B D

A+B+C+D

Sustraccin

A - B = A + (-B)

B A A B -

A

A

B

A

A - B B

A + (-B) -B

F2 F1 F3

F4 F2

F3

F4 R

resultante de varias fuerzas concurrentes. F1

Producto de un escalar por un vector

A + A + A + A = 4 A

Tiene la misma direccin y sentido de A sin>0

nA tiene sentido contrario de A si n

LEY DE LOS SENOS

LEY DE LOS COSENOS

Un tringulo queda definido cuando se conoce

Dos lados y en ngulo comprendido

Un lado y dos ngulos adyacentes

Los tres lados

Dos lados y el ngulo opuesto al mayor

El pistn de la figura est sujeto a 2 fuerzas F1 y F2 determinar la magnitud y la fuerza

resultante

FR2=F12+F22-2F1F2COS

FR=212.5

=39.76

Descomponga una fuerza horizontal de 600 lb que se muestran en la figura A en

componentes que actan a lo largo de los ejes U y V y determine las magnitudes de esas

componentes.

Sen b A = B sen A

Sen b A = B sen A

U= 1039.23 lb

V= 600 lb

Determina la magnitud de la fuerza componente F en la siguiente figura y la magnitud de

la fuerza resultante FR. Si FR esta dirigida a lo largo del eje positivo Y.

=

F= 244.49 lb

FR= 273.20 lb

Fuerzas concurrentes

La fuerza es una magnitud vectorial, puesto que el momento lineal lo es y esto significa

que tiene movimiento y sentido. Al conjunto de fuerzas que actan sobre un cuerpo y se le

llama sistema de fuerzas. Si las fuerzas tienen el mismo punto de aplicacin se habla de

fuerzas concurrentes.

Todas las fuerzas actan en un punto para el cual no existe resultante de momento, de

par de momento que el punto P queda automticamente especificado.

Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes paralelas y no concurrentes y no

paralelas.

=tan

=47.90

R=148.85

FUERZA ANGULO SEN COS Fx=Fcos Fy=Fsen 30 N 60 .86 0.5 15 25.98

20 N 90 1 0 0 20

10 N 20 .34 0.93 18.79 3.42

40N 40 .64 0.76 30.64 25.71

50 N 45 .70 0.70 35.35 35.35

99.78 110.46

Componentes rectangulares de una fuerza

F=Fx + Fy

F=

Fx= Fcos

Fy= Fsen

Fx = Fx

Fy = Fyj

F = Fx+Fy

F = Fxi+Fyj

Suma de fuerzas por adiccin de componentes rectangulares.

Cuando se sumen 3 o ms fuerzas es ms conveniente descomponer cada fuerza en

componentes rectangulares, liego se suman algebraicamente las correspondientes

escalares de todas las fuerzas que intervienen.

B A

P

C

R= A + B + C y

RXi + RYj= AXi + AYj + BXi + BYj + CXi + CYj

RXi + RYj=(AX+BX+CX)i + (AY+BY+CY)j RYj

RX=AX+BX+CX o RX= FX

RY=AY+BY+CY o RY= FY RXi

X

R=RXi+RYj

=ARC TAN RY/RX

Determine la magnitud de la fuerza resultante. Actuando al extremo de la mnsula.

Especifique su direccin medida a partir del eje x

B2=A2+C2-2AC

COS B

FR=(400N)2+(300N)2-2(400)(300)COS 60

FR=360.55N

Una fuerza de 800N se ejerce sobre un perno (A) como se muestra en la figura.

Determine las componentes vertical y horizontal de la fuerza

X= F cos

Y=F sen

X= (800n) (cos 35) Y= (800N) (SEN 35)

X= 655.32N Y=458.86N

Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300N como se muestra

en la figura Cules son las componentes horizontal y vertical de la figura, de la fuerza

ejercida por la cuerda en el punto A?

=Tan-1 6/8=36.68

X=300N (Cos36.68)

X=240.03N

Y=300N (-Sen 36.86)

Y=-179.95N

Una fuerza F= (700lb)i+(150lb)j se aplica a un perno A. determine la magnitud de la fuerza

y el angulo que forma con la horizontal

=Tan-1 y/x =Tan-1 1500/700=

=64.98

Cuatro fuerzas actan sobre un perno A como se muestra en la figura determine las

resultantes de las fuerzas sobre el perno

150N------------30

80N--------------110

100N-------------15

110N-------------90

=Tan-1 14.29/199.13=4.10

F=199.64N

El extremo de la barra O. mostrada en la figura esta sometida a 3 fuerzas cooplanares

concurrentes. Determine la magnitud y la direccin de la fuerza resultante

X Y

129.90 75

-27.36 75.17

96.59 -25.88

0 -110

199.13 14.29

X Y

-400N 0 -400 0

250N 45 176.77 176.77

200N -36.86 -160.02 119.99

-383.25 296.76

=COS-1 4/5=36.86

=TAN-1 296.76/-383.25=142.24

F=484.71N

Equilibrio de una partcula

Si la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una partcula es cero, la partcula

se encuentra en equilibrio. En particular sometida a dos fuerzas estar en equilibrio si

ambas fuerzas tienen la misma magnitud, lnea de accin, pero sentidos opuestos.

Entonces la resultante de las 2 fuerzas es cero.

100lb

Figura(A)

100lb

Otro caso de otra partcula en equilibrio se muestra en la figura b. donde aparecen 4

fuerzas que actan sobre a.

F4=400lb 30

F1=300lb

X

30 f2=173.2lb

F3=200lb

En la figura (c) la resultante de las fuerzas dadas se determina por la regla del polgono

empezando en el punto 0 con fi y acomodando las fuerzas punto a cola. Se encuentra que

la punta de f4 coincide con el punto de partida o as que la resultante R del sistema de

fuerzas dado es cero y la partcula esta en equilibrio.

El polgono cerrado de la figura ( c ) proporciona una expresin grafica del equilibrio de A.

para expresar en forma algebraica las condiciones del equilibrio de una partcula se

escribe R=F=0.

Descomponiendo cada fuerza F en sus componentes rectangulares se tiene:

(Fxi + Fyj)=0

(Fx)i+(Fy)j=0

So concluye que las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de una

particular son:

Fx=0

Fy=0

Regresando a la partcula mostrada en la figura A. se comprueba que las condiciones de

equilibrio se satisfacen y se escribe:

F4=400lb

F1= 300 lb

F2= 173.2 lb

F3= 200 lb

FIGURA ( C )

Primera ley de movimiento de Newton.

Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula es cero, la partcula permanecer en

reposo (si originalmente estaba en reposo) o se mover con velocidad constante en lnea

recta (si originalmente estaba en movimiento).

De esta ley se deduce que una partcula en equilibrio puede estar en reposo o

movindose en lnea recta con velocidad constante.

Problemas relacionados con el equilibrio de una partcula.

Diagramas de cuerpo libre. (D.C.L.)

En la prctica un problema de ingeniera mecnica se deriva de una situacin fsica real.

Un esquema que muestra las condiciones fsicas del problema se conoce como diagrama

espacial.

Un gran nmero de problemas que tratan de estructuras pueden reducirse a problemas

concernientes al equilibrio de una partcula. Esto se hace escogiendo una partcula

significativa y dibujando un diagrama separado que muestra a esta y a todas las fuerzas

que actan sobre ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo libre.

Considere el embalaje de madera de 75kg mostrado en el diagrama espacial de la figura,

este descansa entre 2 edificios y ahora es levantado hacia la plataforma de un camin

que lo quitara de all. El embalaje esta soportado por un cable vertical unido en a a dos

cuerdas que pasan sobre poleas fijas a los edificios en b y c. se desea determinar la

tencin en cada una de las cuerdas A B y B C.

Diagrama espacial (a)

50 30

50 30

B C

A

50

30

M=(75kg)(9.81m/ )=735.75 N

En la operacin se descarga de un barco u automvil, de 3500 lb. Es soportado por un

cable. Se ata una cuerda al cable en el punto A y se tira para centrar al automvil sobre la

posicin deseada, el ngulo entre el cable y la vertical es de 2 mientras que el ngulo

entre la cuerda y la horizontal es de 30. Cul es la tencin en la cuerda?

30

A

3500lb

Determine la magnitud, direccin y sentido de la fuerza F ms pequea que mantendr en

equilibrio al paquete que se muestra al margen. Ntese que la fuerza ejercida por los

rodillos sobre el paquete es perpendicular al plano inclinado. =15

30kg D.C.L

15

15

B

A

B

C

30

N

F

F

W=30 KG

P

W=30 kg* 9.81 m/ = 294.3 N

Un bloque que tiene una masa de 10kg se mantiene en equilibrio mediante 2 cuerdas

como se indica en la figura, la cuerda ABC es continua y pasa sobre una polea sin friccin

en el punto B. Determine la tencin de la cuerda AD y la masa del bloque en C. para la

condicin de equilibrio.

D.C.L

30 30

W=10 kg. * 9.81 m/ =98.1 N

10kg

A D

C

B

m=?

10kg

m=?

Un huacal tiene una masa de 50 kg y esta siendo jalado con velocidad constante hacia

arriba de un plano inclinado 30 como se indica en la figura. Determine el alargamiento

desarrollado en el resorte (amortiguador de choques) del remolcador requerido para la

condicin de equilibrio.

D.C.L

30

30

F=KX

F=fuerza

K=constante del resorte

X=distancia de estiramiento

F=(sen 30)(9.81)(50)= 245.25 N

+Fx=0

F=cos 30-Nc sen 30 =0..1

+Fy=0

F sen 30+Nc cos 30-490.5 N..2

Resolver las ecuaciones.

K=500 N/m

50kg

F

F=Nc sen 30/ cos 30

Sustituyendo ecuacin 2 en 1:

(Nc sen 30/ cos 30)sen 30 + Nc cos30-490.5 N

N=424.78

3 bloques que tienen las masas indicadas estn unidos mediante las cuerdas mostradas,

si las cuerdas pasan sobre pequeas poleas determine la flecha S para la condicin de

equilibrio.

D.C.L

S=?

(+ ) Fy=0

T1sen + T1 sen - T2=0

2T1 sen - T2=0

sen= T2/2T1

sen=

==

Tan =s/x

S= Tan(x) S=Tan 11.53(1m)= 0.2039 m

5kg 5kg 5kg

1m 1m C B

A

B

T3 T1

T2

C

A

Si se sabe que las porciones AC y BC del cable ACB deben ser iguales, determine la

longitud mnima que debe tener el cable para soportar la carga muestral si la tensin en

este no debe ser mayor que 870 N.

2.1m 2.1m

T3 T1 870N

2.1m

1200 N F2 1200 N

Fy=0

Fy= T1 sen + T1 sen - T2=0

=(T1 sen )(2) T2=0

=2T1 sen - T2=0

=sen = T2/2 T1= = sen-1(1200 N/1740 N)= 43.60

Tan = Y/X =y=x(tan )

Y=(2.1m)(tan 43.60)= 1.99 m

Equilibrio de la partcula.

En el mecanismo mostrado determine.

a) Las magnitudes de las fuerzas que actan en los elementos AB y BC

b) Las componentes de las reacciones en A y C.

D.C.L

B

3.2m 4.3m

m=2460 kg m=2460 kg

B

C

A

A B

C

2.

6

m

1.

2

m

A C

B B

T1 T3

=

B=

= CB=22956.062

No cooplanares concurrentes

Un sistema de fuerzas tridimensionales se denomina como un sistema no coplanar

sea que el sistema de fuerzas no acta exclusivamente en el plano sino que se

encuentra actuando en el espacio. Existe tres tipos de sistemas no cooplanares:

a) No cooplanares concurrentes.

b) No cooplanares, no concurrentes, paralelas.

c) No cooplanares, no concurrentes, no paralelas.

El tratamiento de sistemas de fuerza tridimensionales es muy importante en el espacio de

ingeniera de estructuras, basta con observar una estructura ya sea algn edificio como

algn puente, un sistema de armaduras, una gra, tensores, cables, poleas, barcos,

aviones, para imaginarse la necesidad de entendimiento del anlisis tridimensional.

T2

En el cubo adjunto nos podemos dar una idea de lo til que puede ser un cubo

rectangular para la determinacin de proporciones as como orientacin en el espacio.

Con estos sistemas podemos obtener las componentes de una fuerza tomando el

producto de las fuerzas por el coseno director de la componente por la componente que

se desee en lo sucesivo tomaremos como positivas las direcciones siguientes:

Fz

y Fx

z

x

y

x

z

F

Fx=Fcos x

Fy=F cos y

Fz=F cos z

Determine las componentes rectangulares de las fuerzas F=3 ton

y

(+)

b (-)

(+) x

8m (-)

6m (+)

7m a z (-)

Obtencin de los cosenos directores.

y

x

z

o

F

Solucin.

Primeramente obtendremos la distancia que existe entre los puntos A y B.

Estos datos pueden verificarse a partir de la regla que la suma de los cuadrados de

los cosenos directores, tendr que ser igual a la unidad.

Una vez obtenidos y verificados los cosenos directores procedemos a calcular las

componentes ortogonales.

Fx=F cos x=3(-0.574)= -1.72 ton.

Fy=F cos y=3(0.492)=1.48 ton.

Fz=F cos z=3(0.656)=1.97 ton.

z

1.97 ton

-1.72 ton(-) (+)

x

1.98 ton

y

El signo negativo nos indica que la direccin de la componente en el eje x es de

direccin contraria al sentido positivo del eje x.

Tenemos una cuerda atada a una argolla a la cual le aplicamos una carga p=500kg

como se muestra, determinar:

a. Los ngulos

b. Las componentes ortogonales

Fuerzas en el espacio

Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio considere una fuerza F que

acta en el origen 0 del sistema de coordenadas rectangulares X y Y para definir la

direccin de F se traza el plano vertical OBAC que contiene a F y que se muestra en

la figura A.

Este plano pasa a travs del eje vertical y su orientacin esta definida por el ngulo

que forma con el plano xy mientras que la direccin de F dentro del plano esta definida

por el ngulo y que forma F con eje Y, la fuerza F puede descomponerse en una

componente vertical Fy y una componente horizontal Fh, esta operacin mostrada en

la figura OBAC, las componentes escalares correspondientes son:

Fy= Fcosy

Fh= Fcosy(1)

La fuerza fh puede descomponerse en sus dos componentes rectangulares Fx y Fz

respectivamente.

Esta operacin mostrada en la figura c re realiza en el plano xz de esta manera se

obtienen las expresiones siguientes para las componentes escalares

correspondientes:

Fx=Fh cos= Fsen y cos

Fz=Fh sen= Fsen y sen (2)

La fuerza F se ha descompuesto en 3 componentes vectoriales rectangulares.

Fx, Fy y Fz dirigidas a lo largo de los 3 ejes coordenados.

Si se aplica el teorema de Pitgoras a los tringulos OAB y OCD de las figuras B y C

se escribe.

Se eliminan de estas 2 ecuaciones y se resuelve para F se obtienen la siguiente

relacin entre la magnitud de F y sus componentes rectangulares.

La relacin que existe entre la fuerza F y sus tres componentes Fx, Fy, Fz.

Se representa mas fcilmente si se traza una caja que tiene por aristas Fx, Fy y Fz

como se muestra en la figura (2). La fuerza F esta representada por la diagonal OA de

esta caja (cubo) la figura 2.B muestra el triangulo rectngulo OAB empleado para

deducir la 1ra de las formulas.

Fy= F cosy en las figuras (2.a) y (2.b)

Se han trazado otros dos tringulos rectngulos en OAD y el OAE estos ocupan

posiciones semejantes a las del triangulo OAB.

Si representamos por x y z los ngulos que forma F con los ejes X y Z

respectivamente se pueden escribir dos formulas semejantes a Fy=Fcosy

Fx= Fcosx

Fz=Fcosz.(4)

Los tres ngulos x, y y z definen la direccin de la fuerza y son mas usados que los

ngulos y y introducidos al comienzo de la seccin. Los cosenos x, y y z se

conocen como los cosenos directores de la fuerza F.

Con el uso de los vectores unitarios i,j,k dirigidos a lo largo de los ejes x,y,z

respectivamente (figura 3) se puede expresar F.

F=Fxi + Fyj + Fzk.. (5)

Donde las componentes escalares Fx, Fy y Fz estn definidas por las relaciones de

las ecuaciones (4)

y y

B A

F Fy F

y y

x

Fh C

c (FIG 1.B)

z (FIG 1.A) z

y B

B

Fy

Fz D

Fh F D X

E C E C

(FIG 1.C) Z (FIG 2.A)

Z

Y B

D x

Fz E C

Z (FIG 2b)

y

B

D x

Fy

F

x

Fx

y

Fy

Fa

A

Fy

Fx

Fz

z

F

E C

Z (FIG 2.c)

y

x

F2k

(FIG. 3)

Z

Fyj

Fxi

F=F

(magnitud=1)

cosxi

cosxi

coszk

cosxi

cosyj

cosxi

Calcular las componentes de la fuerza P=200kg.

z=7

y=-9

x=3

Solucin

MOMENTOS DE FUERZA

Mientras empujamos o jalamos un cuerpo podemos decir que se le est aplicando una

fuerza no obstante si el mismo cuerpo le aplicamos una fuerza que tiende a rotar dicho

cuerpo. Por ejemplo a una mesa le aplicamos la fuerza por uno de sus vrtices, esta se

desplazara rotatoriamente dependiendo de la lnea de accin de la fuerza aplicada y el

fenmeno quedara definido como momento.

Una definicin de MOMENTO: Momento es igual al producto de la fuerza por el brazo de

palanca (distancia perpendicular) al eje de la fuerza hasta el punto en cuestin) Mo = Fd.

Sin embargo el calculo del brazo del brazo de palanca en algunos casos para una fuerza

con respecto al punto en cuestin resulta elaborado y consecuentemente tardado por lo

que en estos casos es recomendable el uso del principio de momentos (teorema de

Varigno) el cual dice que la suma de los momento de las componentes de una fuerza con

respecto a un punto sea igual al momento de dicha fuerza con respecto al punto en

cuestin.

Mo = Fd

Determinar el momento de la fuerza F = 12ton con respecto al puto A cuando

Mo = fd

Ma= -12ton =bp sen

2m sen=bp

Ntese que el momento se expresa en unidades de longitud por unidades de carga y que

el signo queda definido por el giro que se provoque positivo.

Solucin alterna por el teorema de Varignon

sen=

cos=

2m

bp

bp

2m

F

Fy

Fx

Solucin alterna de problemas por el mtodo de Varignon.

Una vez descompuesta la fuerza F en sus componentes Fx y Fy podemos observar que

Fx no tiene brazo de palanca con respecto al punto A y su brazo de palanca ser cero,

consecuentemente pero para la componente Fy si tiene brazo de palanca con respecto al

punto A y es de 2m.

Ma=-Fy (2m)=-Fsen(2m)=-12ton sen 40(2m)

Fy= Fsen 20(5)

Fx=cos20(10m)

Con respecto al punto a:

Mo=(x)(Fy)-(y)(Fy)

X=r cos r r= Fx=F cos

Y=r sen r r=tan-1(

) Fy=F sen

Fx

Fy

F 2 m

a

5 m

Desarrollo

1. F=10N =o r=5m r=0

X=(5m) cos0 =5m Fx=(10N)(cos0) =10N

Y=(5m) sen0 =0m Fx=(10N)(sen0) =0N

Mo1=(5m)(0N)-(0N)(10n)=0N.m

2. F=9N =0 r=5m r=0

X=5cos0=1m Fx=9n cos0=9N

Y=5sen 0=0 Fy=9n sen0=0N

Mo2=(1m)(0N)-(0m)(9N)=0N.m

3. F=8N =30 rx=5m ry=-5 r=7.071

r=45

r= = = = r=tan-1

=45

X= (7.071) cos 45=5m Fx=(8N) cos30=6.9282N

Y= (7.071) sen 45=5m Fx=(8N) sen30=4N

Mo3=(5m)(4n)-(5m)(6.928n) =20-34.64=-14.64n.m

4. F=-7N =20 rx=5m ry=-10 r=11.18

r=63.43

r= = = =11.18 r=tan -1 (

)=63.43

X= (11.18) cos 63.43=5m Fx=(-7n) sen20=-2.394n

Y= (11.18) sen 63.43=5m Fx=(-7n) cos20=-6.578n

Mo4=(5m)(-6.578n)-(10m)(-2.394N)=-32.89+23.94=-8.95N.m

5. F=4N =20 rx=10m ry= 10m r=14.142

r=45

r= = = =14.142 r=tan -1 (

)=45

X= (14.142) cos 45=10m Fx=(4n) cos0=4N

Y= (14.142) sen 45=10m Fx=(4n) sen0=-0N

Mo5=(10m)(0N)-(10m)(4N)=40N.m

6. F=6N =90 r=15 r=90

X= 15m cos 90=10m Fx=(6n) cos 90=0N

Y= 15m sen 90=15m Fx=(6n) sen90=-6N

Mo6=(0m)(6N)-(15m)(0N)=0N.m

7. F=5N =30 r=15 r=90

X= (15) cos 90=0m Fx=(5n) cos30=4.33N

Y= (15) sen 90=15m Fx=(5n) sen30=-2.5N

Mo7=(0m)(2.5nN)-(15m)(4.33N)= 0-64.95=--64.95N.m

8. F=-12N =45 rx=10m ry=15m r=18.028

r=56.31

r= = = =18.02 r=tan -1 (

)=56.31

X= (18.028) cos 56.31=10m Fx=(-12n) cos 45=-8.48N

Y= (18.028) sen 56.31 =15m Fx=(-12n) sen 45=-8.48N

Mo8=(10m)(-8.48N)-(15m)(-8.48N)=-84.8+127.2=42.4 N.m

1 10N 0 5m 0m 0 nm

2 9N 0 5m 0m 0 nm

3 8N 30 5m 5m -14.64 Nm

4 7N 20 5m 10m -8.95 Nm

5 4N 0 10m 10m -40 Nm

6 6N 90 0m 15m 0 Nm

7 5N 30 0m 15m -64.95 Nm

8 12N 45 10m 15m 42.4 Nm

-86.14 Nm

Con respecto al punto B:

Formula : mo=(X)(Fy)-(y)(Fx) Fx=F cos

Fy=F sen

1. F=10n =o r=10m y=0m

Fx=(9n) cos 0 =9N

Fy=(10m) sen 0 =0N

Mo1=(10m)(0N)-(0m)(10N)=0N.m

2. F=9N =0 X=5m Y=0m

Fx=(9n)cos0=9N

Fy=(9n)sen0=0N

Mo2=(5m)(0N)-(0m)(9N)=0N.m

3. F=8N =30 x=0m y=5m

Fx=(8n) cos30=6.9282N

Fx=(8n) sen30=4N

Mo3=(0m)(4N)-(5m)(6.928N) =0-34.64 =-34.64N.m

4. F=-7N =20 X=0m Y=10m

Fx=(-7N) sen20=-2.394N

Fx=(-7N) cos20=-6.578N

Mo4=(0m)(-6.578N)-(10m)(-2.394N)=0-23.94=-23.94N.m

5. F=4N =0 X=5m y=10m

Fx=(4N) cos0=4N

Fx=(4N) sen0=-0N

Mo5=(5m)(0N)-(10m)(4N)=0-40= -40N.m

6. F=6N =90 X=5m y=15m

Fx=(6N) cos 90=0N

Fx=(6N) sen90=-6N

Mo6=(5m)(6N)-(15m)(0N)=-30-0=-30N.m

7. F=5N =30 X=5m Y=15

Fx=(5n) cos30=4.33N

Fx=(5N) sen30=-2.5N

Mo7=(5m)(2.5N)-(15m)(4.33N)= 37.5-64.95=-27.45

8. F=-12N =45 X=5m Y=15m

Fx=(-12N) cos 45=-8.485N

Fx=(-12N) sen 45=-8.485N

Mo8=(5m)(-8.48N)-(15m)(-8.48N)=-42.425+127.275=84.85 N.m

1 70N 0 10 0 0 nm

2 9N 0 5 0 0 nm

3 8N 30 0 5 -34.64 Nm

4 7N 20 0 15 23.94 Nm

5 4N 0 5 10 -40 Nm

6 6N 90 5 15 -30 Nm

7 5N 30 5 15 -27.45 Nm

8 12N 45 5 15 84.85 Nm

-23.3 Nm

Si el rectngulo sobre el plano inclinado tiene un peso propio de P = 200kg y el plano

inclinado un Angulo determinar el momento que provoca la carga con respecto al

punto a.

Jg =

d1 =(1m) Tg

d1=0.84m

Y puesto que 0.84m > 0.5m esto indica que la proyeccin vertical hacia debajo de P pasa

por el lado izquierdo de (a).

Provocando con esto un giro negativo IMAGEN mo y m= (-)

d2=d1-0.5m

d2=0.34m

cos=

por lo tanto d=d2cos

1m

2m

d1

1m

d1

d2

y consecuentemente

MA=-Pd2 cos =-200(0.34)cos40

Ma=-52Kg-m

Momento de un sistema de fuerzas

4 fuerzas actan sobre la parte de mquinas que se muestra en la figura Qu valor tiene

la suma de los momentos de las fuerzas respecto al origen O?

Mo= (X)(Fy)-(y)(Fx)

1. F=4Kn X=700mm Y=300mm =30

Fx= (4 KN)(cos 30)=3.46

Fy= (4 KN)(sen 30)=2

mo=(700 )(2)-(300 )(3.46)=1400-1038=362KN

2. F=2KN X=300 Y=300 =270

Fx=(2KN) cos270= 0

Fy=(2KN) sen270=-2

mo=(300mm)(-2)-(300mm)(0)=-600

362

-600

mo-238 kN mm

4 kN

2 kN

5 kN

3 kN

Determine el provocar la fuerza de P=18 Klb con respecto al punto A de la mnsula

mostrada cuando = 25

Fx=(18 Klb) cos 155=-16.31

Fy =(18 klb)sen 155=7.60

Moa=(50)(7.60)-(30)(-16.31)=380+489.3 =-869.3

Calcular el momento con respecto al punto A de las ligas mostradas y despus con respecto a B indique el sentido del resultado.

Mo = (1500)(2 m) + (1800)(5 m) Rby(6.5)

= Ry=1453.84

Mob =(6 kN)(8 m) 8 Ra(8)= 0

Ray= -5

Mob = -(8 kN . m ) + 5 kN(8m)

-Rby (8 m) = 0

Rby=4kN

1500 kN 1800 kN

a b

2 m 3 m 1.5 m

3 m 1.5 m

P= 6kN F= 5 kN

a b

Cargas distributivas

W=8 lb/pie W=wl/2 = fuerza

Ma= 0Rb

=(8)(48) Rb(12)

=Rb

Rb=32 lb.

Mb= 0 Ra

=(-4)(48) Ra(-12)

=Ra

Ra=16 lb

12 2/3 L 1/3 L

L

W=8 kN/m

W=(8 kN/m)(4 m )= 32 kN

D.C.L

Ma = 0 Rb

Rb=21.33 kN

Mb= 0 Ra

=(-2)(-32 kN) + (6)(-12)=Ra(-6)

= -64 . 72 =Ra(-6)

Ra= 22.66 kN.

2 m 4 m

32 kN F= 12 kN

a b

2 m 2 m 2 m

32 kN

Equilibrio bidimensional

D.C.L

=30+45=75

AB=89.65

AC= 73. 20 kN.

b c

a

100 kN

20 kN

B 45

30

A 90

45 60

a

C

60

Determina las tensiones en los cables ab, bc y cd, as como la carga W2 en el

sistema de cable mostrado. De tal suerte que dicho sistema se encuentre en equilibrio.

D.C.L Fx=0

Fy=0

D.C.L

W

a d

b c

W1 W2

15 d

Fbc

W2=?

b

a

c

70

20

B=1754.28

Fx= - 1648.41+ Tcd(cos 75)=0

=Tcd(cos 75)=1648.4

Tcd(0.2588)=1648.41

Fx=Tab(cos 160) + Tbc =0

=Tab(-0.9396) + Tbc=0

Tab(-0.9396)=- Tbc

Fy=Tab(sen 60) 600 N=0

Tab(0.3420)- 600N=0

Fy=Tcd(sen 75) W2=0

Fy=6369.43(sen 75)=w2

W2=6152.39

Tab=1754.38

Tbc= Tab(0.9396)

Tbc=(1754.38)(0.9396)

Tbc=1648.41

W

a d

b c

W2 W3

=39.5

=?

W1=1800 N

W3=1500 N

W2=?

Fx=Tab(cos 140.5)+Tbc=0

=-Tab(-0.77162) + Tbc =0

=-Tab(-0.77162)=-Tbc

Tbc=(1800 N)(0.77162)

Tbc=1388.916 N

Fy=Tab(sen 140.5)-W2 =0

=Tab(0.6360)=W2

=(1800)(0.6360)=W2

W2=1144.8

Fx= - Tbc+Tcd(cos )=0

=-1388.916 + Tcd(cos )=0

Tcd(cos )=1388.916

Fy=Tcd(sen )-1500 N=0

Fy=Tcd(sen )=1500

1500(cos )=1388.976(sen )

Determinar la magnitud del jaln P de tal manera que w=1500 lb quede centrada sobre el

vaco.

D.C.L

=65. 2

W=1500 lb

Fx= -p + F1(cos 652)=0

=-p + F1(0.41945)=0

P=F1(0.41945)

Fy= F1(sen 65.2) 1500 =0

F1=1652.38

P=(1652.38)(0.41945)

P=693.090 lb.

W

P

2.6

2.2

1.2

Punto fijo

F1

P

W

Determinar de la siguiente figura mostrada

a) Las fuerzas internas de los siguientes elementos AB y BC

b) Las componentes rectangulares en los apoyos AB

c) Las fuerzas reactivas de A y B

D.C.L

W c

44.5

b

a

W=1800 N

22

a

22

44.5

1800 N

a)

Fx=Tab(cos 135.5) + Tbc(cos 338)=0

=Tab(0.7132)+Tab(0.9271)=0

Fy=Tab(sen 135.5) + Tbc(sen 338) 1800=0

Tab(0.7009) + Tbc(-0.3746)-1800 =0

Tbc(1.2999)(0.7009) + Tbc(-0.3746)= 1800

Tbc(0.9110) Tbc(0.3746)=1800

Tbc=3355.70

Tab=(3355.70)(1.2999)

Tab=4362.07

b y c)

Cab=Fx cos = (4362.07)(cos 135.5)=-3111.24

Cab=Fy sen=(4362.07)(sen 135.5)= 3057.41

ARMADURAS Y MECANISMOS.

Una armadura es una estructura compuesta de elementos rectos, esbeltos

interconectados entre 5. En uniones que denominares nodos, dichos elementos rectos

forman generalmente tringulos, por ser esta una forma geomtrica estable, fcilmente

deformable las armaduras tienen un enorme campo dentro de la ingeniera ya que sus

aplicaciones pueden ser en techumbres, gras, plumas, puentes, antenas, lneas de

conduccin etc. Por enumerar algunas de sus mltiples eficiencias son capaces de cubrir

lados con enormes cargas a cambio de una carga propia casi despreciable, debido a su

gran deficiencia puede ser cuando la relacin del claro sea 6 a 8 veces el peralte de la

armadura.

Por su gran ligereza en el anlisis empezaremos por despreciar su propio peso, aunque

este se tomara en cuenta en el anlisis de cargas envindolo a los nodos de reaccin y

con esto se transmita a los dems nodos, evitando con esto considerar esfuerzo de

flexin y cortante.

Puesto que las cargas externas de una armadura deben entrar en equilibrio, esto nos

hace concluir en que tambin los elementos inferiores deben encontrarse en equilibrio con

lo que para el anlisis caeremos en un conjunto de sistema de fuerzas coplanares

concurrentes las cuales se pueden resolver fcilmente por medio de las ecuaciones

elementales como Fx= 0 y Fy=0.

En el caso de encontraron de encontrarnos en un nodo con mas de dos incgnitas esto

nos indica que se trata de un problema estticamente indeterminado o sea que no se

resuelve por medio de las condiciones de equilibrio esttico, con lo que podemos prever si

existen elementos redundantes o superfluos es aplicando una sencilla relacin:

e= 2n 3 en donde e= numero de elementos y n= numero de nodos

Con esa relacin podemos decir que si existen mas elementos de los establecidos se

trata de una armadura redundante, pero si la misma relacin encontramos que el numero

es menor, quiere decir que la armadura es inestable, por ejemplo:

6 nodos, 9 elementos e= 2n 3

e= 2(6) 3 9 = 9

6 nodos 8 elementos 8= 2(6) 3 8 es diferente de 9

se trata de una armadura inestable

7 nodos 12 elementos 12= 12(7) 3 12 diferente de 11

Se trata de una armadura redundante

1.- la armadura requiere de ms elementos para rigidizarse o puede tratarse de un

mecanismo.

2.- si e> 2n 3 la armadura contiene elementos redundantes, sea mas elementos de los

necesarios y esto la convierte en una armadura hiperestatica.

A diferencia de las armadura que son diseadas para soportar cargas; los mecanismos

son diseados para transmitirlas, como puede entenderse una armadura es regularmente

rgida, mientras que un mecanismo es un conjunto de elementos diseados de tal suerte

que puedan tener algn movimiento relativo entre dichos elementos.

Y la resolucin del sistema se har calculando la relacin que existe entre las fuerzas

externas con respecto a las internas manteniendo estas en equilibrio.

METODO DE LOS NODOS SUCESIVOS

Se trata de un mtodo muy sencillo aunque elaborado ya que se requiere ir separando por

nodo (siempre analizando un nodo con no ms de dos fuerzas desconocidas) y al llegar al

ltimo nodo se comprueba la veracidad de los clculos haciendo que Fx= 0 y Fy= 0, en

el ultimo nodo la suma nos tendr que cerrar en 0, lo que explica que el sistema se

encuentra en equilibrio.

Resolver la armadura mostrada. Determinando las fuerzas que actan en cada uno de los

elementos c

a b h= 2m P= 1.6

ton.

A=45 B= 105 C= 30

Obtencin de la estabilidad externa

Ton45= AB

m2 Ton30=

BC

m2

AB= 45

2

Ton

m= 2 BC=

30

2

Ton

m= 3.6

Ma= (P)(2m) Rc(5.46m

Rc=46.5

)2(6.1= .5860 Ton

Mc=(P)(2) + Ray(5.46)

Ray= 46.5

)2(6.1= -.5850

Rax= 1.6 Ton

NODO A:

Fy= 0

FabSen 45 Ray= 0

FabSen45 - Ray= 0 Fx=0

Fab= 45Sen

Ray= .83 Ton -Rax + FabCos45

+ Fac= 0

Fac= Rax - .83Ton (Cos45)=

1.0131

NODO B:

Fac= 1.01Ton

F=.83 Ton

FbcSen30 - FacSen45= 0

Fbc= 30

4501.1

Sen

TonSen= 1.42Ton

Determine las fuerzas a las que estn sujetos los elementos de a estructura mostrada

c

1.8m

a b

2m 2ton 3m

Ma= c (1.8m) Rb(5m) + d(2m) = 0

1.58 (1.8) Rb(5) + 2(2m)= 0

2.7 Rb(5m) + 4= 0

Rb= (4+2.7) 5= 1.34Ton

Mb= c (1.8m) + Ra5m) - d(3m) = 0

1.58 (1.8) + Ra(5) - 2(2m)= 0

2.7 + Rb(5m) - 6= 0

Ra= (6 - 2.7) 5= .66Ton

NODO A:

Fy= 0

Fy= -FacSen4.98 +Ra

-FacSen41.98 + .66= 0

Fac= 98.41

66.

Sen= 0.9867Ton

Fx= 0

-Fax + Fd - .9867Cos41.98= 0

-1.5 + Fd - .7334= 2.2334 Ton

NODO B:

Fy= Rby FcbSen30.96= 0

Fbc= 96.30

34.1

Sen= 2.60 Ton

Fx= 0

-Rbd + FcbCos30.96= 0

Rbd= 2.60Cos30.96

Rbd=2.22Ton

Determinar Las fuerzas a las que estn sometidas los elementos de la armadura

mostrada:

DCL.

2.8602m

2.4m

600kg

Tan 40=

Tan = 36.86

AB = 2.8602 Tan 36.8=

CD=3.2081

Ma= 1200kg(2.86) + 600(6.06) Td(6.06)= 0

Td=

=

= 1166.33kg

Md= -1200(3.20) + Ra(6.06)= 0

Ra= 633.66

NODO A:

Fx= ABCos40

985.79(Cos40)= 755.15 N

Fy= ABSen40 + 633.66= 0

AB=

= 985.79N

NODO B: Fy= Rby FcbSen 30.96= 0

1.34 FcbSen 30.96= 0

Fcb=

= 2.60 Ton

Fy= Rby FcbCen 30.96= 0

Rbd= 2.60(Cos30.96)= 2.22

METODO DE SECCIONES

A diferencia del muy elaborado mtodo de los nodos sucesivos, el mtodo de las

secciones o analtico de Ritter, nos permite una rpida evaluacin de magnitud de uno o

varios elementos de una armadura, dicho corte no debe exceder de tres elementos y con

los datos dela estabilidad exterior de la pieza nos permitir determinar dichas magnitudes

por ejemplo en la armaduras anterior.

1000 kg b d

2.5 m 2.5m

a c e f

3m 3m 3m

Rax= 1000kg

Ray= 1055.6

Rf= 1544.41kg

Para conocer la magnitud de la fuerza en los elementos bd, cd, ce seccionaremos de

la siguiente manera:

1000 kg b d

Rax f

Ray

1000kg

a c

1400kg

Tomando como seccin real (lnea continua) a la derecha o izquierda del seccionamiento

y como seccin imaginaria a los elementos cortados (lnea punteada) aplicamos las

fuerzas (Fig 1) exclusivamente a lo que corresponde a la seccin real (ntese que no

consideramos la carga aplicada en el nodo d) con esto en la armadura mostrada que las

fuerzas conocidas tienden a girar (a seccin real a favor de las manecillas del reloj y para

equilibrar dicho giro estableceremos que las fuerzas de los elementos bd y ce fig.2 giran

a contrarreloj anlogamente. Vemos que la direccin vertical Ray es menor a la carga de

1400kg y para equilibrar las fuerzas verticales tendremos que dirigir la fuerza del elemento

cd hacia arriba (tensin con respecto al nodo C).

Haciendo momentos con respecto al nodo Cen la figura 2.

Mc= 1000(2.5) bd(2.5) + Ray(3)= 0

Bd= 5.2

)3()5.2(1000 Ray2266.7kg

Y puesto que bc tiende a acercarse a la seccin real nos indica que este depende

Ahora podemos sumar fuerzas en el eje x puesto que nos encontramos con 2 incgnitas

cd y ce, sin embargo si sumamos fuerzas en el eje y tenemos una sola incgnita

(+) Fy=0 1Ray 1400kg +

= 0

Cd= [1400kg - Ray] =

=538 kg

Con el mismo razonamiento del resultado anterior observemos que la fuerza cd se aleja

de la seccin real por lo que dicho elemento se encuentra en tensin (T).

Con esto resuelto ya podemos sumar fuerzas en el eje x puesto que ahora solamente

tenemos una incgnita (ce)

(+) fx=1000 Kg Rax bd + ce +

= 0

ce = Rax -1000 kg bd -

ce= 1853, 4 Kg (T)

Ahora bien si requieren conocer las fuerzas en los elementos bd o bc, entonces

seccionaremos de la siguiente manera

Con lo que podemos observar que las fuerzas conocidas ((1000Kg),Rax y Ray) tienden a

hacer girar la seccin a favor de la manecillas del reloj y con lo que podemos equilibrar

ser mandando las fuerzas ac, bd como se muestra, adems para equilibrar la fuerza

Ray, mandamos la fuerza bd hacia abajo haciendo

(+) Fy =Ray bc = 0

bc= Ray ; bc = 1056.6 kg (+) bd=

Ahora

Ma= 1000Kg (2.5) + bc(3) bd (2.5) bd=2266.7 kg (c)

Por otro lado podramos haber requerido las magnitudes de fuerza para los elementos ce

y de con lo que hubiramos necesitado seccionar de la siguiente manera

Haciendo un razonamiento que en las armaduras apoyadas en los extremos

generalmente la cuerda superior esta sujeta a compresin mientras que la cuerda inferior

esta sometida a tensin (aunque por condiciones de carga a veces se invierten esfuerzos

y esto no se cumple, pero el mtodo como el de nodos sucesivos nos corrige al darnos

valores negativos) con lo anterior podemos suponer las direcciones de ce y df

Adicionalmente suponemos su direccin de de hacia arriba

Md= Rax(2.5)+ Ray(6) 1400(3) ce(2.5)=0

Ce=

1853.4 kg(+)

(+)Fx =1000 Rax ce -

= 0

df= [1000Kg Rax + ce]

= 2412.6 kg (c)

(+)fy = Ray 1200 1400 + dc +

= 0

de=1200 + 1400 Ray

= 0

Para determinar la armadura mostrada por el mtodo de las secciones determine las

fuerzas en los elementos a)bc y bd b) bd, cd y ce

Ra=1000(1.5)+1200(3)+1400(4.5)- rf(4.5) + 1600(6)= 0

Ra= 1500 + 3600 + 6300 Rf (4.5) + 9600 = 0

Ra=21000 Rf (4.5)=0

Rf=

= 466.66 Kg

Rf= 1600(1.5) -1200(1.5) -1000(3) + Ra(4.5) =0

2400 -1800 -3000 + Ra(4.5)=0

-2400 + Ra(4.5)=0

Ra=

Ra = 533.33 kg

(+) Fy=0 Ra Fbc

Mc=0

Mc=Ra(1.5) - Fbd(2m) = 0

Fbd =

Fbd =

= 399.99 Kg

(+) Fy=0

Fy= Ra 1000kg + Fcd(sen 53.13) = 0

Fy= 533.33 1000Kg + Fcd(sen53.13)=0

Fy= -466.67Kg + Fcd(sen53.13)=0

Fcd =

Fcd = 583.37 Kg

Fx=0

Fx= ce bd + cd (cos 53.13)

=ce -400 + 583.27(cos 53.13)

ce=400 350.02

ce= 50Kg

c) de, df

d) ef, eg

(+)Fy =0

Fy= Ra 1000Kg 1200 1400 + ed = 0

=Ra-2200 + ed

de= 1666.67

(+)Fx =0

Fx=ce df

Fx= 50Kg=df

df=50Kg

(+)Fy =0

Fx=Rg 1400 1600 Fb

=4666.66 1400 600 fe(sen 53.33)=0

Fe=

Fe=2077.90Kg

(+)Fx =0

Fx = df ef (cos 53.33) eg =0

= 50 2077.90 (cos 53.33) = eg

=50 1240.93 = eg

eg= - 1190.93 Kg

Resolver por medio de las secciones las fuerzas en los elementos

a)bc , bd

b) cd

Ra= 2(

)+ 4((3)

) + 6 (3.5) Re (7)=0

Ra= 3.5 + 21 + Re(7) + 45.5 Re (7) =0

Re =

Re = 6.5 ton

Re= - 2(3(

)) 4(

) 6(3.5) + Ra(7) = 0

Re = - 10.5 7 21 + Ra(7) = 0

-38.5 + Ra(7)=0

Re= (

)

Re= 5.5 Ton

Re= -2(3(

)) 4(

) 6(3.5) + Ra(7)=0

(+)Fy =0

Fy = Ra 2 bc(sen 57.99) = 0

Fy = 5.5 2 bc(sen 57.99)=0

3.5 bc(sen 57.99)= 0

bc=

= 4.13 Ton

Mc = 0

Mc = Ra(3.5 ) 2(1.75) bd(2.8) = 0

5.5(3.5 ) 3.5 bd(2.8) = 0

19.25 3.5 = bd(2.8)

bd= 5.625

(+)Fy =0

Fy = 4 + Re cd(sen 57.99)=0

4 + 6.5 cd(sen 57.99)=0

cd=

cd= 2.94

Por el mtodo de nodos calcule las fuerzas de los nodos calcule las fuerzas en AC y BC

Ra=500lb(7) Rc(14)=0

3500 Rc (14) =0

Rc=

Rc = 250 lb

Re=Ra(14) 500(7)=0

Ra(14) 3500(7)=0

Ra=

Ra= 250 lb

Nodo C

Fy =0

Fy = Rc cb (sen 30)=0

250 cb (sen 30)=0

cb=

= 500 lb

FRICCIN

La friccin o rozamiento es un fenmeno tan til como nocivo ya que como

sabemos todos los das miles de ingenieros trabajaban investigando sobre

lubricantes que disminuyen el desgaste por friccin, mientras otros miles trabajan

en neumtico para aviones, automviles, etc.

Que tengan mas a los pavimentos, hacia 1780 Coulomb (investigador francs)

determino 4 leyes sobre friccin que son las que hasta nuestros das siguen.

El tema que nos ocupa ser la friccin esttica o friccin seca y a continuacin

enunciaremos las cuatros leyes de friccin de Columb.

1. La fuerza de friccin siempre se opone al movimiento negativo

2. La fuerza de friccin es siempre paralela o tangencial a la superficie de

contacto.

3. La fuerza de friccin es independiente a la superficie de contacto

4. Para impedir el movimiento y el movimiento a velocidad uniforme la fuerza

de friccin ser igual al producto del cociente de friccin (Mu) y la fuerza

normal (impeda el movimiento quiere decir que la fuerza permanece

esttica o exactamente a punto de moverse.

Coeficiente de friccin.

W

P P

fr

fn

fr

P fn

W

Para cualquier cuerpo que se necesita a una superficie existir una fuerza normal

la cual ser perpendicular al plano de contacto y es causada por el empuje de la

superficie que soporta el cuerpo as como la fuerza de friccin ser paralela a la

superficie y por consecuencia perpendicular a la fuerza normal la relacin que

existe entre las fuerzas normales y de friccin se obtienen de la siguiente manera.

n t

fn

w

fr

+ fn=fn w cos =0

W=

+t= fr w sen =0

W=

Igualando W.

Por lo tanto:

Lo anterior se expresa con los materiales que se desee determinar el coeficiente

de friccin colocando un bloque del material seleccionado sobre un plano que se

ir inclinando lentamente hasta que el bloque est a punto de iniciar su

deslizamiento, lo cual se llamara en lo sucesivo movimiento inminente y que se

tomara el ngulo de inclinacin con esto decimos que el porciento de friccin

esttica ser igual a la tangente de dicho ngulo (fi).

Algunos coeficientes de friccin

Metal metal= .15 - .75

Metal madera= .25 - .65

Metal piedra=.25- .70

Metal- hielo=.02 - .03

Madera madera=.40 - .70

Llanta concreto=.70 - .90

Verificar si el bloque w=120 kg al cual le aplicamos una fuerza p=45 kg es capaz

de deslizarse hasta la derecha cuando el coeficiente de friccin entre el plano y el

bloque =.5

W

P fr=fn

P fr

W=fn=-

120kg

fr=? fn

fr=(.5)(120kg)=60 kg

Con esto entendemos que el bloque queda esttico ya que la fuerza mxima de

friccin es de 60 kg mientras que el empuje P=45 kg en otras palabras el bloque

estar esttico al aplicarle una carga p que se incremente gradualmente desde

cero hasta 60 kg.

W

Un bloque de w=180kg se encuentra en reposo esttico sobre una superficie

horizontal tomando un coeficiente de =.35 determinar la carga P necesaria para

llegar al deslizamiento eminente cuando:

a) La carga P se aplica horizontalmente

b) La carga P se aplica al bloque con un ngulo de ataje de 40 con respecto a

la horizontal

a)

fr=()(fn)=(.35)(180)=63kg

b)

w

Fr

Fn

Una caja de w=180 kg reposa en el suelo como se muestra si el coeficiente de

friccin entre la caja y el suelo es de .25 () determinar a qu altura (H) debe

aplicarse la carga P para que la caja lleve. Al deslizamiento inminente sin volcarse.

P fr= ()(fn)=(.25)(180kg)= 45 kg

Mo=(.6m)(180)+(45)(h)

h h=

1.2 m

fn

P fn

p

Datos. Frab=(150kg)(.25)=37.5 kg

Pmax=? Frbs=(550)(.15)=82.5 kg

Wa= 150 kg

Wb=400 kg Pmax= 37.5 kg

A y b==.25

B y suelo= =.15

38

w W2

a

b

W1

Los bloques 1,2,3 igual a (40,120,60)kg respectivamente terminar Pmax aplicable de tal

manera que no presente deslizamiento continuo despreciar volteo.

1. Deslizamiento inminente de 1 sobre 2 cuando 2 y 3 son estticos.

2. Deslizamiento inminente de 1 y 2 sobre tres ya que este se tratara como

estacionario.

3. Deslizamiento inminente de 1, 2 y 3 sobre el piso.

1) Fr= X Fn = (0.45)(40kg) = 18kg

2) Fr= X Fn = (0.35)(60kg) = 21kg

3) Fr= X Fn = (0.30)(120kg) = 18kg

Pmax = 18kg

Despreciando la friccin en los poleas si el peso propio de wa=60kg el ngulo del plano

inclinado =400 el coeficiente de friccin entre el bloque wa y la superficie es =0.35,

determinar el rango de valores para wb de tal manera que el sistema permanezca en

equilibrio.

a) Deslizamiento inminente hacia arriba del plano indicado.

b) Deslizamiento inminente hacia abajo del plano inclinado.

a)

Fy= 60kg cos40-fn = 0

Fn= 45.96kg

Fx= -fr + wb + wa sen40 = 0

Wb= 54.65kg x 2

Wb= 109.3kg

b)

fx = -60sen40 +0.35(45.96) + wb = 0

Wb= 44.96kg

Una escalera con peso omega de 5kg y una longitud de 3.2m reposa contra un muro y el

suelo como se muestra si el coeficiente de friccin es de =0.4 y el muro con la escalera

=0.25 determinar el ngulo de mnimo que puede guardar la escalera con el suelo antes

de llegar a deslizarse.

fx= -fnm + frs = 0

Frs= fnm

fy=-w +fns +fmk=o

Ms = w cos(1.6m) frm cos(3.2m) fnm sen (3.2m)

Ms = w cos(1.6m) (fnm)( m) cos(3.2m) fnm sen (3.2m)

(-3.2fnm)( m cos + sen) + w cos(1.6m) = 0

m cos + sen =-( w cos(1.6m))/-(3.2 fnm)

multiplicando por 1/cos a la ecuacin

(1/cos)( m cos + sen) = w cos /2 fnm (1/cos)

m + tang = w / 2 fnm

tang = (w / 2 fnm )( m)

tang = (16kg / 2fnm)-0.25

fy = -w + fns + frm = 0

fy = -w + (fnm / s) + fnm(m) = 0

fy = -w +fnm((1 / s ) + m) = 0

fnm = w / ((1 / s) + m) = 16kg /((1 / 0.4) + 0.25) = 5.81

= tang-1((16 / 2(5.81)) 0.25) = 48.410

Dinmica la mecnica ingenieril consiste en el estudio tanto de la dinmica como la esttica. Esttica trata del equilibrio en reposo o movimiento a velocidad constante mientras que la dinmica trata de que los cuerpos tengan movimiento. En general se divide en dos partes la cinemtica que se relaciona con los aspectos geomtricos y la cintica se relaciona con el anlisis de las fuerzas, produce el movimiento.

En la mayor parte de los problemas que se presenta, se muestra mayor inters en cuerpos de tamao finito tales como proyectiles, vehculos, etc.

Cinemtica rectilnea

El movimiento rectilneo ocurre cuando una partcula se mueve a lo largo de una trayectoria. La cinemtica se caracteriza especificando la posicin, velocidad, aceleracin partcula.

Posicin

Consideremos la partcula en el punto B, indicando en la fig. A, la coordenada S que se mide a partir del origen fijo se usa para definir la posicin de la partcula como el movimiento es a largo de una trayectoria recta la coordenada de posicin tiene las propiedades de un vector. Podemos considerar magnitud la distancia de o-p en medida en metros o pies y su direccin de S aunque la eleccin es

P'

arbitraria en este caso la direccin S es (+) cuando se localiza a la derecha del origen y negativa (-) cuando se localiza a la izquierda.

Desplazamiento de la partcula

Define como el cambio en su posicin por ejemplo: si se mueve desde p-p' (b) desplazamiento

s=-S Aqu s es positivo ya que la posicin esta a la derecha de su posicin inicial, es decir (S') mayor que S. anlogamente si la posicin esta a la izquierda s es negativo (-).

El desplazamiento que es vector debe distinguirse de la distancia que recorre. La distancia recorrida es una cantidad escalar y representa la longitud total de la trayectoria por la partcula siempre es positiva (+).

Velocidad

Si la partcula se mueve de s desde p-p' durante tiempo p (c) la velocidad media de la partcula durante este tiempo es:

0 S

Posicin (a)

S

S'

Desplazamiento (b)

P S

P'

S s

p

Velocidad (c)

P' V

0

S Aceleracin

(d)

a

p

0

Desaceleracin (e)

S 0

P' -a p

Si tomamos valores pequeos de t la magnitud s se mueve mas pequea en consecuencia se define como:

El signo se usa para definir la velocidad, es el mismo para s o S. Ejemplo si la partcula se mueve de la figura (1G) la velocidad es positiva (+), mientras que se esta moviendo a la izquierda la velocidad es negativa (-), la magnitud se conoce como rapidez y se expresa en unidades de m/s o pies/s. Ocasionalmente se usa rapidez media. En una escala positiva se define como distancia total recorrida por partcula St dividida ente t es decir:

Aceleracin

Con tal de que se conozcan las velocidades instantneas por partcula P y P', la partcula se define como:

Aqu v representa la diferencia de las velocidades durante el tiempo t es decir:

La aceleracin instantnea en tiempo t se encuentra en los valores t y los valores ms pequeos, ms y ms pequeos t de modo que:

Tomando la segunda ecuacin

Ambas la aceleracin instantnea puede ser positiva o negativa (+ o -). En particular esta frenando se dice que esta desacelerando. En este caso fig. e, V' es menor que V y as

Ser negativa es consecuencia os era negativa y por consiguiente actuara hacia la izquierda en direccin opuesta a V, tambin la velocidad es constante la aceleracin es 0 ya que v=v-v=0. Las unidades comnmente se usan m/seg2 o pies/seg2.

Una relacin diferencial involucra el desplazamiento, la velocidad y aceleracin a lo largo de la trayectoria, la velocidad de tiempo entre ecuaciones 1 y 2 igualando:

Aceleracin constante a=ac

Cada una de las 3 ecuaciones:

Pueden integrarse para obtener formulas que relacionan la aceleracin, desplazamiento, tiempo.

Velocidad con funcin tiempo

Integramos a la aceleracin constante

Suponiendo V=Vo es t=0

Posicin como funcin del tiempo

Integramos:

.. (5)

Velocidad como funcin posicin

Se despejat en ecuacin (4) y se sustituye en ecuacin (5) o se integra:

Suponiendo

Las magnitudes y los signos bo, So y acel constante usados en estas ecuaciones se determinan a partir de origen S. Es importante las ecuaciones son otiles cuando es constante.

Un ejemplo comn ocurre cuando un cuerpo cae libremente hacia la tierra. Si se desprecia la resistencia aire y la distancia es corta, entonces la acel, constante

hacia abajo es 9.81 m/ o 32.2 pies/ .

Procedimiento para anlisis

Puede establecerse una relacin entre 2 cualesquiera de las 4 variables a, b, s, t por observacin o experimentacin. Cuando esta es el caso la relacin entre variables restantes puede obtenerse sea por diferencia o por integracin usando las ecuaciones cinemticas:

Como cada una relaciona 3 variables entonces si se conoce una variable con funcin se determina una 3er variable escogiendo la ecuacin relaciona a 3

Puede determinar a partir de la funcin de s, sustituirse por o para llegar a la funcin de S

La solucin para V requiere para una integracin ntese no puede obtenerse ajustando

*no puede integrarse

El automvil de la figura se mueve en lnea recta de tal manera que para un corto

tiempo su velocidad esta definida por +2t); donde t se mide en segundos, determine su posicin y aceleracin cuando t=3 seg.

La posicin de una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta esta

definida por la relacin Calcular:

a) tiempo en el cual la velocidad es cero b) la posicin y el espacio recorrido por la partcula en el tiempo c) la aceleracin de la partcula en ese tiempo d) el espacio recorrido por la partcula desde t=4 hasta t=8

A)

B)

C)

D)

=

= 344-(-20)=364pies 8-(-92)= 100

La aceleracin de una partcula se define mediante la relacin y la partcula parte sin velocidad inicial en la posicin X=0 determina:

a) La velocidad cuando x=3pies b) La posicin cuando la velocidad es nuevamente 0 c) La posicin cuando la velocidad es mxima

v=12 pies/seg

Velocidad es cero

= 4.58

Un muchacho lanza una pelota a direccin vertical hacia el lado de un acantilado

como se indica en la figura, si hacia arriba y la pelota se lanza 40m arriba del lado del acantilado, determine la altura mxima 5b alcanzada por la pelota y su rapidez justamente antes de que choque contra el suelo. Durante todo el tiempo que la pelota esta en movimiento esta sujeta a una aceleracin

constante hacia debajo de (-) 9.81 debido a la gravedad el efecto de la resistencia del aire.

Un hombre salta con una velocidad Vo, desde un acantilado de 20 pies de altura.

A) cuando tiempo tardara en alcanzar el suelo, y que velocidad llevara al

alcanzarlo? B) si esto ocurriera en la luna donde g=5.31 que valores se

obtendran para el tiempo y la velocidad.

a)

=t

b)

Una particular es lanzada hacia arriba en direccin vertical con una velocidad

desde una altura calcular: a) Ymax y tmax para alcanzar

dicha altura, b) velocidad con que llega al origen 0 y el tiempo.

5b

40 m C

a)

+So=S

b)

MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

A menudo se usan componentes rectangulares para estudiar el vuelo de un

proyectil libre para ilustrar, en el anlisis consideramos disparados de un can

localizado en el punto ((Sx) oi (Sy) o) como se muestra en la figuro, la trayectoria

se define en el plano (x, y) de manera que la velocidad inicial es Vo teniendo como

componentes ((Vx)o (Vy)o) de manera cuando se desprecio la resistencia aire la

nica fuerza que acta es su peso, produce una aceleracin constante hacia abajo

aproximadamente ac=ag=9.81 o g=32.2 .

Yo

(+)

g=9.81 m/s

V

Vx

Vg

X 0

Y

Movimiento horizontal

Como la componente de aceleracin, direccin y ac=o, la ecuacin

correspondiente a la aceleracin constate: (4,6) da por resultado (f) V= vo+act,

vx=(vx)o

La primera y ltima ecuacin indica que la componente horizontal de la velocidad

permanece constante a travs del movimiento.

Movimiento vertical

Como el eje positivo (+) (y) esta dirigido hacia arriba la componente aceleracin en

direccin Y es ay=-g aplicando las ecuaciones (4 y 6) obtenemos:

Recuerde que la ultima puede formularse sobre la base de eliminar tiempo t

entre las dos primeras ecuaciones y por consiguiente dos de las tres ecuaciones

son independientes entre si. En cualquier instante la posicin r y la velocidad se

definen como vector suma de sus componentes horizontal y vertical, se

determinan a partir de las ecuaciones como se muestra en la figura.

Procedimientos para anlisis

Usando los resultados anteriores el siguiente proporciona un mtodo para resolver

problemas al movimiento del vuela libre de un proyectil.

Diagrama cinemtica

Esquematice la trayectoria de la partcula, establece los ejes x,y y entre dos

puntos cualesquiera de trayectoria especifique los datos y las 3 incgnitas del

problema. En todos los casos de aceleracin la gravedad acta hacia abajo, la

velocidad inicial y final de la partcula se representan en componentes x y y.

Ecuaciones cinemticas

Dependiendo de los datos conocidos y de lo que se va a determinar, debe hacerse

una eleccin, 3 de las siguientes 4 ecuaciones debern aplicarse entre dos puntos

trayectoria, obtener la solucin ms directa al problema.

Movimiento horizontal

La velocidad y direccin o x es constante

Movimiento vertical

En la direccin vertical o y solamente pueden usarse 2 de las siguientes 3

ecuaciones:

Ejemplo:

Una bala de can se dispara desde un punto A con una velocidad de salida

Horizontal de 120 metros, como se indica en la fig. Si se localiza a una elevacin

de 60m sobre el terreno, determina el tiempo que requiere la bala de can para y

el alcance de R

60 m

X

a=-g 120 m/seg

R

B C

Y

Una pelota se arroja desde 40 pies a una posicin situada a 5 pies sobre el terreno

hacia el techo de un edificio de 40 pes de altura. Si la velocidad inicial de la pelota

es de 70 pies/seg, inclinada a un ngulo de 60 respecto a la horizontal, determina

el alcance o distancia R a partir del punto donde se arrojo hasta donde choca con

el techo.

=0.52 seg

d

R

V= 70 pies/seg

t=3.051 seg

Cuando se patea una pelota desde A como se indica en la figura justamente libra

la parte superior a B cuando alcanza su altura mxima. Sabiendo que la distancia

des A a la pared es de 20m y que la puede tirar 4m de altura; determine la

rapidez inicial con que se pateo la pelota. Desprende el tamao de la pelota

Determine Ymax sobre la pared a la que puede lanzar una bomba de agua desde

la manguera si Vo=41 pies/seg.

Y

20m

4m

A

LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

F=ma

P=400 N

N 400

30 Fk

30

W

k=.3 W=50

KG

t=3 segundos W=(50

KG)(9.81 m/seg2)

v=?

w=490.5 kg*m/s2

m=50 kg

Fk=.3 N

w

w

Kn

+ Fx= (400 N) cos 30 - Fx=m*a (1)

+ Fy= (400 N) sen 30 + N w=m*a .. (2)

N= W-P (sen 30)

V=V0 + at=(5.18

)(3)= 15.54

La caja tiene una masa 80gr y es jalada por una cadena siempre esta dirigido a

20. Si la magnitud de (t) se incrementa hasta que la caja empieza a deslizarse

Determine la aceleracin inicial si el coeficiente de s=.5 y k=.3

T

20

N

T

Fr

W

Fx=T cos 20- frs=0

Fy=T sen 20 + N W=0

cos 20 - .5 + 0 cos 20 - .5 + 0

N= 663.9671 N

sen 20 + 1 + 784.8 0 1.1819 + 784.8

T=

Fx= T cos 20 Frs= m*a

Fy= T sen20 + N - W= m*a

a=

Una partcula que pesa 2 lb es empujada hacia arriba sobre un plano inclinado liso

mediante una fuerza F cuando se ve en la figura.

Determinar la fuerza que ejerce el plano sobre la partcula y la aceleracin a lo

largo del plano.

F=1.5 lb

10

F= 1.5 lb

30

Fx= -N sen 30 +F1 cos 10 = m*a

Fy= -W + N cos 30 + F2 sen 10 = m*a

N=

= 76.37

a=

Fx= -w sen 30 + F1 cos 10 = m*a m=

a= 7.6831

Fy=- w cos 30 +N +F1 sen 10 = m*a

m=

1.73+ N +.2604

N=1.99

Una partcula de 5 kg de masa parte del reposo y adquiere una velocidad de 4 m/s

en una distancia horizontal de 12 m. Admitiendo un coeficiente de rozamiento de

.25 y un movimiento uniformemente Cual es el mnimo valor que puede tener la

fuerza horizontal constante T que acta sobre la fuerza

W

P

F=N

N

m=5kg K=.25 =

V0=0 t=

Fx= -N + P=

m*a

V=4

P= m*a +

(5)(9.81)=15.59N

S=12 a=

S0=0

x

Un bloque cuya masa n=100 kg descansa sobre un plano horizontal si el

coeficiente entre el bloque y plano es =.20. Determine la magnitud de P para

transmitirle al bloque una aceleracin hacia la derecha de a=3m/s2

P=? w

20

P

fr

Fx= -N +P sen 20 = m*a

P cos 20 = (100)(3)+ (100)(.2)(w)

P cos 20=300 + (100)(9.81)(.2)=496.2

Fy=P (sen 20)+ W N= 0

N=P sen 20 +W

M=100 kg

CINETICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

El trabajo de una fuerza

En mecnica una fuerza f he trabajos solo cuando experimenta desplazamiento

en la direccin ds y (ngulo formado entre las colas de f y ds) ver figura a.

El trabajo diferencial es una cantidad escalar definida por el producto puntoel

trabajo es du

Du= F* ds= F ds cos

F F

F cos

ds

ds Fig. (a)

Ds= (F cos ) ds

Fig. (c)

ds cos

ds

du= F (ds cos )

Fig (b)

Expresado por esta ecuacin puede interpretarse sea como producto de F y la

componente desplazamiento en direccin F.

ds cos (ver figura b)

O como producto ds (componente fuerza)

F cos (figura c)

Si F cos y ds tiene misma direccin el trabajo es positivo que estos vectores

tienen diferente

El trabajo es negativo. Ntese la diferencial du=0 o si F se aplica a un punto fijo

cuyo caso ds=0. La unidad del trabajo en el SI es Joule (J). Esta unidad combina

las unidades de fuerza, especficamente un Joule se hace con una fuerza de 1N

se mueve 1m a lo largo de la lnea (1J=1Nm).

En el momento de una fuerza tiene esta misma combinacin (Nm) sin embargo los

conceptos de trabajo y momento no se relacionan, un momento es una cantidad

vectorial mientras el trabajo es escalar.

En el sistema (PLS) el trabajo esta definido en pie-libras se distingue de las

unidades momento lb-pie.

Trabajo fuerza variable.

Si una fuerza experimenta finito a lo largo de su trayectoria desde F1 hasta F2 ver

figura (2 a).

El trabajo se determina por integracin por tal que F sea una funcin F=F(s),

tenemos:

U1-2=

F F cos

S2 F cos

F cos

S1 Figura ( 2 a)

S1 ds S2

S

Figura (2 b)

Se grafica la componente til de la fuerza F cos contra S, figura 2b la integral

representada en esta ecuacin puede interpretarse como rea bajo la curva entre

puntos S1 y S2.

Trabajo de fuerza constante movidos a lo largo de una lnea recta.

Si la fuerza F tiene una magnitud constante y acta en un ngulo con respecto su

trayectoria recta entonces df en la direccin desplazamiento es Fs cos .

El trabajo hecho por F cuando se desplaza desde S1 hasta S2 se determina

mediante la ecuacin 1 en cuyo caso:

U1-2=

U1-2= F cos (S2 S1).. (2)

F cos

F cos

S1 F cos S2 S1 S2 S

Figura (3 a) Figura (3 b)

Aqu el trabajo de F representa el rea bajo la curva rectngulo en la figura 3b.

Trabajo de un peso

Consideremos una partcula con bloque que se mueve hacia debajo de la

trayectoria indicada en la figura 4 desde una elevacin inicial Y1hasta una

elevacin final y2 donde ambas elevaciones se miden a partir de un plano

horizontal de referencia o dato

Cuando la partcula desciende a lo largo de una cantidad ds direccin de su peso

w es la componente del desplazamiento DY es la componente del peso w ver

figura b.

U1-2=

U1-2=w (y2-y1) (3)

W y y1

ds

dy (y2-y1) y2

Figura 4

dy

w

ds

Figura 4b

El peso total W del elevador en reposo de la figura es de 5000 lb. Calcule la

tensin T en el cable.

a) Cuando la aceleracin hacia arriba es a1=3 pie/s2

b) Cuando la aceleracin es hacia abajo a2= 4 pie/s2

Fy= T+W= m*a

m=

T=ma + w= 5465.83 lb

Fy= T +w= -m*a

T= w +ma=4378.88 lb

Un automvil que pesa 4000lb desciende por una pendiente de 5 de inclinacin a

una rapidez de 60 millas/hora. Cuando se aplican los frenos, lo que provoca una

fuerza frenado total constante (aplicado por el camino sobre las llantas) de 1500

lb. Determine la distancia que recorre el automvil hasta detenerse.

V1= 60 m/h

V2=0

K=

=

2= 480979.84

Fy=-W cos 5 + N cos 5= m*a

Fx= -1500+4500

U1-2= -1500lb (x) + W sen 5 (x)=-417.76 pie

Un camin tiene un piso de 25000 lb y un motor que transmite una potencia de

350 Hp a todas las ruedas , suponiendo que las ruedas no se deslizan sobre el

piso, determine el mayor ngulo del plano inclinado que el camin puede

ascender a una rapidez de V50 pie/s

N

W

1Hp = 550 pie* lb/s=192500

M= 776.3975 lb

X= 192500

F=

K=

-25000 lb sen +3850=0

=sen-1(

Un automvil que tiene un peso de 3500 lb viaja hacia arriba de una pendiente de

7 con una rapidez de V= 40 m/h si se desprecia la friccin y la resistencia del aire,

determine la potencia desarrollada por el motor si el automvil tiene una eficiencia

o=.65

7

7

Fy= -3500sen +

(58.66)(3500 sen 7)= P = 25020.99= P entrada

o=

Psalida=

=70 Hp

Durante un juego de beisbol el lanzador arroja la pelota con una rapidez de 30

m/s. La masa de la pelota es de .15 kg. Cul es la energa cintica de la apelota

cuando sale de la mano? Cunto trabajo hizo su mano sobre la pelota durante el

lanzamiento?

K=

2

K=67.5

W=K2=K1=67.5

W=67.5 0=-67.5